układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Sformułowane przez Nyquista kryterium stabilności przedstawia się następująco:

Transkrypt

1 Kryterium Nyquista Kryterium Nyquista pozwala na badanie stabilności jednowymiarowego układu zamkniętego na podstawie przebiegu wykresu funkcji G o ( jω) układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Sformułowane przez Nyquista kryterium stabilności przedstawia się następująco: 1. Układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie, przy załoŝeniu, Ŝe równanie charakterystyczne układu otwartego ma k pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie i n-k pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie, wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego przy zmianie pulsacji ω od - do obejmuje w kierunku dodatnim k razy punkt (-1,j). Układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie, przy załoŝeniu, Ŝe równanie charakterystyczne układu otwartego nie ma pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej, wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowofazowa układu otwartego przy zmianie pulsacji ω od - do nie obejmuje punktu (-1,j).. Na płaszczyźnie zmiennej zespolonej punkt (-1,j) nazywamy punktem Nyquista. W pewnych przypadkach wygodniej jest posługiwać tzw. regułą lewej strony, która mówi, Ŝe układ zamknięty jest stabilny, jeŝeli przy wzroście ω od do, punkt (-1,j) znajduje się w obszarze po lewej stronie wykresu G o (jw). W praktycznych zastosowaniach kryterium Nyquista jest szczególnie przydatne w przypadku, gdy układ otwarty jest stabilny. MoŜna wtedy korzystać z przebiegu charakterystyki G o ( jω) układu otwartego zdjętej doświadczalnie, co pozwala na badanie stabilności takŝe układu, którego opis matematyczny nie jest znany. Przykład 1 PokaŜemy obszar płaszczyzny zmiennej zespolonej zakreślany przez charakterystykę amplitudowo fazową stabilnego modelu. 1 T ( s), zmiana pulsacji ω od - do s + 1 Punkt Nyquista nie naleŝy do obszaru zakreślonego przez charakterystykę czyli nie jest przez nią obejmowany. W związku z tym po zamknięciu pętlą sprzęŝenia zwrotnego powstały układ nadal będzie stabilny, co wynika z tw. Nyquista. Transmitancja układu zamkniętego : T ( s) 1 Tz ( s) <- układ jest nadal stabilny, s- 1 + T ( s) s +

2 .5 Nyquist Diagram.4.. Imaginary Axis Real Axis Komendy w Matlabie: Tstf([1],[1 1]); nyquist(ts); Przykład RozwaŜmy układ niestabilny. Zbadamy moŝliwość ustabilizowania modelu układu o transmitancji :.1s + 1 T ( s) Pierwiastki równania charakterystycznego tego modelu to : s +.5s.5 s 1-1, s.5 Wynika stąd, Ŝe model jest niestabilny. W celu ustabilizowania układu opisanego transmitancją T(s) zastosujemy sprzęŝenie zwrotne. Przed zamknięciem pętli sprzęŝenia zwrotnego naleŝy sprawdzić, wykorzystując twierdzenie Nyquista, czy ten zabieg moŝe spowodować ustabilizowanie układu. Z wykonanej charakterystyki widać, Ŝe punkt Nyquista jest nią obejmowany jednokrotnie podczas zmiany pulsacji od - do. PoniewaŜ badany układ ma jeden pierwiastek w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej, wiec na mocy tw. Nyquista wiadomo, Ŝe po zamknięciu pętli sprzęŝenia zwrotnego układ ten stanie się stabilny. Po zamknięciu pętli sprzęŝenia zwrotnego uzyskujemy układ o transmitancji :

3 .1s + 1 Tz ( s), którego pierwiastki leŝą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s +.6s +.5 zespolonej s 1 -.+j,64 oraz s -.-j,64 oraz.5 Nyquist Diagram.4.. Imaginary Axis Komendy w Matlabie: Tstf([.1 1],[ ]); nyquist(ts); Tszfeedback(Ts); Proots([1.6.5]); Przykład Obiekt o transmitancji G( s) s + s k + s + 1 Real Axis pracuje w układzie zamkniętym z regulatorem proporcjonalno-całkującym o transmitancji G r 1 k p 1 + Ti s

4 G r 1 k p 1 + Ti s G( s) s + s k + s + 1 Rys. Błąd! Nie zdefiniowano zakładki. Schemat układu zamkniętego z obiektem statycznym trzeciego rzędu i regulatorem PJ Transmitancja układu otwartego G ( s) G ( s) G( s) o r Rozpatrzymy dwa przypadki regulacji: z regulatorem nastawionym na działanie wyłącznie proporcjonalne i drugi z regulatorem proporcjonalno-całkującym. a) Przyjmiemy wzmocnienie obiektu k 1 oraz wyłączamy działanie całkujące regulatora przez nastawienie czasu izodromu T i. Stąd mamy G o ( s) s k + s p + s + 1 Za pomocą polecenia nyquist z pakietu MATLAB-a, wykonamy wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych układu otwartego Go(jw) dla trzech wartości wzmocnienia regulatora k p, i 4. 1 W ykres Nyquista Go(jw) Q(w) kp w kp kp Rys. Błąd! Nie zdefiniowano zakładki. Charakterystyki amplitudowo-fazowe układu otwartego Go(jw) dla k p,, 4 P(w)

5 Wykresy Nyquista układu otwartego Go(jw) obejmują trzy charakterystyczne przypadki regulacji. W pierwszym z nich dla k p charakterystyka Go(jw) przy zwiększaniu częstotliwości ω od do nie obejmuje punktu (-1,j) układ zamknięty jest wtedy stabilny. W drugim przypadku dla k p charakterystyka G(jw) przechodzi przez punkt (- 1,j) układ jest na granicy stabilności. Wreszcie dla k p 4 charakterystyka Go(jw) przy wzroście ω od do obejmuje punkt (-1,j) układ po zamknięciu sprzęŝenia zwrotnego będzie niestabilny. Potwierdzenie tego znajdujemy przez stwierdzenie połoŝenia biegunów transmitancji układu zamkniętego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Wyznaczamy transmitancję układu zamkniętego Go ( s) Gz ( s) 1+ G ( s) s o + s k p + s + k A stąd równanie charakterystyczne układu M z ( s) s + s + s + k p + 1 p + 1 Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego za pomocą polecenia roots z pakietu MATLAB-a, dla k p mamy s s j s j Jak widać wszystkie pierwiastki mają części rzeczywiste ujemne, czyli istotnie układ zamknięty spełnia warunek konieczny i dostateczny stabilności. Obliczamy z kolei pierwiastki dla k p s 1 -. s j s j W tym przypadku występują pierwiastki urojone sprzęŝone, zatem układ zamknięty jest na granicy stabilności. W końcu dla k p 4, mamy pierwiastki s s j s j Tym razem występują pierwiastki zespolone sprzęŝone, których części rzeczywiste są dodatnie, wobec tego układ zamknięty jest dla tego przypadku niestabilny. Innym sposobem jak najbardziej wizualnym, zaprezentowania reakcji układu zamkniętego na zakłócenie w postaci skoku jednostkowego przyłoŝonego do jego wejścia, jest przedstawienie przebiegów charakterystyk skokowych.

6 6 4 Reakcja układu zamkniętego na skok jednostkowy dla kp dla kp4 dla kp W yjscie Czas [sek] Rys. Błąd! Nie zdefiniowano zakładki. Odpowiedzi układu zamkniętego z regulatorem proporcjonalnym na zakłócenie na wejściu w postaci skoku jednostkowego b) Zbadamy teraz stabilność układu zamkniętego z regulatorem proporcjonalnocałkującym dla stałego wzmocnienia regulatora kp 1 i róŝnych wartości czasu izodromu. Wykonujemy charakterystyki amplitudowo-fazowe układu otwartego G o kk p ( Ti s + 1) ( s) T s( s + s + s + 1) i

7 .5 W ykres Nyquista Go(jw) Ti -1.5 Ti 1 Q(w) Ti, w Rys. 4 Charakterystyki amplitudowo-fazowe układu otwartego Go(jw) z regulatorem proporcjonalno-całkującym przy k p 1 dla czasu izodromu T i,8, 1 i Układ otwarty jest w tym przypadku astatyczny ze względu na akcję całkującą regulatora. Charakterystyka Nyquista biegnie po ujemnych wartościach od minus nieskończoności do zera przy zwiększaniu częstotliwości od zera do nieskończoności. P(w) JeŜeli wykres G o (jw) przechodzi przez punkt (-1,j), to układ zamknięty jest na granicy stabilności, a na jego wyjściu występują drgania o ustalonej amplitudzie, jak na wykresie dla T i 1 na rys. 5. Transmitancja układu zamkniętego z regulatorem PI przyjmuje postać: Gz ( s) T s i 4 + T s i kk p i i + T s ( T s + 1) + T s(1 + kk i p ) + kk p

8 Stąd dla przyjętych wartości parametrów układu otrzymujemy przebiegi charakterystyk skokowych jak na rys Charakterystyka skokowa 4 Ti 1 Ti Ti,8 Odpowiedz Czas [sek] Rys. 5 Reakcja układu zamkniętego z regulatorem proporcjonalno-całkującym na zakłócenie na jego wejściu w postaci skoku jednostkowego Zbadamy teraz połoŝenie biegunów transmitancji układu zamkniętego z regulatorem proporcjonalno-całkującym. PosłuŜymy się tym razem poleceniem pzmap MATLAB-a, które tworzy wykres na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z zaznaczonymi biegunami i zerami transmitancji układu zamkniętego. Jak widać na rys. 6 dla Ti,8 dwa bieguny transmitancji mają części rzeczywiste dodatnie, więc układ zamknięty jest dla tej wartości czasu izodromu niestabilny. Dla Ti 1 układ ma dwa bieguny połoŝone na osi urojonej, zatem jest na granicy stabilności. I wreszcie dla Ti wszystkie bieguny leŝą w lewej półpłaszczyźnie, czyli układ jest w tym przypadku stabilny.

9 Bieguny dla Ti,8 Zero dla Ti,8 Ti 1 Ti 1 Ti Ti Mapa zer i biegunów Imaginary Axis Real Axis Rys. Błąd! Nie zdefiniowano zakładki. Rozkład biegunów i zer transmitancji układu zamkniętego Zapas stabilności Nyguist Zapas wzmocnienia Gm odwrotność długości odcinka wyznaczonego przez początek układu współrzędnych oraz punkt przecięcia wykresu Nyquista z ujemną półosią Re(G(jω)). Zapas fazy Pm kąt między półprostą wychodzącą z początku układu współrzędnych i przechodzącą przez punkt przecięcia wykresu Nyquista z kołem jednostkowym.

10 Wyznaczenie zapasu wzmocnienia i zapasu fazy na podstawie wykresów Bodego Zapas wzmocnienia Gm (ang. gain margin) wartość wzmocnienia, dla którego faza osiąga Jego wartość oznacza o ile moŝna zwiększyć wzmocnienie zanim stracimy stabilność. Zapas fazy Pm (ang. phase margin) wartość fazy dla częstotliwości, przy której zmocnienie wynosi 1 ( db). Jego wartość oznacza o ile moŝna zmniejszyć przesunięcie fazowe zanim stracimy stabilność. W celu wyznaczenia zapasu fazy naleŝy wyznaczyć tzw. pulsację odcięcia, tj. pulsacje,która spełnia warunek lg M(ωo) a następnie określić fazę Φ(ωo). Zapasem fazy określa się sumę f 18 - Φ(ωo) [deg] Jeśli jest ona dodatnia układ jest stabilny z zapasem fazy f, który mówi o tym, o ile moŝna zwiększyć fazę układu otwartego bez zmiany jego wzmocnienia, aby układ pozozstawał jeszcze stabilnym. Zapas modułu moŝna wyznaczyć określając ω dla której Φ(ω -Π) -18 deg a następnie pomierzyć dla tej samej pulsacji moduł Lm(ω -Π). Jest on równy zapasowi modułu, gdyŝ właśnie o tyle moŝna zwiększyć moduł w układzie, aby przy niezmiennej fazie pozostawał on stabilny. Aby wyznaczyć, o ile moŝna zwiększyć wzmocnienie układu otwartego, naleŝy skorzystać z zaleŝności: LmlgK.

11 Przykład 4 Model o transmitancji : s +.5 K ( s) s(.1s +.7s +.) Wyznaczyć zapas amplitudy i fazy na charakterystyce Bodego. K s) s(.1s s s +.).1s s +.5 ( 4 Komendy w Matlabie: Kstf([1.5],[.1.7. ]) Figure(1),margin(Ks); kroots([.1.7. ]) figure(),nyquist(ks); +.7s +.s

12 5 Bode Diagram Gm Inf, Pm -4. deg (at 1.8 rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Biegunami modelu są liczby s 1, s -7.6, s.1+j.651, s 4.1-j.651 Model ten jest niestabilny, co rozpoznajemy po wartościach biegunów modelu. Dwa z nich (s,s4) znajdują się w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej. Według tw. Nyquista zamknięcie pętli sprzęŝenia zwrotnego ustabilizuje model tylko wtedy, gdy charakterystyka modelu dwukrotnie obejmuje punkt Nyquista przy zmianie pulsacji od - do. PoniewaŜ charakterystyka fazowa znajduje się poniŝej linii odpowiadającej przesunięciu fazowemu π to punkt Nyquista nie jest obejmowany przez nią ani razu. Objęcie danego modelu pętlą sprzęŝenia zwrotnego nie ustabilizuje go. Charakterystykę pokazano poniŝej.

13 6 Nyquist Diagram 4 Imaginary Axis Real Axis Kryterium stabilności Michałowa Układ jest stabilny asymptotycznie, jeŝeli charakterystyka amplitudowo-fazowa mianownika transmitancji przebiega kolejno, w lewo przez tyle ćwiartek płaszczyzny zespolonej s ile wynosi stopień tego mianownika., tzn charakterystyki układów stabilnych przebiegają kolejno, w lewo przez tyle ćwiartek płaszczyzny ile wynosi ich rząd, gdy pulsacja dąŝy do nieskończoności.