Technika regulacji automatycznej

Transkrypt

1 Technika regulacji automatycznej Wykład 3 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 32

2 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego rzędu Pasmo przenoszenia Stabilność w dziedzinie częstotliwości Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym 2 z 32

3 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego rzędu Pasmo przenoszenia Stabilność w dziedzinie częstotliwości Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym 2 z 32

4 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego rzędu Pasmo przenoszenia Stabilność w dziedzinie częstotliwości Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym 2 z 32

5 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego rzędu Pasmo przenoszenia Stabilność w dziedzinie częstotliwości Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym 2 z 32

6 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego rzędu Pasmo przenoszenia Stabilność w dziedzinie częstotliwości Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym 2 z 32

7 Plan wykładu Wprowadzenie Układ pierwszego rzędu Układ drugiego rzędu Pasmo przenoszenia Stabilność w dziedzinie częstotliwości Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym 2 z 32

8 Projektowanie regulatorów w dziedzinie częstotliwości Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: Stabilność i wymagania jakościowe są prezentowane na tym samym wykresie. Możemy używać rzeczywistych pomiarów (FRF) zamiast modelu w formie transmitancji. Projektowanie jest niezależne od rzędu układu. Regulatory dla układów z opóżnieniami też możemy projektować bez większych trudności. Metody graficzne (analiza i synteza z użyciem odpowiednich diagramów) jest relatywnie łatwa. 3 z 32

9 Układ pierwszego rzędu Własności: Jeden biegun w ( a) G(s) = Pasmo przenoszenia ω BW = a Odpowiedź skokowa Y (s) = 1 s a s + a a s + a = 1 s 1 s + a y(t) = (1 e at )u(t) 4 z 32

10 Układ pierwszego rzędu Odpowiedź częstotliwościowa i skokowa Przykładowa transmitancja G(s) = 2 s + 2 Bode Diagram Step Response 2.9 Magnitude (db) ω BW =2[rad/sec] Amplitude T R =.5 sec Phase (deg) Frequency (rad/sec) Time (sec) 5 z 32

11 Układ drugiego rzędu ω 2 n G(s) = s 2 + 2ζ ω n s + ωn 2 gdzie ζ - współ. tłumienia względnego ω n - pulsacja drgań własnych (nietłumionych) lokalizacja biegunów s 1,2 = ζ ω n ± jω n 1 ζ 2 dla ζ > 1 oba bieguny są rzeczywiste dla ζ = 1 oba bieguny są identyczne i rzeczywiste dla < ζ < 1 bieguny są zespolone i sprzężone. 6 z 32

12 Układ drugiego rzędu Odpowiedź częstotliwościowa Przykładowa transmitancja G(s) = 1 s 2 +.6s + 1 Bode Diagram 1 Magnitude (db) 1 2 ω BW M R 3 45 Phase (deg) z Frequency (rad/sec)

13 Układ drugiego rzędu Własności układu pulsacja rezonansowa (dla ζ 1 2 ) Moduł rezonansowy (dla ζ 1 2 ) pasmo przenoszenia ω R = ω n 1 2ζ 2 1 M R = 2ζ 1 ζ 2 ω BW = ω n (1 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4ζ Dla < ζ < 1 to.64ω n < ω BW < 1.55ω n. Dla ζ = 1 2 to ω BW = ω n. 8 z 32

14 Układ drugiego rzędu Odpowiedź skokowa Przykładowa transmitancja G(s) = 1 s 2 +.6s Mp +/- 5% M P - wartość (moduł) przeregulowania.8.6 POS = 1[(M P y( ))/y( )] Tr Tp Ts 9 z 32 T P - czas max. przeregulowania T S - czas regulacji T R - czas narastania

15 Układ drugiego rzędu Odpowiedź skokowa (dziedzina częstotliwości) Y (s) = 1 s G(s) = 1 s Odpowiedź skokowa (dziedzina czasu) y(t) = 1 s + 2ζ ω n (s + ζ ω n ) 2 + ω 2 n(1 ζ 2 ) e t/τ 1 ζ 2 cos(ω dt ϕ d ), t > gdzie σ = ζ ω n - tłumienie względne τ = 1/ sigma - stała czasowa ω d = ω n 1 ζ 2 - pulsacja tłumiona ϕ = sin 1 ζ 1 z 32

16 Pasmo przenoszenia Pasmem przenoszenia (ang. bandwidth) - częstotliwość (ω BW ) przy której wzmocnienie układu zamkniętego = 3dB. Jednak korzystając z metod odpowiedzi częstotliwościowej oczekujemy określenia odpowiedzi układu zamkniętego na podstawie odpowiedzi układu otwartego. Na podstawie odpowiedzi układu 2-ego rzędu, możemy przyjąć, iż pasmo przenoszenia odpowiada częstotliwości dla której wzmocnienie układu otwartego jest pomiędzy 6 i 7.5dB (przyjmując, że przesuniecie fazowe dla tego wzmocnienia jest pomiędzy 135 o i 225 o ). 11 z 32

17 Pasmo przenoszenia Przykład Transmitancja układu zamkniętego G cl = 1 s 2 +.5s Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) ω BW =1.4[rad/sec] 12 z Frequency (rad/sec)

18 Pasmo przenoszenia Przykład dla ω < ω BW dla ω > ω BW 1.5 Wyjscie 1.5 Wyjscie Wymuszenie Wymuszenie z 32

19 Pasmo przenoszenia Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ ) i czasem ustalania(t S ) ω BW = ω n (1 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4 ζ ω n = 4 T s ζ ω BW *T S z ζ

20 Pasmo przenoszenia Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ ) i czasem max. przeregulowania (T P ) ω BW = ω n (1 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4 ζ π ω n = T p 1 ζ ω BW *T P z ζ

21 Układ drugiego rzędu Wpływ zmian położenia biegunów Dla danej transmitancji ω 2 n G(s) = s 2 + 2ζ ω n s + ωn 2 = ω 2 d + σ 2 s 2 + 2σs + ω 2 d + σ 2 X +j d s 1,2 = ζ ω n ± jω n 1 ζ 2 X n -j d θ = cos 1 ζ ζ = cosθ 16 z 32

22 Układ drugiego rzędu Wpływ zmian σ ω d = 1, σ = {.5,1,1.5} Step Response Singular Values 1.4 σ= σ=1. σ= σ=.5 σ=1. 1 σ=1.5 Amplitude Singular Values (db) Time (sec) Frequency (rad/sec) 17 z 32

23 Układ drugiego rzędu Wpływ zmian ω d σ = 1, ω d = {.5,2.5,4.5} Step Response Singular Values 1.5 ω d =.5 ω d =2.5 ω d =.5 ω d =2.5 ω d =4.5 5 ω d =4.5 Amplitude 1 Singular Values (db) Time (sec) Frequency (rad/sec) 18 z 32

24 Układ drugiego rzędu Wpływ zmian ζ ω n = 2, θ = {3,45,6} Step Response 1 Singular Values θ=3 Amplitude θ=3 θ=45 θ=6 Singular Values (db) θ=45 θ= Time (sec) 14 Frequency (rad/sec) 1 19 z 32

25 Układ drugiego rzędu Wpływ zmian ω n ζ = 1 2, ω n = { 2 2, 2,5 2} Step Response Singular Values ω n =.77 ω n =1.41 ω n =7 Amplitude.8.6 ω n =.77 ω n =1.41 ω n =7 Singular Values (db) Time (sec) Frequency (rad/sec) 2 z 32

26 Stabilność w dziedzinie częstotliwości Problem Czy badając transmitancję w otwartej pętli L(s) = K(s)G(s) możemy ustalić stabilność układu zamkniętego? G cl = K(s)G(s) 1 + K(s)G(s) Uwagi: Łatwo rozwiązać powyższy problem korzystając z linii pierwiastkowych Jak znaleźć warunek w dziedzinie częstotliwości odpowiadający ulokowaniu wszystkich biegunów w lewej półpłaszczyźnie zespolonej? 21 z 32

27 Zapas wzmocnienia i fazy Zapas wzmocnienia Zmiana wzmocnienia w układzie otwartym (K(s)G(s)) potrzebna aby układ zamknięty był niestabilny. Układy z większym zapasem wzmocnienia są bardziej odporne (ang. robust) na zmiany parametrów układu zanim układ zamknięty będzie niestabilny. 22 z 32

28 Zapas wzmocnienia i fazy Zapas fazy Zmiana fazy w układzie otwartym (K(s)G(s)) potrzebna aby układ zamknięty był niestabilny. Zapas fazy określa tolerancję układu na opóźnienia. Opóźnienia większe niż 18/ω pc (ω pc - częstotliwość przy którym przesunięcie fazowe = 18 o ) w pętli powodują niestabilność układu zamkniętego. 23 z 32

29 Zapas wzmocnienia i fazy Przykład K(s) = 5,G(s) = 1 s 3 + 9s 2 + 3s Bode Diagram Gm = 13.3 db (at 5.48 rad/sec), Pm = 11 deg (at 1.85 rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) z Frequency (rad/sec)

30 Zapas wzmocnienia i fazy Zmieniając wzmocnienie układu (K(s) = 5(1 )) nie musimy kreślić nowego wykresu Bode go aby odczytać zapas fazy. Wystarczy na utworzonym już wykresie sprawdzić zapas fazy dla 4dB (4dB odpowiada wzmocnieniu 1 razy). 5 Bode Diagram Gm = 26.7 db (at 5.48 rad/sec), Pm = 59.6 deg (at 16.9 rad/sec) Magnitude (db) 5 Phase (deg) Frequency (rad/sec) 25 z 32

31 Wskaźniki jakościowe Określanie wskaźników jakościowych układu zamkniętego: musimy zapewnić stabilność układu otwartego jeśli będziemy używać diagramów Bode go. sprawdzamy czy ω gc < ω pc ) aby stwierdzić czy układ zamknięty będzie stabilny. dla układu 2-ego rzędu, współczynnik tłumienia (układu zamkniętego) jest w przybliżeniu równa PM/1 (jeśli PM= 6 o. dla układu 2-ego rzędu, istnieją zależności pomiędzy współczynikiem tłumienia, pasmem przenoszenia i czasem ustalania. w przybliżeniu możemy przyjąć że pasmo przenoszenia będzie równe częstotliwości drgań własnych. 26 z 32

32 Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym d r - K u G z y n Definicje sygnałów r - sygnał referencyjny d - zakłócenia n - szum czujników z - regulowane wyjście y - mierzone wyjście Problem: Uzyskanie najmniejszego błędu regulacji (r z) 27 z 32

33 Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym Wyjście układu Z(s) = K(s)G(s) 1+K(s)G(s) R(s)+ 1 1+K(s)G(s) D(s) K(s)G(s) 1+K(s)G(s) N(s) Definiując bład regulacji e = r z otrzymujemy oraz E(s) = 1 1+K(s)G(s) R(s) 1 1+K(s)G(s) D(s) + K(s)G(s) 1+K(s)G(s) N(s) U(s) = K(s) (R(s) D(s) N(s)) 1+K(s)G(s) 28 z 32

34 Ograniczenia sterowania Można pokazać, że gdzie e = r z = S(r d) + Tn S(s) = (1+G(s)K(s)) 1 ; T (s) = 1 S(s) = (1+G(s)K(s)) 1 G(s)K(s) Głowne cele sterowania Dobre śledzenie sygnału referencyjnego (dla niskich częstotliwości < ω BW ) G(jω)K(jω) 1 S(jω) 1 or T (jw) 1 Dobre tłumienie zakłóceń (dla wysokich częstotliwości) 29 z 32 G(jω)K(jω) 1 T (jω) 1

35 Cele i ograniczenia regulacji (sterowania) Cel regulacji Zaprojektować regulator K tak aby błąd regulacji pozostawał mały. Oznacza to, że będziemy dążyć aby S i T były małe w tych zakresach częstotliwości gdzie spektrum sygnałów r i n są małe. Ograniczenia S +T = 1 (błąd e nie może być mały dla wszystkich czestotliwości) log S(jω) dω = - jakość sterowania (ang. performance) vs. odporność (ang. robustness) 3 z 32

36 Cele regulacji I Sygnał z musi śledzić r (ang. tracking). II Odporność na zmiany parametrów układu. III Tłumić wpływ zakłóceń (oraz niemodelowanej dynamiki) IV Tłumić wpływ szumu pomiarowego n open loop (L) I II III,IV Magnitude (db) c omplementary sensitivity (T) -2-4 s ensitivity (S) 31 z Frequency (rad/sec)

37 Cele regulacji Imag M s = S(jω) d 1/GM d =1 1 M s PM ζ =2sin 1 ( 1 M s ) -1 1/M s s cg Real Czyli M s GM 1 d = M s 1 PM cp L(j ) M s < 2 GM > 2 i PM > 3 o 32 z 32