Funkcja liniowa - podsumowanie

Transkrypt

1 Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych niezależnych), natomiast oś nazywa się osią rzędnych (oś zmiennych zależnych). Funkcją, która odwzorowuje zbiór na zbiór, nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi (tzw. argumentowi funkcji) odpowiada dokładnie jeden element (jest to wartość funkcji dla danego argumentu). Zbiór wszystkich elementów należących do zbioru X (wszystkich argumentów funkcji) nazywa się dziedziną funkcji D. Zbiór wszystkich wartości danej funkcji (dla wszystkich jej argumentów) nazywa się przeciwdziedziną funkcji. Miejsce zerowe funkcji - miejsce przecięcia wykresu funkcji z osią X (osią zmiennych niezależnych). W miejscu tym wartość funkcji jest zerowa, tzn. jest to punkt o współrzędnych. Symboliczny zapis funkcji odwzorowującej zbiór X na zbiór : Możliwe sposoby przedstawienia funkcji: a. graf (użyteczny, jeżeli zbiór argumentów składa się ze stosunkowo małej liczby argumentów, których wartości są liczbami nie tworzącymi zbioru ciągłego) b. tabelka (uwaga jak wyżej; zgodna z powyższym grafem!) x y Funkcja liniowa - podsumowanie Strona 1

2 c. wykres (zgodny z grafem i tabelką; żółte punkty na układzie współrzędnych) X -5 UWAGA: Wykresem funkcji jest zbiór wszystkich punktów, których współrzędne (jeśli ) dane są następująco: d. zapis w postaci wzoru:, np.. Funkcję daną wzorem: 2. Funkcja liniowa w postaci kierunkowej - własności nazywa się funkcją liniową. gdzie: a - współczynnik kierunkowy prostej. Jeżeli to funkcja jest malejąca, natomiast dla to mamy do czynienia z funkcją rosnącą, dla mamy do czynienia z funkcją stałą. b - wartość tego współczynnika określa współrzędne punktu przecięcia z osią (osią rzędnych). Funkcja liniowa - podsumowanie Strona 2

3 Możliwe przypadki przedstawiono na poniższych wykresach X X X 3 1: 1: 1: 2: 2: 2: 3: 3: 3: Jeżeli dwie proste mają takie same wartości współczynników kierunkowych a, to są one do siebie równoległe. W sytuacji gdy iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równy minus jeden, to takie proste są do siebie prostopadłe: W przypadku różnych wartości współczynników kierunkowych, dwie proste są względem siebie skośne, to znaczy przecinają się. Wartość współczynnika kierunkowego jest związana również z kątem nachylenia prostej względem dodatniej półosi osi X (osi odciętych). Jeżeli dwie proste mają różne dodatnie wartości tego współczynnika, to na wykresie bardziej stromy przebieg ma prosta o większej wartości a (większa wartość kąta między daną prostą a dodatnią półosią osi X). Natomiast gdy dwie proste mają różne ujemne wartości tego współczynnika, to bardziej stromy przebieg ma prosta o większej wartości ujemnej współczynnika a. Pokazano to na poniższych wykresach. X X Funkcja liniowa - podsumowanie Strona 3

4 Funkcja liniowa dana zależnością: przecina oś rzędnych zawsze w punkcie (np. C) o współrzędnych: ma jedno miejsce zerowe, którego współrzędne (np. punkt D) dane są następująco: Jeżeli prosta przechodzi przez dwa punkty o współrzędnych i, to wartości współczynników a i b tej prostej można znaleźć rozwiązując dowolną metodą następujący układ równań: Wartość współczynnika kierunkowego prostej można również wyrazić następująco: y 2 2 y 1 1 α x 1 x 2 X Uwaga: Wartość współczynnika kierunkowego prostej mówi nam o ile zmieni się wartość tej funkcji, jeżeli wartość jej argumentu wzrośnie o 1. przy czym, jeśli:, to nastąpił wzrost wartości funkcji (funkcja rosnąca),, to nastąpił spadek wartości funkcji (funkcja malejąca),, to wartość funkcji się nie zmienia (funkcja stała). Średnia watość funkcji liniowej w rozpatrywanym przedziale wartości argumentów x, jest równa średniej arytmetycznej liczonej z wartości początkowej i końcowej tej funkcji w tym przedziale. Funkcja liniowa - podsumowanie Strona 4

5 Jeżeli wykres pewnej zależności jest liniowy i przechodzi przez początek układu współrzędnych (nie leżąc na żadnej z osi tego układu), to można również powiedzieć, że wielkości opisane na tych osiach są do siebie wprost proporcjonalne (tzw. propocjonalność prosta); prosta dana jest wtedy równanie: ( ). Oznacza to, że jeżeli wartość jednej z nich rośnie np. dwa razy, to wartość drugiej z nich też rośnie dwa razy. Inaczej mówiąc stosunek ma stałą wartość równą. Jeżeli znana jest wartość współczynnika kierunkowego prostej oraz współrzędne punktu przez który przechodzi, to równanie tej prostej dane jest w postaci: Wynika stąd, że jeśli znane są współrzędne innego punktu (np. ), przez który ta prosta przechodzi, to równanie takiej prostej dane jest zależnością: W zagadnieniach fizycznych, związanych z funkcją liniową, często przedstawiane są zmiany pewnej wielkości fizycznej od czasu, na przykład zależność prędkości od czasu czy zależność odległości ciała od punktu odniesienia. 3. Inne postacie funkcji liniowej 3.1 Postać ogólna Jeżeli funkcja liniowa zostanie przedstawiona w postaci: gdzie współczynniki A i B nie mogą równocześnie przyjmować wartości równej zero, nazywa się równaniem ogólnym prostej. Jeśli dane są dwie proste w postaci ogólnej: to: proste te są do siebie prostopadłe, jeżeli spełniony jest warunek: proste te są do siebie równoległe, jeżeli spełniony jest warunek: Funkcja liniowa - podsumowanie Strona 5

6 3.1 Postać odcinkowa Jeżeli funkcja liniowa zostanie przedstawiona w postaci: gdzie: b - wartość rzędnej punktu przecięcia rozpatrywanej funkcji liniowej z osią, c - wartość odciętej punktu przecięcia rozpatrywanej funkcji liniowej z osią X. to nazywana jest ona postacią odcinkową prostej. Uwaga: wartość współczynnika b jest taka sama, jak jego wartość w równaniu kierunkowym, wartość współczynnika c wynosi tyle co współrzędna przecięcia prostej z osią X, tzn.: każda prosta dana równaniem:, tzn. mająca przebieg pionowy nie jest funkcją! Interpretacja geometryczna postaci odcinkowej prostej: b 0 c X Zadanie domowe 1. Dana jest funkcja liniowa przechodząca przez punkty A i B (patrz: poniższy wykres): A 6 2 B X Funkcja liniowa - podsumowanie Strona 6

7 a. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B w postaci kierunkowej. [2 pkt] b. Oblicz współrzędne punktu C będącego miejscem zerowym tej funkcji. [1 pkt] c. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B w postaci odcinkowej. [1 pkt] d. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B w postaci ogólnej. [1 pkt] e. Sprawdź rachunkowo, czy punkt leży na prostej przechodzącej przez punkty A i B. [1 pkt] f. Oblicz, o ile zmieni się wartość rozpatrywanej funkcji, jeżeli wartość jej argumentu wzrośnie o 15. [1 pkt] g. Oblicz odległość punktu A od początku układu współrzędnych. [1 pkt] h. Napisz równanie prostej równoległej do rozpatrywanej prostej i przechodzącej przez punkt. [1 pkt] i. Napisz równanie prostej równoległej do rozpatrywanej prostej i przechodzącej przez punkt. [1 pkt] j. Oblicz pole powierzchni trójkąta ograniczonego wykresem tej prostej i osiami układu współrzędnych. [1pkt] k. Oblicz wartość parametru m, dla którego prosta, będzie się przecinać z rozpatrywaną prostą w punkcie o współrzędnych. [1pkt] l. Znajdź współrzędne punktu przecięcia rozpatrywanej prostej z prostą [2 pkt]: 2. Funkcję opisaną w poniższej tabelce, przedstaw w postaci grafu i na wykresie. [2 pkt] x y Zależność szybkości samochodu od czasu ruchu opisuje równanie: [m/s]. a. Oblicz wartość prędkości samochodu w chwili początkowej. [1pkt] b. Po upływie ilu sekund ruchu szybkość samochodu wyniesie 10 m/s? [1pkt] c. Oblicz wartość zmiany prędkości samochodu pomiędzy czwartą a ósmą sekundą ruchu samochodu. [1pkt] d. Oblicz wartość szybkości samochodu po upływie 20 sekundy ruchu. [1pkt] e. Narysuj wykres tej zależności dla. [2pkt] 4. *Miasta A i B znajdują się w odległości 200 km od siebie. O godzinie z miasta A wyjechał samochód i jadąc ze stałą prędkością 100 km/h skierował się do miasta B. O godzinie z miasta B wyjechał motorowerzysta i jadąc ze stałą prędkością 50 km/h skierował się do miasta A. O której godzinie nastąpi ich spotkanie na drodze? Rozwiąż zadanie rachunkowo i graficznie, zakładając, że początek układu odniesienia ( np. osi X) znajdował się w połowie odległości między tymi miastami. [6 pkt] Funkcja liniowa - podsumowanie Strona 7