Funkcja jest różnowartościowa w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom funkcja ta przyporządkowuje różne wartości.

Transkrypt

1 Gdy mamy daną funkcję, poza określeniem jej dziedziny i miejsca zerowego możemy badad szczególne własności, takie jak: monotonicznośd, różnowartościowośd, parzystośd, nieparzystośd. Na temat monotoniczności znajdziesz informacje w zasobie Podstawowe pojęcia - własności funkcji 1. Zajmiemy się teraz różnowartościowością. Definicja 1 Funkcja jest różnowartościowa w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom funkcja ta przyporządkowuje różne wartości. Przykład 1 Wykaż, że funkcja a) jest różnowartościowa w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, b) nie jest różnowartościowa w zbiorze liczb rzeczywistych. Rozwiązanie: a) Założenia: nierównośd jest równoważna nierówności:. Teza: Funkcja jest różnowartościowa w podanym zbiorze. Na mocy definicji funkcji różnowartościowej wystarczy udowodnid, że przy podanych założeniach wartości funkcji są różne. Udowodnimy nierównośd równoważną, czyli. Dowód: albowiem - na mocy założenia 1, - zgodnie z założeniem 2 oraz iloczyn liczb różnych od zera jest liczbą różna od zera. Ponieważ dla dowolnych, różnych, dodatnich liczb rzeczywistych odpowiadające im wartości funkcji są różne, to na mocy definicji funkcja f jest różnowartościowa w zbiorze. b) Aby wykazad, że funkcja nie jest różnowartościowa w zbiorze R, wystarczy wskazad dwa różne argumenty, dla których odpowiadające im wartości funkcji są równe. Przyjmijmy zatem np. i. Oczywiście. Obliczamy, podobnie. Zatem: dla różnych argumentów wartości funkcji są równe, więc funkcja nie jest różnowartościowa w zbiorze R. Ćwiczenie 1 Udowodnij, że funkcja a) jest różnowartościowa w zbiorze, b) nie jest różnowartościowa w zbiorze R. Funkcje nie tylko dla maturzystów Barbara Chudolińska Strona 1

2 Mając wykresy, możemy łatwo określid, która z funkcji jest różnowartościowa. Poniższe wykresy stanowią ilustrację problemu. W przypadku funkcji różnowartościowej dowolna prosta o równaniu przecina wykres co najwyżej w jednym punkcie (patrz rys.1.1). Jeśli funkcja nie jest różnowartościowa, istnieją proste równoległe do osi x (przynajmniej jedna), które przecinają wykres funkcji w więcej niż jednym punkcie (rys.1.2). Rys.1.1 Wykres funkcji różnowartościowej Rys.1.2 Wykres funkcji, która nie jest różnowartościowa Z różnowartościowością związane jest istnienie funkcji odwrotnej do danej. Definicja 2 Jeśli funkcja jest różnowartościowa i odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, to funkcję określoną następująco: dla dowolnego wartością jest jedyny element taki, że, nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f. Funkcję, która ma funkcję odwrotną, nazywamy odwracalną. Funkcją odwrotną do funkcji jest funkcja. Aby otrzymad wzór funkcji odwrotnej do funkcji należy: wyznaczyd x w zależności od y, zamienid zmienne aby można było narysowad wykresy w tym samym układzie współrzędnych. Przykład 2 Wyznacz funkcję odwrotną do funkcji i narysuj obydwa wykresy. Przekształcamy wzór ; Funkcje nie tylko dla maturzystów Barbara Chudolińska Strona 2

3 otrzymujemy kolejno:,, teraz zamieniamy zmienne, otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej :. Poniżej znajduje się ilustracja przykładu: Rys.1.3 Wykresy funkcji i To, co łatwo zauważyd na powyższym rysunku, że wykresy funkcji: danej i odwrotnej są symetryczne względem prostej y =x zachodzi nie tylko dla przypadku wyżej omówionego, ale dla dowolnej pary funkcji wzajemnie odwrotnych. Rys.1.4 Jeszcze jedna para wykresów funkcji wzajemnie odwrotnych. Funkcje nie tylko dla maturzystów Barbara Chudolińska Strona 3

4 Ćwiczenie 2 Zbadaj, czy funkcja niej odwrotną. jest różnowartościowa. Jeśli tak, to wyznacz funkcję do Kolejne własności, które omówimy, to parzystośd i nieparzystośd funkcji. Definicja 3 Funkcja jest parzysta w zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna również należy do dziedziny tej funkcji oraz wartości funkcji dla danego argumentu x i dla argumentu przeciwnego są równe. Symbolicznie możemy zapisać: Funkcja f jest parzysta w zbiorze Rys.1.5 Wykres funkcji parzystej Z definicji wynika, że wykres dowolnej funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y. Zatem, aby sporządzid wykres funkcji parzystej, wystarczy narysowad wykres dla argumentów nieujemnych a następnie przekształcid go przez symetrię względem osi y. Przykład 3 Wykaż, że a) funkcja jest parzysta w zbiorze liczb rzeczywistych b) funkcja nie jest parzysta w, c) funkcja nie jest parzysta w zbiorze. Funkcje nie tylko dla maturzystów Barbara Chudolińska Strona 4

5 Rozwiązanie: a) Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zatem dla dowolnego argumentu argument przeciwny. Wystarczy więc sprawdzid, czy. Obliczamy więc: zbiorze.. Zatem na mocy definicji funkcja jest parzysta w b) Dziedziną funkcji jest zbiór, zatem istnieje element należący do dziedziny, który nie ma w tej dziedzinie elementu przeciwnego. Jest nim np. argument 3 lub 4. Wobec tego funkcja nie jest parzysta w zbiorze, c) Dziedzina jest zbiorem symetrycznym względem zera, zatem dowolny argument posiada w niej element do siebie przeciwny. Sprawdzamy, czy. Otrzymujemy:, warunków definicji.. Zatem funkcja nie jest parzysta, ponieważ nie jest spełniony jeden z Ćwiczenie 3 Wykaż, ze funkcja: a) funkcja jest parzysta w zbiorze liczb rzeczywistych b) funkcja nie jest parzysta w, c) funkcja nie jest parzysta w zbiorze. Definicja 4 Funkcję nazywamy nieparzystą w zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna również należy do dziedziny tej funkcji oraz wartości funkcji dla danego argumentu x i dla argumentu przeciwnego są liczbami przeciwnymi. Symbolicznie możemy zapisać: Funkcja f jest nieparzysta w zbiorze Funkcje nie tylko dla maturzystów Barbara Chudolińska Strona 5

6 Z definicji wynika, że wykres dowolnej funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych O =(0,0). Zatem, aby sporządzid wykres funkcji nieparzystej, wystarczy narysowad wykres dla argumentów nieujemnych a następnie przekształcid go przez symetrię względem punktu O =(0,0). Poniższy rysunek stanowi ilustrację funkcji nieparzystej. Przykład 4 Rys.1.6 Wykres funkcji nieparzystej. Wykaż, że funkcja jest nieparzysta w zbiorze liczb rzeczywistych różnych od zera. Dziedziną funkcji jest zbiór. Jest to zbiór symetryczny względem zera, zatem każdy argument z tego zbioru ma w nim element przeciwny. Sprawdzamy zatem drugi warunek definicji. Obliczamy:. Zatem na mocy definicji funkcja f jest nieparzysta w zbiorze. Ćwiczenie 4 Udowodnij, że jest nieparzysta w zbiorze liczb rzeczywistych różnych od -1 i 1. Zajmijmy się wreszcie funkcjami okresowymi, które są bardzo przydatne do opisu zjawisk, w których pewne wielkości cyklicznie się powtarzają. Mają zastosowanie głównie w fizyce, biologii, chemii. Funkcje nie tylko dla maturzystów Barbara Chudolińska Strona 6

7 Definicja 5 Funkcję f nazywamy okresową w dziedzinie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczba x+t również należy do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi równośd f(x + T) = f(x). Liczba T nazywana jest okresem tej funkcji. Symbolicznie możemy zapisad: Funkcja jest okresowa. Najmniejszą liczbę dodatnią T o własności podanej w definicji nazywamy okresem zasadniczym. Poniżej znajdują się przykłady wykresów funkcji okresowych: Przykład 5 Rys. 1.7 Funkcja okresowa o okresie T =. Rys. 1.8 Funkcja okresowa o okresie T =. Funkcje nie tylko dla maturzystów Barbara Chudolińska Strona 7