UKŁADY JEDNOWYMIAROWE. Część II UKŁADY LINIOWE Z OPÓŹNIENIEM

Transkrypt

1 UKŁADY JEDNOWYMIAROWE Część II UKŁADY LINIOWE Z OPÓŹNIENIEM 1

2 8. Wprowadzenie do części II W praktyce występują układy regulacji, których człony mogą przejawiać opóźnioną reakcję na sygnał wejściowy. Rozróżniamy dwa rodzaje reakcji i członów: człony z opóźnieniem skupionym, człony z opóźnieniem rozłożonym. Człony z opóźnieniem skupionym nie powodują zniekształcenia sygnałów w czasie, a tylko przesuwają je wzdłuż osi czasu. Z reakcjami tego typu mamy najczęściej do czynienia w procesach transportu i mieszania.

3 Człony z opóźnieniem rozłożonym powodują deformację sygnałów zależną od miejsca i czasu. Z reakcjami tego typu mamy najczęściej do czynienia w procesach przesyłania energii liniami o znacznej długości, na przykład elektrycznymi, cieplnymi, pneumatycznymi i hydraulicznymi. Będziemy rozpatrywać wyłącznie człony z opóźnieniem skupionym, a opóźnienie skupione będziemy nazywać krótko opóźnieniem. Ponadto założymy, że opóźnienie w obiekcie regulacji ma charakter dominujący, a ewentualne opóźnienia w pozostałych członach układu są pomijalnie małe. 3

4 zu( t)..... zy( t) wt () ε( t) Regulator ut () Obiekt regulacji z opóźnieniem yt () vt () Człon pomiarowy Rys Ogólny schemat blokowy układu regulacji z opóźnieniem 4

5 Przyjmijmy funkcje przejścia członów układu: G r (s) K r (1 1 T s i T d s) G o (s) T z K e s 1 -s H(s) K z K r, K, K z współczynniki wzmocnienia, T i, T d, T z stałe czasowe, τ czas opóźnienia. 5

6 Ws ( ) K r 1+ 1 Us () Ts+Td s i Z () u s Z ( s ) y K e -τs Ys () Ts+1 z K z Rys. 8.. Szczegółowy schemat blokowy układu regulacji z opóźnieniem i funkcjami przejścia 6

7 G s s +1.18s+1 y1 y1 t w G s s +1.18s+1 Tau_.5 y y G s s +1.18s+1 Tau_ 5.0 y3 y3 G s s +1.18s+1 Tau_ 7.5 y4 y4 Rys Schematy blokowe układów G1, G, G3 i G4 do badań symulacyjnych 7

8 y1, y, y3,y4 Pobudzając układy skokowym sygnałem wymuszającym, możemy zaobserwować wyraźny wpływ wzrostu czasu opóźnienia na pogorszenie się właściwości eksploatacyjnych układów y y3 1.0 y 0.5 y Czas [s] Rys Charakterystyki skokowe układów G1, G, G3 i G4 8

9 W porównaniu z układami bez opóźnienia może wystąpić: wzrost przeregulowania i czasu regulacji, pojawienie się drgań typowych dla granicy stabilności, niestabilna praca układu. 9

10 9. Przykłady członów z opóźnieniem Przykład 9.1 Jako pierwszy przykład rozważymy zawór dozujący, będący fragmentem układu regulacji stężenia związku chemicznego w roztworze wodnym, jak na rysunku. 10

11 roztwór stężony czysta woda c k 1 v l c roztwór wodny czujnik Rys Schemat zaworu dozującego 11

12 Właściwe proporcje składników występują już w punkcie 1 zaworu dozującego, jednak ze względu na konieczność wymieszania się składników układ pomiarowy znajduje się w punkcie. Stężenie c k określone w punkcie 1 zostanie zarejestrowane w punkcie jako wartość c po upływie czasu τ wynoszącego l v c Stąd sposób opóźnionej reakcji możemy zapisać c(t) ck (t - ) 1

13 Przykład 9. kotlina walcownicza h k v p h l czujnik Rys. 9.. Fragment układu stabilizacji grubości walcowanego pasma schemat walcowania w klatce duo 13

14 Jako drugi przykład rozważymy fragment układu stabilizacji grubości walcowanego pasma. Właściwa grubość walcowanego pasma h k zostaje wytworzona w kotlinie walcowniczej. Poza tą kotliną nie ma deformacji wymiarów pasma, więc reakcja czujnika mierzącego wartość h będzie opóźniona o czas τ wynoszący l v p Wtedy h(t) hk (t - ) 14

15 Przykład 9.3 m k v m czu jnik m l Rys Schemat przenośnika taśmowego 15

16 Jako trzeci przykład weźmiemy fragment układu regulacji grubości warstwy materiału na przenośniku taśmowym Zmiana grubości warstwy, a więc zmiana masy transportowanego materiału zachodzi w urządzeniu zasypowym i zarejestrowana jest przez czujnik po upływie czasu l v m Reakcja czujnika jest więc opóźniona w czasie m(t) m k(t - ) 16

17 Krótkie podsumowanie W pokazanych przykładach czas opóźnienia wynikał głównie z konieczności przetransportowania medium (cieczy, metalu, sypkiego materiału itp.) z miejsca, w którym zadanie regulacyjne zostało wykonane do miejsca, w którym zaistniała zmiana mogła zostać zarejestrowana. Taki czas opóźnienia nosi często nazwę opóźnienia transportowego. 17

18 10. Model matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Wcześniejsze wzory zapiszemy ogólnie w postaci y(t) y k (t - ) Funkcję przejścia układu członu można wyznaczyć na podstawie twierdzenia o przesunięciu wzdłuż osi czasu G s (s) Y(s) Y (s) k - s e 18

19 y k A y 0 y t A y 0 τ t 19 Rys Sygnał wejściowy i odpowiedź członu z opóźnieniem

20 Dla wyznaczenia charakterystyk częstotliwościowych wyznaczamy widmową funkcję przejścia członu G s (j ) e -j Wobec tego: G s s (j ) 1 argg s (j ) 0

21 jimgs ( jω) 3 π τ 1 π τ π τ 0 Re G ( s jω ) ω π τ Rys Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu z opóźnieniem 1

22 LmGs ( j ω) [db] lg ( ) ω ω φ s [rad] π - 6 π π π - π π 3π 4π 5π π 7π 8π 6τ 6τ 6τ 6τ 6τ τ 6τ 6τ lg ( ) ω ω - 5 π 6τ -π - 7 π 6-8 π 6 Rys Charakterystyki logarytmiczne amplitudowa i fazowa członu z opóźnieniem

23 Na podstawie tych charakterystyk można stwierdzić, że układy z opóźnieniem są układami nieminimalnofazowymi. Układy minimalnofazowe rozpatrywane w I części miały dwie charakterystyczne cechy: 1) na podstawie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej można było przewidzieć kształt logarytmicznej charakterystyki fazowej, ) charakterystyka fazowa zmierzała do skończonej wartości, gdy ω zmierzała do nieskończoności. 3

24 Układy nieminimalnofazowe rozpatrywane obecnie w II części mają również dwie cechy charakterystyczne: 1. nie można przewidzieć kształtu logarytmicznej charakterystyki fazowej na podstawie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej, ) charakterystyka fazowa zmierza do minus nieskończoności, gdy ω zmierza do nieskończoności. 4

25 11. Wybrane obiekty z opóźnieniem Obiekt inercyjny pierwszego rzędu Funkcję przejścia obiektu inercyjnego pierwszego rzędu z opóźnieniem zapisujemy w postaci G o (s) Y(s) U(s) K Ts e 1 - s 5

26 Charakterystyka czasowa skokowa Transformata odpowiedzi Y(s) U(s)G o (s) A u 1 s K Ts e 1 -s Po wyznaczeniu oryginału y(t) otrzymujemy: y(t) y(t) 0 KA u 1 - e t - - T dla dla t t 6

27 y KA u 0.98KA u 0.63KA u 0 τ T+τ 4 T+ τ t Rys Charakterystyka skokowa obiektu inercyjnego z opóźnieniem 7

28 Charakterystyki częstotliwościowe Widmowa funkcja przejścia obiektu, jej moduł i argument G o (j ) K 1 jt e - j G o (j ) K 1 jt e - j K 1 jt e - j K 1 T o argg o (j ) argk - arg(1 jt) arge 0 arctg T - arctg T - -jt 8

29 jimgo ( jω) K Re Go ( jω ) ω= 0 -ωτ i ω i τ =0 τ > 0 ω i Rys Charakterystyka amplitudowo-fazowa obiektu inercyjnego 9 z opóźnieniem

30 1. Aproksymacja właściwości obiektów wyższego rzędu za pomocą modeli zawierających opóźnienie 1.1. Aproksymacja właściwości obiektów wyższego rzędu bez opóźnienia za pomocą modeli niższego rzędu z opóźnieniem 30

31 Do obiektów wyższego rzędu bez opóźnienia zaliczymy między innymi obiekt inercyjny i całkujący z inercją. Ich modele zastępcze są następujące: G o (s) (T s 1 K 1)...(T n s 1) K s e ( T s 1) z G o (s) s(t s 1 K 1)...(T n s 1) K s(t s z s e 1) T z zastępcza stała czasowa, τ zastępczy czas opóźnienia. 31

32 Parametry zastępczego modelu obiektu inercyjnego wyższego rzędu na podstawie charakterystyki skokowej KA u y 0.63KA u P τ T z o t Rys Charakterystyka skokowa inercyjnego obiektu regulacji 3

33 Na podstawie rysunku możemy określić wszystkie współczynniki zastępczej funkcji przejścia, mianowicie: Współczynnik wzmocnienia dany jest znanym wzorem K ( KA A u u ) Pozostałe parametry zastępcze można wyznaczyć bezpośrednio z charakterystyki jak pokazano na rysunku

34 1.1.. Parametry zastępczego modelu obiektu całkującego z inercją wyższego rzędu na podstawie charakterystyki skokowej y 0.368KA u T β =arctgk A u 0 τ T+τ t Rys. 1.. Charakterystyka skokowa obiektu całkującego z inercją wyższego rzędu 34

35 Na podstawie rysunku możemy określić wszystkie współczynniki zastępczej funkcji przejścia, mianowicie: Współczynnik wzmocnienia dany jest znanym wzorem K tg A u Pozostałe parametry zastępcze można wyznaczyć ze wzorów T z (0.368KAuT 0.368tg (T z ) T z z ) 35

36 Parametry zastępczych modeli obiektów na podstawie ich funkcji przejścia 36

37 Lp. Tabela 1.1. Parametry zastępczych modeli obiektów inercyjnych wyższych rzędów Funkcja przejścia G o (s) K (Ts 1) T z T T G o (s) a G o (s) K (ats 1)(Ts 1) K (Ts 1) 3 a 37

38 Tabela 1.. Parametry zastępczych modeli obiektów całkujących z inercjami wyższych rzędów Lp. Funkcja przejścia G o (s) K s(ts 1) T z T T G o (s) a G o (s) K s(ats 1)(Ts 1) K s(ts 1) 3 a 38

39 1.. Aproksymacja właściwości obiektów inercyjnych wyższego rzędu z opóźnieniem za pomocą modeli niższego rzędu z opóźnieniem 39

40 Do obiektów inercyjnych wyższego rzędu z opóźnieniem możemy zaliczyć obiekty o jednakowych stałych czasowych, opisane funkcją przejścia G o (s) (T n K s 1) n - n e s Przybliżenia tego modelu mogą być następujące G o (s) K (T s 1) e s G o (s) (T K s 1) - e s 40

41 1..1. Parametry zastępczych modeli obiektów na podstawie charakterystyki skokowej KA u y 0.70KA u 0.33KA u 0 t 0.33 t t Rys Charakterystyka skokowa obiektu 41

42 Współczynnik wzmocnienia w obu modelach zastępczych wynosi K (KA A Dla jednej stałej czasowej mamy wzory: u u ) T (t 1.498t t 0.33 ) t 0.70 Dla dwóch identycznych stałych czasowych mamy: T 0.794(t 1.937t t 0.33 ) t

43 Parametry zastępczych modeli obiektów na podstawie ich funkcji przejścia n s - n n o n e 1 s T K (s) G s o 1 e 1 T s K (s) G s - o e 1 s T K (s) G n 1 T T n n 1 T n T T n n T

44 13. Stabilność układów z opóźnieniem Wprowadzenie Układ regulacji jest stabilny wtedy, gdy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste ujemne lub mają ujemną część rzeczywistą, czyli leżą w lewej części płaszczyzny zmiennej zespolonej. 44

45 13.. Kryterium Nyquista Ws () Gs () Ys () Hs () Rys Schemat blokowy układu regulacji Równanie charakterystyczne układu, konwencjonalnie i widmowo 1 H(s)G(s) 0 1 H(j )G(j ) 0 45

46 a) jimh( jω) G( jω) b) jimh( jω) G( jω) -1, j0 ReH( jω) G( jω) -1, j0 ReH( jω) G( jω) Rys Charakterystyki amplitudowo-fazowe w układzie otwartym: a) układu stabilnego b) układu niestabilnego Badany układ regulacji jest stabilny, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa w układzie otwartym nie obejmuje punktu (-1, j0) 46

47 Kryterium Nyquista, oprócz zbadania stabilności, umożliwia także wyznaczenie krytycznego czasu opóźnienia. Krytycznym czasem opóźnienia nazywamy czas opóźnienia powodujący utratę stabilności układu regulacji. Zagadnienie to ilustrują charakterystyki amplitudowofazowe kilku układów dla różnych czasów opóźnienia. 47

48 jimh( jω) G( jω) -1, j0 K ReH( jω) G( jω) τ τ < kr τ>τ kr τ τ = kr Rys Charakterystyki amplitudowo-fazowe w układzie otwartym dla różnych wartości czasów opóźnienia 48

49 -1, j0 jimh( jω) G( jω) G ReH( jω) G( jω) ω π φ=-π Rys Fragment charakterystyki amplitudowo-fazowej układu w otoczeniu granicy stabilności 49

50 Dla granicy stabilności, czyli dla punktu G, warunek na moduł i argument widmowej funkcji przejścia wynoszą: H(j )G(j ) arg H(j )G(j ) 1 (13.3) - (13.4) Warunki (13.3) i (13.4) są układem równań, przy czym: warunek (13.3) służy zwykle do wyznaczenia pulsacji na granicy stabilności, warunek (13.4) umożliwia wyznaczenie krytycznego czasu opóźnienia. 50

51 Przykład 13.1 Rys Schemat blokowy układu regulacji przekształcony do postaci z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym Zbadać stabilność układu regulacji dla danych: KK T z z 1 [s] [s] 51

52 Rozwiązanie Transmitancja operatorowa i widmowa w układzie otwartym H(s)G(s) - KK e s z st s 1 z H(j )G(j ) KK z j 1 jt z e - j Moduł i argument transmitancji widmowej (liczby zespolonej): H(j )G(j ) arc tgt KK 1 T z z z 5

53 Po podstawieniu: H(j )G(j ) 1 arc tg Na podstawie tych wzorów sporządzono dwie charakterystyki 1. Bez opóźnienia (krzywa zielona).. Z opóźnieniem (krzywa czerwona). 53

54 jimh( jω) G( jω) j ReH( jω) G( jω) Rys Charakterystyki amplitudowo-fazowe w układzie otwartym j -4 j j ω=0.0 [1/ s] τ= [ s] -8 j ω=0.0 [1/ s] τ=0 [ s] 54

55 Podsumowanie Z rysunku widać, że 1. Charakterystyka układu bez opóźnienia świadczy o stabilności układu.. Charakterystyka układu z opóźnieniem świadczy o niestabilności układu, a więc o istotnym wpływie czasu opóźnienia na właściwości układu. 55

56 Przykład 13. Wyznaczyć krytyczny czas opóźnienia poprzednio rozpatrywanego układu. Rozwiązanie Warunek modułu (13.3) i argumentu (13.4) analizowanego układu wynoszą KK z 1 T z 1 arc tg T z kr 56

57 Z warunku modułu otrzymujemy 1 T z 1 4T z KK z [1/s] Z warunku argumentu otrzymujemy kr arc tg T z 0.54 [s] 57

58 Praktycznie taki sam wynik można otrzymać za pomocą Matlaba. W tym celu obydwa warunki zapisujemy w postaci liczbowej: 1 arc tg 1 kr Traktując ten zapis jak układ równań, napiszemy w konwencji Matlaba i otrzymamy 58

59 eq1= /(omega*sqrt(1+omega^))=1 eq= -atan(omega)-omega*tau= [omega,tau]=solve(eq1,eq, omega,tau ) omega = [ *i] [ ] tau = [ *i] [ ] Rozwiązaniem zadania są wartości rzeczywiste, mianowicie: omega = [1/s] tau = [s] 59