Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.

Transkrypt

1 Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem. Gdybyśmy rozpatrywali dziedzinę funkcji podpierwiastkowej x + mx + m 1, to stwierdzilibyśmy, że zbiorem jej argumentów jest zbiór liczb rzeczywistych (niezależnie od tego, jaką wartość przyjmowałby parametr m). Musimy jednak uwzględnić fakt, że ta funkcja kwadratowa znajduje się pod pierwiastkiem. Dlatego musimy wykluczyć sytuację, w której wyrażenie x + mx + m 1 przyjmuje wartości ujemne, czyli wyrażenie to musi mieć wartości dodatnie (może też być równe zeru): x + mx + m 1 0. Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m. -> Musimy teraz odpowiedzieć sobie na pytanie, kiedy wyrażenie x + mx + m 1 przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie lub równe zeru. Wyrażenie x + mx + m 1 ma postać funkcji kwadratowej. Ponieważ współczynnik a tej funkcji jest dodatni, to jej wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi do góry. Chcemy, aby wszystkie wartości funkcji x + mx + m 1 były dodatnie lub równe zeru. Będzie tak wtedy, gdy funkcja ta nie będzie mieć miejsc zerowych (wtedy cały wykres będzie się znajdować nad osią x-ów) lub gdy funkcja będzie mieć jedno miejsce zerowe (wykres stykać się będzie z osią x tylko w jednym punkcie dla wszystkich pozostałych argumentów wartości funkcji będą dodatnie). Czyli chodzi nam o jedną z dwóch sytuacji: wykres 1a wykres 1b (Gdyby funkcja miała dwa miejsca zerowe, to część wykresu przebiegałaby pod osią x, więc wyrażenie x + mx + m 1 nie przyjmowałoby wartości dodatnich lub równych zeru dla wszystkich wartości x). Wiadomo, że funkcja kwadratowa będzie mieć co najwyżej jedno miejsce zerowe, gdy wyróżnik trójmianu x + mx + m 1 będzie mniejszy lub równy zeru. (Dla < 0 nie mamy miejsc zerowych, dla = 0 mamy jedno miejsce zerowe.) Otrzymujemy stąd warunek: 0. Obliczamy wyróżnik: = m 4 1 ( m 1) = m 4m + 4. Warunek przybiera więc postać: m 4m > Musimy teraz zbadać, kiedy wyrażenie m 4m + 4 ma wartości mniejsze lub równe zeru. 1

2 Jest tak wtedy, gdy wykres funkcji ( m) = m 4m + 4 f przebiega pod osią m-ów oraz tam, gdzie się z nią pokrywa. Aby naszkicować wykres funkcji f(m) (lub po prostu: aby rozwiązać nierówność m 4m ), musimy znaleźć jej miejsca zerowe (lub: rozwiązania równania m 4m + 4 = 0 ). Obliczmy więc wyróżnik: 4 m = = 0. 4 Funkcja f(m) ma więc jedno miejsce zerowe równe: m 0 = =. 1 Wykres funkcji znajduje się nad osią m (dodatni współczynnik a) pokrywając się z nią tylko w punkcie m : 0 = wykres Warunek m 4m spełnia więc tylko jedna wartość wyrażania ta, dla której m wynosi. Podsumujmy, (1) w pierwszym kroku otrzymaliśmy warunek x + mx + m 1 0 (jest to warunek, który musi być spełniony, by dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 był zbiór liczb rzeczywistych) () z warunku (1) otrzymaliśmy warunek m 4m (warunek (1) może być spełniony tylko wtedy, gdy spełniony będzie warunek () wtedy wykres funkcji f ( x) = x + mx + m 1 nie będzie w żadnym momencie znajdować się pod osią OX) (3) z warunku () otrzymaliśmy warunek m = (warunek () może być spełniony tylko wtedy, gdy m wynosić będzie rozwiązaliśmy tu po prostu nierówność m 4m ). Uwaga: Zauważmy, że na dwóch pierwszych rysunkach rozważaliśmy wykresy funkcji f(x), a na drugim wykres funkcji f(m). Są to funkcje określone na dwóch różnych zbiorach zmiennych. Ważne jest, aby nam się to nie pomieszało. Warunek m = jest już ostateczną odpowiedzią. Ale co właściwie ta odpowiedź nam mówi? Wracając do treści zadania: poszukiwaliśmy takiej wartości parametru m, dla którego dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Jeśli szukaną wartości jest liczba, tzn. że dla innych wartości parametru m dziedziną funkcji ( x) = x + mx + m 1 f nie może być cały zbiór liczb rzeczywistych. Warto się zastanowić, dlaczego tak jest. Aby się przekonać o poprawności odpowiedzi, rozważmy konsekwencje przyjęcia kilku możliwych wartości parametru m.

3 W przypadku, którego poszukiwaliśmy (m = ) wyrażenie x + mx + m 1 przyjmuje postać x + x + 1. Wykres funkcji f ( x) = x + x + 1 wygląda następująco: wykres 3 Jak widać, funkcja f ( x) = x + x + 1 nie przyjmuje nigdy wartości ujemnych. Dzięki temu, że każdy y jest większy od zera, dla każdej wartości tej funkcji możemy obliczać wartość wyrażenia y. Narysujmy zatem wykres funkcji ( x) = x + x + 1 f : wykres 4 Jak widać, wykres nie jest zbyt skomplikowany. 3

4 Łatwo go narysować, gdy zauważy się, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest rozwinięciem wzoru skróconego mnożenia: x + x + 1 = ( x + 1 ), więc: ( ) ( ) A zatem: f ( x) = x + 1 f ( x) = x + 1 f x = x + x + 1 = x Wykres takiej funkcji wygląda jak wykres funkcji liniowej, z tym, że jego część ujemna jest odbita nad oś x-ów. Rozważmy przypadki, gdy m przyjmuje wartość mniejszą i większą od. Jeśli m = 1, to f ( x) = x + mx + m 1 = = x + x = x + x. Funkcja f ( x) = x + x ma dwa miejsca zerowe: x 1 = 1, x = 0. Ponieważ współczynnik przy x jest dodatni, to wykres tej funkcji (wykres 5) przebiega nad osią OX za wyjątkiem obszaru x ( 1,0 ). Zatem w obszarze x ( 1,0 ) funkcja ( x) = x x f + (wykres 6) nie przyjmuje żadnych wartości, bo nie można wyciągać pierwiastka z liczb ujemnych. Więc dziedziną tej funkcji nie jest cały zbiór liczb rzeczywistych. wykres 5 wykres 6 4

5 Dla m = 4 mamy: f ( x) = x + 4x = = x + 4x + 3. Funkcja f ( x) = x + 4x + 3 ma dwa miejsca zerowe: x 1 = 3, x = 1. Jej wykres (wykres 7) przebiega nad osią OX za wyjątkiem obszaru x ( 3, 1). Podobnie jak w poprzednim przykładzie, funkcja f(x) = x + 4x + 3 nie przyjmuje wartości w obszarze x ( 3, 1) (wykres 8). wykres 7 wykres 8 Rozważywszy kilka przypadków różnych wartości parametru m, wróćmy do dwóch początkowych wykresów. Poszukując sytuacji, w której funkcja f(x) = x + mx + m 1 nie będzie przyjmować wartości ujemnych (wykres 1a i 1b), znaleźliśmy tylko jedną taką możliwość: gdy m wynosi funkcja f(x) ma postać f ( x) = x + x + 1 ; jej wykres (wykres 3) to właśnie drugi z rozważanych przypadków, czyli wykres 1b. Przypadek ten zachodzi wtedy, gdy funkcja f(m) = m 4m + 4 styka się z osią OM (wykres ). 5

6 Ponieważ funkcja f(m) nie przyjmuje wartości ujemnych (co widać na wykresie ), to wyróżnik trójmianu x + mx + m 1 nie może mieć wartości mniejszej od zera, zatem funkcja f(x) = x + mx + m 1 nie może mieć wykresu takiego, jaki przedstawiony jest na wykresie 1. Wyróżnik trójmianu x + mx + m 1 przyjmuje natomiast wartości większe od zera dla każdego m poza m =, np. dla m = 1 czy m = 4 (jak widać na wykresie ). Dla takich wartości m funkcja f(x) = x + mx + m 1 ma dwa pierwiastki (przecina oś OX). Przykładami wykresów takich funkcji są wykresy 5 i 7. Wszystkie te rozważania podporządkowane były odnalezieniu przypadku, w którym dziedziną wyjściowej funkcji f ( x) = x + mx + m 1 będzie cały zbiór liczb rzeczywistych. Na podstawie powyższych rozważań można stwierdzić, że będzie tak w przypadku, gdy funkcja ta przyjmie postać ( x) = x + x + 1 f (wykres 4). We wszystkich innych przypadkach, np. w przypadku gdy funkcje ma postać f ( x) = x + x czy f(x) = x + 4x + 3, dziedziną funkcji f(x) nie będzie cały zbiór liczb rzeczywistych, co widać na wykresach 6 i 8. 6