K p. K o G o (s) METODY DOBORU NASTAW Metoda linii pierwiastkowych Metody analityczne Metoda linii pierwiastkowych

Transkrypt

1 METODY DOBORU NASTAW Metody analityczne Metoda linii pierwiastkowych Metody doświadczalne Metoda Zieglera- Nicholsa Wzmocnienie krytyczne Metoda linii pierwiastkowych Metoda linii pierwiastkowych (metoda miejsc geometrycznych pierwiastków) - umoŝliwia wyznaczenie połoŝenia pierwiastków równania charakterystycznego układu zamkniętego na podstawie rozmieszczenia zer i biegunów transmitancji układu otwartego. Ze zmianą wzmocnienia układu otwartego pierwiastki te poruszają się po liniach pierwiastkowych, będących miejscem geometrycznym pierwiastków. Rozpatrzymy układ ze sprzęŝeniem zwrotnym W(s E( Regulator U( Obiekt Y( p o G o ( Transmitancja układu zamkniętego wynosi G Z Y ( ( W ( pg( + G ( p

2 Równanie charakterystyczne, którego pierwiastki są biegunami transmitancji ma postać + p G( Pierwiastki układu zamkniętego zaleŝą od współczynnika wzmocnienia p, tym samym moŝemy mieć wpływ na odpowiedź dynamiczną układu zamkniętego przez dobór odpowiedniej wartości p. RozwaŜmy mechanizm konstruowania wykresu pierwiastków przy wykorzystaniu wzmocnienia jako zmiennego parametru. ZałoŜymy, Ŝe transmitancja układu otwartego p G ( jest funkcją wymierną, licznik ma postać p b(, gdzie b( jest wielomianem stopnia m b( s m + b s m m bm ( s z)( s z2)...( s zm) ( s zi ) i Mianownik jest wielomianem a( n-tego stopnia, a n m a( s n + a n n s an ( s pi ) i Dla potrzeb analizy załoŝono, Ŝe wzmocnienie obiektu jest dodatnie, oraz zdefiniujmy parametr miejsca geometrycznego jako p Miejsca zerowe (pierwiastki) b( są zerami transmitancji G Z ( i oznaczamy je jako z i, podobnie miejsca zerowe (pierwiastki) a( są biegunami transmitancji G Z ( i oznaczamy je jako p i. MoŜna teraz przedstawić połoŝenie pierwiastków równania na kilka moŝliwych sposobów. aŝde z poniŝszych równań ma te same pierwiastki + G ( b( + a( a ( + b( G( Równania te określa się często jako formuły pierwiastków równania charakterystycznego. 2

3 Linia pierwiastkowa jest zbiorem wartości s, dla których w powyŝszych równaniach zachowana jest dodatnia wartość (oraz p ). Rozwiązaniami równań są pierwiastki układu zamkniętego, więc moŝna powiedzieć, Ŝe metoda linii pierwiastkowych jest sposobem wnioskowania o własnościach układu zamkniętego na podstawie transmitancji układu otwartego G ( Metoda Zieglera- Nicholsa Ziegler i Nichols zauwaŝyli, Ŝe odpowiedź skokowa większości układów sterowania ma kształt podobny do tego z rysunku a. rzywa ta moŝe być otrzymana z danych eksperymentalnych lub symulacji dynamicznej obiektu. rzywa o kształcie S jest charakterystyczna dla układów wyŝszych rzędów. Transmitancja G( st e O Ts + (*) aproksymuje układy wyŝszych rzędów prostym układem I rzędu z dodatkowym opóźnieniem To wyraŝonym w sekundach. Stałe w równaniu (*) mogą być określone z odpowiedzi skokowej procesu. Jeśli styczna narysowana jest w punkcie przegięcia krzywej odpowiedzi, wówczas nachylenie linii jest wyznaczane ze wzoru R/T, a przecięcie stycznej z osią czasu określa czas opóźnienia T o. W tej metodzie wybór parametrów regulatora opiera się na współczynniku zanikania równym w przybliŝeniu.25. Oznacza to, Ŝe dominująca składowa przejściowa zanika do jednej czwartej swojej wartości maksymalnej po jednym okresie oscylacji (rys. 2). Takie zanikanie odpowiada współczynnikowi ζ.2 w układzie II rzędu i wartość ta ustalona została na zasadzie kompromisu pomiędzy szybką odpowiedzią i wystarczającym zapasem stabilności. Autorzy symulowali równania dla róŝnych układów na komputerze analogowym i stroili parametry regulatorów, aŝ uzyskali odpowiedzi przejściowe zanikające do 25% poprzedniej wartości w jednym okresie. Metoda Zieglera-Nicholsa bazująca na odpowiedzi skokowej daje dobre rezultaty, gdy spełniony jest następujący warunek :.5 < T T O <.6 3

4 (rys. ) (rys. 2) Wzmocnienie krytyczne Wzmocnienie krytyczne to wzmocnienie regulatora proporcjonalnego, który połączony szeregowo z obiektem spowoduje znalezienie się układu zamkniętego na granicy stabilności (pojawiają się niegasnące drgania okresowe). W tej metodzie kryterium strojenia parametrów opiera się na ocenie układu znajdującego się na granicy stabilności. Ten algorytm strojenia moŝe być stosowany dla układów typu posiadających rząd > 2. MoŜe być równieŝ zastosowana do samostrojenia regulatorów PID. Metoda ta moŝliwa jest do zastosowania jeśli moŝliwe jest znalezienie wzmocnienia przy którym wykres Nyquista przecina punkt krytyczny lub kiedy linia pierwiastkowa przecina oś liczb urojonych. Wzmocnienie to moŝe być znalezione eksperymentalnie, wymaga się wówczas zwiększania wzmocnienia w układzie zamkniętym aŝ na wyjściu pojawią się oscylacje o stałej amplitudzie. Jest to w niektórych zastosowaniach praktycznych bardzo niebezpieczna operacja. Zwiększa się wzmocnienie proporcjonalne aŝ zauwaŝy się oscylacje o stałej amplitudzie, odpowiada to wzmocnieniu krytycznemu kr i oscylacjom o okresie T osc. Okres oscylacji powinien być mierzony kiedy amplituda oscylacji jest dość mała. 4

5 Nastawy regulatorów według Zieglera i Nicholsa Regulator / kr T i /T os T d T os P,5 - - PI,45,83 - PID,6,5,25 Przyjęcie nastaw regulatorów z powyŝszej tabeli, pozwala uzyskać przebiegi przejściowe o charakterze zbliŝonym do przedstawionego na następnym rysunku. Przeregulowanie jest rzędu 5-2%, a liczba oscylacji nie przekracza dwóch. 5