Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa WYKŁAD 4. nazwa c.d. funktor operator
|
|
- Kamila Dąbrowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa WYKŁAD 4 awa c.d. fuktor operator 1
2 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Stosuki międy akresami aw 0. Podstawowe pojęcia algebry biorów (dystrybutywych) (prypomieie) Zbiór i elemet bioru są dla as pojęciami pierwotymi. W scególości i awse(!) elemet bioru a A a {a} a {a}. biór relacja aleŝeia elemetu do bioru Zbiór pusty. Zbiorem pustym jest biór, do którego ie aleŝy Ŝade elemet: = {x: x x}, cyli x (x ). 2
3 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Zawieraie się biorów. Zbiór A awiera się w biore B wtedy i tylko wtedy, gdy kaŝdy elemet bioru A jest elemetem bioru B: A B wtw x (x A x B). Zatem, biór pusty awiera się w kaŝdym biore, takŝe w sobie samym: PoiewaŜ A x (x x A), (tw. puste spełieie implikacji = implikacja o fałsywym poprediku jest prawdiwa [patr dalej]) więc A. W scególości. Właściwe awieraie się biorów. Zbiór A awiera się właściwie w biore B wtedy i tylko wtedy, gdy biór A awiera się w biore B ora A B: A B wtw ( x (x A x B) x (x B x A)). Niewłaściwe awieraie się bioru. KaŜdy biór awiera się w sobie iewłaściwe: A A wtw x (x A x A). 3
4 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Rówość (dwóch?) biorów. Zbiory A i B są rówe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elemety: A = B wtw (A B B A), cyli A = B wtw x (x A x B). koiecy kometar! 4
5 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Jedyość bioru pustego. Zbiór pusty jest tylko jede. Dowód: ZałóŜmy, Ŝe są dwa róŝe biory puste 1 ora 2. KaŜdy astępy wiers wyika poprediego: 1 2 (ał.) x (x 1 x 2 ) x (x 1 x 2 ) x ((x 1 x 2 ) (x 2 x 1 )) x ( (x 1 x 2 ) (x 2 x 1 )) x ((x 1 x 2 ) (x 2 x 1 )) x (x 1 x 2 ) x (x 2 x 1 ) x (x 1 x 2 ) (ał.) x (x 2 x 1 ) (ał.) (pocątek rogałęieia dowodu) a 1 a 2 b 2 b 1 a 1 b 2 a 1 ( def. b. pustego) b 2 ( def. b. pustego) a 1 a 1 b 2 b 2 a 1 (a 1 ) b 2 (b 2 ) sprecość sprecość (koiec rogałęieia dowodu) sprecość 5
6 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Suma biorów. Sumą biorów A i B jest biór do którego aleŝą wsystkie elemety A ora wsystkie elemety B (wsystkie elemety aleŝące do A lub aleŝące do B): cyli A B = {x: x A x B}, x A B wtw (x A x B). A A B B 6
7 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Suma uogólioa biorów (suma rodiy biorów). Sumą biorów rodiy {A i : i I} jest biór, do którego aleŝą wsystkie elemety wsystkich biorów rodiy {A i : i I}: cyli {A i : i I} = {x: x A i dla pewego i I}, x {A i : i I} wtw i (i I x A i ). A 1 {A i : i = 1,2,3} = A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 7
8 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Ilocy biorów (cęść wspóla). Ilocyem biorów A i B jest biór, do którego aleŝą wsystkie elemety, jedoceśie aleŝące do A i do B (wsystkie elemety aleŝące do A i aleŝące do B): A B = {x: x A x B}, cyli x A B wtw (x A x B). A A B B 8
9 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Ilocy uogólioy biorów (ilocy rodiy biorów). Ilocyem biorów rodiy {A i : i I} jest biór, do którego aleŝą wsystkie elemety jedoceśie aleŝące do wsystkich biorów rodiy {A i : i I}: cyli {A i : i I} = {x: x A i dla kaŝdego i I}, x {A i : i I} wtw i (i I x A i ). A 1 {A i : i = 1,2,3} = A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 9
10 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa RóŜica biorów. RóŜicą biorów A i B jest biór do którego aleŝą wsystkie te elemety bioru A, które ie aleŝą do bioru B (wsystkie elemety, które aleŝą do A i ie aleŝą do B): cyli A B = {x: x A x B}, x A B wtw (x A x B). A B A B 10
11 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Dopełieie bioru do diediy (ie do uiwersum!). Niech D (diedia) będie biorem, do którego ograicoe są ase rowaŝaia. Zatem, ałoŝeia dowoly rowaŝay tu biór awiera się w D. Dopełieiem Zbioru A do diediy D jest róŝica D A = A. Krócej (i gorej), dopełieiem bioru A jest biór wsystkich tych obiektów, które ie aleŝą do A: A = {x D: x A}, cyli x D (x A wtw x A). A D A 11
12 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa ZałoŜeie istieia uiwersum, cyli bioru wsystkich obiektów, prowadi do sprecości i jest ae jako paradoks bioru uiwersalego (do sprecości prowadi takŝe, ałoŝeie istieia bioru wsystkich biorów - paradoks bioru wsystkich biorów). Dlatego, kaŝdoraowo aleŝy ograicyć (tj. sprecyować) diedię rowaŝań. Diedia jest więc jedym e biorów, który wybieramy po to, aby ustalić graice asych rowaŝań. Dla prykładu, moŝa mówić o wsystkich ie-psach, ale w określoej diediie. Diedią taką moŝe być biór wsystkich istot Ŝywych, cy teŝ biór wsystkich obiektów materialych awierający biór wsystkich istot Ŝywych. Diedią ie moŝe jedak być biór wsystkich moŝliwych do pomyśleia obiektów. RowaŜaie bioru Z B wsystkich ie-psów w kotekście uiwersum, awierającego wsystkie obiekty prowadi, międy iymi, do wiosku, Ŝe biór te aleŝy do siebie, jako Ŝe ie jest psem, a więc jest ie-psem,. Zatem, Z B Z B. Oaca to, Ŝe Z B ie jest biorem ormalym. Wyjaśieie: Zbiór uiwersaly, to biór wsystkich obiektów. Zatem, kaŝdy biór awiera się w biore uiwersalym i kaŝdy biór aleŝy do bioru wsystkich biorów. 12
13 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Niekiedy, biór postrega się jako wyacoy pre pewą własość A = {x: ϕ(x)} a własość jako wyacoą pre pewie biór ϕ(x) wtw x A. Jedak w ogólości achodi jedyie druga aleŝość. 13
14 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Uwaga presąd! w tym sesie, Ŝe pojęcia biór i własość są wajemie astępowale, 1. KaŜdej własości odpowiada biór tych i tylko tych obiektów, które posiadają tę własość (ieprawda) [ϕ(x) wtw x A] ora 2. KaŜdemu biorowi odpowiada własość jaką posiadają wsystkie jego elemety i tylko oe (prawda) [A = {x: ϕ(x)}] Własości biorów dystrybutywych iealeŝeia do siebie ie odpowiada Ŝade biór! Faktycie, ałóŝmy Ŝe istieje biór Z, wsystkich tych biorów, które ie aleŝą do siebie: Z = {x: x x} Cy biór Z aleŝy do siebie? Jeśli tak, to jest oa biorem który do siebie ie aleŝy. Jeśli ie, to jest o biorem, który do siebie aleŝy. Atyomia Russella: Z Z wtw Z Z Zatem, pojęcia biór i własość ie są wajemie astępowale! 14
15 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 1. Stosuek podrędości akresu awy A wględem akresu awy B. Jest o araem stosukiem adrędości akresu awy B wględem akresu awy A: kaŝdy desygat awy A jest desygatem awy B i istieje desygat awy B iebędący desygatem awy A. Iymi słowy: akres awy A awiera się właściwie w akresie awy B. Prykład A = adwokat B = prawik A B KaŜdy adwokat jest prawikiem, ale ie kaŝdy prawik jest adwokatem. 15
16 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 2. Stosuek rówości (amieości) akresów aw A i B: kaŝdy desygat awy A jest desygatem awy B i kaŝdy desygat awy B jest desygatem awy A. Iymi słowy: akres awy A awiera się iewłaściwie w akresie awy B (akres awy A jest rówy akresowi awy B). Prykład A = trójkąt B = figura płaska, będąca wielokątem o sumie kątów 180 Trójkąt, to to samo, co płaski wielokąt o sumie kątów 180. A B Scególym prypadkiem stosuku rówości akresów aw jest rówość akresów aw pustych: wsystkie awy puste mają te sam akres i jest im biór pusty (pamiętamy, Ŝe biór pusty jest tylko jede). Prykład Nawami o amieych akresach są obecy król Polski, Ŝoaty kawaler, Kubuś Puchatek. 16
17 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 3. Stosuek kryŝowaia się akresów aw A i B: istieje desygat awy A będący desygatem awy B, istieje desygat awy A iebędący desygatem awy B i istieje desygat awy B iebędący desygatem awy A. Iymi słowy: cęść wspóla (ilocy) akresów aw A i B jest biorem iepustym i róŝym od kaŝdego akresów. Uwaga: stwierdeie istieje desygat awy A będący desygatem awy B jest rówowaŝe stwierdeiu istieje desygat awy B będący desygatem awy A. Prykład A = cłowiek posiadający wykstałceie prawice B = polityk A B A B tworą absolweci prawa iebędący politykami. B A tworą politycy be wykstałceia prawicego. A B tworą politycy wykstałceiem prawicym. KaŜdy tych biorów jest iepusty. A B Scególym prypadkiem kryŝowaia się akresów jest stosuek podpreciwieństwa. 17
18 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 3.1. Stosuek kryŝowaia się akresów aw A i B jest stosukiem podreciwieństwa, jeśli suma obu akresów jest rówa diediie rowaŝań, cyli ogółowi wsystkich obiektów ustaloego typu. Prykład A = ie-pies B = ie-kot A = pies [A = (A ) ] B = kot [B = (B ) ] wsystkie obiekty diediy iebędące, ai psami, ai kotami A B rowaŝań diedia A B i A B = D Stosuek kryŝowaia się akresów iebędący stosukiem preciwieństwa jest ayway stosukiem iealeŝości akresów. 18
19 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 4. Stosuek wyklucaia się (rołącości) akresów aw A i B: istieje desygat awy A, istieje desygat awy B i ie istieje desygat awy A będący desygatem awy B. Iymi słowy: cęść wspóla (ilocy) iepustych akresów aw A i B jest biorem pustym. Uwaga: stwierdeie ie istieje desygat awy A będący desygatem awy B jest rówowaŝe stwierdeiu ie istieje desygat awy B będący desygatem awy A. Prykład A = ręka B = palec A B śada ręka ie jest palcem, iymi słowy, Ŝade palec ie jest ręką. Stosuek wyklucaia się akresów moŝe mieć postać, albo preciwieństwa akresów, albo sprecości akresów. 19
20 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 4.1. Stosuek wyklucaia się akresów aw A i B jest stosukiem preciwieństwa, jeśli suma obu akresów ie jest rówa diediie rowaŝań, cyli ogółowi wsystkich obiektów ustaloego typu. Prykład A = pies B = kot wsystkie obiekty diediy iebędące, ai psami, ai kotami A B diedia rowaŝań Pytaia: Cym jest diedia? Cym powia być diedia w prypadku aaliowaia awy pies, a cym w prypadku awy prestępstwo? 20
21 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 4.2. Stosuek wyklucaia się akresów aw A i B jest stosukiem sprecości, jeśli suma obu akresów jest rówa diediie rowaŝań, cyli ogółowi wsystkich obiektów ustaloego typu. Prykład A = pies B = ie-pies A diedia rowaŝań ie-a 21
22 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Uwaga końcowa Określeia dotycące stosuków w jakich poostają akresy aw są stosowae wtórie wobec samych aw, jedak tylko wtedy, gdy stosuki akresowe uasadiają takie astosowaie. Zatem, (dla prykładu) powiemy, Ŝe: - dwie awy są sprece (preciwe, podpreciwe), jeśli ich akresy poostają w stosuku sprecości (preciwieństwa, podpreciwieństwa); - awa A jest adręda (podręda) wobec awy B, jeśli akres awy A jest adrędy (podrędy) wobec akresu awy B; itd. 22
23 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Fuktor Fuktor jest wyraŝeiem wiąŝącym wyraŝeia. UmoŜliwia więc tworeie wyraŝeń łoŝoych wyraŝeń prostsych. Fuktory mogą słuŝyć do tworeia aw, dań ora iych fuktorów. Mamy wówcas, odpowiedio, fuktory awotwórce, daiotwórce i fuktorotwórce. 23
24 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 1. Fuktory awotwórce 1.1. od jedego argumetu awowego, cyli typu Prykład: skromy... skromy adwokat 1.2. od dwóch argumetów awowych, cyli typu, Prykład:... i... adwokat i kolekcjoer 1 2 1, 2 to, co jest tworoe argumet (jede) to, co jest tworoe argumety (dwa) 24
25 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 1.3. od trech argumetów awowych, cyli typu,, Prykład:... międy... a... miasto międy Bugiem a Odrą , 2, 3 25
26 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 2. Fuktory daiotwórce 2.1. od jedego argumetu awowego, cyli typu Prykład:... premawia prokurator premawia 2.2. od dwóch argumetów awowych, cyli typu, Prykład:... wygłasa... prokurator wygłasa mowę 1 2 1, 2 26
27 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 2.3. od jedego argumetu daiowego, cyli typu Prykład: ieprawda, Ŝe... ieprawda, Ŝe Ja jest oskarŝoy iesłusie 2.4. od dwóch argumetów daiowych, cyli typu, Prykład:... i... Ja jest oskarŝoy i [Ja] potrebuje pomocy prawej 1 2 1, 2 27
28 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 3. Fuktory fuktorotwórce 3.1. od jedego argumetu fuktorowego, cyli p. typu Prykład 1: głośo... głośo premawia Prykład 2: scególie... scególie sprawy 28
29 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 3.2. od dwóch argumetów fuktorowych, cyli p. typu,, Prykład:... i... premawia i gestykuluje 2 1 2, 1 Prykład:... i... staowcy i odwaŝy 2 1 2, 1 29
30 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 30 Prykład:... i... adwokat premawia głośo i dobitie,
31 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Zadaie Sprawdź spójość sytaktycą wyraŝeia: Prebojowy i bardo odwaŝy sędia staowco preciwstawił się bosowi mafii. 31
32 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Prebojowy i bardo odwaŝy sędia staowco preciwstawił się,,,, bosowi mafii,,,, 32
33 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Fuktory daiotwórce od argumetów daiowych (spójiki) dielimy a ekstesjoale i itesjoale. Spójik jest ekstesjoaly (prawdiwościowy), gdy wartość logica daia łoŝoego, którego jest o główym fuktorem, aleŝy wyłącie od wartości logicych dań będących argumetami tego spójika. Spójik itesjoaly (ieprawdiwościowy) jest to spójik, który ie jest ekstesjoaly. 33
34 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa I.a. Spójiki ekstesjoale (iterpretacja dwuwartościowa) Asercją aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest prawdą jest, Ŝe... (A). Asercja Ap ma tę samą wartość logicą co daie p. Negacją aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest ieprawda, Ŝe... ( ). Negacja p jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy daie p jest fałsywe. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: egacja p jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy daie p jest prawdiwe. Koiukcją (egacją dysjukcji) aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest...i... ( ). Koiukcja p q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba daia p i q są prawdiwe. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: koiukcja p q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy pryajmiej jedo e dań p i q jest fałsywe. Alteratywą (egacją biegacji) aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest...lub... ( ). Alteratywa p q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba daia p i q są fałsywe. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: alteratywa p q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy pryajmiej jedo e dań p i q jest prawdiwe. 34
35 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Alteratywą rołącą (egacją rówowaŝości) aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest albo,...albo... ( ). Alteratywa rołąca p q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy daia p i q mają róŝe wartości logice. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: alteratywa rołąca p q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy daia p i q mają tę samą wartość logicą. Dysjukcją (egacją koiukcji) aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest co ajwyŝej... lub... (/). Dysjukcja p / q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba daia p i q są prawdiwe. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: dysjukcja p / q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy pryajmiej jedo e dań p i q jest fałsywe. Biegacją (egacją alteratywy) aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest ai,... ai... ( ). Biegacja p q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba daia p i q są fałsywe. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: biegacja p q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy pryajmiej jedo e dań p i q jest prawdiwe. 35
36 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Implikacją aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest jeŝeli..., to... ( ). Implikacja p q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej popredik p jest daiem prawdiwym a jej astępik q jest daiem fałsywym. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: implikacja p q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy jej popredik p jest daiem fałsywym lub jej astępik q jest daiem prawdiwym. RówowaŜością (egacją alteratywy rołącej) aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest...wtedy i tylko wtedy, gdy... ( ). RówowaŜość p q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy daia p i q mają tę samą wartość logicą. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: rówowaŝość p q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy daia p i q mają róŝe wartości logice. Symbolicie: p q Ap p p q p q p q p / q p q p q p q
37 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa I.b. Spójiki ekstesjoale (iterpretacja trójwartościowa) S.C. Kleee (1938) u - ieaa wartość logica (ukow) p q p p q p q p q p q u 0 u 1 u u u 1 u u 1 1 u u u u u u u u u 0 u 0 u u u u 1 0 u 1 u
38 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa D.A. Bochwar (1938) - beses (osese) p q p p q p q p q p q
39 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa II. Spójiki itesjoale Wartość logica dań łoŝoych, których główym fuktorem jest spójik itesjoaly ie aleŝy wyłącie od wartości logicych dań będących argumetami tego fuktora, ale rówieŝ od cyików dodatkowych. Cyiki te iterpretując recywistość, wosą pewą poalogicą treść (itesio = treść). Prykłady jest moŝliwe, Ŝe... jest koiece, Ŝe dlatego, Ŝe wie, Ŝe wiery, Ŝe podcas, gdy jest obowiąay, aby... jest akaae, aby... 39
40 Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Operator Operator jest wyraŝeiem wiąŝącym miee. UmoŜliwia więc tworeie wyraŝeń łoŝoych wyraŝeń prostsych. Prykłady operatorów daiotwórcych: operatorów awotwórcych: x > y dla kaŝdego x dla więksości x istieje x takie, Ŝe istieje dokładie jede x taki, Ŝe A B a + b biór x-ów takich, Ŝe [operatory są tu aacoe kolorem cerwoym] 40
Wprowadzenie do logiki Kategorie synaktyczne
Wprowadeie do logiki Kategorie syaktyce Marius Urbański Istytut Psychologii UAM Marius.Urbaski@.edu.pl Kategorie sytaktyce porądek recy 1 Skąd się to więło? Krótka historia pojęcia 2 Co to jest? Defiicja,
Bardziej szczegółowoIII. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Bardziej szczegółowo1. ALGEBRA Liczby zespolone
ALGEBRA Licby espoloe Opracowaie: Vladimir Marcheko WYKŁAD Postać algebraica i trygoometryca licby espoloe; dodawaie, możeie, potęgowaie i dieleie licb espoloych A+B+C (Wstęp: pochodeie licb espoloych)
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne i modele rekurencyjne w ekonomii Wykład 3
Programowaie dyamice i modele rekurecyje w ekoomii Wykład 3 Michał Ramsa sierpia 0 Stresceie Wykład treci bauje główie a [, ro 7] i dotycy wykorystaia fukcji tworacych do rowiaywaia rekurecji Materiał
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL)
arek isyński BO UŁ 007 - Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) -. Wielokryteriowa optymaliaja liniowa (WPL) Zadaniem WPL naywamy następująe adanie optymaliaji liniowej: a a m L O L L O L L a a n n
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoa) symbole logiczne (wspólne dla wszystkich języków) zmienne przedmiotowe: x, y, z, stałe logiczne:,,,,,, symbole techniczne: (, )
PROGRAMOWANIE W JĘZYU OGII WPROWADZENIE OGIA PIERWSZEGO RZĘDU Symbole języka pierwszego rzędu dzielą się a: a symbole logicze (wspóle dla wszystkich języków zmiee przedmiotowe: x y z stałe logicze: symbole
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowo, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn
EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA) RZECZYWISTA Deiicja 1,, +, u = ( x x x ) v = ( y y y ),,..., 1 2,,..., 1 2 1 1 2 2 u/ v : = x y + x y +... + xy - aywamy ilocyem skalarym Możemy go rówież oacać
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoZNAK, KATEGORIE SYNTAKTYCZNE
ROZDZIAŁ II ZNAK, KATEGORIE SYNTAKTYCZNE 4. Pojęcie aku Zak to aday pre kogoś, dostregaly mysłowo układ recy lub jawisko o określoej treści umożliwiający pewej grupie odbiorców odcytaie tej treści. Zak
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoMatematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński
Matematka Opracował: dr hab. Miecsław Kula, prof. WSBiF dr Michał Bacński I. Ogóle iformacje o predmiocie: Cel predmiotu: Celem główm kursu jest apoaie studetów wbrami diałami matematki stosowami w aukach
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoWykład 2. Kombinacje. Twierdzenie. (Liczba k elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego) C(n,k) =, gdzie symbol oznacza liczbę i n k.
Wykład 2. Krzyś wiedział a pewo, Ŝe to miejsce jest zaczarowae, bo igdy ikt ie mógł się doliczyć, ile rosło tam drzew, sześćdziesiąt trzy czy sześćdziesiąt cztery, awet kiedy po przeliczeiu przywiązywało
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Wioskowaie statystyce - estymacja treść Próba - repreetatywość próby - schematy losowaia Rokłady próby Estymacja statystyca - puktowa, prediałowa, wyacaie licebości próby Obserwacja
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoBADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ
LABORATORIU WYTRZYAŁOŚCI ATERIAŁÓW Ćiceie 0 BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SRĘŻYNY ŚRUBOWEJ 0.. Wproadeie Sprężyy, elemety sprężyste mają bardo różorode astosoaie ielu kostrukcjach mechaicych. Wykorystuje się je
Bardziej szczegółowoLOGIKA Semiotyka. Robert Trypuz. 8 października 2013. Katedra Logiki KUL. Robert Trypuz (Katedra Logiki) Semiotyka 8 października 2013 1 / 42
LOGIKA Semiotyka Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 8 paździerika 2013 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Semiotyka 8 paździerika 2013 1 / 42 Pla wykładu 1 Semiotyka jako auka 2 Zak 3 Język (w semiotyce) 4 Semiotycze
Bardziej szczegółowoPRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura
Bardziej szczegółowoDodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Bardziej szczegółowo( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoSpis treści. I. Wiadomości wstępne... 3
Spis treści I. Wiadomości wstępe... 3 II. Pojęcia ogóle wraz z twierdzeiami... 4 1. Jedostka urojoa... 4. Liczba zespoloa... 4 3. Iterpretacja geometrycza... 7 4. Moduł liczby zespoloej... 8 5. Liczba
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoMetoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.
Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ
ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoPRZEKSZTAŁCENIE ZET. definicja. nst. Stąd po dokonaniu podstawienia zgodnie z definicją otrzymamy wyrażenie jak dla ciągu.
CPS 6/7 PREKSTAŁCENIE ET Defiicja rekstałceia Prekstałceie ET jest w diediie casu dyskretego odowiedikiem ciągłego rekstałceia Lalace a w diediie casu ciągłego. Podamy dwie rówoważe defiicje rekstałceia
Bardziej szczegółowoA B - zawieranie słabe
NAZEWNICTWO: : rówoważość defcj : rówość defcj dla każdego steje! ZBIORY steje dokłade jede {,,,...} - całkowte * - całkowte be era - wmere - ujeme plus ero - recwste - espoloe A B - awerae słabe A :
Bardziej szczegółowoZ-TRANSFORMACJA Spis treści
Z-TRANSFORMACJA Spi treści. Deiicja. Pryłady traormat 3. Właości -traormacji 4. Zwiąe -traormacji traormacją Fouriera 5. Z-traormacja ygału dwuwymiarowego Deiicja -traormacji Z-traormata jet eregiem Laureta
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoLICZBY ZESPOLONE. = 0, wie c np. i v 3 = q
LICZBY ZESPOLONE W tym rodiale ajmiemy sie omówieiem defiicji i iektórych w lasości licb espoloych. Zaciemy od uwagi o charaktere historycym. W XVI w. aucoo sie rowia ywać rówaia treciego stopia. Każde
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone
Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych Rówaie kwadratowe ie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0, bo wzory ogóle wymagają wtedy obliczeia
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowoW takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
achunek prawdopodobieństwa MP6 Wydiał Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab.. Jurlewic Prykłady do listy : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo klasycne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoTemat lekcji: Utrwalenie wiadomości dotyczących rozwiązywania równań kwadratowych.
-- S C E N A R I U S Z L E K C J I Przedmiot: Matematyka Klasa: (poziom podstawowy Imię i azwisko auzyiela: Aleksadra Trzepaz Temat lekji: Utrwaleie wiadomośi dotyząyh rozwiązywaia rówań kwadratowyh. Cele
Bardziej szczegółowoModele wzrostu populacji w czasie dyskretnym
Temat wykładu: Modele wzrostu populacji w czasie dyskretym Kody kolorów: Ŝółty owe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa kometarz * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka a kieruku Biologia w SGGW
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoWykład III. Granice funkcji. f : R A R, A przedział. f określona w x. K M x. lim. lim. Granice niewłaściwe:
: R A R, A przedział A, Wykład III Graice ukcji określoa w, S \ Deiicja 3. (deiicja Caucy eo raicy ukcji) : D U,, ( ) : ot Iaczej: Uot D U K M U ot U ot K M Graice iewłaściwe: k K R D M K K R M R D De.
Bardziej szczegółowoVIII Skalmierzycki Konkurs Interdyscyplinarny Z matematyka w XXI wieku
Zadanie 3 Zad. 1 Skreśli licby, które są jednoceśnie podielne pre 2 i 3. Odcytaj litery, które najdją się pod skreślonymi licbami, tworą one bardo ważne słowa, o których wsyscy powinni pamiętać na co dień.
Bardziej szczegółowo"Liczby rządzą światem." Pitagoras
"Liczby rządzą światem." Pitagoras Def. Liczbą zespoloą azywamy liczbę postaci z= x +yi, gdzie x, y є oraz i = -1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez ={ x + yi: x, y є } Ozaczeia x= Re z częśd rzeczywista
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA ZADANIA
KOMBINATORYKA ZADANIA Magdalea Rudź 25 marca 2017 1 Zadaie 1. a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 1.1
Bardziej szczegółowoInformacje uzupełniające: Wyboczenie z płaszczyzny układu w ramach portalowych. Spis treści
S032a-PL-EU Informacje uupełniające: Wybocenie płascyny układu w ramach portalowych Ten dokument wyjaśnia ogólną metodę (predstawioną w 6.3.4 E1993-1-1 sprawdania nośności na wybocenie płascyny układu
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoLICZBY ZESPOLONE. j= -1, j = 1. Liczby zespolone będą oznaczane przez podkreślenie symbolu (litery), oznaczającej tę liczbę:
LICZBY ZESPOLONE 1. Historia licb espoloych Licby espoloe poawiły się w XVI w., w wiąku badaiami sposobów rowiąywaia rówań algebraicych treciego i cwartego stopia. Okaało się, że rowiąaia rówań treciego
Bardziej szczegółowoUmowa licencyjna na dane rynkowe - poufne
ZAŁĄCZNIK NR 4 do UMOWY LICENCYJNEJ NA DANE RYNKOWE (obowiąujący od dnia 30 cerwca 2017) CENNIK Wsystkie Opłaty predstawione w Cenniku dotycą i będą nalicane godnie e Scegółowymi Zasadami Korystania i
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoDowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01
WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoProjekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia..
Projekt z dia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dia.. w sprawie szczegółowego zakresu obowiązku uzyskaia i przedstawieia do umorzeia świadectw efektywości eergetyczej i uiszczaia
Bardziej szczegółowoSIARKA. (S, łac. sulphur)
SIARKA (S, łac. sulphur) -iemetal aleŝący do 6 grupy główej. Izotopy stabile siarki to 32 S, 33 S, 34 S i 36 S. Siarka jest iezbęda do Ŝycia. Wchodzi w skład dwóch amiokwasów kodowaych - metioiy i cysteiy
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE
WYKŁA 6 RANZYSORY POLOWE RANZYSORY POLOWE ZŁĄCZOWE (Juctio Field Effect rasistors) 55 razystor polowy złączowy zbudoway jest z półprzewodika (w tym przypadku typu p), w który wdyfudowao dwa obszary bramki
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoA = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 06/7 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trochę trudiejsze. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowo