A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

Transkrypt

1 Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycnej MAP037 wykład dr hab. A. Jurlewic WPPT Fiyka, Fiyka Technicna, I rok, II semestr Prykłady - Lista nr : Prestreń probabilistycna. Prawdopodobieństwo klasycne. Prawdopodobieństwo geometrycne.. Hasło potrebne do uyskania połącenia w sieci komputerowej składa się jednej cyfry i następnie pięciu dużych liter alfabetu angielskiego. Znaleźć prawdopodobieństwo, że osoba postronna odgadnie hasło, jeśli wiadomo, że cyfra jest nieparysta, a wśród liter są dokładnie try litery E. Ω = {(c, l,..., l ), gdie c {, 3,, 7, 9}, l i to duże litery, dokładnie 3 wśród nich to E}, F = Ω, P - prawdopodobieństwo klasycne. #Ω = () 3 () = 30, bo jest możliwości wyboru cyfry, ( ) 3 możliwości wyboru miejsc na E, (6 ) możliwości wyboru liter innych niż E na każde dwóch poostałych miejsc darenie, że osoba postronna odgadnie hasło, A = {właściwe hasło}, #A = #Ω = 0, Użytkownik karty kredytowej używa cterocyfrowego hasła dostępu. Bankomat blokuje kartę, gdy po ra treci hasło ostanie nieprawidłowo podane. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łodiej karty dostanie się na nase konto nie nając hasła? Ω = {{h, h, h 3 }, gdie h i to try różne hasła spośród 0 możliwych haseł}. F = Ω, P - prawdopodobieństwo klasycne. A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h, h 3 }} #Ω = ( ) ( ) 0 3, #A = 0. #Ω = (0 )!!(0 3)! 3!(0 3)! (0 )! = 0, Drewniany seścian, którego wsystkie boki są pomalowane na niebiesko, ropiłowano na 6 = 3 jednakowej wielkości mniejse seścianiki. Seścianiki te dokładnie wymiesano, następnie wylosowano 0 nich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie jeden wylosowanych seścianików będie miał 3 niebieskie ściany? Odpowiedź uasadnić. Ω = {{s,..., s 0 }, gdie s i to różne seścianiki spośród 6 możliwych} F = Ω, P - prawdopodobieństwo klasycne. A = {dokładnie jeden narożny} = {{narożny,s,..., s 0 }, gdie s i nie są narożne} #Ω = ( ( ) 6 0), #A = 8 6 )( 9 #Ω = ,. 679

2 . Niech Ω = {ω n, n =,,...}. Weźmy ciąg p n = c n, n =,,..., gdie > jest ustalone. Dobrać stałą c tak, aby ciąg (p n ) określał prawdopodobieństwo P na biore Ω tak, że p n = P ({ω n }). Oblicyć P ({ω,..., ω 0 }). p n 0 dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c 0 p n = c ( ) n = c n= n= = c = wtedy i tylko wtedy, gdy c = 0 Oba warunki na ciąg określający prawdopodobieństwo na Ω są spełnione dla c = P ({ω,..., ω 0 }) = 0 p n = 0 ( ) ( ) n = ( ) n= n= ( ) 0 ( ) 0 = Uwaga: Korystamy tu e woru na sumę ciągu geometrycnego: q n N = lim q n q N+ = lim = dla < q < n=0 N n=0 N q q (Tutaj 0 < q = < ). Rucamy monetą tak długo, aż upadnie dwa ray pod rąd na tę samą stronę. Określić Ω i P odpowiadające temu eksperymentowi dla monety symetrycnej. Oblicyć prawdopodobieństwo, że wykonamy mniej niż 7 i więcej niż ruty. Ω = {OO, ROO, OROO,...} {RR, ORR, RORR,...}, F = Ω, p n,o = P (n rutów+oo) = ( ) n+, pn,r = P (n rutów+rr) = ( dla monety symetrycnej. ) n+ Prestreń probabilistycna jest dobre określona, bo p n,o, p n,r 0 dla dowolnego n ora (p n,o + p n,r ) = ( ) n = n=0 n=0 =. P (mniej niż 7 i więcej niż ruty) = P ( 3,, lub 6 rutów) = (p n,o + p n,r ) = n= 3 (ilość rutów= n + ). 6. Oblicyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo punkt kwadratu x <, y < leży na ewnątr koła x + y <. Ω = {(x, y) : x <, y < } - kwadrat, F to borelowskie podbiory Ω, P - prawdopod. geometrycne. A = {(x, y) : x + y < } - koło. P (A c ) = P (A) = pole A pole Ω = π 6 0, A c A Ω

3 Prykłady - Lista nr : Prawdopodobieństwo warunkowe. Twierdenie o prawdopodobieństwie całkowitym. Wór Bayesa. Schemat Bernoulliego.. Pewna choroba jest obecna w 0,0% populacji. Opracowano test, który daje wynik dodatni u 90% chorych i u % drowych. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pacjent wynikiem dodatnim jest drowy? Cy ma on powody do obaw? Wprowadamy onacenia: A - darenie, że test daje wynik dodatni; B - darenie, że pacjent jest chory. Sukamy P (B c A). Ze woru Bayesa P (B c A) = P (A Bc )P (B c ) P (A) Mamy P (B) = 0, 000 = P (B c ); P (A B) = 0, 9; P (A B c ) = 0, 0. Zatem P (A) = P (A B)P (B) + P (A B c )P (B c ) = 0, 0008 tw. o prawdop. całkowitym. ora P (B c 0, 0( 0, 000) A) = 0, 998 0, 0008 Wniosek: Test w istocie nie wykrywa choroby, bo pacjent wynikiem dodatnim jest drowy na ponad 99% i racej nie ma powodów do obaw.. Wykonujemy pomiary trema pryrądami, których jeden jest nieco roregulowany. Pry wykonywaniu pomiaru sprawnym pryrądem prawdopodobieństwo otrymania błędu pomiaru prewyżsającego tolerancję, wynosi 0,03; prawdopodobieństwo to dla pryrądu niesprawnego wynosi 0,3. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wynik pomiaru losowo więtym pryrądem: (a) prewyżsa tolerancję; (b) jest wykonany nie w pełni sprawnym pryrądem, jeżeli wynik ten prewyżsa tolerancję. Wprowadamy onacenia: A - darenie, że błąd pomiaru prewyżsa tolerancję; B - darenie, że pryrąd jest sprawny. Mamy P (B) = 3 = P (Bc ), P (A B) = 0, 03; P (A B c ) = 0, 3. Ad. (a) Z tw. o prawd. całkowitym P (A) = P (A B)P (B) + P (A B c )P (B c ) = 0,. Ad. (b) Ze woru Bayesa P (B c A) = P (A Bc )P (B c ) P (A) = 6 0, 83. 3

4 3. W pewnym teleturnieju a jednymi trech amkniętych drwi najduje się samochód, a a poostałymi dwoma koy. Prowadący grę wie, które drwi kryją samochód. Grac wskauje na jedne drwi, prowadący otwiera jedne poostałych odkrywając koę i następnie pyta graca, które amkniętych drwi otworyć (tn. cy grac mienia wybór, cy nie). Jeżeli grac wskaże na odpowiednie drwi, wygrywa samochód. Powiedmy, że grac wskaał na pocątku na drwi nr, a prowadący grę otworył drwi nr 3 koą. Cy gracowi opłaca się mienić decyję i wskaać na drwi nr? Odpowiedź uasadnić. Wprowadamy onacenia: A i - darenie, że samochód jest a drwiami nr i, B i - darenie, że prowadący otworył drwi nr i, i =,, 3 Mamy P (A i ) = 3, P (B 3 A ) =, P (B 3 A ) =, P (B 3 A 3 ) = 0. Stąd P (B 3 ) = 3 P (B 3 A i )P (A i ) = tw. o prawdop. całkowitym, i= i e woru Bayesa P (A B 3 ) = P (B 3 A )P (A ) = P (B 3 ) 3 ora P (A B 3 ) = P (B 3 A )P (A ) = P (B 3 ) 3 Wniosek: Gracowi opłaca się mienić decyję, bo więksa swoją sansę na wygraną.. Wiadomo, że % skrynek pomarańcy psuje się w casie transportu. Z transportu w sposób losowy pobiera się 0 skrynek i transport ten jest odrucany, gdy więcej niż 0% badanych skrynek awiera popsute owoce. Jakie jest prawdopodobieństwo odrucenia transportu? Model: schemat Bernoulliego, sukces-wybranie skrynki popsutymi owocami, p = 0, 0 (%), n = 0. Niech X onaca ilość skrynek popsutymi owocami wśród 0 badanych. X pryjmuje wartości k = 0,,..., 0 prawdopodob. p k = P (X = k) = ( ) 0 k (0, 0) k ( 0, 0) 0 k. Transport jest odrucany, gdy X > 0% 0 =. Prawdop. odrucenia transportu wynosi atem P (X > ) = P (X = 0) P (X = ) = = ( ) 0 0 (0, 0) 0 ( 0, 0) 0 ( ) 0 (0, 0) ( 0, 0) 9 0, 003.

5 . Rucamy symetrycną kostką tak długo aż wypadnie 6. Niech X onaca licbę wykonanych rutów. Jakie są możliwe wartości X i jakim prawdopodobieństwem pryjmuje każdą nich? Wynacyć prawdopodobieństwo, że będie potrebna parysta licba rutów. Model: schemat Bernoulliego, sukces-wypadła sóstka, p = 6. X to cas ocekiwania na pierwsy sukces, który pryjmuje wartości k =,,... prawdopodobieństwami p k = P (X = k) = ( ) k 6 = ( ) k. 6 6 Prawdopodobieństwo, że będie potrebna parysta licba rutów, wynosi P (X paryste) = p k = ( ) l 6 = 0,. k paryste (Uwaga: jest ono różne od 0,). l= 6. Gra polega na arucaniu krążków na kołek. Grac otrymuje ich seść i ruca je aż do pierwsego celnego rutu. Oblicyć prawdopodobieństwo, że po aruceniu krążka ostanie gracowi jesce co najmniej jeden krążek, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia na kołek pry każdym rucie wynosi 0,. Model: schemat Bernoulliego, sukces-trafienie na kołek, p = 0,. Wyobraźmy sobie, że mamy nieograniconą licbę krążków, i onacmy pre Y cas ocekiwania na pierwse trafienie. Y pryjmuje wartości k =,,... prawdop. p k = P (Y = k) = 0, ( 0, ) k. Gracowi ostanie co najmniej jeden krążek, gdy Y. Sukane prawdopod. wynosi atem P (Y ) = p k = 0, (0, 9) k = (0, 9) 0,. k= k=