"Liczby rządzą światem." Pitagoras

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download ""Liczby rządzą światem." Pitagoras"

Oskar Kujawa
5 lat temu
Przeglądów:

1 "Liczby rządzą światem." Pitagoras Def. Liczbą zespoloą azywamy liczbę postaci z= x +yi, gdzie x, y є oraz i = -1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez ={ x + yi: x, y є } Ozaczeia x= Re z częśd rzeczywista liczby z, y= Im z częśd urojoa liczby z. Def. Mówimy, że liczby zespoloe z= x+ yi oraz w= a+ bi są rówe x=a y=b. Działaia a liczbach zespoloych. Niech z= x+ yi, w= a+ bi, wtedy : z + w =(x+ yi) + (a+ bi)= (x+ a)+ (y+ b)i z w= =(x + yi) (a+ bi) = x a+ y ai + x bi + y bi = (xa - yb )+(ya + xb)i Tw. własości działao w Niech z, w, u będą dowolymi liczbami zespoloymi. Wtedy: z + w = w + z przemieośd dodawaia (z+w)+u=z+(w+u) łączośd dodawaia z+(0+0i)=z elemet eutraly dodawaia z+(-1) z=0+0i elemet przeciwy do z z w=w z przemieośd możeia (z w) u=z (w u) łączośd możeia z (w +u)=z w + z u rozdzielośd dodawaia względem możeia

2 Dowód: Niech z= x + yi; w=a + bi; u= c + di ; Ad.1 z + w=x + yi + a +bi =a +bi + x+ yi = w + z Ad. (z + w)+u=(x+ yi + a+ bi)+c+di =(x+a)+c+((y+b)+d)i =x+(a+c)+(y+(b+d))i=z+(w+u) Ad. z+(0+0i)=x +yi +0+0i =x+0+(y+0)i =x +yi =z Ad.4 z+(-1) z=x+yi + (-1) (x+ yi)=x+yi -x- yi=x-x+(y-y)i=0+0i Ad.5 z w=(x +yi) (a +bi)=(xa-yb)+(xb+ya)i=(ax-by)+(bx+ay)i=(a +bi) (x +yi)=w z Ad.6 (z w) u=((x +yi) (a +bi)) (c +di)=((xa-yb)+(xb+ya)i) (c+di)= =(xac-ybc-xbd-yad)+(xbc+yac+xad-ybd)i z (w u)=(x +yi) ((a +bi) (c +di))=(x+yi) ((ac-bd)+(ad+bc)i)=(xac-xbd-yad-ybc)+(yac-ybd+xad+xbc)i Ad.7 z (w+u)=(x+yi) (a+c+(b+d)i)=(xa+xc-yb-yd)+(xb+xd+ya+yc)i = =(xa-yb)+(xb+ya)i+(xc-yd)+(xd+yc)i=z w+z u Def. Sprzężeiem liczby zespoloej z= x + yi azywamy liczbę z =x-yi; (oz. z =z* ) Modułem liczby zespoloej z= x +yi azywamy liczbę z = x + y Tw. własości sprzężeia liczby zespoloej 1. z = z. (z + w) = z + w. z w = z w 4. z z = z 5. z z = z Dowód: wystarczy rozpisad

3 Tw. własości modułu liczby zespoloej 1. z 0 z = 0 z = 0. z w = z w. z + w z + w 4. Rez z Imz z Dowód: wystarczy rozpisad Wiosek: Jeżeli z 0, to 1 z = z z Np. Oblicz (1 i)( + i) ( + i) 6 + 4i + 6i = 8 + 6i i + 48i = 4 + i i 1 + i 6 = 4 + i i (i) = 6 + 8i = = i = i Iterpretacja geometrycza liczby zespoloej: Liczbę zespoloą reprezetuje pukt a płaszczyźie zespoloej z=(x,y), gdzie x=rez, y=imz. 1 i i 4 + i i 9 + 6i + i 1 + i + i = i 8 6i 4 + i i =

4 Np. 1. Narysuj a płaszczyźie zespoloej zbiór A={z : z + z + Niech z=x+yi x + yi + x yi (x) +( y) x + y 1 rówaie elipsy 9. Narysuj a płaszczyźie zespoloej zbiór B={z : z + i = + Zgodie z defiicją z-w jest odległością pomiędzy puktami z i w z + i = jest okręgiem o środku -i i promieiu Def. Argumetem liczby zespoloej z = x +yi azywamy każdą liczbę rzeczywistą, taką że : cos = x z si = y z - Zbiór wszystkich argumetów liczby zespoloej z azywamy Arg z ={ : -argumet z}. Argumetem główym liczby z azywamy taki є Argz, że φ,0,π) (oz. = argz) Wiosek: Jeżeli z=x+yi, to dla Arg z: z= z (cos +isi ) postad trygoometrycza liczby z Def. e iφ = cosφ + isiφ, gdzie Arg z Wiosek: Jeżeli z= z (cos +isi ), to dla Arg z: z = z e iφ - postad wykładicza liczby z Np. Napisz postad trygoometryczą liczby z=-i Imz 1-1 Rez - Imz Rez z = + ( ) = 1 cosφ = 1 siφ = ; 1 IV dwiartki tgφ = =-arctg

5 i = 1(cos arctg + isi arctg ) Tw. Własości argumetu liczby zespoloej Jeżeli Argz Argw, to 1. + Arg(z w). - Arg( z w ), w 0 Dowód: z w= z (cos +isi ) w (cos +isi )= z w (cos cos -si si + i(si cos +cos si ))= = z w (cos( + )+isi( + )) z = z (cosφ:isiφ) = z (cosφ:isiφ)(cos ;isi ) w w (cos :isi ) w (cos :si ) z (cos cos :si si :i(si cos ;cos si ) = z w w = (cos + isi ) Wiosek: wzór de Moivre a ( z cosφ + isiφ ) = z cosφ + isiφ dla Dowód: idukcja I. =1 O.K. II. Z: ( z cosφ + isiφ ) = z cosφ + isiφ T: ( z cosφ + isiφ ) :1 = z :1 cos ( + 1)φ + isi( + 1)φ D:( z cosφ + isiφ ) :1 = z cosφ + isiφ z cosφ + isiφ = z :1 cos (φ + φ) + isi(φ + φ)

6 Np. Oblicz ( i) 1 ( + i) 6 ( 6i) 17 = 1 6 (cos = 19 5 cos 4π 6 68π z 1 = i, z 1 = z = + i, z = 17 (cos + i si 4π 6 68π = i cosφ 1 = siφ 1 = 1 cosφ = siφ = 1π 6 + 6π π = 1 6 = + 6i 9 1π + i si 6 + 6π 4 ) = 17 4π + isi ) 70π cos + isi 70π φ 1 IV ćw. tgφ 1 = φ 1 = π 6 φ I ćw. tgφ = 1 φ = π 4 = z = 6i, z = Zadaie: 1. Oblicz: a) + i 5i + ;i :4i cosφ = 1 siφ = φ III ćw. tgφ = φ 1 = 4π, b) ;i 1:i 1:i ;:i, c) i1 ( 6i). Wylicz wszystkie liczby zespoloe spełiające rówaie: a) z = z, b) z:1 z;1 + 1 = i, c) i z + 1 i z = 1 i

7 . Na płaszczyźie zespoloej arysuj zbiory: a) { z : Im(-1+i)z+1-i 0}, b) { z : iz+-i > argz π}, c) { z : z + 4 z i arg iz z > π } 4. Przedstaw w postaci trygoometryczej liczby: a) i, b) 1 + itg π 10, c) cos π 8 + isi 9π 8 5. Oblicz: a) ( :i)7 (; : 6i) 5 (; i) 11, b) (;i) 18, c) (i;1)( 15; 5i (1:i) 8 (; 7: 1i) 10 : i Def. Niech z \{0},. Pierwiastkiem stopia z liczby zespoloej z 0 azywamy każdą liczbę zespoloą w taką, że w = z (piszemy, że w = z) UWAGA: Pierwiastkiem zespoloym z z=0 jest w=0. ( 0 = 0 ) Tw. Jeżeli z = z (cosφ + isiφ) C\{0}, to z * z (cos φ:kπ 8 + isi φ:kπ ): k=0,1,,-1} Dowód: φ + kπ φ + kπ, z (cos + isi )- φ + kπ φ + kπ = z cos + isi = = z cos φ + kπ + isi φ + kπ = z cosφ + isiφ dla k = 0,1,, 1 Wiosek: Pierwiastki -tego stopia z liczby z \{0}, leżą a okręgu o środku w z 0 = 0 i promieiu r = z oraz tworzą -kąt foremy wpisay w te okrąg.

8 Np. Oblicz (1 + i) (1 + i) *1 + i, (cosβ + isiβ), (cosγ + isiγ)+ α = π 4, β = π 4 + π, γ = π 4 + 4π (1 + i) *1 + i, (cos 11π 11π + isi ), 1 1 (cos 19π 1 + isi 19π 1 )+ Wiosek: Każdy wielomia zmieej zespoloej o współczyikach rzeczywistych stopia ma pierwiastków w zbiorze liczb zespoloych. Jeżeli z 0 jest pierwiastkiem wielomiau o współczyikach rzeczywistych, to z 0 też jest pierwiastkiem tego wielomiau. Dowód: 1. Każdy wielomia o współczyikach rzeczywistych rozkłada się a czyiki liiowe lub kwadratowe o ujemym wyróżiku. Pierwiastkami trójmiau kwadratowego az + bz + c = 0 o < 0 są z 1, = ;b±, gdzie jest jedym z pierwiastków zespoloych z a. Niech W z = a z + a ;1 z ;1 + + a 1 z + a 0 i W z 0 = 0. W(z 0 ) = 0 a z 0 + a ;1 z 0 ;1 + + a 1 z 0 + a 0 = 0 a z 0 + a ;1 z 0 ;1 + + a 1 z 0 + a 0 = 0 W z 0 = 0

9 Np. Rozwiąż 1. z z + 4 = 0 = -1 * i, i } z 1, = ± i = 1 ± i. z 4 z + 5 = 0 w = z w w + 5 = 0 = -16 *4i, 4i } w 1, = 1 ± i z = 1 + i z = 1 i (x + yi) = 1 + i 1 x y = 1 xy = y = 1 x x 1 = 1 y = x x x 4 x 1 = 0 x = ± 1: 5 t = x t t 1 = 0 t 1, = 1± 5 x = 1: 5 y = ± 5;1 dla (x + yi) = 1 i otrzymamy pierwiastki sprzężoe do wcześiej wyliczoych Odp. z * 1: 5 + i 5;1, 1: 5 i 5;1, 1: 5 i 5;1, 1: 5 + i 5;1 +

10 . (z i) = (z + i) zakładamy, że z i bo 1 i 0 z;i z;i z:i = 1 = 1 z:i 1 =1, φ = arg1 = Zadaie: cos0 + isi0, 1 z i z + i, 1 cos π + isi π cos 4π + isi 4π z i = 1 z + i = 1 + z i i z + i = 1 i z = i z = i 4 i z = i z = i Oblicz pierwiastki zespoloe: a) 8 8i z = i i z = i , b) (1 + i) 8, c) ( i 1) 4 = *1, 1 ± i+ 7. Rozwiąż rówaia: a) (iz 1) = i, b) z = (z i), c) (1 z) 4 = (1 i) 8 8. Rozwiąż: a) z = 0, b) z + z + 5 = 0, c) z 4 4z + 5 = 0 9. Rozwiąż: a) 18z 9z + z 1 = 0, b) 1 + i z + z i z + 8 = 0, c) z + i z + 4i z + 11i = Wiedząc, że z 0 jest pierwiastkiem rówaia rozwiąż: a) z 4 10z + 5z 0z + 1 = 0 z 0 = i, b) z 4 z + 6z 8z + 8 = 0 z 0 = 1 + i, c) z 5 z z + z z + 10 = 0 z 0 = 1 + i

Podobne dokumenty

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C