Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Transkrypt

1 Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay modrzewia wyosi 5 cm, alteratywie dopuszczamy moŝliwość, Ŝe średica ta ie będzie rówa 5 cm, będzie od iej większa bądź miejsza. Hipotezę, Ŝe średica badaej odmiay modrzewia wyosi 5 cm określimy miaem hipotezy zerowej (H ), atomiast kaŝdą z alteratywych sytuacji miaem hipotezy alteratywej (H ). W praktyce posługujemy się astępującą otacją: H : µ = 5 H : µ 5 lub H : µ < 5 lub H : µ > 5 Procedury weryfikacji hipotez statystyczych oparte są a testach statystyczych. Testem statystyczym jest postępowaie, w którego wyiku przyjmujemy lub odrzucamy sprawdzaą hipotezę statystyczą. PoiewaŜ testowaie hipotez odbywa się a podstawie wyików próby pobraej z populacji, stąd stosując test statystyczy, moŝemy tylko z pewym prawdopodobieństwem hipotezę przyjąć lub odrzucić. Z procesem testowaia związae są zatem pewe błędy. Jest im - błąd I rodzaju polega a odrzuceiu hipotezy zerowej, wówczas gdy oa jest prawdziwa. Prawdopodobieństwo popełieia tego błędu azywamy poziomem istotości, ozaczaym zwykle w literaturze jako. Weryfikacja hipotez odbywa się zwykle a poziomie =.5 lub =.. W pierwszym przypadku, odrzucając hipotezę zerową mówimy, p. Ŝe średica pia modrzewi róŝi się istotie od 5 cm. Natomiast w drugiej

2 sytuacji (dla =.) powiemy, Ŝe średica pia modrzewi róŝi się wysoce istotie od 5 cm. We wszystkich testach statystyczych a podstawie próby wyzaczamy wartość pewej zmieej losowej o zaym rozkładzie. Kostruowaie testu statystyczego składa się z astępujących etapów:. Sformułowaie hipotezy zerowej (H );. Określeie hipotezy alteratywej (H ); 3. Ustaleie poziomu istotości ( ); 4. Obliczeie wartości statystyki testowej; 5. Określeie obszaru odrzuceia hipotezy zerowej; Sformułowaie końcowego wiosku. Test dla wartości oczekiwaej Cecha w populacji ma rozkład ormaly, wariacja jest iezaa. Próba duŝa. Weryfikując hipotezę zerową mówiącą o tym, Ŝe iezaa wartość oczekiwaa jest rówa pewej wartości µ, czyli hipotezę: H : µ = µ, wyzaczamy wartość statystyki testowej wyraŝoej astępującym wzorem: x µ u = ~ N( ; ). s H o Zapis te ozacza, Ŝe statystyka u przy prawdziwości hipotezy H ma rozkład ormaly stadaryzoway. Obliczoą wartość statystyki porówujemy z wartością u. Obszar odrzuceia wyzacza wartość u, taka Ŝe ( u to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy, atomiast gdy aleŝy odrzucić. P > u ) =. Jeśli u u u > u, hipotezę H

3 φ ( u ) -u -u u Gdy hipoteza alteratywa ma postać H : µ > µ, wówczas obszar odrzuceia wyzacza wartość u, taka Ŝe P ( u > u ) =. ZauwaŜmy, Ŝe obszar krytyczy jest tylko po prawej stroie wykresu. Stąd teŝ obszar te azywamy obszarem prawostroym. Gdy hipoteza alteratywa ma postać H : µ < µ, to obszar odrzuceia wyzacza wartość u, taka Ŝe P ( u < u ) =. Obszar krytyczy w tym przypadku zajduje się po lewej stroie, obszar te azywamy więc obszarem lewostroym. W badaiach ad owa odmiaą tytoiu, w oparciu o obserwacje 5 rośli, uzyskao średią masę liści. kg i oszacowaie wariacji.5 kg. Przyjmując =. zbadać, czy owa odmiaa plouje lepiej iŝ dotychczas uprawiae, dla których plo liści jest rówy. kg. Cecha w populacji ma rozkład ormaly, przy czym wariacja jest iezaa. Próba mała. Zakładamy Ŝe populacja ma rozkład ormaly, odchyleie stadardowe populacji ie jest zae. Na podstawie próby obliczamy średią arytmetyczą x oraz odchyleie stadardowe korzystając ze zaego wzoru:

4 ˆ σ = s = ( i= x i ( i= x i ) ) Następie wyzaczamy wartość statystyki t: t x µ = ~ t s H o PowyŜszy zapis ozacza, Ŝe statystyka t, przy załoŝeiu prawdziwości hipotezy H : µ = µ ma rozkład t-studeta z - stopiami swobody. Z tablicy rozkładu t-studeta dla ustaloego poziomu oraz - stopi swobody, odczytujemy wartość t,, taką Ŝe P ( t t, ) =, gdy H : µ µ. Nierówość t t określa obszar krytyczy (dwustroy). Jeśli obliczoa a podstawie próby wartość statystyki t spełia tę ierówość, to decydujemy się a odrzuceie hipotezy zerowej. W przeciwym wypadku (gdy zachodzi ierówość t < t ) ie mamy podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej. Dla zweryfikowaia hipotezy, Ŝe średia długość łodyg pewej odmiay róŝy wyosi 86 cm, z dostarczoej partii kwiatów wybrao losowo próbę róŝ, których długości były astępujące: 8, 9, 78, 85, 76, 9, 68, 84, 79, 77, 8, 85. Przyjmujemy dwa poziomy istotości ( =.5, =. ). Test dla wariacji Test istotości dla wariacji - próba mała Aalogiczie jak w przypadku średiej, tak rówieŝ dla wariacji moŝemy weryfikować asze przypuszczeia, Ŝe wariacja populacji przyjmuje określoą wartość. Na przykład, testując jakość daego urządzeia, główą wagę będziemy przywiązywali do dokładości pomiarów. Wówczas zbyt duŝa wariacja dokoywaych pomiarów będzie czyikiem dyskwalifikującym przydatość daego urządzeia. Hipotezę zerową moŝemy sformułować astępująco: H : σ = σ

5 Podobie jak w wypadku średiej, przy weryfikacji tej hipotezy moŝemy rozpatrywać jedą z trzech hipotez alteratywych: H : σ σ lub H : σ < σ lub H : σ σ >. W przypadku małej próby, tz. gdy <3 testowaie hipotezy odbywa się a podstawie astępującej statystyki: ( )s = ~ χ σ H χ. W powyŝszym wzorze jest liczebością próby, s jest estymatorem wariacji obliczoym z próby, σ jest hipotetyczą wartością wariacji. Jeśli hipotezą alteratywą jest H : σ σ,wówczas stosujemy test dwustroy. Hipotezę H odrzucamy, gdy: χ < χ lub χ > χ.,, W przypadku hipotezy alteratywej H : σ < σ (test lewostroy), hipotezę H odrzucamy, gdy: χ < χ,, atomiast dla hipotezy alteratywej H : σ > σ (test prawostroy), jeśli χ, to odrzucamy hipotezę zerową. > χ, Dokoao ocey owego urządzeia do waŝeia i pakowaia wędli. Na podstawie pomiarów uzyskao wariację z próby rówą.9 g. Sprawdzimy a poziomie istotości.5, czy wariacja dokładości waŝeia tym urządzeiem wyosi.6 g. Test istotości dla wariacji - próba duŝa W przypadku duŝej próby tz. 3 hipotezę H : σ = σ, weryfikujemy z zastosowaiem astępującej statystyki testowej: u = χ 3 ~ N(,) H gdzie χ jest wartością wcześiej podaej statystyki testowej.

6 Dla zilustrowaia testowaia istotości wariacji posłuŝymy się daymi z poprzediego przykładu, sprawdzając jedocześie jak wielkość próby zmiei asze wioskowaie. Zakładamy więc, Ŝe uzyskaliśmy takie samo oszacowaie wariacji a podstawie 6 pomiarów. Aalogiczie jak poprzedio, przyjmujemy poziom istotości rówy.5. Test dla wskaźika struktury (procetu) Weryfikujemy hipotezę zerową, Ŝe wskaźik struktury rówy jest pewej wartości p. Zapiszemy wtedy: H : p = p Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka testowa ma postać: u m p p = ~ N(, ) p ) ( gdzie m ozacza liczbę osobików posiadających badaą cechę, jest liczbą badaych osobików. Wartość u porówujemy z wartością krytyczą u odczytaą z tablic rozkładu ormalego. Wysuięto hipotezę, Ŝe % studetów pali papierosy. W celu sprawdzeia tej hipotezy wylosowao iezaleŝie 5 osób, wśród których 5 zadeklarowało, Ŝe pali papierosy. Zweryfikujemy tę hipotezę a poziomie istotości =.5.