STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Transkrypt

1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA Wioskowaie statystyce - estymacja

2 treść Próba - repreetatywość próby - schematy losowaia Rokłady próby Estymacja statystyca - puktowa, prediałowa, wyacaie licebości próby

3 Obserwacja statystyca moŝe być peła (obejmująca wsystkie jedostki populacji) - metody wioskowaia statystycego ie mają tu astosowaia, stosujemy metody opisu. Obserwacja statystyca moŝe być cęściowa (obejmująca cęść jedostek populacji - próbę) - metody wioskowaia są tu iebęde. Dlacego prowadi się badaia a podstawie próby? populacja ieskońcoa populacja skońcoa ale bardo lica określeie wartości cechy jest iscące Próba uŝyta do ocey populacji musi być repreetatywa, ie moŝe być tedecyja. Repreetatywość próby uyskuje się popre losowe pobraie jedostek populacji, powstaje w te sposób próba losowa. Struktura próby losowej moŝe, co ajwyŝej, losowo róŝić się od struktury populacji.

4 Ideala próba repreetatywa powia dać idealy obra populacji. Oaca to, Ŝe rokład licebości wględych (empirycego prawdopodobieństwa) powiie być taki sam jak w populacji. MoŜliwe to jest tylko wtedy, kiedy amy rokład populacji. Próba losowa - jedostki trafiają do próby w sposób losowy. Prosta próba losowa (wygoda do rowaŝań teoretycych) - - w trakcie losowaia wsystkie jedostki populacji mają takie same prawdopodobieństwo wejścia do próby. Schematy losowaia (ogóle): - losowaie iealeŝe - losowaie e wracaiem (powstaje prosta próba losowa) - losowaie aleŝe - losowaie be wracaia. RóŜica międy tymi schematami stopiowo aika pry duŝych i rosących licebościach populacji.

5 Opracowywaiem scegółowych sposobów (schematów) losowaia dla róŝicowaych adań wioskowaia statystycego ajmuje się wydieloy diał statystyki matematycej pod awą - Metoda repreetacyja. Stosując odpowiedi dla daego adaia sposób losowaia próby uyskujemy lepse osacowaie parametrów populacji - miejsamy błąd wioskowaia. Prykładowe schematy stosowae w leśictwie: - losowaie warstwowe - losowaie systematyce - losowaie dwufaowe - losowaie wielostopiowe

6 Rokłady próby (rokłady statystyk) KaŜda fukcja wyacoa a podstawie wyików próby osi awę statystyki -elemetowej próby. NajwaŜiejsą statystyką jest średia próby: 1 i Parametr populacji (p. µ) jest wielkością stałą ieaą co do wartości licbowej. Parametr próby (statystyka p. ) jest mieą o określoym rokładie próby (chociaŝ dla daej próby stałą). Pojęcie rokładu statystyki (rokładu próby) wyjaśimy a prykładie średiej próby.

7 Rokład średiej próby Rokład taki moglibyśmy uyskać pobierając populacji bardo wiele -elemetowych prób i oblicając średie arytmetyce dla tych prób. Powstaie w te sposób populacja (wirtuala), w której jedostką będie pojedyca próba a cechą (mieą) będie wyacoa statystyka cyli średia próby. Populacja taka będie miała określoy rokład i określoe parametry: średią arytmetycą (EX) waą adieją matematycą lub wartością ocekiwaą, wariację (D X) ora odchyleie stadardowe (DX) wae błędem stadardowym. WaŜe twierdeie: JeŜeli rokład mieej losowej X jest ormaly, co apisujemy N(EX ; DX) to rokład statystyki X dla -elemetowej próby jest rówieŝ ormaly, co apisujemy DX N EX ; 1 cyli E X EX D X 1 D X DX DX

8 Dla cechy statystycej o rokładie: N(µ ; ) rokład średiej próby będie: N µ; Natomiast dla dowolego rokładu, pry wroście licebości próby, rokład średiej próby dąŝy do rokładu ormalego. Podsumujmy; Rokład teoretycy średiej próby, w wielu prypadkach, moŝe być predstawiay a pomocą fukcji gęstości rokładu ormalego o parametrach: EX µ DX

9 f f DX µ µ E EX DX µ f µ DZ

10 Ie waŝe rokładu statystyk ( próby): Rokład Studeta (W. Gosset) t µ s s i k 1 ( ) 1 ft t

11 Rokład χ fχ χ 1 i k Rokład F-Sedecora ff F k k 1 s s dla 1 s s > χ F

12 Estymacja statystyca jest rodajem wioskowaia o wartościach parametrów populacji geeralej a podstawie statystyk określoych -elemetowych prób losowych. Statystyka, a podstawie której sacujemy parametr populacji Θ aywamy estymatorem T parametru Θ. Dobry estymator to taki, który daje moŝliwie ajlepse osacowaie parametru populacji. Cechy dobrego estymatora: 1. NieobciąŜoość ET Θ. Zgodość lim P [ T Θ < ] 1 ε lim ET Θ 3. Efektywość Estymator efektywy to taki, który ma ajmiejsą mieość (wariację).

13 Estymacja puktowa polega a puktowym osacowaiu parametru Θ populacji geeralej a podstawie estymatora T. Sacuek taki moŝe być uupełioy określeiem błędu stadardowego estymatora. Θ T ; DT lub pt pt - błąd stadardowy procetowy (tw. błąd średi) JeŜeli musimy stosować estymatory obciąŝoe, to aleŝy dodatkowo określić obciąŝeie BT. Θ T - BT ; DT W odiesieiu do średiej arytmetycej: µ ; lub w D p

14 Estymacja prediałowa polega a wyaceiu graic prediału licbowego takiego, Ŝe ałoŝoym duŝym prawdopodobieństwem moŝemy ocekiwać, iŝ sacoway parametr populacji ma wartość licbową tego prediału. Prediał taki aywamy - prediałem ufości, to duŝe prawdopodobieństwo - poiomem ufości (1 -), a dopełieie poiomu ufości do jedości - poiomem istotości () Estymacja prediałowa, której teorię opracował Jery Spława-Neyma jest acym krokiem do produ w porówaiu estymacją puktową. PrecieŜ prawdopodobieństwo tego, Ŝe wartość estymatora będie dokładie rówa wartości sacowaego parametru będie rówa eru [P(T Θ) 0]. Podaie błędu stadardowego trochę te makamet łagodi. JeŜeli dąŝy do ieskońcoości to rokład estymatora T dąŝy do rokładu ormalego; N(ET ; DT). Dla iobciąŝoego estymatora: ET Θ

15 Wprowadźmy pojęcie mieej stadaryowaej estymatora T parametru Θ T ET DT T Θ DT i wyacmy prediał tak, aby wartość statystyki alała się w im prawdopodobieństwem (1 -) (ałoŝoy poiom ufości) P ( < > ) 1 / ; / 1 - / / - / 0 /

16 P T Θ DT < / ; / > 1 P P [( T Θ) < DT > ] 1 / ; / DT [ Θ < T DT T + > ] 1 / ; / DT Dla średiej pod warukiem, Ŝe amy populacji geeralej P < / ; + / > 1 µ a jeŝeli mała próba to tylko populacji o rokładie ormalym

17 JeŜeli ie amy populacji geeralej to: - dla duŝej próby moŝa pryjąć, Ŝe s µ > + < 1 ; / / s s P - dla małej próby, ale tylko w prypadku jeŝeli rokład populacji jest ormaly, prediał ufości moŝemy budować posługując się rokładem Studeta µ > + < 1 ; / / s t s t P 1 1 ; ε ε ε µ > + < s s P Dla dowolego rokładu moŝemy posłuŝyć się ierówością Cebysewa

18 Wyacaie licebości próby - dla średiej pry aej populacji geeralej maksymaly błąd absoluty sacuku pry ałoŝoym poiomie istotości będie rówy połowie prediału ufości / / / / µ 100% 100% / µ µ w d d w lub jeŝeli:

19 - dla średiej jeŝeli ie amy populacji geeralej t / s t / w lub ale poiewaŝ t aleŝy od ora k - 1 licebość wyacamy metodą kolejych prybliŝeń. Prykłady: * ZałóŜmy, Ŝe rokład wysokości w starsych drewostaach sosowych jest ormaly o odchyleiu stadardowym m. Osacowaćśredią wysokość drewostau składającego się 450 drew a podstawie próby losowej o licebości 9. Wyiki pomiaru: 18.5; ; 3.5; 1.5; 0.5;.5; 19; 0.5; 1 d

20 µ ; D ; D N N 1 189m 1m ; D 0,67m ; D 9 9 0, ,66 µ 1 m ; D 0,67m ; D 0, 66m * Osacowaćśredią pierśicę drewostau a podstawie próby prostej o licebości 64 drewa, jeŝeli średia tej próby 8 ora wiemy, Ŝe współcyik mieości pierśic w podobych drewostaach w 0%. µ w 0 ; p ; µ 8; p 8,5%

21 * ZałóŜmy, Ŝe rokład 5-letiego pryrostu wysokości w drewostaach sosowych jest ormaly o odchyleiu stadardowym 0,m. Wyacyć, pryjmując poiom ufości 1-0,95, prediał ufości dla średiego pryrostu wysokości drewostau, jeŝeli średia oblicoa a podstawie próby prostej o licebości 16 drew 0,8m. P µ < / ; + / > 1 0,05 F( ) / 0,05 / 1,96 F( ) / 1 1 0,05 0,975 / 1,96 0, 0, P µ < 0,8 ; 0,8 + > 0,

22 P P ( µ < 0,8 0,1; 0,8 + 0,1 > ) ( µ < 0,7; 0,9 > ) 0, 95 0,95 * ZałóŜmy, Ŝe rokład wysokości drew drewostau robiiowego jest ormaly. Wyacyć prediał ufości dla średiej wysokości tego drewostau, pry poiomie ufości 1-0,95, jeŝeli określoe a podstawie próby prostej o licebości 9: średia 18m, odchyleie stadardowe s m. P s s < t / ; + t / 1 µ t / odcytujemy tablic rokładu Studeta a podstawie i k - 1 t / P,31; P µ < 18,31 9 ; 18 +,31 0,95 ( µ < 18 1,55; ,55 > ) 0,95; P( µ < 16,45; 19,55 > ) 0, 95 9 >

23 * Wyacyć licebość próby prostej tak aby prawdopodobieństwem 0,90 moŝa było ocekiwać, Ŝe błąd określeia średiego pola prekroju pierśicowego drew p g w daym drewostaie ie prekrocy 5%, jeŝeli współcyik mieości pierśicowego pola prekroju drew w g 40%. 1 0,9; w p / 0,1; F / 1,65* / 13, 0,95; 174,4 / 175 1,65