Anna Pajor Akademia Ekonomiczna w Krakowie

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna w Krakowie Prognozowanie zdyskonowanej wypłay europejskiej opcji kupna na indeks WIG20 w modelu ze sochasyczną wariancją i sochasyczną sopą procenową * 1. Wprowadzenie Zagadnienie wyceny opcji z losową sopą procenową i losowym współczynnikiem zmienności nie jes ak powszechnie poruszane i sosowane jak słynny model Blacka i Scholesa. Powodem są rudności wynikających z isnienia dodakowych źródeł ryzyka. W przypadku gdy zmienność jes odrębnym procesem sochasycznym, niemożliwe jes zbudowanie prosej posaci porfela replikującego. Założenie o niemożliwości arbirażu jes niewysarczające do znalezienia sprawiedliwej 1 ceny opcji. Problem wyceny opcji, z wykorzysaniem ciągłych procesów SV w modelu ze sałą sopą procenową, po raz pierwszy podjęli Hull i Whie (1987), Wiggins (1987), Heson (1993). Amin i Ng (1993) wyprowadzają wzór na cenę opcji w przypadku losowego współczynnika zmienności oraz losowej (ale zdeerminowanej przeszłością) sopy procenowej. Podejście bayesowskie naomias umożliwia pełną prognozę przyszłej wypłay oraz wycenę opcji bezpośrednio z jej definicji, poprzez wykorzysanie charakerysyk predykywnego rozkładu zdyskonowanej wypłay. W aki sposób, w modele z klasy GARCH, dokonują wyceny opcji Bauwens i Lubrano (1998, 2002) oraz Osiewalski i Pipień (2003). Głównym celem niniejszej pracy jes pokazanie, że uwzględnienie w modelu wyceny opcji sochasycznej sopy procenowej nie ma isonego wpływu na jakość prognoz przyszłej wypłay. Rozważony zosanie bayesowski model eko- * Praca wykonana w ramach badań sauowych finansowanych przez AE w Krakowie. 1 Ceny nie dającej możliwości arbirażu.

2 260 nomeryczny, w kórym zarówno sopy zmian insrumenu podsawowego jak i sóp procenowych będą rakowane jako realizacje dwuwymiarowego procesu wariancji sochasycznej (SV). Model en będzie się więc charakeryzował sochasycznymi warunkowymi wariancjami i sochasyczną sopą procenową. Rozważone zosaną również jednowymiarowe modele SV dla sóp zmian cen insrumenu podsawowego ze sałą sopą procenową. Modele e zosaną wykorzysane do prognozy przyszłej wypłay europejskiej opcji kupna na indeks WIG20. W nasępnych częściach pracy przedsawiono bayesowskie modele SV. W części czwarej omówiono zagadnienie bayesowskiej prognozy zdyskonowanej wypłay. Część piąa poświęcona jes wynikom empirycznym, zaś część szósa zawiera uwagi końcowe i podsumowanie. 2. Jednowymiarowy bayesowski model FCSV Niech {x, = 0, 1,..., T} oznacza szereg czasowy cen insrumenu finansowego w chwili (w niniejszej pracy są o noowania indeksu WIG20). Dla logarymicznych sóp zmian {y, = 1, 2,...,T}, obliczonych według formuły (por. Campbell, Lo i MacKinlay, 1997): y = 100ln( x / x 1 ), = 1,...,T, przyjęo srukurę AR(1): y δ 1 = ρ1( y 1 δ1) + ξ, = 1, 2,..., T, (1) gdzie {ξ } jes procesem FCSV (ang. Fa-Tailed and Correlaed SV, zob. Jacquier, Polson i Rossi,2002). Zaem dla każdego {1, 2,, T}: ξ = u h / ω, ln h γ + φ ln h + σ hη, (2) = 1 gdzie ω ~ χ 2 ( ν )/ ν i ω (u s, η s ) dla, s {1, 2,, T} oraz 1 ρ (u, η ) ~ iin 0,. ρ 1 Zapis iin oznacza ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym, naomias symbol oznacza, że zmienne losowe są nieskorelowane. Proces FCSV umożliwia modelowanie akich własności finansowych szeregów czasowych, jak: 1) grube ogony nawe gdy φ = 0 kuroza ξ jes większa niż dla rozkładu normalnego, ponado mała liczba sopni swobody świadczy o bardzo grubych ogonach rozkładów zmiennych losowych opisujących sposób generowania danych, 2) efek dźwigni, o kórym informuje ujemna warość parameru ρ (jeśli zmienne losowe u i η są ujemnie skorelowane, o ujemne warości zmiennej losowej u są związane ze wzrosem warości zmiennej ukryej h w ej samej chwili i w konsekwencji w nasępnym czasie), 3) zjawisko skupiania się zmienności - za kóre w głównej mierze odpowiada paramer φ (warości bliskie jeden świadczą o dużym nasileniu ego zjawiska), 4) zmienność warian-

3 Prognozowanie zdyskonowanej wypłay europejskiej opcji kupna na indeks WIG cji warunkowej (wahliwość zmienności), kóra jes ym większa im wyższa jes warość parameru σ h 2. Aby model bayesowski był kompleny, konieczna jes specyfikacja rozkładu a priori na przesrzeni nieznanych paramerów ego modelu. Przyjęo nasępującą srukurę rozkładu a priori (zob. Pajor, 2003): p(δ 1, ρ 1, α, ν, σ h 2, ρ) = p(δ 1 ) p(ρ 1 ) p(α) p(ν) p(σ h 2, ρ), gdzie δ 1 ~ N(0, 1), ρ 1 ~ U(-1,1), γ ~ N(0, 100), φ ~ N(0, 100) I (-1,1) (φ), v ~ Exp(0,1). Symbol N(a, b) oznacza rozkład normalny o warości oczekiwanej a i wariancji b, IG(a, b) - gęsość odwróconego rozkładu gamma ze średnią b/(a-1) (dla a > 1) i wariancją b 2 /[(a-1) 2 (a-2)] (dla a > 2), U(a,b) - rozkład jednosajny na przedziale (a, b), Exp(0,1) - rozkład wykładniczy o średniej i odchyleniu sandardowym równym 10, I A (.) jes funkcją charakerysyczną zbioru 2 A R. Dla wekora ( ρ, ) rozkład nie jes sandardowy: 2 h σ h 2 s0 1 ( ρσ h ψ 0 ) p v0 1 2 v 1 2(1 ) 0+ 1 ρ σ h 2 v0 1,5 0,5 0,5 ρ σ h 0 Γ( v0) ( σ h ) e (1 ρ ) p0 (2π ) e p( ρ, σ ) = s, ν 0 = 1, s 0 = 0,005, ψ 0 = 0, p 0 = 2. Warość począkowa procesu {lnh } jes sała: h 0 = y 0 2. Tak przyjęe rozkłady a priori odzwierciedlają nikłą wsępną wiedzę, przed wglądem w dane, na ema paramerów modelu AR(1)-FCSV. Waro przypomnieć, że w przypadku granicznym v = oraz ρ = 0 orzymuje się zw. podsawowy model wariancji sochasycznej (ang. Basic Sochasic Volailiy Model, BSV, zob. Pajor, 2003) 3. Dwuwymiarowy bayesowski model TSV Niech eraz {x = (x 1,, x 2, ), = 0, 1,..., T} oznacza wekorowy szereg czasowy cen insrumenów finansowych (w niniejszej pracy są o noowania indeksu WIG20 i WIBOR1m). Dla logarymicznych sóp zmian {y = (y 1,, y 2, ), = 1, 2,...,T}, gdzie yi, = 100ln( xi, / xi, 1) (i = 1, 2), przyjęo srukurę VAR(1): y δ = R( y 1 δ ) + ξ, =, 1,..., T (3) czyli: y 1, δ y 1 r11 r12 1, 1 δ ξ 1 1, = +, y2, δ r r y , 1 δ 2 ξ 2, gdzie {ξ } jes dwuwymiarowym procesem TSV (zob. Tsay, 2002). Oznacza o, że dla każdego {1, 2,, T} warunkowy (względem zmiennych ukryych) rozkład zmiennej losowej ξ jes normalny o wekorze średnich i macierzy kowariancji Σ, j. ξ Θ ~ (0,Σ ), gdzie Σ = L G L, N [ 2 1] 1 0 q11, 0 L =, G =. q21, 1 0 q22, 0 [2 1]

4 262 Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, zmienne ukrye (lub ich logarymy) podlegają procesom auoregresyjnym rzędu pierwszego: ln q 11, γ 11 = φ11(ln q11, 1 γ11) + σ11η 11,, ln q 22, γ 22 = φ22(ln q22, 1 γ 22) + σ 22η 22,, γ = φ ( q γ + σ η, q 21, , 1 21) 21 21, gdzie η = ( η11,, η 22,, η 21, )', { η } ~ iin(0[ 3 1], I3 ), Θ = ( q11,, q22,, q21, )'. Dla paramerów związanych ze srukurą VAR(1), a więc wekora ω = = (δ 1, δ 2, r 11, r 12, r 21, r 22 ) R 6 przyjęo a priori sandardowy rozkład normalny, ucięy resrykcją, że wekory własne macierzy R co do modułu są mniejsze od jeden. Dla pozosałych paramerów założono nasępujące niezależne rozkłady a priori: β (ij) ~ N 2 (0, 100I 2 )I (-1,1) (φ ij ), β (ij) =(γ ij, φ ij ), σ 2 ij ~ IG(1, 0,005), lnq ii,0 ~ N 1 (0, 100), i, j =1, 2, i j, q 21,0 ~ N 1 (0, 100). Warości począkowe procesów {lnq ii, } (i = 1, 2) oraz {q 21, }, oznaczone odpowiednio przez lnq ii,0, q 21,0, rakowane są jako dodakowe nieznane paramer modelu - przyjęo dla nich a priori rozkład normalny o zerowej warości oczekiwanej i odchyleniu sandardowym równym Prognozowanie wypłay europejskiej opcji kupna Niech S oznacza cenę insrumenu bazowego w chwili. Dla europejskiej opcji kupna z ceną wykonania K, o erminie wygaśnięcia T+s funkcja wypłay (zn. funkcja opisująca wypłaę w erminie wykonania opcji) wynosi (S T+s K) + = max{s T+s K, 0}. Jeżeli funkcję ę zdyskonujemy według zmiennej sopy procenowej r zgodnie z kapializacją ciągłą, o orzymamy warość w chwili T wypłay dokonywanej za okres s: T + s W exp r d T T + s = max( ST s K,0) +. T Zdyskonowana wypłaa W T T+s jes zmienną losową jako mierzalna funkcja zmiennych losowych S T+s i r (w modelu AR(1)-TSV S T+s = x 1,T+s, r = x 2, ; w modelu FCSV S T+s = x T+s, r = r) oraz ma rozkład dyskreno ciągły, gdyż prawdopodobieńswo zdarzenia W T T+s = 0 może być niezerowe. Bayesowskie podejście do wyceny opcji z wykorzysaniem modeli z klasy GARCH po raz pierwszy prezenują Bauwens i Lubrano (1998, 2002). Za cenę opcji przyjmują warość oczekiwaną (a dokładniej średnią z próby pseudolosowej) zdyskonowanej wypłay względem rozkładu predykywnego ej wypłay lub eż wykorzysując zw. zależność (miarę) lokalnie wolną od ryzyka (ang. Locally Risk Neural Valuaion Relaionship). Naomias Osiewalski i Pipień (2003) proponują za cenę opcji przyjąć medianę predykywnego rozkładu zdyskonowanej wypłay (ponieważ warość oczekiwana nie zawsze isnieje).

5 Prognozowanie zdyskonowanej wypłay europejskiej opcji kupna na indeks WIG W przypadku modeli SV wysępuje problem zupełności rynku. W modelach z losowym współczynnikiem zmienności rynek jes niezupełny (losowość współczynnika zmienności jes dodakowym źródłem ryzyka). Zaem nie isnieje dokładnie jedna miara maryngałowa, kórą można wykorzysać do wyznaczenia ceny opcji. Ponado isnieje wiele meod wyceny opcji, po zasosowaniu kórych można uzyskać różne ceny ej samej opcji. Przegląd ych meod można znaleźć w pracy Hobson (2004). Wykorzysywane w niniejszej pracy wnioskowanie bayesowskie pozwala na pełny opis niepewności związanej z przyszłą wypłaą poprzez konsrukcję rozkładu predykywnego ejże wypłay. W niniejszej pracy ograniczono się jedynie do skonsruowania predykywnego rozkładu zdyskonowanej wypłay: p ( WT T + s y) = p( WT T + s θ, y) p( θ y) dθ, gdzie θ jes wekorem paramerów i zmiennych ukryych, y jes wekorem obserwacji, zaś p( θ y) jes rozkładem a poseriori paramerów modelu i zmiennych ukryych. 5. Wyniki empiryczne 2 Przedmioem rozważań są opcje na indeks WIG20 noowane na Giełdzie Papierów Warościowych (GPW) w Warszawie w dniu 31 grudnia Pod uwagę wzięo europejskie opcje kupna z daą wygaśnięcia na dzień 18 marca oraz 17 czerwca 2005 roku (j. odpowiednio s = 55 i s = 115 dni roboczych), z kursem wykonania: 1700, 1800, 1900, 2000 i 2100 punków indeksowych. Predykywny rozkład zdyskonowanej wypłay dla rozważanych opcji uzyskano modelując logarymiczne sopy zmian noowań indeksu WIG20 z okresu od 29 grudnia 2000 roku do 31 grudnia 2004 roku (liczba obserwacji modelowanych T = 1004) oraz sóp procenowych WIBOR1m z ego samego okresu. Wykorzysanie innych sóp procenowych WIBOR nie ma isonego wpływu na prognozę przyszłej wypłay, zob. Pajor (2007). W modelach ze sałą sopą procenową przyjęo r = 6.5% w skali roku, zgodnie z z założeniami GPW i Krajowego Depozyu Papierów Warościowych 3 (KDPW), por. Kosrzewski i Pajor (2006). Tabela 1 przedsawia charakerysyki rozkładów predykywnych zdyskonowanej wypłay europejskich opcji kupna na indeks WIG20 z daą wykonania na 18 marca i 17 czerwca 2005, orzymane w modelach ze sała sopą procen- 2 Do wyznaczenia rozkładów predykywnych wekora przyszłych obserwacji oraz ich charakerysyk wykorzysano meody Mone Carlo opare na łańcuchach Markowa: próbnik Gibbsa, wewnąrz kórego sosowano algorym Meropolisa i Hasingsa. Meody e, w konekście modeli SV, zosały omówione w pracach: Jacquier, Polson i Rossi (2004), Pajor (2003, 2005), Tsay (2002). 3 por.: Informacja KDPW o wysokości depozyów zabezpieczających na 31 grudnia 2004r. na podsawie komunikau NR 393/DZ/2004 z dnia 31 grudnia 2004r.

6 264 ową: AR(1)-BSV (czyli w przypadku v =, ρ = 0) i AR(1)-FCSV 4 oraz w modelu AR(1)-TSV. We wszyskich modelach uzyskano bardzo rozproszone rozkłady predykywne zdyskonowanej wypłay, o czym świadczy warość rozsępu miedzykwarylowego (IQR). Hisogramy dla wybranych opcji przedsawiono na rysunku 1, gdzie rzeczywisą warość zdyskonowanej wypłay zaznaczono rójkąem. Jes ona zlokalizowana między pierwszym kwarylem a medianą predykywnego rozkładu. Dla wszyskich opcji prawdopodobieńswo ich niewykonania jes wyższe w modelu AR(1)-FCSV i równocześnie w ym modelu niepewność związana z przyszłą wypłaą jes najmniejsza (warości IQR są odpowiednio najmniejsze). Tabela 1. Charakerysyki rozkładów predykywnych zdyskonowanej wypłay europejskich opcji kupna na indeks WIG20 z daą wykonania na 18 marca i 17 czerwca W modelach ze sałą sopą procenową r=0.065/251 Model s=55 K s=115 K Kwany BSV IQR P(W T T+s =0 y) kwanyl FCSV IQR P(W T T+s =0 y) rzeczywisa wypłaa wypłaa zdysk kwany TSV IQR P(W T T+s =0 y) wypłaa zdysk kurs zamk. z Źródło: obliczenia własne. 4 Warość oczekiwana a poseriori dla v wynosi z odchyleniem sandardowym a poseriori 6.49; naomias dla ρ warość oczekiwana jes równa z odchyleniem

7 Prognozowanie zdyskonowanej wypłay europejskiej opcji kupna na indeks WIG Jeśli porównamy mediany predykywnych rozkładów z rzeczywisymi warościami zdyskonowanych wypła (zaobserwowanymi ex-pos, zob. abela 2), o model AR(1)-FCSV (ze sałą sopą procenową) generuje najlepsze prognozy w sensie średniego błędu predykcji (ME). W modelach z warunkowym rozkładem normalnym (czyli AR(1)-BSV i AR(1)-TSV), w każdym przypadku, mediany rozkładów predykywnych są wyższe niż rzeczywise warości zdyskonowanej wypłay, równocześnie niepewność związana z przyszłą wypłaą (mierzona rozsępem międzykwarylowym) jes większa niż w modelu AR(1)- FCSV. Dwuwymiarowy model AR(1)-TSV, w sensie ME, wypada najgorzej. Tabela 2. Różnice między rzeczywisą zdyskonowaną wypłaą a medianą rozkładu predykywnego: C i - Ĉ, gdzie Ci oznacza rzeczywisą zdyskonowaną wypłaę, - medianę i rozkładu predykywnego, ME = (1/ n) C i Cˆ i n i= 1 Model S=55 S= ME BSV FCSV TSV Źródło: obliczenia własne. Ĉ i s = 55, K=1800, bivariae TSV s = 55, K=1800, univariae FCSV Rysunek 1. Hisogramy rozkładów predykywnych zdyskonowanej wypłay Źródło: opracowanie własne. 6. Podsumowanie Na przykładzie europejskich opcji kupna na indeks WIG20 pokazano, że uwzględnienie w modelu wyceny opcji sochasycznej sopy procenowej nie poprawia jakości prognoz zdyskonowanej wypłay. Modele SV ze sałą sopą procenową generują lepsze prognozy przyszłej wypłay (na poziomie mediany rozkładu predykywnego zdyskonowanej wypłay) niż model ze sochasyczną sopą procenową. Ponado w modelu FCSV ze sałą sopą procenową i grubszymi ogonami niż modele BSV i TSV, mediany predykywnych rozkładów

8 266 przyszłych wypła są najbliższe rzeczywisym warościom ych wypła (zaobserwowanym ex-pos). Sąd na prognozę przyszłej wypłay większy wpływ ma specyfikacja rozkładu warunkowego dla sóp zmian cen insrumenu podsawowego niż uzmiennienie sopy procenowej. Duże rozproszenie rozkładów predykywnych wskazuje jednak na ogromną niepewność co do przyszłej wypłay. Lieraura Amin, K.I., Ng, V.K. (1993), Opion Valuaion wih Sysemaic Sochasic Volailiy, The Journal of Finance, vol. 48, no. 3, Bauwens, L., Lubrano, M. (1998), Bayesian inference on GARCH models using he Gibbs sampler, Economerics Journal 1, C23 C46. Bauwens, L., Lubrano, M. (2002), Bayesian opion pricing using asymmeric GARCH models, Journal of Empirical Finance 9, Campbell, J.Y., Lo, A.W., MacKinlay, A.C. (1997), The Economerics of Financial Markes, Princeon Universiy Press, Chicheser. Heson, S.L. (1993), A Closed-Form Soluion for Opions wih Sochasic Volailiy wih Applicaions o Bond and Currency Opions, The Review of Financial Sudies, vol. 6, no 2, Hobson, D. (2004), A Survey of Mahemaical Finance, (Adams Prize Essay). Proceedings of he Royal Sociey: Mahemaical, Physical and Engineering Sciences. 460:2052, , Published elecronically a FirsCie Ocober Hull, J., Whie, A. (1987), The pricing of opions on asses wih sochasic volailiies, Journal of Finance, vol. 42, Jacquier, E., Polson, N., Rossi, P. (1994), Bayesian analysis of sochasic volailiy models, [wih discussion], Journal of Business and Economic Saisics, vol. 12, Jacquier, E., Polson, N., Rossi, P. (2004), Bayesian analysis of sochasic volailiy models wih fa-ails and correlaed errors, Journal of Economerics, vol. 122, Kosrzewski, M., Pajor, A. (2006), Bayesowska wycena opcji na index WIG20: procesy Iô a dyskrene procesy SV, Folia Oeconomica Cracoviensia, in press Osiewalski, J., Pipień, M. (2003), Bayesian Analysis and Opion Pricing in Univariae GARCH Models wih Asymmeries and GARCH-in-Mean Effecs, Przeglad Saysyczny vol. 50, No 3, Pajor, A. (2003), Procesy zmienności sochasycznej SV w bayesowskiej analizie finansowych szeregów czasowych, Monografie: Prace Dokorskie, Nr 2, Wydawnicwo AE w Krakowie, Kraków. Pajor, A. (2005), Bayesian Analysis of Sochasic Volailiy Model and Porfolio Allocaion, [in:] Issues in Modelling, Forecasing and Decision-Making in Financial Markes, Aca Universiais Lodzensis Folia Oeconomica 192, Pajor, A. (2007), Bayesian Forecasing of he Payoff of European Call Opions on WIG20 Index under Sochasic Volailiy and Sochasic Ineres Raes, refera wygłoszony na 6h Annual Inernaional Conference Forecasing Financial Markes and Economic Decision- Making FindEcon 2007, Universiy of Łódź, 9 12 May 2007, przesłany do recenzji. Tsay, R. S. (2002), Analysis of Financial Time Series. Financial Economerics, A Wiley- Inerscience Publicaion, John Wiley & Sons, INC. Wiggins, J. B. (1987), Opion Values under Sochasuc Volailiy. Theory and Empirical Esimaes, Journal of Financial Economics 19,