Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
|
|
- Kacper Rogowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014
2 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu θ Θ na poziomie ufności 1 α nazywamy przedział (θ 1, θ 2 ), gdzie 1. θ 1 = θ 1 (X 1, X 2,..., X n ) oraz θ 2 = θ 2 (X 1, X 2,..., X n ) są funkcjami próby i nie zależą od parametru θ. 2. dla każdego θ Θ P(θ 1 θ θ 2 ) = 1 α.
3 Przedział ufności 1. Końce przedziału ufności (θ 1, θ 2 ) są zmiennymi losowymi. 2. Przedziału ufności pokrywa parametr θ z prawdopodobieństwem w przybliżeniu równym 1 α. 3. Długość przedziału ufności: d θ = θ 2 θ 1 4. Najlepszy przedział ufności to ten najkrótszy.
4 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną wariancją
5 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym X 1, X 2,..., X n - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), µ - nieznane, σ - znane.
6 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym X 1, X 2,..., X n - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), µ - nieznane, σ - znane. Znanym faktem jest, że: X = 1 ( ) n X i N µ, σ2 n n i=1
7 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym X 1, X 2,..., X n - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), µ - nieznane, σ - znane. Znanym faktem jest, że: X = 1 ( ) n X i N µ, σ2 n n i=1 oraz, że: Z = X µ σ/ n N (0, 1)
8 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym Dla danego α można wyznaczyć takie stałe u 1, u 2, dla których P(u 1 Z u 2 ) = Φ(u 2 ) Φ(u 1 ) = 1 α
9 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym Dla danego α można wyznaczyć takie stałe u 1, u 2, dla których P(u 1 Z u 2 ) = Φ(u 2 ) Φ(u 1 ) = 1 α Niech u 1 = Φ 1 (α 1 ) oraz u 2 = Φ 1 (1 α 2 ), wówczas Φ(u 2 ) Φ(u 1 ) = Φ(Φ 1 (1 α 2 )) Φ(Φ 1 (α 1 )) = = 1 α 2 α 1 = 1 (α 1 + α 2 )
10 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym Niech teraz α = α 1 + α 2, α 1, α 2 > 0 oraz przyjmijmy, że u 1 = u α1 oraz u 2 = u 1 α2 - kwantyle rzędów α 1 oraz 1 α 2 z rozkładu N (0, 1). Wówczas ( P(u 1 Z u 2 ) = P u α1 X ) µ σ/ n u 1 α ( 2 ) = P X σ u 1 α2 n σ µ X u α1 n.
11 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym Niech teraz α = α 1 + α 2, α 1, α 2 > 0 oraz przyjmijmy, że u 1 = u α1 oraz u 2 = u 1 α2 - kwantyle rzędów α 1 oraz 1 α 2 z rozkładu N (0, 1). Wówczas ( P(u 1 Z u 2 ) = P u α1 X ) µ σ/ n u 1 α ( 2 ) = P X σ u 1 α2 n σ µ X u α1 n. Przedział ufności dla µ na poziomie ufności 1 α [ X u 1 α2 σ n ; X u α1 σ n ].
12 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym Jeśli α 1 = 0, to przedział ufności jest postaci: [ X u 1 α2 ] σ n ; Jeśli α 2 = 0, to przedział ufności jest postaci: [ ; X u α1 σ n ] Jeśli α 1 = α 2 = α 2, to przedział ufności jest postaci: [ X u 1 α/2 σ n ; X uα/2 σ n ]
13 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym Zauważmy, że u (1 α/2) = u (α/2), a stąd [ X u ] [ 1 α/2 σ u α/2 σ ; X n n Przedział ten ma długość σ d µ = 2u 1 α. 2 n X u ] 1 α/2 σ u 1 α/2 σ ; X + n n Jest to najkrótszy = najlepszy przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym.
14 Przedziały ufności dla średniej Długość przedziału ufności zeleży od: 1. rozmiaru próby 2. poziomu ufności
15 Przedziały ufności dla średniej Długość przedziału ufności zeleży od: 1. rozmiaru próby - większa próba = krótszy przedział 2. poziomu ufności - większy poziom = dłuższy przedział
16 Przykład Przykład 9.1 Z populacji, o rozkładzie normalnym o nieznanej średniej i znanej wariancji równej 0.5, przedstawiającej średnią ocen pewnych uczniów z klasy pierwszej wylosowano próbę 6 osób, dla których ta średnia wynosiła 3.71, 4.28, 2.95, 3.38, 4.05, Wyznaczyc 99% przedział ufności dla średniej średniej ocen uczniów.
17 Przykład Przykład 9.1 Z populacji, o rozkładzie normalnym o nieznanej średniej i znanej wariancji równej 0.5, przedstawiającej średnią ocen pewnych uczniów z klasy pierwszej wylosowano próbę 6 osób, dla których ta średnia wynosiła 3.71, 4.28, 2.95, 3.38, 4.05, Wyznaczyc 99% przedział ufności dla średniej średniej ocen uczniów. Dane: n = 6 σ 2 = 0.5, a stąd σ = 0.7 X = 1 6 ( ) = α = poziom ufności, a zatem α = 0.01 u = 2.57
18 Przykład Przykład 9.1 -cd Obliczmy końce przedziałów ufności: X u 1 α/2 σ = 3.9 = = 3.15 n 6 stąd X + u 1 α/2 σ = = = 4.63, n 6 µ [3.15, 4.63]. A zatem mamy 99% pewności, że średnia średnia ocen wśród uczniów rozważanej klasy pierwszej mieści się w przedziale [3.15, 4.63].
19 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją
20 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją X 1, X 2,..., X n - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), µ - nieznane, σ - nieznane.
21 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją X 1, X 2,..., X n - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), µ - nieznane, σ - nieznane. Wiemy, że: Z = X µ σ/ n N (0, 1)
22 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją X 1, X 2,..., X n - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), µ - nieznane, σ - nieznane. Wiemy, że: oraz ns 2 0 σ 2 = 1 σ 2 Z = X µ σ/ n N (0, 1) n (X i X ) 2 χ 2 (n 1) i=1
23 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją Fakt Jeżeli zmienne losowe Y i Z są niezależne, przy czym Y N (0, 1) oraz Z χ 2 (n), to zmienna losowa T = Y t(n) Z/n
24 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją Fakt Jeżeli zmienne losowe Y i Z są niezależne, przy czym Y N (0, 1) oraz Z χ 2 (n), to zmienna losowa T = Y t(n) Z/n Korzystając z powyższego faktu: T = X µ σ/ n ns 2 0 σ 2 (n 1) = X µ S 0 n 1
25 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją Fakt Jeżeli zmienne losowe Y i Z są niezależne, przy czym Y N (0, 1) oraz Z χ 2 (n), to zmienna losowa T = Y t(n) Z/n Korzystając z powyższego faktu: T = X µ σ/ n ns 2 0 σ 2 (n 1) = X µ S 0 n 1 t(n 1)
26 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją Niech teraz t 1 α2 (n 1) oraz t α1 (n 1) oznaczają kwantyle z rozkładu studenta z n 1 stopniami swobody rzędu 1 α 2 i α 1 odpowiednio. P(t α1 (n 1) T t 1 α2 (n 1)) = 1 α 2 α 1 = 1 α
27 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją Niech teraz t 1 α2 (n 1) oraz t α1 (n 1) oznaczają kwantyle z rozkładu studenta z n 1 stopniami swobody rzędu 1 α 2 i α 1 odpowiednio. P(t α1 (n 1) T t 1 α2 (n 1)) = 1 α 2 α 1 = 1 α ( ) X µ P t α1 (n 1) S 0 / n 1 t 1 α 2 (n 1) = ( ) S 0 S = P X t α1 (n 1) µ X t 1 α2 (n 1) 0 = 1 α n 1 n 1
28 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją Przedział ufności dla µ przy nieznanym σ jest postaci [ X t ] α 1 (n 1) S 0 t 1 α2 (n 1) S ; X 0 n 1 n 1
29 Przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym z nieznaną wariancją Przedział ufności dla µ przy nieznanym σ jest postaci [ X t ] α 1 (n 1) S 0 t 1 α2 (n 1) S ; X 0 n 1 n 1 Niech teraz α 1 = α 2 = α 2, wówczas najkrótszy przedział ufności dla µ jest postaci [ X t 1 α/2(n 1) S 0 ; X + t ] 1 α/2(n 1) S 0. n 1 n 1
30 Przykład Przykład Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach pewnej sieci jest rozkładem normalnym. W celu oszacowania nieznanej średniej w tym rozkładzie wylosowano niezależnie 17 elementową próbę pracowników. Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 minut a odchylenie standardowe stanowiło połowę czasu średniego. Wyznacz 95% przedział ufności dla średniego czasu dojazdu do pracy dla ogółu pracowników.
31 Przykład Przykład Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu dojazdu do pracy osób zatrudnionych w sklepach pewnej sieci jest rozkładem normalnym. W celu oszacowania nieznanej średniej w tym rozkładzie wylosowano niezależnie 17 elementową próbę pracowników. Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 minut a odchylenie standardowe stanowiło połowę czasu średniego. Wyznacz 95% przedział ufności dla średniego czasu dojazdu do pracy dla ogółu pracowników. Dane: X = 40 S = = 20 n = 17 1 α = poziom ufności, a stąd α = 0.05 t (16) = 2.12.
32 Przykład Przykład Obliczmy końce przedziałów ufności X t 1 α/2(n 1) S = 40 = = 29.4 n 1 16 X + t 1 α/2(n 1) S = 40 + = = 50.59, n 1 16
33 Przykład Przykład Obliczmy końce przedziałów ufności X t 1 α/2(n 1) S = 40 = = 29.4 n 1 16 X + t 1 α/2(n 1) S = 40 + = = 50.59, n 1 16 stąd µ [29.4, 50.59] A zatem z prawdopodobieństwem 0.95 możemy stwierdzić, że średni czasu dojazdu do pracy dla ogółu pracowników mieści się w przedziale [29.4, 50.59].
34 Przedział ufności dla średniej w dowolnym rozkładzie
35 Przedziały ufności dla średniej w dowolnym rozkładzie X 1, X 2,..., X n - próba z rozkładu o rozmiarze n 100 o nieznanej średniej EX i = µ i wariancji Var(X i ) = σ 2.
36 Przedziały ufności dla średniej w dowolnym rozkładzie X 1, X 2,..., X n - próba z rozkładu o rozmiarze n 100 o nieznanej średniej EX i = µ i wariancji Var(X i ) = σ 2. Z Centralnego Twierdzenia Granicznego: Z = X µ σ/ n n Y
37 Przedziały ufności dla średniej w dowolnym rozkładzie X 1, X 2,..., X n - próba z rozkładu o rozmiarze n 100 o nieznanej średniej EX i = µ i wariancji Var(X i ) = σ 2. Z Centralnego Twierdzenia Granicznego: Z = X µ σ/ n n Y N (0, 1),
38 Przedziały ufności dla średniej w dowolnym rozkładzie X 1, X 2,..., X n - próba z rozkładu o rozmiarze n 100 o nieznanej średniej EX i = µ i wariancji Var(X i ) = σ 2. Z Centralnego Twierdzenia Granicznego: a stąd: lim P n Z = X µ σ/ n ( gdzie u 1 = u α1, u 2 = u 1 α2. n Y N (0, 1), u 1 X ) µ σ/ n u 2 = 1 α,
39 Przedziały ufności dla średniej w dowolnym rozkładzie Przedział ufności (asymptotyczny) dla średniej µ na poziomie ufności 1 α jest postaci: 1. gdy σ znane: 2. gdy σ nie jest znane: [ [ X u 1 α/2 σ ; X + u ] 1 α/2 σ n n X u 1 α/2 S ; X + u ] 1 α/2 S n n
40 Przykład Przykład Załóżmy, że p 100%, 0 p 1 wyborców jest zdecydowana poprzeć pewnego kandydata w najbliższych wyborach. W celu oszacowania wartości p przeprowadzono ankietę (przewidującą dwie odpowiedzi: TAK lub NIE) wśród 1076 osób, z czego 324 odpowiedziały TAK. Wyznaczymy 90% przedział ufności dla p.
41 Przykład Przykład Załóżmy, że p 100%, 0 p 1 wyborców jest zdecydowana poprzeć pewnego kandydata w najbliższych wyborach. W celu oszacowania wartości p przeprowadzono ankietę (przewidującą dwie odpowiedzi: TAK lub NIE) wśród 1076 osób, z czego 324 odpowiedziały TAK. Wyznaczymy 90% przedział ufności dla p. Zauważmy, że mamy do czynienia z rozkładem dwumianowym, gdzie p jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej X i zdefiniowanej następująco: { 1 pytana osoba odpowie TAK X i = 0 pytana osoba odpowie NIE
42 Przykład Przykład Dane: n = 1076 X = = ( ) S 2 = = α = poziom ufności, a zatem α = 0.1 t 0.95 (1075) = Przedział ufności dla p jest postaci: (0.278; 0.324) Zatem na danego kandydata zdecydowanych jest głosować % = 30.1% wyborców, z dopuszczalnym błędem statystycznym równym d n = 2.3%.
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowoZad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:
Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowo1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Bardziej szczegółowo1 Estymacja przedziałowa
1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α
Bardziej szczegółowoWykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoStatystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II
WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby. Statystyka
Rozkłady statystyk z próby tatystyka Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających ten
Bardziej szczegółowoESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI Szkic wykładu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 3 4 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2
LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 TEORIA ESTYMACJI I 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: ; s bez wyników wątpliwych Odrzucenie wyników z poza przedziału: 3s PRÓBA LOSOWA
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoMetoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014
Metoda momentów i kwantyli próbkowych Wrocław, 7 listopada 2014 Metoda momentów Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa. Momenty zmiennych losowych X 1, X 2,..., X n - próba losowa.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa. Przedział ufności
Estymacja przedziałowa Przedział ufności Estymacja przedziałowa jest to szacowanie wartości danego parametru populacji, ρ za pomocą tak zwanego przedziału ufności. Przedziałem ufności nazywamy taki przedział
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoStatystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoWykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym
Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną
Bardziej szczegółowoPobieranie prób i rozkład z próby
Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.
Bardziej szczegółowoNa podstawie dokonanych obserwacji:
PODSTAWOWE PROBLEMY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Niech mamy próbkę X 1,..., X n oraz przestrzeń prób X n, i niech {X i } to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie P θ P. Na podstawie obserwacji chcemy
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 5-6
TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoWykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu
Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów
Bardziej szczegółowoDokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 8 Magdalena Alama-Bućko 7 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 7 maja 2018 1 / 19 Przypomnijmy najpierw omówione na poprzednim wykładzie postaci przedziałów
Bardziej szczegółowoWykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoLISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoPrzedziały ufności. Poziom istotności = α (zwykle 0.05) Poziom ufności = 1 α Przedział ufności dla parametru μ = taki przedział [a,b], dla którego
Przedziały ufności Poziom istotności = α (zwykle 0.05) Poziom ufności = 1 α Przedział ufności dla parametru μ = taki przedział [a,b], dla którego czyli P( μ [a,b] ) = 1 α P( μ < a ) = α/2 P( μ > b ) =
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich
Bardziej szczegółowoEstymacja parametro w 1
Estymacja parametro w 1 1 Estymacja punktowa: średniej, odchylenia standardowego i frakcji µ - średnia populacji h średnia z próby jest estymatorem średniej populacji = - standardowy błąd estymacji średniej
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoPODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I Szkic wykładu 1 Przykład wprowadzajacy 2 Prawo wielkich liczb Bernoulliego i centralne tw. graniczne 3 4 Przykład wprowadzajacy W Polsce różne głosowania odbywaja
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoUwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie
Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy
Bardziej szczegółowo4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1
LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
Bardziej szczegółowoVI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD STATYSTYK Z PRÓBY Próba losowa prosta To taki dobór elementów z populacji, że każdy element miał takie samo prawdopodobieństwo znalezienia się w próbie Niezależne
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją
Bardziej szczegółowog) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.
TEMAT 1: WYBRANE ROZKŁADY TYPU SKOKOWEGO ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Zadanie 1-1 Prawdopodobieństwo nieprzekroczenia przez pewien zakład pracy dobowego limitu zużycia energii elektrycznej (bez konieczności
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 Testowanie hipotez Estymacja parametrów WSTĘP 1. Testowanie hipotez Błędy związane z testowaniem hipotez Etapy testowana hipotez Testowanie wielokrotne 2. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoBADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ (budynek Centrum Mechatroniki, Biomechaniki i Nanoinżynierii) www.zmisp.mt.put.poznan.pl
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Odp. Zadanie 2 Odp. Zadanie 3 Odp. Zadanie 4 Odp. Zadanie 5 Odp.
Zadanie 1 budżet na najbliższe święta. Podać 96% przedział ufności dla średniej przewidywanego budżetu świątecznego jeśli otrzymano średnią z próby równą 600 zł, odchylenie standardowe z próby równe 30
Bardziej szczegółowoMetody Statystyczne. Metody Statystyczne.
gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Bardziej szczegółowo