CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

Transkrypt

1 CHARAKERYSYKI CZĘSOLIWOŚCIOWE PODSAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUOMAYKI Do podstawowych form opisu dyamii elemetów automatyi (oprócz rówań różiczowych zaliczamy trasmitację operatorową s oraz trasmitację widmową j. Związe pomiędzy tymi trasmitacjami wyraża się wzorem: l bl ( j Y ( j l = 0 K ( j = K ( s = = = s > j U ( j i a ( j m i = 0 i K ( j e jφ ( ( wierdzeie o przechodzeiu sygału siusoidalego przez uład liiowy. Jeżeli a wejście uładu liiowego podamy sygał siusoidaly (u(t=asiwt, to a wyjściu, w staie ustaloym (przy założeiu że sładowa swoboda y s rówa się zero, otrzymamy taże sygał siusoidaly o amplitudzie B= A j i przesuięciu fazowym f. rasmitację widmową moża przedstawić taże w postaci: K ( j = Re{ K ( j } + j Im{ K ( j }, ( gdzie: j moduł trasmitacji widmowej (stosue amplitud sygału wyjściowego do sygału wejściowego, Re{jw} część rzeczywista jw, Im{jw} część urojoa jw, Im{ j } ϕ( = ar ctg argumet trasmitacji widmowej (przesuięcie Re{ j } fazowe pomiędzy sygałem wyjściowym i wejściowym. Zależość trasmitacji widmowej K jφ ( j = j e od częstotliwości przedstawia się a płaszczyźie Gaussa i azywa się charaterystyą amplitudowo-fazową. Charaterystyi amplitudowe i fazowe przedstawia się często jao charaterystyi logarytmicze Bodego (w logarytmiczej sali częstotliwości: M ( = 0log 0 j [db] (3 φ( = arg[ j ]. Zaleta tego sposobu przedstawiaia charaterysty częstotliwościowych wyia z właściwości fucji logarytmiczej:

2 - w sali logarytmiczej zmiaa o 0 c (c liczba całowita jest proporcjoala do c, - logarytm iloczyu jest rówy sumie logarytmów, a logarytm ilorazu różicy logarytmów: KK log K 3 = log K + log K log K. (4 Pozwala to przedstawić charaterystyi (modułu i fazy złożoego uładu automatyi za pomocą sumy charaterysty człoów podstawowych. 3 Esperymetale zdejmowaie charaterysty amplitudowo-fazowych. W celu oreśleia charaterystyi amplitudowo-fazowej zmieiamy częstotliwość sygału siusoidalego wejściowego w, w w 3... i oreślamy parametry K ( j oraz ϕ (. Im {j} x(t=xsit j y(t=x j si(t+ϕ = -ϕ( =0 Re {j} j Rys.. Esperymetale oreślaie charaterystyi częstotliwościowej W wprowadzeiu do ćwiczeia zostaą omówioe charaterystyi częstotliwościowe wybraych podstawowych człoów automatyi. I. Czło iercyjy I-rzędu rasmitacja operatorowa opisaa jest wzorem: s = s+ (I. rasmitacja widmowa człou iercyjego pierwszego rzędu: j = s s= j = (I. j+ Przedstawioa w postaci modułu i fazy:

3 K ( j jϕ ( j ar ctg = K ( j e = e. (I.3 ( Wyres charaterystyi amplitudowo-fazowej człou iercyjego pierwszego rzędu przedstawioo a rys. I.. + Im {j} = =0 Re {j} -j = Rys. I.. Charaterystya amplitudowo-fazowa człou iercyjego pierwszego rzędu Rys. I.. Charaterystyi Nyquista człou iercyjego pierwszego rzędu Na rys. I. przedstawioo charaterystyi Nyquista uładu iercyjego I-rzędu dla trzech różych stałych czasowych: =0,; =; 3=5. Ja moża zauważyć z wyresów rzywe te porywają się (przy tym samym wzmocieiu =. Oczywiście put 0,5 j0,5 a wyresach uzysuje się dla różych pulsacji (odpowiedio: 0, i 0,5. Dlatego dogodiej jest orzystać z charaterysty Bode. Logarytmicza charaterystya amplitudowa ma postać:

4 M ( = 0log 0log ( +, (I.4 a charaterystya fazowa: Φ ( = ar ctg(. (I.5 Rys. I.3. Logarytmicze charaterystyi amplitudy i fazy człou iercyjego pierwszego rzędu Na wyresie I.3 przedstawioo logarytmicze charaterystyi amplitudy i fazy, wyzaczoe dla: =, oraz =0,; =; 3=5.. Wyres M(w moża przedstawić w postaci przybliżoej, zastępując rzywą (I.4 za pomocą wyrażeia (I.6: 0log dla < M ( = (I.6 0log 0log dla >, bowiem dla małych częstotliwości (w<< wyrażeie 0log ( + = 0. Charaterystya (I.6 osi azwę logarytmiczej asymptotyczej charaterystyi amplitudowej i słada się z dwóch odciów prostych. W tym przypadu ajwięsza różica pomiędzy charaterystyą logarytmiczą, a jej przybliżeiem występuje dla pulsacji i wyosi: = 0log (0 log 0log ( + = 0log = 3dB. (I.7

5 II. Czło oscylacyjy rasmitacja operatorowa przedstawia się astępująco: s =. (II. s + ξ s+ rasmitacja widmowa człou oscylacyjego: j =. (II. + jξ Przedstawioa w postaci modułu i fazy: ξ jarctg( = e ( + (ξ K ( j. (II.3 Logarytmicza charaterystya amplitudy człou oscylacyjego jest rówa: M + ( = 0log j = 0log + 0log( 0log ( (ξ Logarytmicza charaterystya fazy:. (II.4 ξ Φ( = arctg. (II.5 Rys. II.. Charaterystyi amplitudowo-fazowe człou oscylacyjego (Bode i Nyquista

6 Na rys. II. przedstawioo charaterystyi wyzaczoe dla: =, oraz - x=0,5; x=0,5; x3=0,85 przy w =4 - w =, w =4; w 3 =8 przy x=0,5. Na podstawie aalizy wzoru II. moża oreślić warui potrzebe do wyzaczeia parametrów w i x. Parametr w wyzaczamy z waruu arg{jw a =-. Wtedy w =w a. Natomiast parametr x wyzaczamy dla waruu arg{jw b =-. Wtedy ξ 4 b =. b III. Czło różiczujący rzeczywisty rasmitacja operatorowa rzeczywistego człou różiczującego: s K ( s =. (III. s + rasmitacja widmowa rzeczywistego człou różiczującego: j ( ar ctg K ( j = e. (III. ( + Rys. III.. Charaterystya amplitudowo-fazowa rzeczywistego człou różiczującego

7 Na rys. III. przedstawioo charaterystyi amplitudowo-fazowe człou różiczującego dla trzech różych stałych czasowych: =0,; =0,5; 3=. Logarytmicza charaterystya amplitudy rzeczywistego człou różiczującego jest rówa: M ( = 0log j = 0log + 0log 0log ( +. (III.3 Logarytmicza charaterystya fazy: Φ ( = ar ctg. (III.4 Rys. III.. Charaterystyi logarytmicze rzeczywistego człou różiczującego Charaterystyi logarytmicze amplitudy i fazy, wyzaczoe dla: =0,; =0,5; 3= przedstawioo a rys. III..