2. Próbkowanie równomierne

Transkrypt

1 Cyrowe rzewarzanie sygnałów Próbkowanie równomierne Wrowadzenie Próbkowanie równomierne, jes rocesem konwersji sygnału analogowego (o czasie ciągłym) do osaci róbek obieranych w równych odsęach czasu. Próbkowanie rzerowadza się orzez odanie na wejście rzewornika analogowo-cyrowego (A/C) sygnału ciągłego. Na jego wyjściu orzymuje się ciąg warości liczbowych. Sygnał analogowy można róbkować z dowolną szybkością. Należy sobie jednak zadać yanie, na ile dobrze e warości rerezenują sygnał oryginalny. Odowiedź na o yanie daje eoria róbkowania. Proces konwersji analogowo-cyrowej można odzielić na rzy odsawowe eay: ilrowanie anyaliasingowe róbkowanie ilr anyaliasingowy róbkowanie rzewornik A/C amięanie amięanie wejściowy sygnał analogowy rzeilrowany sygnał analogowy sygnał dyskreny sygnał cyrowy Rys... Proces konwersji analogowo-cyrowej

2 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -- 3 ilrowanie anyaliasingowe Widmo rzeczywisych sygnałów jes ze względu na zniekszałcenia i szumy bardzo szerokie. ilrowanie anyalisingowe, dolnorzeusowym ilrem analogowym sosowane jes w celu ograniczenia szerokości widma rzeczywisego sygnału. Zasosowanie ego yu ilracji ma na celu zaobieżenie zjawisku nakładania się widm owsających w wyniku ich owielania odczas wykonywania róbkowania sygnału. szum sygnał szum Rys.. Powielenia widmowe (brak ilru anyaliasingowego) Na rys.. okazano widmo ciągłe sygnału o szerokości asma zawierającego szum oraz eek nakładania się widm sygnału i szumu w wyniku róbkowania rzebiegu. Taki eek zniekszałcenia widma wysęuje w wyniku braku ilru anyaliasingowego.

3 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -3-3 szum charakerysyka ilru anyaliasingowego szum Rys..3 Eek zasosowania ilru anyaliasingowego Rys..3 rzedsawia rzyadek zasosowania ilru analogowego dolnorzeusowego o częsoliwości odcięcia równej rzy ej samej częsoliwości róbkowania. Zasosowanie ilru analogowego dolnorzeusowego ozwala unikać nakładania się widm.

4 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -4-3 Próbkowanie sygnałów dolnoasmowych Pyanie: Czy znając jedynie zbiór róbek sygnału [n] : n...,-,-,,,,3,... oddalonych o rzedział róbkowania T możemy dokładnie odworzyć sygnał analogowy? Inaczej mówiąc czy dysonujemy inormacją o zachowaniu się sygnału między danymi róbkami? Odowiedź: W ogólnym rzeadku NIE! (jes o oczywise) Ale: Jeżeli jednak sygnał róbkowany sełniałby ewien dodakowy warunek odowiedź może brzmieć TAK. Ten dodakowy warunek doyczy szybkości zmian rzebiegu, kóry jeżeli analizujemy sygnał w dziedzinie częsoliwości jes związany z szerokością asma sygnału. Jeżeli sygnał nie może się szybko zmieniać o znaczy, że nie zawiera składowych o dużych częsoliwościach owyżej częsoliwości, sygnał ma ograniczone asmo. W rakyce ermin sygnał o ograniczonym aśmie oznacza jedynie o, że energia zawara w sygnale oza zakresem ± jes oniżej czułości naszego sysemu.

5 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -5-3 Twierdzenie o róbkowaniu (Shannona) Niech () będzie sygnałem ciągłym, kórego widmo sełnia warunek ograniczonego asma : ( ) j dla (.) Zgodnie z kryerium Nyquisa, sygnał () można odworzyć z ełną dokładnością z jego róbek gdy częsoliwość róbkowania sełnia zależność: 4 (.) Częsoliwość wyznaczającą szerokość widma sygnału nazywa się częsoliwością Nyquisa. Proces róbowania sygnału analogowego oraz odwarzanie sygnału z jego róbek rzedsawiono na wykresach (rys..4-rys..6). Rozarzymy rzy różne rzyadki wyboru częsoliwości róbkowania: (.3) > (.4) < (.5) Osani rzyadek jes niezgodny z wierdzeniem o róbkowaniu. Z ak wybranych róbek nie można odworzyć oryginalnego sygnału analogowego. Przyczyną jes nakładanie się owielanych widm i ich nieodwracalne zniekszałcenie. Widmo nie zawiera dysrybucji w unkach ±

6 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -6-3 Jes o rzyadek graniczny. Powielane widma sykają się ze sobą. () () () () d * d() T * D D h() () () () h * * H - H T T 3T -T -T -3T Rys..4. Proces róbowania sygnału analogowego oraz odwarzanie sygnału z jego róbek dla

7 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -7-3 > Powielane widma są rozłączne. () () () () d * d() T * D D h() () () () h * * H - > H T T 3T -T -T -3T Rys..5. Proces róbowania sygnału analogowego oraz odwarzanie sygnału z jego róbek dla >

8 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -8-3 < Widma nakładają się. () () () () d * d() T * D D h() () () () h * * H - < H T T 3T -T -T -3T aliasing Rys..6. Proces róbowania sygnału analogowego oraz odwarzanie sygnału z jego róbek dla <

9 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -9-3 Przykład: () Dany jes ciąg róbek, oraz wiadomo, że rerezenują one warości chwilowe ewnego rzebiegu sinusoidalnego. Pobrane są w równych odsęach czasu. Zadanie olega na odworzeniu rzebiegu ( wyznaczeniu jego aramerów amliudy i częsoliwości ) Hz T X[] X[] X[] X[3] X[4] X[5] X[6] () Hz > T Jeżeli ciąg rerezenuje róbki rzebiegu sinusoidalnego o nie można jednoznacznie określić ego rzebiegu jedynie z róbek. T Wymagana jes dodakowa inormacja. () 7Hz Jeżeli założymy, że róbkowanie wykonano zgodnie z kryerium Nyquisa, o oryginalnym rzebiegiem jes sinusoida o częsoliwości Hz. < T T Rys..7. Odwarzanie sygnału analogowego

10 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -- 3 Zadanie : Ile minimalnie róbek należy obierać w okresie sygnału sinusoidalnego zgodnie z wierdzeniem o róbkowaniu? Oznaczmy częsoliwość sinusoidy. Zgodnie z kryerium Nyquisa częsoliwość róbkowania musi być ak wybrana aby sełniony był warunek : Zaem > T > n > T n min 3 Od: Minimalna liczba róbek, obierana w okresie sinusoidy wynosi 3. Wedy można w sosób jednoznaczny odworzyć sinusoidę z róbek. Zadanie : Sygnał ma ograniczone asmo do Hz. Jaką minimalną liczbę róbek należy obierać w rzedziale czasu T.s, aby można było z ych róbek jednoznacznie odworzyć rzebieg? Zgodnie z wierdzeniem o róbkowaniu n. n 4 Od: Minimalna liczba róbek wynosi 4. T n T T T W ym rzyadku onieważ na granicy asma ojawia się dysrybucja, wymagana jes osra nierówność.

11 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -- 3 Próbkowanie sygnałów asmowych W rakyce częso róbkowane są analogowe sygnały asmowe czyli akie, kórych ograniczone asmo jes skuione wokół ewnej częsoliwości różnej od zera. Do ego yu sygnałów można z owodzeniem sosować róbkowanie dolnoasmowe, jednak zasosowanie secjalnej echniki zwanej róbkowaniem asmowym ozwala znacznie zmniejszyć koszy realizacji srzęowej, olegającej na zmniejszeniu szybkości rzewornika A/C oraz zmniejszeniu amięci wymaganej do amięania warości róbek. Jako rzykład róbkujmy rzebieg asmowy o szerokości asma 5kHz, skuiony wokół częsoliwości c khz. Zgodnie z kryerium Nyquisa, onieważ najwyższa składowa częsoliwościowa w sygnale ma warość,5khz należy róbkować sygnał z częsoliwością nie mniejszą niż 45kHz. 5kHz Na rysunku.8 okazano skuki róbkowania ego sygnału z częsoliwością znacznie mniejszą, równą 7,5kHz. Można zauważyć, że mimo mniejszej częsoliwości róbkowania owielenia widma nie zniekszałcają widma oryginalnego skuionego wokół częsoliwości c. Unikamy aliasingu. Okazuje się że róbkowanie z częsoliwością 45kHz nie jes konieczne. - c * c khz - c c c 7,5 khz Rys..8. Widmo sygnału asmowego analogowego i dyskrenego

12 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -- 3 Wyrowadzimy ogólne zależności doyczące róbkowania asmowego. Mamy ciągły sygnał asmowy o szerokości asma, o częsoliwości nośnej c. Próbkujemy en sygnał z dowolną częsoliwością. Przy arbiralnej liczbie owieleń m (na rysunku.9. m8 ) w rzedziale c - sygnał można róbkować z maksymalną częsoliwością aką że: m c (.6) c (.7) m Jeżeli szybkość róbkowania zmniejsza się o owielenia rzesuwają się i osiągamy dolną granicę częsoliwości róbkowania : ( ) m+ c + (.8) c + m + (.9) W en sosób orzymujemy zależność deiniującą zakres częsoliwości róbkowania asmowego zależną od szerokości asma sygnału, częsoliwości nośnej i liczby owieleń c + c m+ m (.) rzy czym m jes dowolną liczbą nauralną zaewniającą sełnianie kryerium Nyquisa w odniesieniu do szerokości asma sygnału. (.)

13 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -3-3 c - c c c + - c c Rys..9. Widmo sygnału dyskrenego, w rzedziale c - sygnał można róbkować z maksymalną częsoliwością,, w rzedziale c + sygnał można róbkować z minimalną częsoliwością,

14 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -4-3 Przykład: Przebieg asmowy o szerokości asma 5kHz i częsoliwości nośnej c khz. m ( c -)/m ( c +)/(m+) Oymalne 35, khz,5 khz,5 khz 7,5 khz 5, khz 7,5 khz 3,66 khz,5 khz,5 khz 4 8,75 khz 9, khz - 5 7, khz 7,5 khz - Jak wynika z abeli częsoliwość róbkowania nie może być mniejsza niż,5khz. Za oymalną częsoliwość róbkowania rzyjęo aką rzy kórej owielenia widma sykają się ze sobą jedynie w unkcie Hz. Przy ak rzyjęej częsoliwości róbkowania błędy związane dalszym rzewarzaniem cyrowym (n. ilrowaniem) sygnału są minimalne. Zdeiniujemy nowy aramer R jako sosunek częsoliwości najwyższej w aśmie sygnału do szerokości asma c + R (.)

15 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -5-3 Wykreślimy zależność minimalnej częsoliwości róbkowania od arameru R dla różnych warości m ( ) m+ + ( m+ ) c c + m+ R ozn: min ( ) min ( m+ ) R (.) 4 3,5 min m m m m3 m4 m5 R 3 4 4, Rys... Minimalna częsoliwość róbkowania w zależności od R dla różnych warości m Z wykresu wynika, że niezależnie od R minimalna częsoliwość róbkowania nie rzekracza 4 i zmniejsza się dążąc do rzy zwiększaniu częsoliwości nośnej (wzros R). Taki wniosek może być zaskakujący!.

16 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -6-3 Wrowadzając na wykresie warunek ograniczający częsoliwość z góry (maksymalną) orzymamy obszary częsoliwości zakazanych i dozwolonych związanych z odowiednią warością arameru m. m c m R + max max ( R ) (.3) m 6 róbkowanie dolnoasmowe m m 4 m3 m4 srea zakazana R Rys... Minimalna i maksymalna częsoliwość róbkowania w zależności od R dla różnych warości m

17 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -7-3 Wrawdzie z rysunku wynika, że możemy sosować częsoliwości róbkowania, kóre leżą na granicy srey zakazanej i dozwolonej, jednak w rakycznych zasosowaniach należy wybierać częsoliwości nieco oddalone od ych granic. Takie osęowanie ozwala uniknąć n. roblemów związanych z niedokładnością ilrów asmowych, niesabilnością zegara układu róbkującego i. Przykład: Wracając do rzebiegu rzykładowego o szerokości asma 5kHz i częsoliwości nośnej c khz. 5 + R Z wykresu można odczyać dla ej warości R, minimalną akceowalną częsoliwość róbkowania. Wynosi ona rzy m3 ( owielenia widma ).5, czyli.5khz co jes zgodne z warością wyznaczoną w abeli. Zadanie: Przebiegu o szerokości asma Hz i częsoliwości nośnej c Hz. Jaką minimalną częsoliwość róbkowania można sosować? Czy można sosować częsoliwość róbkowania asmowego 4Hz, 8Hz, 6Hz? Jak uwzględnić błąd częsoliwości róbkowania związany z niedokładnością zegara? Czy można akże uwzględnić niedokładności ilru anyaliasingowego? + R 5.5

18 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -8-3 m 6 ± Hz m 4 m3 m4 srea zakazana 9 Hz R Jak wynika z wykresu dla R5.5 minimalna częsoliwość róbkowania rzy m4 wynosi min + 44Hz 4+ Nie jes możliwe róbkowanie z częsoliwością 4Hz, naomias możliwe z 8Hz i 6Hz. Przy 6Hz na wykresie zaznaczono zakres douszczalnego błędu róbkowania. Podobnie jak błąd zegara można określić zw. asmo ochronne ( w osi arameru ) R rzy usalonej szerokości asma Rmin < < R max 9Hz< < Hz

19 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -9-3 Przeworniki analogowo-cyrowe Przeworniki z równoczesną komaracją ( rzeworniki leszowe ): Zasadę działania jednosoniowego rzewornika a/c z równoczesną komaracją rzedsawia rysunek.. Przewornik o długości słowa n (w rzykładzie n) biów zawiera n komaraorów, orównujących amliudę sygnału wejściowego U X z odowiednimi częściami naięcia odniesienia U N, uzyskiwanymi z kolejnych wyjść dzielnika, złożonego z n jednakowych rezysorów. Kod sygnałów wyjściowych komaraorów jes rzekszałcany na kod dwójkowy. Zaleą jes duża szybkość działania, wadą znaczny obór mocy i duże wymiary srukury, szybko rosnące rzy owiększaniu rozdzielczości: Liczba biów rzewornika 8 Liczba komaraorów Zasada równoczesnej komaracji jes wykorzysywana bo budowy najszybszych rzeworników 8 biowych.

20 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -- 3 Dwusoniowy rzeworniki z równoczesną komaracją: Szybkie rzeworniki o rozdzielczości większej niż 8 biów wymagają sosowania komaracji dwusoniowej. Cykl rzewarzania składa się z dwóch az: W ierwszej azie usalana jes za omocą równoczesnego rzewornika a/c warość najbardziej znaczących biów wyniku (w rzykładzie 4 biy). Wynik ierwszego rzewarzania jes za omocą omocniczego rzewornika c/a zamieniany odowiadającą mu warość sygnału analogowego i odejmowany od sygnału wejściowego. Różnica jes rzewarzana za omocą drugiego równoczesnego rzewornika a/c (w rzykładzie również 4 biowego), worząc mniej znaczącą część biów wyniku. Cykl rzewarzania jes razy dłuższy niż w jednosoniowych, jednak wymaga znacznie mniej komaraorów Realizacja rzewornika 8 biowego wymaga 3 komaraorów, czyli znacznie mniej niż 55, dlaego szybkie rzeworniki a/c 8..4 biowe są budowane jako i 3 soniowe. N. biowy, 3 soniowy rzewornik równoległy AD9 (Analog Devices) rzewarza sygnał z szybkością M/s (milionów róbek na sekundę).

21 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -- 3 Przeworniki z wagową komaracją (rzeworniki komensacyjne): W rzewornikach analogowo cyrowych o średniej szybkości działania 5-7 b/s najczęściej sosuje się zasadę wagowej komaracji sygnału wejściowego z kolejno malejącymi rzyrosami naięcia odniesienia. W zależności od wyniku komaracji o wykonaniu ego kroku najbardziej znaczący bi wyniku jes w sanie włączonym lub zerowany. Dla rzykładowego rzewornika 5 biowego W ierwszym kroku naięcie wejściowe U X jes większe niż naięcie odniesienia. (Podczas ierwszego kroku naięcie wzorcowe odowiada ołowie całego zakresu rzewarzania rzewornika. ) Najbardziej znaczący bi wyniku rzyjmuje warość, nasęuje zwiększenie naięcia odniesienia o ¼ zakresu i orównanie w drugim kroku. Naięcie wejściowe jes oniżej naięcia wzorcowego, wynik komaracji wynosi.zaem w dwóch cyklach określono warość naięcia na oziomie. Id... Pełny cykl rzewarzania n biowego rzewornika składa się z n cykli zegarowych.

22 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -- 3 Przeworniki nadróbkujące (rzeworniki sigma-dela) W osanich laach szerokie zasosowanie zdobyły rzeworniki z modulaorami sigma-dela wykorzysujące naróbkowywanie rzewarzanego sygnału. Nadróbkowywanie zaewnia możliwość osiągania wysokiej rozdzielczości. Sosowana jednobiowa kwanyzacja sigma-dela sosuje rozwinięcie meody znanej jako modulacja dela. Modulacja a oiera się o kwanyzację różnicy między warościami kolejnych róbek a nie warości absolunej warości róbki sygnału. Modulacja sigma-dela osiągnięa jes rzez rzesunięcie drugiego układu całkującego z demodulaora do sonia wejściowego modulaora.

23 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -3-3 Srukurę rosego rzewornika naróbkującego rzedsawia rysunek. Modulaor sigma-dela złożony z inegraora, komaraora i rosego, zwykle jednobiowego rzewornika c/a, zamienia sygnał wejściowy na ciąg imulsów zero-jedynkowych o częsoliwości generaora zegarowego. Przewornik sigma-dela wykorzysuje kwanyzaor -biowy, rzewarzania odbywa się z szybkością wielokronie rzekraczającą częsoliwość Nyquisa. Po rocesie róbkowania nasęuje decymacja, co rowadzi do obniżenia częsoliwości róbkowania.

24 Cyrowe rzewarzanie sygnałów -4-3 a) Przeworniki z równoczesną komaracją b) Przeworniki z wagową komaracją c) Przeworniki nadróbkujące