Szeregi Fouriera. Powyższe współczynniki można wyznaczyć analitycznie z następujących zależności:
|
|
- Fabian Szymański
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Trygonomeryczny szereg Fouriera Szeregi Fouriera Każdy okresowy sygnał x() o pulsacji podsawowej ω, spełniający warunki Dirichlea:. całkowalny w okresie: gdzie T jes okresem funkcji x(), 2. posiadający skończoną liczbę eksermów w okresie, 3. posiadając skończoną liczbę nieciągłości w okresie, można zapisać jako nieskończoną sumę składowych kosinusoidalnych i sinusoidalnych w posaci rygonomerycznego szeregu: Współczynniki a k i b k noszą nazwę rygonomerycznych współczynników Fouriera. Współczynnik a jes warością średnią (składową sałą) sygnału x(). Kolejne składniki sumy szeregu są całkowiymi wielokronościami pulsacji podsawowej ω. Powyższe współczynniki można wyznaczyć analiycznie z nasępujących zależności: gdzie: T okres sygnału x(), ω pulsacja podsawowa sygnału x(), Przykład Rozwinąć w szereg Fouriera sygnał prosokąny unipolarny przedsawiony na rys.. T = [s],
2 .5 A Rys.. Sygnał prosokąny unipolarny Warość średnia (składowa sała) wynosi z definicji: Zadany sygnał x() w przedziale przyjmuje warości: x() = dla x() = dla ( ) [ ] Obliczanie współczynnika a k ( ) [ ] Ponieważ ω = 2π [ ] [ ] [ ] [ ] Obliczanie współczynnika b k en człon jes zawsze =
3 ( ) [ ] [ ] Dla k =,2,4,6 (k - parzysych) wyrażenie cos(kπ) przyjmuje zawsze warość, sąd dla parzysych wielokroności pulsacji ω współczynnik b k =. Dla k =,3,5,7 (k - nieparzysych) wrażenie cos(kπ) przyjmuje warość -. Dla nieparzysych wielokroności pulsacji podsawowej ω współczynnik b k przyjmuje warość: Uogólniając można zapisać współczynnik b k w posaci: Podsumowując, sygnał prosokąny unipolarny o pulsacji podsawowej ω = 2π rad/sek (f = Hz), ampliudzie A=, współczynniku wypełnienia.5, z rys. można zapisać w posaci rygonomerycznego szeregu: ( ) Wniosek: sygnał prosokąny z rys. można złożyć z nieskończonej ilości funkcji sinus o pulsacjach składających się z nieparzysych całkowiych wielokroności pulsacji podsawowej 2π rad/s ( Hz). W sensie fizycznym złożenie funkcji z nieskończonej ilości składowych jes niemożliwe, dlaego ogranicza się ją do skończonego zakresu..2 k = k = k = 3 k = Rys. 2. Sygnał prosokąny aproksymowany skończoną liczbą funkcji sinus.
4 Kolejne wielokroności pulsacji (częsoliwości ) podsawowej nazywane są harmonicznymi. Tylko przebiegi sinus i kosinus nie zawierają wyższych harmonicznych, kórych zawarość jes miarą zniekszałceń sygnału. W miarę zwiększania liczby harmonicznych sygnał swym kszałem zbliża się do oryginalnego sygnału prosokąnego z rys.. Współczynniki Fouriera a k i b k są wielkościami bezwymiarowymi, ich warość nie zależy od pulsacji (jak również od częsoliwości i okresu). Współczynnik a składowa sała przesuwa sygnał po osi y (spełniając funkcję offse u). Chcąc np. aproksymować sygnał prosokąny bipolarny (np. aki, kórego ampliuda zmienia się od -.5 do +.5), częsoliwości podsawowej f =2Hz (pulsacja ω 4π rad/s, T=.5 sek.) i współczynniku wypełnienia.5 nie ma porzeby wyznaczania nowych współczynników a k i b k. Jedyną różnicą między akim sygnałem a sygnałem z rys. będzie warość pulsacji podsawowej (4π rad/s) i warości średniej (składowej sałej) a =. Sygnał będzie mógł być zapisany w posaci sumy: a jego przebieg: ( ) ??? Rys. 3. Sygnał prosokąny unipolarny o współczynniku wypełnienia.5, częsoliwości podsawowej 2Hz, ampliudzie.5 złożony z 76 składowych. Zespolony Szereg Fouriera Wyznaczenie rygonomerycznych współczynników Fouriera wiąże się z koniecznością wykonania dwóch operacji całkowania. Można ę niedogodność wyeliminować zasępując szereg rygonomeryczny szeregiem wykładniczym. Korzysając z zależności Eulera: rygonomeryczny szereg Fouriera można zapisać w posaci szeregu wykładniczego:
5 gdzie c k jes zespolonym współczynnikiem Fouriera, kóry wyznacza się z zależności: Jeżeli współczynniki c k przedsawimy jako: o: a po uproszczeniu: { } Moduły zespolonych współczynników c k worzą zw. widmo ampliudowe, naomias fazy φ k widmo fazowe. Trygonomeryczne współczynniki Fouriera a k i b k bardzo ławo obliczyć znając współczynnik zespolony: W en sposób orzymujemy szereg w posaci: { } { } { } { } Przykład 2 Aproksymować rygonomerycznym szeregiem Fouriera złożonym ze 25 składowych sygnał piłokszałny przedsawiony na rys. 4. Narysować widmo ampliudowe i fazowe ego sygnału.
6 [s] Rys. 4. Sygnał piłokszałny, A =, T=.5s (f = 2Hz, ω =4π rad/sek). Pamięając, że współczynniki Fouriera nie zależą od pulsacji w celu uproszczenia obliczeń wyznaczymy zespolony współczynnik Fouriera w granicach np. : (dla sygnału o okresie s). Sygnał piłokszałny w granicach od do T przyjmuje posać x() =, sąd : Obliczenie ej całki może być dość uciążliwe (konieczność całkowania przez części) dlaego w celu uzyskania szybkiego rozwiązania polecam skorzysanie np. z aplikacji Wolfram Alpha (wpisać polecenie: inegrae *e^(-i*2*pi*k*) d from = o ). orzymany wynik: należy jeszcze uprościć (m.in. przekszałcić człon wykładniczy na posać rygonomeryczną, zauważyć, że cos(2kπ) jes dla każdego k zawsze równe a sin(2kπ) równe ). Osaecznie orzymujemy: Zauważmy, że współczynnik c k posiada ylko część urojoną w związku z ym: { } { } = { } Składowa sała ego sygnału obliczona na podsawie (..): Okres sygnału wynosi.5s, więc f = 2Hz, ω =4π rad/s.
7 Sygnał z rys. 4 można zapisać w posaci sumy 53 składowych sinusoidalnych: ( ) Efek Gibbsa [s] Rys. 5. Sygnał piłokszałny dla 53 składowych harmonicznych Widmo ampliudowe ( ): a widmo fazowe: ( ) c.2 k k k k Rys. 6. Widmo ampliudowe a) i fazowe b) sygnału piłokszałnego dla pierwszych harmonicznych. Warość widma ampliudowego π/2 rad dla każdej harmonicznej sygnału piłokszałnego oznacza, że każda składowa ego sygnału (harmoniczna) jes przesunięa w fazie o π/2 rad względem funkcji kosinus. Dziedziną widma ampliudowego jes wielkość bezwymiarowa k numer kolejnej harmonicznej. Znając częsoliwość podsawową danego sygnału kolejne harmoniczne można wyrazić w jednoskach częsoliwości. Dla analizowanego będzie o całkowia wielokroność 2Hz (4,6,8,. Hz). W en sposób sygnał x() z dziedziny czasu zosał przekszałcony w dyskreną dziedzinę częsoliwości (k jes liczbą nauralną). Jes o dokładnie en sam sygnał, zmienił się jedynie jego sposób reprezenacji. Jeżeli nasz sygnał zapiszemy np. w posaci:
8 ( ( )) o można zauważyć, że każda składowa kosinusoidalna z dziedziny czasu odpowiada ożsamościowo na widmie ampliudowym Delcie Diraca przemnożonej przez warość ampliudy danej harmonicznej. Składowa sała z dziedziny czasu odpowiada zerowej warości k czyli częsoliwości Hz. Waro zwrócić uwagę na kszały aproksymowanych szeregiem Fouriera sygnałów prosokąnego i piłokszałnego. W miejscach, gdzie sygnał zmienia swoją ampliudę w sposób skokowy (z warości do w czasie eoreycznie nieskończenie krókim) pojawia się przeregulowanie. Zjawisko o jes znane pod nazwą Efeku Gibbsa i wraz ze wzrosem liczby harmonicznych nie zanika. Warość ego przeregulowania jes sała i wynosi ok. 9% wysokości zbocza. Własności szeregów Fouriera. Liniowość Jeżeli funkcje f() i g() w dziedzinie czasu są okresowe o ym samym okresie T, a ich zespolone współczynniki Fouriera o c k i d k (w dziedzinie k):, Kombinacja liniowa ych funkcji: jes również funkcją okresową o ym samym okresie T. Współczynniki Fouriera e k rozwinięcia funkcji z() są również liniową kombinacją współczynników c k i d k. 2. Przesunięcie w dziedzinie czasu Przesunięcie w dziedzinie czasu o warość (w prawo) funkcji f(x) odpowiada (jes ożsame) przemnożeniu zespolonych współczynników c k przez czynnik 3. Różniczkowanie Różniczkowanie funkcji x() w dziedzinie czasu jes ożsame przemnożeniu zespolonych współczynników c k przez czynnik jkω.
9 Przykład 3 Znaleźć współczynniki Fouriera sygnału rójkąnego przedsawionego na rys Rys. 7. Sygnał rójkąny [s] Do znalezienia współczynników Fouriera można użyć poznane wcześniej meody obliczyć je poprzez całkowanie lub zamias żmudnego całkowania przez części wykorzysać własności szeregów Fouriera. Jedną z nich (szerzej omawianą przy okazji ciągłej ransformay Fouriera) jes własność symerii widmowej. Jeśli np. składowa sała w dziedzinie czasu odpowiada Delcie Dirac a w punkcie dziedziny k (częsoliwości, pulsacji) o z własności symerii sygnał sały w dziedzinie częsoliwości będzie w dziedzinie czasu Delą Diraca dla czasu =. dziedzina czasu () dziedzina częsoliwości nieskończenie szerokie pasmo - sygnał () w dziedzinie czasu jes sygnałem o nieskończenie szerokim paśmie w dziedzinie częsooiwości zawiera wszyskie częsoliwości od - do + dziedzina częsoliwości dziedzina czasu ( ) składowa sała Rys. 8. Symeria widmowa ransformay Fouriera Jeżeli więc poprzez operację różniczkowania przebiegu czasowego sygnału będziemy mogli doprowadzić go do ciągu okresowo powarzanych Del Dirac a znajdziemy zespolony współczynnik c k wyrażony jako suma sałych składników (przesunięych w czasie i czasem również różniczkowanych)., funkcja f() w dziedzinie czasu jes ożsamościowo równa zespolonemu współczynnikowi c k w dziedzinie k.
10 2.5 f() , Rys. 9. Sygnał rójkąny Pochodna f () jes ożsamościowo równa zespolonemu współczynnikowi ck przemnożonemu przez czynnik jkω. 5 4 f '() Rys.. Jednokronie zróżniczkowany sygnał rójkąny, Druga pochodna f () jes ożsamościowo równa zespolonemu współczynnikowi c k kolejny raz mnożony przez czynnik jkω. 8 6 f ''() 8 (+2) 8 (+) 8 () 8 (-) (+.5) -8 (+.5) -8 (-.5) -8 (-.5) Rys.. Dwukronie zróżniczkowany sygnał rójkąny
11 Do obliczenia współczynnika c k brane są ylko Dely, kóre wchodzą w skład okresu. W rozparywanym przypadku najprościej będzie jeśli wybierzemy delę w punkcie = j. 8δ() oraz w punkcie =.5 j. -8δ(-.5). Kolejna dela w = 8δ(-) składa się na kolejny okres i nie jes brana pod uwagę. Jeden okres drugiej pochodnej naszego sygnału w dziedzinie czasu można zapisać jako: a w dziedzinie k: ( ) Dzielenie wynika z normalizacji do szerokości okresu (podobnie jes przy całkowaniu j. obliczaniu c k z definicji ), naomias mnożenie przez zespolony czynnik jes konsekwencją przesunięcia w dziedzinie czasu o =.5. Okres sygnału T wynosi s, pulsacja ω =2π rad/s. Po podsawieniu i uproszczeniu: ( ) Współczynnik c k dla analizowanego sygnału posiada ylko część rzeczywisą (w związku z ym b k =), a sam sygnał zawiera wyłącznie nieparzyse harmoniczne. { } Zauważmy, że rozparywane sygnał jes funkcją parzysą jej części zespolone współczynnika c k są równe zero. Dla funkcji nieparzysych (np. sygnały z przykładów i 2) część rzeczywisa jes równa zero. Widmo fazowe i ampliudowe sygnału rójkąnego przedsawiono na rys. poniżej Rys. 2. Widmo fazowe i ampliudowe sygnału rójkąnego Składowa sała a wynosi więc nasz sygnał rójkąny aproksymowany szeregiem Fouriera przyjmie posać: ( ) a jego przebieg czasowy dla harmonicznych:
12 .5 x app () Rys. 3. Sygnał rójkąny dla 7 składowych harmonicznych Zauważmy, że szereg Fouriera już dla k = bardzo dokładnie przybliża oryginalny sygnał rójkąny. Dla ego sygnału nie wysępuje również efek Gibbsa. Przykład 4 Rozwinąć w szereg Fourier nasępujący sygnał w dziedzinie czasu:.5 x() Pierwsza i druga pochodna ego sygnału: Rys. 4. Sygnał x().5 x'() Rys. 5. Jednokronie zróżniczkowany x () sygnał x()
13 .5 (+4) (+2) x''() () (-2) '() - (+3) - (+) - '(-2) - '(+2) - (-) - (-3) Rys. 6. Dwukronie zróżniczkowany x () sygnał x() Jeden okres drugiej pochodnej (w granicach od do 2): x () = δ() - δ(-) δ (-2) Zauważmy, że pojawiło się nam dziwadło w posaci pierwszej pochodnej Dely Dirac a. W sensie fizycznym jes o sygnał k samo absrakcyjny jak Dela Dirac a, jednak w sensie maemaycznym szczególnie w dziedzinie k jes o jak najbardziej spójne. Transformując powyższą równość na dziedzinę k uwzględniając okres orzymujemy: ( ) ( ) po uproszczeniu: Składowa sała: Widmo ampliudowe i fazowe pierwszych 3 harmonicznych:
14 Rys. 7. Widmo ampliudowe i fazowe pierwszych 3 harmonicznych Proszę zwrócić uwagę, że nie ma znaczenia, od kórej dely rozpoczynamy sumowanie. Ważne jes aby była ona częścią okresu. Jeżeli do analizy przyjmiemy dely zaznaczone na zielono (rys. 8) o uzyskamy idenyczny wynik, przy nieco mniejszym nakładzie prac (proszę sprawdzić samodzielnie).5 (+4) (+2) x''() () (-2) '() - (+3) - (+) - '(-2) - '(+2) - (-) - (-3) Rys. 8. Dwukronie zróżniczkowany x () sygnał x() ( ).5 x app () Rys. 9. Przebieg czasowy sygnału złożonego z 5 harmonicznych
15 Zadanie:. Rozwinąć w szereg Fouriera sygnał prosokąny o zmiennym współczynniku wypełnienia, 2. Rozwinąć w szereg Fouriera sygnał zadany przez prowadzącego, 3. Zbadać wpływ liczby harmonicznych na jakość odwzorowania sygnału. Jakie zjawiska zaobserwowano? Przykład kodu w Malabie: clc clear N=2; %Liczba harmonicznych k=:n; A=.5; %Ampliuda Of =.5; %Offse T=.; %Okres w=2*pi/t; =:T/N/:2*T; ck = A*j*(-cos(k*pi))./(-*pi*k); %Wspolczynniki Fouriera ak = 2*real(ck); bk = -2*imag(ck); a = Of; widmo_a = abs (ck) ; widmo_f = angle (ck) ; %Widmo ampliudowe %Widmo fazowe x = a; for k=:n, x = x + (bk(k).*sin(k*w*)); end %Przebieg sygnalu w dziedzinie czasu %Przebiegi czasowe subplo(3,,) plo(,x); grid on ; hold on ile('przebieg czasowy sygnalu prosokanego') save('x_2.x','','x','-ascii') %Widma k=:n; subplo(3,,2) sem (k,widmo_a) ile('widmo ampliudowe') subplo(3,,3) sem (k,widmo_f) ile('widmo fazowe')
C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoPOMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU
Pomiar paramerów sygnałów napięciowych. POMIAR PARAMERÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH MEODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZEWARZANIA SYGNAŁU Cel ćwiczenia Poznanie warunków prawidłowego wyznaczania elemenarnych paramerów
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowoTemat 6. ( ) ( ) ( ) k. Szeregi Fouriera. Własności szeregów Fouriera. θ możemy traktować jako funkcje ω, których dziedziną jest dyskretny zbiór
ema 6 Opracował: Lesław Dereń Kaedra eorii Sygnałów Insyu eleomuniacji, eleinformayi i Ausyi Poliechnia Wrocławsa Prawa auorsie zasrzeżone Szeregi ouriera Jeżeli f ( ) jes funcją oresową o oresie, czyli
Bardziej szczegółowoANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ
Ćwiczenie 8 ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ. Cel ćwiczenia Analiza złożonego przebiegu drgań maszyny i wyznaczenie częsoliwości składowych harmonicznych ego przebiegu.. Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrotechniki
Wydział Mechaniczno-Energeyczny Podsawy elekroechniki Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. zw. PWr Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław Bud. A4 Sara kołownia, pokój 359 Tel.: 71 320 3201
Bardziej szczegółowoSygnały zmienne w czasie
Sygnały zmienne w czasie a) b) c) A = A = a A = f(+) d) e) A d = A = A sinω / -A -A ys.. odzaje sygnałów: a)sały, b)zmienny, c)okresowy, d)przemienny, e)sinusoidalny Sygnały zmienne okresowe i ich charakerysyczne
Bardziej szczegółowoRys.1. Podstawowa klasyfikacja sygnałów
Kaedra Podsaw Sysemów echnicznych - Podsawy merologii - Ćwiczenie 1. Podsawowe rodzaje i ocena sygnałów Srona: 1 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z podsawowymi rodzajami sygnałów, ich
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym
ĆWIZENIE 4 Badanie sanów nieusalonych w obwodach, i przy wymuszeniu sałym. el ćwiczenia Zapoznanie się z rozpływem prądów, rozkładem w sanach nieusalonych w obwodach szeregowych, i Zapoznanie się ze sposobami
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoWykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie
Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( τ) ( t) = 0
Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany
Bardziej szczegółowoGr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE
Niekóre z zadań dają się rozwiązać niemal w pamięci, pamięaj jednak, że warunkiem uzyskania różnej od zera liczby punków za każde zadanie, jes przedsawienie, oprócz samego wyniku, akże rozwiązania, wyjaśniającego
Bardziej szczegółowoPodstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.
Tema. Opracował: esław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Insyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akusyki Poliechnika Wrocławska Prawa auorskie zasrzeżone Podsawowe wyidealizowane elemeny obwodu elekrycznego
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
Podsawowe człony dynamiczne charakerysyki czasowe. Człon proporcjonalny = 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny = = + 4. Człony całkujący rzeczywisy () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisy ()
Bardziej szczegółowoSzeregi Fouriera (6 rozwiązanych zadań +dodatek)
PWR I Załad eorii Obwodów Szeregi ouriera (6 rozwiązanych zadań +dodae) Opracował Dr Czesław Michali Zad Znaleźć ores nasępujących sygnałów: a) y 3cos(ω ) + 5cos(7ω ) + cos(5ω ), b) y cos(ω ) + 5cos(ω
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE WZMACNIACZY OPERACYJNYCH DO LINIOWEGO PRZEKSZTAŁCANIA SYGNAŁÓW. Politechnika Wrocławska
Poliechnika Wrocławska Insyu elekomunikacji, eleinformayki i Akusyki Zakład kładów Elekronicznych Insrukcja do ćwiczenia laboraoryjnego ZASOSOWANIE WZMACNIACZY OPEACYJNYCH DO LINIOWEGO PZEKSZAŁCANIA SYGNAŁÓW
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH
POLIECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGEYKI INSYU MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH IDENYFIKACJA PARAMERÓW RANSMIANCJI Laboraorium auomayki (A ) Opracował: Sprawdził: Zawierdził:
Bardziej szczegółowoDobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych
Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego
Bardziej szczegółowoBadanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1
adanie funkorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie się z podsawowymi srukurami funkorów logicznych realizowanych w echnice TTL (Transisor Transisor Logic), ich podsawowymi paramerami
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut
Wojewódzki Konkurs Maemayczny dla uczniów gimnazjów. Eap szkolny 5 lisopada 2013 Czas 90 minu ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punk) Liczby A = 0, 99, B = 0, 99 2, C = 0, 99 3, D = 0, 99, E=0, 99 1 usawiono
Bardziej szczegółowoSilniki cieplne i rekurencje
6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać
Bardziej szczegółowoWykład 2: Szeregi Fouriera
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoWYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione
YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy
Bardziej szczegółowoWykład 4 Metoda Klasyczna część III
Teoria Obwodów Wykład 4 Meoda Klasyczna część III Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 5/8 el: (7) 3 6 fax: (7)
Bardziej szczegółowo4. Modulacje kątowe: FM i PM. Układy demodulacji częstotliwości.
EiT Vsemesr AE Układy radioelekroniczne Modulacje kąowe 1/26 4. Modulacje kąowe: FM i PM. Układy demodulacji częsoliwości. 4.1. Modulacje kąowe wprowadzenie. Cecha charakerysyczna: na wykresie wskazowym
Bardziej szczegółowoAnalityczne reprezentacje sygnałów ciągłych
Analiyczne reprezenacje sygnałów ciągłych Przedsawienie sygnału w posaci analiycznej: umożliwia uproszczenie i unifiację meod analizy, pozwala na prosszą inerpreację nieórych jego cech fizycznych. W eorii
Bardziej szczegółowoTemat VIII. Drgania harmoniczne
Tema VIII Drgania harmoniczne Równanie ruchu F k Siła k m Równanie ruchu sin cos Położenie równowagi w ruchu drgającym Położenie równowagi o akie położenie, w kórym siły wymuszające ruch równoważą się
Bardziej szczegółowo2. Cyfrowe reprezentacje sygnału fonicznego
3. Cyrowe reprezenacje sygnału onicznego Treść niniejszego rozdziału zosała opracowana przy założeniu, że Czyelnik jes zaznajomiony z podsawami eorii sygnałów dyskrenych. Podsawowe zagadnienia, związane
Bardziej szczegółowoTeoria sygna³ów. Wstêp. Wydanie II poprawione i uzupe³nione
IDZ DO PRZYK ADOWY ROZDZIA KATALOG KSI EK ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG Wydawnicwo Helion ul Chopina 6 44- Gliwice el (32)23-98-63 e-mail: helion@helionpl TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE ONOWOŒCIACH
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie analogowocyfrowe
Przewarzanie analogowocyfrowe Z. Serweciński 05-03-2011 Przewarzanie u analogowego na cyfrowy Proces przewarzania u analogowego (ciągłego) na cyfrowy składa się z rzech podsawowych operacji: 1. Próbkowanie
Bardziej szczegółowocx siła z jaką element tłumiący działa na to ciało.
Drgania układu o jedny sopniu swobody Rozparzy układ składający się z ciała o asie połączonego z nierucoy podłoże za poocą eleenu sprężysego o współczynniku szywności k oraz eleenu łuiącego o współczynniku
Bardziej szczegółowoE k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny
E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoParametry czasowe analogowego sygnału elektrycznego. Czas trwania ujemnej części sygnału (t u. Pole dodatnie S 1. Pole ujemne S 2.
POLIECHNIK WROCŁWSK, WYDZIŁ PP I- LBORORIUM Z PODSW ELEKROECHNIKI I ELEKRONIKI Ćwiczenie nr 9. Pomiary podsawowych paramerów przebiegów elekrycznych Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jes zapoznanie ćwiczących
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowo1. Rezonans w obwodach elektrycznych 2. Filtry częstotliwościowe 3. Sprzężenia magnetyczne 4. Sygnały odkształcone
Wyład 6 - wersja srócona. ezonans w obwodach elerycznych. Filry częsoliwościowe. Sprzężenia magneyczne 4. Sygnały odszałcone AMD ezonans w obwodach elerycznych Zależności impedancji dwójnia C od pulsacji
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzysano: M A T E M A T Y K A Wykład dla sudenów Część Krzyszo KOŁOWROCKI, ZBIÓR ZADAŃ Z RACHUNKU CAŁKOWEGO Krzyszo PISKÓRZ Deinicja CAŁKA NIEOZNACZONA Funkcję
Bardziej szczegółowoTERAZ O SYGNAŁACH. Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych
TERAZ O SYGNAŁACH Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych Sygnał sinusoidalny Sygnał sinusoidalny (także cosinusoidalny) należy do podstawowych
Bardziej szczegółowoRUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylaor harmoniczny Energia oscylaora harmonicznego Wahadło maemayczne i fizyczne Drgania łumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu RUCH HRMONICZNY Ruch
Bardziej szczegółowo4.2. Obliczanie przewodów grzejnych metodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego
4.. Obliczanie przewodów grzejnych meodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego Meodą częściej sosowaną w prakyce projekowej niż poprzednia, jes meoda dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego. W
Bardziej szczegółowoPRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
PRZEWARZANIE SYGNAŁÓW SEMESR V Człowiek- nalepsza inwestyca Proekt współfinansowany przez Unię Europeską w ramach Europeskiego Funduszu Społecznego Wykład II Wprowadzenie Podstawy teoretyczne przetwarzania
Bardziej szczegółowoĆwiczenie. Analiza widmowa sygnałów
Program Rozwojowy Poliechniki Warszawskiej, Zadanie 36 Przygoowanie i modernizacja programów sudiów oraz maeriałów dydakycznych na Wydziale Elekrycznym Laboraorium kwizycja, przewarzanie i przesyłanie
Bardziej szczegółowoWykład 6. Badanie dynamiki zjawisk
Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk Krzywa wieża w Pizie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y 4,9642 4,9644 4,9656 4,9667 4,9673 4,9688 4,9696 4,9698 4,9713 4,9717 4,9725 4,9742 4,9757 Szeregiem czasowym nazywamy
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI PROSTOWNIKI
ZESPÓŁ LABORATORIÓW TELEMATYKI TRANSPORTU ZAKŁAD TELEKOMUNIKJI W TRANSPORCIE WYDZIAŁ TRANSPORTU POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PROSTOWNIKI DO UŻYTKU
Bardziej szczegółowoPolitechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych
Poliechnika Częsochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informayki Sprawozdanie #2 z przedmiou: Prognozowanie w sysemach mulimedialnych Andrzej Siwczyński Andrzej Rezler Informayka Rok V, Grupa IO II
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ELEKTRONIKI
WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część I Napięcie, naężenie i moc prądu elekrycznego Sygnały elekryczne i ich klasyfikacja Rodzaje układów elekronicznych Janusz Brzychczyk IF UJ Elekronika Dziedzina nauki i echniki
Bardziej szczegółowoimei 1. Cel ćwiczenia 2. Zagadnienia do przygotowania 3. Program ćwiczenia
CYFROWE PRZEWARZANIE SYGNAŁÓW Laboraorium Inżynieria Biomedyczna sudia sacjonarne pierwszego sopnia ema: Wyznaczanie podsawowych paramerów okresowych sygnałów deerminisycznych imei Insyu Merologii Elekroniki
Bardziej szczegółowoSformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej. Fizyka II, lato
Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwanowej Fizyka II, lao 018 1 Wprowadzenie Posać funkcji falowej dla fali de Broglie a, sin sin k 1 Jes o przypadek jednowymiarowy Posać a zosała określona meodą zgadywania.
Bardziej szczegółowoPROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1
PROGNOZOWANIE I SYMULACJE mgr Żanea Pruska Ćwiczenia 2 Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X, wyrażona w ysiącach wyprodukowanych i dosarczonych szuk firmie Bea,
Bardziej szczegółowouzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t
4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem
Bardziej szczegółowoPAlab_4 Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych
PAlab_4 Wyznaczanie charakerysyk częsoliwościowych Ćwiczenie ma na celu przedsawienie prakycznych meod wyznaczania charakerysyk częsoliwościowych elemenów dynamicznych. 1. Wprowadzenie Jedną z podsawowych
Bardziej szczegółowoStatystyka od podstaw z systemem SAS Dr hab. E. Frątczak, ZAHZiAW, ISiD, KAE. Część VII. Analiza szeregu czasowego
Część VII. Analiza szeregu czasowego 1 DEFINICJA SZEREGU CZASOWEGO Szeregiem czasowym nazywamy zbiór warości cechy w uporządkowanych chronologicznie różnych momenach (okresach) czasu. Oznaczając przez
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA
DODATEK A POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA AUTOMATYKI I ELEKTRONIKI ĆWICZENIE NR 1 CHARAKTERYSTYKI CZASOWE I CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PROSTYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH PRACOWNIA SPECJALISTYCZNA
Bardziej szczegółowoDrgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM SYGNAŁÓW I SYSTEMÓW. Ćwiczenie 1
POLIECHNIKA WARSZAWSKA INSYU RADIOELEKRONIKI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI LABORAORIUM SYGNAŁÓW I SYSEMÓW Ćwiczenie ema: MODELE CZĘSOLIWOŚCIOWE SYGNAŁÓW Opracowała: mgr inż. Kajeana Snope Warszawa Cel ćwiczenia
Bardziej szczegółowoDYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA
Laboratorium Teorii Sygnałów - DFT 1 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy widmowej sygnałów okresowych za pomocą szybkiego przekształcenie Fouriera
Bardziej szczegółowoPROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 2. mgr Dawid Doliński
Ćwiczenia 2 mgr Dawid Doliński Modele szeregów czasowych sały poziom rend sezonowość Y Y Y Czas Czas Czas Modele naiwny Modele średniej arymeycznej Model Browna Modele ARMA Model Hola Modele analiyczne
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowoANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1
ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 mgr inż. Żanea Pruska Maeriał opracowany na podsawie lieraury przedmiou. Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowoWykład 6. Badanie dynamiki zjawisk
Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk TREND WYODRĘBNIANIE SKŁADNIKÓW SZEREGU CZASOWEGO 1. FUNKCJA TRENDU METODA ANALITYCZNA 2. ŚREDNIE RUCHOME METODA WYRÓWNYWANIA MECHANICZNEGO średnie ruchome zwykłe średnie
Bardziej szczegółowoDYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.
CPS 6 DYSKRETE PRZEKSZTAŁCEIE FOURIERA C.D. Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: Przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
. Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty
Bardziej szczegółowoWyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych
Wyznaczanie charakerysyk częsoliwościowych Ćwiczenie ma na celu przedsawienie prakycznych meod wyznaczania charakerysyk częsoliwościowych elemenów dynamicznych. 1. Wprowadzenie Jedną z podsawowych meod
Bardziej szczegółowoSpis treści ZASTOSOWANIE PAKIETU MATLAB W OBLICZENIACH ZAGADNIEŃ ELEKTRYCZNYCH I41
Ćwiczenie I4 Poliechnika Białosocka Wydział Elekryczny Kaedra Elekroechniki Teoreycznej i Merologii Spis reści Insrukcja do pracowni specjalisycznej INFORMTYK Kod zajęć ESC 9 Tyuł ćwiczenia ZSTOSOWNIE
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml
Bardziej szczegółowoDOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH
Franciszek SPYRA ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian URBAŃCZYK Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH. Wsęp Zagadnienie poprawnego
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoWykład 2. Transformata Fouriera
Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera
Bardziej szczegółowoMAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak ( ) ( ) ( ) i E E E i r r = = = = = θ θ ρ ν φ ε ρ α * 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa
Bardziej szczegółowoLaboratorium z PODSTAW AUTOMATYKI, cz.1 EAP, Lab nr 3
I. ema ćwiczenia: Dynamiczne badanie przerzuników II. Cel/cele ćwiczenia III. Wykaz użyych przyrządów IV. Przebieg ćwiczenia Eap 1: Przerzunik asabilny Przerzuniki asabilne służą jako generaory przebiegów
Bardziej szczegółowo[ ] [ ] [ ] [ ] 1. Sygnały i systemy dyskretne (LTI, SLS) y[n] x[n] 1.1. Systemy LTI. liniowy system dyskretny
Cyfrowe rzewarzanie sygnałów --. Sygnały i sysemy dyskrene (LTI, SLS).. Sysemy LTI Pojęcie sysemy LTI oznacza liniowe sysemy niezmienne w czasie (ang. Linear Time - Invarian ). W lieraurze olskiej częściej
Bardziej szczegółowodr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 311
dr inż. Artur Zieliński Katedra Elektrochemii, Korozji i Inżynierii Materiałowej Wydział Chemiczny PG pokój 3 Politechnika Gdaoska, 20 r. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach
Bardziej szczegółowoZauważmy, że wartość częstotliwości przebiegu CH2 nie jest całkowitą wielokrotnością przebiegu CH1. Na oscyloskopie:
Wydział EAIiIB Kaedra Merologii i Elekroniki Laboraorium Podsaw Elekroniki Cyfrowej Wykonał zespół w składzie (nazwiska i imiona): Ćw.. Wprowadzenie do obsługi przyrządów pomiarowych cz. Daa wykonania:
Bardziej szczegółowoW celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,
Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.
Bardziej szczegółowo2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).
SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Bardziej szczegółowoUkłady RLC oraz układ czasowy 555
Układy L oraz układ czasowy 555 Sonda oscyloskopowa s Kabel Obwód wejsciowy oscyloskopu wes wes s k we we Konspek do ćwiczeń laboraoryjnych z przedmiou TEHNIKA YFOWA SPIS TEŚI. Układ różniczkujący... 3.
Bardziej szczegółowoPOMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH
Program ćwiczeń: Pomiary częsoliwości i przesunięcia fazowego sygnałów okresowych POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jes poznanie: podsawowych
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR
LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje
Bardziej szczegółowoVII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI
Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 47 VII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI. Równanie ruchu dla zagadnienia dynamicznego Q, (7.) gdzie M NxN macierz mas, C NxN macierz łumienia, K NxN macierz
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoSygnały pojęcie i klasyfikacja, metody opisu.
Sygały pojęcie i klasyfikacja, meody opisu. Iformacja przekazywaa jes za pośredicwem sygałów, kóre przeoszą eergię. Sygał jes o fukcja czasowa dowolej wielkości o charakerze eergeyczym, w kórym moża wyróżić
Bardziej szczegółowoTeoria Sygnałów. Inżynieria Obliczeniowa II rok 2018/19. Wykład 10. ( t) Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej
Teoria Synałów Inżynieria Obliczeniowa II rok 208/9 Wykład 0 Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej Na początek krótkie przypomnienie podstawowych definicji: Funkcja autokorelacji
Bardziej szczegółowoPodstaw Elektroniki Cyfrowej Wykonał zespół w składzie (nazwiska i imiona): Generator Rigol DG1022
Wydział EAIiIB Laboraoriu Kaedra Merologii i Elekroniki Podsaw Elekroniki Cyrowej Wykonał zespół w składzie (nazwiska i iiona: Ćw.. Wprowadzenie do obsługi przyrządów poiarowych cz. Daa wykonania: Grupa
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoPrzemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia
1 Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia + 0 k k 0 Przemieszczenie jes wekorem. W przypadku jednowymiarowym możliwy jes ylko jeden kierunek, a zwro określamy poprzez znak. Przyjmujemy, że
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Ciągi liczbowe Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są ciągi? Ciąg skończony o wartościach w zbiorze A to dowolna funkcja f: 1,2,, n A Ciąg nieskończony o wartościach w zbiorze
Bardziej szczegółowoCYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)
I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.
Bardziej szczegółowo