Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 8 1/9 ĆWICZENIE 8. Próbkowanie i rekonstrukcja sygnałów

Transkrypt

1 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 8 1/9 ĆWICZENIE 8 Próbkowanie i rekonstrukcja sygnałów 1. Cel ćwiczenia Pierwotnymi nośnikami informacji są w raktyce głównie sygnały analogowe. Aby umożliwić cyfrowe rzetwarzanie sygnału należy rzetworzyć sygnał analogowy na sygnał cyfrowy w rzetworniku analogowo-cyfrowym A/C, oddać go rzetwarzaniu cyfrowemu i na koniec rzetworzyć sygnał cyfrowy na analogowy w rzetworniku cyfrowo-analogowym C/A. Przetwornik A/C wykonuje na sygnale oerację róbkowania (dyskretyzacji) i oerację kwantowania, a rzetwornik C/A wykonuje oerację rekonstrukcji, odtworzenia sygnału analogowego z sygnału dyskretnego. Celem niniejszego ćwiczenia jest omówienie zagadnień róbkowania i rekonstrukcji sygnału. 2. Wrowadzenie Uroszczony schemat blokowy tyowego systemu cyfrowego rzetwarzania sygnałów okazano na rys. 1. analogowy x() t cyfrowy cyfrowy x [ n] y[ n] analogowy y( t ) Filtr anty -aliasowy Przetwornik A/C (róbkowanie, kwantowanie) Cyfrowe rzetwarzanie sygnału (CPS) Przetwornik C/A (rekonstrukcja sygnału, ty. ZOH) Filtr rekonstrukcyjny Rys. 1. Schemat blokowy systemu cyfrowego rzetwarzania sygnałów Próbkowanie równomierne wykonywane w rzetworniku A/C olega na obraniu róbek sygnału analogowego ze stałym okresem róbkowania T. Wynik tej oeracji można rzedstawić jako graniczny rzyadek sygnału analogowego x d () t Tx( nt ) δ ( t nt ) n (1) lub krótko jako sygnał dyskretny [] ( ) x n Tx nt, n K, 2, 1,, 1, 2, K (2) x () [] jω X e sygnału sróbkowanego x [ n] ma ścisły związek z widmem ( ω ) jω () t. Widmo X e jest owielonym na osi częstotliwości widmem ( ω ) W ten sosób sygnał analogowy t zostaje zamieniony na sygnał dyskretny x n. Widmo ( ) róbkowanego x ( ) X sygnału X.

2 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 8 2/9 Na osi częstotliwości ojawiają się reliki widma X ( ω ) z odstęem równym częstotliwości 1 róbkowania f. T Zasady właściwego doboru częstotliwości róbkowania wynikają z nastęującego twierdzenia o róbkowaniu (Nyquist-Kotielnikow-Whittaker): częstotliwość róbkowania musi być onad dwukrotnie większa niż maksymalna częstotliwość w widmie sygnału f > 2B, aby sygnał analogowy można było bezbłędnie odtworzyć na odstawie jego róbek. Jeżeli nie są sełnione założenia twierdzenia, to zajdą zniekształcenia nazywane zniekształceniami aliasowymi. Aby uniknąć tych zniekształceń należy zastosować o stronie nadawczej filtr antyaliasowy lub zwiększyć częstotliwość róbkowania (zastosować nadróbkowanie). Filtr antyaliasowy obcina widmo sygnału użytecznego i towarzyszących mu szumów i zakłóceń. Idealny filtr antyaliasowy ma charakterystykę amlitudową rostokątną o aśmie równym rzedziałowi Nyquista i jest nierealizowalny fizycznie. Jego idealna charakterystyka jest aroksymowana charakterystykami realizowalnych fizycznie filtrów Butterwortha, Czebyszewa lub Bessela. Aby ułatwić zarojektowanie tych filtrów rzyjmuje się około 2% zaasu w stosunku do maksymalnej częstotliwości widma sygnału. Radykalne złagodzenie wymagań na selektywność filtru antyaliasowego osiąga się stosując nadróbkowanie. Zgodnie ze schematem blokowym z rys. 1, o stronie odbiorczej systemu należy na odstawie róbek systemu odtworzyć sygnał analogowy, czyli rzerowadzić rekonstrukcję sygnału. Między róbkami można orowadzić sygnał analogowy na nieskończenie wiele sosobów. Mimo to, jeśli są sełnione założenia twierdzenia o róbkowaniu, to jest możliwe idealne odtworzenie sygnału analogowego na odstawie róbek sygnału orzez zastosowanie idealnego filtru odbiorczego. Idealny filtr odbiorczy ma taką samą charakterystykę jak idealny filtr antyaliasowy i jest nierealizowalny fizycznie. W raktyce najczęściej do rekonstrukcji sygnału używa się rekonstruktora schodkowego (ZOH). Ten ty rekonstruktora interoluje wartości między róbkami w ten sosób, że odtrzymuje wartość każdej róbki aż do nastęnej róbki. zrekonstruowany jest aroksymacją schodkową oryginalnego sygnału analogowego, tak jak to okazano na rys. 2. f analogowy Próbki sygnału zrekonstruowany (schodkowy) T 2T 3T 4T 5T 6T 7T t Rys. 2. Zasada działania rekonstruktora schodkowego Rekonstruktor schodkowy ma rostokątną odowiedź imulsową

3 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 8 3/9 h () t () t u( t T ) u (3) T i nastęującą transmitancję H ( jω ) T T sinω jω 2 e 2 (4) T ω 2 Przejście sygnału sróbkowanego rzez rekonstruktor, to w dziedzinie czasu slot sygnału z odowiedzią imulsową, a w dziedzinie częstotliwości omnożenie widma sygnału (wraz z relikami) rzez transmitancję. Kolejny ty rekonstruktora to rekonstruktor odcinkami liniowy (w skrócie FOH). W tym rekonstruktorze wartości między róbkami są interolowane liniowo, tak jak to okazano na rys. 3. Rekonstruktor odcinkami liniowy ma trójkątną odowiedź imulsową h () t t 1+ T t 1 T,, dla T t dla < t T, oza tym (5) i nastęującą transmitancję H ( j ) 2 T sinω ω 2 (6) T ω 2 Podobnie jak i w orzednim rekonstruktorze tak i w tym, rzejście sygnału sróbkowanego rzez rekonstruktor, to w dziedzinie czasu slot sygnału z odowiedzią imulsową, a w dziedzinie częstotliwości omnożenie widma sygnału (wraz z relikami) rzez transmitancję. analogowy Próbki sygnału zrekonstruowany (odcinkami liniowy) T T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8 T t Rys. 3. Zasada działania rekonstruktora odcinkami liniowego

4 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 8 4/9 W badaniach rekonstruktorów będziemy osługiwali się interfejsem graficznym rorek. Okno tego interfejsu okazano na rys. 4. x ( t) można złożyć z ięciu składowych, każda o ostaci A cos( 2π f t + faza). Pole do edycji składowej sygnału należy kliknąć i edytowany tekst odświetli się na czerwono. Trzy arametry ( A, f, faza ) edytowanej składowej ustawiamy suwakami lub wisujemy wartości w ola edycyjne. Amlituda ma wartość z rzedziału A 1, odstawiając A eliminujemy nieotrzebną składową sygnału. Częstotliwość ma wartość z rzedziału f 2, odstawiając f zrealizujemy składową stałą sygnału. Faza ma wartość z rzedziału 18 faza 18. Do rekonstrukcji sygnału można wybrać za omocą rzycisków radiowych jeden z trzech rekonstruktorów: idealny, schodkowy, odcinkami liniowy. W ierwszym układzie wsółrzędnych zostaje wykreślony sygnał x ( t), róbki tego sygnału x[ n] (róbkowanie z założenia odbywa się z jednostkowym okresem róbkowania T 1) i sygnał zrekonstruowany na odstawie róbek (czerwona linia rzerywana). W drugim układzie wsółrzędnych jest wykreślone widmo amlitudowe sygnału x ( t). W trzecim układzie wsółrzędnych jest wykreślone widmo amlitudowe sygnału sróbkowanego x[] n (jest to widmo sygnału x (t ) wraz z relikami wokół krotności częstotliwości róbkowania 1 T 1). W czwartym układzie wsółrzędnych zostaje wykreślona charakterystyka f amlitudowa wybranego rekonstruktora. W ostatnim układzie wsółrzędnych jest wykreślone widmo amlitudowe sygnału zrekonstruowanego (jest to iloczyn widma sygnału x [ n] i charakterystyki częstotliwościowej rekonstruktora). Rys. 4. Okno interfejsu graficznego rorek

5 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 8 5/9 Przykład 1. Wybierzemy do badań sygnał, który sełnia założenia twierdzenia o róbkowaniu x() t 2 + 2cos( 2π,1t ) + cos( 2π, 3t ) (7) x () [] t i jego róbki x n (okres róbkowania jest z założenia jednostkowy), wykreślono w ierwszym układzie wsółrzędnych na rys. 4. Widmo amlitudowe sygnału x( t) wykreślono w drugim układzie wsółrzędnych na rys. 4. Założenia twierdzenia o róbkowaniu są sełnione, gdyż maksymalna częstotliwość w widmie sygnału x(t ) ma wartość B, 3 i jest onad dwukrotnie mniejsza niż częstotliwość róbkowania 1 T 1.5,.5 ). Widmo sygnału f (widmo sygnału mieści się w rzedziale Nyquista ( ) x[] n sróbkowanego jest wykreślone w trzecim układzie wsółrzędnych na rys. 4 i jak widać ogony relik widma nie zachodzą na siebie, będzie możliwa idealna rekonstrukcja sygnału orzez filtrowanie tego widma w idealnym filtrze odbiorczym. Charakterystyka amlitudowa takiego idealnego filtru odbiorczego będącego idealnym rekonstruktorem jest wykreślona w czwartym układzie wsółrzędnych i widmo sygnału na wyjściu tego filtru jest wykreślone w iątym układzie wsółrzędnych na rys. 4. Widmo sygnału na wyjściu systemu jest takie samo jak widmo sygnału na wejściu systemu i sygnał zrekonstruowany (narysowany linią rzerywaną w ierwszym układzie wsółrzędnych na rys. 4) okrywa się z sygnałem wejściowym. Używając rekonstruktora schodkowego zauważymy, że sygnał zrekonstruowany jest aroksymacją schodkową sygnału wejściowego, a używając rekonstruktora odcinkami liniowego zauważymy, że sygnał zrekonstruowany jest aroksymacją odcinkami liniową sygnału wejściowego. Przykład 2. Wybierzemy do badań sygnał, który nie sełnia założeń twierdzenia o róbkowaniu x j2π,4t j2π,4t j2π,6t j2π,6t () t 6cos( 2π,4t ) + 4cos( 2π,6t ) 3e + 3e + 2e + 2e (8) Widmo tego sygnału jest dyskretne i rążki widma wykreślono na rys. 5. Widmo sygnału na wyjściu idealnego filtru odbiorczego różni się zasadniczo od widma sygnału wejściowego. Dlatego sygnał zrekonstruowany (wykreślony linią ciągłą w ierwszym układzie wsółrzędnych) różni się bardzo od sygnału wejściowego (wykreślonego linią rzerywaną). Różnice te będą oczywiście też wystęowały rzy użyciu innych rekonstruktorów, gdyż nie ma leszego rekonstruktora od rekonstruktora idealnego.

6 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 8 6/9 Rys. 5. Badanie sygnału nie sełniającego założeń twierdzenia o róbkowaniu Do istniejących składowych sygnału można dodać składową o tak dobranej amlitudzie, częstotliwości i fazie, że z widma sygnału sróbkowanego zniknie dotychczas x t 6cos 2π,4t + 4cos(2π,6t istniejący rążek. Na rzykład o dodaniu do sygnału ( ) ( ) ) składowej cos ( 2π1,4 t + 18 ) 1, widmo całkowicie wyzeruje się (rys. 6).

7 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 8 7/9 Rys. 6. Zubażanie widma sygnału sróbkowanego orzez dodanie dodatkowej składowej sygnału wejściowego 3. Wykonanie ćwiczenia 1. Niech w systemie z idealnym rekonstruktorem sygnał wejściowy będzie rzebiegiem kosinusoidalnym. Zbadaj i rzedyskutuj jak zmienia się sygnał wyjściowy rzy zmianach częstotliwości sygnału wejściowego f we w zakresie od do 2. Zauważ, że dla częstotliwości sygnału wejściowego większych niż częstotliwość Nyquista ( f >,5 ), sygnał wyjściowy ma inną częstotliwość f niż sygnał wejściowy, we zachodzi zjawisko aliasu. Sorządź wykres zależności częstotliwości sygnału wyjściowego w funkcji częstotliwości sygnału wejściowego f. Ten wykres ma kształt iłozębowy. ( ) wy f we Dla każdego odcinka wykresu naisz jego równanie. Zauważ, że dla sygnału wejściowego o fazie ϕ, rzy częstotliwościach oadających odcinków wykresu f wy ( f we ), sygnał wyjściowy ma fazę ϕ (zachodzi zjawisko inwersji fazy). Można wziąć n. sygnał cos( 2πf wet 9 ) sin( 2πf wet) odcinków o dodatnim nachyleniu mamy na wyjściu sygnał ( 2πf wy t) i dla f we inwersja fazy). z odcinków o ujemnym nachyleniu mamy na wyjściu sygnał wy f we. Wówczas dla z f we sin (nie ma inwersji fazy), ( 2πf wy t) z sin (jest

8 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 8 8/9 2. Wybierz do badań sygnał dwuharmoniczny (lub z większą niż dwa liczbą składowych), sełniający założenia twierdzenia o róbkowaniu odobnie jak w rzykładzie 1. Zaisz ten sygnał wzorem. Porównaj, rzedyskutuj wyniki badań dla trzech rekonstruktorów: a) Rekonstruktor idealny. Narysuj sygnał zrekonstruowany na tle sróbkowanego sygnału wejściowego. Narysuj widmo sygnału sróbkowanego na tle charakterystyki amlitudowej idealnego rekonstruktora. Narysuj widmo sygnału wyjściowego. b) Rekonstruktor schodkowy. Narysuj sygnał zrekonstruowany na tle sróbkowanego sygnału wejściowego. Narysuj widmo sygnału sróbkowanego na tle charakterystyki amlitudowej rekonstruktora schodkowego (wzór (4)). Narysuj widmo sygnału wyjściowego. Narysuj charakterystykę filtru, który należałoby włączyć za rekonstruktorem, aby otrzymać charakterystykę rekonstruktora idealnego. c) Rekonstruktor odcinkami liniowy. Narysuj sygnał zrekonstruowany na tle sróbkowanego sygnału wejściowego. Narysuj widmo sygnału sróbkowanego na tle charakterystyki amlitudowej rekonstruktora odcinkami liniowego (wzór (6)). Narysuj widmo sygnału wyjściowego. Narysuj charakterystykę filtru, który należałoby włączyć za rekonstruktorem, aby otrzymać charakterystykę rekonstruktora idealnego. 3. Wybierz do badań sygnał dwuharmoniczny (lub z większą niż dwa liczbą składowych), nie sełniający założeń twierdzenia o róbkowaniu odobnie jak w rzykładzie 2. Zaisz ten sygnał wzorem. Sorządź wykresy sygnałów i widm. Porównaj wyniki dla trzech różnych rekonstruktorów. Przedyskutuj uzyskane wyniki. 4. Dodaj do sygnału z unktu 3 składową o tak dobranej amlitudzie, częstotliwości i fazie, aby zlikwidować jeden z dotychczasowych rążków widma sygnału sróbkowanego. Wyjaśnij sosób doboru tej dodatkowej składowej. 4. Zadania testowe na wejściówki i srawdziany () 1. dwuharmoniczny x t jest róbkowany z zadaną częstotliwością róbkowania: a) x() t cos ( 2π 2kHz t) + cos( 2πft), f 1 khz b) x() t 2 sin ( 2π 2kHz t ) + cos ( 2πft ), f 8 khz π c) x () t cos 2 π 2kHz t + + cos( 2πft + faza), faza, f 6 khz 2 System dyskretny nie ma filtru antyaliasowego, a filtr odbiorczy jest idealny. Znajdź takie częstotliwości f (jest ich nieskończenie wiele, odaj wzór), dla których sygnał wyjściowy jest sygnałem jednoharmonicznym. Dla najmniejszej ze znalezionych częstotliwości sełniającej warunek f 2 khz narysuj widmo sygnału wejściowego, widmo sygnału sróbkowanego, widmo sygnału wyjściowego. Wyznacz sygnał wyjściowy y() t. W rzyadku c znajdź dodatkowo takie ary f, faza, dla których sygnał wyjściowy równa się zeru. () 2. x t jest róbkowany z zadaną częstotliwością róbkowania: a) x() t 3 + 4cos( 2π 1kHz t) + 2cos( 2π 2kHz t), f 3 khz x t 1 + π + π f b) () 4cos( 2 1kHz t) 2cos( 2 5kHz t), 3 khz x t π + π + π f c) () cos( 2 3kHz t) 4cos( 2 5kHz t) 2sin( 2 8kHz t), 8 khz

9 Andrzej Leśnicki Laboratorium CPS Ćwiczenie 8 9/9 System dyskretny nie ma filtru antyaliasowego, a filtr odbiorczy jest idealny. Narysuj widmo sygnału wejściowego, widmo sygnału sróbkowanego, widmo sygnału wyjściowego. Wyznacz sygnał wyjściowy y() t. Wyjaśnij jaką rolę sełniłby w systemie filtr antyaliasowy, a jaką nadróbkowanie. Czy dla każdego sygnału wejściowego nadróbkowanie ozwala uniknąć zniekształceń aliasowych? 3. Wykaż, jaka jest odowiedź imulsowa i transmitancja rekonstruktora schodkowego. Jaka jest charakterystyka filtru, który należałoby włączyć kaskadowo z rekonstruktorem schodkowym, aby otrzymać charakterystykę idealnego rekonstruktora? 4. Wykaż, jaka jest odowiedź imulsowa i transmitancja rekonstruktora odcinkami liniowego. Jaka jest charakterystyka filtru, który należałoby włączyć za rekonstruktorem odcinkami liniowym, aby otrzymać charakterystykę idealnego rekonstruktora?