MAP1156 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.1 A Listy zadań

Transkrypt

1 MAP56 ANALIZA MATEMATYCZNA. A List zadań Lista.. Przjmując w defiicji całki ozaczoej podział rówomier obliczć podae całki ozaczoe i podać ich iterpretację geometrczą: ( ); b) ; e. Wskazówka.Ad.b).Zastosowaćwzor++...+= (+), = (+)(+) ; 6 Ad..Zastosowaćwzórasumęciągugeometrczegoa+aq+...+aq =a q q orazwkorzstaćrówośćlim h.. Korzstając z twierdzeia Newtoa-Leibiza obliczć całki: ( ) ; b) ; + +9 ; e ; e) e l; f) π si cos. *.3. Korzstając z defiicji całki ozaczoej uzasadić rówości: [ ( π lim tg π )] 4 4 +tgπ tgπ =l ; b) lim 4 = 4 ; lim [ l(+) (+)... (+) ] =l4..4. Obliczć całki ozaczoe dokoując wskazach podstawień: l3 e π +e,t=e ; b) 3,=t ; e) (4 ) 4 sie cos,t=cos; 9,=3sit; f).5. Metodą całkowaia przez części obliczć całki ozaczoe: e ; b) l; e) π 4 si; arcsi; f) π e (+cos); e l ,+=t ; 3 3 4,= t. e h h =;

2 Lista.. Narsować fukcje podcałkowe i obliczć całki ozaczoe: ; b) e ; sg ( 3 ) ;... Obliczć wartości średie podach fukcji a wskazach przedziałach i podać ich iterpretacje geometrczą: f()= [ +4, [,]; b)f()=si3, [,π]; f()=arctg,, 3 ]; f()= +, [,]..3. Wkorzstując własości całek z fukcji parzstch, ieparzstch lub okresowch uzasadić rówości: π si π si 4 + =; b) + +cos = +cos ; π e e l +si 5 =; si ( )=5.4. Obliczć pola obszarów ograiczoch krzwmi: ( ). =,+=; b)= 3,=,( ); =,=,=3; 4=,= 8 +4 ; e) =,=,=8; f) 4 =,=,=6..5. Obliczć długości krzwch: = 3, gdzie ; b)=ch, gdzie ; =, gdzie ; =lcos, gdzie π Obliczć objętości brł powstałch z obrotu podach figur T wokół wskazach osi: T:,,O; T: 5, +4,O; b)t: π 4, tg,o; T:,,O.

3 Lista Obliczć pola powierzchi powstałch z obrotu wkresów podach fukcji wokół wskazach osi: f()= 4+, 4,O; b)f()=cos, π,o; f()=l, 3,O; f()= +,,O. 3..Puktmaterialrozpocząłruchprostoliiowzprędkościąpoczątkowąv =m/siprzspieszeiema =m/s.poczasiet =spuktzacząłporuszaćsięzopóźieiema = m/s.zaleźćjego położeiepoczasiet =s. b)wiecząstkiaibpołożoewodległościd=36zaczajązbliżaćsiędosiebiezprędkościamiodpowiediov A (t)=t+t 3,v B (t)=6t,gdziet.pojakimczasieastąpiichzderzeie? 3.3. Korzstając z defiicji zbadać zbieżość całek iewłaściwch pierwszego rodzaju: (+) ; b) ( )e ; e) 4 3 ; ; f) π si; Korzstając z krterium porówawczego zbadać zbieżość całek iewłaściwch pierwszego rodzaju: ( +) ; b) (+) ; ; ( + ) ; e) π (+si) 3 ; f) ( ) +cos Korzstając z krterium ilorazowego zbadać zbieżość całek iewłaściwch pierwszego rodzaju: ( +) ; b) (+) 5 3 ; (+) ; 3 si ; 5 e) 3 si ; f) ( e + ) e. 3.6.Obliczćpoleobszaruograiczoegokrzwą= +4 orazosiąo. { b)obliczćobjętośćbrłpowstałejzobrotuwokółosioobszaru= (,) R :, e }. zasadić,żepolepowierzchipowstałejzobrotuwkresufukcji= dla wokółosioma skończoą wartość. 3

4 Lista Wzaczć i arsować dziedzi aturale fukcji: f(,)= 3 ( 5 ; b)f(,)=si + ) + ; f(,)= + 5 ; f(,)=l ; e)f(,,z)= + + ( ) z ; f)f(,,z)=arcsi + +z. 4.. Wkres(rs. ) połączć z odpowiadającmi im poziomicami(rs. A) C)) wkoami dla h =, 3,,,: z z= + b) z z= 4 ( + ) z z= ( + ) A) B) C) 4.3. Naszkicować wkres fukcji: f(,)= + ; b)f(,)= 3+ ; f(,)= + ++3; f(,)=si; e)f(,)= ; f)f(,)= zasadić, że ie istieją graice fukcji: lim (,) (,) 4 +4; b) lim (,) (,) 4.5. Obliczć graice fukcji: cos ( + ) lim (,) (,) lim (,) (,) ( + ) ; b) lim (,) (,) ; si 4 +; lim (,) (π,) ; lim (,) (,) e) lim (,) (,) + ; lim (,) (,) ; tg ( 3 3) ; f) lim (,) (,) 4.6.obraćparametra Rtak,abfukcjebłciągłewpukcie(, )=(,): si dla R,, f(,)= b)f(,)= a dla R,=; + dla (,) (,), f(,)= + + f(,)= a dla (,)=(,); ( + ) si. + dla (,) (,), a dla (,)=(,); tg ( +a ) + dla (,) (,), dla (,)=(,). 4

5 Lista Korzstając z defiicji obliczć pochode cząstkowe rzędu pierwszego fukcji we wskazach puktach: f(,)= +,(,); b)f(,)= +,(,); dla (,) (,) f(,)= +,(,); dla (,)=(,) f(,,z)= z, (,,); e)f(,,z)= z, (,,). 5.. Obliczć wszstkie pochode cząstkowe pierwszego rzędu fukcji: f(,)= + f(,,z)= + z +z3 ; ; b)f(,)=arctg + ; f(,)=esi ; e)f(,,z)= + +z ; 5.3. Sprawdzić cz podaa fukcja spełia wskazae rówaie: f(,)=l ( ++ ), f + f =; b)f(,)= si, f + f =f. f)f(,,z)=si(cos(siz)) Obliczć wszstkie pochode cząstkowe drugiego rzędu podach fukcji i sprawdzić, cz pochode cząstkowe mieszae są rówe: ( f(,)=si + ) ; b)f(,)=e ; f(,)=+ ; f(,)=l; e)f(,,z)= ) ( + +z ; f)f(,,z)=l + 4 +z Obliczć wskazae pochode cząstkowe fukcji: 3 f, f(,)=si; b) 4 f, f(,)=+ ; 3 f z, 3 f(,,z)= z ; 5.6. Sprawdzić, że fukcje: z=arctg ; b)z=+ ; ( z=+l + ) ; z=+ spełiają rówaie 5 f z, f(,,z)=e+z. z z z + + =, gdzie,>. 5

6 Lista Napisać rówaia płaszczz stczch do wkresów podach fukcji we wskazach puktach wkresu: z= +, (,,z )=(,3,z ); b)z=e +, (,,z )=(,,z ); z= arcsi ( arccos, (,,z )= ) 3,,z ; z=, (,,z )=(,4,z ). 6..Nawkresiefukcjiz=arctg wskazaćpukt,wktórchpłaszczzastczajestrówoległado płaszczz+ z=5. b)wzaczćrówaiepłaszczzstczejdowkresufukcjiz=arcctg +,którajestprostopadła doprostej= t,=t,z=t,gdziet R Wkorzstując różiczkę fukcji obliczć przbliżoe wartości wrażeń: (.) 3 (.997) ; b) 3 (.93) 3 +(4.5) 3 +(4.99) 3 ;.97 e.5 ; cos Wsokośćipromieńpodstawstożkazmierzoozdokładością±mm.Otrzmaoh=35mm orazr=45mm.zjakąwprzbliżeiudokładościąmożaobliczćobjętośćvtegostożka? b)krawędzieprostopadłościaumajądługościa=3m,b=4m,c=m.obliczćwprzbliżeiu,jak zmiei się długość przekątej prostopadłościau d, jeżeli długości wszstkich krawędzi zwiększm o cm. Oszacowaćbłądwzględδ V objętościprostopadłościamuv,jeżelipomiarujegoboków,,zdokoao zdokładościąodpowiedio,, z Wkorzstując reguł różiczkowaia fukcji złożoch obliczć pochode cząstkowe pierwszego rzędu względem i podach fukcji: u z=f(u,v)=l v+,gdzieu=si,v=cos; u b)z=f(u,v,w)=arcsi v+w,gdzieu=e,v= +,w=. 6

7 Lista Sprawdzić cz podae fukcje spełiają wskazae rówaia: z=f ( + ), z z =; b)z=f(si( )), z= f ( ), z d*)z= g()+h ( z + z =z ; + z =z,gdzie N; ), z z + + z + z = 7.. Korzstając z defiicji obliczć pochode kierukowe podach fukcji we wskazach puktach i kierukach: ( ) f(,)= +, (, )=(,), v=, ; ( ) b)f(,)= 3 3, (, )=(,), v=, ; ( ) 3 f(,,z)= +z, (,,z )=(,,), v= 3,4 3, Obliczć pochode kierukowe podach fukcji we wskazach puktach i kierukach: ( ) f(,)= +, (, )=( 3,4), v= 3,5 ; 3 b)f(,)= ( ) 3 +, (, )=(,), v= 5, 4 ; 5 ( ) 3 f(,,z)=a e z, (,,z )=(,, ), v=, 3 4, ; 4 ( f(,,z)=siz+cosz si(cos), (,,z )=(,,), v= 3, 3 3),. 7.4.Obliczćpochodąkierukowąfukcjif(,)= +l().wpukcie ( ), wkieruku wersora vtworzącegokątαzdodatimzwrotemosio.lajakiegokątaα,pochodatamawartość,a dla jakiego przjmuje wartość ajwiększą? b)wzaczćwersor v,wkierukuktórchfukcjaf(,)= e (+ ) wpukcie(,)mapochodą kierukową rówą. 7

8 Lista Zaleźć ekstrema fukcji: f(,)=3( ) +4(+) ; b)f(,)= ; f(,)= ; f(,)=e ( + +) ; e)f(,)= ( ), gdzie,>; f)f(,)= 8 + +; gdzie,>. 8.. Wzaczć ekstrema podach fukcji, którch argumet spełiają wskazae waruki: f(,)= +,3+=6; b)f(,)= + 8+, +=; f(,)= l,8+3=; f(,)=+3, + = Zaleźć ajmiejsze i ajwiększe wartości podach fukcji a wskazach zbiorach: f(,)= , = (,) R : 4 ; { } b)f(,)= + 6+4, = (,) R :+ 4,+ 6,, ; f(,)= +, = (, R : + ; f(,)= +4 4, = (,) R : 3 3, 3 ; e)f(,)= 4 + 4, = { (,) R : + 9 } ; ( )( ) f*)f(,)= ( + +),=R. 8.4.WtrójkącieowierzchołkachA=(,5),B=(,4),C=(, 3)zaleźćpuktM=(, ),dla którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest ajmiejsza. b) Jakie powi bć długość a, szerokość b i wsokość h prostopadłościeej otwartej wa o pojemości V, ab ilość blach zużtej do jej zrobieia bła ajmiejsza? Zaleźć odległość międz prostmi skośmi: k: { + =, z+ =, l: { +3=, z =. ProstopadłościemagazmamiećobjętośćV =6m 3.obudowściamagazuużwaesą płtwceie3zł/m,dobudowpodłogiwceie4zł/m,asufituwceiezł/m.zaleźćdługośća, szerokość b i wsokość c magazu, którego koszt budow będzie ajmiejsz. f)firmaprodukuje3i4calowetelewizorplazmowewceachzbtuodpowiedio4ei6eza sztukę. Koszt wprodukowaia sztuk telewizorów 3 calowch i 4 calowch woszą K(,)= ++ e. Ile sztuk telewizorów 3 i 4 calowch powia wprodukować firma ab osiągąć jak ajwiększ zsk? 8

9 Lista Obliczć całki podwóje po wskazach prostokątach: ( ) + d,gdzier=[,] [,]; b) R R sid,gdzier=[,] [π,π]; R R d (++) 3,gdzieR=[,] [,]; e d,gdzier=[,] [,]. 9.. Całkę podwóją f(, ) d zamieić a całki iterowae, jeżeli obszar ograiczo jest krzwmi o rówaiach: +=, 3 = ; b) + =4, =, =(, ); =; 9.3. Obliczć całki iterowae: =, + =3(<). 4 d; b) 4 Narsować obszar całkowaia. d; 4 ( 3 + 3) 3 d; d 9.4. Narsować obszar całkowaia, a astępie zmieić kolejość całkowaia w całkach: d f(,)d; b) f(,); e) π π f(,)d; si cos f(,)d; f) 4 e 4 l f(,)d; f(,)d Obliczć podae całki po obszarach ormalch ograiczoch wskazami krzwmi: d, :=,= ; b) e) f) g) h) d, :=,=,= ; (+)d, :=,=,=3 ( ); ( +4 ) d, :=+3,= +3+3; ( 3+)d, :=,=π,=,=si; e d, :=,=,=; e d, :=,=,= l3; e d, :=,=,=

10 Lista *.. Obliczć podae całki podwóje po wskazach obszarach: mi(,)d,gdzie=[,] [,]; b) + d,gdzie=[,] [,]; d,gdzie= { (,) R :, 3 } ; sg ( ) + d,gdzie= { (,) R : + 4 }. waga. Smbol mi(a, b) ozacza miejszą spośród liczb a, b, z kolei u ozacza część całkowitą liczb u... Obliczć wartości średie podach fukcji a wskazach obszarach: [ f(,)=sicos,gdzie=[,π], π ] ; b)f(,)=+,gdzie: π, si..3. Wprowadzając współrzęde bieguowe obliczć podae całki podwóje po wskazach obszarach: d,gdzie:, + ; b) e) f*) e + d,gdzie:,, + ; d,gdzie: + ; d,gdzie: + ; ( + ) d,gdzie:, + ; + d,gdzie:, ( + ) ( 4 ). Obszar aszkicować we współrzędch kartezjańskich i bieguowch..4. Obliczć podae całki potróje po wskazach prostopadłościaach: ddz,gdzie=[,] [,e] [,e]; z b) (++z)ddz,gdzie=[,] [,3] [3,4]; sisi(+)si(++z)ddz,gdzie=[,π] [,π] [,π]; (+)e +z ddz,gdzie=[,] [,] [,].

11 Lista.. Całkę potróją f(,, z) ddz zamieić a całki iterowae, jeżeli obszar jest ograiczo powierzchiami o podach rówaiach: z= +, z=6; b) + +z =5,z=4,(z 4); z= +, z=... W podach całkach iterowach zmieić kolejość całkowaia(rozważć wszstkie przpadki): d f(,,z)dz; b) d f(,,z)dz; dz z z z z f(,,z)d; d + f(,,z)dz..3. Obliczć całki potróje z dach fukcji po wskazach obszarach: f(,,z)=e ++z, gdzie:,, z ; b)f(,,z)= (3++z+) 4, gdzie:,, z ; f(,,z)= +, gdzie: + 4, z ; f(,,z)=, gdzie: z..4. Wprowadzając współrzęde walcowe obliczć podae całki po wskazach obszarach: ( + +z ) ddz, gdzie: + 4, z ; b) zddz, gdzie: + z ; ( + ) ddz, gdzie: + +z R, + +z Rz; (++z)ddz, gdzie: +, z..5. Wprowadzając współrzęde sfercze obliczć podae całki po wskazach obszarach: ddz + +z, gdzie:4 + +z 9; b) ( + ) ddz, gdzie: + z ; z ddz, gdzie: + +(z R) R (R>); ddz, gdzie: + +z 4.

12 Lista.. Obliczć pola obszarów ograiczoch krzwmi: =4, +=3, =( ); +=4, +=8, 3=, 3=5; b) + =, + 4=; + =, = 3... Korzstając z całki podwójej, obliczć objętości brł ograiczoch powierzchiami: + =, z= +, z=; b) + +z z=; c*)( ) +( ) =, z=, z=;.3. Obliczć pola płatów: z= +, + ; b) + +z =R, + R, z ; z= +, z. d*)z= +, +z=4..4. Korzstając z całki potrójej, obliczć objętości obszarów ograiczoch podami powierzchiami: + =9, ++z=, ++z=5; b)=, =, z=4, z=+ ; z= + +, z=, + =; + +z =, =( )..5. Obliczć mas podach obszarów o wskazach gęstościach: = (,) R : π, si,gdzieσ(,)=; b)= (,) R : + 4,,gdzieσ(,)= ; =[,a] [,b] [,c],gdzieγ(,,z)=++zoraza,b,c>; : + +z 9,gdzieγ(,,z)= + +z..6. Zaleźć położeia środków mas obszarów jedorodch: trójkątróworamieopodstawieaiwsokościh; b)= (,) R : π, si ; = (,) R : ; { = (,) R :, e } ; { } e)= (,,z) R 3 :,, z ; f)stożekopromieiupodstawriwsokościh; g)= (,,z) R 3 : + z..7. Obliczć momet bezwładości podach obszarów względem wskazach osi: kwadratjedorodobokua,przekątakwadratu,przjąćσ(,)=; b)= (,) R : + R,,ośO,przjąćσ(,)= + ; { = (,) R : },ośsmetriiobszaru,przjąćσ(,)= ; = (,) R : π, si,ośo,przjąćσ(,)=..8. Obliczć momet bezwładości względem wskazach osi podach obszarów jedorodch o masie M: walecopromieiupodstawriwsokościh,względemosiwalca; b) stożek o promieiu podstaw R i wsokości H, względem osi stożka; walec o promieiu podstaw R i wsokości H, względem średic podstaw.

13 Lista Zaleźć sum częściowe podach szeregów i astępie zbadać ich zbieżość: = ( ) 5 ; b) 6 = ;! waga.wprzkładzieb)przjąć,żes = k= a k,gdzie. ( )(+) ; 3.. Korzstając z krterium całkowego zbadać zbieżość szeregów: + ; b) +4 ; = l ; 3.3. Korzstając z krterium ilorazowego zbadać zbieżość szeregów: ; b) ; 3 ; si π 3 si π Korzstając z krterium porówawczego zbadać zbieżość szeregów: 3 + ; b) + + ; si π ; = +si! 3 ; e) 3 cos ; f) Korzstając z krterium d Alemberta zbadać zbieżość szeregów: ; b) si π! ;! ; (!) ()! ; e) 3! ; f)

14 Lista Korzstając z krterium Cauch ego zbadać zbieżość szeregów: (+) ( +) ; b) ; 3 (+) ; arccos. 4.. Wkazać zbieżość odpowiediego szeregu i astępie a podstawie waruku koieczego zbieżości szeregów uzasadić podae rówości: 7 lim 5= ; b) lim (!) =; 4.3. Zbadać zbieżość szeregów aprzemiech: ( ) +5 ; b) ( ) (+3) ; ( ) + l ll ; ( ) [e + =3! lim =; ( + ) ] Obliczć sum przbliżoe podach szeregów ze wskazaą dokładością: ( ) +, δ= 6 ; b) ( ) (+)!, δ= Zbadać zbieżość oraz zbieżość bezwzględą szeregów: ( ) + + ; b) ( ) ( ) = + ; ; 3+5 = ( ) ( ) 3 ; e) = = ( ) 3 + ; f*) ( ) +. = (3)!(4)! d*) lim (5)!()! =. 4

15 Lista Wzaczć przedział zbieżości szeregów potęgowch: = ; b) +3; e) ( ) ; + (+) ; f*) (+3) 3 ;!. 5.. Zaleźć szeregi Maclauria podach fukcji i określić przedział ich zbieżości: 3 ; b)cos ; e ; 9+ ; e)sh; f*)si Korzstając z rozwiięć Maclauria fukcji elemetarch obliczć pochode: f (5) (), gdzief()=si; b)f (6) (), gdzief()= e ; f () (), gdzief()= 3 + ; f() (), gdzief()=si Wzaczćszeregipotęgowefukcjif ()oraz f()= ; b)f()= +. = f(t) dt, jeżeli fukcja f określoa jest wzorem: 5.5. Stosując twierdzeia o różiczkowaiu i/lub całkowaiu szeregów potęgowch obliczć sum szeregów: (+) (+); b) 3 ; 4. = 5.6. Obliczć podae całki ozaczoe ze wskazaą dokładością: e, δ=.; si, δ=.. Opracowaie: dr Maria Gewert, doc. Zbigiew Skoczlas Kosultacja: dr Jolata Sulkowska 5