Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza matematyczna 2 Lista zadań"

Transkrypt

1 Analiza matematyczna Lista zadań Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Lista Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: + ; (b) + ; (c) sin; (d) arcctg; (e) 4+3 ; (f) π e Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: (d) 4 ( +) ; (b) ( +) 3 ; (e) + 9 π ; +3 (c) (+sin) 3 ; (f) (+) 4 ++ ; ( +cos ) 3 Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: ( +) ; (b) (+) 5 ) (e 5 3 ; (c) ; (d) sin ; (e) 3 sin 4Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywąy= +4 orazosiąo (b)obliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosioobszaru= { (,y) R :, y e } (c)zasadnić,żepolepowierzchnipowstałejzobrotuwykresufunkcjiy= ( )wokółosiomaskończoną wartość 5 Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: (+) ; (b) e ln ; (c) (+) ; (d) π π sin ; (e) Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 4 arctg e 4 ; (b) 3 ; (c) + ; (d*) Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: ( 3 + ) π ( +) ; (b) sin 3 (e ) π 4 ; (c) ; (d*) ; (e*) 3 sin 8 Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych: 3 cos +4 ; (b) e e + ; (c) e +5 ; (d 9 4 π ; (e) sin

2 Lista 9 Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność: ( ) n 5 ; (b) 6 n +3n+ ; (c) n ; (d) n! n++ n n= n= Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +4 ; (b) n= n+ n n ; (c) n= lnn n ; (d) n n+ ; (e) Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3n+ n 3 + ; (b) n + n + ; (c) sin π n; (d) n= n= n +e n e n +4 n; (e) e n e n + 3 n +n n3 n + n Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n+ n6 ; (b) n + n 3 + ; (c) e n 3 n ; (d) 4 n sin5 n 3 Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów: 5 n ; (b) n! e n + n 5 + ; (c) n sin π n; (d) n= n! n n; (e) 4 Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: (n+) n n +3 n (n +) n ; (b) 3 n +4 n; (c) 3 n n n ; (d) (n+) n n n π n n! arccos n n 5 Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: n 5 n n n n lim n 3 n =; (b) lim n (n!) =; (c) lim n n! (3n)!(4n)! =; (d*) lim n (5n)!(n)! = 6 Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ( ) n( ) n + n ; (b) ( ) n n 3 n +4 n; (c) ( ) n tg π n ; (d) n= 7 Obliczyć sumy przybliżone szeregów ze wskazaną dokładnością: ( ) n+ n, ( ) n n 6 ; (b) (n+)!, 3 Lista 3 n= n= n= n=4 8 Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ( ) n 3 n + ; (b) ( ) n n n+ ; (c) ( ) n n ; (d) 3n+5 n= 9 Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych: n ne n; (b) (5 ) n (+3) n ; (c) ; (d) n! ( ) n( ne ) ; (e) n= (+6) n 3 n n ; (e) Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 5 + ; (b)sin ; (c) e 3 ; (d) 6 ; (e)sinh; (f)cos Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne: f (5) (), f()= cos; (b)f (5) (), f()=e ; (c)f () (), f()= 3 + ; (d)f() (), f()=sin ( ) n+3n n= n! n(+) n n+ ( ) n 3 n +

3 Wyznaczyćszeregipotęgowef ()oraz f()= + 3; (b)f()=sin( ) ; (c*)f()=e n= f(t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem: 3 Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów: (n+)3 n; (b) n n(n+) n ; (c) 5 n n= 4 Obliczyć całki oznaczone ze wskazaną dokładnością: Lista 4 e, ; sin, 5 Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji: f(,y)= y y ; (b)f(,y)= y + ; (c)f(,y)= y 4 y ; (d)f(,y)=ln +y 9 6 y ; (e)g(,y,z)= + z; (f)g(,y,z)=arccos ( +y +z ) 6 Naszkicować wykresy funkcji: f(,y)= +y ; (b)f(,y)= 3+ y ; (c)f(,y)= +y +y+3; (d)f(,y)=siny; (e)f(,y)= ; (f)f(,y)= * 7 Obliczyć granice: sin ( 4 y 4) cos ( +y ) y ( lim (,y) (,) +y ;(b) lim (,y) (,) ( +y ) ;(c) lim (,y) (,) +y;(d) lim +y ) cos (,y) (,) y 8Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnecząstkowepierwszegorzęduf,f y funkcjifipochodnecząstkowe g,g y,g z funkcjigwewskazanychpunktach: f(,y)= y,(,); (b)f(,y)= 6 +y 6,(,); (c)g(,y,z)= +z, (,,) y 9Obliczyćpochodnecząstkowef,f y funkcjifipochodnecząstkoweg,g y,g z funkcjig: f(,y)= +y ; (b)f(,y)=arctg y y +y ; (d)f(,y)=y +y ; (g)g(,y,z)= Lista 5 (e)f(,y)=ln (c)f(,y)=ecos y ; (+ +y ) ; (f)g(,y,z)= + z +y +z; (h)g(,y,z)=cos(sin(ycosz)); (i)g(,y,z)= * 3 Sprawdzić, że funkcja f spełnia wskazane równanie: f(,y)=ln ( +y+y ), f +yf y =; (b)f(,y)= sin y, f +yf y = f y +yz3 ; + y + z + 3Obliczyćpochodnecząstkowedrugiegorzęduf,f y,f y,f yy funkcjifipochodnecząstkoweg,g y,g z, g y,g yy,g yz,g z,g zy,g zz funkcjigisprawdzić,żepochodnecząstkowemieszanesąrówne: f(,y)=cos ( +y ) ; (b)f(,y)=ye y ; (d)f(,y)=yln y ; (c)f(,y)= + y3 ; (e)g(,y,z)= y + +z ; (f)g(,y,z)=ln( +y +z 3 + ) 3

4 3 Obliczyć pochodne cząstkowe: h yy, h(,y)=siny; (b)h yyy, h(,y)= +y y ; (c)h yz, h(,y,z)= y 3 z 33 Sprawdzić, że funkcje: z=arctg y ( ; (b)z=+ y ; (c)z=+ln + y ) ; (d)z=+ y spełniają równanie z +yz y +y z yy =, (,y>) 34 Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: z= y+, (,y,z )=(,3,z ); (b)z=e +y, (,y,z )=(,,z ); ( (c)z= arcsin arccosy, (,y,z )= ) 3,,z ; (d)z= y, (,y,z )=(,4,z ) 35 Nawykresiefunkcjiz =arctg y wskazaćpunkty,wktórychpłaszczyznastycznajestrównoległado płaszczyzny+y z=5 (b)wyznaczyćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjiz= +y,którajestprostopadładoprostej =t,y=t,z=t,t R Lista 6 36Wysokośćipromieńpodstawywalcazmierzonozdokładnością±mmOtrzymanoh=35mmoraz r=45mmzjakąwprzybliżeniudokładnościąmożnaobliczyćobjętośćvtegowalca? (b)krawędzieprostopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=mobliczyćwprzybliżeniu,jakzmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o cm (c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objętościprostopadłościamuv,jeżelipomiarujegoboków,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio, y, z * 37 Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania: z=f ( +y ), yz z y =; (b)z=f(sin( y)), z +z y = z ; ( y (c)z= n f, z +yz y =nz(n N); (d*)z= ) ( y ) y g()+h, yz y +y z yy +z +yz y = 38 Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: f(,y)= ( ) 3 +y, (,y )=(,), v=, ; ( ) (b)f(,y)= 3 y, (,y )=(,), v=, ; ( ) 3 (c)g(,y,z)= +yz, (,y,z )=(,,), v= 3,4 3, 3 39 Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: ( ) f(,y)= +y, (,y )=( 3,4), v= 3,5 ; 3 (b)f(,y)= y ( ) 3 +y, (,y )=(,), v= 5, 4 ; 5 ( ) (c)g(,y,z)=e yz 3, (,y,z )=(,, ), v=, 3 4, 4 4 Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(,y)=y +ln(y)wpunkcie ( ), wkierunku wersoravtworzącegokątαzdodatnimzwrotemosiolajakiegokątaαpochodnatamawartość,adla jakiego przyjmuje wartość największą? (b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkuktórychfunkcjaf(,y)= e ( +y ) wpunkcie(,)mapochodną kierunkową równą 4

5 Lista 7 4 Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: f(,y)= 3 +3y 5 4y; (b)f(,y)=e y + +ey ; (c)f(,y)=y ( y)(,y>); (d)f(,y)=y y +6y; (e)f(,y)= 3 +y 3 3y; (f)f(,y)= 8 + y +y(,y>); (g)f(,y)=y+lny+ ; (h)f(,y)=4y+ + y ; (i)f(,y)=( y ) + ( y ) 4 Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki: f(,y)= +y,3+y=6; (b)f(,y)= +y 8+, y +=; (c)f(,y)= y ln,8+3y=; (d)f(,y)=+3y, +y = 43 Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach: f(,y)= y y, = { (,y) R : y 4 } ; (b)f(,y)= +y 6+4y, = { (,y) R :+y 4,+y 6,,y } ; (c)f(,y)= +y, = { (,y R : + y } ; (d)f(,y)=y +4y 4, = { (,y) R : 3 3, 3 y } ; (e)f(,y)= 4 +y 4, = { (,y) R : +y 9 } 44WtrójkącieowierzchołkachA=(,5),B=(,4),C=(, 3)znaleźćpunktM=(,y ),dlaktórego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza (b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza? (c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi: k: { +y =, z+ =, l: { y+3 =, z = (d)prostopadłościennymagazynmamiećobjętośćv=6m 3 obudowyścianmagazynuużywanesąpłytyw cenie3zł/m,dobudowypodłogiwcenie4zł/m,asufituwceniezł/m Znaleźćdługośća,szerokośćbi wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy (f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 5 zł i zł za sztukę Koszt wyprodukowania sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi K(,y)= y+y [zł] Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk? Lista 8 45 Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach: ( +y y ) dy dy,r=[,] [,]; (b) (+y+) 3,R=[,] [,]; R R (c) (siny)dy,r=[,] [π,π]; (d) e y dy,r=[,] [,] R 46 Całkę podwójną f(, y) dy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar ograniczony jest krzywymi o równaniach: y=, y=+; R (b) +y =4, y=, =(,y ); (c) 4+y +6y 5=; (d) y =, +y =3(<) 47 Obliczyć całki iterowane: 5

6 y dy; (b) 4 Narysować obszary całkowania y dy; (c) 4 ( 3 +y 3) dy; (d) 48 Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: (d) f(,y)dy; dy y y (b) f(,y); (e) π π f(,y)dy; (c) sin cos f(,y)dy; (f) 4 e 4 ln 3 y dy f(,y)dy; f(,y)dy y Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: y dy, :y=,y= ; (b) ydy, :y=,y=,y= ; ( (c) e y dy, :y=,=,y=; (d) y+4 ) dy, :y=+3,y= +3+3; (e) e y dy, :y=,y=,=; (f) (y+)dy, :=,y=,y=3 ( ); (g) e dy, :y=,y=,= ln3; (h) ( 3y+)dy, :y=,y=π,=,=siny * 5 Obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach: min(,y)dy,=[,] [,]; (b) +y dy,=[,] [,]; (c) y dy,= { (,y) R :, y 3 } ; (d) sgn ( y + ) dy,= { (,y) R : +y 4 } waga Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei u oznacza część całkowitą liczby u 5 Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach: [ f(,y)=sincosy,=[,π], π ] ; (b)f(,y)=+y,: y π, siny * 5 Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: (+y) ( y) 3dy,:+y=,+y=, y=, y=3; (b) dy y,:y=,y=,y= +,y= +4; (c) ydy,:y=,y=,y=,y=3 3 ; (d*) Lista 9 ( 4 y 4) dy,: +y =3, +y =5, y =, y = (,y ) 53 Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: 6

7 ydy,: +y, 3 y 3; (b) y dy,:, +y ; (c) y e +y dy,:,y, +y ; (d) dy,: +y y; (e) ( +y ) dy,: y,y +y ; (f) yy,: +y (y ) Obszar naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych 54 Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y =4, +y=3, y=(y ); (b) +y y=, +y 4y=; (c)+y=4, +y=8, 3y=, 3y=5; (d) +y =y, y= 3 55 Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami: y=z,y=,y=,z=,=y; (b) +y +z =4,z=(z ); (c) +y y=,z= +y,z=; (d)z=5 +y,=,y=,+y=,z=; (e*)( ) +(y ) =,z=y,z=; (f*)z= +y,y+z=4 56 Obliczyć pola płatów: z= +y, +y ;(b) +y +z =R, +y R,z ;(c)z= +y, z 57 Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych: = { (,y) R : π, y sin },σ(,y)=; (b)= { (,y) R : +y 4,y },σ(,y)= 58 Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych: = { (,y) R : y 4 } ; (b)= { (,y) R : π, y sin } ; (c)= { (,y) R :, y e } ; (d) trójkątrównoramiennyopodstawieaiwysokościh; (e) trójkątrównobocznyobokua,doktóregodołączonopółkoleopromieniua; (f) kwadratoboku,zktóregowyciętopółkoleośrednicya 59 Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi: = { (,y) R : +y R,y },ośo,przyjąćσ(,y)= +y ; (b)= { (,y) R : y },ośsymetriiobszaru,przyjąćσ(,y)= ; (c)= { (,y) R : π, y sin },ośo,przyjąćσ(,y)=; (d) jednorodnykwadratomasiemibokua,przekątnakwadratu; (e) jednorodnytrójkątrównobocznyomasiemibokua,ośsymetrii Lista 6 Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach: dydz,=[,] [,e] [,e]; yz (b) (+y+z)dydz,=[,] [,3] [3,4]; (c) sinsin(+y)sin(+y+z)dydz,=[,π] [,π] [,π]; (d) (+y)e +z dydz,=[,] [,] [,] 7

8 6Całkępotrójnązfunkcjig(,y,z)poobszarzezamienićnacałkiiterowane,jeżelijestograniczonypowierzchniami o podanych równaniach: z= +y, z=6; (b) +y +z =5,z=4,(z 4); (c)z= +y, z= y * 6 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania: y 4 y dy f(,y,z)dz; (b) dy f(,y,z)dz; 4 4 y (c) 3 dz z z z z f(,y,z)dy; (d) dy +y f(,y,z)dz 63 Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach: g(,y,z)=e +y+z, :, y, z ; (b)g(,y,z)= (3+y+z+) 4, :,y, z y; (c)g(,y,z)= +y, : +y 4, z ; (d)g(,y,z)= y, : y z * 64 Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki potrójne: (+y) (+y+z) 3 dydz,jestobszaremograniczonymprzezpłaszczyzny:=,=,+y=, +y=,+y+z=,+y+z=3; ( y ) dydz,jestobszaremograniczonymprzezpowierzchnie:y=,y=,y=,y=4,z=y+, (b) z=y+3,>; ( (c*) +y ) dydz,jesttorusem,tjbryłąpowstałązobrotuwokółosiozkoła( R) +z r, y=,<r R Lista 65 Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach: ( +y +z ) dydz, : +y 4, z ; (b) yzdydz, : +y z y ; ( (c) +y ) dydz, : +y +z R, +y +z Rz; (d) (+y+z)dydz, : +y, z y 66 Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach: dydz +y +z, :4 +y +z 9; ( (b) +y ) dydz, : +y z y ; (c) z dydz, : +y +(z R) R (R>); 8

9 (d) dydz, : +y +z 4 67 Obliczyć objętości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: +y =9, +y+z=, +y+z=5; (b)=, =, z=4 y, z=+y ; (c)z= + +y, z=, +y =; (d) +y +z =, y=(y ) 68 Obliczyć masy obszarów o zadanych gęstościach objętościowych: =[,a] [,b] [,c],γ(,y,z)=+y+zoraza,b,c>; (b): +y +z 9,γ(,y,z)= +y +z 69 Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych: :, y, z ; (b)stożekopromieniupodstawyriwysokościh; (c): +y z y 7 Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M: walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca; (b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka; (c) kula o promieniu R, względem osi symetrii Lista 7 Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace a funkcji: t ; (b)sint; (c)t ; (d)te t ; (e)e t cost; (f)sinht; (g) y (h) y (i) y y=f(t) y=g(t) y=h(t) t t t 7 Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace a mają postać: s+ ; (b) s s +4s+5 ; (c) s 4s+3 ; s+ (d) (s+)(s )(s +4) ; (e) s + s (s ) ; (f) s+9 s +6s+3 ; (g) s+3 s 3 +4s +5s ; (h) 3s e s (s 3 ; (i) ) s+ 73 Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach: y y=, y()=; (c)y +y =, y()=,y ()=; (b)y y=sint, y()=; (d)y +3y =e 3t, y()=,y ()= ; (e)y y +y=sint, y()=,y ()=; (f)y y +y=+t, y()=,y ()=; (g)y +4y +4y=t, y()=,y ()=; (h)y +4y +3y=te t, y()=,y ()= * 74 Korzystając z własności przekształcenia Laplace a obliczyć transformaty funkcji: sin 4 t; (b)cos4tcost; (c)t cost; (d)tsinh3t; (e)te t cost; (f)e 3t sin t; (g)(t )sin(t ); (h)(t )e t 9

10 * 75 Obliczyć sploty par funkcji: f(t)=e t, g(t)=e t ; (c)f(t)=(t), g(t)=sint; (b)f(t)=cos3t, g(t)=cost; (d)f(t)=e t, g(t)=t * 76 Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami: (s+)(s+) ; (b) (s ) (s+) ; (c) s (s +) ; (d) s (s +) Lista 3 77 Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji: { sint dla t π, cost dla t π, { t dla, f(t)= (b)f(t)= dla t >π; dla t > π (c)f(t)= ; dla >; { t dla t, (d)f(t)= (e)f(t)=e t ; (f*)f(t)=e at,a dla t >; π Wskazówka(f*) Wykorzystać równość e at dt= a 78Niechc,h Rorazδ>WyznaczyćtransformatęFourierafunkcji h y c c δ c+ δ t 79Pokazać,żejeżeliF{f(t)}=ˆf(ω),to: F{f(t)cosαt}= [ˆf(ω α)+ˆf(ω+α) ] ; (b)f{f(t)sinαt}= i [ˆf(ω α) ˆf(ω+α) ] 8 Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty funkcji: f(t)=e 3 t ; (b)f(t)=te t ; (c)f(t)=e 4t 4t ; { cos t { dla t π, cost dla t π, (d)f(t)= (e)f(t)= (f)f(t)=[(t) (t 4)] t; dla t >π; dla t >π; (g)f(t)=(t) e t cost; (h)f(t)=e t cos t ; (i)f(t)=e t sint { dla t<, waga (t) = funkcja Heaviside a dla t * 8 Korzystając z zadania 8 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji: (b) y y t t * 8 W obwodzie RLC, napięcie (t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym(rys) + (t) Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t) 83ObliczyćtransformatęFourierafunkcjit f (t)+f (t),jeżeliˆf(ω)= R L C y(t) +ω +

11 84 Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać: +iω ; (b) 4+ω ; (c) e iω +iω ; (e)sinωcosω ; (f) ω (+ω )(4+ω ) ; 85 Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera: f(t)=g(t)=(t) (t ), (b)f(t)=(t) (t ),g(t)=(t+) (t), (c)f(t)=(t) e t,g(t)=(t) e t, (d)f(t)=g(t)=e t Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia(podać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólne(z wyjaśnieniem oznaczeń) Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane Ikolokwium Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju Zbadać zbieżność szeregu n n + n3 n + 3 Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego 3 n= (+5) n n+ 4 Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif(, y) = arc sin Zestaw B przecięcia z osią Oz Zbadać zbieżność całki niewłaściwej zasadnić zbieżność szeregu ( ) nln(n+) n n= ( ) + y w punkcie jego 3Funkcjęf()= +4 rozwinąćwszeregmaclaurinapodaćwrazzuzasadnieniemprzedziałzbieżności 4Narysowaćdziedzinęfunkcjif(,y)= y ln ( 9 y ) iobliczyćjejpochodnecząstkowepierwszego rzędu Zestaw C Zbadać zbieżność całki niewłaściwej drugiego rodzaju Korzystając z kryterium całkowego uzasadnić zbieżność szeregu (+) (+ ) arctgn 4n + 3Napisaćrozwinięciefunkcjif()= e + e 3 wszeregmaclaurina,anastępnieobliczyćf () () 4Napisaćrównaniepłaszczynystycznejdopowierzchni(+) +(y 3) +z =6wpunkcie(,, )

12 Zestaw Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu n+ ( ) n n Funkcjęf()= 4 + orazjejpochodnąf ()rozwinąćwszeregimaclaurinaipodaćpromienieich zbieżności Następnie obliczyć sumę szeregu ( ) nn 4 n 3Napowierzchniz=yln ( ++y ) znaleźćtakipunkt,abypłaszczyznastycznadotejpowierzchniwtym punkciebyłarównoległadopłaszczyznyz yln= 4 Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f() = w kierunku wersora ( ) y /, / przyjmujewartość II kolokwium Zestaw A Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(,y)= ( y ) e y wpunkcie(,y )=(,)wkierunku wersoratworzącegokątα=π/3zdodatniączęściąosio Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(,y)= y +y+ 3JednorodnafiguraskładasięzkwadratuobokuidołączonegodoniegopółkolaopromieniuWyznaczyć położenie środka masy tej figury 4 Obliczyć objętośc bryły ograniczonej powierzchniami: Zestaw B +y =,z= +y 3,z=5 +y Znaleźćwartościnajmniejsząinajwiększąfunkcjif(,y)= y wtrójkącie T= { (,y) R :,y,+y 4 } Cienka jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkąta równobocznego o boku a Obliczyć moment bezwładności płytki względem jej osi symetrii ydy 3 Obliczyć całkę ( +y ) 3,gdzie={ (,y) R : +y 9,y } 4ObliczyćtransformatęLaplace afunkcjif(t)=e t Zestaw C zasadnić, że wśród wszytkich prostopadłościanów o objętości V, sześcian ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej Zmienić kolejność całkowania w całce dy + y y f(,y)naszkicowaćobszarcałkowania 3Obliczyćcałkęzfunkcjif(,y,z)=zpoobszarzeV ograniczonympłaszczyznami+y=,+y=, =,y=,z=,z=naszkicowaćobszarv 4Rozwiązaćrównanieróżniczkowey +y +5y= 5zzerowymiwarunkamipoczątkowymi

13 Zestaw Sprawdzić,żefunkcjaz=arctg y spełniawarunek z +yz y +y z yy =,gdzie,y> Całkępodwójnązfunkcjif(,y),poobszarzeograniczonymkrzywymiy=,= y,y= zamienić na całki iterowane na dwa sposoby Narysować obszar 3Obliczyćpoleczęścipowierzchnisfery +y +z =3leżącejwewnątrzparaboloidyz= +y Sporządzić rysunek 4Obliczyćcałkępotrójnązfunkcjif(,y,z)=poobszarzeV : +y +z 6,,y,z Sporządzić rysunek Zastosować współrzędne sferyczne Egzamin podstawowy Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą e +e Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n= 3Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(,y)=y + y + 8 y 3 n ( ) n n+ 4Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniami:z= 5 ( +y ),z=+ +y 5 Jednorodna figura składa się z trójkąta równobocznego o boku i dołączonego do niego półkola o promieniu Wyznaczyć położenie środka masy tej figury 6ZnaleźćprzekształcenieLaplace afunkcjif(t)=t Zestaw B Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z= +y,z= 9 + ( +y ) Sporządzić rysunek Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(,y)=+y ln(y) 3 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 4 Zbadać zbieżność szeregu (n!) (n)! 6 log log 4 f(,y)dy 5 Jednorodna figura ma kształt kwadratu o polu 4, z którego boku wycięto półkole o promieniu Wyznaczyć położenie środka masy tej figury 6MetodątransformatyLaplace arozwiązaćzagadnieniepoczątkowey +y=e t,y()= Egzamin poprawkowy Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą Zbadać zbieżność szeregu n +3 n n! 3Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(,y)=e 3 y +e +e y 3

14 4 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej + f(,y)dy 5 Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego półpierścienia o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R 6Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniamiorównaniach: +y =,z=4 ( +y ),z= Zestaw B Obliczyć całkę niewłaściwą Zbadać zbieżność szeregu arcctgn 3Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(,y)=(y+) + 4 y 4 Narysować obszar całkowania i nastepnie zmienić kolejność całkowania w całce 5 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z= +y,z=6 ( +y ) 4 Sporządzić rysunek 3 f(,y)dy 6Znaleźćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjif(,y)=y 3 + y wpunkciejegoprzecięcia zosiąoy Egzamin na ocenę celującą Zestawz3r Jednorodnabryłajestograniczonaparaboloidąz=a ( +y ) (a>)orazpłaszczyznąz=(rysunek) la jakich wartości parametru a bryła ta, dowolnie położona na boku, powróci do stanu z pionową osią symetrii, czyli będzie wańką-wstańką Przekątne czworokąta wypukłego mają długość p i q oraz są prostopadłe W jakim stosunku powinny się one przecinać, aby obwód czworokąta był najmniejszy? ( 3 Zbadać zbieżność szeregu nn ) n n= 4Niech[a,b],[c,d]będąprzedziałamiwRPokazać,żejeżelidladowolnegowielomianuWstopnia3zachodzi równość to[a,b]=[c,d] b d W()= W(), a c 4

15 ZestawAz4r Samochód firmy Google z kamerą do fotografowania otoczenia jedzie drogą(oś O) Równolegle do drogi, w odległości, stoi reklama o długości Reklama αn n Kamera Niechα n (n N)oznaczakątwidzeniareklamywchwili,gdykamerajestwpunkciendrogizasadnić,że szereg α n jestzbieżnyiwyznaczyćjegosumę Pokazać,żefunkcjaf(,y)=y + (+y) 3 matylkojedenpunktstacjonarny,awnim minimumlokalne właściwe,alewr nieprzyjmujewartościnajmniejszej 3 Obliczyć całkę π dϕ ( sinϕ+ cosϕ ) 4 4 Jednorodny czworościan foremny o masie M ma krawędź a Obliczyć moment bezwładności czworościanu względem prostej zawierającej jego wysokość ZestawBz4r Symbol{}oznaczaczęśćułamkowąliczby,tj{}= Zbadaćzbieżnośćszeregu: {log 5 (3 n +4 n +5 n )} Wjazd na parking położony na wysokości h ma kształt powierzchni śrubowej, która przebiega między walcami opromieniachrir(r<r)(rysunek)obliczyćpoletejdrogi z h r y R 3 Zbadać zbieżność całki 4Pokazać,żezewzorów C = + ++ n, y C = y +y ++y n (n 3) n n można wyznaczyć współrzędne środka masy dowolnego jednorodnego n-kąta wypukłego z wierzchołkami (,y ),(,y ),( n,y n )tylkodlan=3 5

Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Analiza matematyczna 2 Lista zadań Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) + ; b) arccg; e) +) ; c) 4+3

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 Listazadań

Analiza matematyczna 2 Listazadań Analiza maemayczna Lisazadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: 3 +) ; b) 4 ; e) 3 3+5 ; c) π )

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644) LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4. Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr do ZW KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Matematyka II

Opis przedmiotu: Matematyka II 24.09.2013 Karta - Matematyka II Opis : Matematyka II Kod Nazwa Wersja TR.NIK203 Matematyka II 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

x y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x

x y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +

Bardziej szczegółowo

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU 9815Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x

x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna.1 Nazwa w języku angielskim: Mathematical analysis.1 Kierunek

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO STEREOMETRIA wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny odróżnić proste równoległe

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę

Bardziej szczegółowo

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS)

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS) Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Analiza matematyczna 2 Rok akademicki: 2014/2015 Kod: EME-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Mikroelektronika w technice

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny. Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA I

ANALIZA MATEMATYCZNA I ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 4 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne

Bardziej szczegółowo

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1:

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 2 KWIETNIA 204 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Liczba 2 2 3 2 3 jest równa

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2b

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2b MATEMATYKA materiał ćwiczeniowy CZERWIEC 0 Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.. W zadaniach od do są podane

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna 2.4A(MAP3059) (2015/2016)

Analiza Matematyczna 2.4A(MAP3059) (2015/2016) Analiza Matematyczna.4A(MAP359) (5/6) Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielona7jednostekpluskolokwiumzaliczeniowe.naćwiczeniach należy rozwiązać

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV

Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r. Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Planimetria 1 12 godz.

Planimetria 1 12 godz. Planimetria 1 1 godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Określenie całki oznaczonej na półprostej

Określenie całki oznaczonej na półprostej Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ) R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ) określamy wzorem

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

PRACA KONTROLNA nr 1

PRACA KONTROLNA nr 1 KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 2002r 1. Narysować wykres funkcji y = 4 + 2 x x 2. Korzystając z tego wykresu określić liczbę rozwiązań równania 4+2 x x 2 = p w zależności

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZED MATURĄ MAJ 015 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

Bardziej szczegółowo

Zadania z treścią na ekstrema funkcji

Zadania z treścią na ekstrema funkcji Zadania z treścią na ekstrema funkcji Zad. 1: W trójkąt równoramienny, którego boki zawierają się w prostych: AB o równaniu y =, AC o równaniu x y + 1 = 0 i BC o równaniu x + y 6 = 0, wpisano równoległobok

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki w ZSZ Klasa I

Przedmiotowy system oceniania z matematyki w ZSZ Klasa I Przedmiotowy system oceniania z matematyki w ZSZ Klasa I Dopuszczający Uczeń z potrafi : -zamienić ułamek zwykły na dziesiętny i odwrotnie -rozróżnia liczby wymierne i niewymierne -zna definicję liczby

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo