Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza matematyczna 2 Lista zadań"

Transkrypt

1 Analiza matematyczna Lista zadań Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Lista Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: + ; (b) + ; (c) sin; (d) arcctg; (e) 4+3 ; (f) π e Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: (d) 4 ( +) ; (b) ( +) 3 ; (e) + 9 π ; +3 (c) (+sin) 3 ; (f) (+) 4 ++ ; ( +cos ) 3 Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: ( +) ; (b) (+) 5 ) (e 5 3 ; (c) ; (d) sin ; (e) 3 sin 4Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywąy= +4 orazosiąo (b)obliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosioobszaru= { (,y) R :, y e } (c)zasadnić,żepolepowierzchnipowstałejzobrotuwykresufunkcjiy= ( )wokółosiomaskończoną wartość 5 Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: (+) ; (b) e ln ; (c) (+) ; (d) π π sin ; (e) Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 4 arctg e 4 ; (b) 3 ; (c) + ; (d*) Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: ( 3 + ) π ( +) ; (b) sin 3 (e ) π 4 ; (c) ; (d*) ; (e*) 3 sin 8 Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych: 3 cos +4 ; (b) e e + ; (c) e +5 ; (d 9 4 π ; (e) sin

2 Lista 9 Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność: ( ) n 5 ; (b) 6 n +3n+ ; (c) n ; (d) n! n++ n n= n= Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +4 ; (b) n= n+ n n ; (c) n= lnn n ; (d) n n+ ; (e) Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3n+ n 3 + ; (b) n + n + ; (c) sin π n; (d) n= n= n +e n e n +4 n; (e) e n e n + 3 n +n n3 n + n Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n+ n6 ; (b) n + n 3 + ; (c) e n 3 n ; (d) 4 n sin5 n 3 Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów: 5 n ; (b) n! e n + n 5 + ; (c) n sin π n; (d) n= n! n n; (e) 4 Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: (n+) n n +3 n (n +) n ; (b) 3 n +4 n; (c) 3 n n n ; (d) (n+) n n n π n n! arccos n n 5 Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: n 5 n n n n lim n 3 n =; (b) lim n (n!) =; (c) lim n n! (3n)!(4n)! =; (d*) lim n (5n)!(n)! = 6 Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ( ) n( ) n + n ; (b) ( ) n n 3 n +4 n; (c) ( ) n tg π n ; (d) n= 7 Obliczyć sumy przybliżone szeregów ze wskazaną dokładnością: ( ) n+ n, ( ) n n 6 ; (b) (n+)!, 3 Lista 3 n= n= n= n=4 8 Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ( ) n 3 n + ; (b) ( ) n n n+ ; (c) ( ) n n ; (d) 3n+5 n= 9 Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych: n ne n; (b) (5 ) n (+3) n ; (c) ; (d) n! ( ) n( ne ) ; (e) n= (+6) n 3 n n ; (e) Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 5 + ; (b)sin ; (c) e 3 ; (d) 6 ; (e)sinh; (f)cos Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne: f (5) (), f()= cos; (b)f (5) (), f()=e ; (c)f () (), f()= 3 + ; (d)f() (), f()=sin ( ) n+3n n= n! n(+) n n+ ( ) n 3 n +

3 Wyznaczyćszeregipotęgowef ()oraz f()= + 3; (b)f()=sin( ) ; (c*)f()=e n= f(t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem: 3 Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów: (n+)3 n; (b) n n(n+) n ; (c) 5 n n= 4 Obliczyć całki oznaczone ze wskazaną dokładnością: Lista 4 e, ; sin, 5 Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji: f(,y)= y y ; (b)f(,y)= y + ; (c)f(,y)= y 4 y ; (d)f(,y)=ln +y 9 6 y ; (e)g(,y,z)= + z; (f)g(,y,z)=arccos ( +y +z ) 6 Naszkicować wykresy funkcji: f(,y)= +y ; (b)f(,y)= 3+ y ; (c)f(,y)= +y +y+3; (d)f(,y)=siny; (e)f(,y)= ; (f)f(,y)= * 7 Obliczyć granice: sin ( 4 y 4) cos ( +y ) y ( lim (,y) (,) +y ;(b) lim (,y) (,) ( +y ) ;(c) lim (,y) (,) +y;(d) lim +y ) cos (,y) (,) y 8Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnecząstkowepierwszegorzęduf,f y funkcjifipochodnecząstkowe g,g y,g z funkcjigwewskazanychpunktach: f(,y)= y,(,); (b)f(,y)= 6 +y 6,(,); (c)g(,y,z)= +z, (,,) y 9Obliczyćpochodnecząstkowef,f y funkcjifipochodnecząstkoweg,g y,g z funkcjig: f(,y)= +y ; (b)f(,y)=arctg y y +y ; (d)f(,y)=y +y ; (g)g(,y,z)= Lista 5 (e)f(,y)=ln (c)f(,y)=ecos y ; (+ +y ) ; (f)g(,y,z)= + z +y +z; (h)g(,y,z)=cos(sin(ycosz)); (i)g(,y,z)= * 3 Sprawdzić, że funkcja f spełnia wskazane równanie: f(,y)=ln ( +y+y ), f +yf y =; (b)f(,y)= sin y, f +yf y = f y +yz3 ; + y + z + 3Obliczyćpochodnecząstkowedrugiegorzęduf,f y,f y,f yy funkcjifipochodnecząstkoweg,g y,g z, g y,g yy,g yz,g z,g zy,g zz funkcjigisprawdzić,żepochodnecząstkowemieszanesąrówne: f(,y)=cos ( +y ) ; (b)f(,y)=ye y ; (d)f(,y)=yln y ; (c)f(,y)= + y3 ; (e)g(,y,z)= y + +z ; (f)g(,y,z)=ln( +y +z 3 + ) 3

4 3 Obliczyć pochodne cząstkowe: h yy, h(,y)=siny; (b)h yyy, h(,y)= +y y ; (c)h yz, h(,y,z)= y 3 z 33 Sprawdzić, że funkcje: z=arctg y ( ; (b)z=+ y ; (c)z=+ln + y ) ; (d)z=+ y spełniają równanie z +yz y +y z yy =, (,y>) 34 Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: z= y+, (,y,z )=(,3,z ); (b)z=e +y, (,y,z )=(,,z ); ( (c)z= arcsin arccosy, (,y,z )= ) 3,,z ; (d)z= y, (,y,z )=(,4,z ) 35 Nawykresiefunkcjiz =arctg y wskazaćpunkty,wktórychpłaszczyznastycznajestrównoległado płaszczyzny+y z=5 (b)wyznaczyćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjiz= +y,którajestprostopadładoprostej =t,y=t,z=t,t R Lista 6 36Wysokośćipromieńpodstawywalcazmierzonozdokładnością±mmOtrzymanoh=35mmoraz r=45mmzjakąwprzybliżeniudokładnościąmożnaobliczyćobjętośćvtegowalca? (b)krawędzieprostopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=mobliczyćwprzybliżeniu,jakzmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o cm (c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objętościprostopadłościamuv,jeżelipomiarujegoboków,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio, y, z * 37 Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania: z=f ( +y ), yz z y =; (b)z=f(sin( y)), z +z y = z ; ( y (c)z= n f, z +yz y =nz(n N); (d*)z= ) ( y ) y g()+h, yz y +y z yy +z +yz y = 38 Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: f(,y)= ( ) 3 +y, (,y )=(,), v=, ; ( ) (b)f(,y)= 3 y, (,y )=(,), v=, ; ( ) 3 (c)g(,y,z)= +yz, (,y,z )=(,,), v= 3,4 3, 3 39 Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: ( ) f(,y)= +y, (,y )=( 3,4), v= 3,5 ; 3 (b)f(,y)= y ( ) 3 +y, (,y )=(,), v= 5, 4 ; 5 ( ) (c)g(,y,z)=e yz 3, (,y,z )=(,, ), v=, 3 4, 4 4 Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(,y)=y +ln(y)wpunkcie ( ), wkierunku wersoravtworzącegokątαzdodatnimzwrotemosiolajakiegokątaαpochodnatamawartość,adla jakiego przyjmuje wartość największą? (b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkuktórychfunkcjaf(,y)= e ( +y ) wpunkcie(,)mapochodną kierunkową równą 4

5 Lista 7 4 Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: f(,y)= 3 +3y 5 4y; (b)f(,y)=e y + +ey ; (c)f(,y)=y ( y)(,y>); (d)f(,y)=y y +6y; (e)f(,y)= 3 +y 3 3y; (f)f(,y)= 8 + y +y(,y>); (g)f(,y)=y+lny+ ; (h)f(,y)=4y+ + y ; (i)f(,y)=( y ) + ( y ) 4 Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki: f(,y)= +y,3+y=6; (b)f(,y)= +y 8+, y +=; (c)f(,y)= y ln,8+3y=; (d)f(,y)=+3y, +y = 43 Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach: f(,y)= y y, = { (,y) R : y 4 } ; (b)f(,y)= +y 6+4y, = { (,y) R :+y 4,+y 6,,y } ; (c)f(,y)= +y, = { (,y R : + y } ; (d)f(,y)=y +4y 4, = { (,y) R : 3 3, 3 y } ; (e)f(,y)= 4 +y 4, = { (,y) R : +y 9 } 44WtrójkącieowierzchołkachA=(,5),B=(,4),C=(, 3)znaleźćpunktM=(,y ),dlaktórego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza (b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza? (c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi: k: { +y =, z+ =, l: { y+3 =, z = (d)prostopadłościennymagazynmamiećobjętośćv=6m 3 obudowyścianmagazynuużywanesąpłytyw cenie3zł/m,dobudowypodłogiwcenie4zł/m,asufituwceniezł/m Znaleźćdługośća,szerokośćbi wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy (f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 5 zł i zł za sztukę Koszt wyprodukowania sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi K(,y)= y+y [zł] Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk? Lista 8 45 Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach: ( +y y ) dy dy,r=[,] [,]; (b) (+y+) 3,R=[,] [,]; R R (c) (siny)dy,r=[,] [π,π]; (d) e y dy,r=[,] [,] R 46 Całkę podwójną f(, y) dy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar ograniczony jest krzywymi o równaniach: y=, y=+; R (b) +y =4, y=, =(,y ); (c) 4+y +6y 5=; (d) y =, +y =3(<) 47 Obliczyć całki iterowane: 5

6 y dy; (b) 4 Narysować obszary całkowania y dy; (c) 4 ( 3 +y 3) dy; (d) 48 Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: (d) f(,y)dy; dy y y (b) f(,y); (e) π π f(,y)dy; (c) sin cos f(,y)dy; (f) 4 e 4 ln 3 y dy f(,y)dy; f(,y)dy y Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: y dy, :y=,y= ; (b) ydy, :y=,y=,y= ; ( (c) e y dy, :y=,=,y=; (d) y+4 ) dy, :y=+3,y= +3+3; (e) e y dy, :y=,y=,=; (f) (y+)dy, :=,y=,y=3 ( ); (g) e dy, :y=,y=,= ln3; (h) ( 3y+)dy, :y=,y=π,=,=siny * 5 Obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach: min(,y)dy,=[,] [,]; (b) +y dy,=[,] [,]; (c) y dy,= { (,y) R :, y 3 } ; (d) sgn ( y + ) dy,= { (,y) R : +y 4 } waga Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei u oznacza część całkowitą liczby u 5 Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach: [ f(,y)=sincosy,=[,π], π ] ; (b)f(,y)=+y,: y π, siny * 5 Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: (+y) ( y) 3dy,:+y=,+y=, y=, y=3; (b) dy y,:y=,y=,y= +,y= +4; (c) ydy,:y=,y=,y=,y=3 3 ; (d*) Lista 9 ( 4 y 4) dy,: +y =3, +y =5, y =, y = (,y ) 53 Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: 6

7 ydy,: +y, 3 y 3; (b) y dy,:, +y ; (c) y e +y dy,:,y, +y ; (d) dy,: +y y; (e) ( +y ) dy,: y,y +y ; (f) yy,: +y (y ) Obszar naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych 54 Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y =4, +y=3, y=(y ); (b) +y y=, +y 4y=; (c)+y=4, +y=8, 3y=, 3y=5; (d) +y =y, y= 3 55 Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami: y=z,y=,y=,z=,=y; (b) +y +z =4,z=(z ); (c) +y y=,z= +y,z=; (d)z=5 +y,=,y=,+y=,z=; (e*)( ) +(y ) =,z=y,z=; (f*)z= +y,y+z=4 56 Obliczyć pola płatów: z= +y, +y ;(b) +y +z =R, +y R,z ;(c)z= +y, z 57 Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych: = { (,y) R : π, y sin },σ(,y)=; (b)= { (,y) R : +y 4,y },σ(,y)= 58 Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych: = { (,y) R : y 4 } ; (b)= { (,y) R : π, y sin } ; (c)= { (,y) R :, y e } ; (d) trójkątrównoramiennyopodstawieaiwysokościh; (e) trójkątrównobocznyobokua,doktóregodołączonopółkoleopromieniua; (f) kwadratoboku,zktóregowyciętopółkoleośrednicya 59 Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi: = { (,y) R : +y R,y },ośo,przyjąćσ(,y)= +y ; (b)= { (,y) R : y },ośsymetriiobszaru,przyjąćσ(,y)= ; (c)= { (,y) R : π, y sin },ośo,przyjąćσ(,y)=; (d) jednorodnykwadratomasiemibokua,przekątnakwadratu; (e) jednorodnytrójkątrównobocznyomasiemibokua,ośsymetrii Lista 6 Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach: dydz,=[,] [,e] [,e]; yz (b) (+y+z)dydz,=[,] [,3] [3,4]; (c) sinsin(+y)sin(+y+z)dydz,=[,π] [,π] [,π]; (d) (+y)e +z dydz,=[,] [,] [,] 7

8 6Całkępotrójnązfunkcjig(,y,z)poobszarzezamienićnacałkiiterowane,jeżelijestograniczonypowierzchniami o podanych równaniach: z= +y, z=6; (b) +y +z =5,z=4,(z 4); (c)z= +y, z= y * 6 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania: y 4 y dy f(,y,z)dz; (b) dy f(,y,z)dz; 4 4 y (c) 3 dz z z z z f(,y,z)dy; (d) dy +y f(,y,z)dz 63 Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach: g(,y,z)=e +y+z, :, y, z ; (b)g(,y,z)= (3+y+z+) 4, :,y, z y; (c)g(,y,z)= +y, : +y 4, z ; (d)g(,y,z)= y, : y z * 64 Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki potrójne: (+y) (+y+z) 3 dydz,jestobszaremograniczonymprzezpłaszczyzny:=,=,+y=, +y=,+y+z=,+y+z=3; ( y ) dydz,jestobszaremograniczonymprzezpowierzchnie:y=,y=,y=,y=4,z=y+, (b) z=y+3,>; ( (c*) +y ) dydz,jesttorusem,tjbryłąpowstałązobrotuwokółosiozkoła( R) +z r, y=,<r R Lista 65 Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach: ( +y +z ) dydz, : +y 4, z ; (b) yzdydz, : +y z y ; ( (c) +y ) dydz, : +y +z R, +y +z Rz; (d) (+y+z)dydz, : +y, z y 66 Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach: dydz +y +z, :4 +y +z 9; ( (b) +y ) dydz, : +y z y ; (c) z dydz, : +y +(z R) R (R>); 8

9 (d) dydz, : +y +z 4 67 Obliczyć objętości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: +y =9, +y+z=, +y+z=5; (b)=, =, z=4 y, z=+y ; (c)z= + +y, z=, +y =; (d) +y +z =, y=(y ) 68 Obliczyć masy obszarów o zadanych gęstościach objętościowych: =[,a] [,b] [,c],γ(,y,z)=+y+zoraza,b,c>; (b): +y +z 9,γ(,y,z)= +y +z 69 Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych: :, y, z ; (b)stożekopromieniupodstawyriwysokościh; (c): +y z y 7 Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M: walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca; (b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka; (c) kula o promieniu R, względem osi symetrii Lista 7 Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace a funkcji: t ; (b)sint; (c)t ; (d)te t ; (e)e t cost; (f)sinht; (g) y (h) y (i) y y=f(t) y=g(t) y=h(t) t t t 7 Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace a mają postać: s+ ; (b) s s +4s+5 ; (c) s 4s+3 ; s+ (d) (s+)(s )(s +4) ; (e) s + s (s ) ; (f) s+9 s +6s+3 ; (g) s+3 s 3 +4s +5s ; (h) 3s e s (s 3 ; (i) ) s+ 73 Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach: y y=, y()=; (c)y +y =, y()=,y ()=; (b)y y=sint, y()=; (d)y +3y =e 3t, y()=,y ()= ; (e)y y +y=sint, y()=,y ()=; (f)y y +y=+t, y()=,y ()=; (g)y +4y +4y=t, y()=,y ()=; (h)y +4y +3y=te t, y()=,y ()= * 74 Korzystając z własności przekształcenia Laplace a obliczyć transformaty funkcji: sin 4 t; (b)cos4tcost; (c)t cost; (d)tsinh3t; (e)te t cost; (f)e 3t sin t; (g)(t )sin(t ); (h)(t )e t 9

10 * 75 Obliczyć sploty par funkcji: f(t)=e t, g(t)=e t ; (c)f(t)=(t), g(t)=sint; (b)f(t)=cos3t, g(t)=cost; (d)f(t)=e t, g(t)=t * 76 Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami: (s+)(s+) ; (b) (s ) (s+) ; (c) s (s +) ; (d) s (s +) Lista 3 77 Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji: { sint dla t π, cost dla t π, { t dla, f(t)= (b)f(t)= dla t >π; dla t > π (c)f(t)= ; dla >; { t dla t, (d)f(t)= (e)f(t)=e t ; (f*)f(t)=e at,a dla t >; π Wskazówka(f*) Wykorzystać równość e at dt= a 78Niechc,h Rorazδ>WyznaczyćtransformatęFourierafunkcji h y c c δ c+ δ t 79Pokazać,żejeżeliF{f(t)}=ˆf(ω),to: F{f(t)cosαt}= [ˆf(ω α)+ˆf(ω+α) ] ; (b)f{f(t)sinαt}= i [ˆf(ω α) ˆf(ω+α) ] 8 Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty funkcji: f(t)=e 3 t ; (b)f(t)=te t ; (c)f(t)=e 4t 4t ; { cos t { dla t π, cost dla t π, (d)f(t)= (e)f(t)= (f)f(t)=[(t) (t 4)] t; dla t >π; dla t >π; (g)f(t)=(t) e t cost; (h)f(t)=e t cos t ; (i)f(t)=e t sint { dla t<, waga (t) = funkcja Heaviside a dla t * 8 Korzystając z zadania 8 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji: (b) y y t t * 8 W obwodzie RLC, napięcie (t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym(rys) + (t) Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t) 83ObliczyćtransformatęFourierafunkcjit f (t)+f (t),jeżeliˆf(ω)= R L C y(t) +ω +

11 84 Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać: +iω ; (b) 4+ω ; (c) e iω +iω ; (e)sinωcosω ; (f) ω (+ω )(4+ω ) ; 85 Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera: f(t)=g(t)=(t) (t ), (b)f(t)=(t) (t ),g(t)=(t+) (t), (c)f(t)=(t) e t,g(t)=(t) e t, (d)f(t)=g(t)=e t Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia(podać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólne(z wyjaśnieniem oznaczeń) Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane Ikolokwium Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju Zbadać zbieżność szeregu n n + n3 n + 3 Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego 3 n= (+5) n n+ 4 Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif(, y) = arc sin Zestaw B przecięcia z osią Oz Zbadać zbieżność całki niewłaściwej zasadnić zbieżność szeregu ( ) nln(n+) n n= ( ) + y w punkcie jego 3Funkcjęf()= +4 rozwinąćwszeregmaclaurinapodaćwrazzuzasadnieniemprzedziałzbieżności 4Narysowaćdziedzinęfunkcjif(,y)= y ln ( 9 y ) iobliczyćjejpochodnecząstkowepierwszego rzędu Zestaw C Zbadać zbieżność całki niewłaściwej drugiego rodzaju Korzystając z kryterium całkowego uzasadnić zbieżność szeregu (+) (+ ) arctgn 4n + 3Napisaćrozwinięciefunkcjif()= e + e 3 wszeregmaclaurina,anastępnieobliczyćf () () 4Napisaćrównaniepłaszczynystycznejdopowierzchni(+) +(y 3) +z =6wpunkcie(,, )

12 Zestaw Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu n+ ( ) n n Funkcjęf()= 4 + orazjejpochodnąf ()rozwinąćwszeregimaclaurinaipodaćpromienieich zbieżności Następnie obliczyć sumę szeregu ( ) nn 4 n 3Napowierzchniz=yln ( ++y ) znaleźćtakipunkt,abypłaszczyznastycznadotejpowierzchniwtym punkciebyłarównoległadopłaszczyznyz yln= 4 Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f() = w kierunku wersora ( ) y /, / przyjmujewartość II kolokwium Zestaw A Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(,y)= ( y ) e y wpunkcie(,y )=(,)wkierunku wersoratworzącegokątα=π/3zdodatniączęściąosio Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(,y)= y +y+ 3JednorodnafiguraskładasięzkwadratuobokuidołączonegodoniegopółkolaopromieniuWyznaczyć położenie środka masy tej figury 4 Obliczyć objętośc bryły ograniczonej powierzchniami: Zestaw B +y =,z= +y 3,z=5 +y Znaleźćwartościnajmniejsząinajwiększąfunkcjif(,y)= y wtrójkącie T= { (,y) R :,y,+y 4 } Cienka jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkąta równobocznego o boku a Obliczyć moment bezwładności płytki względem jej osi symetrii ydy 3 Obliczyć całkę ( +y ) 3,gdzie={ (,y) R : +y 9,y } 4ObliczyćtransformatęLaplace afunkcjif(t)=e t Zestaw C zasadnić, że wśród wszytkich prostopadłościanów o objętości V, sześcian ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej Zmienić kolejność całkowania w całce dy + y y f(,y)naszkicowaćobszarcałkowania 3Obliczyćcałkęzfunkcjif(,y,z)=zpoobszarzeV ograniczonympłaszczyznami+y=,+y=, =,y=,z=,z=naszkicowaćobszarv 4Rozwiązaćrównanieróżniczkowey +y +5y= 5zzerowymiwarunkamipoczątkowymi

13 Zestaw Sprawdzić,żefunkcjaz=arctg y spełniawarunek z +yz y +y z yy =,gdzie,y> Całkępodwójnązfunkcjif(,y),poobszarzeograniczonymkrzywymiy=,= y,y= zamienić na całki iterowane na dwa sposoby Narysować obszar 3Obliczyćpoleczęścipowierzchnisfery +y +z =3leżącejwewnątrzparaboloidyz= +y Sporządzić rysunek 4Obliczyćcałkępotrójnązfunkcjif(,y,z)=poobszarzeV : +y +z 6,,y,z Sporządzić rysunek Zastosować współrzędne sferyczne Egzamin podstawowy Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą e +e Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n= 3Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(,y)=y + y + 8 y 3 n ( ) n n+ 4Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniami:z= 5 ( +y ),z=+ +y 5 Jednorodna figura składa się z trójkąta równobocznego o boku i dołączonego do niego półkola o promieniu Wyznaczyć położenie środka masy tej figury 6ZnaleźćprzekształcenieLaplace afunkcjif(t)=t Zestaw B Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z= +y,z= 9 + ( +y ) Sporządzić rysunek Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(,y)=+y ln(y) 3 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 4 Zbadać zbieżność szeregu (n!) (n)! 6 log log 4 f(,y)dy 5 Jednorodna figura ma kształt kwadratu o polu 4, z którego boku wycięto półkole o promieniu Wyznaczyć położenie środka masy tej figury 6MetodątransformatyLaplace arozwiązaćzagadnieniepoczątkowey +y=e t,y()= Egzamin poprawkowy Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą Zbadać zbieżność szeregu n +3 n n! 3Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(,y)=e 3 y +e +e y 3

14 4 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej + f(,y)dy 5 Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego półpierścienia o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R 6Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniamiorównaniach: +y =,z=4 ( +y ),z= Zestaw B Obliczyć całkę niewłaściwą Zbadać zbieżność szeregu arcctgn 3Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(,y)=(y+) + 4 y 4 Narysować obszar całkowania i nastepnie zmienić kolejność całkowania w całce 5 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z= +y,z=6 ( +y ) 4 Sporządzić rysunek 3 f(,y)dy 6Znaleźćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjif(,y)=y 3 + y wpunkciejegoprzecięcia zosiąoy Egzamin na ocenę celującą Zestawz3r Jednorodnabryłajestograniczonaparaboloidąz=a ( +y ) (a>)orazpłaszczyznąz=(rysunek) la jakich wartości parametru a bryła ta, dowolnie położona na boku, powróci do stanu z pionową osią symetrii, czyli będzie wańką-wstańką Przekątne czworokąta wypukłego mają długość p i q oraz są prostopadłe W jakim stosunku powinny się one przecinać, aby obwód czworokąta był najmniejszy? ( 3 Zbadać zbieżność szeregu nn ) n n= 4Niech[a,b],[c,d]będąprzedziałamiwRPokazać,żejeżelidladowolnegowielomianuWstopnia3zachodzi równość to[a,b]=[c,d] b d W()= W(), a c 4

15 ZestawAz4r Samochód firmy Google z kamerą do fotografowania otoczenia jedzie drogą(oś O) Równolegle do drogi, w odległości, stoi reklama o długości Reklama αn n Kamera Niechα n (n N)oznaczakątwidzeniareklamywchwili,gdykamerajestwpunkciendrogizasadnić,że szereg α n jestzbieżnyiwyznaczyćjegosumę Pokazać,żefunkcjaf(,y)=y + (+y) 3 matylkojedenpunktstacjonarny,awnim minimumlokalne właściwe,alewr nieprzyjmujewartościnajmniejszej 3 Obliczyć całkę π dϕ ( sinϕ+ cosϕ ) 4 4 Jednorodny czworościan foremny o masie M ma krawędź a Obliczyć moment bezwładności czworościanu względem prostej zawierającej jego wysokość ZestawBz4r Symbol{}oznaczaczęśćułamkowąliczby,tj{}= Zbadaćzbieżnośćszeregu: {log 5 (3 n +4 n +5 n )} Wjazd na parking położony na wysokości h ma kształt powierzchni śrubowej, która przebiega między walcami opromieniachrir(r<r)(rysunek)obliczyćpoletejdrogi z h r y R 3 Zbadać zbieżność całki 4Pokazać,żezewzorów C = + ++ n, y C = y +y ++y n (n 3) n n można wyznaczyć współrzędne środka masy dowolnego jednorodnego n-kąta wypukłego z wierzchołkami (,y ),(,y ),( n,y n )tylkodlan=3 5

Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Analiza matematyczna 2 Lista zadań Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) + ; b) arccg; e) +) ; c) 4+3

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr do ZW KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Matematyka II

Opis przedmiotu: Matematyka II 24.09.2013 Karta - Matematyka II Opis : Matematyka II Kod Nazwa Wersja TR.NIK203 Matematyka II 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU 9815Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x

x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna.1 Nazwa w języku angielskim: Mathematical analysis.1 Kierunek

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO STEREOMETRIA wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny odróżnić proste równoległe

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS)

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS) Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1:

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna 2.4A(MAP3059) (2015/2016)

Analiza Matematyczna 2.4A(MAP3059) (2015/2016) Analiza Matematyczna.4A(MAP359) (5/6) Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielona7jednostekpluskolokwiumzaliczeniowe.naćwiczeniach należy rozwiązać

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Planimetria 1 12 godz.

Planimetria 1 12 godz. Planimetria 1 1 godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

Zadania z treścią na ekstrema funkcji

Zadania z treścią na ekstrema funkcji Zadania z treścią na ekstrema funkcji Zad. 1: W trójkąt równoramienny, którego boki zawierają się w prostych: AB o równaniu y =, AC o równaniu x y + 1 = 0 i BC o równaniu x + y 6 = 0, wpisano równoległobok

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZED MATURĄ MAJ 015 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa III Gimnazjum

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa III Gimnazjum Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa III Gimnazjum Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. III GIMNAZJUM LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. III GIMNAZJUM LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. III GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE - pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, niewymiernej, rzeczywistej; - sposób zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki w ZSZ Klasa I

Przedmiotowy system oceniania z matematyki w ZSZ Klasa I Przedmiotowy system oceniania z matematyki w ZSZ Klasa I Dopuszczający Uczeń z potrafi : -zamienić ułamek zwykły na dziesiętny i odwrotnie -rozróżnia liczby wymierne i niewymierne -zna definicję liczby

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

PRACA KONTROLNA nr 1

PRACA KONTROLNA nr 1 XXXV KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 005r. 1. Niech f(x) = x + bx + 5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru b, dla których: a) wykres funkcji f jest symetryczny względem

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

POZIOM PODSTAWOWY - GR 1 Czas pracy 170 minut

POZIOM PODSTAWOWY - GR 1 Czas pracy 170 minut POZIOM PODSTAWOWY - GR 1 Czas pracy 170 minut Klasa Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z. matematyki. dla uczniów klasy IIIa i IIIb. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z. matematyki. dla uczniów klasy IIIa i IIIb. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy IIIa i IIIb Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ 1. FUNKCJE (11h) Uczeń: poda definicję funkcji (2)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2016/2017 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2) P podstawowy - ocena dostateczna (3) R rozszerzający -

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Analiza Matematyczna III Mathematical Analysis III Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom przedmiotu: I

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA

SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA DZIAŁ I: POTĘGI I PIERWIASTKI zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym (2) umie zapisać potęgę w postaci iloczynu (2)

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki poziom podstawowy klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY Potęgi i pierwiastki Uczeń: Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym Umie

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Kryteria oceniania z zakresu klasy trzeciej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania osiągnięć uczniów z matematyki w kl. III gimnazjum. (Program Matematyka z plusem dla III etapu edukacyjnego)

Kryteria oceniania osiągnięć uczniów z matematyki w kl. III gimnazjum. (Program Matematyka z plusem dla III etapu edukacyjnego) Kryteria oceniania osiągnięć uczniów z matematyki w kl. III gimnazjum. (Program Matematyka z plusem dla III etapu edukacyjnego) Ocena DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY CELUJĄCY Uczeń: Uczeń:

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA III GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA III GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA III GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA -pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, niewymiernej, rzeczywistej, -sposób zaokrąglania liczb, -pojęcie wartości bezwzględnej,

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Kryteria oceniania z matematyki KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Arytmetyka: Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który potrafi : - określić pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

, h(x) = sin(2x) w przedziale [ 2π, 2π].

, h(x) = sin(2x) w przedziale [ 2π, 2π]. Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, / Maima, część II. Rysowanie wykresów w dwu i trzech wymiarach (zob. 5). a. Otwórz panel okna Wykres D i zapoznaj się z nim. Wyrażenie(a) - tutaj wpisujemy funkcję

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI

Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Ocena dopuszczająca: - nazwy działań - algorytm mnożenia i dzielenia

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ I: LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Na o cenę dopuszczający uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej,

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA II 2016/2017

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA II 2016/2017 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA II 2016/2017 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Symetrie) zna pojęcie punktów symetrycznych względem prostej, umie rozpoznawać figury

Bardziej szczegółowo