Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza matematyczna 2 Lista zadań"

Transkrypt

1 Analiza matematyczna Lista zadań Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Lista Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: + ; (b) + ; (c) sin; (d) arcctg; (e) 4+3 ; (f) π e Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: (d) 4 ( +) ; (b) ( +) 3 ; (e) + 9 π ; +3 (c) (+sin) 3 ; (f) (+) 4 ++ ; ( +cos ) 3 Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: ( +) ; (b) (+) 5 ) (e 5 3 ; (c) ; (d) sin ; (e) 3 sin 4Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywąy= +4 orazosiąo (b)obliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosioobszaru= { (,y) R :, y e } (c)zasadnić,żepolepowierzchnipowstałejzobrotuwykresufunkcjiy= ( )wokółosiomaskończoną wartość 5 Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: (+) ; (b) e ln ; (c) (+) ; (d) π π sin ; (e) Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 4 arctg e 4 ; (b) 3 ; (c) + ; (d*) Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: ( 3 + ) π ( +) ; (b) sin 3 (e ) π 4 ; (c) ; (d*) ; (e*) 3 sin 8 Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych: 3 cos +4 ; (b) e e + ; (c) e +5 ; (d 9 4 π ; (e) sin

2 Lista 9 Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność: ( ) n 5 ; (b) 6 n +3n+ ; (c) n ; (d) n! n++ n n= n= Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +4 ; (b) n= n+ n n ; (c) n= lnn n ; (d) n n+ ; (e) Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3n+ n 3 + ; (b) n + n + ; (c) sin π n; (d) n= n= n +e n e n +4 n; (e) e n e n + 3 n +n n3 n + n Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n+ n6 ; (b) n + n 3 + ; (c) e n 3 n ; (d) 4 n sin5 n 3 Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów: 5 n ; (b) n! e n + n 5 + ; (c) n sin π n; (d) n= n! n n; (e) 4 Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: (n+) n n +3 n (n +) n ; (b) 3 n +4 n; (c) 3 n n n ; (d) (n+) n n n π n n! arccos n n 5 Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: n 5 n n n n lim n 3 n =; (b) lim n (n!) =; (c) lim n n! (3n)!(4n)! =; (d*) lim n (5n)!(n)! = 6 Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ( ) n( ) n + n ; (b) ( ) n n 3 n +4 n; (c) ( ) n tg π n ; (d) n= 7 Obliczyć sumy przybliżone szeregów ze wskazaną dokładnością: ( ) n+ n, ( ) n n 6 ; (b) (n+)!, 3 Lista 3 n= n= n= n=4 8 Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ( ) n 3 n + ; (b) ( ) n n n+ ; (c) ( ) n n ; (d) 3n+5 n= 9 Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych: n ne n; (b) (5 ) n (+3) n ; (c) ; (d) n! ( ) n( ne ) ; (e) n= (+6) n 3 n n ; (e) Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 5 + ; (b)sin ; (c) e 3 ; (d) 6 ; (e)sinh; (f)cos Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne: f (5) (), f()= cos; (b)f (5) (), f()=e ; (c)f () (), f()= 3 + ; (d)f() (), f()=sin ( ) n+3n n= n! n(+) n n+ ( ) n 3 n +

3 Wyznaczyćszeregipotęgowef ()oraz f()= + 3; (b)f()=sin( ) ; (c*)f()=e n= f(t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem: 3 Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów: (n+)3 n; (b) n n(n+) n ; (c) 5 n n= 4 Obliczyć całki oznaczone ze wskazaną dokładnością: Lista 4 e, ; sin, 5 Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji: f(,y)= y y ; (b)f(,y)= y + ; (c)f(,y)= y 4 y ; (d)f(,y)=ln +y 9 6 y ; (e)g(,y,z)= + z; (f)g(,y,z)=arccos ( +y +z ) 6 Naszkicować wykresy funkcji: f(,y)= +y ; (b)f(,y)= 3+ y ; (c)f(,y)= +y +y+3; (d)f(,y)=siny; (e)f(,y)= ; (f)f(,y)= * 7 Obliczyć granice: sin ( 4 y 4) cos ( +y ) y ( lim (,y) (,) +y ;(b) lim (,y) (,) ( +y ) ;(c) lim (,y) (,) +y;(d) lim +y ) cos (,y) (,) y 8Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnecząstkowepierwszegorzęduf,f y funkcjifipochodnecząstkowe g,g y,g z funkcjigwewskazanychpunktach: f(,y)= y,(,); (b)f(,y)= 6 +y 6,(,); (c)g(,y,z)= +z, (,,) y 9Obliczyćpochodnecząstkowef,f y funkcjifipochodnecząstkoweg,g y,g z funkcjig: f(,y)= +y ; (b)f(,y)=arctg y y +y ; (d)f(,y)=y +y ; (g)g(,y,z)= Lista 5 (e)f(,y)=ln (c)f(,y)=ecos y ; (+ +y ) ; (f)g(,y,z)= + z +y +z; (h)g(,y,z)=cos(sin(ycosz)); (i)g(,y,z)= * 3 Sprawdzić, że funkcja f spełnia wskazane równanie: f(,y)=ln ( +y+y ), f +yf y =; (b)f(,y)= sin y, f +yf y = f y +yz3 ; + y + z + 3Obliczyćpochodnecząstkowedrugiegorzęduf,f y,f y,f yy funkcjifipochodnecząstkoweg,g y,g z, g y,g yy,g yz,g z,g zy,g zz funkcjigisprawdzić,żepochodnecząstkowemieszanesąrówne: f(,y)=cos ( +y ) ; (b)f(,y)=ye y ; (d)f(,y)=yln y ; (c)f(,y)= + y3 ; (e)g(,y,z)= y + +z ; (f)g(,y,z)=ln( +y +z 3 + ) 3

4 3 Obliczyć pochodne cząstkowe: h yy, h(,y)=siny; (b)h yyy, h(,y)= +y y ; (c)h yz, h(,y,z)= y 3 z 33 Sprawdzić, że funkcje: z=arctg y ( ; (b)z=+ y ; (c)z=+ln + y ) ; (d)z=+ y spełniają równanie z +yz y +y z yy =, (,y>) 34 Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: z= y+, (,y,z )=(,3,z ); (b)z=e +y, (,y,z )=(,,z ); ( (c)z= arcsin arccosy, (,y,z )= ) 3,,z ; (d)z= y, (,y,z )=(,4,z ) 35 Nawykresiefunkcjiz =arctg y wskazaćpunkty,wktórychpłaszczyznastycznajestrównoległado płaszczyzny+y z=5 (b)wyznaczyćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjiz= +y,którajestprostopadładoprostej =t,y=t,z=t,t R Lista 6 36Wysokośćipromieńpodstawywalcazmierzonozdokładnością±mmOtrzymanoh=35mmoraz r=45mmzjakąwprzybliżeniudokładnościąmożnaobliczyćobjętośćvtegowalca? (b)krawędzieprostopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=mobliczyćwprzybliżeniu,jakzmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o cm (c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objętościprostopadłościamuv,jeżelipomiarujegoboków,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio, y, z * 37 Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania: z=f ( +y ), yz z y =; (b)z=f(sin( y)), z +z y = z ; ( y (c)z= n f, z +yz y =nz(n N); (d*)z= ) ( y ) y g()+h, yz y +y z yy +z +yz y = 38 Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: f(,y)= ( ) 3 +y, (,y )=(,), v=, ; ( ) (b)f(,y)= 3 y, (,y )=(,), v=, ; ( ) 3 (c)g(,y,z)= +yz, (,y,z )=(,,), v= 3,4 3, 3 39 Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: ( ) f(,y)= +y, (,y )=( 3,4), v= 3,5 ; 3 (b)f(,y)= y ( ) 3 +y, (,y )=(,), v= 5, 4 ; 5 ( ) (c)g(,y,z)=e yz 3, (,y,z )=(,, ), v=, 3 4, 4 4 Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(,y)=y +ln(y)wpunkcie ( ), wkierunku wersoravtworzącegokątαzdodatnimzwrotemosiolajakiegokątaαpochodnatamawartość,adla jakiego przyjmuje wartość największą? (b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkuktórychfunkcjaf(,y)= e ( +y ) wpunkcie(,)mapochodną kierunkową równą 4

5 Lista 7 4 Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: f(,y)= 3 +3y 5 4y; (b)f(,y)=e y + +ey ; (c)f(,y)=y ( y)(,y>); (d)f(,y)=y y +6y; (e)f(,y)= 3 +y 3 3y; (f)f(,y)= 8 + y +y(,y>); (g)f(,y)=y+lny+ ; (h)f(,y)=4y+ + y ; (i)f(,y)=( y ) + ( y ) 4 Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki: f(,y)= +y,3+y=6; (b)f(,y)= +y 8+, y +=; (c)f(,y)= y ln,8+3y=; (d)f(,y)=+3y, +y = 43 Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach: f(,y)= y y, = { (,y) R : y 4 } ; (b)f(,y)= +y 6+4y, = { (,y) R :+y 4,+y 6,,y } ; (c)f(,y)= +y, = { (,y R : + y } ; (d)f(,y)=y +4y 4, = { (,y) R : 3 3, 3 y } ; (e)f(,y)= 4 +y 4, = { (,y) R : +y 9 } 44WtrójkącieowierzchołkachA=(,5),B=(,4),C=(, 3)znaleźćpunktM=(,y ),dlaktórego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza (b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza? (c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi: k: { +y =, z+ =, l: { y+3 =, z = (d)prostopadłościennymagazynmamiećobjętośćv=6m 3 obudowyścianmagazynuużywanesąpłytyw cenie3zł/m,dobudowypodłogiwcenie4zł/m,asufituwceniezł/m Znaleźćdługośća,szerokośćbi wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy (f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 5 zł i zł za sztukę Koszt wyprodukowania sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi K(,y)= y+y [zł] Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk? Lista 8 45 Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach: ( +y y ) dy dy,r=[,] [,]; (b) (+y+) 3,R=[,] [,]; R R (c) (siny)dy,r=[,] [π,π]; (d) e y dy,r=[,] [,] R 46 Całkę podwójną f(, y) dy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar ograniczony jest krzywymi o równaniach: y=, y=+; R (b) +y =4, y=, =(,y ); (c) 4+y +6y 5=; (d) y =, +y =3(<) 47 Obliczyć całki iterowane: 5

6 y dy; (b) 4 Narysować obszary całkowania y dy; (c) 4 ( 3 +y 3) dy; (d) 48 Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: (d) f(,y)dy; dy y y (b) f(,y); (e) π π f(,y)dy; (c) sin cos f(,y)dy; (f) 4 e 4 ln 3 y dy f(,y)dy; f(,y)dy y Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: y dy, :y=,y= ; (b) ydy, :y=,y=,y= ; ( (c) e y dy, :y=,=,y=; (d) y+4 ) dy, :y=+3,y= +3+3; (e) e y dy, :y=,y=,=; (f) (y+)dy, :=,y=,y=3 ( ); (g) e dy, :y=,y=,= ln3; (h) ( 3y+)dy, :y=,y=π,=,=siny * 5 Obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach: min(,y)dy,=[,] [,]; (b) +y dy,=[,] [,]; (c) y dy,= { (,y) R :, y 3 } ; (d) sgn ( y + ) dy,= { (,y) R : +y 4 } waga Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei u oznacza część całkowitą liczby u 5 Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach: [ f(,y)=sincosy,=[,π], π ] ; (b)f(,y)=+y,: y π, siny * 5 Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: (+y) ( y) 3dy,:+y=,+y=, y=, y=3; (b) dy y,:y=,y=,y= +,y= +4; (c) ydy,:y=,y=,y=,y=3 3 ; (d*) Lista 9 ( 4 y 4) dy,: +y =3, +y =5, y =, y = (,y ) 53 Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: 6

7 ydy,: +y, 3 y 3; (b) y dy,:, +y ; (c) y e +y dy,:,y, +y ; (d) dy,: +y y; (e) ( +y ) dy,: y,y +y ; (f) yy,: +y (y ) Obszar naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych 54 Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y =4, +y=3, y=(y ); (b) +y y=, +y 4y=; (c)+y=4, +y=8, 3y=, 3y=5; (d) +y =y, y= 3 55 Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami: y=z,y=,y=,z=,=y; (b) +y +z =4,z=(z ); (c) +y y=,z= +y,z=; (d)z=5 +y,=,y=,+y=,z=; (e*)( ) +(y ) =,z=y,z=; (f*)z= +y,y+z=4 56 Obliczyć pola płatów: z= +y, +y ;(b) +y +z =R, +y R,z ;(c)z= +y, z 57 Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych: = { (,y) R : π, y sin },σ(,y)=; (b)= { (,y) R : +y 4,y },σ(,y)= 58 Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych: = { (,y) R : y 4 } ; (b)= { (,y) R : π, y sin } ; (c)= { (,y) R :, y e } ; (d) trójkątrównoramiennyopodstawieaiwysokościh; (e) trójkątrównobocznyobokua,doktóregodołączonopółkoleopromieniua; (f) kwadratoboku,zktóregowyciętopółkoleośrednicya 59 Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi: = { (,y) R : +y R,y },ośo,przyjąćσ(,y)= +y ; (b)= { (,y) R : y },ośsymetriiobszaru,przyjąćσ(,y)= ; (c)= { (,y) R : π, y sin },ośo,przyjąćσ(,y)=; (d) jednorodnykwadratomasiemibokua,przekątnakwadratu; (e) jednorodnytrójkątrównobocznyomasiemibokua,ośsymetrii Lista 6 Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach: dydz,=[,] [,e] [,e]; yz (b) (+y+z)dydz,=[,] [,3] [3,4]; (c) sinsin(+y)sin(+y+z)dydz,=[,π] [,π] [,π]; (d) (+y)e +z dydz,=[,] [,] [,] 7

8 6Całkępotrójnązfunkcjig(,y,z)poobszarzezamienićnacałkiiterowane,jeżelijestograniczonypowierzchniami o podanych równaniach: z= +y, z=6; (b) +y +z =5,z=4,(z 4); (c)z= +y, z= y * 6 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania: y 4 y dy f(,y,z)dz; (b) dy f(,y,z)dz; 4 4 y (c) 3 dz z z z z f(,y,z)dy; (d) dy +y f(,y,z)dz 63 Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach: g(,y,z)=e +y+z, :, y, z ; (b)g(,y,z)= (3+y+z+) 4, :,y, z y; (c)g(,y,z)= +y, : +y 4, z ; (d)g(,y,z)= y, : y z * 64 Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki potrójne: (+y) (+y+z) 3 dydz,jestobszaremograniczonymprzezpłaszczyzny:=,=,+y=, +y=,+y+z=,+y+z=3; ( y ) dydz,jestobszaremograniczonymprzezpowierzchnie:y=,y=,y=,y=4,z=y+, (b) z=y+3,>; ( (c*) +y ) dydz,jesttorusem,tjbryłąpowstałązobrotuwokółosiozkoła( R) +z r, y=,<r R Lista 65 Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach: ( +y +z ) dydz, : +y 4, z ; (b) yzdydz, : +y z y ; ( (c) +y ) dydz, : +y +z R, +y +z Rz; (d) (+y+z)dydz, : +y, z y 66 Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach: dydz +y +z, :4 +y +z 9; ( (b) +y ) dydz, : +y z y ; (c) z dydz, : +y +(z R) R (R>); 8

9 (d) dydz, : +y +z 4 67 Obliczyć objętości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: +y =9, +y+z=, +y+z=5; (b)=, =, z=4 y, z=+y ; (c)z= + +y, z=, +y =; (d) +y +z =, y=(y ) 68 Obliczyć masy obszarów o zadanych gęstościach objętościowych: =[,a] [,b] [,c],γ(,y,z)=+y+zoraza,b,c>; (b): +y +z 9,γ(,y,z)= +y +z 69 Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych: :, y, z ; (b)stożekopromieniupodstawyriwysokościh; (c): +y z y 7 Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M: walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca; (b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka; (c) kula o promieniu R, względem osi symetrii Lista 7 Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace a funkcji: t ; (b)sint; (c)t ; (d)te t ; (e)e t cost; (f)sinht; (g) y (h) y (i) y y=f(t) y=g(t) y=h(t) t t t 7 Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace a mają postać: s+ ; (b) s s +4s+5 ; (c) s 4s+3 ; s+ (d) (s+)(s )(s +4) ; (e) s + s (s ) ; (f) s+9 s +6s+3 ; (g) s+3 s 3 +4s +5s ; (h) 3s e s (s 3 ; (i) ) s+ 73 Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach: y y=, y()=; (c)y +y =, y()=,y ()=; (b)y y=sint, y()=; (d)y +3y =e 3t, y()=,y ()= ; (e)y y +y=sint, y()=,y ()=; (f)y y +y=+t, y()=,y ()=; (g)y +4y +4y=t, y()=,y ()=; (h)y +4y +3y=te t, y()=,y ()= * 74 Korzystając z własności przekształcenia Laplace a obliczyć transformaty funkcji: sin 4 t; (b)cos4tcost; (c)t cost; (d)tsinh3t; (e)te t cost; (f)e 3t sin t; (g)(t )sin(t ); (h)(t )e t 9

10 * 75 Obliczyć sploty par funkcji: f(t)=e t, g(t)=e t ; (c)f(t)=(t), g(t)=sint; (b)f(t)=cos3t, g(t)=cost; (d)f(t)=e t, g(t)=t * 76 Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami: (s+)(s+) ; (b) (s ) (s+) ; (c) s (s +) ; (d) s (s +) Lista 3 77 Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji: { sint dla t π, cost dla t π, { t dla, f(t)= (b)f(t)= dla t >π; dla t > π (c)f(t)= ; dla >; { t dla t, (d)f(t)= (e)f(t)=e t ; (f*)f(t)=e at,a dla t >; π Wskazówka(f*) Wykorzystać równość e at dt= a 78Niechc,h Rorazδ>WyznaczyćtransformatęFourierafunkcji h y c c δ c+ δ t 79Pokazać,żejeżeliF{f(t)}=ˆf(ω),to: F{f(t)cosαt}= [ˆf(ω α)+ˆf(ω+α) ] ; (b)f{f(t)sinαt}= i [ˆf(ω α) ˆf(ω+α) ] 8 Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty funkcji: f(t)=e 3 t ; (b)f(t)=te t ; (c)f(t)=e 4t 4t ; { cos t { dla t π, cost dla t π, (d)f(t)= (e)f(t)= (f)f(t)=[(t) (t 4)] t; dla t >π; dla t >π; (g)f(t)=(t) e t cost; (h)f(t)=e t cos t ; (i)f(t)=e t sint { dla t<, waga (t) = funkcja Heaviside a dla t * 8 Korzystając z zadania 8 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji: (b) y y t t * 8 W obwodzie RLC, napięcie (t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym(rys) + (t) Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t) 83ObliczyćtransformatęFourierafunkcjit f (t)+f (t),jeżeliˆf(ω)= R L C y(t) +ω +

11 84 Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać: +iω ; (b) 4+ω ; (c) e iω +iω ; (e)sinωcosω ; (f) ω (+ω )(4+ω ) ; 85 Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera: f(t)=g(t)=(t) (t ), (b)f(t)=(t) (t ),g(t)=(t+) (t), (c)f(t)=(t) e t,g(t)=(t) e t, (d)f(t)=g(t)=e t Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia(podać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólne(z wyjaśnieniem oznaczeń) Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane Ikolokwium Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju Zbadać zbieżność szeregu n n + n3 n + 3 Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego 3 n= (+5) n n+ 4 Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif(, y) = arc sin Zestaw B przecięcia z osią Oz Zbadać zbieżność całki niewłaściwej zasadnić zbieżność szeregu ( ) nln(n+) n n= ( ) + y w punkcie jego 3Funkcjęf()= +4 rozwinąćwszeregmaclaurinapodaćwrazzuzasadnieniemprzedziałzbieżności 4Narysowaćdziedzinęfunkcjif(,y)= y ln ( 9 y ) iobliczyćjejpochodnecząstkowepierwszego rzędu Zestaw C Zbadać zbieżność całki niewłaściwej drugiego rodzaju Korzystając z kryterium całkowego uzasadnić zbieżność szeregu (+) (+ ) arctgn 4n + 3Napisaćrozwinięciefunkcjif()= e + e 3 wszeregmaclaurina,anastępnieobliczyćf () () 4Napisaćrównaniepłaszczynystycznejdopowierzchni(+) +(y 3) +z =6wpunkcie(,, )

12 Zestaw Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu n+ ( ) n n Funkcjęf()= 4 + orazjejpochodnąf ()rozwinąćwszeregimaclaurinaipodaćpromienieich zbieżności Następnie obliczyć sumę szeregu ( ) nn 4 n 3Napowierzchniz=yln ( ++y ) znaleźćtakipunkt,abypłaszczyznastycznadotejpowierzchniwtym punkciebyłarównoległadopłaszczyznyz yln= 4 Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f() = w kierunku wersora ( ) y /, / przyjmujewartość II kolokwium Zestaw A Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(,y)= ( y ) e y wpunkcie(,y )=(,)wkierunku wersoratworzącegokątα=π/3zdodatniączęściąosio Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(,y)= y +y+ 3JednorodnafiguraskładasięzkwadratuobokuidołączonegodoniegopółkolaopromieniuWyznaczyć położenie środka masy tej figury 4 Obliczyć objętośc bryły ograniczonej powierzchniami: Zestaw B +y =,z= +y 3,z=5 +y Znaleźćwartościnajmniejsząinajwiększąfunkcjif(,y)= y wtrójkącie T= { (,y) R :,y,+y 4 } Cienka jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkąta równobocznego o boku a Obliczyć moment bezwładności płytki względem jej osi symetrii ydy 3 Obliczyć całkę ( +y ) 3,gdzie={ (,y) R : +y 9,y } 4ObliczyćtransformatęLaplace afunkcjif(t)=e t Zestaw C zasadnić, że wśród wszytkich prostopadłościanów o objętości V, sześcian ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej Zmienić kolejność całkowania w całce dy + y y f(,y)naszkicowaćobszarcałkowania 3Obliczyćcałkęzfunkcjif(,y,z)=zpoobszarzeV ograniczonympłaszczyznami+y=,+y=, =,y=,z=,z=naszkicowaćobszarv 4Rozwiązaćrównanieróżniczkowey +y +5y= 5zzerowymiwarunkamipoczątkowymi

13 Zestaw Sprawdzić,żefunkcjaz=arctg y spełniawarunek z +yz y +y z yy =,gdzie,y> Całkępodwójnązfunkcjif(,y),poobszarzeograniczonymkrzywymiy=,= y,y= zamienić na całki iterowane na dwa sposoby Narysować obszar 3Obliczyćpoleczęścipowierzchnisfery +y +z =3leżącejwewnątrzparaboloidyz= +y Sporządzić rysunek 4Obliczyćcałkępotrójnązfunkcjif(,y,z)=poobszarzeV : +y +z 6,,y,z Sporządzić rysunek Zastosować współrzędne sferyczne Egzamin podstawowy Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą e +e Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n= 3Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(,y)=y + y + 8 y 3 n ( ) n n+ 4Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniami:z= 5 ( +y ),z=+ +y 5 Jednorodna figura składa się z trójkąta równobocznego o boku i dołączonego do niego półkola o promieniu Wyznaczyć położenie środka masy tej figury 6ZnaleźćprzekształcenieLaplace afunkcjif(t)=t Zestaw B Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z= +y,z= 9 + ( +y ) Sporządzić rysunek Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(,y)=+y ln(y) 3 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 4 Zbadać zbieżność szeregu (n!) (n)! 6 log log 4 f(,y)dy 5 Jednorodna figura ma kształt kwadratu o polu 4, z którego boku wycięto półkole o promieniu Wyznaczyć położenie środka masy tej figury 6MetodątransformatyLaplace arozwiązaćzagadnieniepoczątkowey +y=e t,y()= Egzamin poprawkowy Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą Zbadać zbieżność szeregu n +3 n n! 3Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(,y)=e 3 y +e +e y 3

14 4 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej + f(,y)dy 5 Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego półpierścienia o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R 6Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniamiorównaniach: +y =,z=4 ( +y ),z= Zestaw B Obliczyć całkę niewłaściwą Zbadać zbieżność szeregu arcctgn 3Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(,y)=(y+) + 4 y 4 Narysować obszar całkowania i nastepnie zmienić kolejność całkowania w całce 5 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z= +y,z=6 ( +y ) 4 Sporządzić rysunek 3 f(,y)dy 6Znaleźćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjif(,y)=y 3 + y wpunkciejegoprzecięcia zosiąoy Egzamin na ocenę celującą Zestawz3r Jednorodnabryłajestograniczonaparaboloidąz=a ( +y ) (a>)orazpłaszczyznąz=(rysunek) la jakich wartości parametru a bryła ta, dowolnie położona na boku, powróci do stanu z pionową osią symetrii, czyli będzie wańką-wstańką Przekątne czworokąta wypukłego mają długość p i q oraz są prostopadłe W jakim stosunku powinny się one przecinać, aby obwód czworokąta był najmniejszy? ( 3 Zbadać zbieżność szeregu nn ) n n= 4Niech[a,b],[c,d]będąprzedziałamiwRPokazać,żejeżelidladowolnegowielomianuWstopnia3zachodzi równość to[a,b]=[c,d] b d W()= W(), a c 4

15 ZestawAz4r Samochód firmy Google z kamerą do fotografowania otoczenia jedzie drogą(oś O) Równolegle do drogi, w odległości, stoi reklama o długości Reklama αn n Kamera Niechα n (n N)oznaczakątwidzeniareklamywchwili,gdykamerajestwpunkciendrogizasadnić,że szereg α n jestzbieżnyiwyznaczyćjegosumę Pokazać,żefunkcjaf(,y)=y + (+y) 3 matylkojedenpunktstacjonarny,awnim minimumlokalne właściwe,alewr nieprzyjmujewartościnajmniejszej 3 Obliczyć całkę π dϕ ( sinϕ+ cosϕ ) 4 4 Jednorodny czworościan foremny o masie M ma krawędź a Obliczyć moment bezwładności czworościanu względem prostej zawierającej jego wysokość ZestawBz4r Symbol{}oznaczaczęśćułamkowąliczby,tj{}= Zbadaćzbieżnośćszeregu: {log 5 (3 n +4 n +5 n )} Wjazd na parking położony na wysokości h ma kształt powierzchni śrubowej, która przebiega między walcami opromieniachrir(r<r)(rysunek)obliczyćpoletejdrogi z h r y R 3 Zbadać zbieżność całki 4Pokazać,żezewzorów C = + ++ n, y C = y +y ++y n (n 3) n n można wyznaczyć współrzędne środka masy dowolnego jednorodnego n-kąta wypukłego z wierzchołkami (,y ),(,y ),( n,y n )tylkodlan=3 5

Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Analiza matematyczna 2 Lista zadań Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) + ; b) arccg; e) +) ; c) 4+3

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS)

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS) Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Planimetria 1 12 godz.

Planimetria 1 12 godz. Planimetria 1 1 godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Kryteria oceniania z zakresu klasy trzeciej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Kryteria oceniania z matematyki KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Arytmetyka: Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który potrafi : - określić pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ I: LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Na o cenę dopuszczający uczeń: zna pojęcie liczby naturalnej,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA 4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa III Liczby i wyrażenia algebraiczne Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna pojęcie notacji wykładniczej rozumie potrzebę zaokrąglania liczb umie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE III GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE III GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE III GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu roku szkolnego na lekcjach matematyki

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa III program Matematyka z plusem Dział: LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE POZIOM KONIECZNY - ocena dopuszczająca Uczeń umie: szacować wyniki działań, zaokrąglać liczby

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE IV TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE IV TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE IV TECHNIKUM. I. Podstawowe pojęcia statystyki. 1. Sposoby prezentowania danych, interpretacja wykresów. 2. Mediana i dominanta. 3. Średnia arytmetyczna

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 72 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy II (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod (4) Studia

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna 1 (2014/2015)

Analiza Matematyczna 1 (2014/2015) Analiza Matematyczna 4/5) MAP43, 9, 4, 43, 345, 357 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielonana4jednostekodpowiadającychkolejnym wykładom

Bardziej szczegółowo

Wymagania: na kolejną - wyższą ocenę konieczna jest również znajomość materiału i posiadanie umiejętności wymaganych na ocenę niższą.

Wymagania: na kolejną - wyższą ocenę konieczna jest również znajomość materiału i posiadanie umiejętności wymaganych na ocenę niższą. 1 Wymagania: na kolejną - wyższą ocenę konieczna jest również znajomość materiału i posiadanie umiejętności wymaganych na ocenę niższą. dopuszczający zna pojęcie notacji wykładniczej, zna sposób zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 013 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI Instrukcja dla zdającego

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą wtedy gdy: 1. zna pojęcie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Bożena Poręba WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA 3

Bożena Poręba WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA 3 Bożena Poręba WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA 3 WYMAGANIA KONIECZNE OCENA DOPUSZCZAJĄCA: Uczeń: - zna pojęcie notacji wykładniczej - zna sposób zaokrąglania liczb - rozumie potrzebę zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta,

10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta, 10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta, liczba przekątnych wielokąta, porównywanie pól wielokątów w oparciu o proste zależności geometryczne jak np. przystawanie i zawieranie, rozpoznawanie

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY

MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY OCENA DOPUSZCZEJĄCY: DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE zna algorytmy działań

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

PLAN PRACY DYDAKTYCZNO-WYCHOWAWCZEJ Z MATEMATYKI W KLASIE IIID, IIIE GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2015/2016 WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN PRACY DYDAKTYCZNO-WYCHOWAWCZEJ Z MATEMATYKI W KLASIE IIID, IIIE GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2015/2016 WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN PRACY DYDAKTYCZNO-WYCHOWAWCZEJ Z MATEMATYKI W KLASIE IIID, IIIE GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2015/2016 WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM, NR

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5.

Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie. ( pkt) W układzie współrzędnych zaznaczono 5 początkowych wyrazów nieskończonego ciągu a. arytmetycznego ( ) n y - a) Podaj trzeci wyraz tego ciągu.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III GIMNAZJUM. Ocenę dobrą otrzymuje uczeń, który:

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III GIMNAZJUM. Ocenę dobrą otrzymuje uczeń, który: WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III GIMNAZJUM Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: Ocenę dostateczną otrzymuje uczeń, który: Ocenę dobrą otrzymuje uczeń, który: Ocenę bardzo dobrą otrzymuje

Bardziej szczegółowo

Matematyka klasa trzecia gimnazjum Wymagania na poszczególne oceny

Matematyka klasa trzecia gimnazjum Wymagania na poszczególne oceny Matematyka klasa trzecia gimnazjum Wymagania na poszczególne oceny POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 03 WPISUJE ZJĄY KO PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI POZIOM POSTWOWY MJ

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli semestr I 2007 / 2008r. klasa I Liczby wymierne Dział Główne wymagania edukacyjne Forma Obliczenia procentowe Umiejętność rozpoznawania podzbiorów zbioru liczb wymiernych. Umiejętność przybliżania i zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI GIMNAZJUM KLASA III Zgodnie z programem Matematyka z plusem

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI GIMNAZJUM KLASA III Zgodnie z programem Matematyka z plusem Liczby i wyrażenia algebraiczne WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI GIMNAZJUM KLASA III Zgodnie z programem Matematyka z plusem zna pojęcie notacji wykładniczej umie oszacować wynik działań umie zaokrąglić

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata.

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata. Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz 1. Wzajemne położenia prostych, płaszczyzn w przestrzeni. 2. Graniastosłupy- podział, pole powierzchni i objętość. 3. Ostrosłupy- podział,

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl.

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl. Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. (0 1) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F jeśli jest fałszywe.

Zadanie 2. (0 1) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F jeśli jest fałszywe. Strona 1 z 12 liczba osób Informacje do zadań 1. i 2. W dwóch dziesięcioosobowych grupach uczniów przeprowadzono test sprawności notując czas (w sekundach) wykonywania ćwiczenia. Wyniki przedstawia poniższy

Bardziej szczegółowo

Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki

Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki Arkusz I Próbny Egzamin Maturalny z Matematyki Poziom Podstawowy 2 kwietnia 2010 r. Czas trwania 170min. Arkusz przygotowany przez serwis www.akademiamatematyki.pl Zadanie 1. ( 1 pkt. ) Liczba jest o większa

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo