Analiza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
|
|
- Wiktoria Ostrowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 07/8 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)),. = (p p)), 3. = ((p q) r) (p (q r)) (łączość spójików ) 4. = ((p (q r)) ((p q) (p r)), 5. = ((p (q r)) ((p q) (p r)), 6. = (p q) ( p q) (prawo elimiacji implikacji), 7. = ( (p q)) (p q). Podaj iterpretację dwóch pierwszych tautologii. Uwaga: = φ ozacza, że φ jest tautologią. Zadaie Pokaż, że jeśli Ja umie fizykę i Ja ie umie fizyki, to Ja umie biologię.. Sformułuj odpowiedią tautologię.. Podaj ie przykłady zastosowaia tej tautologii. Zadaie 3 Niech φ ψ ozacza, że = (φ ψ). Pokaż, że dla dowolych zdań φ, ψ, η mamy. φ φ (zwrotość). Jeśli φ ψ to ψ φ (symetria) 3. Jeśli φ ψ oraz ψ η to φ η (przechodiość). Zadaie 4 Pokaż, że spójiki,, możesz zdefiiować za pomocą spójików oraz. Pokaż rówież, że spójiki,, możesz zdefiiować za pomocą spójików oraz. Zadaie 5 Zapisz, stosując otację matematyczą, astępujące zdaia i formuły:. p jest liczbą pierwszą,. istieje ajmiejsza liczba aturala, 3. ie istieje ajwiększa liczba aturala, 4. ie istieje ajmiejsza liczba rzeczywista dodatia. Zastosuj zae prawa logiki do uproszczeia tych wyrażeń. Zadaie 6 Podaj iterpretację astępujących zdań. ( (0, ))( N)( < ),. ( R)( 0), 3. (, y R)( < y = y > y),
2 4. ( a N)(,, 3, 4 N)(a = ), 5. ( R)( y R)(y ). Zadaie 7 Niech R(, y) ozacza, że " jest rodzicem y". Niech K() ozacza, że " jest kobietą". Zdefiiuj, korzystając z otacji matematyczej oraz predykatów R i K, astępujące predykaty:." jest dziadkiem y",." jest siostrą y", 3." jest bratem y", 4." jest ciotką y".. Zbiory Zadaie 8 Niech A = [0, ] oraz B = [, 3). Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A. Zadaie 9 Niech A = {(, y) R : + y } oraz B = {(, y) R : <, y < 3 }. Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A. Zadaie 0 Odcikiem azywamy dowoly podzbiór A R taki, że Spróbuj opisać rodzię wszystkich odcików. ( a, b, c) (((a < b < c) (a A) (c A)) b A). Zadaie Niech A, B Ω oraz iech X c ozacza dopełieie zbioru X Ω do przestrzei Ω. Udowodij prawa de Morgaa dla zbiorów A i B, czyli pokaż, że. (A B) c = A c B c. (A B) c = A c B c Pokaż rówież, że 3. (A c ) c = A Zadaie Wymień wszystkie pozae do tej pory wariaty praw de Morgaa. Zadaie 3 Niech A i B będą zbiorami. Pokaż, że astępujące zdaia są rówoważe:. A B. A B = B 3. A B = B. * Zadaie 4 Mamy ustaloe dwa zbiory A, B Ω. Ile zbiorów możesz zdefiiować z tych zbiorów za pomocą operacji,,\ oraz c (dopelieie do zbioru Ω). Uogólij to zadaie a trzy biory. ** Zadaie 5 (Parado Russela) Pokaż, że ie istieje zbiór wszystkich zbiorów. Wskazówka: Załóż, że Ω jest zbiorem wszystkich zbiorów. Rozważ zbiór X = { Ω : / }. Zbadaj zdaie X X. Uwaga: Spostrzeżeie Russela było impulsem do sformułowaia Aksjomatyczej Teorii Mogości. Obecie ajbardziej popularą aksjomatyką jest Teoria Mogości Zermelo-Fraekel a..3 Podstawowe zbiory liczbowe Zadaie 6 Uprość astępujące wyrażeia: , + 3. ( 4 ), (4 ) + 5, + 5 Zadaie 7 Niech a, b, c > 0 i a. Udowodij astępujące własości fukcji logarytmiczych:. log a (b c) = log a (b) + log a (c). log a (b k ) = k log a (b) dla dowolego k R
3 3. log a () = log b () log b (a) dla b. Zadaie 8 Uprość astępujące wyrażeia:. log 0 (0 5 4 ), 4 log (5), log 3 (7 3). log 4 +3 log 8 3, 9 log 3 5 Zadaie 9 Przypomij sobie dowód tego, że / Q. Pokaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to p jest liczbą iewymierą. * Zadaie 0 Pokaż, że jeśli N jest taką liczbą aturalą, że Q to istieje liczba aturala k taka, że = k. Zadaie Pokaż, że jeśli q Q, to + q / Q. Dla jakich liczb wymierych q Q mamy q Q? Zadaie Niech a = Dla N defiiujemy liczby a = a 0 0. Wyzacz pierwsze 0 wyrazów tego ciągu, tz. oblicz liczby a 0, a,..., a 9. Uwaga: ozacza część całkowitą liczby.. Zadaie 3 Pokaż, że dla dowolych liczb rzeczywistych oraz y mamy. ( + y)( y) = y. ( + y) = + y + y 3. ( + y) 3 = y + 3y + y 3 4. Z jakich własości liczb rzeczywistych korzystałaś/korzystałeś podczas dowodzeia tych wzorów? Zadaie 4 Dla jakich par liczb rzeczywistych i y zachodzi rówość ( + y) = + y? Zadaie 5 Pokaż metodą idukcji matematyczej, że = ( + ). Uwaga: Musisz rówież zać proste wyprowadzeie tego wzoru = 6( + )( + ) ( ) = (+) 4. ( N)( < ) 5. ( 4)( < ) 6. ( 4)( <!) 7. ( )(6 ( 3 ) Zadaie 6 Pokaż, korzystając z poprzediego zadaia, że ( + ) = ( + ). Podaj iterpretację geometryczą teo faktu. Zadaie 7 Załóżmy, że 0 < < <... jest ieskończoym ciągiem liczb aturalych. Pokaż, że ( k N)(k k ). Zadaie 8 Wyzacz samodzielie sześć pierwszych wierszy trójkąta Pascala. Wypisz wzory a ( + y) dla = 0,,,..., 5. ( k ). Jak moża tę obserwację wykorzystać do wyza- Zadaie 9 Pokaż, że jeśli 0 < k, to ( k czaia wartości ( k)? ) = k * Zadaie 30 Symbolem X ozaczamy liczbę elemetów skończoego zbioru X. Niech X będzie - elemetowym zbiorem. Dla k określamy [X] k = {Y X : Y = k}. 3
4 . Pokaż, że [X] k = ( k).. Korzystając z poprzediego wyiku podaj kombiatorycze wyprowadzeie tożsamości Pascala ( ( k+ ) = ( + k+). 3. Symbolem P (X) ozaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Pokaż, że jeśli X = to P (X) =. Zadaie 3 Korzystając ze wzoru dwumiaowego Newtoa pokaż, że.. k=0 k=0 (a + b) = k=0 ( ) a k b k k ( ) k = i podaj iterpretację kombiatorycza tego faktu ( ) k ( ) k = 0. Zadaie 3 Narysuj wykres wartości ( ) 0 k dla k = 0,..., 0. Która z tych liczb jest ajwiększa? Uogólij to spostrzeżeie dla ciągu liczb ( ( k) )k=,..., dla dowolego. Wskazówka: Możesz, p., skorzystać z fukcji KOMBINACJE programu Ecel. Zadaie 33 Pokaż, że ( ) a+b k ( k = a b l=0 l)( k=l)..4 Liczby rzeczywiste k) + Zadaie 34 Za pomocą wyszukiwarki Google arysuj wykresy różych fukcji kwadratowych (p. wprowadź w pasku zapytań wyrażeie 5 + ). Zapozaj się z likami umieszczoymi a stroie ki.pwr.edu.pl/studeciolietools.php. Spróbuj arysować wykresy fukcji kwadratowych za pomocą serwisu Wolfram Alpha. Zadaie 35 Wyzacz astępujące zbiory:. A = { R : 3 + > 0},. B = { R : }, 3. C = { R : }, 4. D = { R : > 0}. * Zadaie 36 Sformułuj samodzielie pojęcie kresu dolego podzbioru A zbioru liczb rzeczywistych - ozaczmy go przez if(a). Pokaż, że if(a) = sup( A), gdzie A = { a : a A}. Wywioskuj z tego, że każdy ograiczoy z dołu podzbiór R ma kres doly. Zadaie 37 Wyzacz kresy dole i góre astępujących zbiorów:. { + : N}. (0, ) (3, 4] 3. (0, ] Q 4. [0, ] \ Q 5. N 6. Z * Zadaie 38 Niech A = { 0 : < }. Pokaż, że sup(a) = (czyli, że sup(a) = ). Zadaie 39 Korzystając z tego, że si () + cos () = pokaż, że si() + cos() 5 dla każdego R. Wskazówka: Skorzystaj z ierówości Cauchy ego. Zadaie 40 Pokaż, że dla dowolego ciągu liczb a,... a zachodzi ierówość a a a a. 4
5 Ciagi liczb rzeczywistych Zadaie 4 Pokaż, że ciąg ( ) jest ograiczoy. Zadaie 4 Oblicz graice astępujących ciągów: a = 3+ +, b = + +3, c = , d = , e = , f = , g = , h = Zadaie 43 Dlaczego ciąg a = ( ) + ie jest zbieży? Zadaie 44 Dlaczego ciąg a = ( ) ie jest zbieży? + + Zadaie 45 Bezpośredio z defiicji graicy ciągu pokaż, że lim =, lim ) =. = 0 oraz lim ( Zadaie 46 Oblicz graice lim oraz lim Zadaie 47 Oblicz graice ciągów. a = +( ) +,. b = +, 3. c = +. Zadaie 48 Pokaż, że ze zbieżości ciągu (a ) wyika zbieżość ciągu ( a ). Czy prawdziwe jest twierdzeie odwrote? Zadaie 49 Ustalmy liczbę a. Wyzacz graicę ciągu a = a. Zadaie 50 Pokaż, że jeśli a < to lim ( + a a ) = a. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a + q + q q. Zadaie 5 Niech a 0 = oraz a + = 3 + a.. Pokaż, stosując metodę idukcji matematyczej, że a a < 6 dla każdego.. Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący 3. Wyzacz graicę tego ciągu. Zadaie 5 Ustalmy liczbę a > 0. Niech 0 = a oraz + = ( + a ). Pokaż, że lim = a. Zastosuj te wyiki dla a =. Który wyraz tak zbudowaego ciągu rożi się od o miej iż 0 3? Zadaie 53 Niech a 0 = oraz a + = (a + 4). Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący i ograiczoy oraz zajdź jego graicę. Zadaie 54 Oblicz graicę lim ( + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru (a + b)(a b) = a b.. Zadaie 55 Oblicz graicę astępujących ciągów. a = ( + )3+,. b = ( )+, 3. c = ( + ), 4. d = ( + )+, 5. e = ( + ). Zadaie 56 Oblicz astępujące graice: lim 5 +, lim
6 Zadaie 57 Załóżmy, że 0 a b. Wyzacz graicę ciągu a + b. Zadaie 58 Załóżmy, że lim a = 0. Pokaż, że wtedy lim a = 0. Zadaie 59 Oblicz graicę lim ( + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a b = (a b )/(a + b). Zadaie 60 Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wyzacz graice astępujących ciągów:. a = b = + 3. c = Zadaie 6 Niech H = Pokaż, że lim H =. Wskazówka: Pokaż ajpierw, że ciąg (H ) jest rosący. Przyjrzyj się astępie takiemu pogrupowaiu: H 8 = + + ( ) + ( ). Zapisz w podoby sposób H 6. Spróbuj oszacować od dołu każdy z pogrupowaych składików.. Domkięcie zbioru Zadaie 6 Ustalmy dodatią liczbę aturalą C. Niech a = ( mod C) +. Wyzacz pukty skupieia ciągu (a ). Zadaie 63 Podaj przykład ciągu, który ma ieskończeie wiele puktów skupieia. * Zadaie 64 Podaj przykład ciągu, którego zbiorem puktów skupieia jest odciek [0, ]. ** Zadaie 65 Czy istieje ciąg, którego zbiorem puktów skupieia jest zbiór [0, )? Zadaie 66 Korzystając z Zadaia 49 pokaż, że dla dowolej liczby rzeczywistej a. istieje ciąg liczb wymierych (a ) taki, że lim a = a. istieje ciąg liczb iewymierych (b ) taki, że lim b = a Zadaie 67 Pokaż, że. ( a, b R)(a < b ( Q)(a < < b)). ( a, b R)(a < b ( / Q)(a < < b)) Uwaga: Wymieioe własości moża sformułować astępująco: () zbiór liczb wymierych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych; () zbiór liczb iewymierych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych. Zadaie 68 Wyzacz domkięcia astępujących zbiorów i sprawdź, który z tych zbiorów jest domkięty i ograiczoy:., Q, R \ Q, Z, N, R. [0, ] Q, [0, ) \ Q. 3 Graice i ciagłość Zadaie 69 Wyzacz wartości fukcji si, cos, ta i cot dla kątów α = 0, π 6, π 4, π 3, π. Zadaie 70 Pokaż, że si( + π ) = cos(), cos( + π ) = si() oraz ta( + π ) = cot(). Zadaie 7 Korzystając ze wzorów si(+y) = si() cos(y)+si(y) cos() oraz cos(+y) = cos() cos(y) si() si(y) wyprowadź wzory a si(), si(3), cos(), cos(3). Zadaie 7 Narysuj, korzystając z przeglądarki Google, wykresy fukcji f() = (cos() + ) oraz g() = cos(). Wyjaśij zaobserwowae zjawisko. 6
7 Zadaie 73 Naszkicuj wykresy fukcji f k () = si(k ) dla k =, 0, 00, 00. Zadaie 74 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = + oraz g() =. Zadaie 75 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = ( + ) cos (00) oraz g() = ( ) cos (00). Zadaie 76 Niech f() = 4.. Wyzacz astępujące graice: lim f(), lim f(), lim + f(), lim f(), lim + f(), lim f().. Naszkicuj wykres tej fukcji. Zadaie 77 Niech sg() = : < 0 0 : = 0 : > 0. Pokaż, że fukcja sg ie jest ciągła w pukcie 0.. Wyzacz pukty ciągłości fukcji sg. Zadaie 78 Wyzacz pukty ciągłości astępujących fukcji. f () = sg(si()),. f () = sg(cos()), 3. f 3 () = 4. f 4 () =. Zadaie 79 Niech f() = Pokaż, że fukcja f ie jest ciągła w żadym pukcie. Wskazówka: Skorzystaj z zadaia 66. { : Q 0 : R \ Q Zadaie 80 Korzystając z defiicji Cauchy ego ciągłości fukcji pokaż, że suma dwóch fukcji ciągłych w pukcie 0 jest ciągła pukcie 0 Zadaie 8 Korzystając z defiicji Cauchy ego ciągłości fukcji pokaż, że fukcja f() = 3 jest ciągła. Zadaie 8 Załóżmy, że istieje η > 0 taka, że ( )( 0 < η f() = g()). Pokaż, że jeśli f jest ciągła w pukcie 0 to rówież g jest ciągła w pukcie 0. Dlaczego pokazaą własość fukcji ciągłych możemy wysłowić astępująco: ciagłość fukcji w pukcie jest pojęciem lokalym? Zadaie 83 Narysuj wykresy fukcji zadaych wzorami y =, y =, y = si( ), y = si( ), y = si( ) oraz wyzacz ich graice w pukcie 0. Zadaie 84 Naszkicuj wykresy fukcji zadaych wzorami:. y =,. y =, 3. y =, 4. y = 3. Zadaie 85 Niech > 0. Naszkicuj wykres fukcji zadaej wzorem f() = ( ) ( ). Wskazówka: rozważ oddzielie przypadek parzystego i ieparzystego. 7
8 * Zadaie 86 Pokaż, że dla każdego aturalego mamy ( ) ( ) =! k=0 ( k) k Zadaie 87 Oblicz astępujące graice:. lim 0 si(a),. lim 3, 3. lim 3. Zadaie 88 Załóżmy, że fukcja f jest ciągła. Pokaż, że fukcja g() = f() jest rówież ciągła. Wskazówka: skorzystaj z tego, że złożeie fukcji ciągłych jest fukcją ciągłą. Zadaie 89 Oblicz graice wielomiau postaci w() = + a a + a 0 w ieskończoości oraz w mius ieskończoości. Wskazówka: Rozważ oddzielie przypadek parzystego oraz ieparzystego. Zadaie 90 Pokaż, że każdy wielomia stopia ieparzystego ma pierwiastek. Wskazówka: Skorzystaj z poprzediego zadaia oraz własości Darbou fukcji ciągłych. Zadaie 9 Załóżmy, że fukcje f i g są ciągłe. Niech h() = ma{f(), g()}. Pokaż, że h jest fukcją ciągłą. Zadaie 9 Załóżmy, że f : [0, ] [0, ] jest fukcją ciągłą. Pokaż, że istieje takie [0, ], że f() =. Wskazówka: Przyjrzyj się fukcji g() = f(). Uwaga: Jest to prosty przykład twierdzeia o pukcie stałym. Zadaie 93 Niech f, q : R R będą fukcjami rosącymi. Pokaż, że złożeie f g jest fukcją rosącą. Zadaie 94 Naszkicuj wykresy fukcji f () = ( ), f () =, f 3 () =, f 4 () = e oraz f 5 () = 3. Zadaie 95 Naszkicuj wykresy fukcji f () = log (), f 3() = log (), f 4 () = log e () oraz f 5 () = log 3 (). Zadaie 96 Pokaż, że każda fukcja f : R R jest sumą fukcji parzystej i ieparzystej. Wskazówka: Rozważ fukcje h() = (f() + f( )) oraz g() = (f() f( )). Zadaie 97 Niech f() = si() oraz g() =.. Naszkicuj wykres fukcji f g.. Naszkicuj wykres fukcji g f. Zadaie 98 Naszkicuj wykres fukcji f() = +. Sprawdź, że + = ( )( + ) +. Korzystając z tego wzoru przedstaw fukcję f jako sumę fukcji liiowej oraz pewej prostej fukcji wymierej.. Korzystając z poprzediego puktu aszkicuj poowie wykres fukcji f. 3. Zapozaj się z pojęciem asymptoty ukośej. Zadaie 99 Podaj przykład ciągłej fukcji f : [0, ) [0, ] która ie osiąga wartości maksymalej. Zadaie 00 Pokaż przykład takiej fukcji ciągłej f : (0, ) R która ie jest ograiczoa z góry ai z dołu. Zadaie 0 Załóżmy, że f : R R jest ciągła oraz iech a R.. Pokaż, że zbiór f ([a, )) = { : f() a} jest zbiorem domkiętym.. Pokaż, że zbiór f ({a}) = { : f() = a} jest zbiorem domkiętym. 3. Pokaż, że zbiór f ((a, )) = { : f() > a} jest zbiorem otwartym. 8
9 * Zadaie 0 Załóżmy, że f : R R jest ciągła, oraz, że lim f() = lim f() = 0. Pokaż, że istieje 0 R takie, że f( 0 ) = sup{f() : R}. ** Zadaie 03 Niech f : R R będzie taką fukcją ciągłą, że (, y R)(f( + y) = f() + f(y)). Pokaż, że f() = a dla a = f(). Wskazówka: Zaczij od pokazaia, że dla każdego N mamy f() = a. Pokaż astępie, że f( ) = f(). Potem się zajmij liczbami wymierymi. A a końcu skorzystaj z ciągłości. 4 Pochode Zadaie 04 Oblicz pochode astępujących fukcji:. f() = , g() = f() = f() =, g() = +, h() = 4. f() = ( + + )( ) f() = ( + )/( ), g() = f() = e, g() = e, h() = 3 e. Wskazówka: (e ) = e. Zadaie 05 W jakich puktach fukcja f() = + + jest różiczkowala? Zadaie 06 Zajdź przykład ciągłej fukcji f : R R, która ie różiczkowala w ieskończoej liczbie puktów. Zadaie 07 W jakich przedziałach fukcje y = ( ), y = e, y = e są rosące? Zadaie 08 Zbadaj wykresy fukcji y = e, y = Zadaie 09 Niech σ() = e +e oraz ζ() = l( + e ).. Zbadaj przebieg zmieości fukcji σ i zeta.. Pokaż, że σ () = σ()( σ()). 3. Pokaż, że ζ () = σ(). 4. Pokaż, że l σ() = ζ( ). +, y = ( )( ). Zadaie 0 Zajdź ekstrema fukcji y = (a ), y = (a ). Zadaie Pokaż, że jeśli fukcje f, g i h są różiczkowale w pukcie, to (f() g() h()) = f () g() h() + f() g () h() + f() g() h (). Zadaie Niech f a,b () = { a + b : < : Zajdź takie parametry a i b aby fukcja f a,b była różiczkowala w każdym pukcie. Zadaie 3 Oblicz pochode astępujących fukcji:. y = 3 3 +,. y = si( ), 3. y = e, (, 4. y = e + ) 5. y = si(), 9
10 6. y = ta (), 7. y = l( + ), y = log ta()) 8. y = l +, 9. y = arcsi(e ), y = arccos( ) 0. y = arcta( + ), y = arcta(e ). si(si()), si(si(si())). si(cos(si())) Zadaie 4 Oblicz pierwsze i drugie pochode fukcji f(t) = r si(ωt) i g(t) = r cos(ωt). Zadaie 5 Zbadaj przebieg zmieości astępujących fukcji:. f() = 3 e.. f() = 3 3. f() = l() 4. f() = l ( + ) + 5. y = e, 6. y = +, 7. y = ( )( ). Zadaie 6 Dlaczego fukcja y = l ( > 0) jest ciągła? Podaj możliwie prosty argumet. Zadaie 7 Napisz rówaia styczych i prostopadłych do podaych fukcji w podaych puktach:. f() = l( + e ), P = (0, f(0),. f() = +, P = (, f()). * Zadaie 8 Rozważmy astępującą fukcję { ep( f(t) = t ) t > 0 0 t 0. Pokaż, że fukcja f jest ciągła.. Pokaż, że dla każdego 0 istieje taki wielomia w(), że f () (t) = w( t ) ep( t ). 3. Pokaż, że dla każdego > 0 mamy lim t 0+ ep( t ) t a = 0 4. Pokaż, że dla każdego 0 istieje pochoda f () (0) i jest rówa 0 5. Zastosuj wzór Taylora dla fukcji f w pukcie 0. Zadaie 9 Pokaż, że. arcsi + = arccos +. arcta = arcta Wskazówka: Oblicz pochode obu stro. Zadaie 0 (Wzór Leibitza) Załóżmy, że f i g są fukcjami krotie różiczkowalymi. Pokaż, że ( ) (f g) () () = f (k) ()g ( k) () k 4. Zastosowaia k=0 Zadaie Który z puktów paraboli y = leży ajbliżej prostej y 5 = 0? Wskazówka: Odległość puktu P = ( 0, y 0 ) od prostej o rówaiu a + by + c = 0 wyraża się wzorem a 0 + by 0 + c a + b 0
11 . Zadaie Zajdź pole ajwiększego prostokąta o bokach rówoległych do osi układu współrzędych wpisaego w elipsę o rówaiu a + y b =. Zadaie 3 Pokaż, że ze wszystkich prostokątów o ustaloym obwodzie kwadrat ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 4 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie i o ustaloej podstawie trójkąt róworamiey ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 5 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie trójkąt rówoboczy ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 6 Załóżmy, że f (t) = f(t) dla każdego t R. Pokaż, że istieje taka stała C, że f(t) = C e t. Wskazówka: Oblicz pochodą fukcji g(t) = f(t) e. Uwaga: Rozwiązaliśmy w te sposób rówaie różiczkowe t (t) = (t). Zadaie 7 Pokaż, że dla każdego > 0 mamy + < l( + ) <. 4. Reguła de l Hospitala Zadaie 8 Korzystając z reguł de l Hospitala oblicz astępujące graice:. lim 0 e cos(3). lim l 3. lim (l ) 3 4. lim 0 (l( cos()) l( )) 5. lim ( 3 ) 6. lim 0 7. lim (e + ) 8. lim 0+ 3 l 9. lim 0 arcta() 0. lim (l ). lim 0 l(cos(). lim l(e +), 3. lim 0+ l(), 4. lim 0+. Wskazówka: skorzystaj z tego, że t = e l t dla dowolego t > 0, oraz, że fukcja f() = e jest ciągła. 5. lim l Zadaie 9 Wyzacz, dla dowolego ustaloego aturalego k, graice lim (l()) k 4.3 Wzór Taylora, lim k. Zadaie 30 Niech f() = + +. Zastosuj wzór Taylora rzędu 3 dla fukcji f w puktach = 0 oraz =. Zadaie 3 Wyzacz wielomiay Taylora rzędu 0 astępujących fukcji f() = e, g() = si(), h() = cos(), j() = si() + cos(). Za pomocą dowolego pakietu arysuj a jedym wykresie przybliżeia Zadaie 3 Za pomocą wzoru Taylora oblicz si(0.) z dokładością do 0 0.
12 5 Całki Zadaie 33 Oblicz astępujące całki: ( ) d, 0 ( + ) d, 0 π ( si() + si()) d. 0 Zadaie 34 Wyzacz, bez wykoywaia żadych obliczeń, astępujące całki: π/ π/ si() dg 3 d, ( + 5 )d, Zadaie 35 Niech f, g : [a, b] R będą fukcjami ciągłymi. Pokaż, że b b b f()g()d f()d f()d. Wskazówka: Rozważ fukcję φ(t) = b a (f() tg()) d. Zadaie 36 Niech G(c) = c a d.. Zakładając, że c > wyzacz G(c). Oblicz lim G(c) 3. Podaj iterpretację geometryczą otrzymaego wyiku. Zadaie 37 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez części, astępujące całki ieozaczoe:. cos() d, cos() d, 3 cos() d. si() d, si() d, 3 si() d 3. e d, e d, 3 e d 4. l d, l d, 3 l d Spróbuj samodzielie uogólić powyższe obliczeia. Zadaie 38 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez podstawieie, astępujące całki ieozaczoe:. si(3 + ) d, + d, + d (podstaw t = + ),. + d, d, 3 3. e d 4. si(l ) d (podstaw u = l, zastosuj dwukrotie całkowaie przez części) 5. ta d Zadaie 39 Wyzacz pole astępujących obszarów:. A = {(, y) R : 0 y }. B = {(, y) R : 0 π y si }, 3. C = {(, y) R : y < e }. 4. Obszar ograiczoy parabolą o rówaiu y = 6 i osią OX Zadaie 40 Wyzacz pole elipsy zadaej rówaiem: a a + y b =. Zadaie 4 Załóżmy, że f jest fukcją różiczkowala oraz, że g jest fukcją ciągłą. Niech a H() = f() a g(t) dt.
13 Wyzacz H (). Wskazówka: Niech F () = g(t) dt. Zauważ, że H() = F (f()). a Zadaie 4 Oblicz astępujące całki ieozaczoe z fukcji wymierych: d. ( )(+5) d ( )(+5) d 4. ( ) d 5. ( ) d. Wskazówka: Wyzacz takie liczby A, B i C, że ( ) = A + 6. (+ ) d. Wskazówka: Zastosuj podstawieie = ta(u) d, 8. (+ ) d B + Zadaie 43 Rozważamy fukcję f() = a odciku [0, ]. Rozważamy sumę dolą { s (f, 0, ) = if f() : k k + }. k=0 C ( ).. Korzystając ze wzoru = 6 (+)(+) wyzacz zwartą postać wzoru a s (f, 0, ). Oblicz lim s (f, 0, ) 3. Oblicz 0 d za pomocą całki ieozaczoej : ) Zadaie 44 Oblicz objętość torusa powstałego przez obrót koła + (y a) r. Zadaie 45 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wykresu fukcji f() = si() dla [0, π]. 6 Szeregi Zadaie 46 Pokaż, że jeśli szeregi a i b są zbieże oraz a i b są ustaloymi liczbami rzeczywistymi, to szereg (a a + b b ) jest zbieży oraz (a a + b b ) = a a + b b. =0 =0 =0 Zadaie 47 Oblicz sumy ( ), 5 ( ) k= k (+), (+3). Zadaie 48 Oblicz sumy Wskazówka: Zajdź liczby A i B takie, że (+) = A + B +. Zadaie 49 Zbadaj zbieżość astępujących szeregów:, 3,. Zadaie 50 Zastosuj kryterium zbieżości d Alamberta do zbadaia zbieżości szeregów + 3 +, (!) ()!. Zadaie 5 Wyzacz promieie zbieżości astępujących szeregów potęgowych:. +. (!), 3
14 ( ) (!) k (k)! (dla ustaloego aturalego k > 0) Zadaie 5 Rozwiń astępujące fukcje w szereg Maclauria i wyzacz ich promieie zbieżości:. f() = si(). g() = cos() 3. f() = l 4. f() = l + Zadaie 53 Niech d ozacza odległość zbieżości jedostajej a odciku [0,, czyli d(f, g) = sup{ f() g() : [0, ]}, dla ograiczoych fukcji f i g. Wyzacz odległości d(f, g) astępujących par fukcji:. f() = si(), g() = cos(). f() =, g() = ( ) Zadaie 54 Pokaż, że ciąg fukcji f () = + si() jest jedostajie zbieży a R. Zadaie 55 Niech f () = + dla [0, ].. Pokaż, że ciąg fukcyjy (f ) jest puktowo zbieży. Czy ciąg te jest jedostajie zbieży? Zadaie 56 Czy ciąg fukcji f () = ( + ) jest puktowo zbieży? Czy jest jedostajie zbieży a R? Czy jest jedostajie zbieży a odciku [0, ]? Zadaie 57 Wyzacz szeregi Fouriera (a odciku [ π, π]) astępujących fukcji oraz arysuj ich wykresy oraz ich kilka pierwszych przybliżeń szeregami trygoometryczymi:. f() =, g() = + si(). f() = sg() 3. f() = ( + sg)() Zadaie 58 Wyzacz siusowy szereg Fouriera fukcji f() = (π?) a odciku [0, π]. Skorzystaj z tego szeregu do wyzaczeia wartości szeregu Zadaie 59 Wyzacz szereg Fouriera fukcji f() = a odciku [ π, π].. Podstawiaj za liczbę π oblicz. Wyzacz 3. Wyzacz 0 () (+) Powodzeia, Jacek Cichoń 4
Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 06/7 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trochę trudiejsze. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 208/9 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18
dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.
Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoIII seria zadań domowych - Analiza I
III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II Lista zadań
Aaliza Matematycza II Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 07/8 Zadaia ozaczoe dwoma lub więcej gwiazdkami są przezaczoe do samodzielego rozwiązaia. chcecie uzyskać wskazówki lub podyskutowac o ich rozwiązaiu,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x
ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoZadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.
. Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie..
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowo8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2
8. Jedostajość Mówimy, że fukcja f : I R spełia waruek Lipschitza ze stałą C > 0, jeśli fx) fy) C x y, x, y I. 8.. Przykład. a) Taką fukcją jest p. si : R [, ]. Rzeczywiście, si x si y = 2 si x y 2 cos
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowo(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe
. Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R
Bardziej szczegółowoFAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań
Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoZestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoWykład III. Granice funkcji. f : R A R, A przedział. f określona w x. K M x. lim. lim. Granice niewłaściwe:
: R A R, A przedział A, Wykład III Graice ukcji określoa w, S \ Deiicja 3. (deiicja Caucy eo raicy ukcji) : D U,, ( ) : ot Iaczej: Uot D U K M U ot U ot K M Graice iewłaściwe: k K R D M K K R M R D De.
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoKlasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013
/7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że
Bardziej szczegółowoAM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (
AM11 zadaia 8 Przypom e kilka dosyć ważyh grai, które już pojawiły się a zajeiah e 1 lim 1 l(1+) (1+) 1, lim 1, lim a 1 si a, lim 1 0 0 0 0 l 2 lim 0, lim a 0 dla każdego a R, lim (1 + 1 e ) e, lim 1/
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoWykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011
Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowo