lim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów

Transkrypt

1 9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt P dzielim na n prostokątów P k o polach odpowiednio P k i w każdm z tch prostokątów wbieram punkt A k ( k, k ), k,,..., n. d n n Rozważm ciąg sum całkowch funkcji f(,), dla którego lim, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów P, P,..., P n : Jeżeli istnieje granica n n S f, lim k n f ( k k ) P k ( k, k ) P k n k niezależna od podziału i od wboru punktów A k, to nazwam ją całką podwójną funkcji f(,) w prostokącie P i oznaczam f (, ) dd, P tzn. df n f (, ) dd lim f ( k, k ) P k. n k P 9.

2 Jeżeli funkcja f(,) jest ciągła w prostokącie P opisanm nierównościami: a < < b, c < < d, to P b d f ( ) dd f (, ) d d a c d b f ( ) dd f (, ) d d P c a, oraz,. Uwaga b d Zamiast a c f ) d d (, piszem często b a d d f (, ) d. c ( 4 ) dd, gd prostokąt P opisan P jest nierównościami: < <, < <. Przkład: Obliczć całkę + Rozwiązanie Mam w tm przpadku ( + 4 ) dd ( + P d 4) d Obliczam najpierw całkę wewnętrzną, a następnie całkę zewnętrzną: d ( + 4) d [ ] + d 8 d

3 Uwaga Jeżeli dana jest funkcja f (, ) h( ) g( ) w prostokącie P opisanm nierównościami a < < b, c < < d, to b b d ( g( d. a c f, ) d h( ) d a d d ) c 9.. Całka podwójna w obszarze normalnm Obszar domknięt określon nierównościami: a b g( ) h( ) gdzie g() i h() są funkcjami ciągłmi w przedziale [ a; b], nazwam obszarem normalnm względem osi OX., Jeżeli funkcja f(,) jest ciągła w obszarze opisanm nierównościami a b g( ) h( ), to b h( ) f d f (, ) d. a g( ) (, ) dd 9.

4 Obszar domknięt określon nierównościami c d p( ) q( ), gdzie p() i q() są funkcjami ciągłmi w przedziale [ c; d], nazwam obszarem normalnm względem osi OY. Jeżeli funkcja f(,) jest ciągła w obszarze opisanm nierównościami c d p( ) q( ) d q( ), to f (, ) dd d f (, ) d. c p( ) Obszar będąc sumą rozłącznch obszarów normalnch nazwam obszarem regularnm. Przkład Obliczć całkę podwójną dd, gdzie jest obszarem ograniczonm krzwmi:,,. Rozwiązanie to obszar normaln względem osi OX: dd d d. 9.4 Stąd

5 Ponieważ d + C d d d n n+ i d + C n + ( ) d Własności całki podwójnej 4 dla n, to Niech f(,), g(,) będą funkcjami całkowalnmi w obszarze. Wted: 9 4. ( αf (, ) + βg(, )) α f (, ) dd + β dd g(, ) dd dla α, β R.. Jeżeli f(,) < g(,) dla (,), to, ) dd f ). Jeżeli i, to ( g(, dd. f (, ) dd f (, ) dd + f (, ) dd. 9.5

6 Przkład: Zmienić kolejność całkowania w całce Rozwiązanie Obszar opisan nierównościami d f, ) d (. jest obszarem normalnm względem osi OX. Można go przedstawić w postaci sum dwóch obszarów rozłącznch, normalnch względem osi OY: Wted : i :. d f (, ) d d f (, ) d + d f (, ) d 9.4. Interpretacja geometrczna całki podwójnej. Całka dd przedstawia pole obszaru.. Całka S + f' + f' dd przedstawia pole płata powierzchniowego S danego równaniem z f(,) dla (,).. Objętość brł V opisanej zależnościami (, ) g(, ) z f (, ) równa ( f, ) g(, ) V ) dd (. jest 9.6

7 Przkład Obliczć objętość brł V ograniczonej płaszczznami: z,,,, + + z 4. Rozwiązanie Brłę V opisuje układ nierówności Wted V : 4 z 4 4 V d ( 4 ) d 4 d d Zmiana zmiennch w całce podwójnej współrzędne biegunowe W pewnch stuacjach wgodniej jest w całce podwójnej f, ) dd ( zamiast współrzędnch kartezjańskich (,) rozważć współrzędne biegunowe (r,ϕ) Δ, prz czm związek pomiędz współrzędnmi kartezjańskimi i biegunowmi jest następując: rcosϕ rsinϕ 9.7

8 Jakobian to wielkość, która pozwala zachować fizczn wmiar elementu ds dd prz zmianie układu współrzędnch. Prz zamianie zmiennch (u,v), (u,v) ma on postać J u u v v ; wted f (, ) dd Δ f ( ( u, v ); (, v )) J dudv Jakobian przekształcenia rcosϕ, rsinϕ, związan ze zmianą układu współrzędnch, jest równ Wted r ϕ cosϕ r sinϕ J sinϕ r cosϕ r ϕ f (, ) dd f ( r cosϕ, r sinϕ ) J drdϕ Δ Δ f ( r cosϕ, r r. sinϕ ) rdrdϕ. 9.8

9 Przkład Obliczć współrzędnch ograniczon okręgami Rozwiązanie dd, gdzie obszar leżąc w pierwszej ćwiartce układu +. + i 4 Przechodząc do współrzędnch biegunowch r, ϕ, tzn. podstawiając rcosϕ, rsinϕ, obszar całkowania możem zapisać jako r π ϕ Δ :. Wted Δ r 4 cos dd π / ϕ sinϕdrdϕ r dr cos ϕ sinϕdϕ π 5 r 5 4 cos ϕ Interpretacja fizczna całki podwójnej Jeżeli funkcja ρ(,) jest gęstością powierzchniową mas obszaru, to. Masę obszaru przedstawia całka m ρ (, ) dd.. Moment statczne oraz bezwładności obszaru względem odpowiednich osi przedstawione są w tabeli: 9.9

10 wzglę- Moment -dem statczne obszaru bezwładności obszaru osi OX osi OY M (, ) dd ρ M (, ) dd ρ B ρ (, ) dd B ρ (, ) dd osi OZ M + (, ) dd ( ) ρ + B ρ(, ) dd. Współrzędne środka ciężkości dane są wzorami: m. m M, M Jeżeli funkcja δ (, ) jest gęstością powierzchniową ładunku rozłożonego w obszarze, to całka δ przedstawia całkowit ładunek elektrczn tego obszaru. L (, ) dd Przkład: Obliczć masę jednorodnego trójkąta o wierzchołkach A(, ), B(a, ), C(a, a). Rozwiązanie Oznaczm przez ρ const. gęstością tego trójkąta. Wted masa trójkąta wliczana jest z całki: m ρ dd ρ dd ρ, gdzie oznacza pole rozważanego trójkąta. Zatem m. ρa 9.

11 9.7. Zadania 9.. Obliczć z definicji f, ) dd (, gdzie a) f (,) +, kwadrat opisan nierównościami: < <, < <, b) f (,), prostokąt opisan nierównościami: < <, < <. 9.. Obliczć całki: e a) d d, b) d e d 9.. Obliczć całki podwójne: ( ) a) 4 b) ( + 4 ) dd (, c) d )d π π cos,, kwadrat: < <, < <, dd, prostokąt : < <, < <, 9.4. Zmienić kolejność całkowania w całkach: a) d f ) d + (,, b) d f (, ) d / ( ).5. Obliczć całkę wierzchołkach A(, ), B(, ) C(, ), dd gd obszar jest trójkątem o 9.6. Obliczć całki podwójne: a) ( + ) 4 dd, jest ograniczon krzwmi,, 9.

12 b) ( + ) dd sin, ograniczon prostmi,, π +, 9.7. Obliczć całki podwójne: a) b) e e + dd dd, jest opisan nierównością + 4,, opisan nierównościami: 9.8. Obliczć pole obszaru ograniczonego krzwmi: a), +, b), i >, R,,, 9.9. Obliczć objętość brł ograniczonej powierzchniami: a) z,, + + z, b),,, z + z 9.. Obliczć pole płata powierzchniowego : a) z +4 + leżącego nad prostokątem < <, < <, b) wciętego walcem z powierzchni + z Obliczć masę płtki kwadratowej o boku długości a, jeżeli gęstość powierzchniowa płtki w każdm jej punkcie jest wprost proporcjonalnej do sum odległości punktu od przekątnch kwadratu. 9.