Podstawy wytrzymałości materiałów

Transkrypt

1 Podstaw wtrzmałości materiałów IMiR - MiBM - Wkład Nr 4 Aaliza stau aprężeia Sta aprężeia w pukcie, tesor aprężeia, klasfikacja staów aprężeia, aaliza jedoosiowego stau aprężeia, aaliza płaskiego stau aprężeia, koło aprężeń Mohra. Wdział Iżierii Mechaiczej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczeia Materiałów i Kostrukcji Dr hab. iż. Tomasz Machiewicz B, II p., pok machiew@agh.edu.pl

2 4.. Sta aprężeia w pukcie L L p p A A L P L p p i P i 3. Naprężeie w dam pukcie a powierzchi mślowego przekroju zależ od orietacji tego przekroju. 3. Jedozacz opis stau aprężeia w pukcie wmaga w związku z tm określeia aprężeń a z wszstkich ściakach tzw. elemetarego prostopadłościau otaczającego da pukt. L P T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r 4 σ i τ z z 3 τ z τ τ z σ z τ σ z τ z τ z τ z σ 8 składowch stau aprężeia

3 T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r Sta aprężeia w pukcie ) Założeie: Brak sił masowch (sił ciężkości i bezwładości). z σ z ) Waruki rówowagi: σ i= P i = 0, σ i= P i = 0, σ i= P iz = 0 z σ z τ z τ z σ τ z τ z τ τ z τ τ z τ z σ σ i = σ i oraz τ ij = τ ij σ τ z τ z τ z τ τ τ z τ z σ σ z σ z 8 składowch stau aprężeia 9 składowch stau aprężeia: 3 aprężeia ormale:,, z 6 aprężeń stczch:, z,, z, z, z

4 T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r Sta aprężeia w pukcie σ τ z z τ z σ z τ z τ τ z τ τ z τ z dz σ i= i= i= M i = 0 τ z ddz d τ z dd dz = 0 τ z = τ z M i = 0 τ z dd dz τ z ddz d = 0 τ z = τ z M iz = 0 τ ddz d τ ddz d = 0 τ = τ Prawo rówości aprężeń stczch w płaszczzach prostopadłch: d σ z Naprężeia stcze w płaszczzach wzajemie prostopadłch, prostopadłe do krawędzi przecięcia się tch płaszczz, są sobie rówe i skierowae do lub od krawędzi. 9 składowch stau aprężeia: 3 aprężeia ormale:,, z τ τ 6 aprężeń stczch:, z,, z, z, z Tesor stau aprężeia: τ τ T σ = σ τ τ z τ σ τ z τ z τ z σ z stateczie: Sta aprężeia w pukcie opisać moża prz użciu sześciu iezależch składowch stau aprężeia:,, z, (= ), z (= z ), z (= z )

5 T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r Klasfikacja staów aprężeia: 4... Dowol przestrze sta aprężeia: z σ z τ z σ τ z T σ = τ z τ z τ σ z τ τ z σ τ τ z τ σ τ z τ z τ z σ z τ z σ W każdm pukcie ciała moża tak zorietować trz osie prostokątego układu współrzędch, że a płaszczzach prostopadłch do tch osi ie wstąpią aprężeia stcze. sie te azwam kierukami główmi i ozaczam liczbami,, 3. Płaszczz prostopadłe do kieruków główch oszą azwę płaszczz główch, zaś aprężeia ormale w ich działające aprężeń główch: σ σ σ 3 T σ = σ σ σ 3 Tesor dowolego przestrzeego stau aprężeia Tesor przestrzeego stau aprężeia określoego kierukami główmi

6 T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r Klasfikacja staów aprężeia: 4... Płaski sta aprężeia: z σ z τ τ σ ഥq i ഥq i i i Tesor płaskiego (dwuosiowego) stau aprężeia T σ = σ τ τ σ T σ = σ 0 0 σ Tesor płaskiego stau aprężeia określoego kierukami główmi Płaski (dwuosiow) sta aprężeia moża opisać prz użciu: trzech iezależch składowch tesora aprężeia:,, (= ) dwóch wartości aprężeń główch:, (i ewetualie kąta określającego ich kieruek)

7 T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r Klasfikacja staów aprężeia: Jedoosiow sta aprężeia: Sta aprężeia reprezetowa jest tlko przez jedo iezerowe aprężeie główe: = p. rozciągaie, ściskaie, czste zgiaie =

8 T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r Aaliza jedoosiowego stau aprężeia = σ = σ = P A ഥT P = P cos α T = P si α σ = P = P cos α A A = σ cos α A = A cos α τ = T = P A A si α cos α = σ si α cos α = σ si α

9 4.3. Aaliza jedoosiowego stau aprężeia = ഥT σ = σ cos α τ = σ si α Dla α = 45 τ = τ ma = σ Ceramicza próbka Płaszczz poślizgu o kącie α = 45 Liie Lüdersa poddaa ściskaiu T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r 4 9

10 4.4. Aaliza płaskiego stau aprężeia Wzaczaie aprężeń w kierukach dowolch t A A t A i i P P i P it 0 A cos A si A 0 0 A si A cos A 0 A Acos ; A Asi ; Acos Asi A 0 Pt Asi cos Asi cos A 0 cos si si cos Uwzględiając: cos cos cos si si si cos T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r 4 trzmujem: cos si 0

11 T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r Aaliza płaskiego stau aprężeia Wzaczaie aprężeń w kierukach dowolch t ( ) cos o ( ) si dla 45 ma o o cos(80 α) ( 90 ) ( 90) si(80 ) si A t A stateczie: σ = σ + σ σ = σ + σ + σ σ σ σ cos α cos α A τ = σ σ si α

12 4.4. Aaliza płaskiego stau aprężeia Wzaczaie aprężeń w kierukach dowolch σ = σ + σ + σ σ cos α σ = σ + σ σ σ cos α Umow dotczące zaków: τ = σ σ si α Kąt uzajem za dodati gd odmierza jest przeciwie do ruchu wskazówek zegara. Naprężeie stcze uzajem za dodatie gd ma zwrot zgod z osią a ściace o wższej współrzędej. T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r 4 > 0 >0 > 0 < 0 <0 < 0

13 4.4. Aaliza płaskiego stau aprężeia Wzaczaie aprężeń w kierukach główch tg α = σ = σ + σ τ σ σ σ = σ + σ + stateczie: - uwzględiając umowę dotczącą zaków σ σ + 4τ σ σ + 4τ σ = σ + σ σ = σ + σ τ = σ σ + σ σ σ σ cos α () cos α () si α (3) () () ( ) () () ( )cos cos cos (3) si tg cos cos cos tg ; T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r 4 cos tg tg 4 3

14 T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r Aaliza płaskiego stau aprężeia Wzaczaie aprężeń w kierukach główch tg α = τ σ σ stateczie: σ = σ + σ σ = σ + σ + σ σ + 4τ σ σ + 4τ Kieruek aprężeń główch przechodzi przez te ćwiartki układu współrzędch - gdzie aprężeia stcze skierowae są do siebie.

15 T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r Aaliza płaskiego stau aprężeia Koło Mohra: a) wzaczaie aprężeń w kierukach dowolch τ Dae:,, Szukae:,, σ σ σ = σ + σ + σ σ cos α σ = σ + σ σ σ cos α τ = σ σ si α σ + σ σ σ

16 4.4. Aaliza płaskiego stau aprężeia Koło Mohra: b) wzaczaie aprężeń główch Dae:,, Szukae:,, σ + σ σ σ τ σ σ σ = σ + σ σ = σ + σ tg α = + σ σ τ σ σ σ σ + τ + τ T. Machiewicz IMiR, Podstaw wtrzmałości materiałów, Wkład r 4 τ 6