Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Transkrypt

1 Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trgoometrcze. wkład z MATEMATYKI Automatka i Robotka sem. II, rok ak. 2009/200 Katedra Matematki Wdział Iformatki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja.. Niech(a ) będzie ciągiem iczbowm. SZEREGIEM iczbowm o wrazacha azwam wrażeie postaci Defiicja.2. Sum a +a 2 +a 3 + = a. S = a S 2 = a +a 2. S = a +a 2 + +a azwam sumami częściowmi szeregu a. Liczbęa azwam-tm wrazem szeregu, a sumę S def =a +a 2 + +a azwam-tą sumą częściową szeregu a. Ciąg(S ) będziem azwać ciągiem sum częściowch powstałch z ciągu(a ). ( Przkład.3. Weźm astępując szereg ). Wpiszm wbrae sum częściowe tego + szeregu S = 2 S 2 = =2 3. S = = +.

2 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki Defiicja.4. Szereg iczbow a azwam zbieżm, jeżei jego ciąg sum częściowch(s ) jest ciągiem zbieżm (ma graicę skończoą), tz. im S =S. + LiczbęS azwam sumą tego szeregu, tz. a =a +a 2 +a 3 + =S. Jeżei ciąg sum częściowch(s ) jest rozbież (tz. ma graicę iewłaściwą+ ub abo ie ma graic) to mówim, że szereg jest rozbież. Defiicja.5.-tą reszta szeregu zbieżego a azwam iczbę R def = a k k=+ Uwaga. Zmiaa skończoej iczb początkowch wrazów szeregu ie ma wpłwu a jego zbieżość. Jeżei szereg ma wraz ieujeme, to jest zbież abo rozbież do+. Przkład.6. Rozważm szereg Wted-ta suma częściowa tego szeregu ma postać ( Poieważ im S = im ) =, więc + Przkład.7. Rozważm szereg ( ) + S = = +. Wted-ta suma częściowa tego szeregu ma postać ( ) =, czi szereg () jest zbież. + () (2) S =++...+=. Poieważ im S = im=+, więc szereg (2) jest rozbież. Twierdzeie.8 (Waruek koiecz zbieżości szeregów iczbowch). Jeżei szereg iczbow a jest zbież, to im a. Uwaga 2. Jeżei waruek koiecz ie jest spełio, tz. im a 0abo im a ie istieje, to szereg a jest rozbież. Jeżei waruek koiecz jest spełio, to ie wiem cz szereg jest zbież cz rozbież. 2 Opracowała: Małgorzata Wrwas

3 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki Przkład.9. Rozważm szereg 2+. (3) Wówczas im 2+ =, więc waruek koiecz ie jest spełio, zatem szereg (3) jest rozbież. 2 Przkład.0. Rozważm szereg. (4) Poieważ im =0, więc waruek koiecz jest spełio, ALE-ta suma częściowa szeregu (4) ma postać S = = Wówczas im S =+, więc szereg (3) jest rozbież.. Szereg geometrcz Szeregiem geometrczm azwam szereg postaci =. a q. (5) Szereg geometrcz jest sumą wrazów ciągu geometrczego o pierwszm wraziea i iorazieq... Zbieżość szeregu geometrczego a q Jeżeia =0, to szereg a q jest zbież i ma sumę rówą 0. Jeżeia 0 i q, to szereg a q jest rozbież. Jeżeia 0 i q <, to szereg Wted im S = im a q q.2 Szereg harmoicz Szereg harmoicz to szereg postaci a q jest zbież is =a +a q+a q 2 +a q =a q q. gd q < ===== a q. Szereg harmoicz rzędup (szereg Diricheta) to szereg postaci Twierdzeie.. Szereg harmoicz rzędu p > jest zbież. Twierdzeie.2. Szereg harmoicz rzędup jest rozbież.. (6) p. (7) 3 Opracowała: Małgorzata Wrwas

4 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki.3 Krteria zbieżości/rozbieżości szeregów iczbowch Twierdzeie.3 (Krterium całkowe). Niech fukcjaf: 0,+ ) 0,+ ) będzie ierosąca, gdzie 0 N. Wówczas szereg f() jest zbież całka = 0 szereg f() jest rozbież do+ całka = 0 Uwaga 3. Reszta tego szeregu, to jest wrażeier def = + f()d R 0 f()d jest zbieża. i=+ 0 f()d jest rozbieża do+. f(i), spełia oszacowaie: f()d. Twierdzeie.4 (Krterium porówawcze zbieżości szeregów). Jeżei mam dwa szeregi iczbowe a, b i szereg b jest zbież oraz od pewego miejsca 0 da każdego N, takiego że 0 spełioa jest ierówość to szereg a rówież jest zbież. 0 a b, Twierdzeie.5 (Krterium porówawcze rozbieżości szeregów). Jeżei mam dwa szeregi iczbowe a, b i szereg a jest rozbież oraz od pewego miejsca 0 da każdego N, takiego że 0 spełioa jest ierówość to szereg b rówież jest rozbież. 0 a b, Twierdzeie.6 (Krterium d Aemberta). Niech im jest zbież, jeżeig<. a + a =g. Wted szereg a jest rozbież, jeżeig>. W przpadku, kied g =, to zbieżość szeregu aeż badać za pomocą iego krterium, poieważ z tej iformacji ie wika zbieżość ai rozbieżość szeregu. Twierdzeie.7 (Krterium Cauche go). Niech im a =g. Wted szereg iczbow a jest zbież, jeżeig<. jest rozbież, jeżeig>. Jeżeig=, to krterium ie rozstrzga zbieżości ub rozbieżości. 4 Opracowała: Małgorzata Wrwas

5 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki.4 Szeregi aprzemiee Szereg iczbow postaci gdzie da każdego Na 0 azwam aprzemiem. ( ) a, (8) +. jest przkładem szeregu aprze- ( ) + Przkład.8. Szereg postaci = mieego. Będziem azwać go szeregiem aharmoiczm. Twierdzeie.9 (Krterium Leibiza). Jeżei mam da szereg aprzemie spełioe są waruki: ( ) a, taki że ciąg(a ) jest ierosąc, im a, to szereg jest zbież. Uwaga 4. Z krterium Leibiza wika, że szereg aharmoicz ( ) + = jest zbież poieważ ciąga = jest ciągiem maejącm dążącm do zera..5 Zbieżość bezwzgęda szeregów Defiicja.20. Szereg iczbow a azwam szeregiem bezwzgędie zbieżm, jeżei szereg (bezwzgędch wartości) a jest zbież. Szereg iczbow, któr jest zbież a ie jest bezwzgędie zbież azwam warukowo zbieżm. Twierdzeie.2. Jeżei szereg iczbow jest bezwzgędie zbież, to jest o zbież. 5 Opracowała: Małgorzata Wrwas

6 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki 2 Szeregi potęgowe Defiicja 2.. Szeregiem potęgowm o środku w pukcie 0 R azwam szereg postaci: gdzie R orazc R da,,2,... c ( 0 ), Przjmujem, że0 0def =. Liczbc azwam współczikami szeregu potęgowego. 2. Promień zbieżości szeregu potęgowego Twierdzeie 2.2. Da każdego szeregu potęgowego c ( 0 ) istieje dokładie jeda iczbar 0, + ) o własości: jeżei 0 <R, to szereg c ( 0 ) jest zbież bezwzgędie, jeżei 0 >R, to szereg c ( 0 ) jest rozbież. Defiicja 2.3. Liczbę R, której istieie gwaratuje powższe twierdzeie azwam promieiem zbieżości szeregu potęgowego c ( 0 ). Promień zbieżości szeregu potęgowego moża wzaczć za pomocą wzoru: R= im o ie graice w tch wzorach istieją. Gd im c =, tor=0. Gd im c =0, tor=. Przkład 2.4. c ub R= im c c, + Szereg R= 3 5. ( ) 5 (+5) jest szeregiem potęgowm o środku w pukcie 0 = 5 i promieiu 3 Szereg (6 3) 3 +2 jest szeregiem potęgowm o środku w pukcie 0 =2 i promieiur=. Szereg ( )! jest szeregiem potęgowm o środku w pukcie 0 =0 i promieiur=. Twierdzeie 2.5 (Twierdzeie Cauch ego-hadamarda). Niech 0 < R < będzie promieiem zbieżości szeregu potęgowego c ( 0 ). Wted szereg te jest: zbież bezwzgędie w każdm pukcie przedziału( 0 R, 0 +R), rozbież w każdm pukcie zbioru(, 0 R) ( 0 +R,+ ). 6 Opracowała: Małgorzata Wrwas

7 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki Uwaga 5. W puktach 0 R i 0 +R szereg potęgow może bć zbież ub rozbież. GdR=0, to szereg potęgow jest zbież jedie w pukcie 0. GdR=, to szereg potęgow jest zbież bezwzgędie a całej prostej. Defiicja 2.6. Zbiór tch R, da którch szereg potęgow c ( 0 ) jest zbież azwam przedziałem zbieżości tego szeregu. Uwaga 6. Z twierdzeia Cauch ego-hadamarda wika, że przedział zbieżości szeregu potęgowego może mieć jedą z postaci: ( 0 R, 0 +R) 0 R, 0 +R) 0 R 0 0 +R 0 R 0 0 +R ( 0 R, 0 +R 0 R 0 0 +R 0 R, 0 +R 0 R 0 0 +R { 0 } (, + ) R=0 0 R= 0 Przkład 2.7. Da szeregu ( 2) mamr= i przedział zbieżości,3). Da szeregu ( ) =2 2 mamr= i przedział zbieżości,. Da szeregu ( ) 2 (2)! =2 mamr= i przedział zbieżości (,+ )=R. 2.2 Szereg Taora i Macauria Defiicja 2.8. Niech fukcjaf ma w pukcie 0 pochode dowoego rzędu. Szereg potęgow f () ( 0 )! ( 0 ) =f( 0 )+ f ( 0 )! ( 0 )+ f ( 0 ) ( 0 ) ! azwam szeregiem Taora fukcjif o środku w pukcie 0. f () (0) Jeżei 0 =0, to szereg azwam szeregiem Macauria fukcjif.! 7 Opracowała: Małgorzata Wrwas

8 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki Uwaga 7. Ze zbieżości szeregu Macauria fukcji ie wika, że jego suma jest rówa fukcjif. Na przkład da fukcji mamf () (0)=0, da,,2,3,..., if() e 2, 0 f()= 0, =0 f () (0) 0.! Twierdzeie 2.9 (Twierdzeie o rozwijaiu fukcji w szereg Taora). Jeżei fukcjaf ma a otoczeiu O puktu 0 pochode dowoego rzędu, da każdego O spełio jest waruek im R ()=0, gdzier ()= f(+) (ξ) ( 0 ) + (+)! ozacza-tą resztę we wzorze Taora da fukcjif, prz czmξ= 0 +θ( 0 ),0<θ<, to f()= f () ( 0 )! ( 0 ), da każdego O. Twierdzeie 2.0 (Twierdzeie o jedozaczości rozwiięcia fukcji w szereg potęgow). Jeżei f()= c ( 0 ), da każdegozpewego otoczeia puktu 0, to c = f() ( 0 )!, da,,2,... Przkład 2.. Da fukcjif()= mamf()= oraz f ()= 2 f ()= f ()= 2 3 f ()=2 Wówczas f ()= 6 4 f ()= 3! f (4) ()= 24 5 f(4) ()=4!. f () ()=( )! + f() ()=( )! = ( ) ( ) = ( ), da0<<2. 8 Opracowała: Małgorzata Wrwas

9 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki 2.3 Szeregi Macauria iektórch fukcji eemetarch = si= e = cos= (+)= arctg= = , da <.! = , da R. 3! ( ) (2+)! 2+ = 3 3! +5 5! 7 7! +..., R. sih= cosh= ( ) (2)! 2 = ! 6 6! +..., R. ( ) (+) + = , <. ( ) (2+) 2+ = , <. 2+ (2+)! =+3 3! +5 5! +7 7! +..., R. 2 (2)! = ! +6 6! +..., R. Twierdzeie 2.2 (Twierdzeie o różiczkowaiu szeregu potęgowego). Niech0<R będzie promieiem zbieżości szeregu potęgowego c ( 0 ). Wted: da każdego ( 0 R, 0 +R). ( ) c ( 0 ) = c ( 0 ) Twierdzeie 2.3 (Twierdzeie o całkowaiu szeregu potęgowego). Niech0<R będzie promieiem zbieżości szeregu potęgowego c ( 0 ). Wted: ( 0 da każdego ( 0 R, 0 +R). c (t 0 ) )dt= c + ( 0) + 9 Opracowała: Małgorzata Wrwas

10 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki 2.3. Sum ważiejszch szeregów potęgowch = =, da <. ( ) 2,da <. 2 = + ( ) 3,da <. = ( ), da <. 2.4 Aproksmacja fukcji przez wieomia Wzór f()==f( 0 )+ f ( 0 )! ( 0 )+...+ f() ( 0 ) ( 0 ) +R (),! gdzier ()= f(+) (ξ) ( 0 ) + < -ta reszta we wzorze Taora da fukcjif, prz czmξ= (+)! 0 +θ( 0 ),0<θ<, pozwaa przedstawić w sposób przbiżo (aproksmować) fukcjęf za pomocą wieomiau (zwaego wieomiaem Taora) f() f( 0 )+ f ( 0 )! Przkład 2.4. Niechf()=e. Wówczas ( 0 )+...+ f() ( 0 ) ( 0 ).! e ! +...+!. =e =e =e =+ = = (a) (b)=2 (c)=3 0 Opracowała: Małgorzata Wrwas

11 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki 3 Szeregi trgoometrcze Wprowadzeie Przpomijm, że fukcjęf : R Razwam okresową, jeśi istieje iczbat >0taka, że da wszstkich R mam+t R oraz f(+t)=f(). Przkład 3. (Przkład fukcji okresowch). Fukcjami okresowmi są a przkład fukcje sius i cosius. 3π 2 π π 2 π 3π 2 π 2 Im przkładem fukcji okresowej jest matsa, czi fukcjam()= [] Fukcję okresową możem także otrzmać, biorąc a przkład astępującą sumę: f()=si+ 2 si(2)+ 2 si(3). 3π 2π π π 2π 3π Moża zatem zadać sobie ptaie: Cz biorąc dowoą fukcję okresowa, możem ją przedstawić w postaci takiej sum jak powżej? Okazuje się, że jest to możiwe da dużej iości fukcji, jeśi zamiast sum skończoch będziem rozważać sum ieskończoe, czi szeregi. Opracowała: Małgorzata Wrwas

12 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki Defiicja 3.2. Szeregiem trgoometrczm a przedziae, azwam szereg postaci a ( a cos π +b si π ), gdziea 0 R,a,b R da N,jest pewą iczbą dodatią. Defiicja 3.3. Niech fukcjaf będzie całkowaa a przedziae,. Szeregiem trgoometrczm Fouriera azwam szereg trgoometrcz gdzie a ( a cos π +b si π ), oraz a = b = f()cos π d, f()si π d,,,2,...,2,... Piszem smboiczie f() a ( a cos π +b si π ). Defiicja 3.4. Fukcję f, ograiczoą w przedziae(a, b), azwam przedziałami mootoiczą w tm przedziae, jeżei przedział(a, b) moża podzieić a skończoą iczbę podprzedziałów wewątrz którch fukcjaf jest mootoicza. Defiicja 3.5. Mówim, że fukcja f spełia a przedziae a, b waruki Diricheta, jeżei f jest przedziałami mootoicza w przedziae(a, b), 2f jest ciągła w przedziae(a,b), z wjątkiem co ajwżej skończoej iczb puktów ieciągłości 0, takich że f( 0 )= im f()+ im f() w końcach przedziału(a, b) spełioe są rówości f(a)=f(b)= ( ) im 2 b f()+ im a +f() ( Powższe waruki azwam odpowiedio: pierwszm, drugim i trzecim warukiem Diricheta. Twierdzeie 3.6 (Diricheta). Jeżei fukcja f spełia w przedziae, waruki Diricheta, to jest rozwijaa w tm przedziae w szereg trgoometrcz Fouriera da każdego,. f()= a ( a cos π ) +b si π ), (9) Jeżei poadto fukcjaf jest okresowa i ma okres2, to rówość (9) jest prawdziwa da każdegoz dziedzi tej fukcji. 2 Opracowała: Małgorzata Wrwas

13 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki Twierdzeie 3.7. Jeżei fukcjaf jest parzsta, to oraz b =0,,2,... a 0 = 2 0 f()d i a = 2 0 f()cos π d,,2,... Wówczas rozwiięcie (9) da fukcji parzstej przjmuje postać f()= a a cos π. (0) Twierdzeie 3.8. Jeżei fukcjaf jest ieparzsta, to oraz a =0,,,2,... b = 2 0 f()si π d,,2,... Wówczas rozwiięcie (9) da fukcji ieparzstej przjmuje postać f()= b si π. () 3. Zagadieie rozwijaia fukcji w szereg trgoometrcz Fouriera siusów ub kosiusów Rozważm fukcję f, która jest okreśoa i spełia pierwsz i drugi waruek Diricheta w przedziae otwartm(0, ). Fukcję tę moża przedstawić w przedziae(0, ) w postaci szeregu trgoometrczego Fouriera składającego się z samch siusów (), abo samch kosiusów (0). Rozpatrzm fukcję pomocicząf, okreśoą a przedziae, azwaą przedłużeiem fukcjif. Ab otrzmać rozwiięcie fukcji f w szereg siusów () aeż przedłużć fukcję f w sposób ieparzst. 0, da= f( ), da <<0 f ()= 0, da=0 f(), da0<< 0, da= 3 Opracowała: Małgorzata Wrwas

14 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki Ab otrzmać rozwiięcie fukcji f w szereg kosiusów () aeż przedłużć fukcję f w sposób parzst. im f(), da= f( ), da <<0 f ()= 0, da=0 f(), da0<< im da= f(),, da π<<0 Przkład 3.9. Niech f() = 0, da { π,0,π}. Wówczas, da0<<π f()= 2( ( ) ) π si. (d) (e)=3 (f)=5 (g)=7 4 Opracowała: Małgorzata Wrwas

15 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki Przkład 3.0. Niech f() =, da π, π. Wówczas f()= π ( ) π 2 cos. = = (h) (i)=3 = = (j)=5 (k)=7 5 Opracowała: Małgorzata Wrwas

16 Automatka i Robotka sem II, 2009/200 MATEMATYKA - wkład Katedra Matematki π, da π<0 Przkład 3.. Niech f() = π 2, da=±π. Wówczas π, da0<<π f()= 3 4 π+ ( ( ) ) π 2 cos+ ( ) si. =f() =f() () =f() (m)=2 =f() ()=3 =f() (o)=4 (p)=5 6 Opracowała: Małgorzata Wrwas