Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza matematyczna 2 Lista zadań"

Transkrypt

1 Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) + ; b) arccg; e) +) ; c) 4+3 ; f) π sin; e.. Korzysając z kryerium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) 4 +) ; b) +) 3 ; e) + 9 π ; +3 c) +sin) 3 ; f) +) 4 ++ ; +cos ). 3. Korzysając z kryerium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: +) ; b) +) 5 ) e 5 3 ; c) ; d) sin ; e) 3 sin. 4.Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywąy= +4 orazosiąo. b)obliczyćobjęośćbryłypowsałejzobrouwokółosioobszaru=,y) R :, y e }. c)zasadnić,żepolepowierzchnipowsałejzobrouwykresufunkcjiy= )wokółosioma skończoną warość. 5. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: +) ; b) e ln ; c) +) ; d) π π sin ; e) Korzysając z kryerium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 4 arcg ; b) e 4 3 ; c) + ; d*) Korzysając z kryerium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 3 + ) π +) ; b) sin 3 e ) π 4 ; c) ; d*) ; e*) 3 sin. 8. Wyznaczyć warości główne całek niewłaściwych: 3 cos ; b) +4 e e + ; c) e +5 ; d 9 4 π ; e) sin.

2 Lisa 9. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i nasępnie zbadać ich zbieżność: ) n 5 ; b) 6 n +3n+ ; c) n ; d). n! n++ n n= n=. Korzysając z kryerium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +4 ; b) n= n+ n n ; c) n= lnn n ; d) n n+ ; e). Korzysając z kryerium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3n+ n 3 + ; b) n + n + ; c) sin π n; d) n= n= n +e n e n +4 n; e) e n e n +. 3 n +n n3 n + n.. Korzysając z kryerium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n+ n6 ; b) n + n 3 + ; c) e n 3 n ; d) 4 n sin5 n. 3. Korzysając z kryerium d Alembera zbadać zbieżność szeregów: 5 n ; b) n! e n + n 5 + ; c) n sin π n; d) n= n! n n; e) 4. Korzysając z kryerium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: n+) n n +3 n n +) n ; b) 3 n +4 n; c) 3 n n n ; d) n+) n n n π n n!. arccos n n. 5. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i nasępnie na podsawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: n 5 n n n n lim n 3 n =; b) lim n n!) =; c) lim n n! 3n)!4n)! =; d*) lim n 5n)!n)! =. 6. Korzysając z wierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ) n ) n + n ; b) ) n n 3 n +4 n; c) ) n g π n ; d) n= 7. Obliczyć sumy przybliżone szeregów ze wskazaną dokładnością: ) n+ n, ) n n 6 ; b) n+)!, 3. Lisa 3 n= n= n= n=4 8. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ) n 3 n + ; b) ) n n n+ ; c) ) n n ; d) 3n+5 n= 9. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów poęgowych: n ne n; b) 5 ) n +3) n ; c) ; d) n! ) n ne ) ; e) n= +6) n 3 n n ; e). Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 5 + ; b)sin ; c) e 3 ; d) 6 ; e)sinh; f)cos.. Korzysając z rozwinięć Maclaurina funkcji elemenarnych obliczyć pochodne: f 5) ), f)= cos; b)f 5) ), f)=e ; c)f ) ), f)= 3 + ; d)f) ), f)=sin. ) n+3n n= n!. n+) n. n+ ) n 3 n +.

3 .Wyznaczyćszeregipoęgowef )oraz f)= + 3; b)f)=sin ) ; c*)f)=e. n= f) d, jeżeli funkcja f określona jes wzorem: 3. Sosując wierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów poęgowych obliczyć sumy szeregów: n+)3 n; b) n nn+) n ; c) 5 n. n= 4. Obliczyć całki oznaczone ze wskazaną dokładnością: Lisa 4 e,.; sin,.. 5. Wyznaczyć i narysować dziedziny nauralne funkcji: f,y)= y y ; b)f,y)= y + ; c)f,y)= y 4 y ; d)f,y)=ln +y 9 6 y ; e)g,y,z)= + z; f)g,y,z)=arccos +y +z ). 6. Naszkicować wykresy funkcji: f,y)= +y ; b)f,y)= 3+ y ; c)f,y)= +y +y+3; d)f,y)=siny; e)f,y)= ; f)f,y)=. * 7. Obliczyć granice: sin 4 y 4) cos +y ) y lim,y),) +y ;b) lim,y),) +y ) ;c) lim,y),) +y;d) lim +y ) cos,y),) y. 8.Korzysajączdefinicjiobliczyćpochodnecząskowepierwszegorzęduf,f y funkcjifipochodnecząskowe g,g y,g z funkcjigwewskazanychpunkach: f,y)= y,,); b)f,y)= 6 +y 6,,); c)g,y,z)= +z,,,). y 9.Obliczyćpochodnecząskowef,f y funkcjifipochodnecząskoweg,g y,g z funkcjig: f,y)= +y ; b)f,y)=arcg y y +y ; d)f,y)=y +y ; g)g,y,z)= Lisa 5 e)f,y)=ln c)f,y)=ecos y ; + +y ) ; f)g,y,z)= + z +y +z; h)g,y,z)=cossinycosz)); i)g,y,z)= * 3. Sprawdzić, że funkcja f spełnia wskazane równanie: f,y)=ln +y+y ), f +yf y =; b)f,y)= sin y, f +yf y = f. y +yz3 ; + y + z +. 3.Obliczyćpochodnecząskowedrugiegorzęduf,f y,f y,f yy funkcjifipochodnecząskoweg,g y, g z,g y,g yy,g yz,g z,g zy,g zz funkcjigisprawdzić,żepochodnecząskowemieszanesąrówne: f,y)=cos +y ) ; b)f,y)=ye y ; d)f,y)=yln y ; c)f,y)= + y3 ; e)g,y,z)= y + +z ; f)g,y,z)=ln +y +z 3 + ). 3

4 3. Obliczyć pochodne cząskowe: h yy, h,y)=siny; b)h yyy, h,y)= +y y ; c)h yz, h,y,z)= y 3 z. 33. Sprawdzić, że funkcje: z=arcg y ; b)z=+ y ; c)z=+ln + y ) ; d)z=+ y spełniają równanie z +yz y +y z yy =,,y>). 34. Napisać równania płaszczyzn sycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punkach wykresu: z= y+,,y,z )=,3,z ); b)z=e +y,,y,z )=,,z ); c)z= arcsin arccosy,,y,z )= ) 3,,z ; d)z= y,,y,z )=,4,z ). 35.Nawykresiefunkcjiz=arcg y wskazaćpunky,wkórychpłaszczyznasycznajesrównoległado płaszczyzny+y z=5. b)wyznaczyćrównaniepłaszczyznysycznejdowykresufunkcjiz= +y,kórajesprosopadładoprosej =,y=,z=, R. Lisa 6 36.Wysokośćipromieńpodsawywalcazmierzonozdokładnością±mm.Orzymanoh=35mmoraz r=45mm.zjakąwprzybliżeniudokładnościąmożnaobliczyćobjęośćvegowalca? b)krawędzieprosopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=m.obliczyćwprzybliżeniu,jak zmieni się długość przekąnej prosopadłościanu d, jeżeli długości wszyskich krawędzi zwiększymy o cm. c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objęościprosopadłościamuv,jeżelipomiarujegoboków,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio, y, z. * 37. Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania: z=f +y ), yz z y =; b)z=fsin y)), z +z y = z ; y c)z= n f, z +yz y =nzn N); d*)z= ) y ) y g)+h, yz y +y z yy +z +yz y =. 38. Korzysając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punkach i kierunkach: f,y)= ) 3 +y,,y )=,), v=, ; ) b)f,y)= 3 y,,y )=,), v=, ; ) 3 c)g,y,z)= +yz,,y,z )=,,), v= 3,4 3, Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punkach i kierunkach: ) f,y)= +y,,y )= 3,4), v= 3,5 ; 3 b)f,y)= y ) 3 +y,,y )=,), v= 5, 4 ; 5 ) c)g,y,z)=e yz 3,,y,z )=,, ), v=, 3 4,. 4 4.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif,y)=y +lny).wpunkcie ), wkierunku wersoravworzącegokąαzdodanimzwroemosio.lajakiegokąaαpochodnaamawarość,adla 4

5 jakiego przyjmuje warość największą? b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkukórychfunkcjaf,y)= e +y ) wpunkcie,)mapochodną kierunkową równą. Lisa 7 4. Znaleźć eksrema lokalne funkcji: f,y)= 3 +3y 5 4y; b)f,y)=e y + +ey ; c)f,y)=y y),y>); d)f,y)=y y +6y; e)f,y)= 3 +y 3 3y; f)f,y)= 8 + y +y,y>); g)f,y)=y+lny+ ; h)f,y)=4y+ + y ; i)f,y)= y ) + y ). 4. Wyznaczyć eksrema podanych funkcji, kórych argumeny spełniają wskazane warunki: f,y)= +y,3+y=6; b)f,y)= +y 8+, y +=; c)f,y)= y ln,8+3y=; d)f,y)=+3y, +y =. 43. Znaleźć najmniejsze i największe warości podanych funkcji na wskazanych zbiorach: f,y)= y y, =,y) R : y 4 } ; b)f,y)= +y 6+4y, =,y) R :+y 4,+y 6,,y } ; c)f,y)= +y, =,y R : + y } ; d)f,y)=y +4y 4, =,y) R : 3 3, 3 y } ; e)f,y)= 4 +y 4, =,y) R : +y 9 }. 44.WrójkącieowierzchołkachA=,5),B=,4),C=, 3)znaleźćpunkM=,y ),dla kórego suma kwadraów jego odległości od wierzchołków jes najmniejsza. b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prosopadłościennej owarej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużyej do jej zrobienia była najmniejsza? c) Znaleźć odległość między prosymi skośnymi: k: +y =, z+ =, l: y+3 =, z =. d)prosopadłościennymagazynmamiećobjęośćv=6m 3.obudowyścianmagazynuużywanesąpłyy wcenie3zł/m,dobudowypodłogiwcenie4zł/m,asufiuwceniezł/m.znaleźćdługośća,szerokość b i wysokość c magazynu, kórego kosz budowy będzie najmniejszy. f) Firma produkuje drzwi wewnęrzne i zewnęrzne w cenach zbyu odpowiednio 5 zł i zł za szukę. Kosz wyprodukowania szuk drzwi wewnęrznych i y zewnerznych wynosi K,y)= y+y [zł]. Ile szuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk? Lisa Obliczyć całki podwójne po wskazanych prosokąach: +y y ) dy,r=[,] [,]; b) R c) siny)dy,r=[,] [π,π]; R dy +y+) 3,R=[,] [,]; R d) e y dy,r=[,] [,]. 46. Całkę podwójną f, y) dy zamienić na całki ierowane, jeżeli obszar ograniczony jes krzywymi o równaniach: y=, y=+; R b) +y =4, y=, =,y ); c) 4+y +6y 5=; d) y =, +y =3<). 5

6 47. Obliczyć całki ierowane: y dy; b) 4 Narysować obszary całkowania. y dy; c) 4 3 +y 3) dy; d) 48. Narysować obszar całkowania, a nasępnie zmienić kolejność całkowania w całkach: d) f,y)dy; b) dy y y f,y); e) π π f,y)dy; c) sin cos f,y)dy; f) 4 e 4 ln 3 y dy f,y)dy; f,y)dy. y Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: y dy, :y=,y= ; b) ydy, :y=,y=,y= ; c) e y dy, :y=,=,y=; d) y+4 ) dy, :y=+3,y= +3+3; e) e y dy, :y=,y=,=; f) y+)dy, :=,y=,y=3 ); g) e dy, :y=,y=,= ln3; h) 3y+)dy, :y=,y=π,=,=siny. * 5. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: min,y)dy,=[,] [,]; b) +y dy,=[,] [,]; c) y dy,=,y) R :, y 3 } ; d) sgn y + ) dy,=,y) R : +y 4 }. waga. Symbol mina, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei u oznacza część całkowią liczby u. 5. Obliczyć warości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach: [ f,y)=sincosy,=[,π], π ] ; b)f,y)=+y,: y π, siny. * 5. Sosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: +y) y) 3dy,:+y=,+y=, y=, y=3; b) dy y,:y=,y=,y= +,y= +4; c) ydy,:y=,y=,y=,y=3 3 ; d*) Lisa 9 4 y 4) dy,: +y =3, +y =5, y =, y =,y ). 53. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: 6

7 ydy,: +y, 3 y 3; b) y dy,:, +y ; c) y e +y dy,:,y, +y ; d) dy,: +y y; e) +y ) dy,: y,y +y ; f) yy,: +y y ). Obszar naszkicować we współrzędnych karezjańskich i biegunowych. 54. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y =4, +y=3, y=y ); b) +y y=, +y 4y=; c)+y=4, +y=8, 3y=, 3y=5; d) +y =y, y= Obliczyć objęości brył ograniczonych powierzchniami: y=z,y=,y=,z=,z=y; b) +y +z =4,z=z ); c) +y y=,z= +y,z=; d)z=5 +y,=,y=,+y=,z=; e*) ) +y ) =,z=y,z=; f*)z= +y,y+z= Obliczyć pola płaów: z= +y, +y ;b) +y +z =R, +y R,z ;c)z= +y, z. 57. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęsościach powierzchniowych: =,y) R : π, y sin },σ,y)=; b)=,y) R : +y 4,y },σ,y)=. 58. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych: =,y) R : y 4 } ; b)=,y) R : π, y sin } ; c)=,y) R :, y e } ; d) rójkąrównoramiennyopodsawieaiwysokościh; e) rójkąrównobocznyobokua,dokóregodołączonopółkoleopromieniua; f) kwadraoboku,zkóregowycięopółkoleośrednicya. 59. Obliczyć momeny bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi: =,y) R : +y R,y },ośo,przyjąćσ,y)= +y ; b)=,y) R : y },ośsymeriiobszaru,przyjąćσ,y)= ; c)=,y) R : π, y sin },ośo,przyjąćσ,y)=; d) jednorodnykwadraomasiemibokua,przekąnakwadrau; e) jednorodnyrójkarównobocznyomasiemibokua,ośsymerii. Lisa 6. Obliczyć podane całki porójne po wskazanych prosopadłościanach: dydz,=[,] [,e] [,e]; yz b) +y+z)dydz,=[,] [,3] [3,4]; c) sinsin+y)sin+y+z)dydz,=[,π] [,π] [,π]; d) +y)e +z dydz,=[,] [,] [,]. 7

8 6.Całkęporójnązfunkcjig,y,z)poobszarzezamienićnacałkiierowane,jeżelijesograniczony powierzchniami o podanych równaniach: z= +y, z=6; b) +y +z =5,z=4,z 4); c)z= +y, z= y. * 6. Narysować obszar całkowania i nasępnie zmienić kolejność całkowania: y 4 y dy f,y,z)dz; b) dy f,y,z)dz; 4 4 y c) 3 dz z z z z f,y,z)dy; d) dy +y f,y,z)dz. 63. Obliczyć całki porójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach: g,y,z)=e +y+z, :, y, z ; b)g,y,z)= 3+y+z+) 4, :,y, z y; c)g,y,z)= +y, : +y 4, z ; d)g,y,z)= y, : y z. * 64. Sosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki porójne: +y) +y+z) 3 dydz,jesobszaremograniczonymprzezpłaszczyzny:=,=,+y=, +y=,+y+z=,+y+z=3; y ) dydz,jesobszaremograniczonymprzezpowierzchnie:y=,y=,y=,y=4, b) z=y+,z=y+3,>; c*) +y ) dydz,jesorusem,j.bryłąpowsałązobrouwokółosiozkoła R) +z r, y=,<r R. Lisa 65. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach: +y +z ) dydz, : +y 4, z ; b) yzdydz, : +y z y ; c) +y ) dydz, : +y +z R, +y +z Rz; d) +y+z)dydz, : +y, z y. 66. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach: dydz +y +z, :4 +y +z 9; b) +y ) dydz, : +y z y ; c) z dydz, : +y +z R) R R>); 8

9 d) dydz, : +y +z Obliczyć objęości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: +y =9, +y+z=, +y+z=5; b)=, =, z=4 y, z=+y ; c)z= + +y, z=, +y =; d) +y +z =, y=y ). 68. Obliczyć masy obszarów o zadanych gęsościach objęościowych: =[,a] [,b] [,c],γ,y,z)=+y+zoraza,b,c>; b): +y +z 9,γ,y,z)= +y +z. 69. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych: :, y, z ; b)sożekopromieniupodsawyriwysokościh; c): +y z y. 7. Obliczyć momeny bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M: walec o promieniu podsawy R i wysokości H, względem osi walca; b) sożek o promieniu podsawy R i wysokości H, względem osi sożka; c) walec o promieniu podsawy R i wysokości H, względem średnicy podsawy. Lisa 7. Korzysając z definicji obliczyć ransformay Laplace a funkcji: ; b)sin; c) ; d)e ; e)e cos; f)sinh; g) y h) y i) y y=f) y=g) y=h) 7. Wyznaczyć funkcje ciągłe, kórych ransformay Laplace a mają posać: s+ ; b) s s +4s+5 ; c) s 4s+3 ; s+ d) s+)s )s +4) ; e) s + s s ) ; f) s+9 s +6s+3 ; g) s+3 s 3 +4s +5s ; h) 3s e s s 3 ; i) ) s Meodą operaorową rozwiązać zagadnienia począkowe dla równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach: y y=, y)=; c)y +y =, y)=,y )=; b)y y=sin, y)=; d)y +3y =e 3, y)=,y )= ; e)y y +y=sin, y)=,y )=; f)y y +y=+, y)=,y )=; g)y +4y +4y=, y)=,y )=; h)y +4y +3y=e, y)=,y )=. * 74. Korzysając z własności przekszałcenia Laplace a obliczyć ransformay funkcji: sin 4 ; b)cos4cos; c) cos; d)sinh3; e)e cos; f)e 3 sin ; g) )sin ); h) )e. 9

10 * 75. Obliczyć sploy par funkcji: f)=e, g)=e ; c)f)=), g)=sin; b)f)=cos3, g)=cos; d)f)=e, g)=. * 76. Korzysając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, kórych ransformay dane są wzorami: s+)s+) ; b) s ) s+) ; c) s s +) ; d) s s +). Lisa Korzysając z definicji wyznaczyć ransformay Fouriera funkcji: sin dla π, cos dla π, dla, f)= b)f)= dla >π; dla > π c)f)= ; dla >; dla, d)f)= e)f)=e ; f*)f)=e a,a. dla >; π Wskazówka.f*) Wykorzysać równość e a d= a. 78.Niechc,h Rorazδ>.WyznaczyćransformaęFourierafunkcji h y c c δ c+ δ 79.Pokazać,żejeżeliFf)}=ˆfω),o: Ff)cosα}= [ˆfω α)+ˆfω+α) ] ; b)ff)sinα}= i [ˆfω α) ˆfω+α) ]. 8. Korzysając z własnści ransformay Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć ransformay funkcji: f)=e 3 ; b)f)=e ; c)f)=e 4 4 ; cos dla π, cos dla π, d)f)= e)f)= f)f)=[) 4)] ; dla >π; dla >π; g)f)=) e cos; h)f)=e cos ; i)f)=e sin. dla <, waga. ) = funkcja Heaviside a. dla * 8. Korzysając z zadania 8 oraz ransformay Fouriera pochodnej wyznaczyć ransformay funkcji: b) y y * 8. W obwodzie RLC, napięcie ) jes sygnałem wejściowym, a napięcie y) sygnałem wyjściowymrys.). + ) R L C y) + Wyznaczyć rnsformaę Fouriera sygnału wyjściowego y).

11 83.ObliczyćransformaęFourierafunkcji f )+f ),jeżeliˆfω)= +ω. 84. Wyznaczyć funkcje, kórych ransformay Fouriera mają posać: +iω ; b) 4+ω ; c) e iω +iω ; e)sinωcosω ; f) ω +ω )4+ω ) ; 85. Obliczyć sploy podanych par funkcji i ich ransformay Fouriera: f)=g)=) ), b)f)=) ),g)=+) ), c)f)=) e,g)=) e, d)f)=g)=e.

Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Analiza matematyczna 2 Lista zadań Analiza matematyczna Lista zadań Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Lista Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: + ; (b) + ; (c) sin; (d) arcctg;

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna 1 (2014/2015)

Analiza Matematyczna 1 (2014/2015) Analiza Matematyczna 4/5) MAP43, 9, 4, 43, 345, 357 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielonana4jednostekodpowiadającychkolejnym wykładom

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS)

20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS) Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl.

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl. Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy II (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod (4) Studia

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA 4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata.

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata. Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz 1. Wzajemne położenia prostych, płaszczyzn w przestrzeni. 2. Graniastosłupy- podział, pole powierzchni i objętość. 3. Ostrosłupy- podział,

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek: 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

0 2 odpowiadająca zajęciom o charakterze praktycznym (P) w tym liczba punktów ECTS

0 2 odpowiadająca zajęciom o charakterze praktycznym (P) w tym liczba punktów ECTS Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ A Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x)

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Mathematics

KARTA KURSU. Mathematics KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS I

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS I PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS I Wymagania konieczne ocena dopuszczająca wie że długość i odległość mierzymy w milimerach cenymerach merach lub kilomerach

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-062 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5.

Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie. ( pkt) W układzie współrzędnych zaznaczono 5 początkowych wyrazów nieskończonego ciągu a. arytmetycznego ( ) n y - a) Podaj trzeci wyraz tego ciągu.

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY I DZIAŁANIA

I. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA PIERWSZA GIMNAZJUM I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne. 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 21. Stok narciarski

Zadanie 21. Stok narciarski KLUCZ DO ZADAŃ ARKUSZA II Jeżeli zdający rozwiąże zadanie inną, merytorycznie poprawną metodą otrzymuje maksymalną liczbę punktów Numer zadania Zadanie. Stok narciarski Numer polecenia i poprawna odpowiedź.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1).

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1). Rozdział 8 Szeregi potęgowe Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z 0 C i współczynnikach a n C nazywamy szereg a n z z 0 ) n, 8.1) gdzie z C. Z szeregami tego typu mieliśmy już do czynienia, omawiając

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 LO. Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą

Klasa 1 LO. Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą Klasa LO Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą ZBIÓR I PODZBIOR DZIAŁANIA NA ZBIORACH I W ZBIORACH Przykładowe zadania: potrafi określić rodzaj liczby (N, C, W, NW, R) ) Ze zbioru

Bardziej szczegółowo

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. 1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to:

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX Autor: Spis treści Wstęp. Wprowadzenie...................................... Warunki korzystania z usługi............................ Przykładowe próbki

Bardziej szczegółowo

Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem

Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem Ćwiczenie E7 Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem E7.1. Cel ćwiczenia Prąd elektryczny płynący przez przewodnik wytwarza wokół niego pole magnetyczne. Ćwiczenie polega na pomiarze

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

4.4. Obliczanie elementów grzejnych

4.4. Obliczanie elementów grzejnych 4.4. Obiczanie eemenów grzejnych Po wyznaczeniu wymiarów przewodu grzejnego naeży zaprojekować eemen grzejny, a więc okreśić wymiary skręki grzejnej czy eemenu faisego (wężownicy grzejnej, meandra grzejnego).

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Teoria Pola Elektromagnetycznego

Teoria Pola Elektromagnetycznego Teoria Pola Elektromagnetycznego Wykład 3 Pole elektryczne w środowisku przewodzącym 19.05.2006 Stefan Filipowicz 3.1. Prąd i gęstość prądu przewodzenia Jeżeli w przewodniku istnieje pole elektryczne,

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM OPRACOWANO NA PODSTAWIE PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI Matematyka 1 Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja, praca zbiorowa

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo