OBIEKT. złożony (system)

Transkrypt

1 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) Poęca podsawowe OBIEKT rakue sę ako poęce perwoe, określaące w zależośc od porzeb: epodzely eleme (bez uwzględea ego srukury wewęrze), zbór elemeów worzących sysem. OBIEKT prosy (eleme złożoy (sysem) S( S 4 S 3 S S Rys... Przykładowy wykres zma sau elemeu Rozparyway eleme T Czy eleme podlega odowe? N Eleme odawaly Eleme eodawaly T Czy odowa polega a aprawe? N Eleme remoowaly Eleme odawaly eremoowaly

2 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) Rys... Klasyfkaca elemeów Eleme eodawaly es w peł scharakeryzoway przez rozkład czasu fukcoowaa τ (bezawarye pracy). F P{ τ < } Q( - fukca zawodośc (dysrybuaa rozkładu), P{τ } - F( fukca ezawodośc, df( f - gęsość prawdopodobeńswa. d gdze: F( dysrybuaa zmee losowe, prawdopodobeńswo fukcoowaa elemeu (ezawodość elemeu), f( gęsość prawdopodobeńswa rozkładu. Względą gęsość prawdopodobeńswa zmee losowe τ azywa sę esywoścą esprawośc awaryych (uszkodzeń) zwaa es oa róweż fukcą ryzyka: f F' d λ (.4) F( d λ I II III Rys..3. Typowy przebeg fukc esywośc uszkodzeń Poza powyższym charakerysykam (wskaźkam) ezawodośc elemeu eodawalego (, λ() są podawae: Skumulowaa esywość esprawośc awaryych (uszkodzeń), zwaa eż skumulowaą fukcą ryzyka Λ λ d (.5) Zachodz zwązek )exp λ d )exp[ Λ( (.6) Naczęśce zakłada sę, że w chwl rozpoczęca eksploaac eleme es w sae zdaośc, czyl że ). Wedy exp[ Λ( (.7) Λ( l Średa warość fukc ryzyka (esywośc uszkodzeń) w przedzale [, Λ( λ (.8) Pozosały oczekway czas poprawe pracy (do uszkodzea)

3 r( II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) d E[ τ d gdze E[τ es oczekwaym czasem fukcoowaa (poprawe pracy) do uszkodzea. Pozosały oczekway czas poprawe pracy lepe charakeryzue ezawodość elemeu od oczekwaego czasu fukcoowaa E[τ. Dla : r( r() E[τ, zaś dla > : r( ma zwykle przebeg maleący, gdyż w rzeczywsych urządzeach zachodzą procesy sarzeowe. Eleme odawaly ma w ogólym przypadku czery say podsawowe: fukcoowaa, remou awaryego, remou proflakyczego, rezerwy. Jeśl pome sę say remou proflakyczego rezerwy o modelem procesu eksploaac elemeu odawalego es proces odowy o skończoym e zerowym czase odowy. Przykład akego procesu przedsawoo a rys..4. T T T 3 (.9) Θ Θ Rys..4. Przykład procesu odowy z ezerowym czasem odowy Cąg, 3,..., k+,... worzą chwle koleych uszkodzeń, aomas cąg, 4,..., k,... chwle odoweń. Są u róweż dwa cąg zmeych losowych T, T,..., T k,... oraz Θ, Θ,..., Θ k,... określaące czasy fukcoowaa (pracy) czasy odowy. Cąg e worzą dwa srumee zdarzeń: srumeń esprawośc (uszkodzeń) srumeń odów. Rzeczywsy proces odowy moża zaem aalzować za pomocą dwóch procesów losowych: o { N, }, wyrażaącego lczbę uszkodzeń w przedzale czasowym [, ; o { m, }, wyrażaącego lczbę odoweń w przedzale czasowym [,. W zwązku z ym moża rozparywać dwe fukce: H( E[N( (.) wyrażaącą oczekwaa lczbę uszkodzeń w przedzale [, zwaą fukcą odowy, oraz I( E[m( (.) określaącą oczekwaą w daym przedzale czasowym lczbę odów maącą aalogcze ak fukca odowy właścwośc. Gdy zmee losowe T k maą e sam rozkład o paramerach E[T σ T oraz zmee losowe Θ k o paramerach E[Θ σ Θ (srumee rekuree), wówczas przy oszacowau fukc moża wykorzysać zw. elemeare werdzee odowy: H lm (.) E[ T zaś zmea losowa H( ma rozkład asympoycze ormaly o warośc oczekwae: lm E[ m( (.3) E[ T + E[ Θ warac ( σ T + σθ ) lm Var[ m( (.4) 3 (E[ T + E[ Θ) Wskaźkem ezawodośc elemeu, kórego modelem ezawodoścowym procesu eksploaac es rzeczywsy proces odowy z ezerowym czasem odowy es współczyk goowośc. 3

4 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) Defue sę go ako prawdopodobeńswo, że w chwl obek zadue sę w sae fukcoowaa (zdaośc) K P ( Tk + Θk ) < < ( Tk + Θk ) + T + } (.5) k k Gdy warość es dosaecze duża moża posługwać sę asympoyczym współczykem goowośc E[ T K lm K( (.6) E[ T + E[ Θ Dla przypadku, gdy czas fukcoowaa czas odowy maą rozkłady wykładcze, mamy: µ + λ exp[ ( µ + λ) µ K lm (.7) µ + λ µ + λ gdze: µ - esywość odowy, λ - esywość uszkodzeń. Rozkłady zmeych losowych sosowae w modelach ezawodoścowych elemeów sysemów,8,6,4,,8,6 r( lambda Lambda,4,,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 Rys..5. Przebeg fukc, λ(, Λ( r( w przypadku rozkładu EXP(b),8,6,4,,8,6 lambda,,5 Lambda,,5,,5 lambda,,5 Lambda,,5,,5,4,,,4,6,8,,4,6,8 /b Rys..6. Przebeg fukc, Λ( λ( w przypadku rozkładu WEI(b, v), przy b paramerze kszału v > (v,5) v < (v,5) 4

5 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) Tablca.. Charakerysyk aczęśce sosowaych rozkładów Rozkład R ( λ ( Λ ( r ( Wykładczy EXP(b) exp / b / b / b b T, + ), b > ( ) Webulla WEI(b, ν) T, + ), b >, ν > Warośc ameszych MIV(b, ) b >, Poęgowy POW (b, δ) T, b), b >, δ > Gamma GAM(b, p) T, + ), b >, p > Normaly NOµ, σ) µ, σ > Logarymo ormaly LNOµ, σ ) T, + ),µ, σ > Γ(p) fukca gamma Eulera: exp ν ν ν exp(-( / b) ) ( / b) b ( / b) ν [ - exp ( ( - b ) exp( ( ) / b ) exp (( ) b ) - ( / b) δ )/ b δ ( / b) b δ [ ( / b) δ l / [ ( / b) δ Γ( p, / b) p Γ( p) ( ) ( ( )){ [ ( ) ( / / b exp / b b Γ p Γ p, b) } l ( Γ( p, / b) / Γ( p) ),5 Φ µ σ l µ,5 Φ σ Γ( p) x p exp( x)dx µ µ ϕ σ,5 Φ σ σ ( ) µ µ l,5 Φ σ l l µ ϕ l σ,5 Φ ( ) µ l,5 Φ σ σ σ x ϕ, Φ( ) całka Laplace a: Φ( x) Π ϕ ( z)dz ϕ( ) fukca Gaussa: ( x) exp( ) b exp ν [ ( / b) Γ( + / ν) b b [ ( / b) p ; Γ(p, x) ekomplea (epeła) fukca gamma Eulera: Γ( p, x) exp( d ; x x δ ( ) δ + ( / b) δ + δ + b [ p / b + Γ ( ) ν δ + ν+ ( / b)!( ν + ) ( / b) ( p + +, / b) / Γ( p + + ) [ Γ( p, / b) / Γ( p) 5

6 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) Procesy losowe srumee zdarzeń ako modele ezawodoścowe Proces losowy es o rodza zmeych losowych określoych a wspóle przesrze probablsycze (V, F, P), przyporządkowaych poszczególym elemeom pewego zboru T. Zbór T może być erpreoway ako zbór chwl wówczas używa sę akże dla procesu losowego określea proces sochasyczy. Moża zaem proces losowy określć ako merzalą ze względu a cało F fukcę: X : V T S R (.36) Zbór S warośc przymowaych przez proces azywa sę zborem saów procesu, sam zaś proces X, T zapsue sę zwykle w posac: { } Tablca.. Klasyfkaca procesów losowych Zbór T Zbór saów S Co awyże przelczaly (dyskrey) Przedzał (cągły) Co awyże przelczaly (dyskrey) Łańcuch losowy Cąg (szereg) losowy Przedzał (cągły) Pukowy proces losowy (o dyskree przesrze saów) Proces losowy z czasem cągłym Ops procesu losowego może polegać a podau dysrybua: F ( x) P[ X < x, x R, T (.37) charakeryzuących rozkład prawdopodobeńswa w poszczególych chwlach zboru T. Dysrybuay e e zaweraą edak wyczerpuące formac o procese. Waże, chocaż róweż ekomplee formace o procese zaweraą zw. fukce momeów, z kórych podsawową es fukca warośc oczekwae: m E[ X, T (.38) Drugą podsawową charakerysyką procesu losowego es ego fukca korelacya (auokoleracya): K(, ) µ (, ) E[ { X ( m( }{ X ( ) m( } (.39) przy czym µ(, ) es drugm momeem ceralym meszaym procesu. Procesy sacoare (w węższym sese lub ścśle sacoare) są o ake procesy, kórych charakerysyk probablsycze e zmeaą sę przy zmae puku odesea a os czasu. Iacze mówąc, (bezwarukowe) prawdopodobeńswo, że X( < y, es ake samo ak prawdopodobeńswo, że X( + τ) < y dla każdego τ P { X < y} P{ X ( + τ) < y} (.4) Proces es sacoary w szerszym sese lub słabo sacoary, gdy ma sałą warość oczekwaą, a ego fukca korelacya zależy wyłącze od różcy argumeów: m m cos. (.4) K(, ) k( k( τ ), τ (.4) Proces sochasyczy azywamy ergodyczym, eżel wszyske ego realzace są ypowe w ym sese, że zaomość poedycze realzac X * ( a eskończoym (w prakyce dosaecze długm) odcku czasowym pozwala wyzaczać rozkład prawdopodobeńswa w ym, hpoeycze deyczym procese X( w myśl zależośc: P{ X ( τ ) < y} lm { µ { τ }: X < y} (.43) T T gdze: µ{τ } - łącza długość odcków czasowych z przedzału [, T, kedy było X * ( < y. Wyobraźmy sobe, że formaca I, aką mamy o przebegu procesu X(, składa sę z formac I*, że w chwl było X( ) x, oraz z formac I** doyczące ego, co sę dzało w chwlach wcześeszych od. Jeżel przy posadau formac I* formace I** są zbęde dla wyzaczea rozkładu zmee losowe X( + τ) dla chwl późeszych (τ > ), o proces azywamy procesem Markowa. Tak węc mamy: 6

7 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) { X ( + ) < y} I * I **} P{ X ( + τ ) < y I *} P{ X ( + ) < y X ( ) x} P τ τ (.45) Bardze sformalzowaa defca procesu Markowa es asępuąca. Proces losowy X ( + τ ), azywa sę procesem Markowa, gdy dla dowolego skończoego cągu chwl { T} < <... < (,,..., T) dowolych lczb rzeczywsych x, x,..., x zachodz rówość: P[ X ( ) < X ( ) x, X ( ) x,..., X ( x (.46) P[ X ( ) x X ( ) x Zależość powyższa ozacza, że warukowy rozkład prawdopodobeńswa zmee losowe X( ) zależy wyłącze od rozkładu prawdopodobeńswa ede ze zmeych losowych X( - ). Właścwośc procesu Markowa w chwl e zależą od warośc, ake proces przymował w chwlach,,..., -. Proces Markowa es węc w peł scharakeryzoway przez dysrybuaę warukową: F(s,, x, y) P[X( < x X(s) y, s < (.47) albo eż łączą dysrybuaę wekora losowego (X(s), X() wraz z dysrybuaą począkową F(s, y) P[X(s) < y. W aalze procesów Markowa zasadczą rolę odgrywa fukca zwaa prawdopodobeńswem prześca, kóra es określoa dla dowolych chwl s (s < ; s, T) oraz dla dowole lczby rzeczywse y dowolego zboru borelowskego B, w asępuący sposób: P(s,, B, y) P[X( B X(s) y (.48) Proces Markowa { X, T} es edorody, gdy dla dowolych s, T (s < prawdopodobeńswa prześca zależą ylko od różcy s τ, z.: P(s,, B, y) P(τ, B, y) (.49) W zasosowaach prakyczych, w szczególośc w zagadeach ezawodoścowych, asoeszą rolę odgrywaą pukowe procesy Markowa określoe a przedzale T [, z przesrzeą saów S {,,,...}. Realzace pukowego procesu Markowa są fukcam przedzałam sałym, a ch wykresy są lam schodkowym. Dla pukowego procesu Markowa, prawdopodobeńswa prześca p (s, P[X( X(s), s,,,,,... (.5) spełaą zwązk: k p ( s, pk ( s, ) pk (, ),( s < < (.5) zwae rówaam Smoluchowskego Chapmaa Kołmogorowa. Poado dla każdego (,,,...) zachodz rówość: p ( s, (.5) Wprowadzaąc fukce λ ( zwae esywoścam prześca procesu λ lm p (, +,,,,,..., (.53) uzyskue sę układ rówań różczkowych o zmeych współczykach: dp λ P + λ P (.54) S d S przy czym: λ ( ) λ. S gdze: P ( prawdopodobeńswo bezwarukowe przebywaa procesu w chwl w sae, λ ( - esywość prześca procesu w chwl ze sau do sau. Gdy proces Markowa es edorody, o esywośc prześca procesu są ezależe od czasu λ ( λ cos., 7

8 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) uzyskue sę układ rówań różczkowych o sałych współczykach: dp λ P + λ P S d S (.55) dla rozwązaa kórego es porzeba zaomość prawdopodobeńsw począkowych P (), S. Układ powyższy moża zapsać w posac wekorowe, ako: d P ΛP( (.56) d przy czym: P( [P (, P (,..., P m ( m m λ λ... λ m m λ λ... λm Λ.... m λm λm... λ m gdze: P( - wekor kolumowy prawdopodobeńsw przebywaa procesu w poszczególych saach, Λ - macerz esywośc prześć, m card S lczość zboru S (lczba saów procesu). Macerz esywośc prześć es macerzą kwadraową. Nos oa azwę macerzy guas sochasycze. Dla e każde kolumy es spełoa zależość: λ (.57) S Układ rówań Kołmogorowa ma rozwązae posac P P() exp( Λ (.58) gdze P() es wekorem kolumowym prawdopodobeńsw począkowych saów procesu, a exp( Λ + Λ + Λ +... Jeśl oblczee warośc powyższego rozwęca macerzowego es złożoe moża posłużyć sę przekszałceem Laplace a. Wyścowe rówae macerzowe przymue posać sp(s) - P() ΛP(s) (.59) lub P(s) [s - Λ - P() (.6) gdze: - macerz edykowa o wymarach m m. Poszukway wekor prawdopodobeńsw oblcza sę za pomocą odwroego przekszałcea Laplace a. P( L - [s - Λ - P() (.6) gdze: L - - operaor przekszałcea odwroego. W welu zasosowaach prakyczych maą zaczee ylko warośc asympoycze prawdopodobeńsw,. warośc P( przy. Jeśl przyąć, że warośc e w ogóle seą (proces es ergodyczy) o rówaa różczkowe przekszałcaą sę w rówaa algebracze. Zaem dla procesów o skończoe lczbe saów ezerowe macerzy esywośc prześć seą gracze (sacoare) prawdopodobeńswa saów mogą być oe oblczoe ako rozwązaa układu rówań lowych: ΠΛ (.6) gdze: Π - wekor kolumowy graczych (sacoarych) prawdopodobeńsw saów procesu. Dla wykluczea eozaczośc układu ależy wząć pod uwagę m - rówań uzupełć e rówaem: 8

9 m II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) P (.63) Na podsawe grafu saów prześć worzy sę układ rówań różczkowych korzysaąc z asępuące reguły memoechcze: dp pochoda ( ) dla sau es rówa sume algebracze człoów worzoych przez d loczy prawdopodobeńswa ego sau, z kórego gałąź (łuk) wychodz oraz esywośc prześca odpowadaące dae gałęz. Lczba człoów sumy es rówa lczbe gałęz skerowaych łączących sa z ym węzłam grafu. Jeżel gałąź (łuk) es skerowaa do sau o czło ma zak plus, zaś w przypadku odwroym zak mus. Zasosowae reguły alepe zlusrue przykład. Nech S {,, 3, 4} a graf saów prześć przedsawa rys..9. λ 4 λ 4 4 λ 34 λ 4 λ λ 43 λ 4 3 λ 3 Rys..9. Graf saów prześć obeku 4-saowego Układ rówań Kołmogorowa przyme wówczas posać: dp λ 4P + λp + λ4p4 ( ) d dp ( λ + λ4 ) P + λ3p3 + λ4p4 d dp 3 ( λ 34 + λ3 ) P3 + λ43p4 ( ) d dp4 λ 4P + λ4p + λ34p3 ( λ4 + λ4 + λ43 ) P4 d zaś zaps macerzowy es asępuący: d P ΛP( d P λ4 λ λ 4 P ( λ + λ 4 ) λ 3 λ 4 P( ), Λ P ( ) ( λ + λ ) λ P4 λ4 λ 4 λ 34 ( λ 4 + λ 4 + λ 43 ) Coraz szersze zasosowae w badaach ezawodośc zaduą procesy półmarkowske (sem Markowa). Saową oe uogólee łańcuchów edorodych procesów Markowa. W procesach półmarkowskch e es wymagae założee co do posac rozkładów prawdopodobeńsw czasów przebywaa w poszczególych saach. Jeżel założyć, że w daym momece czasu proces zadował sę w edym ze saów, p. S, o dalsza ewoluca procesu es 9

10 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) asępuąca: w losowe chwl Θ układ przechodz skokowo do owego sau, p. S. Czas Θ przebywaa w sae S do prześca w sa S es zmeą losową o dowolym rozkładze opsaym przez dysrybuaę G (; prześce ze sau do sau zachodz z prawdopodobeńswem p > (przy czym p ), eżel ze sau asąp prześce do sau k o czas przebywaa w sae, Θ es zmeą losową o dowolym rozkładze opsaym dysrybuaą G k (, d. Prześce ze sau do sau w procese sem Markowa asępue zaem akby w dwóch eapach: w perwszym zosae określoy losowy mome prześca a w drugm skokowe prześce z edego sau w drug (ak w łańcuchu Markowa). Prawdopodobeńswo prześca ze sau S do sau S ( ) w przedzale es dla procesu sem Markowa określoe zależoścą: p (, + F ( + Π (.64) gdze: F P{Θ < }- dysrybuaa czasu przebywaa procesu w sae S pod warukem, że asępym saem będze S, Π - warukowe prawdopodobeńswo prześca skokowego do sau S przy wyścu procesu ze sau S. Sosuąc zaps macerzowy moża określć proces półmarkowsk za pomocą: macerzy sochasycze prawdopodobeńsw prześć: Π [Π (.65), S macerzy dysrybua warukowych F( F [ F (.66), S wekora prawdopodobeńsw począkowych P(). Macerz Π es azywaa macerzą wewęrzego łańcucha Markowa. Jeśl wszyske dysrybuay warukowe maą posać F (x) dla x < oraz F (x) dla x > o proces sae sę łańcuchem Markowa. Jeżel zaś wszyske dysrybuay warukowe maą posać wykładczą F ( - exp(-λ o proces sae sę edorodym łańcuchem Markowa. Poęcem, a kóre dość częso apoyka sę w eor ezawodośc es poęce srumea zdarzeń. Srumeń zdarzeń es szczególym pukowym procesem losowym {N(}, T}, kórego przesrzeń saów saow zbór lczb auralych lczba zero. Jes o określoy przez chwle, w kórych obserwue sę zdarzea, lczby wspóle poawaących sę zdarzeń. Zdarzea worzące srumeń zdarzeń mogą być, w ogólym przypadku, róże. Naczęśce edak rozparue sę srumee edorodych zdarzeń. W eor ezawodośc rozparue sę zaem srumee esprawośc srumee odów. Srukury ezawodoścowe sysemów Jeżel ezawodość elemeów wyzacza edozacze ezawodość sysemu, moża mówć, że określoa es srukura ezawodoścowa sysemu. Srukura ezawodoścowa sysemu przedsawa zaem sposób wzaemych powązań elemeów określaących zależość uszkodzeń sysemu od uszkodzeń ego elemeów. Srukurę ezawodoścową daego sysemu (obeku złożoego) opsue sę zw. fukcą srukuralą sysemu. W odeseu do sysemów dwusaowych w sese ezawodośc, składaących sę z elemeów, fukcę srukuralą określa sę ako fukcę Φ [ X wekora zeroedykowego X( sau sysemu przy założeu, że sa sysemu es w peł określoy przez say ego elemeów x (,.: Φ X Φ x x,, x (.73) [ ( ) [ ( ), ( ) K ( ) gdze: [ x,,,..., - fukca bara określaąca sa -ego elemeu; przymue warość l, gdy eleme es zday, oraz, gdy eleme es ezday. Φ X przymue warość l, gdy sysem es zday, gdy sysem es ezday. Z kole fukca [ ( )

11 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) Srukury ezawodoścowe spoykae w prakyce moża podzelć a: a) podsawowe,. szeregowe, rówoległe progowe; szeregowe Mówmy, że sysem ma szeregową srukurę ezawodoścową, eżel esprawość dowolego elemeu powodue esprawość całego sysemu. Z defc srukury szeregowe wyka, że obek es sprawy wedy ylko wedy, kedy wszyske ego elemey są sprawe. Rys... Szeregowa srukura ezawodoścowa Jeżel uszkodzea poszczególych elemeów sysemu są zdarzeam ezależym, o prawdopodobeńswo, że wszyske elemey będą euszkodzoe (czyl, że sysem es zday) fukca ezawodośc sysemu, es rówe loczyow współczyków (prawdopodobeńsw) zdaośc wszyskch elemeów: Rs P( T P( T, T,..., T (.74) P( T P( T...P( T R F [ gdze: R ( fukca ezawodośc -ego elemeu sysemu, F ( dysrybuaa czasu poprawe pracy (T ) -ego elemeu. Z kole, dysrybuaa czasu poprawe pracy (fukca zawodośc) sysemu o szeregowe srukurze ezawodoścowe) - współczyk zawodośc es określoa wzorem: s s s [ F Q F P( T < R R (.75) Z zależośc (.74) oraz (.6) wyka, że: exp Λ s ( τ )dτ exp λ ( τ )dτ (.76) gdze: Λ s ( fukca esywośc uszkodzeń sysemu, λ ( fukca esywośc uszkodzeń -ego elemeu sysemu. I dale, że: + λ λ Λ λ λ (.77) s co ozacza, że esywość uszkodzeń o srukurze szeregowe es rówa sume esywośc uszkodzeń wszyskch elemeów sysemu. rówoległe progowe W przypadku srukury rówoległe w sese ezawodośc cały obek es zday, gdy przyame ede ego eleme es zday. Naomas w wypadku srukury progowe obek es zday, eżel przyame klka ego elemeów es zdaych. Sysem ma rówoległą srukurę ezawodoścową, eżel zdaość dowolego elemeu ego sysemu powodue zdaość całego sysemu. Z rówoległą srukurą połączea elemeów w syseme mamy do czyea wedy, gdy wszyske elemey wykouą o samo zadae. Z defc srukury rówoległe wyka, że sysem es sprawy wedy ylko wedy, kedy co ame ede z ego elemeów es sprawy. W syseme o rówoległe srukurze ezawodoścowe dla prawdłowe pracy ego sysemu wymagae es prawdłowe dzałae ylko edego elemeu. Zaem zależośc a R s Q s będą asępuące (dla elemeów ezależych):

12 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) Rs F Qs Fs F Q Q Q s (.78) a) b) k- k k+ Rys... Rówoległa srukura ezawodoścowa (a) progowa srukura ezawodoścowa (b) Sysem ma progową srukurę ezawodoścową ozaczoą ako k z, eżel w celu zapewea ego zdaośc mus być zdaych co ame k spośród ego elemeów. W przypadku, gdy w elemeowym syseme o srukurze progowe wysępuą elemey o różych charakerysykach ezawodoścowych rudo es przedsawć edozacze prose formuły a R s Q s sysemu. Ogóla zależość a prawdopodobeńswo poprawe pracy sysemu o srukurze progowe, przy założeu że czasy poprawe pracy ego elemeów są ezależym zmeym losowym, es asępuąca: s m m R P( T R P ( T (.79) gdze: R ( prawdopodobeńswo poprawe pracy odesoe do -e kombac zdaych elemeów daące zdaość sysemu, m lczba kombac zdaych elemeów daących zdaość sysemu (lczba saów zdaośc sysemu). Prawdopodobeńswo poprawe pracy dowole -e kombac zdaych elemeów daące zdaość sysemu moża wyzaczyć ako: R e ( e ) [ R [ R (.8) gdze: e wskaźk przymuący warość, gdy eleme wysępuący w -e kombac elemeów es zday lub, gdy es ezday. W przypadku gdy wszyske elemey sysemu o srukurze progowe maą deycze charakerysyk ezawodoścowe, R (, o wykorzysuąc wzór dwumaowy Beroullego uzyskue sę asępuące zależośc:

13 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) Rs [ [ k (.8) Q [ [ s Rs k gdze: k mmala wymagaa lczba zdaych elemeów sysemu,! - lczba kombac po elemeów.!( )! b) Srukury meszae orzymae przez szeregowe, rówoległe lub progowe połączee podsysemów o srukurach podsawowych. Naczęśce spoykaym srukuram meszaym są: srukura rówoległo-szeregowa (rys..) srukura szeregowo-rówoległa (rys..3). Dysrybuaa czasu poprawe pracy sysemu o rówoległo-szeregowe srukurze ezawodoścowe ma posać: k u Qs Fs Ru, (.8) u gdze: R u, ( fukca ezawodośc -ego elemeu w u-ym podsyseme szeregowym, k lczba podsysemów szeregowych, u lczba elemeów w u-ym podsyseme szeregowym. k Rys... Rówoległo szeregowa srukura ezawodoścowa k Rys..3. Szeregowo rówoległa srukura ezawodoścowa Dla sysemu o szeregowo-rówoległe srukurze ezawodoścowe zachodz zależość: k r Rs Fr, (.83) r gdze: F r, ( dysrybuaa czasu poprawe pracy -ego elemeu w r-ym podsyseme rówoległym, k lczba podsysemów rówoległych, r lczba elemeów w r-ym podsyseme rówoległym. c) Srukury złożoe, kórych e moża uworzyć przez szeregowe, rówoległe lub progowe połączee schemaów srukur podsawowych, p. srukura moskowa. Róże srukury ezawodoścowe sysemu, o e same lczbe deyczych, ezależych elemeów, skukuą różym pozomem ezawodośc sysemu. Wykorzysae lczb rozmyych w modelach ezawodośc elemeów sysemów W przypadku zboru zwykłego A eleme x albo do ego ależy (fukca charakerysycza µ A (x) rówa ), albo e ależy (µ A (x) ). W sysemach rozmyych eleme może ależeć do 3

14 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) zboru częścowo. Sopeń przyależośc do zboru rozmyego A ~, będący uogóleem fukc charakerysycze, es azyway fukcą przyależośc, przy czym µ ( x ) [,. Warośc fukc przyależośc są lczbam rzeczywsym z przedzału [, oszą azwę sopa przyależośc. Zwykły zbór A zaweraący wszyske elemey przesrze U, kóre maą sopeń przyależośc do A ~ wększy lub rówy es -przekroem (zbór a pozome ) rozmyego zboru A ~ : A {x U µ ~ A (x), [, } (.84) Na zborach rozmyych moża zdefować szereg operac maemayczych, będących uogóleem operac obowązuących dla zborów erozmyych. Zbory rozmye zdefowae w zborze R, czyl a os lczb rzeczywsych, azywa sę lczbam rozmyym. Nech (*) będze operacą maemayczą a lczbach rozmyych: dodawae (+), odemowae (-), możee ( ), dzelee (/). Wykorzysuąc zasadę rozszerzaa, A ~ (*) B ~ moża orzymać asępuąco: µ ~ ( ) sup m{ ~ ( ), ~ ( )} ~ z µ x µ y (.85) A B A B ( ) z x y Wykorzysuąc defcę -przekrou sosuąc zaps A [ a, a do reprezeac zamkęego przedzału A ~ a pozome, zależość (.85) sae sę: ( A( ) B) A ( ) B, [, (.86) Prawa sroa rówaa (.86) ozacza operacę arymeyczą a -przekroach A ~ B ~ wykorzysuącą arymeykę przedzałów: A ( + ) B [a + b, a + b, A ( ) B [a b, a b, A ( ) B A (/) B [m(a [m(a b / b ), ), max(a max(a b / b ), ); B A ~ (.87) gdze,,. Łączkem mędzy formacą dokładą (zbór erozmyy) a rozmyą (zbór rozmyy) są procedury fuzyfkac (fuzyfkaor, układ rozmywaa), pozwalaace a przekszałcee erozmyego zboru daych weścowych w zbór rozmyy, zdefoway za pomocą warośc fukc przyależośc; oraz procedury defuzyfkac (defuzyfkaor, układ wyosrzaa), o dzałau odwroym. Maem - rozmya ezawodość (fuzzy relably - FR) określoo aalzy ezawodoścowe w przypadku, gdy przyame eda welkość ze zboru daych es opsaa modelem rozmyym. Jeśl es o ylko rozmyy ops zaporzebowaa (obcążea) (a deermsyczy a probablsyczy), o mamy do czyea z rozmyą ezawodoścą rodzau I (FR I). Przy FR rodzau II mamy do czyea z rozmyym waroścam wskaźków ezawodoścowych elemeów, zamas dokładych. Możemy róweż mówć o FR rodzau III, w przypadku model kóre zamuą sę ezawodoścą rozmyą w środowsku decyzyym,. gdy rozmye welkośc (w ym ezawodoścowe) muszą być porówywae ażeby wycągąć akeś wosk lub podąć decyze. Jeśl daa es epewa krzywa obcążea Z f(τ), o rozmya krzywa obcążea a pozome może być zdefowaa ako: + Z ( ) f ( τ);( ) f ( τ) (.88) [ + - z będącym ezupełe mooocze maleącym fukcam ; możemy róweż orzymać rozmyy ops czasu względego τ poprzez f - (rys..5). Taka reprezeaca lczb rozmyych (FN) zwaa es przedzałem ufośc (oparym a [, ). 4

15 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) Przykład.4: Dae ezawodoścowe dla elemeów o aczęśce częsość MW (esywość) zakłóceń λ śred czas Z aprawy r. Zamas warośc λ rówe osre lczbe p., zakłóceń a rok, mamy ops rozmyy, ak ak: alepsze oszacowae, z przedzałem ufośc [,8;, zakłóceń a rok. Sąd λ [, (,( - )),, + (,( - )) będze reprezeowało rókąą rozmyą + częsość zakłóceń, z λ [ λ, λ będącym przedzałem ufośc a Dysrybuaa obcążea uporządkowaego τ pozome [,. Rozważmy dla przykładu rozmyą fukcę ezawodośc elemeu o wykładczym rozkładze czasu pracy Rys..5. Rozmyy ops uporządkowae krzywe obcążea bezawarye. Dla każdego ograczea dla λ określaą: + + -λ -λ R R e ; R e Dla każdego mamy węc przedzał ufośc ograczoy przez ższe warośc fukc + bezawarye pracy R wyższe warośc fukc R. Defue o rozmyą fukcę ezawodośc R (, ak ak o pokazao a rys..6. Fukca ezawodośc,9,8,7,6 R,5,4 + R,3,, Czas, laa Rys..6. Rozmya fukca ezawodośc elemeu lusraca e fukc przyależośc dla usaloego Ogóle zasady budowy modelu ezawodoścowego Rodza srukury ezawodoścowe sysemu (obeku złożoego) zależy od: a) srukury fukcoale obeku, z. od sposobu kosrukcyego połączea elemeów od wzaemego oddzaływaa ych elemeów a sebe; b) zadaa, ake ma day obek wykoać. W zwązku z powyższym podsawą worzea srukur ezawodoścowych są odpowede schemay echologcze obeków złożoych. Ze względu a specyfkę problemu oraz różce w rozwązaach proekowych różych obeków ależy określać srukurę ezawodoścową dywduale dla każdego aalzowaego obeku. Srukurę ezawodoścową aalzowaego obeku moża przedsawć mędzy ym w posac sabelaryzowae lub aalycze, p. przez fukcę srukuralą sysemu. Jedak aprosszym abardze obrazowym sposobem przedsawea srukury ezawodoścowe 5

16 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) obeku es sposób grafczy. W ym wypadku srukura ezawodoścowa es pokazaa ako graf lub eż ako schema blokowy ezawodośc lub po prosu schema ezawodoścowy obeku. Ze względu a specyfkę problemu oraz różce w rozwązaach proekowych różych sysemów (p. zaslaa obeków) ależy określać srukurę ezawodoścową dywduale dla każdego aalzowaego sysemu. Tworzee schemau ezawodoścowego powo zawerać: aalzę schemau opologczego fukcoowaa sysemu; wyróżee w syseme elemeów, kórych ezawodość ma wpływ a ezawodość sysemu; odwzorowae wyróżoych elemeów w posac bloków; grafcze odwzorowae zależośc mędzy saam ezawodoścowym elemeów, a saem ezawodoścowym sysemu. W celu uławea grafczego odwzorowaa srukury ezawodoścowe sysemu moża wykorzysać asępuące wskazówk: ) elemey epowarzale przedsawa sę w posac oddzelych różych bloków, ) elemey powarzale przedsawa sę w posac edego ypu bloku; 3) eżel esprawość daego elemeu powodue ezdaość całego sysemu, o eleme e wchodz w skład podsysemu o szeregowe srukurze ezawodoścowe; 4) eżel esprawość sysemu es spowodowaa edoczesą ezdaoścą klku elemeów, o elemey e wchodzą w skład podsysemu o rówoległe srukurze ezawodoścowe. Wyróżea elemeów w badaym syseme dokoue sę w procese dekompozyc. Dekompozyca sysemu polega a sopowym podzale obeku a mesze częśc (podsysemy), kóre z kole dzel sę a podsysemy prossze. Na daym sopu podzału wyróżoe podsysemy rakue sę ako epodzele elemey. Podzał es wykoyway ze względu a fukce (wg kryerów echologczych), ake peł day podsysem podczas realzac zadaa obeku. Dekompozyc dokoue sę do akego sopa szczegółowośc, ak arzuca cel zakres ocey ezawodośc aalzowaego sysemu. Ozacza o, ż z puku wdzea porzeb ocey ezawodośc dalszy podzał a elemey e es celowy. W ekórych wypadkach srukura fukcoala obeku złożoego odpowada wpros ego srukurze ezawodoścowe. W wększośc wypadków edak ak e es. Zwązae es o z wpływem posawoego zadaa, kóre ma wykoać obek, a ego srukurę ezawodoścową. Model procesu eksploaac sysemu ako podsawa modelu ezawodoścowego Obeky elekroeergeycze ypu układy (sysemy) są rozparywae ako sysemy, w kórych wyodręba sę zbory urządzeń oraz relac opologczych eksploaacyych mędzy m. Relace eksploaacye są określoe ako oddzaływaa saów eksploaacyych edego urządzea a say ych urządzeń. Relace opologcze mędzy urządzeam rzeczywsym są określoe ako bezpośrede połączea geomerycze (elekrycze) elemeów. Układ (sysem) będzemy węc dale rozumeć ako zbór elemeów oblczeowych (dale elemeów) oraz relac eksploaacyych mędzy m. Proces eksploaac sysemu zaś będze opsay przez zbór saów ego eksploaac oraz relac eksploaacyych mędzy m. Zależy o od procesów eksploaacyych elemeów składowych oraz relac eksploaacyych mędzy elemeam. Należy u rozróżć relace eksploaacye mędzy saam określoe ako bezpośrede prześce mędzy dwoma saam eksploaacyym oraz relace eksploaacye mędzy elemeam, określoe ako oddzaływae saów edego elemeu a say ych. Zbory relac eksploaacyych mędzy elemeam w syseme mogą być określoe przez uogóloe poęca kofgurac lub srukury. Kofguracę relac w syseme saow kokrey zbór relac eksploaacyych e zmeaących sę w rozparywaym okrese czasu. 6

17 II. Nezawodość elemeów sysemów (J. Paska) Srukurę relac w syseme saow uogóloy (zagregoway) uporządkoway zbór relac. Srukura relac zawera zbory wszyskch możlwych kofgurac. Welorakość kofgurac es cechą obeków złożoych (sysemów). Współzależość saów eksploaac elemeów wyka ze współzależośc ch odpowedków fzyczych, relac opologczych mędzy elemeam, wyposażea układu w urządzea komuacye, SPZ, SZR oraz przyęe sraeg remoowe. Say eksploaacye sysemu orzymue sę przez agregacę możlwych saów elemeów. Określa o operaor przekszałcaący przesrzeń saów elemeów w say podsawowe sysemu: HS : SEM SU (.9) gdze: SEM zbór możlwych saów elemeów, SU zbór saów sysemu (układu), HS operaor przekszałcaący, określoy przez pozom oddzaływaa elemeu a welkośc charakeryzuące sysem (moc geerowaa przez elekrowę, moc przesyłaa za pośredcwem układu secowego p.). SEM S S K S K S (.93) gdze: S zbór saów ego elemeu, lczba elemeów w syseme. Model procesu eksploaac sysemu, rakowaego ako zbór elemeów, es określoy przez zbór procesów eksploaacyych {P f (} elemeów ze zboru U oraz zbór relac eksploaacyych EU mędzy elemeam: U { U,, } (.94) EU : SEM SEM (.95) Proces eksploaac sysemu moża zlusrować za pomocą poższego cągu kołowego: U, SEM R (3k+) EU RU U (3k+3), SEM (3k+3) U (3k+), SEM (3k+) U (3k+), SEM (3k+) EU k,,, 3 W chwl ależy zać zbór elemeów U oraz zbory ch saów eksploaacyych SEM. Dla elemeów z U określa sę za pomocą EU kofguracę relac eksploaacyych mędzy elemeam. W wyku orzymue sę zbory U (3k+) oraz SEM (3k+). Naczęśce różą sę oe od zborów określoych w momece (p. say awar elemeów do remoów awaryych). RU określa odwzorowae remoowe (saowące podzbór EU), kóre przy sraeg remoów proflakyczych R (3k+) powodue prześce do podzborów U (3k+) oraz SEM (3k+). Odwzorowae EU przekszałca e zbory w zbory U (3k+3) oraz SEM (3k+3). Dale proces powarza sę przy zmeym k. Każdy eleme ze zboru U, w dae chwl, może zadować sę w edym ze saów ależących do zboru S. Część ze saów eksploaacyych elemeu może oddzaływać a say pozosałych elemeów. Ozaczaąc przez relacę eksploaacyą -ego sau -ego elemeu oddzaływuącego a say k-ego elemeu, orzymue sę: k k eu ( ) : S S (.96) Zaem odwzorowae EU es zborem fukc eksploaacyych: k EU { eu ( ) } (.97), k k, SEM Sraega remoów proflakyczych R (3k+) es określoa przez rodza remoów plaowych oraz momey rozpoczęca zakończea każdego remou plaowego dla elemeów. Rodza remoów wyka z usaleń prakyk eksploaacye. Ogóle mogą o być remoy kapale beżące. Momey rozpoczęca zakończea remoów zaś mogą być losowe albo zdeermowae (losowa bądź deermsycza sraega remoowa). 7