[ ] WSPÓŁCZYNNIK EKSCESU WEKTORA LOSOWEGO. Wprowadzenie. Katarzyna Budny =, (1)

Transkrypt

1 Katarzya Budy Uwersytet Ekoomczy w Krakowe WSPÓŁCZYNNIK EKSCESU WEKTORA LOSOWEGO Wprowadzee Jedą z podstawowych mar spłaszczea czy też kocetrac rozkładu zmee losowe edowymarowe wokół średe est kurtoza Defca Kurtoza to loraz czwartego mometu cetralego rozważae zmee losowe oraz kwadratu e warac: μ β =, () [ ] gdze μ = E ( E( ) ) Welkość ta est róweż rozpatrywaa ako mara grubośc ogoów rozkładu prawdopodobeństwa Kurtozą czasem określa sę stosuek mometu cetralego czwartego rzędu kwadratu warac pomeszoy o lczbę 3, czyl o kurtozę zmee losowe o rozkładze ormalym (por Jakubowsk, Sztecel, 00) Dla tak zdefowaego parametru przymue sę także azwę współczyk ekscesu (eksces) zmee losowe Defca (por Cramer, 958) Współczyk ekscesu (eksces) rozkładu edowymarowe zmee losowe to welkość wyrażoa ako: γ = β 3 () Charakterystyka ta dla rozkładu ormalego est rówa zero Współczyk ekscesu est węc marą spłaszczea rozkładu zmee losowe czy też grubośc ego ogoów w porówau z rozkładem ormalym o te same wartośc oczekwae warac W opracowau zostae zapropoowae uogólee poęca ekscesu a przypadek welowymarowy Wykażemy, że charakterystyka ta posada stote, pożądae własośc, aalogcze do własośc współczyka ekscesu zmee losowe edowymarowe

2 Współczyk ekscesu wektora losowego 9 Kurtoza wektora losowego Przypommy podstawowe defce twerdzea zwązae z poęcem kurtozy wektora losowego (Budy, 009; Budy, Tatar, 009) Dzęk emu w dalsze częśc pracy zostae sformułowaa defca współczyka ekscesu wektora losowego W lteraturze przedmotu moża spotkać klka sposobów uogólea kurtozy a przypadek welowymarowy (mędzy ym Marda, 970; Srvastava, 98) W tym opracowau będze rozważae uogólee skostruowae poprzez bezpośredą aalogę do postac kurtozy edowymarowe zmee losowe () Defca ta opera sę a poęcu potęg wektora zapropoowaemu przez J Tatara (mędzy ym 996; 999) Defca 3 Dla dowolego v R oraz dowole lczby k N o = N {} 0 k-tą potęgę wektora v defuemy w astępuący sposób: k v o v v, dla k eparzystych k = R oraz v = k v, v, dla k parzystych Ograczoo sę do przestrze wektorowe ( R, R,+, ) klasyczy (eukldesowy) loczy skalary w postac: = gdze v = v, v,, v ), w = ( w, w,, w ) R (, w które określoo v, w : = v w, (3) Przy wykorzystau poęca potęg wektora aalogcze do przypadku edowymarowego zostały zdefowae mędzy ym momety cetrale wektora losowego Defca (Tatar, 996; 999) Momet cetraly rzędu r wektora losowego : Ω R (o le stee) to welkość wyrażoa przez: r, r [ ] ( ) = E ( E ) μ W szczególośc momet cetraly rzędu drugego został określoy ako waraca wektora losowego Defca 5 (Tatar, 996; 999) Waracą wektora losowego azywamy parametr: [ ] ( ) = E ( E ) D, = μ : Ω R

3 30 Katarzya Budy Zauważmy, że przy loczye skalarym (3) waraca wektora losowego = (,, Ω R przymue postać: D = = D Welkość ta w lteraturze est także określaa ako waraca całkowta wektora losowego (por Blodeau, Breer, 999) Za pomocą mometów cetralych wektora losowego defuemy ego kurtozę Załóżmy wobec tego, że dla wektora losowego : Ω R stee μ momet cetraly rzędu czwartego, t ( ) Defca 6 (Budy, 009; Budy, Tatar, 009) Kurtoza wektora losowego to welkość wyrażoa ako:, μ ( ) ( μ ( )) [( E ) ] E β, ( ) = Kurt = = ( D ) Zwróćmy uwagę, że dla = defca 6 est tożsama z defcą W pracy Budy (w druku) wykazao, że kurtoza wektora losowego speła pożądae własośc ezmeczośc względem skal względem traslac Poadto w opracowau tym także ustaloo dole ograczee dla wartośc kurtozy (aalogcze do przypadku edowymarowego) Własośc te przedstawaą poższe twerdzea Twerdzee (Budy, w druku) Dla dowole lczby rzeczywste a R \ {} 0 oraz dowolego wektora b R prawdzwa est rówość: ( a b) Kurt Kurt + = Twerdzee (Budy, w druku) Nech R : Ω będze wektorem loso- β, wym, dla którego stee kurtoza β ( )Wówczas ( ), W przypadku wektora losowego o welowymarowym rozkładze ormalym zostało także ustaloe ograczee góre Twerdzee 3 (Budy, 0) Dla kurtozy wektora losowego o welowymarowym rozkładze ormalym prawdzwe są astępuące oszacowaa: ( ) 3 β,

4 Współczyk ekscesu wektora losowego 3 Kolee twerdzea przedstawaą postac kurtozy dla wybraych typów rozkładów (Budy, Tatar, 009) W twerdzeu rozważa sę wektor losowy o stochastycze ezależych współrzędych, z ormalym rozkładam brzegowym W twerdzeu 5 atomast, przy zachowau ezależośc współrzędych, rozkłady brzegowe to rozkłady t-studeta Twerdzee (Budy, Tatar, 009) Nech = (,, Ω R będze wektorem losowym spełaącym waruk: N,,,, ~ m dla wszystkch { } ( ) oraz: zmee losowe Wtedy:,, są stochastycze ezależe Kurt = = +, = Zauważmy, że eśl dodatkowo = = = =, to: () Kurt = + (5) Twerdzee 5 (Budy, Tatar, 009) Rozważmy teraz wektor losowy = (,, Ω R, dla którego: ~ t ν (tz ma rozkład t-studeta z ν stopam swobody), gdze > ν, dla wszystkch {,,,} oraz: zmee losowe Wówczas:,, są stochastycze ezależe Kurt = + = 6 ν + ν ν ν ν ν ν, = Przy założeu ν = ν = = v = ν otrzymuemy postać: > (6)

5 3 Katarzya Budy 6 + Kurt = + ν (7) Uogólee powyższych wyków moża zaleźć w pracy Budy (009), w które została przedstawoa postać kurtozy wektora losowego o ezależych współrzędych Twerdzee 6 (Budy, 009) Jeżel = (,, Ω R est wektorem losowym o stochastycze ezależych współrzędych, to: ( + Excess )( D ) ( Kurt )( D ) Kurt (8) D D = = = + = + D D, =, = Zależość (8) ustala zwązek mędzy kurtozą wektora losowego o stochastycze ezależych współrzędych kurtozam ego współrzędych, czy też rówoważe brzegowym współczykam ekscesu Jako ostate twerdzee tego rozdzału przypommy, bardzo stote dla dalszych rozważań, twerdzee o postac kurtozy dla welowymarowego rozkładu ormalego Twerdzee 7 (Budy, 0) Kurtoza wektora losowego : Ω R o welowymarowym rozkładze ormalym z wektorem wartośc oczekwaych m oraz macerzą warac-kowarac: wyraża sę formułą: Σ = ρ = + Kurt = +, = ρ, = ρ (9)

6 Współczyk ekscesu wektora losowego 33 Współczyk ekscesu (eksces) wektora losowego Operaąc sę a defcach twerdzeach zebraych w poprzedm rozdzale, przedzemy teraz do sformułowaa defc współczyka ekscesu wektora losowego oraz przeprowadzmy aalzę ego podstawowych własośc Nech zatem = (,, Ω R będze wektorom losowym, dla którego stee kurtoza (w rozumeu defc 6) Defca 7 Współczyk ekscesu (eksces) wektora losowego = (,, Ω R określamy w astępuący sposób: γ, ( ) = Ekscess = Kurt + ( D ) + =, = D D, = ρ D D (0) Zauważmy, że dzęk postac (9) kurtozy welowymarowego rozkładu ormalego uzyskuemy dwe stote własośc ekscesu wektora losowego spełoe także w przypadku edowymarowym Własośc te sformułuemy w postac poższych uwag Uwaga Współczyk ekscesu wektora losowego Ekscess przedstawć w postac: ( ) = Ekscess = Kurt N Ω R : moża γ, Kurt, () gdze N : Ω R est wektorem losowym o welowymarowym rozkładze ormalym, z tym samym wektorem wartośc oczekwaych macerzą warac-kowarac, co wektor losowy Uwaga Jeżel : Ω R est wektorem losowym o welowymarowym rozkładze ormalym, to: Ekscess = 0 Ze względu a fakt ezmeczośc kurtozy względem skal względem traslac (twerdzee) oraz postać (), otrzymuemy, emal atychmast, te same własośc ezmeczośc dla współczyka ekscesu wektora losowego

7 3 Katarzya Budy Twerdzee 8 Dla każde lczby rzeczywste R \ { 0} a oraz każdego wektora b R zachodz rówość: ( a b) Ekscess Ekscess + = Twerdzea oraz 3 pozwalaą atomast a ustalee ograczea dolego dla wartośc ekscesu wektora losowego Ograczee to est take samo, ak w przypadku edowymarowym Twerdzee 9 Nech zatem : Ω R będze wektorem losowym, dla któ- γ Wówczas: rego stee współczyk ekscesu ( ), ( ) γ, Uwaga 3 Ograczee dole dla ekscesu wektora losowego est realzowae przez rozkład wektora losowego będącego zestaweem tych samych zmeych losowych o rozkładze dwupuktowym (zero-edykowym z p = ) Dowód: Istote, dla rozważaego wektora losowego = (,, ) = ( ξ,, ξ Ω R do postac kurtozy prowadzą poższe przekształcea: β E [( E ) ( E ) ] ( D ) [( ξ Eξ ) ], = E, ( ) = = = ( D ξ ) Kurtξ () Kurtoza zmee losowe ξ : Ω R o rozkładze zero-edykowym ma postać: ( 3p 3p + ) Kurtξ = (3) p ( p) Dla p = otrzymuemy węc Kurt ξ = = wobec () β, = Zauważmy poadto, że macerz warac-kowarac wektora losowego est macerzą w postac:

8 Współczyk ekscesu wektora losowego 35 p Σ = p ( p) p( p) ( p) p( p) Kurtoza wektora losowego N = Ω R o welowymarowym rozkładze ormalym z tą samą macerzą kowarac wyos 3 Ostatecze węc: Ekscess = β, KurtN = 3 = Uwaga Ne ma górego ograczea dla wartośc współczyka ekscesu wektora losowego Dowód Rozważmy wektor losowy będący zestaweem tych samych zmeych losowych o rozkładze dwupuktowym (zero-edykowym) z prawdopodobeństwem sukcesu p Z postac ( 3 ) wyka, że eżel p 0 lub p, + to γ = β 3 +,, Na koec wyzaczymy postać ekscesu wektora losowego o stochastycze ezależych współrzędych Twerdzee 0 Nech = (,, Ω R będze wektorem losowym o stochastycze ezależych współrzędych Wówczas: γ, ( ) = = =, = ( D ) Excess Ekscess () D D Dowód: Z postac (8) oraz () w emal oczywsty sposób wyka teza Zauważmy, że () ustala zwązek ekscesu wektora losowego ze współczykam ekscesu ego współrzędych Wosek Dla wektora losowego = (,, Ω R spełaącego założea twerdzea 5 współczyk ekscesu γ, przymue postać:

9 36 Katarzya Budy γ ( ) = Ekscess, = =, = 6 ν ν ν (5) ν ν ν ν Poadto przy założeu ν = ν = = v = ν otrzymuemy: > 6 γ, ( ) = ν (6) Przykład Rozważmy dwa wektory losowe dwuwymarowe (por Budy, 0 wektor T : Ω R o stochastycze ezależych współrzędych, z brzegowym rozkładam t-studeta o ν > stopach swobody oraz wektor N : Ω R o dwuwymarowym rozkładze ormalym z tą samą ν macerzą warac-kowarac, co wektor losowy T, czyl I ν Współczyk ekscesu dla tych wektorów spełaą zależość: 6 Ekscess T = ν > 0 = EkscessN Ozacza to, że rozkład wektora T charakteryzue sę meszym spłaszczeem grubszym ogoam w porówau z dwuwymarowym rozkładem ormalym o te same macerzy warac-kowarac, czyl w porówau z rozkładem wektora losowego N Własość ta dla ν = 6 została zlustrowaa a rysuku, a którym przedstawoo fukce gęstośc rozkładu prawdopodobeństwa wektora losowego T (kolor szary) oraz wektora N (kolor czary)

10 Współczyk ekscesu wektora losowego 37 Rys Fukce gęstośc rozkładu prawdopodobeństwa wektora losowego T oraz wektora N Podsumowae Eksces wektora losowego wpsue sę w zestaw charakterystyk zwązaych z rozproszeem rozkładu welowymarowego wokół wektora wartośc oczekwaych Za pomocą współczyka ekscesu est możlwe porówae rozkładu wektora losowego z welowymarowym rozkładem ormalym o detycze macerzy kowarac Do dalszego opracowaa pozostawa sę problem estymac Skostruowae odpowedego estymatora otworzy możlwośc zastosowań rozważae charakterystyk do aalzy daych welowymarowych Lteratura Blodeau M, Breer D (999 Theory of Multvarate Statstcs Sprger Verlag, New York Budy K (009 Kurtoza wektora losowego,,prace Naukowe Uwersytetu Ekoomczego we Wrocławu, r 78, sera: Ekoometra r 6 Budy K, Tatar J (009 Kurtoss of a Radom Vector Specal Types of Dstrbutos Statstcs Trasto, Vol 0, No 3 Budy K (0 Kurtoza wektora losowego o welowymarowym rozkładze ormalym W: Zastosowae metod loścowych w fasach ubezpeczeach Red S Forlcz CeDeWu, Warszawa

11 38 Katarzya Budy Budy K (w druku Wybrae własośc kurtozy wektora losowego,,zeszyty Naukowe Uwersytetu Ekoomczego w Krakowe, sera: Metody aalzy daych, receza: grudzeń 0 Cramer H (958 Metody matematycze w statystyce PWN, Warszawa Jakubowsk J, Sztecel R (00 Wstęp do rachuku prawdopodobeństwa Wyd 3 Scrpt, Warszawa Marda KV (970 Measures of Multvarate Skewess ad Kurtoss wth Applcatos Bometrka, Vol 57, 3 Srvastava MS (98 A Measure of Skewess ad Kurtoss ad Graphcal Method for Assessg Multvarate Normalty Statstcs & Probablty Letters, Vol, 5 Tatar J (996 O ektórych marach rozproszea rozkładów prawdopodobeństwa,,przegląd Statystyczy, z ¾ Tatar J (999 Momets of a Radom Varable a Hlbert Space,,Przegląd Statystyczy, z ECESS KURTOSIS OF A RANDOM VECTOR Summary Excess kurtoss of a uvarate radom varable s defed as ts kurtoss mus 3, e the kurtoss of a ormal dstrbuto Excess kurtoss s a oe of a dsperso measures Ths parameter provdes the formato about peakedess ad tal weght of a dstrbuto compared to ormal dstrbuto I the paper we propose a geeralzato of ths characterstc for radom vectors ad aalyze ts basc propertes Moreover, we troduce the form of excess kurtoss for the selected multvarate dstrbuto