Modelowanie i Analiza Danych Przestrzennych

Transkrypt

1 Modelowae Aalza Daych Przestrzeych Wykład 8 Adrze Leśak Katedra Geoformatyk Iformatyk Stosowae Akadema Górczo-Hutcza w Krakowe Jaką postać ma warogram daych z tredem? Moża o wylczyć teoretycze prostego przypadku tredu lowego. Lczymy warogram: ˆ E µ x ( m E Z = ( Z = µ + ε = ax + ax + b = ( x, x a = ( a, a m( h ˆ ( h = ( ( ( ( z x + h z x m h = z( x + h z( x = a( x + h + b ax b = ah m( h m ( ( ( h ( ( ( h = ah = ah = ( ah m h m h = Otrzymalśmy semwarogram w kształce parabol.

2 Ilustraca procesu: ech a=(3,, b=. Geeruemy proces ε(x ako losowy o sferyczym warograme z (zasęg.5, próg, o ugget. Kolor czerwoy warogram procesu tredu µ(x -parabola Kolor ebesk -warogram procesu ε(x Czare krzyżyk warogram ˆ h empryczy ( Jake mogą być modele warogramu, t. fukce którym możemy aproksymować warogramy emprycze. Rozpatrzmy wewętrze stacoary proces Z(x ego warogram (x, t.: E Z x + h Z x = ( ( ( ( ( ( ( ( ( var Z x + h Z x = h ~ Nech Z = Z x Z = Z ~ x gdze x~ est wybraym puktem przestrze D. Iteresue as możlwość predykc wartośc w pukce x a podstawe wartośc Z. Załóżmy, że wartość w pukce x będze kombacą lową wartośc Z : Załóżmy, że: = λ = Po ser przekształceń: ( Stąd: Zˆ var = = ˆ = Z = λ Z Zˆ λ = Z λ = = λ ( Z Zˆ ( Zˆ = λ λ E( Z Zˆ ( Z Zˆ var = = ( Zˆ = λ λ ( x x = = Poeważ: var Z ˆ > węc λ λ ( x x < = = Klasę takch fukc azywamy klasą warukowo ueme określoych.

3 Zachowae warogramu w zerze w eskończoośc: Z defc: ( = Jeśl ˆ ( to pole Z(xest ecągłe w zerze. Wyka to główe z błędów pomarowych (bądź w ektórych wypadkach z mkrozmeośc ( Jeśl lm h = (warogram dąży do zera ak fukca lowa to h warogram est edokrote różczkowaly. Jeśl lm( h = h (warogram dąży do zera ak fukca kwadratowa to warogram est dwukrote różczkowaly. Ne steą warogramy których zachodz α lm( h = α > Wartość est górą gracą procesów h stacoarych. Z kole rozważmy zachowae w eskończoośc. Jeśl lm h h to proces Z(xe est procesem wewętrze stacoarym. Przedźmy do lsty aczęśce spotykaych model warogramu spotykaych w zagadeach praktyczych. -model lowy, c próg, model eograczoy (proces estacoary = c h h = h > -model lowy ograczoy, c próg, R zasęg, daych edowymarowych x = c h R c ( Gradet w pukce początkowym = c/r h = < h R h > R

4 -model sferyczy, daych z R, R R 3. h = 3 3h h = c < h R 3 R R c h > R Gradet w h= wyos 3c/R Podoby do ego est model petasferyczy. -model kołowy, daych z R R. c arccos = π h R h + πr c h R h h > R Gradet w h= wyos 4c/πR Zasęg (podobe ak poprzedch = R -model ekspoecalo-potęgowy, dowolych daych oraz <α. c + c α ( e = ( h R h = h > α= model ekspoecaly Prostszy ż sferyczy ale bez ścśle zdefowaego zakresu. Zakres efektywy 3R. Gradet w x= rówy c/r α= model gaussowsk Zakres efektywy 3 R. Gradet w x= rówy.

5 -model fal, waruek warukowe ueme określoośc wymaga by w tym wypadku zachodzło λ<, warogram może odpowadać procesom estacoarym = c R h + c s h R h h = > -model potęgowy, waży <λ< = c + ch h = λ h > -model Mater c = ν K ν Γ( ν Γ h R h K ( ν ν R modyfkowaa fukca Bessela II rodzau rzędu ν fukca gamma ν -czysty model samorodkowy uggat = c ( δ ( h Modelue szum lub mkro-zmeość Powyższe modele moża ze sobą łączyć otrzymywać prawdłowe modele warogramów. Np. dwóch skal R R = c h R R < h R h > R będze modelem warogramu złożoym z dwóch różych model warogramów. Zakresy R R ozaczaą meszy wększy zakres zależośc przestrzee.

6 Jak wybrać właścwy warogram teoretyczy ak dopasować go do empryczego. Klka praktyczych uwag:. aperw arysu warogram empryczy. wyberz modele które absolute sę e adaą 3. z pozostałych model wyberz klka alepszych bez zwracaa uwag a detale 4. przeprowadź estymacę zobacz rezultat; porówa te rezultaty 5. porówa błąd dopasowaa mesce gdze to dopasowae est alepsze 6. e ufa ocee wzrokowe 7. e używa softuktóry dzała ak czara skrzyka c e rysue Jake są potecale problemy z estymacą warogramu: dokładość obserwowaych semwarac e est edakowa e zmay mogą być azotropowe warogramy emprycze cechuą zmee z puktu a pukt fluktuace wększość model warogramówest elowa względem co ame edego z parametrów Pomamy techczą stroę aproksymac (metoda ameszych kwadratów e warat z wagam, kryterum AIC (Akake Iformato Ctterum Estymaca metodą ameszych kwadratów Estymaca metodą ameszych kwadratów z wagam

7 Kroswaldaca modelu opera sę a efektywośc predykc z użycem daego modelu warogramu Metoda est astępuąca: Lczmy warogram empryczy dopasowuemy do ego warogramy teoretycze ech ẑ będze wartoścą pola losowego wyestymowaego metodą kryggu z użycem poszczególych model z pomęcem puktu z. poadto estymuemy waracę kryggu. lczymy trzy parametry dagostycze: śred błąd ME mus być blsk śred błąd kwadratowy MSE mus być tak mały ak to możlwe uormoway śred błąd kwadratowy MSDR: - mus być blsk ME = N ME = N MSDR = N ( z zˆ = ( z zˆ = = ( ˆ z z ˆ σ każdego z model moża zrobć wykresy dagostycze p. sferyczego:

8 zak czerwoe - wartośc wyestymowae powyże wartośc pomerzoe zak ebeske - wartośc wyestymowae poże wartośc pomerzoe welkość zaków proporcoala do odchyłk Wykres pokazue, że duże wartośc z predykc są edoszacowae zaś małe wartośc są przeszacowae. Wosek : krygg dzała wygłądzaąco.