MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)

Transkrypt

1 MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Ciągi liczbowe 1.1. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowola fukcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym (ciąg skończoy), albo wszystkim (ciąg ieskończoy) liczbom aturalym. Będziemy ozaczać : a (b, c itd.) - -ty wyraz ciągu (wyraz o umerze ), (a ) 10, (b ) (lub krócej (a ), (b )...) cały ciąg. Sposoby określaia ciągów liczbowych 1. Przez wypisaie wszystkich wyrazów (tylko dla ciągu skończoego), p. 2, 5, 5 1 2, 3, 3, 21, 2π, 5, 6 (czyli: a 1 = 2, a 2 = 5,..., a 8 = 5 ). 2. Przez podaie wzoru a wyraz ogóly, p. a = 2 6 więc w tym przypadku a 1 = 5, a 2 = 2, a 3 = 3,... a 10 = Przez podaie wzoru rekurecyjego, p. b 1 = 1, b +1 = ( + 1) b czyli b =! lub a 1 = a 2 = 1, a +1 = a + a 1 dla = 2, 3,... (ciąg Fiboacciego).

2 1.2. CIĄGI MONOTONICZNE Ciąg (a ) jest: rosący jeżeli każdy jego wyraz jest większy od poprzediego: a > a 1 p. a =, b = 2 6 ; malejący jeżeli każdy jego wyraz jest miejszy od poprzediego, p. a = 2, b = 1 ; a < a 1 iemalejący jeżeli żade jego wyraz ie jest miejszy od poprzediego, p. a =, b = 2 + ( 1) ; każdy ciąg rosący; a a 1 ierosący jeżeli żade jego wyraz ie jest większy od poprzediego, a a 1 stały jeżeli wszystkie jego wyrazy są jedakowe p. a = 4. Jeśli ciąg spełia którykolwiek z tych waruków, to jest mootoiczy. Przykłady ciągów które ie są mootoicze (sprawdzić!): c = ( 1) ; d = si π 2 ; h = ( 4) CIĄGI OGRANICZONE I NIEOGRANICZONE Ciąg (a ) jest: ograiczoy z dołu jeżeli istieje liczba m R (ograiczeie dole) ie większa od każdego wyrazu ciągu : a m, m p. a =, b = 2 56, c = 5 ; ograiczoy z góry jeżeli istieje liczba M R (ograiczeie góre) ie miejsza od każdego wyrazu ciągu : a M, M p. a =, b = +2 ; ograiczoy jeżeli jest ograiczoy z góry i z dołu p. b = +2, c = ( 1), każdy ciąg skończoy ; ieograiczoy jeżeli ie jest ograiczoy (z góry lub z dołu) p. a =, b = 2 999, c =.

3 Uwaga. 1. Każdy ciąg iemalejący jest ograiczoy z dołu, a każdy ciąg ierosący z góry. 2. Ciąg będący sumą (różicą, iloczyem) ciągów ograiczoych jest ograiczoy. 3. Ciąg będący sumą lub różicą ciągu ograiczoego i ieograiczoego jest ieograiczoy Szczególy przypadek: CIĄGI ARYTMETYCZNE I GEOMETRYCZNE Ciąg arytmetyczy: a = a 1 + r gdzie r jest stałą - różicą ciągu arytmetyczego. Alteratywy wzór: a = a 1 + ( 1) r. Np. 5, 2, 1, 4, 7,... ; 21, 16, 11, 6, 1, 4, 9. Wzór a sumę ciągu arytmetyczego: Ciąg geometryczy: a = m (a 1 + ( 1) r) = m a 1 + m ( 1) r = = ma 1 + r m ( 1) = ma 1 + r b = b 1 q m(m 1) 2 (q - iloraz ciągu geometryczego dowola liczba róża od 0 i 1). Alteratywy wzór: b = b 1 q 1. Np. 1, 2, 4, 8, 16, ; 1, 1, 1, 1, 1, 1... ; 18, 6, 2, 2 3, 2 9, 2 27 Wzór a sumę ciągu geometryczego: Uwaga. b = m (b 1 q 1 ) = b 1 q 1 m 1 = b 1 =0 q = b 1 1 qm 1 q. 1. Ciąg arytmetyczy jest rosący jeżeli r > 0, a malejący jeżeli r < Nieskończoy ciąg arytmetyczy jest ieograiczoy (z góry gdy r > 0, a z dołu gdy r < 0)..

4 3. Odwrotie iekoieczie: ciąg może być rozbieży do, ale ie mootoiczy. 3. Ciąg geometryczy jest mootoiczy gdy q > 0 : rosacy gdy (uzupełić) a malejący gdy (uzupełić) a ie jest mootoiczy jeżeli q < Nieskończoy ciąg geometryczy jest ograiczoy gdy a ieograiczoy gdy (uzupełić) CIĄGI ROZBIEŻNE ( = o graicy ieskończoej) Dotyczy tylko ciągów ieskończoych! Ciąg (a ) jest rozbieży do ieskończoości (ma graicę rówą ) jeżeli M R K N takie że K a > M. Czyli : każde ewetuale ograiczeie góre (M) zostaie przekroczoe przez pewie (K-ty) wyraz ciągu i wszystkie dalsze. Iaczej: dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu (tj. wszystkie z wyjątkiem skończeie wielu) są większe od M. Zapisujemy to: lim a =. Przykłady: a = ; b = ; c =!, każdy rosący ciąg arytmetyczy,... Uwaga. 1. Każdy ciąg rozbieży do ieskończoości jest ieograiczoy z góry. 2. Każdy ciąg iemalejący i ieograiczoy z góry jest rozbieży do.

5 Ciąg (b ) jest rozbieży do mius ieskończoości (ma graicę rówą ) gdy ciąg ( b ) jest rozbieży do. Na przykład: b = ; c = 1 2 Uwaga. Każdy ciąg mootoiczy i ieograiczoy jest rozbieży (do jeśli jest iemalejący, do jeśli jest ierosący). Objaśieia (dla ie chodzących a zajęcia) a dla każdego a (kwatyfikator ogóly), p. x>0 x > 2 x każda dodatia liczba x jest większa od swojej połowy a istieje a (kwatyfikator egzystecjaly), p. z R z < z istieje liczba rzeczywista z miejsza od swojego pierwiastka kwadratowego. Więcej: Bażańska - Nykowska, rozdz x podłoga liczby x ajmiejsza liczba całkowita ie większa od x, p. π = 3 (bo 3 < π < 4), 6 = si π 2 fukcje trygoometrycze dowolych kątów / liczb - por. dobre podręcziki do liceum (zakres rozszerzoy)