Analiza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
|
|
- Kajetan Mazurkiewicz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 208/9 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p p)), 3. = ((p q) r) (p (q r)) (łączość spójików ) 4. = ((p (q r)) ((p q) (p r)), 5. = ((p (q r)) ((p q) (p r)), 6. = (p q) ( p q) (prawo elimiacji implikacji), 7. = ( (p q)) (p q). Podaj iterpretację dwóch pierwszych tautologii. Uwaga: = φ ozacza, że φ jest tautologią. Zadaie 2 Pokaż, że jeśli Ja umie fizykę i Ja ie umie fizyki, to Ja umie biologię.. Sformułuj odpowiedią tautologię. 2. Podaj ie przykłady zastosowaia tej tautologii. Zadaie 3 Niech φ ψ ozacza, że = (φ ψ). Pokaż, że dla dowolych zdań φ, ψ, η mamy. φ φ (zwrotość) 2. Jeśli φ ψ to ψ φ (symetria) 3. Jeśli φ ψ oraz ψ η to φ η (przechodiość). Zadaie 4 Pokaż, że spójiki,, możesz zdefiiować za pomocą spójików oraz. Pokaż rówież, że spójiki,, możesz zdefiiować za pomocą spójików oraz. Zadaie 5 Zapisz, stosując otację matematyczą, astępujące zdaia i formuły:. p jest liczbą pierwszą, 2. istieje ajmiejsza liczba aturala, 3. ie istieje ajwiększa liczba aturala, 4. ie istieje ajmiejsza liczba rzeczywista dodatia. Zastosuj zae prawa logiki do uproszczeia tych wyrażeń. Zadaie 6 Podaj iterpretację astępujących zdań. ( (0, ))( N)( < ), 2. ( R)( 2 0), 3. (, y R)( < y = y > y),
2 4. ( a N)(, 2, 3, 4 N)(a = ), 5. ( R)( y R)(y ). Zadaie 7 Niech R(, y) ozacza, że " jest rodzicem y". Niech K() ozacza, że " jest kobietą". Zdefiiuj, korzystając z otacji matematyczej oraz predykatów R i K, astępujące predykaty:." jest dziadkiem y", 2." jest siostrą y", 3." jest bratem y", 4." jest ciotką y"..2 Zbiory Zadaie 8 Niech A = [0, 2] oraz B = [, 3). Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A. Zadaie 9 Niech A = {(, y) R 2 : 2 + y 2 } oraz B = {(, y) R 2 : 2 <, y < 3 2 }. Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A. Zadaie 0 Odcikiem azywamy dowoly podzbiór A R taki, że Spróbuj opisać rodzię wszystkich odcików. ( a, b, c) (((a < b < c) (a A) (c A)) b A). Zadaie Niech A, B Ω oraz iech X c ozacza dopełieie zbioru X Ω do przestrzei Ω. Udowodij prawa de Morgaa dla zbiorów A i B, czyli pokaż, że. (A B) c = A c B c 2. (A B) c = A c B c Pokaż rówież, że 3. (A c ) c = A Zadaie 2 Wymień wszystkie pozae do tej pory wariaty praw de Morgaa. Zadaie 3 Niech A i B będą zbiorami. Pokaż, że astępujące zdaia są rówoważe:. A B 2. A B = B 3. A B = A. * Zadaie 4 Mamy ustaloe dwa zbiory A, B Ω. Ile zbiorów możesz zdefiiować z tych zbiorów za pomocą operacji,,\ oraz c (dopelieie do zbioru Ω). Uogólij to zadaie a trzy zbiory..3 Podstawowe zbiory liczbowe Zadaie 5 Uprość astępujące wyrażeia: , (2 4 ) 2, 2 (42 ) + 2 5, + 5 Zadaie 6 Niech a, b, c > 0 i a. Udowodij astępujące własości fukcji logarytmiczych:. log a (b c) = log a (b) + log a (c) 2. log a (b k ) = k log a (b) dla dowolego k R 3. log a () = log b () log b (a) dla b. Zadaie 7 Uprość astępujące wyrażeia:. log 0 ( ), 4 log 2 (5), log 3 (27 3) 2
3 log 4 +3 log 8 3, 9 log 3 5 Zadaie 8 Przypomij sobie dowód tego, że 2 / Q. Pokaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to p jest liczbą iewymierą. * Zadaie 9 Pokaż, że jeśli N jest taką liczbą aturalą, że Q to istieje liczba aturala k taka, że = k 2. Zadaie 20 Pokaż, że jeśli q Q, to 2 + q / Q. Dla jakich liczb wymierych q Q mamy q 2 Q? Zadaie 2 Niech a = Dla N defiiujemy liczby a = a 0 0. Wyzacz pierwsze 0 wyrazów tego ciągu, tz. oblicz liczby a 0, a,..., a 9. Uwaga: ozacza część całkowitą liczby.. Zadaie 22 Pokaż, że dla dowolych liczb rzeczywistych oraz y mamy. ( + y)( y) = 2 y 2 2. ( + y) 2 = 2 + 2y + y 2 3. ( + y) 3 = y + 3y 2 + y 3 4. Z jakich własości liczb rzeczywistych korzystałaś/korzystałeś podczas dowodzeia tych wzorów? Zadaie 23 Dla jakich par liczb rzeczywistych i y zachodzi rówość ( + y) 2 = 2 + y 2? Zadaie 24 Pokaż metodą idukcji matematyczej, że = 2( + ). Uwaga: Musisz rówież zać proste wyprowadzeie tego wzoru = 6( + )(2 + ) ( ) = (+) 2 4. ( N)( < 2 ) 5. ( 4)( 2 < 2 ) 6. ( 4)(2 <!) 7. ( )(6 ( 3 ) Zadaie 25 Pokaż, korzystając z poprzediego zadaia, że (2 + ) = ( + ) 2. Podaj iterpretację geometryczą tego faktu. Zadaie 26 Załóżmy, że 0 < < 2 <... jest ieskończoym ciągiem liczb aturalych. Pokaż, że ( k N)(k k ). Zadaie 27 Wyzacz samodzielie sześć pierwszych wierszy trójkąta Pascala. Wypisz wzory a ( + y) dla = 0,, 2,..., 5. ( k ). Jak moża tę obserwację wykorzystać do wyza- Zadaie 28 Pokaż, że jeśli 0 < k, to ( k czaia wartości ( k)? ) = k * Zadaie 29 Symbolem X ozaczamy liczbę elemetów skończoego zbioru X. Niech X będzie - elemetowym zbiorem. Dla k określamy [X] k = {Y X : Y = k}.. Pokaż, że [X] k = ( k). 2. Korzystając z poprzediego wyiku podaj kombiatorycze wyprowadzeie tożsamości Pascala ( ( k+ ) = ( + k+). k) + 3
4 3. Symbolem P (X) ozaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Pokaż, że jeśli X = to P (X) = 2. Zadaie 30 Korzystając ze wzoru dwumiaowego Newtoa pokaż, że. 2. k=0 k=0 (a + b) = k=0 ( ) a k b k k ( ) k = 2 i podaj iterpretację kombiatorycza tego faktu ( ) k ( ) k = 0. Zadaie 3 Narysuj wykres wartości ( ) 20 k dla k = 0,..., 20. Która z tych liczb jest ajwiększa? Uogólij to spostrzeżeie dla ciągu liczb ( ( k) )k=,..., dla dowolego. Wskazówka: Możesz, p., skorzystać z fukcji KOMBINACJE programu Ecel. Zadaie 32 Pokaż, że ( ) a+b k ( k = a b l=0 l)( k l)..4 Liczby rzeczywiste Zadaie 33 Za pomocą wyszukiwarki Google arysuj wykresy różych fukcji kwadratowych (p. wprowadź w pasku zapytań wyrażeie ). Zapozaj się z likami umieszczoymi a stroie ki.pwr.edu.pl/studeciolietools.php. Spróbuj arysować wykresy fukcji kwadratowych za pomocą serwisu Wolfram Alpha. Zadaie 34 Wyzacz astępujące zbiory:. A = { R : > 0}, 2. B = { R : }, 3. C = { R : }, 4. D = { R : > 0}. * Zadaie 35 Sformułuj samodzielie pojęcie kresu dolego podzbioru A zbioru liczb rzeczywistych - ozaczmy go przez if(a). Pokaż, że if(a) = sup( A), gdzie A = { a : a A}. Wywioskuj z tego, że każdy ograiczoy z dołu podzbiór R ma kres doly. Zadaie 36 Wyzacz kresy dole i góre astępujących zbiorów:. { + : N} 2. (0, ) (3, 4] 3. (0, ] Q 4. [0, ] \ Q 5. N 6. Z * Zadaie 37 Niech A = { 0 : 2 < 2}. Pokaż, że sup(a) 2 = 2 (czyli, że sup(a) = 2). Zadaie 38 Korzystając z tego, że si 2 () + cos 2 () = pokaż, że si() + 2 cos() 5 dla każdego R. Wskazówka: Skorzystaj z ierówości Cauchy ego. Zadaie 39 Pokaż, że dla dowolego ciągu liczb a,... a zachodzi ierówość a a a a2..5 Przestrzeie metrycze - I Zadaie 40 Sprawdź, że fukcja d(, y) = y jest metryką a R. 4
5 Zadaie 4 Niech X będzie dowolym zbiorem iepustym. Dla (, y) X X defiiujemy { : y d(, y) = 0 : = y Pokaż, że para uporządkowaa (X, d) jest przestrzeią metryczą. Uwaga: Metrykę tę azywamy metryką dyskretą a zbiorze X. Zadaie 42 Na zbiorze R 2 określamy fukcję Pokaż, że d jest metryką a R 2. Uwaga: Metrykę tę azywamy metryką l a zbiorze R 2. Zadaie 43 Na zbiorze R 2 określamy fukcję Pokaż, że d jest metryką a R 2. Uwaga: Metrykę tę azywamy metryką l a zbiorze R 2. d ((, y ), ( 2, y 2 )) = 2 + y y 2 d ((, y ), ( 2, y 2 )) = ma{ 2, y y 2 } Zadaie 44 Rozważamy przestrzeń R 2. Narysuj kule K((0, 0), ) w metrykach euklidesowej, l oraz l. Zadaie 45 Rozważamy przestrzeń liczb zespoloych C. Narysuj kule K(0, ) w stadardowej metryce e zbiorze C (czyli w metryce d(z, z 2 ) = z z 2 ). Zadaie 46 Jak wyglądają kule w metryce dyskretej? 2 Graice ciagów Zadaie 47 Niech (X, d) będzie przestrzeią metryczą. Niech g, g 2 X oraz iech (a ) 0 będzie ciągiem elemetów X. Pokaż, że jeśli lim a = g oraz lim a = g 2 to g = g 2. Uwaga: Iterpretacja tego zadaia: graica ciągu jest wyzaczoa jedozaczie. Zadaie 48 Pokaż, że ciąg ( ) jest ograiczoy. Wskazówka: Skorzystaj z Zadaia Zadaie 49 Oblicz graice astępujących ciągów:. a = 3+ +2, 2. b = , 3. c = , 4. d = , 5. e = , 6. f = , 7. g = , 8. h = Zadaie 50 Dlaczego ciąg a = ( ) + ie jest zbieży? Zadaie 5 Dlaczego ciąg a = ( 2) ie jest zbieży? Zadaie 52 Bezpośredio z defiicji graicy ciągu pokaż, że. lim +2 =, 2. lim 2+ 2 = 0, 5
6 3. lim ( ) =. Zadaie 53 Oblicz graice. lim , 2. lim Zadaie 54 Oblicz graice ciągów. a = +( ) 2+, 2. b = +, 3. c = 2 +. Zadaie 55 Pokaż, że ze zbieżości ciągu (a ) wyika zbieżość ciągu ( a ). Czy prawdziwe jest twierdzeie odwrote? Zadaie 56 Ustalmy liczbę a R. Wyzacz graicę ciągu a = a.. Wywioskuj z tego, że każda liczba rzeczywista jest graicą ciągu liczb wymierych. 2. Pokaż, że każda liczba rzeczywista jest graicą ciągu liczb iewymierych. Zadaie 57 Pokaż, że jeśli a < to lim ( + a a ) = a. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a + q + q q. Zadaie 58 Niech a 0 = oraz a + = 3 + a 2.. Pokaż, stosując metodę idukcji matematyczej, że a a < 6 dla każdego. 2. Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący 3. Wyzacz graicę tego ciągu. Zadaie 59 Ustalmy liczbę a > 0. Niech 0 = a oraz + = 2 ( + a ). Pokaż, że lim = a. Zastosuj te wyiki dla a = 2. Który wyraz tak zbudowaego ciągu rożi się od 2 o miej iż 0 3? Zadaie 60 Niech a 0 = oraz a + = 2 (a + 4). Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący i ograiczoy oraz zajdź jego graicę. Zadaie 6 Oblicz graicę lim ( 2 + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru (a + b)(a b) = a 2 b 2.. Zadaie 62 Oblicz graicę astępujących ciągów. a = ( + )3+, 2. b = ( )2+, 3. c = ( + )2, 4. d = ( + )+, 5. e = ( + 2 ). Zadaie 63 Oblicz astępujące graice: lim 5 +, lim Zadaie 64 Załóżmy, że 0 a b. Wyzacz graicę ciągu a + b. Zadaie 65 Załóżmy, że lim a = 0. Pokaż, że wtedy lim a = 0. Zadaie 66 Oblicz graicę lim ( + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a b = (a 2 b 2 )/(a + b). Zadaie 67 Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wyzacz graice astępujących ciągów: 6
7 . a = b = c = Zadaie 68 Niech H = Pokaż, że lim H =. Wskazówka: Zauważ ajpierw, że ciąg (H ) jest rosący. Przyjrzyj się astępie takiemu pogrupowaiu: H 8 = ( ) + ( ). Zapisz w podoby sposób H 6. Spróbuj oszacować od dołu każdy z pogrupowaych składików. Uwaga: Liczby H azywamy liczbami harmoiczymi. Zadaie 69 Oblicz astępujące graice (rozważamy metryki euklidesowe) ( ). lim +, ( + ) ( ) 2. lim 2 + 5, ( + ), Zadaie 70 Niech (a ) będzie ciągiem liczb zespoloych oraz g C. Pokaż, że astępujące zdaia są rówoważe:.lim a = g 2.lim Re(a ) = Re(g) i lim Im(a ) = Im(g) Zadaie 7 Rozważamy metryką dyskretą. Jakie ciągi są ciągami zbieżymi w tej metryce? Jakie ciągi są ciągami podstawowymi w tej metryce? Czy przestrzeń ta jest zupeła? 2. Zbiory domkięte i otwarte Zadaie 72 Ustalmy dodatią liczbę aturalą C. Niech a = ( mod C) +. Wyzacz pukty skupieia ciągu (a ). Zadaie 73 Podaj przykład ciągu, który ma ieskończeie wiele puktów skupieia. * Zadaie 74 Podaj przykład ciągu, którego zbiorem puktów skupieia jest odciek [0, ]. ** Zadaie 75 Czy istieje ciąg, którego zbiorem puktów skupieia jest zbiór [0, )? Zadaie 76 Korzystając z Zadaia 56 pokaż, że. cl(q) = R 2. cl(r \ Q) = R Zadaie 77 Wyzacz domkięcia, wętrza oraz brzegi astępujących zbiorów:. w przestrzei (R, d e ):, Z, N, R 2. w przestrzei (R, d e ): [0, ] Q, [0, ) \ Q. 3. w przestrzei (R 2, d e ): {(, y) R 2 : 2 + y 2 < } 4. w przestrzei (R 2, d e ): {(, y) R 2 : 2 + y 2 } 5. w przestrzei (R 2, d e ): {(, y) R 2 : < y } Zadaie 78 Pokaż, że dla dowolej przestrzei metryczej (X, d) oraz dowolego A X mamy it(a) A cl(a), cl(cl(a)) = cl(a) oraz it(it(a)) = it(a). Zadaie 79 Niech A = [0, ] [2, 3) (3, 4] (5, 6) ([7, 8] Q). Oblicz cl(a), it(a), cl(it(a)), it(cl(a)), it(cl(it(a))), cl(it(cl(a))). Zadaie 80 Niech (X, d) będzie przestrzeią dyskretą. Pokaż, że dla dowolego A X mamy cl(a) = A oraz it(a) = A. 7
8 * Zadaie 8 Niech (X, d) będzie dowola przestrzeią metryczą. Pokaż, że dla dowolego A X mamy.cl(a) = X \ it(x \ A) 2.it(A) = X \ cl(x \ A) 3 Graice fukcji i ciagłość UWAGA: Od tego miejsca lista zadań ulegie zmiaie. Zadaie 82 Wyzacz wartości fukcji si, cos, ta i cot dla kątów α = 0, π 6, π 4, π 3, π 2. Zadaie 83 Pokaż, że si( + π 2 ) = cos(), cos( + π 2 ) = si() oraz ta( + π 2 ) = cot(). Zadaie 84 Korzystając ze wzorów si(+y) = si() cos(y)+si(y) cos() oraz cos(+y) = cos() cos(y) si() si(y) wyprowadź wzory a si(2), si(3), cos(2), cos(3). Zadaie 85 Narysuj, korzystając z przeglądarki Google, wykresy fukcji f() = 2 (cos(2) + ) oraz g() = cos() 2. Wyjaśij zaobserwowae zjawisko. Zadaie 86 Naszkicuj wykresy fukcji f k () = 2 si(k ) dla k =, 0, 00, 200. Zadaie 87 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = + 2 oraz g() = 2. Zadaie 88 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = ( + 2 ) cos 2 (200) oraz g() = ( 2 ) cos 2 (200). Zadaie 89 Niech f() = Wyzacz astępujące graice: lim f(), lim f(), lim 2+ f(), lim 2 f(), lim 2+ f(), lim 2 f(). 2. Naszkicuj wykres tej fukcji. Zadaie 90 Niech sg() = : < 0 0 : = 0 : > 0. Pokaż, że fukcja sg ie jest ciągła w pukcie Wyzacz pukty ciągłości fukcji sg. Zadaie 9 Wyzacz pukty ciągłości astępujących fukcji. f () = sg(si()), 2. f 2 () = sg(cos()), 3. f 3 () = 4. f 4 () =. Zadaie 92 Niech f : (, 0) (0, ) R będzie określoa wzorem { + : (, 0) f() = : (0, ). Pokaż, że f jest ciągła oraz różowartościowa. 2. Wyzacz obraz f 3. Wyzacz fukkcję f. 4. Czy fukcja f jest ciągła? 8
9 Zadaie 93 Niech f() = Pokaż, że fukcja f ie jest ciągła w żadym pukcie. Wskazówka: Skorzystaj z zadaia 76. { : Q 0 : R \ Q Zadaie 94 Korzystając z defiicji Cauchy ego ciągłości fukcji pokaż, że suma dwóch fukcji ciągłych w pukcie 0 jest ciągła pukcie 0 Zadaie 95 Korzystając z defiicji Cauchy ego ciągłości fukcji pokaż, że fukcja f() = 3 jest ciągła. Zadaie 96 Załóżmy, że istieje η > 0 taka, że ( )( 0 < η f() = g()). Pokaż, że jeśli f jest ciągła w pukcie 0 to rówież g jest ciągła w pukcie 0. Dlaczego pokazaą własość fukcji ciągłych możemy wysłowić astępująco: ciagłość fukcji w pukcie jest pojęciem lokalym? Zadaie 97 Narysuj wykresy fukcji zadaych wzorami y =, y =, y = si( ), y = 2 si( ), y = si( ) oraz wyzacz ich graice w pukcie 0. Zadaie 98 Naszkicuj wykresy fukcji zadaych wzorami:. y = 2, 2. y = 2, 3. y = 2 2, 4. y = 3 2. Zadaie 99 Niech > 0. Naszkicuj wykres fukcji zadaej wzorem f() = ( ) ( ). Wskazówka: rozważ oddzielie przypadek parzystego i ieparzystego. * Zadaie 00 Pokaż, że dla każdego aturalego mamy ( ) ( ) =! k=0 ( k) k Zadaie 0 Oblicz astępujące graice:. lim 0 si(a), 2. lim 2 3, 3. lim 3 2. Zadaie 02 Załóżmy, że fukcja f jest ciągła. Pokaż, że fukcja g() = f() jest rówież ciągła. Wskazówka: skorzystaj z tego, że złożeie fukcji ciągłych jest fukcją ciągłą. Zadaie 03 Oblicz graice wielomiau postaci w() = + a a + a 0 w ieskończoości oraz w mius ieskończoości. Wskazówka: Rozważ oddzielie przypadek parzystego oraz ieparzystego. Zadaie 04 Pokaż, że każdy wielomia stopia ieparzystego ma pierwiastek. Wskazówka: Skorzystaj z poprzediego zadaia oraz własości Darbou fukcji ciągłych. Zadaie 05 Załóżmy, że fukcje f i g są ciągłe. Niech h() = ma{f(), g()}. Pokaż, że h jest fukcją ciągłą. Zadaie 06 Załóżmy, że f : [0, ] [0, ] jest fukcją ciągłą. Pokaż, że istieje takie [0, ], że f() =. Wskazówka: Przyjrzyj się fukcji g() = f(). Uwaga: Jest to prosty przykład twierdzeia o pukcie stałym. 9
10 Zadaie 07 Niech f, q : R R będą fukcjami rosącymi. Pokaż, że złożeie f g jest fukcją rosącą. Zadaie 08 Naszkicuj wykresy fukcji f () = ( 2 ), f 2 () =, f 3 () = 2, f 4 () = e oraz f 5 () = 3. Zadaie 09 Naszkicuj wykresy fukcji f () = log 2 (), f 3() = log 2 (), f 4 () = log e () oraz f 5 () = log 3 (). Zadaie 0 Pokaż, że każda fukcja f : R R jest sumą fukcji parzystej i ieparzystej. Wskazówka: Rozważ fukcje h() = 2 (f() + f( )) oraz g() = 2 (f() f( )). Zadaie Niech f() = si() oraz g() = 2.. Naszkicuj wykres fukcji f g. 2. Naszkicuj wykres fukcji g f. Zadaie 2 Naszkicuj wykres fukcji f() = 2 +. Sprawdź, że 2 + = ( )( + ) + 2. Korzystając z tego wzoru przedstaw fukcję f jako sumę fukcji liiowej oraz pewej prostej fukcji wymierej. 2. Korzystając z poprzediego puktu aszkicuj poowie wykres fukcji f. 3. Zapozaj się z pojęciem asymptoty ukośej. Zadaie 3 Podaj przykład ciągłej fukcji f : [0, ) [0, ] która ie osiąga wartości maksymalej. Zadaie 4 Pokaż przykład takiej fukcji ciągłej f : (0, ) R która ie jest ograiczoa z góry ai z dołu. Zadaie 5 Załóżmy, że f : R R jest ciągła oraz iech a R.. Pokaż, że zbiór f ([a, )) = { : f() a} jest zbiorem domkiętym. 2. Pokaż, że zbiór f ({a}) = { : f() = a} jest zbiorem domkiętym. 3. Pokaż, że zbiór f ((a, )) = { : f() > a} jest zbiorem otwartym. * Zadaie 6 Załóżmy, że f : R R jest ciągła, oraz, że lim f() = lim f() = 0. Pokaż, że istieje 0 R takie, że f( 0 ) = sup{f() : R}. ** Zadaie 7 Niech f : R R będzie taką fukcją ciągłą, że (, y R)(f( + y) = f() + f(y)). Pokaż, że f() = a dla a = f(). Wskazówka: Zaczij od pokazaia, że dla każdego N mamy f() = a. Pokaż astępie, że f( ) = f(). Potem się zajmij liczbami wymierymi. A a końcu skorzystaj z ciągłości. Zadaie 8 Niech (X, d X ) oraz (Y, d Y ) będą przestrzeiami dyskretymi. Pokaż, że dowola fukcja f : X Y jest ciągłym odwzorowaiem z X do Y. 4 Pochode Zadaie 9 Oblicz pochode astępujących fukcji:. f() = , g() = f() = f() =, g() = 2 +, h() = 4. f() = ( )( ) f() = ( + )/( ), g() = f() = e, g() = 2 e, h() = 3 e. Wskazówka: (e ) = e. Zadaie 20 W jakich puktach fukcja f() = + + jest różiczkowala? 0
11 Zadaie 2 Zajdź przykład ciągłej fukcji f : R R, która ie różiczkowala w ieskończoej liczbie puktów. Zadaie 22 W jakich przedziałach fukcje y = ( ) 2, y = e, y = 2 e są rosące? Zadaie 23 Zbadaj wykresy fukcji y = 2 e, y = Zadaie 24 Niech σ() = e +e oraz ζ() = l( + e ).. Zbadaj przebieg zmieości fukcji σ i zeta. 2. Pokaż, że σ () = σ()( σ()). 3. Pokaż, że ζ () = σ(). 4. Pokaż, że l σ() = ζ( ). 2 +, y = 2 2 ( )( 2). Zadaie 25 Zajdź ekstrema fukcji y = (a ), y = (a ) 2. Zadaie 26 Pokaż, że jeśli fukcje f, g i h są różiczkowale w pukcie, to (f() g() h()) = f () g() h() + f() g () h() + f() g() h (). Zadaie 27 Niech f a,b () = { a + b 2 : < : Zajdź takie parametry a i b aby fukcja f a,b była różiczkowala w każdym pukcie. Zadaie 28 Oblicz pochode astępujących fukcji:. y = 3 3 +, 2. y = si( 2 ), 3. y = e 2, ( 2, 4. y = e 2 + ) 5. y = 2 si(), 6. y = ta 2 (), 7. y = l( 2 + ), y = log ta()) 8. y = l + 2, 9. y = arcsi(e ), y = arccos( 2 ) 0. y = arcta( 2 + ), y = arcta(e ). si(si()), si(si(si())) 2. si(cos(si())) Zadaie 29 Oblicz pierwsze i drugie pochode fukcji f(t) = r si(ωt) i g(t) = r cos(ωt). Zadaie 30 Zbadaj przebieg zmieości astępujących fukcji:. f() = 3 e. 2. f() = 3 3. f() = 2 l() 4. f() = 2 l ( 2 + ) + 5. y = e, 6. y = + 2, 7. y = ( )( 2). Zadaie 3 Dlaczego fukcja y = l ( > 0) jest ciągła? Podaj możliwie prosty argumet. Zadaie 32 Napisz rówaia styczych i prostopadłych do podaych fukcji w podaych puktach:
12 . f() = l( + e ), P = (0, f(0), 2. f() = + 2, P = (, f()). * Zadaie 33 Rozważmy astępującą fukcję { ep( f(t) = t ) t > 0 0 t 0. Pokaż, że fukcja f jest ciągła. 2. Pokaż, że dla każdego 0 istieje taki wielomia w(), że f () (t) = w( t ) ep( t ). 3. Pokaż, że dla każdego > 0 mamy lim t 0+ ep( t ) t a = 0 4. Pokaż, że dla każdego 0 istieje pochoda f () (0) i jest rówa 0 5. Zastosuj wzór Taylora dla fukcji f w pukcie 0. Zadaie 34 Pokaż, że. arcsi + 2 = arccos arcta = 2 2 arcta 2 Wskazówka: Oblicz pochode obu stro. Zadaie 35 (Wzór Leibitza) 4. Zastosowaia Załóżmy, że f i g są fukcjami krotie różiczkowalymi. Pokaż, że (f g) () () = k=0 ( ) f (k) ()g ( k) () k Zadaie 36 Który z puktów paraboli y = 2 leży ajbliżej prostej y 5 = 0? Wskazówka: Odległość puktu P = ( 0, y 0 ) od prostej o rówaiu a + by + c = 0 wyraża się wzorem. a 0 + by 0 + c a2 + b 2 Zadaie 37 Zajdź pole ajwiększego prostokąta o bokach rówoległych do osi układu współrzędych wpisaego w elipsę o rówaiu 2 a + y2 2 b =. 2 Zadaie 38 Pokaż, że ze wszystkich prostokątów o ustaloym obwodzie kwadrat ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 39 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie i o ustaloej podstawie trójkąt róworamiey ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 40 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie trójkąt rówoboczy ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 4 Załóżmy, że f (t) = f(t) dla każdego t R. Pokaż, że istieje taka stała C, że f(t) = C e t. Wskazówka: Oblicz pochodą fukcji g(t) = f(t) e. Uwaga: Rozwiązaliśmy w te sposób rówaie różiczkowe t (t) = (t). Zadaie 42 Pokaż, że dla każdego > 0 mamy + < l( + ) <. 4.2 Reguła de l Hospitala Zadaie 43 Korzystając z reguł de l Hospitala oblicz astępujące graice:. lim 0 e 2 cos(3) 2
13 2. lim l 3. lim (l ) 3 4. lim 0 (l( cos()) l( 2 )) 5. lim ( 3 )2 6. lim lim (e + ) 8. lim 0+ 3 l 9. lim 0 arcta() 0. lim (l ). lim 0 l(cos() 2 2. lim l(e +), 3. lim 0+ l(), 4. lim 0+. Wskazówka: skorzystaj z tego, że t = e l t dla dowolego t > 0, oraz, że fukcja f() = e jest ciągła. 5. lim l Zadaie 44 Wyzacz, dla dowolego ustaloego aturalego k, graice lim (l()) k 4.3 Wzór Taylora, lim 2 k. Zadaie 45 Niech f() = Zastosuj wzór Taylora rzędu 3 dla fukcji f w puktach = 0 oraz =. Zadaie 46 Wyzacz wielomiay Taylora rzędu 0 astępujących fukcji f() = e, g() = si(), h() = cos(), j() = si() + cos(). Za pomocą dowolego pakietu arysuj a jedym wykresie przybliżeia Zadaie 47 Za pomocą wzoru Taylora oblicz si(0.) z dokładością do Całki Zadaie 48 Oblicz astępujące całki: ( ) d, 0 ( + ) d, 0 π (2 si() + si()) d. 0 Zadaie 49 Wyzacz, bez wykoywaia żadych obliczeń, astępujące całki: π/2 π/2 si() dg 3 d, ( + 5 )d, Zadaie 50 Niech f, g : [a, b] R będą fukcjami ciągłymi. Pokaż, że b b b f()g()d f()d f()d. Wskazówka: Rozważ fukcję φ(t) = b a (f() tg())2 d. Zadaie 5 Niech G(c) = c a 2 d.. Zakładając, że c > wyzacz G(c) 2. Oblicz lim G(c) a a 3
14 3. Podaj iterpretację geometryczą otrzymaego wyiku. Zadaie 52 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez części, astępujące całki ieozaczoe:. cos() d, 2 cos() d, 3 cos() d 2. si() d, 2 si() d, 3 si() d 3. e d, 2 e d, 3 e d 4. l d, 2 l d, 3 l d Spróbuj samodzielie uogólić powyższe obliczeia. Zadaie 53 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez podstawieie, astępujące całki ieozaczoe:. si(3 + ) d, + d, + 2 d (podstaw t = + 2 ), d, 2 d, e 2 d 4. si(l ) d (podstaw u = l, zastosuj dwukrotie całkowaie przez części) 5. ta d Zadaie 54 Wyzacz pole astępujących obszarów:. A = {(, y) R 2 : 0 2 y } 2. B = {(, y) R 2 : 0 π y si }, 3. C = {(, y) R 2 : y < e }. 4. Obszar ograiczoy parabolą o rówaiu y = i osią OX Zadaie 55 Wyzacz pole elipsy zadaej rówaiem: 2 a 2 + y2 b 2 =. Zadaie 56 Załóżmy, że f jest fukcją różiczkowala oraz, że g jest fukcją ciągłą. Niech H() = f() a g(t) dt. Wyzacz H (). Wskazówka: Niech F () = g(t) dt. Zauważ, że H() = F (f()). a Zadaie 57 Oblicz astępujące całki ieozaczoe z fukcji wymierych: d 2. ( 2)(+5) d ( 2)(+5) d 4. ( 2) d 2 5. ( 2 ) d. Wskazówka: Wyzacz takie liczby A, B i C, że ( 2 ) = A + 6. (+ 2 ) d. Wskazówka: Zastosuj podstawieie = ta(u) d, 2 8. (+ 2 ) d B + Zadaie 58 Rozważamy fukcję f() = 2 a odciku [0, ]. Rozważamy sumę dolą { s (f, 0, ) = if f() : k k + }. k=0 C ( ) 2. 4
15 . Korzystając ze wzoru = 6 (+)(2+) wyzacz zwartą postać wzoru a s (f, 0, ) 2. Oblicz lim s (f, 0, ) 3. Oblicz 0 2 d za pomocą całki ieozaczoej : ) Zadaie 59 Oblicz objętość torusa powstałego przez obrót koła 2 + (y a) 2 r 2. Zadaie 60 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wykresu fukcji f() = si() dla [0, 2π]. 6 Szeregi Zadaie 6 Pokaż, że jeśli szeregi a i b są zbieże oraz a i b są ustaloymi liczbami rzeczywistymi, to szereg (a a + b b ) jest zbieży oraz (a a + b b ) = a a + b b. =0 =0 =0 Zadaie 62 Oblicz sumy ( ), 5 ( ) k=2 k (+2), (+3). Zadaie 63 Oblicz sumy Wskazówka: Zajdź liczby A i B takie, że (+2) = A + B +2. Zadaie 64 Zbadaj zbieżość astępujących szeregów: 2, 3,. Zadaie 65 Zastosuj kryterium zbieżości d Alamberta do zbadaia zbieżości szeregów , (!) 2 (2)!. Zadaie 66 Wyzacz promieie zbieżości astępujących szeregów potęgowych: ( ) (!) k (k)! (dla ustaloego aturalego k > 0) Zadaie 67 Rozwiń astępujące fukcje w szereg Maclauria i wyzacz ich promieie zbieżości:. f() = si() 2. g() = cos() 3. f() = l 4. f() = l + Zadaie 68 Niech d ozacza odległość zbieżości jedostajej a odciku [0,, czyli d(f, g) = sup{ f() g() : [0, ]}, dla ograiczoych fukcji f i g. Wyzacz odległości d(f, g) astępujących par fukcji:. f() = si(), g() = cos() 2. f() =, g() = ( ) (!) 2 2 2, 5
16 Zadaie 69 Pokaż, że ciąg fukcji f () = + si() jest jedostajie zbieży a R. Zadaie 70 Niech f () = + dla [0, ].. Pokaż, że ciąg fukcyjy (f ) jest puktowo zbieży 2. Czy ciąg te jest jedostajie zbieży? Zadaie 7 Czy ciąg fukcji f () = ( + ) jest puktowo zbieży? Czy jest jedostajie zbieży a R? Czy jest jedostajie zbieży a odciku [0, ]? Zadaie 72 Wyzacz szeregi Fouriera (a odciku [ π, π]) astępujących fukcji oraz arysuj ich wykresy oraz ich kilka pierwszych przybliżeń szeregami trygoometryczymi:. f() =, g() = + si() 2. f() = sg() 3. f() = 2 ( + sg)() Zadaie 73 Wyzacz siusowy szereg Fouriera fukcji f() = (π?) a odciku [0, π]. Skorzystaj z tego szeregu do wyzaczeia wartości szeregu Zadaie 74 Wyzacz szereg Fouriera fukcji f() = 2 a odciku [ π, π].. Podstawiaj za liczbę π oblicz 2 2. Wyzacz 3. Wyzacz 0 Powodzeia, Jacek Cichoń (2) 2 (2+) 2 6
Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 07/8 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 06/7 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trochę trudiejsze. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18
dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.
Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II Lista zadań
Aaliza Matematycza II Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 07/8 Zadaia ozaczoe dwoma lub więcej gwiazdkami są przezaczoe do samodzielego rozwiązaia. chcecie uzyskać wskazówki lub podyskutowac o ich rozwiązaiu,
Bardziej szczegółowoIII seria zadań domowych - Analiza I
III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoZadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.
. Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie..
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowo(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe
. Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoZestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x
ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
Bardziej szczegółowo8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2
8. Jedostajość Mówimy, że fukcja f : I R spełia waruek Lipschitza ze stałą C > 0, jeśli fx) fy) C x y, x, y I. 8.. Przykład. a) Taką fukcją jest p. si : R [, ]. Rzeczywiście, si x si y = 2 si x y 2 cos
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223
Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoFraktale - ciąg g dalszy
Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań
Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach
Bardziej szczegółowoWykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011
Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
Bardziej szczegółowoWykład III. Granice funkcji. f : R A R, A przedział. f określona w x. K M x. lim. lim. Granice niewłaściwe:
: R A R, A przedział A, Wykład III Graice ukcji określoa w, S \ Deiicja 3. (deiicja Caucy eo raicy ukcji) : D U,, ( ) : ot Iaczej: Uot D U K M U ot U ot K M Graice iewłaściwe: k K R D M K K R M R D De.
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowo