Analiza Matematyczna I

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza Matematyczna I"

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3. a b a b a + b. 2 Uprość wyrażenia a+b+ a b 2, a+b a b 2. 3 Napisz następujące wyrażenia w równoważnej formie nie zawierającej wartości bezwzględnej:. a + b + 2c + a b + a + b 2c + a b, 2. a + b + 2c a b a + b 2c a b. 4 Korzystając z tego, że sin 2 (x) + cos 2 (x) = pokaż, że sin(x) + 2cos(x) 5 dla każdego x R. 5 Zapoznaj się z wybranym pakietem matematycznym: Mathematica ram.com, Maxima maxima.sourcef orge.net. Naucz się w pakiecie wykonywać proste obliczenia, rysować wykresy funkcji. Wskazówka: P lot[f [x], {x, a, b}] plot2d(f(x), [x, a, b]);

2 2 Liczby naturalne, wymierne i rzeczywiste (2 godziny ćwiczeń) 6 Pokaż metodą indukcji matematycznej, że (2n + ) = (n + ) 2. 7 Rozważmy następujacą pętlę : for i= to n do 2: for j=i to n do 3: Op(i,j) 4: end for 5: end for Ile razy jest wykonywana operacje Op? 8 Pokaż, że n 2 = n(n + )(2n + ). W programie 6 Mathematica wpisz polecenie Sum[k 2, {k, 0, n}]. 9 Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona pokaż, że n k=0 ( n k) = 2 n oraz n k=0 ( n k) ( ) k = 0. 0 Pokaż, że zbiór liczb wymiernych jest zamknięty na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie przez liczbę różną od 0. Narysuj wykres wartości ( ) 20 k dla k = 0,..., 20. Która z tych liczb jest największa? Uogólnij to spostrzeżenie dla ciągu liczb ( ( ) n )k=,...,n dla k dowolnego n. Wskazówka: Skorzystaj z polecenia programu Mathematica DiscreteP lot[binomial[20, k], {k, 0, 20}]. * 2 Sformułuj samodzielnie pojęcie kresu dolnego podzbioru A zbioru liczb rzeczywistych - oznaczmy go przez inf(a). Pokaż, że inf(a) = sup( A), gdzie A = { a : a A}. Wywnioskuj z tego, że każdy ograniczony z dołu podzbiór R ma kres dolny. 3 Niech x,..., x n będą liczbami o tym samym znaku. Pokaż, że n n ( + x i ) + x i. i= 2 i=

3 Wskazówka: Wzoruj się na dowodzie nierówności Bernoulliego. 4 Pokaż, że dla dowolnego ciągu liczb a,... a n zachodzi nierówność a a n n(a a 2 n) 2. Wskazówka: Skorzystaj z nierówności Cauchy ego-schwarza. 5 Korzystając z powyższego zadania pokaż, że dla dowolnych dodatnich x, y, z zachodzi nierówność x + y x + z y + z x + y + z + x + y + z + x + y + z 6. 3

4 3 Ciągi liczbowe (4 godziny ćwiczeń) 6 Oblicz granice następujących ciągów: 2n2 +n+3 n 2 +3n+, n 3 +n+3 n 2 +3n+3, 2n2 +n+3 n 5 +3n+2. 7 Oblicz granice następujących ciągów: (n 2) 8 Oblicz granicę lim n ( n 2 + n n)., (n+3 3 ) n 2 n 3, (n 4) n 9 Oblicz granice lim n oraz lim n 2 n 2 n n 3 * 20 Dla dowolnego k N oblicz granicę lim n k +2 k +...+n k n (k+). 2 Niech ciągi (a n ) i (b n ) będę zbieżne. Udowodnij, że lim (a n b n ) = lim (a n ) lim (b n ). n n n n Niech ciągi (a n ) i (b n ) będę zbieżne. Niech b n 0 dla wszystkich n N oraz lim n (b n ) 0. Udowodnij, że lim (a n ) = lim n (a n ) n b n lim n (b n ). 23 Wiadomo, że ze zbieżności ciągu (a n ) wynika zbieżność ciągu ( a n ). Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne? Wskazówka: Rozważ ciąg a n = ( ) n 24 Udowodnij, że jeśli lim n a n = 0 oraz ciąg (b n ) jest ograniczony to lim n a n b n = Pokaż, że jeśli a < to lim n ( + a a n ) = a. 26 Oblicz granice ciągów n+( )n 2n+, n n n +, n n2 n + n. 27 Ustalmy liczbę a. Wyznacz granicę ciągu [na] n. Wskazówka: Skorzystaj z nierówności x < [x] x i z Twierdzenia o 3 ciągach. 28 Niech a 0 = oraz a n+ = 2 (a n + 4). Pokaż, że ciąg (a n ) jest ograniczony z góry przez liczbę 4 oraz rosnący. Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wywnioskuj, że jest zbieżny. Znajdź jego granicę. 4

5 29 Załóżmy, że 0 a b. Pokaż zbieżność i wyznacz granicę ciągu n an + b n. * 30 Ustalmy liczbę a > 0. Niech x 0 = a oraz x n+ = 2 (x n + a x n ). Pokaż, że lim n x n = a. Zastosuj ten wyniki dla a = 2. Który wyraz tak zbudowanego ciągu rózni się od 2 o mniej niż 0 3? 3 Wyznacza punkty skupienia ciągów a n = cos ( nπ 2 ), bn = ( ) n + ( )n n. 32 Ustalmy dodatnią liczbę naturalną C. Niech a n = (n mod C) + n. Wyznacz punkty skupienia ciągu (a n ). 33 Oblicz granicę następujących ciągów ( + n )3n+, ( n )2n+, ( + n )n2, ( n+ n+ )n+, ( + ) n. n 2 5

6 4 Szeregi (2 godziny ćwiczeń) 34 Oblicz sumy n=0 ( 3 + ), ( ) 4k=2 n 2 n 3 n n= k 35 Oblicz sumy, n= n(n+2) n=. Wskazówka: Znajdź liczby A n(n+3) i B takie, że = A + B. Możesz skorzystać z polecenia Apart programu n(n+2) n n+2 Mathematica. 36 Zbadaj zbieżność następujących szeregów: n n 2, n n 3, n n. 37 Zastosuj kryterium zbieżności d Alamberta do zbadania zbieżności szeregów n 2n +, (n!) 2 3 n + n. (2n)! 38 Zastosuj kryterium zbieżności Cauchy ego do zbadania zbieżności szeregów ( ) n 2 n+ n n, n n0. π n 39 Dla dowolnej liczby rzeczywistej x oblicz granicę ciągu lim n x n n!. 40 Zbadaj zbieżność szeregu n bezwzględnie? ( ) n n. Czy szereg ten jest zbieżny 6

7 5 Granice Funkcji (2 godziny ćwiczeń) 4 Niech f, q : R R będą funkcjami rosnącymi. Pokaż, że złożenie f g jest funkcją rosnącą. 42 Niech f, q : R R będą funkcjami malejącymi. Czy złożenie f g jest funkcją malejącą? Odpowiedz uzasadnij. 43 Pokaż, że każda funkcja f : R R jest sumą funkcji parzystej i nieparzystej. Wskazówka: f(x) = f(x) f( x) + f(x)+f( x) Oblicz lim x x 2 x 3, lim x x3 x Oblicz granice wielomianu postaci w(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 w nieskończoności. Wskazówka: Rozważ oddzielnie przypadek n parzystego oraz n nieparzystego 46 Oblicz lim x ( x 2 ), limx 2 x +x. 47 Pokaż, że granica lim x sin(x) nie istnieje. * 48 Pokaż, że lim h 0 sin h h =. 49 W zależności od naturalnego parametru p zbadaj istnienie granic lim x x + 0 (x x 0, ) p lim x x 0 (x x 0. ) p 50 W zależności od rzeczywistego parametru α zbadaj istnienie granicy lim x sin(x) x α. 5 oblicz lim x+ x x 0 +, lim x x 0 x+ x. x ** 52 Niech f będzie funkcją ograniczoną w każdym skończonym przedziale. Pokaż, że z warunku lim x (f(x+) f(x)) = g wynika, że lim x = f(x) x g. 7

8 6 Ciągłość funkcji (2 godziny ćwiczeń) 53 Korzystając z definicji Cauchy ego pokaż, że suma dwóch funkcji ciągłych w punkcie x 0 jest ciągła punkcie x Korzystając z definicji Heinego pokaż, że funkcja f(x) = x 3 jest ciągła. 55 Pokaż, że funkcja sgn(x) = : x < 0 0 : x = 0 : x > 0 nie jest ciągła w punkcie 0. Wyznacz punkty ciąglości funkcji sgn. 56 Wyznacz punkty ciągłości funkcji f(x) = sgn(sin(x)), g(x) = sgn(cos(x)), h(x) = x oraz a(x) = x. 57 Niech f(x) = { : x Q 0 : x R \ Q Pokaż, że funkcja f nie jest ciągła w żadnym punkcie. 58 Załóżmy, że funkcja f jest ciągła. Pokaż, że fukcja g(x) = f(x) jest również ciągła. Wskazówka: Skorzystaj z tego, że złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. 59 Załóżmy, że fukcje f i g są ciągłe. Niech h(x) = max{f(x), g(x)}. Pokaż, że h jest funkcją ciągłą. * 60 Pokaż, że każda funkcja ciągła f : R R spełniająca warunek f(x + y) = f(x) + f(y) jest postaci f(x) = a x dla pewnej stałej a. Wskazówka: Przyjmij a = f() i pokaż najpierw, że f(x) = a x dla wszystkich x Q. 6 Pokaż, że każdy wielomian (traktowany jako funkcja z R w R) stopnia nieparzystego ma pierwiastek. Wskazówka: Skorzystaj z zadania Narysuj wykresy funkcji zadanych wzorami y = x, y = x x, x y = x sin( ), y = x x2 sin( ), y = sin( ) oraz wyznacz ich granice w punkcie x x x 0. 8

9 63 Naszkicuj wykresy funkcji zadanych wzorami y =, y = x 2 y = x2, y = x3. x 2 x 2 * 64 Niech n > 0. Naszkicuj wykres funkcji zadanej wzorem f(x) = x(x ) (x n). x, x 2 Wskazówka: Rozważ oddzielnie przypadek n parzystego i n nieparzystego. 9

10 7 Różniczkowanie część I (3 godziny ćwiczeń) 65 W jakich punktach funkcja f(x) = x + x + jest różniczkowalna? 66 Udowodnić, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, to f f(x + h) f(x h) (x) = lim. h 0 2h Podaj przykład funkcji, dla której powyższa granica istnieje, pomimo że funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie x. 67 Pokaż, że (cos x) = sin x Wskazówka: Skorzystaj z tożsamości cos α cos β = 2 sin α+β sin α β Udowodnij wzór ( ) = f (x) f(x) (f(x)) Oblicz pochodne funkcji rzeczywistych zadanych następującymi wzorami: y = 2+3x+x 3, y = +x+x x n, y = (x+)/(x ), y = x2 +x+ x 3 y = x 2 e x, y = x sin(x). 70 Oblicz [f (y)] dla podanych funkcji we wskazanych punktach f(x) = x + ln x, y 0 = e + ; f(x) = x 3 + x 5 + x 7, y 0 = 3. 7 Oblicz pochodne funkcji rzeczywistych zadanych następującymi wzorami: y = e x2, y = 2 x 2 y = +x 2, y = sin(cos(x)), y = ln tg(x)), y = sin(cos(sin(x))), y = arc sin(x 2 ), y = arc tg(e x ). * 72 Mówimy, że funkcja f : R R spełnia warunek Lipschitza jeśli istnieje stała C taka, że ( x, x )( f(x) f(x ) C x x ). Pokaż, że jeśli f spełnia warunek Lipschitza, to jest ciągła. Pokaż, że jeśli funkcja posiada ograniczoną pochodną, to spełnia warunek Lipschitza. 73 Podaj przykład funkcji parzystej dla której f (0) = 0, pomimo, że w punkcie 0 funkcja nie posiada ekstremum właściwe. 74 W jakich przedziałach funkcje y = x( x) 2, y = x 2 x 2, y = xe x, y = x 2 e x są rosnące? 0

11 75 Pokaż, że x +x ln( + x) x dla wszystkich x >. 76 Znajdź ekstrema funkcji y = xe x2, y = x(a x), y = x(a x) 2, ** 77 Udowodnij, że funkcja f (x) posiada własność Darboux.

12 8 Różniczkowanie część II (3 godziny ćwiczeń) 78 Korzystając z reguł de l Hospitala oblicz następujące granice: xe lim 2x x x 0, lim cos(3x) x ln x x, (ln x) lim 3 x, lim x x 2 x x 0, x lim x (e x + ) x, lim x 0+ x 3 ln x, lim x (ln x) ln(cos(x)) x, lim x 0. x 2 79 Oblicz granicę: e lim x n x k k=0 k! x 0 x n+. 80 Korzystając z reguł de l Hospitala oblicz następujące granice: (ln(x)) lim α ln(x) x, lim x x. x α 8 Niech f g jeśli f = O(g) dla f, g : N R +. Pokaż, że relacja jest zwrotna i przechodnia. 82 Porównaj tempa zbieżności następujących ciągów: a n = n,b n = n, c n = n n, d n = n ln n, e n = n 2, f n = 2 n, g n = ln n, h n = (ln n) n, i n = (ln n) ln n. 83 Oszacuj dokładność wzorów przybliżonych: sin(x) x, x < π, 0 + x + x, x <, 2 8 log( + x) x x2 + x3 x < Dla następujących funkcji zbadaj istnienie ekstremów lokalnych w punkcie x 0 = 0: f(x) = x 2 e x3, f(x) = x 3 e ( x 2 ), f(x) = x 2 sin 3 (x) + x 2 cos(x), f(x) = +x3 +x Znajdź pole największego prostokąta wpisanego w elipsę o równaniu x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =. 86 Pokaż, że ze wszystkich prostokątów o ustalonym obwodzie kwadrat ma największą powierzchnię. 87 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustalonym obwodzie i o ustalonej podstawie trójkąt równoramienny ma największą powierzchnię. 88 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustalonym obwodzie trójkąt równoboczny ma największą powierzchnię. 2

13 89 Zbadaj wykresy funkcji y = x +x 2, y = x (x )(x 2). * 90 Udowodnij wzór d n ( ) x n e dx n x = ( ) n x n e x. 3

14 9 Całkowanie (3 godziny ćwiczeń) 9 Wyznacz stosując wzór f(ax + b)dx = F (ax + b) + C, gdzie F a jest funkcją pierwotną do f następujące całki nieoznaczone: (a) dx, sin(nx)dx, e kx dx, x a (b) a dx, ax+b 2 x 2 cx+d dx. 92 Wyznacz stosując metodę całkowania przez części oblicz następujące całki nieoznaczone: (a) x cos(x)dx, x 2 cos(x)dx, x 3 cos(x)dx, (b) x sin(x)dx, x 2 sin(x)dx, x 3 sin(x)dx, (c) xe x dx, x 2 e x dx, x 3 e x dx, (d) x ln xdx, x 2 ln xdx, x 3 ln xdx. Spróbuj samodzielnie uogólnić powyższe obliczenia. 93 Pokaż, że ( lim n n + + ) n = ln(2) 2n 94 Niech a >. Pokaż, że a + 2 a n a lim = n n a+ a +. Porównaj ten wzór z dokładnymi wzorami na a +2 a +...+n a dla a =, 2, Założmy, że f jest funkcją różniczkowalną oraz, że g jest funkcją ciągłą. Niech F (x) = f(x) a g(t)dt. Wyznacz F (x). Wskazówka: D[Integrate[G[t], {t, a, F [x]}], x] 96 Wyznacz stosując metodę całkowania przez podstawienie oblicz następujące całki nieoznaczone:. sin(3x + )dx, x dx, x+ x + x2 dx (podstaw t = + x 2 ), 2. dx, +2x 2 3x 2 dx, x2 dx (podstaw x = sin(t)), 3. xe x 2 dx, 4. sin(ln x)dx (podstaw u = ln x, zastosuj dwukrotnie całkowanie przez części) 5. tg xdx 4

15 97 Oblicz następujące całki nieoznaczone z funkcji wymiernych: x+3 dx, (x 2)(x+5) dx x 3 +x +x 2 dx, (+x 2 ) 2 dx, (+x 2 ) 3 dx 98 Wyznacz pole następujących obszarów:. A = {(x, y) R 2 : 0 x x 2 y x} 2. B = {(x, y) R 2 : 0 x π y sin x}, 3. C = {(x, y) R 2 : x y < e x }. 4. Obszar ograniczony parabolą o równaniu y = 2x 2 6x i osią OX * 99 Udowodnij nierówność Schwarza dla całek ( b 2 ( ) ( b ) b f(x)g(x)dx) f 2 (x)dx g 2 (x)dx. a a a Wskazówka: Skorzystaj z nierówności b a (f(x) + cg(x))2 dx 0, która zachodzi dla każdego c. 5

16 0 Całki niewłaściwe ( godzina ćwiczeń) 00 Oblicz następujące całki niewłaściwe: 0 e x sin(x)dx, 0 x dx, x 2 x + 0 x 2 dx. 0 Zbadaj zbieżność następujących całek niewłaściwych: ln(x)+sin(x) x dx, +cos 2 (x) dx, π x 2 2 sin(x) + 0 x dx. e 02 Zbadaj zbieżność szeregów: n>0, n p n>, n(ln(n)) p n>2. n ln n(ln ln(n)) p ( ) ) ** 03 Oblicz sumę n 0 n 3( + Wskazówka: Oblicz całkę 0 ( x2 ) n dx. 5( n 2 ) ± 2n+( n n ) 6

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i .

POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i . POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i. To książka dla wszystkich maturzystów, zdających nową maturę z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym. Jasne

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016 opracowała: mgr Anna Przybylska I. CELE EDUKACJI MATEMATYCZNEJ w zakresie rozwoju intelektualnego ucznia (cele związane z kształceniem):

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 1 TECHNIKUM

BAZA ZADAŃ KLASA 1 TECHNIKUM LICZBY RZECZYWISTE BAZA ZADAŃ KLASA TECHNIKUM. Znajdź liczbę odwrotną i liczbę przeciwną do liczby jeśli a). Wyznacz NWD(x, y), jeśli: a) x = 780, y = 6 b) x = 0, y = 6 c) x = 700, y = 60 d) x = 96, y

Bardziej szczegółowo

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3 Analiza Algorytmów Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1 Niech k będzie dodatnią liczbą całkowitą. Rozważ następującą zmienną losową Pr[X = k] = (6/π 2

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2.

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2. PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2. Wstęp Plan wynikowy kształcenia matematycznego jest dostosowany do programu nauczania matematyki w liceach i technikach zakres rozszerzony, autorstwa Marcina

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu.

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Rozdział 2 Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Definicja 2.. Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Będziemy rozważać ciągi o wyrazach rzeczywistych, czyli zgodnie z powyższą definicją

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun

Bardziej szczegółowo

1. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH, POTĘGACH I PIERWIASTKACH Zad.1 Oblicz: d) + e) (0,15+(-1,15)) 3. g) 15 (45,2 : 12 30 : 6 )- 1 7 36.

1. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH, POTĘGACH I PIERWIASTKACH Zad.1 Oblicz: d) + e) (0,15+(-1,15)) 3. g) 15 (45,2 : 12 30 : 6 )- 1 7 36. Zestaw zadań na ocenę dopuszczającą z matematyki po klasie - ZSP w Żelechowie Opracowała A. Lasocka. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH, POTĘGACH I PIERWIASTKACH Zad. Oblicz: + - + - + e + 0 Zad. Oblicz: 9 + 0 : 9

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math)

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Ciągi Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Spis treści 1 Ciągi liczbowe 1 1.1 Podstawowe własności ciągów................... 2 1.2 Granica ciągu............................

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 2013 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY

Bardziej szczegółowo

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX Autor: Spis treści Wstęp. Wprowadzenie...................................... Warunki korzystania z usługi............................ Przykładowe próbki

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 LO. Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą

Klasa 1 LO. Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą Klasa LO Wymagania wraz z przykładowymi zadaniami na ocenę dopuszczającą ZBIÓR I PODZBIOR DZIAŁANIA NA ZBIORACH I W ZBIORACH Przykładowe zadania: potrafi określić rodzaj liczby (N, C, W, NW, R) ) Ze zbioru

Bardziej szczegółowo

1. Funkcja liniowa. a, gdzie A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) są punktami należącymi do wykresu tej funkcji; Wymagania podstawowe: Uczeń:

1. Funkcja liniowa. a, gdzie A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) są punktami należącymi do wykresu tej funkcji; Wymagania podstawowe: Uczeń: 1. Funkcja liniowa Tematyka: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej. Własności funkcji liniowej Znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań z matematyki zakres rozszerzony

Zbiór zadań z matematyki zakres rozszerzony Autorzy: R. Kusztelak J. Stańdo K. Szumigaj Zbiór zadań z matematyki zakres rozszerzony Recenzenci: T. Ratusiński J. Guncaga Książka przygotowana w ramach projektu E-matura, współfinansowanego przez Unię

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... Rozwiązania zadań. Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... Rozwiązania zadań. Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE Rozwiązania zadań Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Miejski Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli w Opolu Publiczne Liceum

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki Opis założonych osiągnięć ucznia W tabelach dla poszczególnych klas, przy treściach kształcenia podajemy przewidywane osiągnięcia uczniów w ramach zakresu rozszerzonego. Podzieliliśmy je na podstawowe

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 3.

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 3. PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa. Wstęp Plan wynikowy kształcenia matematycznego jest dostosowany do programu nauczania matematyki w liceach i technikach zakres rozszerzony, autorstwa Marcina Kurczaba,

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. 1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to:

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1.

KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1. Wymagania podstawowe (zawierają wymagania konieczne); Wymagania dopełniające (zawierają wymagania rozszerzające); Wymagania wykraczające. KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1. Prace klasowe

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując zadanie, nauczyciel określa, do jakiego zakresu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI YMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI opisie uwzględniono klasyfikację umiejętności na odpowiednie poziomy wymagań : onieczne ( ) ocena dopuszczająca, odstawowe ( ) ocena dostateczna, ozszerzone ( ) ocena dobra,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE Kraj bez matematyki nie wytrzyma współzawodnictwa z tymi krajami, które matematykę uprawiają Hugo Steinhause X I Dąbrowski Konkurs Matematyczny Dla uczniów klas pierwszych szkół ponad gimnazjalnych Konkurs

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 03 WPISUJE ZJĄY KO PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI POZIOM POSTWOWY MJ

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki Ewa Kwaśniok

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki Ewa Kwaśniok Projekt Kompleksowy Trening Kompetencji - Program Rozwojowy dla Technikum nr w Zespole Szkół Łączności w Gliwicach, współfinansowany przez Unię Europejską z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY

MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY MATURA EUROPEJSKA 010 MATEMATYKA CYKL 3 GODZINNY DATA 4 czerwca 010 CZAS TRWANIA EGZAMINU : 3 godziny (180 minut) DOZWOLONE POMOCE Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez programowania) UWAGI:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego MATEMATYKA Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego Internetowy kurs dla kandydatów na Politechnikę Łódzką Repetytorium dla studentów I roku Politechniki Łódzkiej Skrypt niniejszy zawiera wiadomości

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego w klasie 2 gimnazjum uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym tworzyć teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 5508 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż rysunek,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-062 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki, poziom rozszerzony. nowa podstawa programowa

Wymagania z matematyki, poziom rozszerzony. nowa podstawa programowa Wymagania z matematyki, poziom rozszerzony nowa podstawa programowa Nauczyciel matematyki: mgr Izabela Stachowiak Wilk Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory odróżnia zdanie logiczne od innych wypowiedzi

Bardziej szczegółowo

Kurs matematyki dla chemików

Kurs matematyki dla chemików Kurs matematyki dla chemików nr 136 Joanna Ger Kurs matematyki dla chemików Wydanie piąte poprawione Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2012 Redaktor serii: Matematyka Tomawsz Dłotko Recenzenci

Bardziej szczegółowo

( m) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami. Zadanie 1. (0-1)

( m) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami. Zadanie 1. (0-1) Przykładowe zadania z matematyki na poziomie rozszerzonym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0-) Funkcja określona wzorem f ( x) = x dla wszystkich liczb rzeczywistych A. nie ma miejsc zerowych. B. ma dokładnie

Bardziej szczegółowo

Procedury osiągania celów

Procedury osiągania celów Cele wychowawcze Istotną część procesu nauczania stanowi proces wychowywania. W nauczaniu matematyki szczególnie eksponowane są następujące cele wychowawcze: przygotowanie do życia we współczesnym świecie,

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA ZESPÓŁ SZÓŁ OGÓLNOSZTAŁCĄCYCH ul. M.Curie-Skłodowskiej 58-400 amienna Góra tel.: (+48) 75-645-0-8 fax: (+48) 75-645-0-83 E-mail: zso@kamienna-gora.pl WWW: http://www.zso.kamienna-gora.pl PRZEDMIOTOWY SYSTEM

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów W ramach zajęć oprogramujemy jedną, wybraną metodę numeryczną: metodę bisekcji numerycznego rozwiązywania równania nieliniowego

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 2013

PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 2013 PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 03 KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa): Numer zadania Zad. Zad. SUMA PUNKTÓW Poprawna Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 Zad. 6 Zad. 7 odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1. Poziom rozszerzony

Zestaw 1. Poziom rozszerzony Zestaw 1. Poziom rozszerzony Zadanie 11 (7 pkt). Znajdź równanie okręgu będącego obrazem okręgu x 2 + y 2-4x + 2y + 1 = O w jednokładności o środku w punkcie A = (-2,3) i skali k= -4. Zadanie 12 (5 pkt).

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań maturalnych z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z matematyki Zbiór zadań maturalnych z matematyki Centralna Komisja Egzaminacyjna Warszawa 0 Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest dystrybuowana

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

do instrukcja while (wyrażenie);

do instrukcja while (wyrażenie); Instrukcje pętli -ćwiczenia Instrukcja while Pętla while (póki) powoduje powtarzanie zawartej w niej sekwencji instrukcji tak długo, jak długo zaczynające pętlę wyrażenie pozostaje prawdziwe. while ( wyrażenie

Bardziej szczegółowo