Analiza matematyczna dla informatyków

Transkrypt

1 Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3, 203/4, 204/5, 205/6, 206/7. Marci Moszyński 4 paździerika 207

2 Niiejsze Sprawdziay to uzupełieie mego podręczika/skryptu Aaliza matematycza dla iformatyków do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego. Zawarte są tu teksty zadań z kolokwiów (tylko tzw. Dużych- wspólych dla całego roku) i pisemych części egzamiów do prowadzoych przeze mie wykładów z lat 2007/8 206/7 (była przerwa w 200/). Jedyymi odstępstwami od orygialych tekstów są pojawiające sie kilkakrotie przypisy (dotyczą oe pomyłek w treści zadań zauważoych już w trakcie lub po sprawdziaach) oraz lilkwidacja części agłówków zadań i zmiiejszeie wolych miejsc a odpowiedzi w częśći pierwszej owszych egzamiów. Sprawdziay są ułożoe wg. semestrów (zimowy, leti), a w ramach semestru: ajpierw kolokwia, potem egzamiy, w obu przypadkach zamieszczoe chroologiczie. Autorem zadań ie jestem oczywiście tylko ja sam! Niektóre zadaia, albo ich częsci lub ogóle pomysły, pochodzą od osób prowadzacych ćwiczeia do mych wykładów. Wszystkim Im przy tej okazji dziękuję za pomoc! Marci Moszyński

3 Sprawdziay z Semestru Zimowego

4 Kolokwium z Aalizy Matematyczej dla Iformatyków 28 listopada 2007r. Rozwiazaia poszczególych zadań prosimy pisać a OSOBNYCH, CZYTELNIE PODPISANYCH kartkach. W lewym górym roku prosimy umieścić włase imie, azwisko i umer ideksu, a poiżej umer zadaia. W prawym górym rogu prosze podać umer grupy i azwisko prowadzacego ćwiczeia. Wszystkie zadaia sa jedakowo puktowae; (każde z zadań jest warte 5 puktów). W czasie kolokwium wolo korzystać jedyie z kartek i pisaków. W szczególości iedozwoloe jest używaie otatek, kalkulatorów, telefoów itp. udogodień. Rozwiazaia powiy zawierać uzasadieia (dowody). Należy sie w ich powoływać a fakty, twierdzeia itp. z wykładu badź z ćwiczeń. Czas pracy 20 mi. Zadaia Wyzaczyć kres góry i kres doly zbioru A, gdzie A = { + k 2 Zaleźć graice ciagu {a }, jeżeli 2 + k 2 + a = : k, IN ( ) Zaleźć graice ciagu {a }, określoego rekurecyjie w astepuj acy sposób: Zbadać zbieżość szeregu: a = 2, a + = 3 a dla. ( ) }. Powodzeia!

5 Kolokwium z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków,. XII Proszę o rozwiązaia zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, umer ideksu, grupa ćwiczeiowa ew. NSI ; oraz poiżej Zadaie r... ). Podczas kolokwium ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Wszystkie rozwiązaia powiy zawierać uzasadieia (tz. dowody). Należy się w ich powoływać a twierdzeia z wykładu, ew. z ćwiczeń. Należy także pamiętać o sprawdzaiu koieczych do ich użycia założeń! Za każde z zadań moża otrzymać maksymalie 5 puktów. Czas a rozwiązaie zadań: 2 godz. i 20 mi. Wyzacz kresy (if i sup) zbioru { } k :, k IN k Czy zbiór te posiada elemet ajwiększy? A ajmiejszy (uwaga: 0 IN)? Zakładamy, że {r } jest pewym ciągiem o wszystkich wyrazach iezerowych takim, że r , r Zajdź graicę ciągu {a } określoego rekurecyjie warukami: w zależości od wyboru x IR. a = x, a + = r a dla, Zajdź graice ciągów o wyrazach zadaych astępująco: a) a = 2 3 ; b) b = (!) 2 (!) 3 (!). Zbadaj zbieżość szeregu + a, gdzie a = ( ) + ( ) ( + ).

6 Kolokwium z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 24. XI Proszę o rozwiązaia zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, umer ideksu, grupa ćwiczeiowa; oraz poiżej Zadaie r... ). Podczas kolokwium ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Wszystkie rozwiązaia powiy zawierać uzasadieia (tz. dowody). Należy się w ich powoływać a twierdzeia z wykładu, ew. z ćwiczeń. Należy także pamiętać o sprawdzaiu koieczych do ich użycia założeń! Za każde z zadań moża otrzymać maksymalie 5 puktów. Czas a rozwiązaie zadań: 2 godz. i 30 mi. Wyzacz kresy (if i sup) zbioru { 3 } k! + k + 30 :, k IN, 3 k. Zajdź graicę bądź wykaż, że graica ie istieje, dla ciągów o wyrazach zadaych astępująco: a) a = ; b) b = 2, b + = 5 b dla. a) Zakładamy, że a oraz, że b g, gdzie g (0; + ). Udowodij, że a b) Zajdź przykład ciągu {c } o wyrazach dodatich, dla którego c 0. b. Zbadaj zbieżość szeregu + a, jeżeli a) a = e ; b) a = e (0 + ). To 30 w miaowiku zostało marie wybrae i skomplikowało iezamierzeie rozwiązaie...zamysł był taki, by to była stała C taka, że dla wszystkich aturalych zachodzi 3! + C. Np. C = 23 chyba byłoby już odpowiedie... proszę sprawdzić!

7 Kolokwium z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 24. XI. 20 Proszę o rozwiązaia każdego z zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, r ideksu, r grupy ćwiczeiowej; oraz iżej Zadaie r... ). Podczas kolokwium ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaie każdego zadaia powio być poparte dowodem. Poszczególe kroki dowodu, poza zupełie elemetarymi, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu; ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te ależy każdorazowo wskazywać w sposób umożliwiający idetyfikację (p. podając ich azwę). Każde z zadań warte jest 0 pkt, a podpukty są rówej wartości. Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. i 5 mi. Wykaż, że dla każdego IN zachodzi Uwaga: za dowód słabszego wyiku, miaowicie, że dla dostateczie dużych zachodzi moża otrzymać 4 pkt. Zajdź graicę bądź wykaż, że oa ie istieje, dla ciągów o wyrazach zadaych wzorami: 5 4 a) ; b) Zajdź graicę bądź wykaż, że oa ie istieje, dla ciągów o wyrazach zadaych wzorami: a) 2 + (2, 7) ; b) Wyzacz kresy (if i sup) zbioru 2 + ( + 2 ) { } 7 + k :, k IN. 7 + k 2 Zadaie 5. Rozstrzygij które z poiższych zdań są prawdziwe: a) Dla każdego ciągu liczbowego {a } i każdego g IR [( r> r > N IN N IN g r ) ] < a r < g + r = (a g) r b) Dla każdego ciągu liczbowego {a } i każdego g IR [ (a g) = ( r ( ;0) N IN N IN a g < r 2 )]. Zadaie 6. Rozstrzygij, czy poiższe zdaie jest prawdziwe: Dla każdego iepustego, ograiczoego z góry zbioru A IR i każdego d IR [ (sup A = d A) = ( N IN N IN a A d < a d )]. +

8 Kolokwium z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 22. XI. 202 Proszę o rozwiązaia każdego z zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, r ideksu, r grupy ćwiczeiowej; oraz iżej Zadaie r... ). Podczas kolokwium ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaie każdego zadaia powio być poparte dowodem. Poszczególe kroki dowodu, poza zupełie elemetarymi, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu; ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te ależy każdorazowo wskazywać w sposób umożliwiający idetyfikację (p. podając ich azwę). Każde z zadań warte jest 5 pkt. Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. Zajdź ajmiejszą ( ) spośród liczb aturalych N, takich, że dla każdej liczby aturalej N zachodzi lub wykaż, że żade takie N ie istieje. Zajdź graicę bądź wykaż, że oa ie istieje, dla ciągów o wyrazach zadaych wzorami: a) (, 007) ( ( ) ( ) 203; + 4 ) b) 2 ( ) ; c) ( ( k ) ). 4 k= k Wyzacz kresy (if i sup) poiższych zbiorów i zbadaj, czy zbiory te posiadają elemet ajmiejszy oraz czy posiadają elemet ajwiększy: a) { 7 + 9k 9 + 7k :, k IN } ; b) Rozstrzygij które z poiższych zdań są prawdziwe: { k + k :, k IN }. a) Dla każdego ciągu liczbowego {a } i każdego g IR (a g) = b) Dla każdego ciągu liczbowego {a } i każdego g IR ( ɛ>0 N IN N a + a < ɛ 4). ( g = sup{a : 00} oraz g = if{a : 202} ) = g = lim + a. c) Dla każdego ciągu liczbowego {a } i dla dowolych g, h IR, ( lim a (2) = g oraz + lim a (3) = h oraz IN a (7+) = ) = g = h. +

9 Kolokwium z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 9 XII 203 Proszę o rozwiązaia każdego z zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, r ideksu, r grupy ćwiczeiowej; oraz iżej Zadaie r... ). Podczas kolokwium ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaie każdego zadaia powio być poparte dowodem. Poszczególe kroki dowodu, poza zupełie elemetarymi, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu; ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te ależy każdorazowo wskazywać w sposób umożliwiający idetyfikację (p. podając ich azwę). Każde z zadań warte jest 5 pkt. Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. Uwaga: dla ustaleia uwagi i uikięcia pytań tu 0 IN. Wyzacz kresy (if i sup) poiższych zbiorów i zbadaj, czy zbiory te posiadają elemet ajmiejszy oraz czy posiadają elemet ajwiększy: a) { } ɛ + ɛ : ɛ (0; ) ; b) { 2 m+ : m, IN m + 22 Zajdź graicę (o ile istieje) dla ciągów o wyrazach zadaych wzorami: a) ; b) e 2 ; c) 6 Zbadaj zbieżość i bezwzględą zbieżość szeregów: + a) ; b) ( ). 4 2 =2 + ( ) 2 }. ( + ) ( 2 ) 2. ( Niech g = = (3 ) (+) ) Wykaż, że 0, 258 < g < 0, Wskazówka: oblicz (zapisz w postaci dziesiętej) drugą sumę częściową. Przypomieie: kalkulator zabroioy...

10 Kolokwium z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, XII 204 (ok. godz. 4.5) Proszę o rozwiązaia każdego z zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, r ideksu, r grupy ćwiczeiowej; oraz iżej Zadaie r... ). Podczas kolokwium ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaie każdego zadaia powio być poparte dowodem. Poszczególe kroki dowodu, poza zupełie elemetarymi, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu; ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te ależy każdorazowo wskazywać w sposób umożliwiający idetyfikację (p. podając ich azwę). Każde z zadań warte jest 5 pkt. Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. Wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu {r } 0 są w przedziale [ 0; 0]. Rozważamy ciąg {a } 0 zaday rekurecyjie wzorami: a 0 = 700, a + = 4a + r dla 0. a) Udowodij istieie takiej liczby C > 0, że dla wszystkich 0 zachodzi a C (4, ). Wskaż pewą taką liczbę C. b) Zajdź graicę ciągu zadaego wzorem a + (4, 2). Wolo tu korzystać z iformacji zawartej (4, 2) 40 4 w a) awet, gdy się tego puktu ie rozwiązało. Zajdź graicę ciagu {a } zadaego wzorem a = lub wykaż, że graica tego ciągu ie istieje Rozważamy szereg ( ) =0 (3 + ( ) ). a) Zajdź jego sumę, jeżeli oa istieje. b) Zajdź sup {S : 0}, gdzie {S } 0 jest ciągiem sum częsciowych tego szeregu. Zbadaj zbieżość szeregów: a) ( ) + 333, b) + ( ) + ( )

11 Kolokwium z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 3 XII 205 (ok. godz. 4.5) Proszę o rozwiązaia każdego z zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, r ideksu, r grupy ćwiczeiowej; oraz iżej Zadaie r... ). Podczas kolokwium ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaie każdego zadaia powio być poparte dowodem. Poszczególe kroki dowodu, poza zupełie elemetarymi, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu; ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te ależy każdorazowo wskazywać w sposób umożliwiający idetyfikację (p. podając ich azwę). Każde z zadań warte jest 7,5 pkt (4 7, 5 = 70) Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. Wykaż zbiezość i zajdź graicę ciągu {a } określoego rekurecyjie w astępujący sposób: a = 2, a + = 3 a dla. Zajdź graicę ciągu {c } zadaego dla IN wzorem c = 5 + że graica tego ciągu ie istieje. k= ( 3 + )k k lub wykaż, Niech x = dla. Zbadaj zbieżość, bezwzględą zbieżość oraz warukową zbieżość szeregu: a) b) ( ) x, ( ) (x ) p dla każdej wartości parametru całkowitego p 2. Ciąg liczb rzeczywistych {r } 0 jest ograiczoy. Rozważamy pewie ciąg {a } 0 spełiający wzór rekurecyjy: a + = 0a + r dla 0. Udowodij, że szereg =0 a jest bezwzględie zbieży. (0, 2)

12 Kolokwium z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 5 XII 206 (ok. godz. 4.5) Proszę o rozwiązaia każdego z zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, r ideksu, r grupy ćwiczeiowej; oraz iżej Zadaie r... ). Podczas kolokwium ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaie każdego zadaia powio być poparte dowodem. Poszczególe kroki dowodu, poza zupełie elemetarymi, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu; ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te ależy każdorazowo wskazywać w sposób umożliwiający idetyfikację (p. podając ich azwę). Każde z zadań warte jest 7,5 pkt (4 7, 5 = 70) Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. Uwaga: dla uikięcia pytań przypomieie: tu 0 IN. Zajdź graicę ciągu {a } określoego rekurecyjie w astępujący sposób: lub wykaż, że ciąg te ie ma graicy. a = 2, a + = 3 a dla Niech c :=! dla każdego IN. a) Wykaż, że dla każdego IN zachodzi c. b) Wykaż, że lim c =. + Uwaga: ie zapomij, że pojawia się tu dwukrotie po raz pierwszy w defiicji c... ( c) Zbadaj zbieżość szeregu c ) ( 2 ). Szereg a jest zbieży oraz a dla wszystkich 0. Wykaż zbieżość szeregu =0 Czy musi o (te drugi szereg) być bezwzględie zbieży? =0 a + a. Zbadaj zbieżość szeregów: a) ( ) b) ( ) ( )

13 Egzami pisemy z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 4. II Rozwiązaia poszczególych zadań ależy pisać a osobych, czytelie podpisaych kartkach proszę o apisaie w lewym górym rogu każdej kartki swego imieia, azwiska i umeru ideksu oraz poiżej umeru rozwiązywaego zadaia. W czasie egzamiu z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. korzystać ie wolo. Rozwiązaia, poza zad.., 2., 3. oraz 4., powiy zawierać uzasadieia (tz. dowody). Należy się w ich powoływać a twierdzeia z wykładu, ew. z ćwiczeń. Czas a rozwiązaie zadań: 60 mi. [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie o graicy ciągu mootoiczego. [6 pkt.] Zajdź przykład takiego ciągu liczbowego {x }, że dla dowolego N IN ciąg {x } N ie jest mootoiczy oraz zachodzi lim + x = +. [0 pkt.] Zajdź wszystkie takie p > 0, dla których jest zbieży (tj. ma graicę skończoą) ciąg k p + k + zaday dla IN wzorem c = k 3 k 2 +. k= [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie o osiągaiu wartości pośredich (Bolzao o własości Darboux ). [6 pkt.] O każdym z poiższych zbiorów rozstrzygij, czy jest o obrazem pewej fukcji ciągłej f : [0; ] (2; 3) IR: a) [0; ], b) [0; ] [2; 3], c) zbiór trzyelemetowy {, 2, 3}. [0 pkt.] a) Wykaż, że rówaie l x = x ma przyajmiej dwa rozwiązaia x > 0. b) Czy 3 istieją trzy róże rozwiązaia tego rówaia? [0 pkt.] Niech α > 0 i rozważmy fukcję g : IR IR, g(x) = xe αx2 dla x IR. Zajdź kres góry i kres doly zbioru wartości tej fukcji. [4 pkt.] Podaj wzory defiiujące -ty wielomia Taylora i -tą resztę Taylora fukcji f w pukcie x 0. Sformułuj twierdzeie Peao o postaci reszty Taylora. [6 pkt.] a) Czy fukcja g z puktu dla α = jest sumą jakiegoś szeregu potęgowego o środku w x 0 = 0 (a całej swej dziedziie)? b) Zajdź wartość pochodej rzędu 000 powyższej fukcji g w pukcie 0. [4 pkt.] Sformułuj twierdzeia Rolle a i Lagrage a o wartości średiej. [0 pkt.] Podaj dowód jedego twierdzeia wybraego spośród powyższych. [0 pkt.] Niech f : [; + ) IR będzie fukcją różiczkowalą taką, że lim x + f (x) = a oraz iech a = f( + ) f() dla IN. Wykaż, że lim + a = a.

14 Egzami pisemy z Aalizy Matematyczej I (drugi termi) dla Iformatyków, 4. III Rozwiązaia poszczególych zadań ależy pisać a osobych, czytelie podpisaych kartkach proszę o apisaie w lewym górym rogu każdej kartki swego imieia, azwiska i umeru ideksu oraz poiżej umeru rozwiązywaego zadaia. W czasie egzamiu z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. korzystać ie wolo. Rozwiązaia, poza zad.., 2., 3. oraz 4., powiy zawierać uzasadieia (tz. dowody). Należy się w ich powoływać a twierdzeia z wykładu, ew. z ćwiczeń. Czas a rozwiązaie zadań: 60 mi. [4 pkt.] Sformułuj kryterium porówawcze zbieżości szeregów. [6 pkt.] Zajdź przykłady a) szeregu + a zbieżego warukowo takiego, że dla dowolego IN zachodzi a < ; b) szeregu + a rozbieżego takiego, że dla dowolego IN zachodzi a <. [0 pkt.] Zakładamy, że + b jest zbieży oraz + a jest bezwzględie zbieży. Wykaż, że + a b jest bezwzględie zbieży. Czy przy założeiu jedyie zbieżości obu szeregów + a i + b szereg + a b musi być zbieży? [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie Weierstrassa o osiągaiu kresów. [6 pkt.] O każdym z poiższych zbiorów rozstrzygij, czy jest o obrazem pewej fukcji ciągłej f : [0; ] [2; 3] IR: a) [0; ], b) [0; ) (2; 3], c) [0; 2) (; 3]. [0 pkt.] Wykaż, że fukcja f : IR IR zadaa dla x IR wzorem f(x) = l(x ) x2 osiąga swój kres góry. Zajdź te kres. [4 pkt.] Podaj wzory defiiujące -ty wielomia Taylora i -tą resztę Taylora fukcji f w pukcie x 0. Sformułuj twierdzeie Lagrage a o postaci reszty Taylora. [6 pkt.] Niech R(x) = si x (x x3 ). Rozstrzygij, czy jest możliwe by R() było większe 3! od. 24 [0 pkt.] Zbadaj zbieżość szeregu + ( e ( )) 2. [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie o graicy iloczyu dwóch ciągów (część tw. o rachukowych własościach graicy dla ciągów). [0 pkt.] Podaj dowód powyższego twierdzeia dla przypadku graic skończoych (moża pomiąć dowód lematu użytego a wykładzie w tym dowodzie). [0 pkt.] Zbadaj, czy ciąg zaday wzorem a = posiada graicę; zajdź ją w przypadku odpowiedzi twierdzącej.

15 Egzami pisemy z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków - termi I, 30. I Proszę o rozwiązaia zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, umer ideksu; oraz poiżej umer rozwiązywaego zadaia). Podczas egzamiu ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia, poza wszystkimi puktami, powiy zawierać uzasadieia (tz. dowody). Należy się w ich powoływać a twierdzeia z wykładu, ew. z ćwiczeń. Należy także pamiętać o sprawdzaiu wszystkich koieczych do ich użycia założeń! Czas a rozwiązaie zadań: 2 godz. i 40 mi. [4 pkt.] Sformułuj kryterium Dirichleta zbieżości szeregów liczbowych. [6 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } a) jeżeli + a jest bezwzględie zbieży, to + ( ) a jest zbieży? b) + a jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy oba szeregi + a 2 i + a 2 są zbieże? [0 pkt.] Zbadaj zbieżość szeregu + ( ) p ( ), w zależości od parametru p > 0. [4 pkt.] Podaj defiicję ciągłości fukcji w pukcie w wersji Heiego i w wersji Cauchy ego. [6 pkt.] Wskaż przykład fukcji f : IR IR w każdym pukcie x IR ieciągłej, która jest a) ograiczoa; b) ieograiczoa. [0 pkt.] Wykaż, że rówaie x 5 5x = 2 posiada przyajmiej 3 rozwiązaia x IR. Czy posiada ich więcej iż 3? [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie o ekstremach lokalych. [0 pkt.] Podaj dowód powyższego twierdzeia dla przypadku maksimum lokalego. [0 pkt.] Zajdź ekstrema lokale fukcji f : IR IR zadaej wzorem f(x) = x2 + 2x + 2 e x. [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie wiążące wypukłość fukcji z własościami jej pierwszej pochodej. [6 pkt.] Rozważamy wielomiay określoe a całej prostej IR. a) Podaj przykład wielomiau, który ie jest ai fukcją wypukłą, ai fukcją wklęsłą. b) Podaj przykład wielomiau, który jest fukcją wypukłą i jedocześie fukcją wklęsłą. c) Wyjaśij, dlaczego wielomia drugiego stopia jest fukcją wypukłą lub fukcją wklęsłą. [0 pkt.] O dwukrotie różiczkowalej fukcji g : IR IR wiadomo, że g(0) = 999, g (0) = 000 oraz że g (x) 0000 dla dowolego x IR. Niech K := g ( ) 000. Wykaż, że liczba K ma w zapisie dziesiętym drugą cyfrę po przeciku rówą 9 lub 0. Jakie są jej wcześiejsze cyfry (przed i po przeciku)?

16 Egzami pisemy z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków - termi II, 4. III Proszę o rozwiązaia zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, umer ideksu oraz poiżej umer rozwiązywaego zadaia). Podczas egzamiu ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia, poza wszystkimi puktami, powiy zawierać uzasadieia (tz. dowody). Należy się w ich powoływać a twierdzeia z wykładu, ew. z ćwiczeń. Należy także pamiętać o sprawdzaiu założeń koieczych do ich użycia! Czas a rozwiązaie zadań: 2 godz. i 40 mi. [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie o trzech ciągach. [0 pkt.] Podaj dowód powyższego twierdzeia. [0 pkt.] Zbadaj zbieżość ciągu {a } zadaego wzorem a = [4 pkt.] Sformułuj kryterium d Alemberta zbieżości szeregów liczbowych. [6 pkt.] Wskaż przykład takiego ciągu liczbowego {a }, że a a) lim + + a i + a jest rozbieży; a b) ie istieje lim + + i + a a jest zbieży. + ( ) 2009 [0 pkt.] Zbadaj zbieżość szeregu 2009! + ( ) k= ( 2 k ) k. [4 pkt.] Podaj defiicję jedostajej ciągłości i wyjaśij jedym iedługim zdaiem ses różicy w defiicjach pomiędzy ciągłością ( def. Cauchy ego ) a jedostają ciągłością. [6 pkt.] Czy istieje fukcja f : [0; ] IR, która a) jest ciągła, ale ie jest jedostajie ciągła; b) jest różiczkowala, ale ie jest jedostajie ciągła; c) jest jedostajie ciągła i jej zbiór wartości jest dwuelemetowy. [0 pkt.] Dla każdego α > 0 zajdź zbiór wartości fukcji g : (0; ] IR zadaej wzorem g(x) = l(x 2 + ) α l x. [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie Peao o reszcie Taylora. [6 pkt.] Zajdź 2-gi, 3-ci oraz 000-czy wielomia Taylora o środku w x 0 = 0 fukcji f : IR IR zadaej wzorem f(x) = x 3. Zilustruj powyższe twierdzeie tymi trzema przykładami. [0 pkt.] O fukcji f : IR IR wiadomo, że jest różiczkowala 000 krotie w pukcie 0 oraz f (k) (0) = k! dla każdego k = 0,..., 000. Oblicz (o ile istieje) graicę lim x 0 f(x) 000 k=0 x k + cos(x 500 ). si(x 000 )

17 Egzami pisemy z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków - termi II dla NSI, 2. IX Proszę o rozwiązaia zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, umer ideksu oraz poiżej umer rozwiązywaego zadaia). Podczas egzamiu ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia, poza wszystkimi puktami, powiy zawierać uzasadieia (tz. dowody). Należy się w ich powoływać a twierdzeia z wykładu, ew. z ćwiczeń. Należy także pamiętać o sprawdzaiu założeń koieczych do ich użycia! Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie o trzech ciągach. [6 pkt.] Wskaż przykłady ciągów liczbowych {a } oraz {b } o astępujących własościach: a) {a } jest zbieży, ale jego graica ie jest kresem górym ai dolym zbioru jego wyrazów {a : IN}; b) {b } jest zbieży i jego graica jest kresem górym zbioru jego wyrazów, ale dla każdego N IN ciąg te umeroway od N (tz. ciąg {b } N ) ie jest mootoiczy. [0 pkt.] Zbadaj zbieżość ciągu {a } zadaego wzorem a = k= ( 3 2 k ) k. [4 pkt.] Sformułuj kryterium porówawcze zbieżości szeregów liczbowych. [6 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } a) jeżeli + a jest bezwzględie zbieży, to + ( ) a jest zbieży? b) + a jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy oba szeregi + a 2 i + a 2 są zbieże? [0 pkt.] Zbadaj zbieżość szeregu + ( ) p +, w zależości od parametru p > 0. [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie o osiągaiu wartości pośredich (tz., tw. Bolzao o własości Darboux ). [6 pkt.] O każdym z poiższych zbiorów rozstrzygij, czy jest o obrazem pewej fukcji ciągłej f : [0; ] (2; 3) IR: a) [0; ], b) [0; ] [2; 3], c) zbiór trzyelemetowy {, 2, 3}. [0 pkt.] a) Wykaż, że rówaie l x = x ma przyajmiej dwa rozwiązaia x > 0. b) Czy 3 istieją trzy róże rozwiązaia tego rówaia? [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie Lagrage a o wartości średiej. [0 pkt.] Podaj dowód powyższego twierdzeia. [0 pkt.] Niech f : [; + ) IR będzie fukcją różiczkowalą taką, że lim x + f (x) = 2009 oraz iech a = f( + ) f() dla IN. Wykaż zbieżość ciągu {a } i zajdź lim a. +

18 Egzami pisemy z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków - termi I, II 200 Proszę o rozwiązaia zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, umer ideksu oraz poiżej umer rozwiązywaego zadaia). Podczas egzamiu ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia, poza wszystkimi puktami, powiy zawierać uzasadieia (tz. dowody). Należy się w ich powoływać a twierdzeia z wykładu, ew. z ćwiczeń. Należy także pamiętać o sprawdzaiu założeń koieczych do ich użycia! Czas a rozwiązaie zadań: 2 godz. i 50 mi. [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie Bolzao Weierstrassa. [0 pkt.] Podaj dowód powyższego twierdzeia (jeśli w dowodzie używasz lematu użytego a wykładzie, podaj jego sformułowaie, ale dowodu ie zamieszczaj). [0 pkt.] Oblicz, jeśli istieje, graicę ciągu {a } daego wzorem a = ( ) 0k + 70 k. k= k + 3 Uwaga: tu ie przyda się raczej twierdzeie z puktu. [4 pkt.] Sformułuj kryterium Leibiza zbieżości szeregów liczbowych. [6 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } a) jeżeli b) jeżeli a jest zbieży, to a jest zbieży, to ( ) a jest zbieży? a [0 pkt.] Zbadaj zbieżość szeregu 2 jest bezwzględie zbieży? + ( ( ) 3 ). 2 [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie Bolzao o własości Darboux (tj. o osiągaiu wartości pośredich ). [6 pkt.] Rozstrzygij, czy dla każdego wielomiau f o współczyikach rzeczywistych, postaci f(x) = a x + + a 0, gdzie, poiższe zdaie jest prawdziwe: a) jeżeli jest ieparzyste i a 0, to rówaie f(x) = 0 posiada pierwiastek rzeczywisty; b) jeżeli a = oraz a 0 =, to rówaie f(x) = 0 posiada pierwiastek rzeczywisty; c) jeżeli jest parzyste oraz a = i a 0 =, to rówaie f(x) = 0 posiada co ajmiej dwa pierwiastki rzeczywiste. [0 pkt.] Ile rozwiązań x > 0 posiada rówaie x = 7 l x? [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie Peao o postaci reszty Taylora. [6 pkt.] Wykaż, że jeśli f : IR IR jest różiczkowala 2-krotie w pukcie 0 oraz f(0) = f (0) = f f(x) (0) = 0, to lim = 0. x 0 x 2 [0 pkt.] Oblicz, o ile istieje, graicę lim x 0 l( + x 3 ) x 3 x 3 ( x ). x x2

19 Egzami pisemy z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków - termi II, 3 III 200 Proszę o rozwiązaia zadań a osobych, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu kartkach (włase imię, azwisko, umer ideksu oraz poiżej umer rozwiązywaego zadaia). Podczas egzamiu ie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia, poza wszystkimi puktami, powiy zawierać uzasadieia (tz. dowody). Należy się w ich powoływać a twierdzeia z wykładu, ew. z ćwiczeń. Należy także pamiętać o sprawdzaiu założeń koieczych do ich użycia! Czas a rozwiązaie zadań: 2 godz. i 50 mi. [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie o trzech ciągach. [0 pkt.] Podaj dowód powyższego twierdzeia. [0 pkt.] Oblicz, jeśli istieje, graicę ciągu {a } 8 daego wzorem a = ( 7 + 7) 7 7. [4 pkt.] Sformułuj kryterium asymptotycze zbieżości szeregów liczbowych. [6 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } spełiającego a) a jest zbieży? b) a [0 pkt.] Zbadaj zbieżość szeregu jest bezwzględie zbieży? c) (l ) 00 ( 9 2 ). a jest zbieży? ( ) a [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie Weierstrassa o osiągaiu kresów. [6 pkt.] O każdym z poiższych zbiorów rozstrzygij, czy jest o obrazem pewej fukcji ciągłej f : [0; ] [2; 3] IR: a) [ ; ], b) [0; 00) (2; 3], c) [0; 20) (5; 30]. [0 pkt.] Czy fukcja f : IR IR zadaa dla x IR wzorem f(x) = l(e x + e 9 ) e x osiąga któryś ze swych kresów? Zajdź zbiór wartości tej fukcji. [4 pkt.] Sformułuj twierdzeie Lagrage a o postaci reszty Taylora. [6 pkt.] Niech T 3 ozacza 3-ci wielomia Taylora fukcji f w pukcie x 0 dla a) f(x) = 2x 3 + x 6, x 0 = 0; b) f(x) = x 2, x 0 = 2. W obu przypadkach oblicz T 3 (). [0 pkt.] Zajdź pewe przybliżeie wymiere liczby 000 e z dokładością do 0 6.

20 Egzami z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 23 I. 202, godz Proszę o rozwiązaia zadań a osobych kartkach, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu imieiem, azwiskiem, umerem ideksu oraz poiżej umerem zadaia. Nie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia, powiy być poparte dowodem (poza puktami w zad. 2, 3, 4). Poszczególe kroki dowodu, poza zupełie elemetarymi, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu; ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te ależy każdorazowo wskazywać w sposób umożliwiający idetyfikację (p. podając ich azwę). Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. i 0 mi. [5 pkt.] Sformułuj twierdzeie o trzech ciągach. [0 pkt.] Podaj dowód powyższego twierdzeia. [0=5+5 pkt.] Wiemy, że wszystkie wyrazy ciągu {r } 0 są w przedziale [ 0; 0]. Rozważamy ciąg {a } 0 zaday rekurecyjie wzorami: a 0 = 700, a + = 4a + r dla 0. a) Udowodij istieie takiej liczby C > 0, że dla wszystkich 0 zachodzi a C (4, ). Wskaż pewą taką liczbę C. a + (4, 2) b) Zajdź graicę ciągu zadaego wzorem. Wolo tu korzystać z iformacji (4, 2) 40 4 zawartej w a) awet, gdy się tego puktu ie rozwiązało. [5 pkt.] Sformułuj kryterium porówawcze zbieżości szeregów liczbowych. [6=3+3 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } a) jeżeli + a jest zbieży, to + (a ) 2 jest zbieży? b) jeżeli + a jest bezwzględie zbieży, to + (a ) 5 jest bezwzględie zbieży? [0 pkt.] Dla każdego y IR zbadaj, czy zbieży jest szereg y [5 pkt.] Sformułuj kryterium Dirichleta zbieżości szeregów liczbowych. [6=3+3 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } a) jeżeli + a a jest zbieży, to jest zbieży? 202 b) jeżeli + ( ) a jest zbieży, to lim a = 0? + [0=5+5 pkt.] Zbadaj, czy poiższe szeregi są zbieże: a) ( ) ; b) ( ) (+) 2 (l ) 2 20 l + 0. [5 pkt.] Sformułuj twierdzeie Weierstrassa o osiągaiu kresów. { dla x = 0 [6=3+3 pkt.] Czy fukcja f : [0; + ) IR zadaa wzorem f(x) = si x dla x > 0 x a) jest ograiczoa? b) osiąga swoją ajwiększą wartość? [0 pkt.] Fukcja f : [0; ] IR jest ciągła, a kres góry zbioru jej wartości jest rówy. Wykaż, że istieje x [0; ] takie, że f(x) = cos x.

21 Egzami poprawkowy z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 29 II 202, godz Proszę o rozwiązaia zadań a osobych kartkach, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu imieiem, azwiskiem, umerem ideksu oraz poiżej umerem zadaia. Nie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia (prócz w zad. 2, 3, 4), muszą być poparte dowodami, a ich poszczególe kroki, poza zupełie elemetarymi, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu; ew. także z ćwiczeń. Należy się powoływać a ie przy każdym użyciu, w sposób umożliwiający ich idetyfikację (p. podając azwę). Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. i 0 mi. [5 pkt.] Sformułuj twierdzeie o graicy ciągu mootoiczego. [0 pkt.] Podaj dowód powyższego twierdzeia. [0 pkt.] Zbadaj zbieżość ciągu {a } określoego poiższym wzorem rekurecyjym i oblicz jego graicę, jeżeli istieje: a = 7, a + = 2 + (07 ) ( ) ( + 2 ) a, dla. [5 pkt.] Sformułuj kryterium asymptotycze zbieżości szeregów liczbowych. [9=3+3+3 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } 2 + a) jeżeli a jest bezwzględie zbieży, to a 2 jest zbieży bezwzględie? b) jeżeli c) jeżeli + a jest zbieży, to a jest zbieży, to + [0 pkt.] Zbadaj zbieżość szeregu 2 + a jest zbieży? 2 + a jest zbieży? 3 2 e l( 20 + ). [5 pkt.] Sformułuj kryterium Leibitza zbieżości szeregów liczbowych. [9=3+3+3 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } a) jeżeli lim a = 0, to + + ( ) a jest zbieży? b) jeżeli + ( ) a jest zbieży, to lim a = 0? + c) jeżeli { a } jest malejący i lim a = 0, to + + ( ) a jest bezwzględie zbieży? [0 pkt.] Zbadaj, czy szereg ( ) (2 ) (l ) 2 20 l + 08 jest zbieży. Uwaga! Dalszy ciąg po drugiej stroie.

22 [8=2+3+3 pkt.] Sformułuj defiicje: puktu skupieia zbioru, graicy fukcji w pukcie oraz ciągłości fukcji w pukcie. [9=3+3+3 pkt.] Rozważamy fukcję f : [0; + ) IR zadaą dla x 0 wzorem: f(x) = =0 ( ( ) x! =0 a) Rozstrzygij, czy f jest ciągła. b) Rozstrzygij, czy f osiąga swoje oba kresy. c) Zajdź obraz fukcji f. dla x! ) dla x =. [0 pkt.] Fukcja f : (0; 0] IR jest ciągła i osiąga w pukcie 3 swą ajwiększą wartość. Wykaż, że istieje liczba x 0, dla której f(x 0 ) = f(3x 0 ).

23 Egzami z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 28 I. 203, godz Proszę o rozwiązaia zadań a osobych kartkach, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu imieiem, azwiskiem, umerem ideksu oraz poiżej umerem zadaia. Nie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia, powiy być poparte dowodem (poza puktami w zad. 2, 3, 4). Poszczególe kroki dowodu, poza zupełie elemetarymi, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu; ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te ależy każdorazowo wskazywać w sposób umożliwiający idetyfikację (p. podając ich azwę). Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. i 30 mi. [8=3+5 pkt.] Podaj defiicję kresu górego zbioru i sformułuj twierdzeie o graicy ciągu mootoiczego. [0 pkt.] Podaj dowód powyższego twierdzeia dla przypadku ciągu rosącego (zarówo dla ciągu ograiczoego jak i dla ieograiczoego). [0=5+5 pkt.] Zbadaj zbieżość ciągów {a } i {A } określoych poiższymi wzorami i (202 ) ( ) 20 oblicz ich graice, jeżeli istieją: a) a = dla, b) A = 7, A + = a A dla (uwaga: a zaday jest w podpukcie a)). [0=5+5 pkt.] Sformułuj twierdzeia: o graicy uogólioego podciągu oraz Bolzao Weierstrassa. [8=4+4 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } i jego dowolego podciągu {c } a) jeżeli szereg + a jest zbieży, to + c też jest zbieży? b) jeżeli szereg + a jest bezwzględie zbieży, to + c także jest bezwzględie zbieży? [0 pkt.] Rozważamy taki ograiczoy ciąg liczbowy {a }, że każdy jego podciąg zbieży ma graicę miejszą iż. Wykaż, że a < dla dostateczie dużych. [=3+3+5 pkt.] Podaj defiicje zbieżości szeregu oraz asymptotyczego podobieństwa ciągów; sformułuj kryterium asymptotycze zbieżości szeregów liczbowych. [8=4+4 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } a) + a jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy szereg ( ) + + a jest zbieży? b) jeżeli + a jest bezwzględie zbieży, to + ( ) a jest zbieży? [0 pkt.] Dla każdego parametru s > 0 zbadaj zbieżość szeregu + ( ) ( ) s. [=3+3+5 pkt.] Podaj defiicje: ciągłości fukcji w pukcie oraz jedostajej ciągłości fukcji. Sformułuj twierdzeie o osiągaiu wartości pośredich. [6=2+2+2 pkt.] O każdym z poiższych zbiorów rozstrzygij, czy jest o obrazem pewej fukcji ciągłej f : IR IR: a) [0; ), b) (0; ] [2; 3], c) zbiór liczb wymierych Q. [0 pkt.] Rozważamy fukcję f : [0; + ) IR zadaą dla x 0 wzorem: ( + =0 f(x) = 2) x dla 0 x ( 0 =0 2) x dla x >. Zajdź wszystkie pukty, w których f jest ciągła oraz zajdź obraz f.

24 Egzami poprawkowy z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 6 III. 203, godz Proszę o rozwiązaia zadań a osobych kartkach, ozaczoych w lewym górym rogu imieiem, azwiskiem, umerem ideksu i iżej umerem zadaia. Nie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia, poza puktami w zad. 2, 3, 4, powiy być zredagowaymi w przejrzystej formie ścisłymi dowodami sformułowaych wyików/odpowiedzi (mogą być wzbogacoe o ogóle idee, czy ituicje, ale ie zastąpioe przez ie... ). Poszczególe kroki dowodów, poza zupełie elemetarymi, powiy bazować a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu, ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te proszę jawie wskazywać (p. podając ich azwę). Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. i 30 mi. Powodzeia! M.M. [8=4+4 pkt.] Podaj defiicję zbioru liczb aturalych i sformułuj Zasadę Idukcji Zupełej. [0 pkt.] Podaj dowód Zasady Idukcji Zupełej. [0=5+5 pkt.] Dla każdego c [0; 2] zbadaj, czy ciąg {a } zaday warukami a = c, a + = + (a ) 2 7 dla jest mootoiczy od pewego miejsca oraz zbadaj istieie graicy i zajdź jej wartość, gdy istieje. [8=4+4 pkt.] Sformułuj twierdzeie o trzech ciągach oraz kryterium porówawcze zbieżości szeregów. [0=5+5 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } a) jeżeli szereg + a jest bezwzględie zbieży, to ciąg {K } zaday dla wzorem K = l( 2 + ) k= a k (3k 3 2k) 7 k 3 si k jest zbieży? b) jeżeli szereg + a jest zbieży, to istieje taki podciąg {a } ciągu {a }, że szereg + a jest bezwzględie zbieży? [0 pkt.] Wykaż, że jeśli a b c d e f dla dostateczie dużych oraz lim + (f a ) = lim + (d c ) = 203, to {e b } jest zbieży. [8=2+2+4 pkt.] Podaj defiicję ciągu sum częściowych szeregu i sumy szeregu oraz sformułuj kryterium Dirichleta zbieżości szeregów. [2=4+4+4 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } a) jeżeli ciąg { 3 k= a k } jest zbieży, to szereg + a jest zbieży? b) gdy ciąg { 3 k= a k } jest zbieży, to szereg + ( ) a jest zbieży? c) jeżeli szereg + a jest zbieży oraz dla dostateczie dużych zachodzi a a +, to szereg + ( ) a jest zbieży? VERTE!

25 [0=7+3 pkt.] Ciąg {b } ma dodatie wyrazy oraz zachodzi l b lim + l = g. Udowodij, że jeśli g <, to szereg + b jest zbieży. Czy dla zbieżości tego szeregu wystarczyłoby, że g? [=3+3+5 pkt.] Podaj defiicje: ciągłości fukcji w pukcie oraz jedostajej ciągłości fukcji. Sformułuj twierdzeie Weierstrassa o osiągaiu kresów. [9=3+3+3 pkt.] O każdym z poiższych zbiorów rozstrzygij, czy jest o obrazem pewej fukcji ciągłej f : [0; ) IR: a) (0; ), b) IR, c) zbiór wszystkich liczb wymierych z [0; 00]. [0=4+6 pkt.] Rozważamy fukcję ciągłą f : IR IR spełiającą f(x + ) = f(x) dla wszystkich x IR. Wykaż, że f osiąga swoj kres doly i góry oraz, że istieje ieskończeie wiele takich c IR, że f(c + π) = f(c).

26 Egzami z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 28 I 204, godz Proszę o rozwiązaia zadań a osobych kartkach, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu imieiem, azwiskiem, umerem ideksu oraz poiżej umerem zadaia. Nie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia powiy być poparte dowodem, poza puktami. Poszczególe kroki dowodu, poza zupełie elemetarymi, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu, ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te ależy każdorazowo wskazywać w sposób umożliwiający idetyfikację (p. podając ich azwę). Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. i 30 mi. [0=5+5 pkt.] Podaj defiicję graicy ciągu (w przypadku graicy skończoej oraz graicy ieskończoej) i sformułuj twierdzeie o trzech ciągach. [0 pkt.] Podaj dowód twierdzeia o trzech ciągach dla przypadku graicy skończoej. [0=5+5 pkt.] Zbadaj zbieżość ciągów {a } i {b } określoych poiższymi wzorami i oblicz ich graice, jeżeli istieją: a) a = k= k, b) b = 0, b + = dla =, 2,... 2 b [0=5+5 pkt.] Podaj defiicję ciągu Cauchy ego i sformułuj twierdzeie o zupełości IR. [0=4+3+3 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ciągu liczbowego {a } i dla każdej fukcji f : IR IR a) jeżeli f jest ciągła oraz {a } jest ciągiem Cauchy ego, to {f(a )} jest ciągiem Cauchy ego? b) jeżeli lim + a = 0 oraz lim + f(a ) = f(0), to f jest ciągła w 0? c) jeżeli f jest ciągła w 0 i lim + a = 0, to lim + f(a ) = f(0)? [0 pkt.] Czy to prawda, że ciąg {C } zaday dla IN wzorem: C = k= ( ) k k + 2 a) jest ciągiem Cauchy ego? b) jest ograiczoy? [0=5+5 pkt.] Sformułuj kryterium porówawcze zbieżości szeregów oraz podaj defiicję asymptotyczego podobieństwa ciągów i sformułuj kryterium asymptotycze. [0=3+3+4 pkt.] Czy to prawda, że dla dowolego ograiczoego ciągu {a } o wyrazach różych od 0 a) + a jest rozbieży? b) jeżeli IN a a + > 0, to + a jest rozbieży? c) jeżeli IN a a + < 0, to + a jest zbieży warukowo? + ( [0=4+6 pkt.] Zbadaj zbieżość szeregów: a), b)! 3 ) α 0 ( + )! dla wszystkich wartości parametru α IR. [0=3+4+3 pkt.] Podaj defiicję ciągłości fukcji oraz ciągłości fukcji w pukcie. Sformułuj twierdzeie o osiągaiu wartości pośredich oraz twierdzeie o osiągaiu kresów. [0= pkt.] Dla każdego z poiższych zbiorów rozstrzygij, czy istieje fukcja ciągła f : IR \ {0} IR taka, że zbiór te jest jej obrazem: a) {; 2}, b) ( ; 0) (0; ), c) ( ; 0) (0; ) (; 2), d) [0; ] [2; 3], e) [0; ]. [0 pkt.] Wykaż, że rówaie: posiada przyajmiej dwa rozwiązaia x IR. x = 3 x

27 Egzami poprawkowy z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 5 I 204 2, godz Proszę o rozwiązaia zadań a osobych kartkach, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu imieiem, azwiskiem, umerem ideksu oraz poiżej umerem zadaia. Nie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia powiy być poparte dowodem, poza puktami. Poszczególe kroki dowodu, poza zupełie elemetarymi, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu, ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te ależy każdorazowo wskazywać w sposób umożliwiający idetyfikację (p. podając ich azwę). Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. i 30 mi. [0=5+5 pkt.] Podaj defiicję graicy ciągu (w przypadku graic skończoych oraz ieskończoych) i sformułuj twierdzeie o graicy ciągu mootoiczego. [0 pkt.] Podaj dowód twierdzeia o graicy ciągu mootoiczego dla przypadku ciągu malejącego ograiczoego z dołu. [0=5+5 pkt.] Zbadaj zbieżość ciągów {a } i {b } określoych poiższymi wzorami i oblicz ich graice, jeżeli istieją: a) a = πe 2, a + = a 2 a + dla =, 2,..., b) b = [0=5+5 pkt.] Sformułuj kryterium porówawcze zbieżości szeregów. Podaj astępujące defiicje: ciągu sum częściowych szeregu, szeregu zbieżego, szeregu zbieżego warukowo oraz szeregu zbieżego bezwzględie. [0 pkt.] Podaj dowód kryterium porówawczego. [0=5+5 pkt.] Szereg + b jest zbieży. Defiiujemy a = 32 b 2 + dla IN. a) Wykaż zbieżość + a. b) Wykaż, że + a jest zbieży bezwzględie + b jest zbieży bezwzględie. [0=5+5 pkt.] Sformułuj kryterium Dirichleta oraz kryterium, d Alemberta zbieżości szeregów. [0= pkt.] Czy to prawda, że + a b jest zbieży dla każdego ciągu {a } i każdego ciągu {b }, które spełiają: a) {a } jest malejący i zbieży do 0 oraz + b =? b) {a } jest malejący i zbieży do oraz + b = 0? c) {a } jest ograiczoy i istieje taki x ( ; ), że b = x dla każdego? d) ( ) a = dla 7 i {b } jest zbieży do 0? e) a = ( ) ( mod 203) i b = dla 204? [0=5+5 pkt.] Zbadaj zbieżość szeregu + a ( ), gdy {a } zaday jest wzorem: a) ( ), b) ( mod 5) 2. Uwaga: symbol ( mod k) ozacza resztę z dzieleia przez k. [0= pkt.] Sformułuj twierdzeie o osiągaiu wartości pośredich oraz twierdzeie o osiągaiu kresów. Podaj defiicję fukcji jedostajie ciągłej oraz fukcji ciągłej. [0= pkt.] Jeżeli D IR oraz f : D IR jest jedostajie ciągła, to: a) D jest przedziałem domkiętym oraz f jest ciągła; b) f jest ciągła i ograiczoa; c) gdy D jest przedziałem domkiętym, to f(d) też jest przedziałem domkiętym, d) gdy f jest ieograiczoa, to także D jest ieograiczoy, e) gdy [0; ] D, to f( ) f(0). [0 pkt.] Fukcja ciągła f : IR IR spełia waruki f(203) = 204 i f(204) = 203. Wykaż, że f posiada pukt stały (tz. f(c) = c dla pewego c IR). 2 to miało być 5 III...

28 Egzami z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 4 II 205, ok. godz Rozwiązaia puktów ie wymagają żadych uzasadień (dowodów). Pukty, oraz ich wszystkie podpukty muszą zawsze zawierać dowód, jako zasadiczą część rozwiązaia. Koleje kroki dowodu, pomijając zupełie elemetare, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu, ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te ależy każdorazowo wskazywać w sposób umożliwiający idetyfikację (p. podając ich azwę). Nie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia zadań muszą być apisae a osobych kartkach, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu imieiem, azwiskiem, umerem ideksu oraz poiżej umerem zadaia. Czas a rozwiązaie zadań: 3 godz. i 45 mi. [0 pkt.] Podaj defiicję ograiczeia górego zbioru i kresu górego zbioru. Sformułuj aksjomat zupełości dla IR oraz zasadę Archimedesa. [0=5+5 pkt.] Czy to prawda, że dla każdego ciągu liczb {a } oraz A := {a : IN} zachodzi: a) jeżeli {a } jest ściśle mootoiczy i ograiczoy, to lim a jest kresem górym + lub dolym A i ie ależy do A? b) jeśli {a } jest mootoiczy, to A Q? [0 pkt.] Wyzacz kresy (if i sup) zbioru B := {l( + k) l( + k) :, k IN}. Czy zbiór te posiada elemet ajwiększy? A ajmiejszy? Uwaga: 0 IN. [0 pkt.] Podaj defiicję graicy ciągu w przypadku graicy g IR oraz g =. Sformułuj twierdzeie o trzech ciągach i twierdzeie o zachowaiu ierówości przy przejściu graiczym. [0=5+5 pkt.] Czy to prawda, że dla każdej pary ciągów liczbowych {a }, {b } takich, że {a } jest zbieży oraz {b } jest rozbieży, zachodzi: a) {a + b } jest rozbieży? b) jeśli {a } ma wszystkie wyrazy iezerowe, to {a b } jest rozbieży? [0=4+6 pkt.] Zbadaj zbieżość ciągów {a } i {b } określoych poiższymi wzorami i oblicz ich graice, jeżeli istieją: a) a = , b) b = (c ) 204, gdzie c + = 205 c dla IN oraz c = 206. Uwaga: w rekurecyjej defiicji ciągu {c } użyty jest, a ie. [0 pkt.] Podaj defiicję asymptotyczego podobieństwa ciągów i sformułuj kryterium asymptotycze zbieżości szeregów. Sformułuj kryterium Dirichleta. [0=4+6 pkt.] Czy to prawda, że szereg + ( ( ) 205 a) + ) jest zbieży? b) ( ( ) 205 Dodatkowe c) [0 pkt.]: k= ( ( ) 205 k 2 ) ) jest zbieży warukowo? 9 8 jest zbieży? [0 pkt.] Zbadaj zbieżość i bezwzględą zbieżość szeregu +, gdzie ciąg c = {c } spełia waruki: c =, c 2 = 2, c 3 = 3, c 4 = 0 oraz IN c +4 = c (tz. kolejymi wyrazami c są:, 2, 3, 0,, 2, 3, 0,, 2, itd.). [0 pkt.] Podaj defiicję jedostajej ciągłości fukcji oraz podaj przykład fukcji ciągłej, która ie jest jedostajie ciągła. Sformułuj twierdzeia 3 o osiągaiu wartości pośredich (tj. o własości Darboux). [0 pkt.] Przedstaw dowód twierdzeia o osiągaiu wartości pośredich. [0 pkt.] Wykaż, że jeżeli f : IR IR jest ciągła i ograiczoa, to posiada pukt stały (tz. f(c) = c dla pewego c IR). 3 Pow. być: twierdzeie. c

29 Egzami poprawkowy z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 2 II 205 Część I Czas a rozwiązaie zadań cz. I: 2 godz. Nie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. A. a) [7 pkt] Sformułuj aksjomat zupełości dla IR oraz zasadę maksimum (dla Z). Wyjaśij zasadiczą różicę między pojęciemi sup A i max A dla ograiczoego z góry podzbioru A IR. A. b) [3 pkt] Sformułuj twierdzeie o gęstości Q. B. a) [5 pkt] Czy to prawda, że dla każdego ciągu liczb {a } oraz A := {a : IN} zachodzi: jeżeli {a } jest zbieży, to if A lim a sup A? + B. b) [5 pkt] Czy to prawda, że dla każdego ograiczoego 4 ciągu liczb {a } oraz A := {a : IN} zachodzi: jeśli lim a = +, to A [205; + ) Q? + A. a) [5 pkt] Podaj defiicję ciągu zbieżego, rozbieżego oraz ciągu rozbieżego do +. A. b) [5 pkt] Sformułuj twierdzeie o trzech ciągach i o dwóch ciągach. B. a) [5 pkt] Czy to prawda, że dla każdej pary ciągów liczbowych {a }, {b } zachodzi: jeśli oba mają graicę rówą +, to {a b } ma graicę? B. b) [5 pkt] Czy to prawda, że dla każdej pary ciągów liczbowych rozbieżych {a }, {b } zachodzi: jeśli oba mają graicę, to {a b } ma graicę? B. c) Dodatkowe [5 pkt] Czy to prawda, że dla każdej pary ciągów liczbowych rozbieżych {a }, {b } zachodzi: jeżeli oba są ograiczoe, to { a + b } jest zbieży? A. a) [4 pkt] Podaj defiicję sumy szeregu oraz defiicję szeregu zbieżego. A. b) [3 pkt] Sformułuj kryterium asymptotycze zbieżości szeregów. A. c) [3 pkt] Spośród ciągów { 7 }, { ( ) }, { } 4+, { 3 } +2 wskaż wszystkie, które są asymptotyczie podobe do ciągu { }. B. a) [5 pkt] Czy to prawda, że jeśli szereg + a jest zbieży warukowo, a szereg + b jest zbieży bezwzględie, to (a + b ) jest zbieży? 4 Miało być bez słowa ograiczoego...

30 B. b) [5 pkt] Czy to prawda, że jeśli szereg + a jest zbieży warukowo, a szereg + b jest zbieży bezwzględie, to (a b ) jest zbieży bezwzględie? B. c) Dodatkowe [5 pkt] Czy to prawda, że jeśli szereg + a jest zbieży warukowo, a szereg + b jest zbieży bezwzględie, to (a + b ) jest zbieży warukowo? A. a) [4 pkt] Sformułuj twierdzeie o osiągaiu wartości pośredich (tj. o własości Darboux). A. b) [3 pkt] Sformułuj twierdzeie o jedostajej ciągłości. A. c) [3 pkt] Podaj przykład fukcji jedostajie ciągłej określoej a IR, która ie jest ai ograiczoa, ai mootoicza. B [0 pkt] Przedstaw dowód twierdzeie o osiągaiu wartości pośredich. Egzami poprawkowy z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 2 II 205 Część II Czas a rozwiązaie zadań cz. II: 2 godz. Nie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. Rozwiązaia muszą zawierać dowód, jako swą zasadiczą część. Koleje kroki dowodu, pomijając zupełie elemetare, powiy opierać się a twierdzeiach (w tym: lematach, faktach itp.) z wykładu, ew. także z ćwiczeń. Twierdzeia te ależy każdorazowo wskazywać w sposób umożliwiający idetyfikację (p. podając ich azwę). Rozwiązaia zadań muszą być apisae a osobych kartkach, czytelie ozaczoych w lewym górym rogu imieiem, azwiskiem, umerem ideksu oraz poiżej umerem zadaia. Każde zadaie jest warte 0 pkt. ( Wyzacz kresy (if i sup) zbioru B := k + 25k ) :, k IN. Czy zbiór te posiada elemet ajwiększy? A ajmiejszy? Uwaga: 0 IN. Wykaż, że jeśli g > h > 0, ciąg liczbowy {r } jest zbieży do g, oraz a := (r ) h dla IN, to lim a = g. Uwaga: jeśli ie potrafisz tego zrobić ogólie, to zrób choć dla poiższego + szczególego przypadku (za 4 pkt.): r = ( ) 2 3 i h =. 2 Zbadaj zbieżość i bezwzględą zbieżość szeregów ( ) (3+2) ( ) (3+7) a), b) Wykaż, że jeżeli f : [0; + ) IR jest ciągła, ograiczoa z góry oraz f(0) 0, to posiada pukt stały (tz. f(c) = c dla pewego c [0; + )).

31 Egzami z Aalizy Matematyczej I dla Iformatyków, 28 I 206 Część I Czas a rozwiązaie zadań cz. I: 2 godz. Do zdobycia: 60 pkt. Nie wolo korzystać z otatek, kalkulatorów, telefoów, pomocy sąsiadów, itp. A.) [7 pkt] Sformułuj pięć dowolie wybraych aksjomatów z zestawu aksjomatów liczb rzeczywistych, które dotyczą ierówości. B. a) [4 pkt] Czy to prawda, że dla każdej pary ograiczoych ciągów liczbowych {a } oraz {b } zachodzi: sup{a + b : IN} sup{a : IN} + sup{b : IN}? B. b) [4 pkt] Czy to prawda, że dla każdej pary ciągów liczbowych {a } oraz {b } zachodzi: sup{a + b : IN} = sup{a : IN} + sup{b : IN}? A. a) [5 pkt] Sformułuj twierdzeia o trzech ciągach i o przechodzeiu z ierówością do graicy. A. b) [tylko 0 lub 2 pkt] Rozstrzygij o prawdziwości każdego z poiższych zdań, wpisując odpowiedio TAK lub NIE w ramce. Dla każdej pary ciągów zbieżych {a }, {b } zachodzi: jeśli a < b dla dostateczie dużych, to lim a < lim b. + + Dla każdej pary ciągów zbieżych {a }, {b } zachodzi: jeśli lim a < lim b, to a < b dla dostateczie dużych. + + B. [8 pkt] Przedstaw dowód twierdzeia o trzech ciągach dla przypadku graicy rzeczywistej. A. a) [4 pkt] Podaj defiicję asymptotyczego podobieństwa ciągów i sformułuj kryterium asymptotycze zbieżości szeregów. A. b) [3 pkt] Sformułuj kryterium Dirichleta zbieżości szeregów. B. a) [3 pkt] Czy to prawda, że dla każdej pary szeregów zbieżych bezwzględie ich suma jest także szeregiem zbieżym bezwzględie? B. b) [2 pkt] Czy to prawda, że szereg ( ( ) ( 4 ) ) + ( )(+) jest zbieży? 5 4 B. c) [3 pkt] Czy to prawda, że szereg z podpuktu b) jest zbieży warukowo? A. a) [4 pkt] Podaj defiicję fukcji jedostajie ciągłej i sformułuj dowole zae Ci z wykładu twierdzeie dotyczące jedostajej ciągłości.