ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU GOSPODARCZEGO POLSKI I WYBRANYCH PAŃSTW UNII EUROPEJSKIEJ

Transkrypt

1 Anna Janiga-Ćmiel Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicac ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU GOSPODARCZEGO POLSKI I WYBRANYCH PAŃSW UNII EUROPEJSKIEJ Wprowadzenie Badanie dynamiki i flukuacji rozwoju gospodarczego wymaga wykonania zróżnicowanyc analiz sanowiącyc ściśle powiązaną sekwencję i dającyc zupełny obraz badanego zagadnienia. Wymagania sawiane wobec dokonywanyc analiz zmuszają do odpowiedniego doboru meod badawczyc. Analiza rozwoju gospodarczego wykonana na podsawie modeli maemaycznyc sanowi obecnie perspekywiczny kierunek działania w zakresie badań procesów wielowymiarowyc i daje impuls dla dalszego rozwoju badań [Hellwig, 997]. Każdy z modeli eoreycznyc badanego zagadnienia sanowi przybliżony opis współzależności mającyc miejsce w rozparywanym zagadnieniu i sanowi obraz badanej rzeczywisości. Powierdza o fak, że: Każda eoria cyklu określa inny dobór i inerpreację zdarzeń isorycznyc, co nadaje wielkie znaczenie wcześniejszemu usaleniu, za pomocą procedur meodologicznyc innyc niż pozyywisyczne, prawomocnyc eorii umożliwiającyc rafną inerpreację rzeczywisości. Nie isnieje, zaem żadne niezbie świadecwo isoryczne, ym bardziej zaś świadecwo zdolne wykazać, że jakaś eoria jes poprawna lub nie. Powinniśmy być więc bardzo osrożni i pokorni w naszyc nadziejac na empiryczne powierdzenie eorii. Musimy się, co najwyżej zadowolić rozwijaniem spójnej logicznie eorii możliwie wolnej od błędów łańcucu argumenów logicznyc i oparej na podsawowyc zasadac ludzkiego działania. Dysponując aką eorią, możemy sprawdzić, czy dobrze pasuje ona do zdarzeń isorycznyc i pozwala inerpreować rzeczywise przypadki w sposób ogólniejszy, bardziej wyważony i poprawny niż inne, alernaywne eorie [Huera de Soo, 9].

2 5 Anna Janiga-Ćmiel W niniejszym arykule przedsawiono analizę rozwoju gospodarczego. W ym celu wyznaczono wielorównaniowy model BEKK, pozwalający opisać zmieniające się w czasie warunkowe współczynniki korelacji pomiędzy szeregami czasowymi oraz zależności pomiędzy wariancją warunkową jednego procesu a opóźnionymi wariancjami warunkowymi innyc badanyc procesów. Posłużono się wielowymiarowym szeregiem czasowym doyczącym długiego okresu. Długi okres jes niezbędny w celu empirycznego powierdzenia przyczynowości [Osińska, 8] w zależnościac między kaegoriami ekonomicznymi. W celu zdefiniowania skuków akic zacowań wykorzysano do analizy rozwoju gospodarczego eorię przyczynowości. Można zasosować dwa podejścia do esowania przyczynowości dla wariancji, o znaczy podejście dwusopniowe, polegające na wykorzysaniu jednorównaniowyc modeli GARCH. Wówczas sosuje się es Ceunga i Ng. Drugie podejście polega na zasosowaniu wielorównaniowego modelu GARCH. Wspomniane esy w głównej mierze koncenrują się na koncepcji Grangera, kórą należy rozumieć w konekście korelacji między badanymi procesami ekonomicznymi. Jednak rozparywane esy nie wykrywają siły sprawczej, co najwyżej weryfikują nasępswo zdarzeń. Zasosowanie modelu BEKK oraz ocena przyczynowości w rozwoju gospodarczym Polski i pańsw Unii Europejskiej dały możliwość uzyskania informacji o rozwoju gospodarczym rozparywanyc krajów.. Dane empiryczne W celu przedsawienia analiz porównawczyc dynamiki rozwoju gospodarczego wybranyc pańsw Unii Europejskiej (Polska, Francja, Wielka Bryania, Belgia, Holandia przygoowano dane empiryczne, korzysając z danyc publikowanyc przez GUS, narodowe roczniki saysyczne i roczniki OECD. Jako okres analizy przyjęo laa od roku 958 do roku 6. Dane o rocznym poziomie PKB w rozparywanyc krajac sprowadzono do poziomów porównywalnyc, w różnyc okresac, sosując odpowiednie współczynniki wyrównania. Wyznaczono wskaźniki rozwoju gospodarczego, przyjmując je jako iloraz produku krajowego bruo do liczby ludności w danym kraju. Warości wskaźnika przedsawiono w abeli. Wskaźnik en sanowi podsawową deerminanę zmian w rozwoju gospodarek i zarazem czynnik kszałujący waania koniunkuralne. PKB [Hellwig, 997] sanowi w pewnym ujęciu syneyczną carakerysykę syuacji ekonomicznej kraju. Jego warość i zmienność są uzależnione od wielu czynników sanowiącyc o rozwoju gospodarczym w rozparywanym kraju. Odniesiony do ilości ludności sanowi podsawową miarę poziomu koniunk-

3 ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU 53 ury gospodarczej w kraju, ponado jes najbardziej cenionym wskaźnikiem ekonomicznym, ponieważ jes najszerszym, najbardziej wszecsronnym z dosępnyc miar ogólnej syuacji gospodarczej kraju [Yamarone, 6]. Zgodnie z powyższym wskaźnik poziomu PKB przypadający na jednego mieszkańca kraju wyznaczono według wzoru: gdzie: N liczba ludności kraju. PKB W k = ( N Wskaźniki poziomu jednoskowego PKB Polski i krajów UE laa Polska Francja W.Bryania Holandia Belgia ,48,99,4,56,34 959,49,57,363,33, ,49,85,45,4, ,5,8,45,48,8 5 96,54,6,5,8, ,54,87,555,85, ,54,9,64,8, ,55,37,597,5, ,55,378,598,, 967,53,464,76,78, 968,53,487,734,3,57 969,54,53,763,36, ,56,55,89,55,3 4 97,63,47,636,6, ,98,573,938,, ,,67,8,34, ,,64,73,48, ,3,75,346,6, ,6,78,386,34, ,6,798,46,365,53 978,9,84,443,46, ,,838,474,46, ,7,858,535,55, ,7,887,6,555, ,94,9,644,566, ,35,956,7,65, ,37,,833,68,34 abela

4 54 Anna Janiga-Ćmiel cd. abeli ,4,5,89,73, ,39,98,949,787, ,43,5,36,84, ,,,57,877, ,98,79,63,95, ,8,34,4,933, ,89,494,35,975, ,86,436,4,49, ,89,47,85,5, ,369,655,486,49, ,38,847,556,7, ,39,87,75,8, ,43,9,77,369, ,4,99,838,86, ,43,965,94,96,368 43,59,8,98,478,36 44,683,55,38,54,346 45,69,,883,734, ,89,57,88,69, ,974,7,35,757, ,9,66,39,983, ,33,37,356,6,49 Analizę poszerzono o dosępne w Rocznikac Saysycznyc informacje na ema podobnyc czynników, jakie przyjęo do opisu kszałowania zmienności rozwoju gospodarczego w Polsce. Dane empiryczne doyczące zmiennyc przyjęyc jako kszałujące rozwój gospodarczy w Polsce są dla każdej zmiennej ściśle powiązane ze zmiennością PKB i jednocześnie rozwój PKB jes od nic uzależniony.. Model GARCH [Wang, 3] Modele GARCH służą do badania zmienności wariancji warunkowej i warunkowyc kowariancji, co pozwala wykryć zjawiska szokowe i ic wpływ pozyywny lub negaywny na inne populacje. Można przeprowadzić badanie sayczne, jak i dynamiczne, czyli zbadać wpływ empa wzrosu rozwoju w jednej populacji na empo wzrosu w drugiej populacji. Można również wykonać analizę odwronej zależności po o, by ocenić wpływ zmienności rozwoju na zmienne makrogospodarcze.

5 ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU 55 Modele GARCH sanowią isony przyczynek w zakresie badania związku między czynnikami będącymi przyczyną i skukiem. Można wykryć i zbadać nie ylko isnienie współzależności zjawisk, ale ocenić siłę ej współzależności w akualnej syuacji, a oprócz ego dokonać odpowiedniej oceny siły współzależności w przyszłości. Służy do ego eoria wnioskowania o przyczynowości. W eorii przyczynowości nie ma porzeby definiowania sposobu działania przyczyny, jej działanie może mieć caraker socasyczny, e same przyczyny mogą powodować różne efeky, mogą wysąpić z różnym prawdopodobieńswem i z wysoce zróżnicowaną deerminacją... Model BEKK Model BEKK zosał przedsawiony w 99 r. przez badaczy Babę, Engle a, Krafa i Kronera. Opublikowany w 995 r. w pracy auorswa Engle a i Kronera i od nazwisk auorów nadano mu nazwę BEKK(p,q,m [Longbing, Yong, Jiang, eds., ]. Modele klasy GARCH, a w szczególności wielorównaniowy modelem BEKK [Franco, Zakoian, 9], umożliwia wnioskowanie na podsawie warunkowyc wariancji i warunkowyc kowariancji odpowiednio w przypadku procesu jednowymiarowego i procesu wielowymiarowego. Przez p oznaczono liczbę rozparywanyc opóźnień dla wariancji w k-ej podzbiorowości, q oznacza ilość opóźnień wariancji reszowej, jakie miały miejsce również w k-ej podzbiorowości, m o liczba podzbiorowości, w kóryc wyjaśnia się zmienność badanego zjawiska, wówczas k =,, m. Macierz A ik o macierz ocen paramerów srukuralnyc k modeli przy wariancjac reszowyc wprowadzonyc do modelu. Macierz B jk o macierz ocen paramerów przy opóźnionyc wariancjac całkowiyc badanyc zmiennyc w poszczególnyc podzbiorowościac. Przez A oznaczono kolumnę wyrazów wolnyc w rozparywanyc modelac. Wymiar macierzy A, A ik, B jk pokrywa się w niniejszej analizie z ilością porównywanyc krajów. Każde z równań modelu BEKK przedsawia dynamikę wariancji rozwoju gospodarczego w jednym z rozparywanyc krajów. W sosunku do budowanyc macierzy A ik, B jk wymaga się jedynie, by ic rzędy były równe wymiarowi yc macierzy, wówczas model BEKK będzie równoważny parameryzującemu go modelowi VECH. Równość rzędów i wymiaru yc macierzy wysępuje przy spełnieniu nieliniowyc ograniczeń nakładanyc na wyjściowe dane empiryczne. Forma przyjęyc macierzy zależy od złożoności badanego zjawiska, od różnicy między wymiarem yc macierzy i ic rzędem oraz od pojawiającyc się ewenualnie współliniowości.

6 56 Anna Janiga-Ćmiel Parameryzacja modelu BEKK umożliwia m.in. opis zmieniającyc się w czasie warunkowyc współczynników korelacji pomiędzy szeregami czasowymi, ponado pozwala zbadać zależności pomiędzy wariancją warunkową jednego procesu a opóźnionymi wariancjami warunkowymi innyc procesów [Fiszeder, 9]. W ogólnej formie model BEKK przyjmuje posać [Wang, 3]: H = A m q m p + Aik i i Aik + k = i= k = j= B H B ( jk j jk Ponado dużą zaleą modelu BEKK jes fak, że nie narzuca on z góry ograniczeń na paramery. Ccąc oszacować paramery modelu BEEK należy skonsruować pomocniczy model VECH... Ogólna posać wielorównaniowego modelu GARCH Posać ogólna wielorównaniowego modelu GARCH(p,q, zosała zaproponowana przez Engle a i Krafa [98]. Przez Y oznaczono proces warości oczekiwanyc badanego zjawiska. W rozparywanej analizie będzie o rozwój gospodarczy scarakeryzowany za pomocą szeregu wielowymiarowego przedsawiającego PKB w poszczególnyc krajac. Przez ψ Y, Y,..., Y ] (3 = [ p oznaczono uwarunkowania wywierające isony wpływ na kszałowanie się zjawiska badanego Y w okresie i w okresac wcześniejszyc, p o liczba opóźnień pokrywająca się z liczbą opóźnień modelu wariancji globalnej w modelu BEKK. Zarówno proces Y, jak i proces składowej reszowej podlegają wielowymiarowemu rozkładowi zgodnemu z rozkładem normalnym. Przy czym oraz Y = Y, Y,..., Y ], (4 [ m [, m =,..., ] (5 Y ψ ~ N( μ, H, (6 ψ ~ N(, I. (7 Zmienna Y oraz składnik reszowy mają rozkłady zgodne z rozkładem normalnym. Zmienna endogeniczna Y ma rozkład normalny o warości oczekiwanej µ i wariancji H, naomias składnik reszowy ma rozkład zgodny z rozkładem normalnym, sandaryzowanym o warości oczekiwanej zero i wariancji jeden.

7 ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU 57 Przed przysąpieniem do konsrukcji modelu dokonujemy sandaryzacji zmiennej Y i zmienną sandaryzowaną oznaczono przez z, wówczas [erasvira, jøseim, Granger, ]: E (z =, (8 Var (z = I m, (9 gdzie odpowiednio I m jes macierzą jednoskową o wymiarac m m, gdzie m o liczba rozparywanyc podzbiorowości (porównywanyc krajów. Przez H oznaczono macierz wariancji warunkowyc zmiennej endogenicznej Y : H = M m M m L L O L m m M mm. ( Przez Σ oznaczono macierz wariancji iloczynów-kowariancji składników reszowyc badanyc procesów Y opisującyc rozwój gospodarczy w poszczególnyc krajac. Σ Var cov( = M cov( m cov( Var M cov( m L L O L cov( m cov( m. ( M Var m Najczęściej w badanyc procesac rozwoju gospodarczego wysępują syuacje, w kóryc kowariancje i j są bliskie zera. Wówczas iloczyny ic nie różnią się isonie od zera, więc macierz Σ można przyjąć w posaci macierzy diagonalnej zawierającej wyłącznie wariancje reszowe poszczególnyc porównywanyc procesów rozwoju gospodarczego. Konsrukcja wielorównaniowego modelu GARCH wymaga, by macierz H była macierzą dodanio określoną dla każdej z możliwyc realizacji. Warunek en jes spełniony, ponieważ procesy są eeroskedasyczne i wykazują duże waania rozwoju gospodarczego, czyli carakeryzują się dużymi waaniami wariancji. Wracając do wyjściowego szeregu czasowego Y [Wang, 3], wariancja warunkowa: Var( Y ψ = H Var = = Var ( z ( ( Y H = Var H ( I n ( = H = H (

8 58 Anna Janiga-Ćmiel Zaem macierz H jes macierzą warunkowyc kowariancji, zarówno rozparywanego szeregu Y, jak i składnika reszowego wyznaczonego wcześniej modelu ARIMA. W celu uporządkowania i uproszczenia esymacji wielorównaniowego modelu BEKK wprowadzono uporządkowaną posać zależności macierzowyc VECH. Ogólna posać reprezenacji wielorównaniowego modelu GARCH, według formuły uporządkowanej esymacyjnej VECH, jes nasępująca [Wang, 3]: vec( H q = vec( A A vec( B vec( H. (3 + + i i i j j i= j= Przez A oznaczony jes wekor warości sałyc w poszczególnyc modelac, A i oraz B j o macierze kwadraowe sopnia m, gdzie m o również wymiar wekora A odpowiadający liczbie porównywanyc krajów. Macierze e nie muszą być symeryczne, ponieważ przyczynowość rozparywana w przypadku analiz gospodarek nie jes symeryczna. Wpływ gospodarki jednego kraju na gospodarkę drugiego kraju nie jes aki sam, jak w syuacji odwronej. Symeryczną jes jedynie macierz H, jako macierz wariancji i kowariancji warunkowyc. Wekor VECH buduje się, sprowadzając do jednej kolumny elemeny głównej przekąnej i elemeny znajdujące się poniżej głównej przekąnej każdej z yc macierzy. Kolejność uporządkowania kolumn w yc macierzac jes dowolna, naomias musi być w każdej jednakowa. Wekory VECH dla macierzy jednokolumnowyc pokrywają się z ymi macierzami. Wekory VECH dla macierzy diagonalnyc w swojej kolumnie zawierają główną przekąna macierzy. Konsrukcja modelu VECH powinna być podporządkowana posaci końcowego modelu, jakim w niniejszej analizie jes model BEKK, oznacza o, że ogólny wzorzec modelu VECH buduje się, mając na uwadze wymogi, jakie sawia nam osaeczny model badanej rzeczywisości. Dla k-równaniowego modelu uwzględniającego q-opóźnień (q= wariancji reszowej i p-opóźnień (p= wariancji warunkowej powyższy model przyjmuje posać: H = M,, mm, a a α + α = M am α,, m, α α α,, M m, β β + M β,, m, L α m, L m α, α L α, L m α, α O M M M O M M M L αmm, m i L L m i α m, α β, L β m,, β, β, L β m, β m, L β,, β, β, L βm, M O M M M M O M βm, L βmm, mm, βm, βm, L βmm, p,, m, m, L α L α, + O M L αmm, gdzie m o liczba rozparywanyc populacji porównywanyc krajów., (4

9 ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU 59 Wykorzysując iloczyn Kronekera macierzy wekor VECH [Wang, 3] można zapisać w poniższej posaci, uwzględniając nasępującą własność w przypadku rzec macierzy A, B, C: vec( ABC = [ C A] vec( B. (5 Zaem model wielorównaniowy z wykorzysaniem iloczynu Kronekera przyjmuje posać: vec( H = ( A A vec( I + ( Ai Ai vec( + ( Bj Bj vec( H. (6 Macierz wariancji i kowariancji przedsawionego w en sposób procesu, z uwzględnieniem symboliki VECH jes wyrażona według nasępującej formuły [Wang, 3]: E( H = [ I [( Ai Ai + ( B j B j ]] vec( A A. (7 Rozparywany proces dla p >, q > jes kowariancyjnie sacjonarny [erasvira, jøseim, Granger, ], jeżeli pierwiaski carakerysyczne: [ I [( A A + ( B B ] = (8 i i leżą na zewnąrz koła jednoskowego. Najczęściej nie doyczy o modelu VECH(,, kórego konsrukcja wymaga, aby warości własne przedsawionego równania były mniejsze od jedności co do modułu..3. Wielowymiarowy es na wysępowanie efeku ARCH S.L. Hosking [98] przedsawił uogólnioną posać wielowymiarowego esu Ljunga Boxa. Hipoezy esowe są nasępujące: H : brak efeku ARCH H : wysępuje efek ARCH w zjawisku. Funkcja saysyki esowej przyjmuje posać: j= j m r{ C ( C( j[ C ( C( j] } HM ( m =, (9 j gdzie odpowiednio j o liczba opóźnień zmiennej Y określającej rozwój gospodarczy w badanym kraju w modelu ARIMA, C(j oznacza macierz kowariancji wielowymiarowego szeregu czasowego przy uwzględnieniu opóźnienia j, C( analogiczna macierz kowariancji bez rozparywanego opóźnienia. Saysyka j

10 6 Anna Janiga-Ćmiel HM(m ma asympoyczny rozkład χ o k m sopniac swobody, gdzie k o liczba czynników w modelu, m liczba porównywanyc krajów, czyli liczba równań w modelu wielorównaniowym BEKK. Wysępowanie efeku ARCH w modelu wielorównaniowym można również zweryfikować esem Ling i Li [997]. Hipoezy esowe są sformułowane jak w poprzednim eście. Saysyka esowa jes posaci [Fiszeder, 9]: gdzie odpowiednio: m LL( m = R ( j, ( j= R( = = + ( H m( ( H m = + H m, ( o skorygowany współczynnik korelacji wielorakiej poszczególnyc modeli wcodzącyc w skład modelu wielorównaniowego. Saysyka LL(m ma asympoyczny rozkład χ o m sopniac swobody. W przedsawionym esymaorze skorygowanego współczynnika korelacji wielorakiej wykorzysujemy ransformację resz: H. ( Dla niekóryc modeli może wysąpić obniżenie mocy esu ze względu na sraę informacji wynikającej z powyższej ransformacji. Wówczas proponowane jes sosowanie mocniejszej wersji esu, oparej na funkcji gęsości spekralnej, zaproponowanej przez Hong i Seade [Fiszeder, 9]. 3. Przyczynowość [Ganar, 3] Model ekonomeryczny, na podsawie kórego diagnozuje się badane zjawisko lub dokonuje oszacowania prognoz, powinien być zgodny z obserwowanymi fakami oraz sanowić precyzyjny opis układu przyczyn i skuków. Założenia spełnia odpowiedni ekonomeryczny model przyczynowo-skukowy, kórego oceny paramerów są isone saysycznie, a cały model jes odzwierciedleniem isonym badanej rzeczywisości. Na każde zjawisko ekonomiczne oddziałuje jednocześnie wiele przyczyn. Wyróżnia się oddziaływania między zmiennymi ukierunkowane w jedną sronę lub ze sprzężeniem zwronym.

11 ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU 6 Najnowsza endencja badania przyczynowości [Osińska, 8] zosała sformułowana przez Grangera, w myśl kórej w przypadku dysrybuany warunkowej F(Y X zmiennej Y, przy usalonym poziomie zmiennej X, zacodzi równość: F( Y + k Ω = F( Y + k Ω \ X, (3 gdzie Ω o zbiór informacji o badanym zjawisku w okresie, najczęściej reprezenowany przez opóźnienia zmiennyc X i Y. Naomias Ω \ X o zbiór wszyskic informacji o zjawisku, za wyjąkiem akic, kóre dosarcza zmienna X. Jeżeli równość (3 nie zacodzi, o X jes przyczyną zmiennej Y [Granger, Newbold, 986]. Jeżeli w relacji (3 zosanie wymieniona miejscami zmienna X z Y i orzymana równość dysrybuan będzie również spełniona, wówczas wysępuje sprzężenie zwrone między procesami X i Y. 3.. es Grangera jednokierunkowej relacji przyczynowej dla średnic Rozparywane są dwa procesy pozosające w związku przyczynowo- -skukowym. Zosanie zbadane, czy proces X jes przyczyną kszałowania warości oczekiwanej procesu Y rakowanego jako skuek. Zakłada się, że obydwa procesy są sacjonarne w szerszym sensie. Nasępnie zbudowano dwa modele ARMA, będące auoregresyjnymi reprezenanami rozparywanyc procesów. Pierwszy doyczy wyłącznie zjawiska Y jako skuku. Drugi również wyjaśnia zmienność zjawiska, Y, ale przyczyny kszałujące zjawisko Y poszerzono o zmienną X, dodakowe źródło przyczyn. Modele przedmioowe mają nasępującą posać: Y = p Y = α Y + = A(LY +, (4 s= s s p q sy s + β s X s + η = Γ L Y + B( L X + s= s= γ ( η. (5 Hipoeza główna sanowi swierdzenie, że X nie jes przyczyną kszałowania warości oczekiwanej zmiennej Y. Wyznaczono wariancje reszowe yc modeli, odpowiednio σ ( dla modelu doyczącego zmiennej Y, σ (η dla modelu, w kórym dołączono zmienną objaśniającą X wraz z jej opóźnieniem, jako przyczyny kszałowania warości oczekiwanej zjawiska Y. Wyznaczono saysykę esu Grangera według kryerium Walda:

12 6 Anna Janiga-Ćmiel lub według kryerium ilorazu wiarygodności: lub saysykę Lagrangea: σ ( σ ( η G = (6 σ ( η σ ( G = ln σ, (7 ( η σ ( σ ( η G =. (8 σ ( Przez w formułac powyższyc saysyk oznaczono liczebność próby długości rozparywanyc szeregów czasowyc, ze względu na o, że liczba obserwacji nie przekracza su. Skorygowano, pomniejszając długość szeregu czasowego o iloraz q k, gdzie k o liczba wszyskic paramerów wielorównaniowego modelu, a q o liczba paramerów w rozparywanym modelu. Wymienione saysyki są zbieżne do rozkładu F(q, k. Należy zwrócić uwagę na fak, że dla G < orzymano brak podsaw do odrzucenia ipoezy H, ponieważ wariancja w modelu poszerzonym jes większa od wariancji w modelu wyjściowym. 3.. esowanie przyczynowości w zakresie wariancji [Fiszeder, 9]. es Ceunga i Ng Nawiązując do równości dysrybuan wyznaczono równanie warości oczekiwanyc dla sum wariancyjnyc: E{( Y μ X, Y } = E{( Y μ Y }. (9 + Y, + j j + Y, + j Oznacza o, że suma wariancyjna zmiennej Y pod warunkiem, jakiego dosarcza informacja opóźnień X i Y, jes aka sama, jaka byłaby wyłącznie pod warunkiem zmiennej Y. Równość a oznacza niezależność Y od X, czyli że wysępuje brak przyczynowości zmiennej X przy kszałowaniu się zmienności Y. Jeżeli a równość nie jes spełniona, o zmienność wariancji X sanowi przyczynę kszałowania zmienności wariancji Y. Jeżeli dodakowo zacodzi a sama równość, w kórej dokonano zamiany rolami zmiennyc X i Y, wówczas wysępuje sprzężenie zwrone przyczynowości. Przyczynowość działa w obie srony, czyli jed-

13 ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU 63 nocześnie X sanowi przyczynę kszałowania wariancji Y i odwronie. Znając warości oczekiwane obu zmiennyc, wariancje eoreyczne i wariancje reszowe, zbudowano pomocnicze modele [Osińska, 8]: X Y = μ X, + X,, (3 = μ Y, + Y, ς, (3 gdzie odpowiednio, ς o składniki reszowe modeli wariancji reszowej wcodzące w zakres wielorównaniowego modelu BEKK. W celu esowania przyczynowości w zakresie kszałowania wariancji najczęściej sosuje się meody opare na badaniu współczynnika korelacji wzajemnej szeregów czasowyc wariancji wielorównaniowego modelu GARCH i badania poziomu odpowiednic saysyk. Na podsawie auoregresyjnyc modeli X, Y wyznaczono składniki reszowe, a nasępnie ic kwadray, kóre oznaczono odpowiednio jako zmienne losowe: U V ( X μ X, = =, (3 X, ( X μy, = = ς. (33 Y, Wyznaczono współczynniki korelacji yc zmiennyc według poniższego wzoru: E( U k, V ρ ( k =. (34 E( U E( V k Każdy z yc współczynników doyczy oceny korelacji między reszami modeli X, Y. Dla przedsawionego esu Ceunga i Ng wyznaczono warość saysyki S jako sumę kwadraów współczynników deerminacji wszyskic modeli wcodzącyc w skład wielowymiarowego modelu BEKK. S = m i= r ( j. (35 Saysyka a ma rozkład χ o m j+ sopniac swobody, j o liczba opóźnień zmiennej rozparywanej jako przyczyna [Osińska, 8]. Hipoeza zerowa oznacza brak przyczynowości w kszałowaniu się wzajemnym zmiennyc.

14 64 Anna Janiga-Ćmiel Przedsawione wyżej esy doyczą weryfikacji ipoezy wysępowania zjawiska przyczynowości dla obu procesów sacjonarnyc. Jeżeli cociaż jeden z analizowanyc procesów (przyczyna lub skuek jes niesacjonarny, o należy zweryfikować sopień zinegrowania i posłużyć się modelem koreky błędem. Są o modele należące do grupy modeli ECM przedsawiające odcylenie od równowagi długookresowej. Posać yc modeli jes nasępująca: p q Y = β + βδx + δecm + biδy i + ciδx i + i= i= p q ΔX = γ + γ ΔY + δ ECM + ri ΔY i + siδx i + i= i= Δ, (36, (37 gdzie X oraz Y o dwa szeregi, pomiędzy kórymi bada się relacje przyczynowe. W przypadku gdyby paramery β, γ, wszyskie c i, s i były równocześnie równe zero, o oznaczałoby brak zaisnienia przyczynowości. Ponado przynajmniej jeden z paramerów β, γ, c i, s i musi mieć powierdzoną isoność esem -Sudena. Łączne esowanie w modelu przyrosów zmiennej endogenicznej ocen paramerów przy przyrosac zmiennej zależnej pozwala swierdzić, czy przyrosy zmiennej egzogenicznej isonie kszałują przyrosy zmiennej endogenicznej i odwronie w modelu odwronej zależności. W przypadku gdy szeregi są skoinegrowane isoną rolę w modelu ma składnik ECM, kóry przedsawia poniższy wzór: ECM = u = ( Y αx α (38 Gdyby w modelu przyrosów jednej ze zmiennyc współczynniki przy przyrosac drugiej ze zmiennyc nie różniły się isonie od zera, w zjawisku wysępuje syuacja braku przyczynowości. Jeżeli rozparywane szeregi niesacjonarne są zinegrowane w sopniu pierwszym i jeżeli ponado wysępuje skoinegrowanie ic wzajemne również na poziomie rzędu pierwszego, o celowe jes zasosowanie modelu z mecanizmem koreky błędem, ponieważ Y = α + α X inerpreuje się jako równowagę okresową, a różnicę przedsawioną w formule ECM jako odcylenie od ej równowagi Wielowymiarowy es efeku ARCH W pierwszym eapie badań zasosowano es Ljunga Boxa w celu wykrycia wysępowania lub braku efeku ARCH. Badanie polegało na weryfikacji ipoez nasępującej posaci.

15 ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU 65 Hipoeza główna H o swierdzenie braku efeku ARCH, ipoeza alernaywna H, o swierdzenie wysępowania efeku ARCH. Wyznaczona warość saysyki HM(m dla m = 5 wynosi odpowiednio 34,4466. Saysyka a ma rozkład χ o km sopniac swobody dla k = i m = 5 i dla poziomu isoności α =,5, warość kryyczna saysyki χ wynosi,75. Warość empiryczna HM(5 jes wyższa od warości kryycznej, co oznacza, że warość saysyki HM(5 mieści się w obszarze kryycznym. Hipoezę H odrzucono na korzyść ipoezy alernaywnej H, co oznacza, że rozwój gospodarczy wybranyc pańsw Unii Europejskiej i Polski wykazuje wysępowanie efeku ARCH Modele ARIMA dla wybranyc pańsw Unii Europejskiej Najważniejsze współzależności rozwoju gospodarczego Polski oraz pańsw Unii Europejskiej zosały ujęe z wykorzysaniem przedsawionyc poniżej modeli ARIMA. Model ARIMA(,, przedsawiający rozwój jednoskowego PKB dla Polski w rozparywanym pięćdziesięcioleciu przyjmuje posać: y =,5 +,966y,664u + u (,5 (,44 (,6. (39 Przy nieisonym odcyleniu sandardowym zaburzeń losowyc wynoszącym σ =,45 oraz warości saysyki BIC, wynoszą odpowiednio 366,33. Dla Francji model przyjmuje posać modelu ARIMA(,,: y =,47 +,599y,63u + u. (4 (,6 (,55 (,5 Model ARIMA przedsawiający rozwój gospodarczy Francji carakeryzuje się odcyleniem sandardowym zaburzeń losowyc wynoszącym,53, warość saysyki BIC wynosi 35,6. Dla Wielkiej Bryanii orzymano jako najlepszą posać modelu ARI- MA(,,. Model en przyjmuje nasępującą posać: y =,6 +,55y + u + u. (4 (, (,346 (,68

16 66 Anna Janiga-Ćmiel Wyznaczony model dla Wielkiej Bryanii carakeryzuje się odcyleniem sandardowym zaburzeń losowyc wynoszącym,97, naomias warość saysyki BIC wynosi 9,46. Model rozwoju gospodarczego Holandii jes posaci: y =,4,6y + u + u. (4 (,67 (,93 (,6 Wyznaczona warość odcylenia sandardowego zaburzeń losowyc wynosi:,57, warość saysyki BIC = 337,3. Model rozwoju gospodarczego Belgii przyjmuje posać: y =,48,45y +,9999u + u (, (,348 (,655. (43 Przedsawiony model rozwoju gospodarczego Belgii jes również modelem ARIMA(,,, podobnie jak u pozosałyc modeli isone są wprowadzone opóźnienia warości oczekiwanej i odcyleń losowyc. Dla powyższego modelu warość odcylenia sandardowego zaburzeń losowyc wynosi:,6, warość saysyki BIC jes równa 355,7. Dla modelu gospodarczego Polski, Francji i Wielkiej Bryanii współczynnik przy opóźnieniu pierwszego rzędu zmiennej endogenicznej jes dodani, oznacza o, że zaszłości z okresu poprzedzającego okres badany w sposób symulujący wpływają na rozwój gospodarczy w badanym roku. W przypadku doyczącym gospodarki olenderskiej i belgijskiej współczynnik en jes ujemny i sany zaszłości wpływają desymulująco na san rozwoju w badanym roku. Oznacza o, że oczekuje się, by warości z okresów poprzedzającyc okres badany były jak najniższe. Składniki losowe powyższyc modeli krajów Unii Europejskiej zosaną wykorzysane do konsrukcji modelu wielorównaniowego BEKK. 4. Wielorównaniowy model BEKK Wielorównaniowy model BEKK przedsawia powiązania w rozwoju wariancji i z wariancją j w kraju i-ym i j-ym. Ze względu na dużą liczbę paramerów modeli w pięciorównaniowym modelu rozwoju wariancji zbudowano najpierw model pomocniczy VECH, służący oszacowaniu paramerów modelu BEKK. Model VECH zbudowano, przedsawiając powiązania między reszami modeli ARIMA i doyczącymi gospodarek poszczególnyc krajów. Reszy e mogą sanowić podsawę szacowania paramerów w modelu VECH ze względu na nieisonie różniące się od zera odcylenia sandardowe zaburzeń losowyc

17 ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU 67 i saysyki BIC o warościac zmierzającyc do. W modelu VECH każda z kolumn doyczy kolejno wariancji składników losowyc pięciu modeli i ic kowariancji, np. worzącyc dolny rójką macierzy kowariancji. Uwzględniono w rozparywanym modelu pełną macierz wariancji i kowariancji składników losowyc, naomias wariancję całkowią opóźniono o jeden okres i ylko ak orzymane pięć szeregów czasowyc opóźnionyc wariancji wprowadzono do modelu. Nie wzięo pod uwagę kowariancji całkowiyc, ponieważ nie różnią się one isonie od zera. Orzymano w en sposób diagonalną macierz opóźnionyc wariancji całkowiyc rozwoju gospodarczego. Pierwszy człon modelu BEKK będzie macierzą pełną, a drugi człon macierzą diagonalną. Orzymano w en sposób model wielorównaniowy prosy, kórego równania będą oszacowane każde z osobna. Macierz A nie jes macierzą symeryczną, ponieważ przyczynowości kszałowania rozwoju gospodarczego w odpowiednic parac krajów nie są zwrone. Model BEKK przyjmuje posać: + H =,,4,877,5,4,45,334, +,,85,7, 87,7,,,9,5,,,,,6,,,8,3,6,36,4,6 3,37,5,3,5,8 4 M M m 5, L L m O O M M O O M O O O M L L L 5,5,, 87,7,85,,7,,3,,,6,,6,36,9,5,,,,,8,4,6,37,5,3 +,5,8. (45 Powyższy model sanowi źródło inerpreacji dynamiki wariancji w zależności od zmian wariancji i kowariancji składnika reszowego oraz opóźnionyc warunkowyc wariancji całkowiyc. Wielorównaniowe modele GARCH pozwalają na przeprowadzenie analizy doyczącej zbadania przyczynowości w zakresie wzajemnego oddziaływania zmiennyc na kszałowanie warości oczekiwanej i wariancji. 4.. Badanie jednokierunkowej relacji przyczynowości dla warości przecięnyc poziomów rozwoju gospodarczego pańsw Unii Europejskiej i Polski Analizowane szeregi czasowe dla Polski oraz wybranyc pańsw Unii Europejskiej są niesacjonarne, są szeregami skoinegrowanymi rzędu pierwszego. Dla akic szeregów wobec badania isoności przyczynowości spoykamy różne opinie ze srony badaczy [Osińska, 8]. W związku z wysępującymi rozbieżnościami sformułowanymi w lieraurze do weryfikacji przyczynowości w kszałowaniu się rozwoju gospodarek posłużono się również esami dla szeregów sacjonarnyc i dla szeregów niesacjonarnyc.

18 68 Anna Janiga-Ćmiel Kszałowanie się wzajemne w zakresie warości średnic można zweryfikować sosując es Grangera dla warości oczekiwanyc procesów i wyznaczając jedną z rzec saysyk. Warości yc saysyk przedsawiono w poniższej abeli. Warości saysyk abela Saysyki Francja W. Bryania Holandia Belgia Walda 4,6 44, ,36 4,6 Ilorazowe 954,36 366, ,74 949,8 Lagrange a 5,5E+3 4,334E+3 5,7E+3 4,9E K 38 K liczba paramerów 3 4 -K/q 43,5 45,3 46,5 43,5 F*(q,-k 3,3,84,6 3,3 G<F* G<F* G<F* G<F* Weryfikacji dokonano uwzględniając niezależnie wszyskie rzy saysyki. W każdym przypadku warość saysyki esu Grangera G jes mniejsza od warości kryycznej rozkładu F *, co oznacza brak podsaw do odrzucenia ipoezy zerowej, ym samym należy swierdzić, że oddziaływanie pańsw Unii Europejskic na poziom gospodarki Polski było na przesrzeni rozparywanego półwiecza nieisone saysycznie. 4.. esowanie przyczynowości oddziaływania gospodarek pańsw Unii Europejskiej na gospodarkę polską w zakresie wariancji W zakresie esowania isoności przyczynowości w zakresie wariancji wykorzysano es Ceunga i Ng, a wyniki analizy isoności współzależności przedsawiono w poniższej abeli. abela 3 Wyniki esu Ceunga i Ng Francja W. Bryania Holandia Belgia CN r,85,65,59,5 r,3,3,3,,47 χ (4 9,488 CN< χ (4 H H Brak przyczynowości Ma miejsce przyczynowość

19 ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU 69 W pierwszym wierszu abeli przedsawiono współczynniki korelacji wariancji rozwoju gospodarczego Polski oraz analizowanyc pańsw Unii Europejskiej. Widać, że warości każdego z yc współczynników nie przekraczają warości,. Oznacza o, że w zakresie zmienności rozwoju gospodarczego Polski i pańsw Unii Europejskic nie było żadnyc współzależności. W drugim wierszu abeli przedsawiono współczynniki deerminacji jako kwadray współczynników korelacji i na ic podsawie wyznaczono warość saysyki esowej Ceunga i Ng, wynoszącą,47. Warość ej saysyki jes mniejsza od warości kryycznej χ z czerema sopniami swobody wynoszącej 9,488. Oznacza o brak podsaw do odrzucenia ipoezy H głoszącej brak przyczynowości w kszałowaniu się wzajemnym w zakresie wariancji gospodarek Polski i wybranyc pańsw Unii Europejskic esowanie przyczynowości w sensie Grangera w przypadku koinegracji procesów Szeregi liczbowe doyczące dynamiki PKB w Polsce i w wybranyc krajac Unii Europejskiej przedsawiają niesacjonarne procesy socasyczne, skoinegrowane na poziomie rzędu pierwszego. W analizie niniejszej zweryfikowano ic niesacjonarność posługując się esem KPSS. Nasępnie przeprowadzono badanie koinegracji zmiennyc i wykorzysano w ym celu es Joansena, z ograniczonym wyrazem wolnym modelu, powierdzając ym samym koinegrację zmiennyc carakeryzującyc rozwój gospodarczy w Polsce i wybranyc krajac Unii Europejskiej rzędu pierwszego. Dla szeregów czasowyc carakeryzującyc rozwój gospodarczy Polski i wybranyc krajów Unii Europejskiej w celu zweryfikowania wysępowania zależności przyczynowyc w sensie Grangera zbudowano modele ECM dla Polski z każdym z rozparywanyc pańsw. Dla Polski oraz Francji orzymano nasępujące posacie modeli: ΔX =, +,337ΔY +,ECM + u, (46 (, (,398 (,574 ΔY =,39 +,333ΔX +,ECM + u. (47 (,3E 9 (3,8E 7 (4,7E 7 Przez X oznaczono szereg czasowy rozwoju gospodarczego Polski, przez Y szereg czasowy rozwoju gospodarczego Francji. Widać, że opóźnienia zmiennyc egzogenicznyc isonie zosały wprowadzone do modeli, podobnie ważne miejsce w yc modelac ma składnik ECM

20 7 Anna Janiga-Ćmiel reprezenujący relację sanu równowagi długookresowej i nazywany mecanizmem korygowania błędem. Isone wprowadzenie przyrosów egzogenicznyc do modeli powierdza isoną rolę i isone miejsce przyczynowości w kszałowaniu się wzajemnyc gospodarek wybranyc krajów. Jednak niskie warości bezwzględne ocen paramerów wskazują na bardzo słaby poziom wpływu gospodarek jednyc pańsw na drugie. Nasępne dla Polski oraz Belgii wyznaczono modele: ΔX =,9 +,8ΔZ +,97ECM + u, (48 (,9 (,39 (,59 ΔZ =,35 +,3936ΔX,ECM + u (, (,964 (,7. (49 Isoność i słuszność wprowadzonyc posaci modeli zosała powierdzona esem -Sudena; p-warość dla saysyki -Sudena w obydwu przypadkac nie przekracza warości,5, co oznacza, że wysępuje przyczynowość w sensie Grangera w zakresie wpływu jednej z gospodarek na drugą i odwronie. Dla pozosałyc par krajów wyznaczono odpowiednio modele dla Polski i Wielkiej Bryanii: ΔX =,9 +,565ΔW +,59ECM + u, (5 (,8 (,63 (,456 ΔW =,34 +,837ΔX,348ECM + u (,8 (,348 (, oraz dla Polski i Holandii: ΔX =,3 +,95ΔH +,646ECM + u (, (, (,73 ΔH =,39 +,455ΔX,33ECM + u (, (,83 (,9. (5, (5. (53 Widać, że dla każdej z rozparywanyc par przedsawionyc modeli oceny parameru przy ECM są isonie różne od zera. Podobnie isonie różne od zera są oceny przy paramerac opóźnień przyrosów drugiej z badanyc zmiennyc w modelu. Oznacza o, że dla każdej pary modeli wysępuje przyczynowość, a zależność, jaka odpowiada określonym syuacjom, działa na zasadzie sprzężenia zwronego.

21 ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU 7 Podsumowanie W niniejszej pracy dokonano porównania rozwoju gospodarczego Polski z wybranymi krajami Unii Europejskiej. W związku z wykazaniem isonego wysępowania efeku ARCH w rozwoju gospodarczym Polski i pańsw Unii Europejskiej, w celu przedsawienia dynamiki rozwoju gospodarczego, zbudowano model BEKK, za pomocą kórego opracowano dynamikę wariancji. esowanie przyczynowości na podsawie esów dla szeregów sacjonarnyc zakończyło się wnioskiem o braku przyczynowości w rozwoju gospodarczym pańsw Unii Europejskiej. esowanie przyczynowości z wykorzysaniem modeli ECM pozwoliło naomias swierdzić przyczynowość. Wniosek en osiągnięo wykorzysując esy dla szeregów niesacjonarnyc, oceny wzajemnego oddziaływania gospodarek Polski i pańsw Unii Europejskiej na siebie są isone, ale wskazują na mało znaczący wpływ jednej gospodarki na drugą. Lieraura Engle R.F., Kraf D. (98: Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy in Muliple ime Series Models. Disscusion Paper, Universiy of California, San Diego. Fiszeder P. (9: Modele klasy GARCH w empirycznyc badaniac finansowyc. Wydawnicwo Uniwersyeu Mikołaja Kopernika, oruń. Franco C., Zakoian J.M. (9: GARCH Models. Srucure, Saisical Inference and Financial Applicaions. NY. Ganar E. (3: Saysyczne modele srukury przyczynowej zjawisk ekonomicznyc. Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej, Kaowice. Hellwig Z. (997: Ekspansja gospodarcza Polski końca XX wieku. Wydawnicwo Wyższej Szkoły Bankowej, Poznań. Hosking J. (98: e Mulivariae Pormaneau Saisic. Journal of American Saisical Associaion. Huera de Soo J. (9: Pieniądz, kredy bankowy i cykle koniunkuralne. Insyu Ludwika von Misesa, Warszawa. Ling S., Li W. (997: Diagnosic Cecking of Nonlinear Mulivariae ime Series wi Mulivariae ARCH Errors. Journal of ime Series Analysis 8. Longbing C., Yong F., Jiang Z. (eds. (: Advanced Daa Mining and Applicaions 6 Inernaional Conference. ADMA Congqing, Cina, November, Procedings, Par II. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg. Osińska M. (8: Ekonomeryczna analiza zależności przyczynowyc. Wydawnicwo Uniwersyeu Mikołaja Kopernika, oruń.

22 7 Anna Janiga-Ćmiel erasvira., jøseim D., Granger C.W.J. (: Modeling Nonlinear Economic ime Series. Oxford Universiy, Oxford. Wang P. (3: Financial Economerics. Meods and Models. Rouledge Capman&Hall, London. Yamarone R. (6: Wskaźniki ekonomiczne: przewodnik dla inwesora. Wydawnicwo Helion, Gliwice. CAUSALIY ANALYSIS OF HE POLISH ECONOMIC DEVELOPMEN AND SELECED EUROPEAN UNION COUNRIES Summary e sudy examines e developmen of e Polis economy as well as e economies of seleced European Union counries in e period from 949 o 6. Models based on GDP grow in paricular counries were also buil. Muc space is devoed o a comparaive analysis of e developmen of economies in e counries concerned. A BEKK mulivariae GARCH model was buil, wic allowed for defining a mulivariae ARCH effecs. Muc space is devoed o e eory of e consrucion of e VECH secondary model and is esimaion meod. e causaliy of e impac a economies exer on one anoer was examined and e occurrence of e mulivariae ARCH effec was verified by means of Hosking es.