Analiza związku pomiędzy cenami i pieniądzem w gospodarce polskiej na podstawie modelu Π*

Transkrypt

1 Michał Brzoza-Brzezina, Jacek Kołowski 1 Analiza związku pomiędzy cenami i pieniądzem w gospodarce polskiej na podsawie modelu Π* W ramach przekszałconej do posaci przyrosowej wersji modelu P-sar, auorzy zbadali czy w Polsce w laach poziom cen i podaż pieniądza znajdowały się w sanie zrównoważonego wzrosu. Na podsawie analizy koinegracji wybrane zosały kombinacje różnych agregaów monearnych i miar inflacji, w najlepszy sposób opisujące związek pieniądza i cen w Polsce. Wyesymowane za pomocą procedury Johansena równania koinegrujące, pozwalają na budowę modeli koreky błędem i na oszacowanie wpływu powsałej luki cenowej na procesy inflacyjne. Orzymane wyniki wskazują na dość silną zależność pomiędzy agregaem M1 a różnymi miarami inflacji. Zaskakujący naomias jes sosunkowo słaby związek sopy inflacji z wykorzysywaną w laach 90-ych w roli podpory poliyki pieniężnej NBP, podażą pieniądza ogółem (M2). 1. Wsęp Związek pomiędzy ogólnym poziomem cen a podażą pieniądza od dawna inrygował ekonomisów. Pierwsze przemyślenia na wspomniany ema pochodzą już z XVI w. i spowodowane zosały gwałownym wybuchem inflacji w Europie, związanym z napływem znaczących ilości, pełniącego wówczas funkcję płaniczą srebra z kopalni świeżo podbiej Ameryki. Szacunki procesów inflacyjnych w wielu krajach wskazują na wysępowanie silnej zależności pomiędzy podażą pieniądza a poziomem cen. Jednak szczegółowa, wielolenia analiza danych pokazuje, że prawidłowość a obowiązuje 1 Pragniemy podziękować osobom, kórych pomoc przyczyniła się do powsania arykułu: B. Bezzubik, G. Mierzejewskiej, K. Srzale, E. M. Syczewskiej, J. Borowskiemu, M. Garbiczowi, R. Kokoszczyńskiemu, Z. Polańskiemu, R. Sawińskiemu oraz P. Wysockiemu. Jednocześnie oczekujemy kryycznych uwag począ elekroniczną na adres Michal.Brzoza-Brzezina@nbp.x400.ne.pl lub jkolo@sgh.waw.pl. 1

2 jedynie w długim okresie. Wpływ sóp procenowych, podaków, kursu waluowego, zewnęrznych szoków podażowych, czy krajowej presji płacowej powoduje, że w krókim i średnim okresie poziom cen może odbiegać od swojej warości równowagi, wyznaczonej na podsawie analizy syuacji monearnej. Należy jednak zauważyć, że jeśli, pomimo wahań, poziom cen w długim horyzoncie czasowym związany jes ścisłą relacją z podażą pieniądza, może o sanowić znaczące uławienie dla banku cenralnego w prowadzonej przezeń poliyce pieniężnej. Oznacza o bowiem, że zmiany podaży pieniądza są isonym wskaźnikiem rzeczywisego sopnia resrykcyjności poliyki monearnej i ym samym uławiają prognozowanie przyszłego rozwoju procesów inflacyjnych. Banki cenralne wykorzysują wiedzę o zależności pomiędzy poziomem cen a podażą pieniądza dla skueczniejszej konroli sopy inflacji. Jednak coraz szybszy rozwój produków bankowych w laach 80-ych zaczął powodować na yle isone i nieprzewidywalne wahania popyu na pieniądz 2, że w osaniej dekadzie sulecia wiele banków cenralnych formalnie zrezygnowało z wykorzysywania agregaów monearnych w prowadzonej poliyce pieniężnej i przeszło na sraegię bezpośredniego celu inflacyjnego 3. Nowa poliyka opara jes na wykorzysaniu szerokiego spekrum wskaźników, mogących pomóc w prognozowaniu inflacji, na sabilizowaniu oczekiwań inflacyjnych poprzez klarowne określenie celu prowadzonej poliyki oraz na wiarygodnych ekonomerycznych szacunkach związku pomiędzy sopą inflacji a krókoerminowymi sopami procenowymi rynku pieniężnego, kórymi seruje bank cenralny. Jak wiadomo, również Narodowy Bank Polski zdecydował się przejść na sraegię bezpośredniego celu inflacyjnego 4 i od roku 1999 wyznacza sopy wzrosu agregau monearnego M2 wyłącznie jako wielkości referencyjne. Celem niniejszej pracy jes sprawdzenie, czy rzeczywiście w laach 90-ych związek pomiędzy podażą pieniądza a cenami był w Polsce na yle sabilny i 2 Mowa o popycie na pieniądz mierzonym w niedoskonały sposób za pomocą sandardowych agregaów monearnych. Uwaga niekoniecznie jednak doyczy pieniądza, rozumianego jako wiązka usług. 3 Szerzej o koncepcji bezpośredniego serowania inflacyjnego piszą B.Bernanke i in. (1999) 4 Por. RPP (1998) 2

3 przewidywalny, że umożliwiał wsparcie poliyki pieniężnej na podporze monearnej. Ineresująca wydaje się również odpowiedź na pyanie, kóry z podsawowych agregaów pieniężnych w największym sopniu nadaje się do budowy monearnego modelu inflacji. W ramach zmodyfikowanego na użyek niniejszej pracy modelu P* auorzy zbadali, czy isniała w badanym okresie poziom cen i podaż pieniądza pozosawały w sanie zrównoważonego wzrosu. 2. Modele eoreyczne W ramach analizy eoreycznej zaprezenowane zosaną dwa modele. Punkem wyjścia będzie znany z lieraury model P-sar. W nasępnym kroku model zosanie przekszałcony do bardziej odpowiadającej specyfice polskich danych posaci przyrosów. Tą wersję modelu auorzy zdecydowali się nazwać Π-sar. Model P* Isoa zbudowanego pod koniec la 80-ych przez pracowników amerykańskiej Rezerwy Federalnej 5 modelu, polega na oszacowaniu eoreycznego, związanego z podażą pieniądza poziomu cen (P*) i zbadaniu, czy pozosaje on w długookresowej relacji z poziomem cen, kóry rzeczywiście wysępował w gospodarce. Punkem wyjścia w modelu jes równanie ilościowej eorii pieniądza, zapisane przez I. Fishera (1911): (1) M V P T, gdzie M oznacza podaż pieniądza, V szybkość jego obiegu, P ogólny poziom cen, zaś T o wolumen wszyskich ransakcji dokonanych w danym okresie w gospodarce. Ponieważ rzy z pośród wymienionych wielkości są bezpośrednio mierzalne (T zosało z czasem zasąpione przez Y oznaczający dochód narodowy), formalnie ożsamość może zosać wykorzysana wyłącznie do obliczenia pozosałej wielkości, czyli szybkości obiegu pieniądza. 5 J.Hallman, R. Porer, D.Small (1991) oraz Deusche Bundesbank (1992) 3

4 Szersze wykorzysanie równania (1), możliwe jes dzięki poczynieniu pewnego założenia. Oóż, przyjmując że szybkość obiegu pieniądza jes w długim okresie sała, lub że jes funkcją innych zmiennych akich jak PKB czy sopy procenowe, można orzymać bezpośredni związek pomiędzy podażą pieniądza a ogólnym poziomem cen 6. W en sposób można obliczyć poziom cen, kóry powinien obowiązywać w danym momencie, gdyby nie wspomniane już wcześniej krókookresowe zakłócenia. Tak jak w pracy Hallmana, Porera i Smalla (1991) poziom en zosał oznaczony przez P* i zdefiniowany nasępująco: (2) P* M V * Y * gdzie V* oznacza długookresowy poziom równowagi szybkości obiegu pieniądza, zaś Y* poencjalny poziom produkcji. Z konsrukcji równań (1) oraz (2) widać, że krókookresowe zakłócenia równowagi w modelu objawiały się będą odchyleniem bądź poziomu produkcji od poencjału gospodarczego, bądź szybkości obiegu od jej warości długookresowej, co odpowiada przejściowym zakłóceniom popyu na pieniądz 7. Opisane zależności widać najwyraźniej po podsawieniu za M z równania (1) do (2), zasąpieniu T przez Y i uporządkowaniu: (3) p p* ( y * y) + ( v v*) przy czym w całym arykule małymi lierami oznaczane będą nauralne logarymy zmiennych. Jeżeli poziom cen p przekracza poziom równowagi p* związany z rozwojem agregau pieniężnego, oznacza o albo spychanie produkcji poniżej poziomu poencjalnego, albo doprowadzenie szybkości obiegu v do poziomu przekraczającego 6 Szerzej o ilościowej eorii pieniądza piszą m.in. D.Duwendag i in. (1995) 7 Związek szybkości obiegu pieniądza i realnego popyu na pieniądz można orzymać na podsawie równań (8) i (9): M D 1 = Y * P * V * 4

5 poziom długookresowy v*. W pierwszym przypadku powró do poziomu równowagi nasąpi poprzez dososowania na rynku pracy, co związane będzie ze spadkiem dynamiki płac i w rezulacie spadkiem sopy inflacji 8. W drugim przypadku do dososowań dojdzie na rynku pieniądza, gdzie nasąpi wzros popyu na pieniądz (czyli spadek v) i co za ym idzie spadek inflacji 9. Opisane właściwości sprawiają, że różnica p*-p może być rakowana jako wskaźnik poencjału inflacyjnego gospodarki. Jeżeli bowiem rzeczywisy poziom cen p i obliczony poziom eoreyczny p* pozosają ze sobą w długookresowej relacji, o luka pomiędzy ymi zmiennymi będzie posiadała własności prognosyczne. Dla przykładu, jeżeli w danym momencie eoreyczny poziom cen przekraczał będzie poziom rejesrowany rzeczywiście, będziemy oczekiwali powrou układu do położenia równowagi, co dokonać się musi na drodze przyspieszenia inflacji. W przeciwnym przypadku, urzymywanie się cen na poziomie przewyższającym równowagę monearną oznaczać będzie spadek sopy inflacji, ak aby mogło nasąpić domknięcie luki cenowej. Model Π* Bezpośrednia esymacja P* na podsawie równania (2) jes jednak problemayczna 10. Podsawową rudność sanowi silna sezonowość ujawniająca się w większości szeregów. Ponieważ usuwanie sezonowości za pomocą popularnych narzędzi ypu ARIMA X-11 zawsze obciążone jes pewną dozą uznaniowości, auorzy zdecydowali się na przekszałcenie modelu, nie zmieniające zasadniczo jego charakeru, za o pozwalające uniknąć wspomnianego powyżej problemu. Zasosowane przekszałcenie polega na doprowadzeniu modelu do posaci przyrosowej. Oznaczając sopę inflacji przez Π, można nazwać model Π-sar. Taka posać modelu ma również ę zaleę, że w większym sopniu odpowiada sposobowi prowadzenia poliyki pieniężnej przez władze monearne. Banki cenralne wyznaczają bowiem cele poliyki pieniężnej jako sopę inflacji, a nie jako poziom cen w gospodarce. 8 Pełen opis modelu AD-AS można znaleźć m.in. w podręczniku J.Sachs, F.Laraine (1993). 9 Model rynku pieniądza rozwija R.Barro (1997). 10 Analizę koinegracji, zbliżoną do koncepcji P* przeprowadzili B.Kłos i M.Samirowski (1999). Zob. również RPP (2000) s

6 Równanie wymiany (1) można zapisać w posaci logarymicznej: (4) p m = v y, by nasępnie, działając obusronnie operaorem przyrosów, orzymać: (5) m = v y, 4p przy czym 4 x oznacza czwary przyros zmiennej x, co w przypadku zmiennych zlogarymowanych odpowiada sopie wzrosu zmiennej X. Tak więc dla danych kwaralnych równanie (5) zawiera roczne sopy wzrosu zmiennych P, M, V oraz Y. W szczególności przyros zmiennej p będzie równy rocznej sopie inflacji. Oznaczając długookresowe warości równowagi za pomocą gwiazdki można zdefiniować Π* analogicznie do równania (2): (6) * p* = m + v * * Π y i orzymać po podsawieniu z równania (5) do (6) i po uporządkowaniu: (7) Π* = ( v v*) + ( y * ). Π y Równanie (7), podobnie do równania (3), pozwala określić przyczyny presji inflacyjnej (bądź deflacyjnej) w gospodarce. Jeżeli, dla przykładu, sopa inflacji znajduje się powyżej swojego, wyznaczonego czynnikami monearnymi, poziomu, soi za ym jeden z dwóch czynników. Albo sopa wzrosu fakycznej szybkości obiegu pieniądza przewyższa swą eoreyczną warość równowagi (a zaem sopa wzrosu popyu na pieniądz znajduje się poniżej poziomu równowagi), albo eż sopa wzrosu PKB spychana jes poniżej poencjalnych możliwości podażowych gospodarki. Powró inflacji do sanu równowagi monearnej nasępuje, ak jak poprzednio, poprzez zmianę popyu na pieniądz lub przez dososowania na rynku pracy. 6

7 Do obliczenia Π* niezbędne będą czware przyrosy poencjału produkcyjnego oraz szybkości obiegu. Esymacja poencjału produkcyjnego zosanie opisana w empirycznej części opracowania, w ym miejscu naomias wyprowadzony zosanie wzór na długookresową szybkość obiegu pieniądza. W ym celu zapisana zosała funkcja długookresowego, realnego popyu na pieniądz względem realnego dochodu: M D β (8) = α Y * exp( ψ ), P * przy czym α, β, ψ oznaczają sałe, a rend czasowy. Auorzy zdecydowali się, na podobieńswo funkcji produkcji Cobba-Douglasa, wprowadzić do równania popyu na pieniądz dodakowy czynnik exp( ψ ), obrazujący w ym przypadku rozwój innowacji finansowych, kóre w osanich laach znacząco wpływały na zmiany popyu na pieniądz. Szybki rozwój insrumenów rynku finansowego zacierał bowiem różnice pomiędzy akywami, zwiększając ławość zamiany insrumenów wchodzących w skład podaży pieniądza (np. depozyów na żądanie) na insrumeny niemonearne, akie jak bony skarbowe i desabilizując radycyjne równania popyu na pieniądz. Po podsawieniu do równania (2) i uporządkowaniu orzymujemy: 1 1 β (9) V * = ( Y *) exp( ψ ) α Po zlogarymowaniu, obliczeniu czwarych przyrosów i podsawieniu do równania (6) orzymamy: (10) * = v + m β *, Π 0 4 4y gdzie v 0 4ψ. Na podsawie ego równania obliczony może zosać poziom równowagi sopy inflacji. Jeżeli hipoeza, o sabilnym związku Π i Π* jes słuszna, zmienne e powinny być 7

8 skoinegrowane, co oznacza, że składnik losowy η równania sacjonarny. Π * = Π + η powinien być W sensie ekonomicznym, koinegracja Π i Π* będzie świadczyła o ścisłym związku obu zmiennych, co oznacza, że P i P* będą znajdowały się w sanie zrównoważonego wzrosu 11. Jeżeli w danym okresie długookresowy poziom równowagi Π* przekroczy rzeczywisą sopę inflacji, będzie można oczekiwać nasilenia procesów inflacyjnych w najbliższym czasie, ak aby domknięa mogła zosać luka inflacyjna. Dzięki własności koinegracji, Π*- Π można będzie rakować jako miernik poencjału inflacyjnego gospodarki, a ym samym jako wyprzedający wskaźnik dla samej inflacji. Szczegółowa analiza koinegracji wyesymowanych miar Π* z rzeczywisym poziomem inflacji oraz próba zbudowania odpowiednich równań koreky błędem przedsawione zosaną w dalszej części pracy. 3. Wyniki empiryczne 12 W części empirycznej auorzy wykorzysali wiele narzędzi ekonomerycznych z zakresu analizy szeregów czasowych, kórych eoreyczne podsawy zosały przedsawione w Aneksie 1 do niniejszej pracy. Przedmioem analizy jes poszukiwanie sabilnej zależności pomiędzy rzeczywisą sopą wzrosu cen a sopą wzrosu cen wynikającą z modelu Π-sar, w gospodarce polskiej la 90-ych. Sopę wzrosu cen zdefiniowaną w oparciu o koncepcję Π-sar zapisać można w posaci równania (10), a jej odchylenie od rzeczywisej sopy wzrosu cen jako: (11) η = 4 p - v 0-4 m + β 4 y*. 11 Dokonane przez auorów przekszałcenie modelu do posaci przyrosowej sprawia, że nie można już mówić o relacji długookresowej pomiędzy zmiennymi, a jedynie o ich pozosawaniu w sanie zrównoważonego wzrosu. 12 Ze względu na konieczność ograniczenia objęości niniejszego opracowania auorzy przedsawili jedynie najbardziej isone rezulay. Szczegółowe wyniki obliczeń auorzy goowi są udosępnić na życzenie czyelnika. 8

9 Ze względu na isnienie różnych definicji podaży pieniądza, auorzy zdecydowali się skonsruować modele z wykorzysaniem różnych agregaów pieniężnych: M1, M2 oraz MD 13. Również pojęcie przecięnego poziomu cen w gospodarce nie jes zdefiniowane jednoznacznie. Wskaźnikami odzwierciedlającymi zmiany średniego poziomu cen w gospodarce mogą być: deflaor PKB (zmienna DEF), wskaźnik cen produkcji sprzedanej przemysłu (PPI), wskaźnik cen owarów i usług konsumpcyjnych (CPI) oraz wskaźnik zw. inflacji bazowej, u rozważanej jako wskaźnik cen owarów i usług konsumpcyjnych z wyłączeniem cen regulowanych (zmienna CORE). Do analizy empirycznej wykorzysane zosały dane kwaralne za okres PKB w cenach sałych zosał obliczony na podsawie danych GUS (laa ) oraz szacunków Insyuu Badań nad Gospodarką Rynkową (rok 1993). PKB w cenach bieżących oraz indeks cen konsumpcyjnych i indeks cen produkcji sprzedanej przemysłu pochodzą z GUS, zaś miara inflacji bazowej oraz agregay pieniężne M1, M2 i MD z Narodowego Banku Polskiego. Wobec braku saysyk obrazujących wielkość poencjału produkcyjnego gospodarki, auorzy zdecydowali się dokonać pewnego uproszczenia i za sopę wzrosu poencjału produkcyjnego gospodarki przyjęli wygładzoną wykładniczo sopę wzrosu realnego PKB (zmienna Y*). Auorzy zdecydowali się zaem zbadać 12 różnych kombinacji zmiennych uwzględniając wspomniane wyżej 3 różne definicje podaży pieniądza i 4 różne definicje zmian średniego poziomu cen. Meoda Engle a - Grangera W pierwszej kolejności auorzy zbadali sopień zinegrowania zmiennych wykorzysanych w modelu. Wyniki rozszerzonego esu Dickeya Fullera (ADF) oraz 13 M1 obejmuje goówkę w obiegu i depozyy na żądanie, M2 (podaż pieniądza ogółem) dodakowo zawiera depozyy erminowe i zablokowane, MD (podaż pieniądza krajowego) składa się z goówki w obiegu oraz depozyów złoowych osób prywanych i podmioów gospodarczych. Por. Biuleyn Informacyjny NBP. 9

10 esu Phillipsa Perrona (PP) 14 wskazują, że przy poziomie isoności równym 5%, wszyskie 12 zmiennych można uznać za zinegrowane w sopniu pierwszym. Znając sopień zinegrowania zmiennych, auorzy mogli przysąpić do esowania koinegracji za pomocą meody zaproponowanej przez Engle a i Grangera. W pierwszym eapie dwusopniowej procedury Engle a Grangera, dla każdego zbioru zmiennych, wyesymowano za pomocą KMNK równanie posaci: (12) 4 p = v m β 4 y* + η uzyskując oszacowania paramerów v 0 oraz β. Na podsawie resz obliczonych dla oszacowanych modeli, auorzy wyznaczyli również koinegracyjne saysyki Durbina Wasona (CIDW), będące wskazówką na ema obecności relacji koinegrującej pomiędzy zmiennymi. Szczegółowe wyniki esymacji zosały zebrane w Tabeli 1. Tab. 1. Wyniki esów koinegracji dla meody Engle a Grangera. Zmienne CIDW R 2 opóźnienie w Maksymalne eście ADF Saysyka ADF Warość kryyczna esu ADF (5%) Saysyka PP Warość kryyczna esu PP (5%) 4 y*, 4 m1, 4 def 1,21 0,54 0-3,09-3,30-3,15-3,30 4 y*, 4 m1, 4 cpi 0,67 0,66 4-1,27-3,30-2,15-3,30 4 y*, 4 m1, 4 ppi 0,53 0,44 1-1,62-3,30-1,92-3,30 4 y*, 4 m1, 4 core 0,70 0,69 4-1,66-3,30-2,22-3,30 4 y*, 4 m2, 4 def 1,07 0,68 4-2,10-3,30-3,05-3,30 4 y*, 4 m2, 4 cpi 0,40 0,65 4-2,30-3,30-2,01-3,30 4 y*, 4 m2, 4 ppi 0,42 0,63 2-2,52-3,30-1,74-3,30 4 y*, 4 m2, 4 core 0,35 0,64 2-2,45-3,30-1,84-3,30 4 y*, 4 md, 4 def 0,50 0,06 4-3,16-3,30-2,54-3,30 4 y*, 4 md, 4 cpi 0,31 0,03 3-3,37* -3,30-2,35-3,30 4 y*, 4 md, 4 ppi 0,32-0,05 3-3,58* -3,30-2,08-3,30 4 y*, 4 md, 4 core 0,29 0,12 4-3,62* -3,30-2,28-3,30 *) oznacza odrzucenie H 0 przy poziomie isoności 5%. Porównanie warości CIDW ze współczynnikami deerminacji R 2 wyznaczonymi dla oszacowanych regresji (12), pozwala wnioskować, że hipoeza o obecności 14 Warości kryyczne esów ADF i PP zaczerpnięe zosały z: R. Davidson, J. MacKinnon, Esimaion and Inference in Economerics, Oxford Universiy Press, Oxford 1993, Tab

11 koinegracji może być fałszywa w przypadku modeli ze zmiennymi 4 m2 i 4 cpi, 4 m2 i 4 ppi, 4 m2 i 4 core. Waro zwrócić uwagę, że wszyskie e modele zawierają agrega M2. W przypadku pozosałych modeli koinegracja może wysępować. W drugim eapie procedury Engle a Grangera auorzy za pomocą esów Dickeya Fullera i Phillipsa - Perrona weryfikowali hipoezę o sacjonarności resz uzyskanych z modelu (12) 15. Wyniki uzyskane przy zasosowaniu meody Engle a Grangera pozwalają wnioskować, że zależność koinegrująca wysępuje jedynie w przypadku agregau MD i cen reprezenowanych przez zmienne CPI, PPI i CORE (według wskazań esu ADF). Waro zwrócić uwagę, że w przypadku kombinacji zmiennych, dla kórych koinegracja nie zosała powierdzona, warości saysyk ADF i PP są w wielu przypadkach niewiele większe od odpowiednich warości kryycznych. Ten fak oraz niejednoznaczne wskazania procedury Engle a Grangera sprawiły, że niezbędne sało się zasosowanie nieco bardziej zaawansowanego narzędzia do analizy koinegracji, jakim jes meoda Johansena. Meoda Johansena Podsawą wnioskowania w meodzie Johansena jes model wekorowej auoregresji z rzema zmiennymi endogenicznymi, kórymi w ym przypadku są: sopa wzrosu cen ( 4 p), sopa wzrosu podaży pieniądza ( 4 m) oraz sopa wzrosu poencjału produkcyjnego gospodarki ( 4 y * ). Z uwagi na niewielką liczbę obserwacji (26 kwaralnych obserwacji) przyjęo założenie, że maksymalne opóźnienie w modelach nie może być większe niż 2. Nawe jeżeli prawdziwa warość maksymalnego opóźnienia jes większa od 2, szacowanie modelu z ak dużą liczbą opóźnień doprowadziłoby do uray znacznej liczby sopni swobody, spadku mocy esów koinegracji i niewielkiej dokładności oszacowania paramerów. Dlaego na podsawie wskazań zw. kryeriów informacyjnych oraz wyników esu sekwencyjnego (Lükepohl 1993), dla każdego z 12 modeli auorzy dokonywali wyboru pomiędzy wielkością opóźnienia równą 1 i Warości kryyczne esów koinegracji ADF i PP zaczerpnięe zosały z: W.Charemza, D.Deadman, Nowa Ekonomeria, PWE, Warszawa 1997, Tab

12 Ponieważ nie dla wszyskich modeli wskazania esu sekwencyjnego i kryeriów informacyjnych były jednakowe, auorzy arbiralnie przyjęli maksymalne opóźnienie równe 2 dla wszyskich 12 warianów modelu. Dodakowo auorzy posanowili przeesować modele z opóźnieniem równym jeden dla kombinacji zmiennych M2 i CORE oraz MD i CORE (w przypadku ych dwóch warianów większość kryeriów oraz wyniki esu sekwencyjnego wskazały opóźnienie równe 1). Przyjęcie opóźnienia równego 2 jes zgodne z oczekiwaniami auorów, kórzy przypuszczają, że wpływ na kszałowanie się zmian sopy wzrosu cen ma nie ylko odchylenie od poziomu równowagi, ale również zmiana sopy wzrosu z poprzedniego okresu. Maksymalne opóźnienie równe 2 pozwala zaem włączyć do modelu pierwsze przyrosy sóp wzrosu z poprzedniego okresu. Po ransformacji modelu VAR do posaci wekorowego modelu koreky błędem (VECM), dla każdego z 14 modeli (12 modeli z opóźnieniem równym 2 i dwa modele z opóźnieniem równym 1) auorzy przeprowadzili esy Johansena śladu macierzy i maksymalnej warości własnej 16. Szczegółowe wyniki esów ujęe zosały w Tabeli 2. Tab. 2. Warości saysyk esów Johansena śladu macierzy i maksymalnej warości własnej. Zmienne Hipoezy Warość saysyki Warość saysyki Warości Warości śladu macierzy maks. warości kryyczne kryyczne (λ TR ) własnej (λ max ) H 0 H 1 5% 1% 5% 1% 4 y*, 4 m1 r = 0 r = 1 (r 1) def r = 1 r = 2 (r 2) r = 2 r = y*, 4 m1 r = 0 r = 1 (r 1) 32.33* cpi r = 1 r = 2 (r 2) r = 2 r = y*, 4 m1 r = 0 r = 1 (r 1) * ppi r = 1 r = 2 (r 2) r = 2 r = y*, 4 m1 r = 0 r = 1 (r 1) 31.14* * core r = 1 r = 2(r 2) Warości kryyczne obydwu esów zaczerpnięe zosały z: M.Oserwald-Lenum, A Noe wih Quaniles of he Asympoic Disribuion of he Maximum Likelihood Coinegraion Rank Tes Saisics, "Oxford Bullein of Economics and Saisics" nr 54, 3 (1992). 12

13 r = 2 r = y*, 4 m2 r = 0 r = 1 (r 1) def r = 1 r = 2 (r 2) r = 2 r = y*, 4 m2 r = 0 r = 1 (r 1) cpi r = 1 r = 2 (r 2) r = 2 r = y*, 4 m2 r = 0 r = 1 (r 1) ppi r = 1 r = 2 (r 2) r = 2 r = y*, 4 m2 r = 0 r = 1 (r 1) core r = 1 r = 2 (r 2) r = 2 r = y*, 4 m2 r = 0 r = 1 (r 1) core r = 1 r = 2 (r 2) VAR(1) r = 2 r = y*, 4 md r = 0 r = 1 (r 1) 30.79* def r = 1 r = 2 (r 2) r = 2 r = y*, 4 md r = 0 r = 1 (r 1) 37.59** ** cpi r = 1 r = 2 (r 2) r = 2 r = y*, 4 md 4 ppi r = 0 r = 1 r = 2 r = 1 (r 1) r = 2 (r 2) r = ** 15.57* 5.14* ** * y*, 4 md r = 0 r = 1 (r 1) 37.61** * core r = 1 r = 2 (r 2) r = 2 r = y*, 4 md 4 core VAR(1) r = 0 r = 1 r = 2 r = 1 (r 1) r = 2 (r 2) r = ** * *) oznacza odrzucenie H 0 przy poziomie isoności 5%, **) oznacza odrzucenie H 0 przy poziomie isoności 1%. W przypadku, kiedy podaż pieniądza reprezenowana była przez agrega M1, dla zmiennej CORE jako średniego poziomu cen w gospodarce obydwa esy powierdziły obecność relacji koinegrującej przy poziomie isoności 5%. Dla zmiennej PPI wyniki esu maksymalnej warości własnej wskazały na isnienie relacji koinegrującej, naomias w przypadku esu śladu macierzy, nie było podsaw do odrzucenia hipoezy mówiącej o braku akiej relacji pomiędzy zmiennymi. Odwrona syuacja miała miejsce w modelu ze zmienną CPI, kiedy wyniki esu śladu macierzy powierdziły obecność wekora koinegrującego, za o wyniki esu maksymalnej warości własnej nie pozwoliły odrzucić hipoezy zerowej zakładającej brak wekorów koinegrujących. Ponieważ jednak saysyki esu śladu macierzy w przypadku zmiennej PPI i maksymalnej 13

14 warości własnej dla zmiennej CPI, były bliskie warości kryycznych, auorzy przyjęli, że również w przypadku, gdy średni poziom cen odzwierciedlany jes przez zmienne PPI i CPI, relacja koinegrująca isnieje. Dla deflaora PKB (zmienna DEF) żaden z esów nie powierdził isnienia wekora koinegrującego. Wśród kombinacji zmiennych, w kórych rolę podaży pieniądza pełnił agrega MD, obydwa esy wskazały na obecność relacji koinegrującej dla zmiennych CPI oraz PPI przy poziomie isoności 1%. Dla zmiennej CORE jako średniego poziomu cen w gospodarce, wyniki esu śladu macierzy powierdziły skoinegrowanie zmiennych przy poziomie isoności 1%, naomias wyniki esu maksymalnej warości własnej dały idenyczny rezula przy poziomie isoności 5%. Wskazania obydwu esów były jednakowe zarówno dla modelu z maksymalnym opóźnieniem równym 2 jak i dla modelu z maksymalnym opóźnieniem równym 1. W przypadku zmiennej DEF, obecność relacji koinegrującej powierdzona zosała jedynie przez wyniki esu śladu macierzy przy poziomie isoności 5%. W żadnym z modeli, w kórych auorzy przyjęli agrega M2 za miarę podaży pieniądza, przy poziomie isoności 5% wyniki esów Johansena nie powierdziły obecności relacji koinegrującej pomiędzy zmiennymi. Oszacowany wekorowy model koreky błędem (VECM) z maksymalnym wyjściowym opóźnieniem równym 2, przy założeniu isnienia jednego wekora koinegrującego znormalizowanego względem pierwszej zmiennej, zapisać można w ogólnej posaci: ˆ ˆ ˆ ˆ * ˆ 4p = c1 + ˆ α11 ( 4p 1 + β21 4m 1 + β31 4y 1 + β41) + ˆ γ 11 4p 1 + ˆ γ 12 4m 1 + ˆ γ 13 4y * 1 ˆ ˆ ˆ ˆ * ˆ 4m = c2 + ˆ α21 ( 4p 1 + β21 4m 1 + β31 4y 1 + β41) + ˆ γ 21 4p 1 + ˆ γ 22 4m 1 + ˆ γ 23 4y * 1 y * = cˆ + ˆ α ( p + ˆ β m + ˆ β y * + ˆ β ) + ˆ γ p + ˆ γ m + ˆ γ y * ˆ gdzie 4 oznacza pierwszy przyros sopy wzrosu. Równanie koinegrujące w zapisanym powyżej modelu odbiega nieco od równań (10) i (11) opisujących koncepcję Π-sar. Ponieważ w esymacji wekorowego modelu koreky błędem za pomocą meody Johansena, na elemeny wekora koinegrującego nie zosały nałożone żadne ograniczenia, oszacowanie składowej wekora koinegrującego dla zmiennej 4 m może przyjmować dowolne warości. Naomias w 14

15 równaniu (11) paramer sojący przy zmiennej 4 m jes równy -1. Zaem jeżeli oszacowany powyżej model ma być zgodny z koncepcją Π-sar, należy zweryfikować hipoezę, czy paramer ˆβ 21 w znormalizowanym względem zmiennej 4 p równaniu koinegrującym jes równy 1. Tesem umożliwiającym weryfikację ej hipoezy, może być zaproponowany przez Johansena es opary na saysyce ilorazu wiarygodności, kórego konsrukcja omówiona zosała szczegółowo w Aneksie 1. Macierz H w ym eście zawierająca resrykcje nałożone na elemeny wekora koinegrującego przyjęła eraz posać: H = Saysyka będąca podsawą wnioskowania w ym eście ma rozkład χ 2 z jednym sopniem swobody. Szczegółowe wyniki esu dla wszyskich 14 modeli zosały zebrane w Tabeli 3. Tab. 3. Wyniki esu Johansena weryfikującego zasadność resrykcji nałożonej na składową wekora koinegrującego przy zmiennej 4 m. Zmienne Warość saysyki ilorazu wiarygodności (λ LR ) p-value Współczynnik 31 ˆβ 4 y*, 4 m1, 4 def y*, 4 m1, 4 cpi y*, 4 m1, 4 ppi y*, 4 m1, 4 core y*, 4 m2, 4 def y*, 4 m2, 4 cpi y*, 4 m2, 4 ppi y*, 4 m2, 4 core y*, 4 m2, 4 core VAR(1) y*, 4 md, 4 def y*, 4 md, 4 cpi y*, 4 md, 4 ppi y*, 4 md, 4 core y*, 4 md, 4 core VAR(1) Warość p-value oznacza minimalny poziom isoności, przy kórym można odrzucić H 0. Współczynnik ˆβ oznacza oszacowanie składowej wekora koinegrującego przy zmiennej 4 y*

16 Wyniki esu wskazują, że we wszyskich czerech modelach, w kórych wielkości podaży pieniądza reprezenowana była przez agrega pieniężny M1, przy poziomie isoności równym 5% nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej, zakładającej, że paramer relacji koinegrującej przy zmiennej 4 m1 jes równy 1. Wśród kombinacji z udziałem agregau pieniężnego MD, przy poziomie isoności równym 5%, nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej w syuacji, gdy średni poziom cen opisują zmienne DEF, CPI i PPI. W modelu z maksymalnym opóźnieniem równym 1, w kórym wysępuje zmienna CORE, również nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej przy 5%-owym poziomie isoności, naomias w modelu ze zmienną CORE i maksymalnym opóźnieniem równym 2 hipoezę zerową należy odrzucić. W przypadku modeli, w kórych jako wielkość podaży pieniądza pojawiła się zmienna M2, wyniki esów nie pozwalały odrzucić hipoezy zerowej przy poziomie isoności równym 5% dla zmiennych PPI i CPI w modelach z maksymalnym opóźnieniem równym 2 oraz zmiennej CORE przy maksymalnym opóźnieniu równym 1, naomias przy poziomie isoności równym 1% dla zmiennej DEF i zmiennej CORE (w modelu z maksymalnym opóźnieniem równym 2). Powyższe wyniki oznaczają, że koncepcja Π-sar lepiej sprawdza się dla wielkości podaży pieniądza zdefiniowanej jako agregay M1 i MD aniżeli dla szerszej definicji pieniądza w posaci agregau M2. Szczegółowe wyniki esymacji rzech modeli z udziałem agregau M1, dla kórych przynajmniej jeden z esów Johansena (śladu macierzy lub maksymalnej warości własnej) powierdził obecność wekora koinegrującego oraz dla kórych nie było podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej zakładającej, że elemen wekora koinegrującego przy zmiennej 4 m jes równy -1, zebrane zosały w Aneksie 2. W modelach ych paramer informujący o sile składnika koreky błędem w równaniu opisującym zmiany sopy wzrosu cen, przyjmował warości z przedziału od do Oznacza o, że inflacja, pomimo krókookresowych zakłóceń będzie wykazywała endencje do powrou na rajekorię wyznaczoną przez posać wekora koinegrującego, zależną od sopy wzrosu podaży pieniądza i sopy wzrosu poencjału produkcyjnego gospodarki. 16

17 W przypadku modeli, w kórych podaż pieniądza ujęa zosała w posaci agregau MD, mechanizm koreky błędem jes albo bardzo słaby (model ze zmienną CPI), albo w ogóle nie wysępuje (model ze zmienną PPI). Kolejnym eapem analizy empirycznej była ocena jakości oszacowanych powyżej modeli VECM pod kąem prawdziwości założenia o braku auokorelacji składnika losowego. Ze względu na o, że moc esu porfelowego (ang. pormaneau es), pozwalającego swierdzić obecność auokorelacji w modelu, może być wrażliwa na ewenualną niesacjonarność składnika losowego (Lükepohl 1993), auorzy przeprowadzili weryfikację dopiero dla modeli zapisanych w posaci wekorowych modeli koreky błędem. Na podsawie wyników esu można swierdzić, że dla żadnego z 14 oszacowanych modeli, przy poziomie isoności równym 5%, nie można odrzucić hipoezy mówiącej o braku auokorelacji składnika losowego do 8 okresów wsecz. Analiza graficzna Osanim eapem analizy modeli Π* była graficzna weryfikacja hipoezy o wpływie luki cenowej na przyszłą sopę inflacji. Wykresy 1-3 przedsawiają miary inflacji eoreycznej Π*, kóre spełniły wszyskie opisane powyżej kryeria poprawności modelu. Dodakowo na wykresach uwzględniono odpowiednie, rzeczywise sopy inflacji, co pozwala na przeprowadzenie graficznej analizy wpływu luki cenowej na procesy inflacyjne. Jak widać, wszyskie sosowane miary inflacji wykazują w badanym okresie zbliżony przebieg, dlaego eż możliwe jes wspólne omówienie wykresów. Przebieg krzywych we wszyskich rzech przypadkach powierdza przypuszczenia auorów co do prognosycznej roli różnicy Π*- Π względem sopy inflacji. Kiedy Π* przekraczało rzeczywisą sopę wzrosu poziomu cen, powsawała luka inflacyjna, kóra w nasępnych kwarałach ciągnęła inflację w górę. Tak działo się między innymi w laach 1994 i Szczególnie wyraźna luka powsała w roku 1999, prowadząc (choć nie można nie doceniać roli czynników koszowych) do znacznego wzrosu sopy inflacji o ok. 6 pk. proc. Z drugiej srony, luki deflacyjne, kóre w badanym okresie wysępowały m. in. w laach 1995 i sprawiały, że inflacja powracała do rendu spadkowego. W roku 2000 nasąpiło wyraźne owarcie luki deflacyjnej, co powinno w najbliższych kwarałach skukować zdecydowanym obniżeniem sopy inflacji. 17

18 Wyk. 1 Indeks cen konsumpcyjnych i Π* opare o agrega M1 (zmiana w proc. wzgl. analogicznego okresu roku poprzedniego) 50% Luki inflacyjne 40% 30% 20% 10% Luki deflacyjne 0% I-94 I-95 I-96 I-97 I-98 I-99 I-00-10% CPI Inflacja eoreyczna (M1; CPI) Wyk. 2 Indeks cen produkcji sprzedanej przemysłu i Π* opare o agrega M1 (zmiana w proc. wzgl. analogicznego okresu roku poprzedniego) 40% 30% 20% 10% 0% I-94 I-95 I-96 I-97 I-98 I-99 I-00-10% -20% PPI Inflacja eoreyczna (M1; PPI) 18

19 Wyk. 3 Inflacja bazowa i Π* opare o agrega M1 (zmiana w proc. wzgl. analogicznego okresu roku poprzedniego) 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% I-94 I-95 I-96 I-97 I-98 I-99 I-00-10% Inflacja bazowa CORE Inflacja eoreyczna (M1; CORE) 4. Podsumowanie Budowa modelu Π*, oparego na zależności pomiędzy inflacją i sopą wzrosu podaży pieniądza, zawarej implicie w równaniu ilościowej eorii pieniądza, pozwoliła dokonać oceny rozmiaru monearnych podsaw procesów inflacyjnych w Polsce okresu ransformacji. Tesowanie koinegracji rzeczywisej sopy inflacji i jej eoreycznego, deerminowanego czynnikami realnymi i monearnymi poziomu Π*, dla różnych miar inflacji i różnych agregaów monearnych, pozwoliło swierdzić, że niemal wszyskie indeksy cen (CPI, PPI, inflacja bazowa) pozosają w sanie zrównoważonego wzrosu z agregaem pieniężnym M1. W ych rzech przypadkach relacja koinegrująca spełniała dodakowo nałożone na model ograniczenia doyczące wielkości parameru przy sopie wzrosu podaży pieniądza i znaku parameru przy składniku koreky błędem. 19

20 Zależność aka sprawia, że różnica pomiędzy eoreyczną i rzeczywisą sopą inflacji Π* - Π, może być rakowana jako wskaźnik wyprzedzający rozwoju procesów inflacyjnych. Luka inflacyjna mierzy bowiem poencjał popyowy gospodarki i pozwala przewidzieć rozwój syuacji w ciągu najbliższych kilku kwarałów. W badanym okresie, owarcie się luki inflacyjnej skukuje, jeśli nie wzrosem sopy inflacji, o przynajmniej spowolnieniem procesu dezinflacyjnego. Odpowiednio, owarcie się luki deflacyjnej powoduje powró do rendu dezinflacyjnego. W ym zakresie wyniki zbliżone są do rezulaów orzymanych przez pracowników Rezerwy Federalnej i Bundesbanku, na pracach kórych wzorowany był eks. Ineresujący jes również fak, że związek agregau pieniężnego M2 z różnymi miarami inflacji okazał się sosunkowo słaby. Jes o ym bardziej zaskakujące, że przez niemal całe laa 90-e właśnie podaż pieniądza ogółem sanowiła cel pośredni Narodowego Banku Polskiego, zaś od czasu wprowadzenia sraegii bezpośredniego celu inflacyjnego sała się oficjalnie publikowaną warością referencyjną władz monearnych. Również podaż pieniądza krajowego nie zosała zakwalifikowana jako podsawa do budowy wiarygodnego modelu Π*. W ym przypadku decydujące okazały się znaki oszacowań przy składniku koreky błędem. W konekście wniosków przydanych władzom monearnym można swierdzić, że isnieje możliwość wsparcia poliyki pieniężnej na podporze monearnej (pomimo sosowania sraegii bezpośredniego celu inflacyjnego), należałoby się jednak zasanowić nad zmianą wykorzysywanego doychczas w ym celu agregau pieniężnego. Badania empiryczne wskazują bowiem, że sosunkowo najlepiej do sanowienia warości referencyjnej nadaje się podaż pieniądza M1. Bibliografia 1. Barro, R.J Makroekonomia, Warszawa, PWE. 2. Bernanke, B.S. i in Inflaion Targeing: Lessons from he Inernaional Experience. Princeon Universiy Press. Princeon. 3. Charemza, W.W., Deadman, D.F Nowa ekonomeria, PWE, Warszawa. 4. Deusche Bundesbank Monasberich. Januar, s Duwendag, D. i in Teoria pieniądza i poliyka pieniężna. Warszawa, Polex. 20

21 6. Engle, R.F., Granger, C.W Co-inegraion and Error Correcion: Represenaion, Esimaion and Tesing, Economerica nr 55, s Fisher, I The Purchasing Power of Money. New York: Macmillan. 8. Hallman, J., Porer, R., Small, D Is he Price Level Tied o he M2 Moneary Aggregae in he Long Run?, American Economic Review s Hamilon, J.D Time Series Analysis, Princeon Universiy Press, Princeon. 10. Johansen, S Esimaion and Hypohesis Tesing of Coinegraing Vecors in Gaussian Vecor Auoregressive Models, Economerica nr 59, s Kłos, B., Samirowski, M Monearny model inflacji, Maszynopis powielony, Deparamen Analiz i Badań NBP. 12. Lükepohl, H Inroducion o Muliple Time Series Analysis, 2 nd ed., Springer- Verlag, Berlin. 13. Mills, T.C The economeric modelling of financial ime series, Cambridge Universiy Press, Cambridge. 14. Oserwald-Lenum, M A Noe wih Quaniles of he Asympoic Disribuion of he Maximum Likelihood Coinegraion Rank Tes Saisics, Oxford Bullein of Economics and Saisics nr 54, Pindyck, R.S., Rubinfeld, D.L Economeric Models and Economic Forecass, 4 h ed. McGraw-Hill, New York. 16. RPP Średniookresowa sraegia poliyki pieniężnej: , Narodowy Bank Polski, Warszawa. 17. RPP Rapor o inflacji 1999, Narodowy Bank Polski, Warszawa. 18. Sachs, J., Laraine, F Macroeconomics in he Global Economy, Prenice Hall. 19. Syczewska, E Analiza relacji długookresowych: Esymacja i weryfikacja, Monografie i opracowania, Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Handlowej, Warszawa. 20. Welfe, A Ekonomeria, PWE, Warszawa. 21

22 Aneks 1: Meoda badawcza Do wnioskowania na ema obecności związków długookresowych pomiędzy bieżącą sopą inflacji a poziomem inflacji wynikającym z koncepcji Π-sar, omówionej w punkcie 2, auorzy wykorzysali analizę koinegracji. Isoą ej meody jes badanie, czy pomiędzy niesacjonarnymi zmiennymi ekonomicznymi isnieją zależności długookresowe, odpowiadające sanowi równowagi sabilnej. Dla zbioru zmiennych y 1, y 2,...,y K, san en zapisać można jako: (13) c 1 y 1 + c 2 y c K y K = 0 gdzie paramery c 1, c 2,..., c K są współczynnikami długookresowej równowagi. Oczywiście, dla żadnego okresu, zapisany powyżej warunek, określający równowagę układu, nie jes spełniony w sposób deerminisyczny, co wynika z działania czynników zewnęrznych wyrącających układ ze sanu równowagi. Jeżeli jednak odchylenia od sanu równowagi nie mają wyraźnej endencji rosnącej bądź spadkowej i szereg czasowy będący różnicą pomiędzy rzeczywisymi obserwacjami a posulowaną równowagą jes sacjonarny, co oznacza, że zmienne pomimo odchyleń wracają na swoją długookresową ścieżkę wzrosu lub spadku, o można wnioskować o isnieniu długookresowej równowagi pomiędzy zmiennymi. Oznaczając zmienną losową reprezenującą odchylenia od sanu równowagi jako η, obecność relacji długookresowej równowagi pomiędzy zmiennymi y 1, y 2,...,y K wyrazić można jako: (14) c 1 y 1 + c 2 y c K y K = η ~ I(0). O zmiennych ych mówi się wedy, że są skoinegrowane. Formalną definicję koinegracji znaleźć można między innymi w pracy Engle a i Grangera z 1987 roku (Engle, Granger 1987). Zgodnie z wierdzeniem Grangera o reprezenacji, jeżeli zmienne są skoinegrowane, relację pomiędzy nimi zapisać można za pomocą modelu z mechanizmem koreky błędem (ECM - ang. Error Correcion Model). 22

23 W niniejszym opracowaniu zasosowano dwie komplemenarne wobec siebie meody analizy koinegracji: Meodę Engle a Grangera sosowaną do wnioskowania na ema modeli jednorównaniowych oraz wielowymiarową meodę Johansena. W meodzie Engle a Grangera esem weryfikującym skoinegrowanie zmiennych jes es polegający na badaniu sopnia zinegrowania szeregu, będącego odchyleniami rzeczywisych warości zmiennych od poziomu posulowanej równowagi. Przykładowo, dla dwóch zmiennych x oraz y zinegrowanych w sopniu pierwszym i powiązanych długookresową zależnością posaci: (15) y = β x + u, należy zbadać, czy zmienna u, zdefiniowana jako u = y - β x, reprezenująca odchylenia układu od posulowanego sanu równowagi, jes sacjonarna j. I(0). W syuacji, gdy rzeczywisa warość wekora koinegrującego [1, -β ] nie jes znana, powyższe równanie należy oszacować za pomocą meody najmniejszych kwadraów i badać sacjonarność resz û wyznaczonych jako różnice pomiędzy warościami rzeczywisymi i eoreycznymi zmiennej y : (16) uˆ = yˆ βˆ x. Sopień zinegrowania resz û (lub warości odchyleń, jeżeli znana jes warość wekora koinegrującego) można badać za pomocą np. rozszerzonego esu Dickeya - Fullera lub esu Phillipsa - Perrona, analogicznie jak w przypadku badania sopnia zinegrowania zmiennych. Inne są jedynie warości kryyczne ych esów. Niesey, meoda a obarczona jes pewnymi wadami. W układzie zawierającym więcej niż dwie zmienne może isnieć więcej wekorów koinegrujących. Naomias powyższa procedura pozwala znaleźć ylko jeden aki wekor. Poza ym elemeny ego wekora orzymano na podsawie regresji zmiennych niesacjonarnych, więc mogą być obciążone i różnić się od prawdziwych warości wekora koinegrującego (Welfe 1998). 23

24 Dodakową wskazówkę o możliwości skoinegrowania zmiennych x i y można uzyskać na podsawie warości zw. koinegracyjnej saysyki Durbina-Wasona (CIDW) posaci: gdzie ( 2 uˆ ˆ u 1) CIDW =, 2 ( uˆ u ) u oznacza średnią arymeyczną resz û. Jeżeli warość saysyki CIDW wyznaczona dla oszacowanego za pomocą MNK równania koinegrującego jes mniejsza od współczynnika deerminacji R 2 dla ego równania, o hipoeza zakładająca skoinegrowanie zmiennych x i y jes prawdopodobnie fałszywa. W przeciwnym wypadku (CIDW > R 2 ) koinegracja może wysępować (Charemza, Deadman 1997). Meoda zaproponowana przez S. Johansena pozwala zbadać isnienie więcej niż jednego wekora koinegrującego. Polega ona na analizie modelu wekorowej auoregresji (VAR) zapisanego w posaci wekorowego modelu koreky błędem (VECM - ang. Vecor Error Correcion Model). Model VAR(p) przedsawić można jako: (17) y = v + A 1 y A p y -p + u, gdzie p oznacza maksymalne opóźnienie zmiennych objaśniających w modelu, y = [y 1,...,y K ] jes wekorem K zmiennych wysępujących w modelu, A i są sałymi macierzami paramerów wymiaru K K, v = [v 1,...,v K ] - wekorem wyrazów wolnych (sała, rend deerminisyczny, zmienne sezonowe), naomias u = [u 1,...,u K ] - wekorem składników losowych. Zakłada się u sferyczną posać składnika losowego, czyli: E(u ) = 0, E(u u ) = Σ u oraz E(u u s ) = 0 dla s. Oznacza o, że składniki losowe poszczególnych równań mogą być skorelowane pomiędzy sobą w ym samym okresie. Model VAR można przekszałcić do nasępującej posaci: (18) y = v + Π y -1 + F 1 y F p-1 y -p+1 + u, 24

25 nazywanej wekorowym modelem koreky błędem (VECM), gdzie: Π = -(I K - A A p ), F i = -(A i A p ) dla i = 1,...,p 1. Przekszałcenie o nazywa się ransformacją koinegrującą. Zgodnie z zw. wierdzeniem Grangera o reprezenacji (ang. Granger Represenaion Theorem) (Engle, Granger 1987) (dla y ~I(1)): 1) Jeżeli rząd macierzy Π jes równy dokładnie K, czyli liczbie zmiennych wchodzących w skład wekora y, o proces y jes procesem sacjonarnym, co oznacza, że wszyskie zmienne w modelu są zinegrowane w sopniu zero (y ~I(0)). 2) Jeżeli rząd macierzy Π jes równy zero, oznacza o, że wszyskie elemeny ej macierzy są ożsamościowo równe zero. Implikuje o brak jakichkolwiek zależności długookresowych pomiędzy zmiennymi wchodzącymi w skład modelu. 3) Jeżeli rząd macierzy Π jes równy 0 < r < K, o macierz Π można zapisać w posaci iloczynu dwóch macierzy: Π = α β, gdzie α i β są niezerowymi macierzami o wymiarze K r. Macierz β nazywana jes macierzą koinegrującą i jeżeli y ~I(1) o β y ~I(0). Zmienne będące komponenami wekora y są zaem skoinegrowane, przy czym rząd macierzy Π jes równy liczbie wekorów koinegrujących w modelu. Wekory koinegrujące są kolejnymi kolumnami macierzy koinegrującej β. Macierz α nazywana jes macierzą dososowań (ang. adjusmen marix) lub macierzą sprzężenia zwronego (ang. feedback marix), poszczególne elemeny ej macierzy mierzą wpływ wekora koinegrującego na krókookresowe zmiany zmiennych wchodzących w skład wekora y. Najpowszechniej sosowaną obecnie meodą esymacji wekorowego modelu koreky błędem, przy założeniu, że macierz Π zawiera r liniowo niezależnych kolumn, jes meoda należąca do klasy meod największej wiarygodności, zaproponowana przez S.Johansena (1991) i nazywana meodą Johansena. Do esymacji modelu VECM za pomocą meody Johansena niezbędna jes znajomość rzędu macierzy Π. W prakyce rzadko zdarza się, aby liczba wekorów koinegrujących pomiędzy zmiennymi wchodzącymi w skład modelu była znana. 25

26 Johansen proponuje w akiej syuacji dwa esy opare na saysyce ilorazu wiarygodności, weryfikujące liczbę wekorów koinegrujących w modelu. Pierwszy z ych esów, zwany esem Johansena śladu macierzy, weryfikuje prawdziwość hipoezy zerowej, mówiącej, że liczba wekorów koinegrujących wynosi r 0 : H 0 : r = r 0, wobec hipoezy alernaywnej, zakładającej, że liczba wekorów koinegrujących (czyli rząd macierzy Π) jes większa od r 0 i oczywiście nie większa od K: H 1 : r 0 < r K Odpowiednią saysyką weryfikującą prawdziwość H 0, jes saysyka ilorazu wiarygodności, zwana saysyką esu Johansena śladu macierzy (ang. race saisic), zdefiniowana jako: K r0 K (19) λ TR = 2 [ln l(k) ln l(r 0 )] = T ln(1 ˆ µ i ) + ln(1 ˆ µ i ) = T ln( 1 ˆ µ i ) i = 1 i = 1 i = r0 + 1 gdzie l(r 0 ) oznacza maksimum funkcji wiarygodności przy założeniu isnienia r 0 wekorów koinegrujących, µˆ i są o kolejne warości własne uzyskane z meody Johansena i uporządkowane w kolejności od największej do najmniejszej. Niesey saysyka a nie ma rozkładu χ 2 i odpowiadające jej warości kryyczne (zależne od różnicy K r ) należy odczyać z ablic skonsruowanych za pomocą meod symulacyjnych. Jeżeli warość saysyki λ TR jes większa od odpowiedniej warości kryycznej przy wybranym poziomie isoności α, o należy odrzucić hipoezę zerową na korzyść hipoezy alernaywnej. Jeżeli jes mniejsza, nie ma podsaw do odrzucenia H 0. Drugim esem jes es Johansena maksymalnej warości własnej, weryfikujący hipoezę zerową, zakładającą isnienie r 0 wekorów koinegrujących: H 0 : r = r 0, wobec hipoezy alernaywnej, mówiącej, że isnieje r = r wekorów koinegrujących: H 1 : r = r Saysyką służącą do weryfikacji H 0, jes saysyka ilorazu wiarygodności, zwana saysyką esu Johansena maksymalnej warości własnej (ang. Maximum eigenvalue saisic), posaci: λ max = T ln(1 ˆ µ ) dla i = r i 26

27 Saysyka a również nie ma żadnego ze znanych rozkładów i odpowiadające jej warości kryyczne odczyuje się z ablic wyznaczonych przy pomocy meod symulacyjnych (Oserwald-Lenum 1992). Oba esy można sosować komplemenarnie, przy czym Johansen (1991) wskazuje na większą moc esu maksymalnej warości własnej. Sekwencja obu esów jes jednakowa. Tesowanie rozpoczyna się od H 0 : r = 0 i jeżeli warość saysyki jes większa od warości kryycznej, należy odrzucić H 0 na korzyść H 1, po czym w dalszej kolejności esować kolejne hipoezy: H 0 : r = 1 wobec H 1 : r > 1 (lub H 1 : r = 2) H 0 : r = 2 wobec H 1 : r > 2 (lub H 1 : r = 3)... H 0 : r = K - 1 wobec H 1 : r = K. Jeżeli warość odpowiedniej saysyki wskazuje, że nie ma podsaw do odrzucenia H 0, sekwencję esowania należy przerwać. W przypadku, gdy H 0 : r = r 0-1 należy odrzucić, naomias nie można odrzucić kolejnej H 0 : r = r 0, przyjmuje się, że liczba wekorów koinegrujących wynosi r 0. W modelu VECM oszacowanym za pomocą meody Johansena przedmioem zaineresowania może być weryfikacja hipoez ekonomicznych na ema warości paramerów relacji długookresowych pomiędzy zmiennymi (czyli elemenów wekorów koinegrujących). W celu weryfikacji ego rodzaju hipoez należy oszacować model z resrykcjami, nałożonymi na paramery przy odpowiednich zmiennych w macierzy koinegrującej β i porównać, czy maksymalna warość funkcji wiarygodności odbiega isonie od maksymalnej warości funkcji wiarygodności dla modelu bez ograniczeń. Weryfikacji podlega hipoeza zerowa, nakładająca odpowiednie resrykcje na elemeny macierzy β: H 0 : β = Hφ, wobec: H 1 : β Hφ, gdzie macierz H jes macierzą o wymiarze K (K h) zawierającą resrykcje. Macierz φ ma wymiary (K h) r 0, gdzie r 0 jes liczbą wekorów koinegrujących w modelu (rz(π) = r 0 ), a h liczbą resrykcji nałożonych na elemeny wekora koinegrującego. 27

28 Przy prawdziwości hipoezy zerowej, saysyka ilorazu wiarygodności, zdefiniowana jako: r 0 (20) λ LR = T ln[(1 ˆ µ H, i ) /(1 ˆ µ i )], i = 1 ma rozkład χ 2 z (r h) sopniami swobody, a ˆµ H, i i µˆ i są kolejnymi największymi warościami własnymi, uzyskanymi w wyniku oszacowania modeli z resrykcjami i bez resrykcji za pomocą meody Johansena. Jeżeli zaem warość saysyki λ LR jes większa od warości kryycznej, odczyanej z ablic dla pewnego poziomu isoności α, o należy odrzucić hipoezę zerową nakładającą ograniczenia na elemeny wekora koinegrującego. 28

29 Aneks 2: Modele VECM 1. Model ze zmiennymi M1 i CPI. 4 cpi ˆ = ( 4 cpi m y* -1 ) cpi m y* -1 (0.003) (0.035) (1.265) (0.159) (0.075) (0.256) 4 mˆ 1 = ( 4 cpi m y* -1 ) cpi m y* -1 (0.010) (0.116) (1.265) (0.524) (0.245) (0.843) 4 y ˆ * = ( 4 cpi m y* -1 ) cpi m y* -1 (0.002) (0.027) (1.265) (0.121) (0.057) (0.194) 2. Model ze zmiennymi M1 i PPI. 4 ppi ˆ = ( 4 ppi m y* -1 ) ppi m y* -1 (0.004) (0.056) (1.224) (0.172) (0.113) (0.436) 4 mˆ 1 = ( 4 ppi m y* -1 ) ppi m y* -1 (0.009) (0.114) (1.224) (0.351) (0.231) (0.892) 4 y ˆ * = ( 4 ppi m y* -1 ) ppi m y* -1 (0.002) (0.022) (1.224) (0.068) (0.045) (0.173) 3. Model ze zmiennymi M1 i CORE. 4 core ˆ = ( 4 core m y* -1 ) core m y* -1 (0.004) (0.035) (1.754) (0.180) (0.109) (0.393) 4 mˆ 1 = ( 4 core m y* -1 ) core m y* -1 (0.010) (0.079) (1.754) (0.409) (0.246) (0.890) 4 y ˆ * = ( 4 core m y* -1 ) core m y* -1 (0.002) (0.017) (1.754) (0.089) (0.053) (0.193) 29