Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej"

Transkrypt

1 Materały omoccze do e-leargu Progozowae symulacje Jausz Górczyńsk Moduł. Podstawy rogozowaa. Model regresj lowej Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu Sochaczew

2 Od Autora Treśc zawarte w tym materale były erwote oublkowae w ser wydawczej Wykłady ze statystyk ekoometr, a obece ch wydae zostało dostosowae do otrzeb kursu e-leargowego Progozowae symulacje rzygotowaego dla studetów keruku zarządzae. Prace ad wykorzystaem komuterów Iteretu w dydaktyce zostały uruchomoe w aszej Uczel raktycze od mometu jej utworzea. Początkowo było to realzowae główe orzez rzygotowywae rzez wykładowców różego rodzaju materałów dydaktyczych w wersj cyfrowej (okazy PowerPot, dokumety Worda czy Excela), które były są udostęae w zakładce dowload. Kolejy krok to rzygotowae autorskej latformy testów teretowych (zakładka Testy). Od roku została uruchomoa w eł rofesjoala latforma e- leargowa, w której do weryfkacj wedzy rzekazywaej w kolejych modułach zaadatowae zostały wsomae wcześej testy teretowe. Treśc zawarte w tym materale zostały tak rzygotowae, aby ułatwć tym z Was, którzy z różych owodów mają roblemy z matematyką, statystyką ekoometrą, rzyomee zrozumee materału z zakresu wykorzystaa wybraych fragmetów tej wedzy do zastosowań raktyczych zwązaych z budowaem model rogostyczych. Jak korzystać z tych materałów? Sądzę, że dobrym rozwązaem będze sokoje rzeczytae oszczególych tematów, rześledzee rzykładowych zadań, a astęe trzeba je samemu rozwązać. Weryfkatorem rzyswojoej wedzy jest w ewym stou teraktywy test komuterowy. W ramach każdego modułu użytkowk dostaje ewą lczbę ytań okrywających materał modułu. W erwszym odejścu róg zalczea ustaway jest z reguły a 5% ozytywych odowedz, a w rzyadku ezalczea testu róg jest odoszoy o 5% w każdej kolejej róbe. Jausz Górczyńsk

3 3 Ss treśc WSTĘP... 4 PROGNOZOWANIE POJĘCIA OGÓLNE METODY PROGNOSTYCZNE BŁĄD PROGNOZY... 5 REGRESJA LINIOWA ESTYMACJA MODELU BADANIE ISTOTNOŚCI DOKŁADNOŚĆ OCEN PARAMETRÓW MODELU....4 BADANIE ZAŁOŻEŃ MODELU LINIOWEGO Założee o zerowej wartośc oczekwaej reszt losowych Założee o ormalośc składków losowych Założee o eskorelowau składków losowych PROGNOZOWANIE ARKUSZE OBLICZENIOWE SKOPIOWANIE ARKUSZA NA SWÓJ KOMPUTER UDOSTĘPNIENIE MAKROPOLECEŃ Udostęee makr w MS Excel Udostęee makr w MS Excel 7 owszych LITERATURA... 9

4 4 Wstę Przedmot Progozowae symulacje realzoway jest a welu kerukach studów srawając studetom tych keruków ewe roblemy. Wykają oe mędzy ym z tego owodu, że rzekazywae w ramach rzedmotu treśc oczekwae umejętośc wymagają z jedej stroy dość dużej wedzy teoretyczej z zakresu statystyk ekoometr, a z drugej stroy raktyczej umejętośc wykoywaa oblczeń statystyczych. Mom zamarem jest rzedstawee tych teresujących roblemów a welu rzykładach, w tym a rzykładach raktyczych. Perwsza część rezetowaego materału zawera teoretycze wrowadzee do metod regresyjych: regresj lowej, regresj welokrotej lowej, regresj krokowej, regresj krzywolowej, badau stotośc wyestymowaych model oraz ch wykorzystaa do rogozowaa. W zastosowaach raktyczych ezbęde są jakeś arzędza oblczeowe, z uwag a otecjalych odborców tego skrytu będę korzystać wyłącze z arkusza kalkulacyjego Excel. Nc oczywśce e sto a rzeszkodze wykorzystywau do celów oblczeowych wysecjalzowaych aketów statystyczych (. Statstca, SPSS, Statgrahcs), ale dostę do ch może być trudejszy. Dla ułatwea oblczeń będę korzystać z trzech secjale rzygotowaych skoroszytów MS Excel: StatystykaJG.xls Lowa.xls TestSer.xls Wszystke trzy skoroszyty są dostęe w zakładce Dowload/StatystykaJG a stroe aszej Uczel. Każdy z tych skoroszytów zawera mej lub bardzej zaawasowae makroolecea VBA. Skoroszyt StatystykaJG.xls (lub StatystykaJG.xlsm) jest ajbardzej rozbudoway, a rocedury w m zawarte ozwalają a wykoae wększośc oblczeń statystyczych realzowaych w tyowych rogramach rzedmotów statystyka, ekoometra czy rogozowae. Procedury dostęe są orzez meu alkacj, a obsługa oszczególych rocedur realzowaa jest orzez klasycze formularze wdowsowe. Skoroszyty Lowa.xls oraz TestSer.xls są zacze skromejsze, a ch rola ograczoa jest do dwóch zagadeń: estymacj modelu lowego oraz wykorzystau testu ser. Koleja różca zwązaa jest ze sosobem wykoywaa oblczeń, w tych dwóch skoroszytach oblczea wykoywae są (główe) orzez jawe formuły zasae w komórkach arkusza. W racy rzyjęto astęującą kowecję zasu: Nazwy skoroszytów arkuszy są wysywae czcoką Courer New, Formuły Excela wysywae są czcoką Courer New, Nazwy oleceń meu, azwy zakładek osy kotrolek formularzy są wysywae ochyloą czcoką Tmes New Roma. htt://www.wszm-sochaczew.edu.l Vsual Basc for Alcatos, język rogramowaa aketu Offce

5 5 Progozowae ojęca ogóle Progozowae (lub aczej redykcja) jest oartym a aukowych odstawach rzewdywaem kształtowaa sę zjawsk rocesów w rzyszłośc. Przedmotem rogozowaa jest rzebeg zjawsk rocesów rzyrodczych, sołeczych, demografczych, gosodarczych, techczych t. Jeżel rogozowae dotyczy rocesów zjawsk zachodzących w gosodarce, to mówmy wtedy o rogozowau gosodarczym. Z termem rogozowae zwązay jest term rogozy ( redykcj ). Progozowae jest rocesem woskowaa o rzewdywaym kształtowau sę zjawska czy rocesu w rzyszłośc, a rogoza (redykcja) jest kokretym wykem rocesu rogozowaa. Progozowae gosodarcze (ale e tylko) jest utrudoe rzez secyfcze waruk, w jakch zachodzą rocesy gosodarcze, w tym ch uzależee od welu różorodych czyków. Czyk te, z uwag a sosób oddzaływaa obektu rogozy, moża odzelć a: czyk egzogecze (zewętrze), czyl take, a które obekt rogozy e ma wływu, a które owy być uwzględoe w rogozowau z uwag a ch ograczający lub stymulujący wływ a rzebeg daego zjawska (. kurs walutowy a kształtowae sę obrotów daej frmy, rzebeg waruków ogodowych a loowae daej rośly td.); czyk edogecze (wewętrze), czyl take, a które obekt rogozy ma wływ (. wydajość racy, welkość stosowaego awożea td.).. Metody rogostycze W każdym rocese rogozowaa moża wyróżć astęujące etay: Zdefowae roblemu rogostyczego, Zebrae daych statystyczych ch wstęa aalza, Wybór metody rogozowaa, Zbudowae rogozy ocea jej trafośc. Istotym elemetem rocesu rogozowaa jest wybór odowedej metody rogozowaa, która determuje sosób zbudowaa rogoz. W zastosowaach raktyczych ajczęścej stosuje sę metodę redykcj eobcążoej, która srowadza sę do wyzaczea rogozy a ozome wartośc oczekwaej zmeej rogozowaej w daym ukce. Progozowae metodą redykcj eobcążoej jest uzasadoe szczególe wtedy, gdy moża oczekwać, że w ukce rogozy owtórzą sę te waruk, które obserwowao dla daych statystyczych wykorzystaych do zbudowaa modelu rogostyczego. Jeżel oczekwae take e jest urawoe, to w mejsce redykcj eobcążoej moża wybrać take metody rogozowaa jak ajwększego rawdoodobeństwa czy też metoda mmalzacj oczekwaej straty. W racy tej ograczoo sę do wykorzystaa metody redykcj eobcążoej, jako ajczęścej stosowaej w raktyczych rozwązaach.. Błąd rogozy Z uwag a fakt, że zmea objaśaa jest losowa aturale jest wystęowae różc mędzy rzeczywstą wartoścą zmeej objaśaej a jej rogozą wyzaczoą dla zadaej wartośc zmeej objaśającej (lub zadaych

6 6 wartośc zmeych objaśaych) 3. Reale jest węc wystąee błędu rogozy, częścej będzemy używać ojęca błąd redykcj. Dwoma odstawowym rodzajam merków dokładośc trafośc zbudowaych rogoz są: merk dokładośc ex ate, merk dokładośc ex ost. Merk dokładośc ex ate służą do ocey oczekwaych welkośc odchyleń rzeczywstych wartośc zmeej objaśaej od ustaloej rogozy. Wartośc tych merków odawae są w momece ustalea rogozy, a wec wtedy, gdy e są jeszcze zae rzeczywste wartośc zmeej objaśaej. W rzykładach raktyczych będzemy wykorzystywać arkusze kalkulacyje StatystykaJG.xls lub StatystykaJG.xlsm oraz Lowa.xls, w obu arkuszach wyzaczae są średe błędy redykcj uktowej ex ate, moża je symbolcze ozaczyć jako. Błąd te ozacza, że rzy rogozowau wartośc ŷ oełamy średo błąd S P y ˆ S ˆ P y ±. Śred błąd redykcj jest lczbą maowaą, o jego odzeleu rzez rogozę uktową otrzymamy względy śred błąd redykcj ex ate: S V yˆ yˆ %. Względy błąd rogozy ex ate formuje as o tym, jak duży (rocetowo) błąd oełamy rzyjmując, że ezaa, rogozowaa wartość będze rówa wyzaczoej rogoze uktowej ŷ. Śred błąd redykcj α; v yˆ S P y ˆ y < yˆ t S P ; yˆ + t S P > z P α. wykorzystujemy także do zbudowaa rogozy rzedzałowej wg wzoru: α; v yˆ Wyzaczoy rzedzał lczbowy okrywa, z rawdoodobeństwem α, ezaą wartość zmeej zależej y w ustaloym ukce rogozy. Ocea rawdzwośc merków ex ate może być zweryfkowaa doero o rzeczywstym zrealzowau sę zmeej objaśaej w ukce, dla którego była ostawoa rogoza. Jeżel zamy rzeczywstą wartość zmeej rogozowaej Y w wybraym ukce, to błąd redykcj ex ost jest rówy D Y yˆ. Welkość błędu absolutego rogozy ex ost formuje as o różcy mędzy rzeczywstą wartoścą zmeej rogozowaej w daym ukce a ostawoą rogozą. Podobe jak w rzyadku błędu ex ate możemy wyzaczyć względy błąd rogozy ex ost z wzoru: D Y yˆ V % %. Y Y ŷ 3 Progozę tę azywamy rogozą uktową, symbolcze ozaczaą jako ŷ.

7 7 Jeżel rogoza była budowaa e dla ojedyczego uktu, lecz dla ch cągu, to moża wyzaczyć śred błąd rogozy ex ost (absoluty względy) z wzorów: D k k ( Y yˆ ) k Y yˆ V k Y % Statystyczą oceą błędu rogozy ex ost w takej sytuacj jest śred kwadratowy błąd rogozy wyzaczoy z wzoru: S k Y k yˆ ) (. Arkusze kalkulacyje, które będzemy wykorzystywać w rezetowaych dalej rzykładach część z tych merków dokładośc rogoz wyzaczają, ale e wszystke. W marę otrzeby moża je samodzele dolczyć sząc stosukowo rostą formułę Excela.

8 8 Regresja lowa. Estymacja modelu Rozważmy oulację geeralą π, w której obserwujemy dwe zmee: zmeą losową Y zmeą ustaloą 4 lub losową X. O zmeej losowej Y zakładamy, że ma rozkład ormaly z wartoścą średą m będącą fukcją lową zmeej X oraz stałym (ezależym od zmeej X) odchyleem stadardowym. Założee to moża zasać astęująco: Y N( m( x) b + b x; σ ). (.) ~ y x Parametry fukcj lowej m ( x) b + b x e są zae muszą być oszacowae a odstawe odowedej róby losowej. Ozaczmy elemet -elemetowej róby losowej jako arę lczb y, x ). Zgode z modelem fukcj ( lowej mędzy y a x zachodz zwązek: y m( x ) b + b x + e (.) gdze e jest edoasowaem (różcą, odchyleem, resztą) mędzy wartoścą obserwowaą w róbe y a wartoścą teoretyczą b + b x. Parametry fukcj lowej (arametry modelu) m( x) b + b x musmy tak dobrać, aby doasowae fukcj regresj było jak ajlesze. Kryterum to będze sełoe wtedy, gdy suma kwadratów reszt e będze mmala (suma kwadratów, oeważ reszty są zarówo dodate jak ujeme). Wychodząc z wzoru (.) mamy: s e [ y ( b + b x )] mmum (.3) Tak sformułowae kryterum estymacj ezaych arametrów modelu zae jest w teor statystyk jako metoda ajmejszych kwadratów MNK. Suma kwadratów odchyleń s zdefowaa wzorem.3 jest fukcją dwóch ewadomych (zmeych) - b b, a roblem zalezea jej mmum rozwążemy orzez wyzaczee rzyrówae do zera ochodych fukcj s względem b b : s b s b [ y ( b + b x ] [ y ( b + b x ] x Przyrówae obu ochodych cząstkowych do zera tworzy tzw. układ rówań ormalych, a jego rozwązae daje ocey (oszacowaa) ezaych arametrów modelu. Oszacowaa te tradycyje będzemy ozaczać symbolem daszka umeszczoym ad szacowaym arametrem. Przykładowo, b jest ezaym arametrem, a ˆb jego estymatorem (oszacowaem, oceą). Uwaga to wyka z tego, że w dalszych rzekształceach układu rówań ormalych używać już będzemy symbol oce arametrów modelu w mejsce samych arametrów. Przekształcając.4 otrzymujemy astęujące wzory a ocey arametrów modelu: ( y y x x y x y x )( ) cov xy bˆ y bˆ x ( x x x x x var x ) bˆ (.4) (.5) 4 Zmea ustaloa, aczej elosowa; taka, która w kolejych róbach rzyjmuje te same wartośc.

9 9. Badae stotośc Korzystając z wzoru.5 mamy ocey arametrów modelu lowego, tym samym mamy także oceę fukcj regresj z róby: ˆ ( x) bˆ + bˆ x. (.6) m Otwartym ozostaje ytae, czy rawdzwe jest asze założee o tym, że mędzy wartoścą oczekwaą zmeej losowej Y a wartoścam zmeej X steje zwązek lowy ostac: m ( x) b + b x. Zwązku takego e będze wtedy, gdy arametr b będze rówy zero, tym samym owśmy rzerowadzć weryfkację hotezy zerowej H : b wobec alteratywy H : b. Tak sformułowaą hotezę azywać będzemy hotezą o estotośc regresj. Jej odrzucee ozaczać będze, że steje stoty lowy zwązek mędzy zmeą Y a zmeą X oszacoway rówaem.6. Z kole brak odstaw do odrzucea hotezy zerowej ozaczać będze, że takego zwązku e ma (wartość oczekwaa zmeej losowej Y będze stała, czyl jej ocea będze rówa średej tej zmeej). Hotezę H : b wobec alteratywy H : b zweryfkować możemy metodą aalzy waracj lub testem t-studeta. Przed wrowadzeem aalzy waracj rozważmy dowolą obserwację y, x ) oraz odowadającą m teoretyczą wartość zmeej losowej Y wyzaczoą dla argumetu ˆ ˆ ( ˆ + ˆ y m x ) bo b x. Różcę (odchylee) wartośc obserwowaej dwóch różc: y y ( yˆ y ) + ( y yˆ ) ( x z wyestymowaej fukcj regresj y od średej y moża rzedstawć jako sumę (.7) Podosząc obustroe rówość.7 do kwadratu sumując o wskaźku otrzymamy, o odowedch rzekształceach, aalogczą rówość sum kwadratów odchyleń: ( y y) ( y y) + ( y yˆ ) ˆ (.8) Po lewej stroe rówośc.8 mamy całkowtą sumę kwadratów odchyleń dla zmeej y, a o rawej stroe sumę kwadratów odchyleń teoretyczych wartośc ŷ od wartośc średej y oraz sumę kwadratów odchyleń dla reszt losowych. Składk ( yˆ y) rerezetujący sumę kwadratów odchyleń wyjaśoą modelem fukcj regresj moża rzedstawć w zacze wygodejszej ostac uwzględając wyestymowae rówae regresj oraz wzór a oceę arametru ˆb : ( y y) bˆ cov xy ˆ Rówość.8, rzedstawająca odzał całkowtej zmeośc zmeej losowej Y a dwa ezależe składk: zmeość wyjaśoą modelem oraz zmeość resztową, jest odstawą wykoaa aalzy waracj. (.9)

10 Tabela aalzy waracj dla weryfkacj H : b wobec H : b Zmeość Stoe swobody Suma kwadratów odchyleń Śred kwadrat odchyleń Modelu v R var R bˆ cov xy var R sr Resztowa v E var E vart var R Całkowta v T var y ( y y) s v R E E var v e F emrycze F R sr se Hotezę H b będzemy odrzucać a korzyść H b wtedy, gdy wartość emrycza statystyk F : : Fshera-Sedecora będze wększa od wartośc krytyczej odczytaej dla ustaloego ozomu stotośc α, lub gdy wylczoy krytyczy ozom stotośc (tzw. -value) będze mejszy od rzyjętego ozomu stotośc (ajczęścej α,5 lub α,). W takej sytuacj będzemy woskować, że steje stoty, lowy zwązek mędzy zmeą losową Y a zmeą X osay wyestymowaym z róby rówaem regresj ostac ˆ ( x) bˆ + bˆ x. m W sytuacj, gdy F emrycze będze e wększe od odowedej wartośc krytyczej lub -value wększe od rzyjętego ozomu stotośc α, to e mamy odstaw do odrzucea hotezy H : b. Tym samym e steje lowa zależość fukcyja mędzy zmeym Y X, a wyestymowae z róby rówae regresj ma ostać m ˆ ( x) y. Parametry b b azywamy odowedo stałą regresj wsółczykem regresj. Perwszy z ch e ma raktycze żadej terretacj merytoryczej, z kole wsółczyk regresj b ma bardzo ładą rzydatą terretację: mów am o tym, o le średo zme sę zmea y rzy wzrośce zmeej x o jedostkę. Śred kwadrat odchyleń dla zmeośc resztowej s E jest oceą waracj odchyleń od regresj y / x σ określoej w założeu.: var ˆ cov ˆ y b xy σ y / x S y / x se. (.) Hoteza H : b rzy alteratywe H : b może być także weryfkowaa rzy omocy statystyk t-studeta. Przy rawdzwośc H : b statystyka: bˆ bˆ tem. (.) S ˆ S b y / x var x ma rozkład t-studeta z lczbą sto swobody v. Jeżel tem. > t α,, to H b odrzucamy a korzyść hotezy alteratywej. Podobe jak w rzyadku : aalzy waracj decyzję weryfkacyją moża orzeć o wyzaczoy, dla daego t em., krytyczy ozom stotośc -value. W rzyadku odrzucea hotezy H b możemy być zateresowa weryfkacją hotezy zerowej : zakładającej określoą (ozaczaą symbolcze rzez b ), ezerową wartość wsółczyka regresj, czyl

11 H : b b. Hotezę tę, rzy dowolej alteratywe, możemy zweryfkować testem t-studeta, gdze wartość emrycza tej statystyk daa jest wzorem: bˆ b bˆ b tem. (.) S ˆ S b y / x var x.3 Dokładość oce arametrów modelu Parametry modelu szacujemy a odstawe róby losowej, tym samym mają oe charakter losowy, są zmeym losowym. Tym samym ch kokreta wartość wyzaczoa z -elemetowej róby obarczoa jest ewym błędem. Zajdując ocey tych błędów korzystając z rozkładu t-studeta możemy zbudować -α rocetowe rzedzały ufośc dla rawdzwych wartośc tych arametrów w oulacj geeralej. Oceę błędu wsółczyka regresj b możemy zaleźć ze zaego już wzoru: S y / x S bˆ var x (.3) b a astęe korzystając z faktu, że zmea b t ma rozkład t-studeta S budujemy rzedzał ufośc dla wsółczyka regresj w oulacj: b < bˆ t ˆ S ˆ ; b + tα S, b, bˆ > b ˆ α z rawdoodobeństwem P α. (.4) Oceę błędu stałej regresj b możemy wyzaczyć z wzoru: S bˆ / S y x x var x a astęe korzystając z faktu, że zmea t b ˆ b (.5) ma rozkład t-studeta budujemy rzedzał ufośc dla stałej S b ˆ regresj w oulacj: b < bˆ t ˆ α S ˆ ; b + tα S ˆ > z rawdoodobeństwem P α. (.6), b, b Iterretacja obu rzedzałów ufośc jest stadardowa, w rzyadku rzedzału ufośc dla wsółczyka regresj może meć ostać: z rawdoodobeństwem α mamy rawo oczekwać, że wsółczyk regresj w oulacj będze e mejszy ż b ˆ t, ale e wększy ż b ˆ + t α. α, S b ˆ, S b ˆ

12 .4 Badae założeń modelu lowego Model regresj lowej określoy wzorem. wymaga sełea trzech ważych założeń dotyczących rozkładu reszt losowych. Ee (.7) D e Ce e j y / x σ (.8) dla j (.9) Założea te mogą być jeszcze uzuełoe założeem o ormalośc reszt losowych, czyl: e N(; σ ) (.) ~ y / x.4. Założee o zerowej wartośc oczekwaej reszt losowych. Srawdzee założea o losowośc reszt jest rówoważe zweryfkowau hotezy o orawośc doboru modelu fukcj regresj. Waruek Ee (dla,,..., ) jest sełoy wtedy, gdy wartość oczekwaa zmeej losowej Y jest osaa zależoścą: ( Y ) mˆ ( x) bˆ + bˆ x E Nesełee waruku Ee jest sygałem, że model m ˆ ( x) jest źle określoy mus być zmeoy w zakrese ostac modelu czy doboru zmeych ezależych. Badae losowośc reszt jest wykoywae zawsze a osteror, czyl o wyestymowau modelu fukcj regresj. Dla każdej obserwacj emryczej y wyzaczamy wartość teoretyczą ŷ wykającą z wyestymowaego modelu fukcj regresj. W kolejym kroku wyzaczamy reszty jako różce mędzy orygalą wartoścą zmeej losowej Y a wartoścą teoretyczą tej zmeej: e y yˆ (.) W uorządkowaym rosąco według wartośc zmeej ezależej X cągu reszt określamy lczbę ser S reszt tych samych zaków. W orawe dobraym modelu lczba tych ser owa ależeć do ewego rzedzału lczbowego. Krańce tego rzedzału możemy odczytać z tablc rozkładu ser dla ustaloego ozomu stotośc α. Rozkład ser e jest symetryczy, stąd z tablc tego rozkładu będzemy odczytywać dwe wartośc krytycze uzależoe od ozomu stotośc α oraz lczby reszt jedomeych (dodatch ujemych) : S S S dla α oraz S dla α. Przedzał lczbowy < S ; S > wyzacza obszar douszczaly dla hotezy zerowej zakładającej losowość reszt. Tym samym w sytuacj, gdy wyzaczoa lczba ser S ależy do rzedzału < S ; S >, to możemy uważać, że model fukcj regresj został orawe dobray. Jeżel wyzaczoa lczba ser S < S lub S > S, to reszty e są losowe, a to ocąga koeczość zmay modelu fukcj regresj (zmay ostac fukcj lub/ zmeych objaśających).

13 3 Tablce lczby ser są oracowae jedye dla lczby reszt dodatch (ujemych) e rzekraczających, co może być roblemem rzy wększych róbach losowych. W takch sytuacjach moża rzyblżyć rozkład lczby ser S rozkładem ormalym rzyjmując, że: ( ) ˆ ˆ ms + σ S (.) + ( + ) ( + ) Pozwala to a stadaryzację rozkładu lczby ser S: S mˆ S zs (.3) σˆ S weryfkację rówoważej do H : Ee hotezy zerowej H : z orzez srawdzee, czy statystyka.3 trafa do obszaru krytyczego dla H czy też e. Oczywśce do weryfkacj H moża także wykorzystać krytyczy ozom stotośc -value. W arkuszu StatystykaJG.xls (StatystykaJG.xlsm) test ser został zamlemetoway (wbudoway) do rocedur Regresja lowa jak Regresja welokrota, jego użyce wymaga jedye zazaczea odowedego ola wyboru a formularzach tych dwóch rocedur. W rzyadku, gdy dysoujemy jedye wykam róby wyestymowaym modelem fukcj regresj (. z jakejś ublkacj, czy o estymacj modelu z omocą stadardowych oleceń Excela tyu Dodaj lę tredu) badae orawośc doboru modelu testem ser może być wykoae o wyzaczeu reszt losowych rzy omocy wsomaego wcześej arkusza TestSer.xls. Wystarczy skoować do ego (orzez wartośc) uorządkoway rosąco wg wartośc zmeej objaśaej wektor reszt losowych..4. Założee o ormalośc składków losowych Założee o waracj reszt losowych w raktyce e jest srawdzae z tej rzyczyy, że z reguły e dysoujemy wystarczającą lczbą daych emryczych. Formale dla każdej wartośc zmeej ezależej X owśmy dysoować taką lczbą omarów zmeej zależej Y, aby moża było oszacować warację reszt e (wyzaczaych rzy tych samych wartoścach zmeej x). Pewym rozwązaem jest srawdzee założea. o ormalośc rozkładu reszt losowych. Jego eodrzucee ozacza, że zmea losowa Y ma, dla każdej wartośc zmeej X, rozkład ormaly o tej samej waracj, co wyczeruje założee Założee o eskorelowau składków losowych Kolejym założeem klasyczej regresj lowej, które możemy srawdzć aalzując reszty, jest założee o eskorelowau kolejych składków losowych (tzw. brak autokorelacj): Ce e cov( e ; e ) dla j (.4) j j Założee to jest srawdzae orzez weryfkację hotezy zerowej o tym, że wsółczyk autokorelacj rzędu τ (ajczęścej erwszego) jest rówy zero. Oceą wsółczyka autokorelacj w róbe jest wsółczyk korelacj lowej wyzaczoy wg wzoru: e je j τ j τ + ˆ ρ τ rτ. (.5) e e j j j j τ +

14 4 Hotezę o braku autokorelacj rzędu τ : H : (.6) ρ τ możemy zweryfkować testem d Durba-Watsoa: d ( e j τ + j e j j e j τ ) lub klasyczym testem t-studeta wyzaczając wartość emryczą statystyk z wzoru: t em. rτ (.7) rτ τ. (.8) Mędzy statystyką d Durba-Watsoa a statystyką t-studeta zachodz w rzyblżeu zwązek: d ( r ) (.9) τ z którego wyka, że statystyka d rzyjmuje swoje wartośc z rzedzału domkętego <; 4>. W rzyadku braku autokorelacj rzędu τ ( r ) wartość statystyk d jest rówa zero. τ Rozkład statystyk d rzy założeu, że H : ρ τ jest rawdzwa, zależy od lczby obserwacj, lczby zmeych ezależych k w modelu fukcj regresj oraz rzyjętego ozomu stotośc α. Rozkład statystyk d Durba-Watsoa został stablcoway rzy jedostroej hoteze alteratywej H :. W tablcach rozkładu statystyk d, dla ustaloych arametrów k oraz rzyjętego ozomu stotośc α, ρ τ > odae są dwe wartośc d d wyzaczające obszar krytyczy dla hotezy H : ρ τ. Przy weryfkowau H : ρ τ wobec H : ρ τ > stosujemy astęujące krytera weryfkacj hotezy zerowej: d d H : ρ τ odrzucamy a korzyść H : ρ τ >, d d < e odejmujemy żadej decyzj, < d d d e mamy odstaw do odrzucea H :. ρ τ Hotezę H : ρ τ możemy także zweryfkować wobec H : ρ τ <, ale rzy odejmowau decyzj stosujemy e krytera: d 4 d H : odrzucamy a korzyść H :, ρ τ ρ τ < 4 d < d < 4 d e odejmujemy żadej decyzj, d 4 d e mamy odstaw do odrzucea H :. ρ τ Procedura wykorzystywaa w skoroszyce StatystykaJG.xls (StatystykaJG.xlsm) do estymacj regresj lowej dwóch zmeych weryfkuje hotezę o eskorelowau składków losowych za omocą klasyczej statystyk t-studeta wyzaczoej zgode z wzorem.8. Problem wystęowaa autokorelacj składków losowych w szczególośc dotyczy takch sytuacj, w których wartośc zmeej losowej Y są owtarzae a tych samych jedostkach ekserymetalych (. szereg czasowe). W rzyadku stwerdzea autokorelacj ozacza to, że klasycza metoda ajmejszych kwadratów e może być stosowaa do estymacj arametrów modelu, daje bowem obcążoe ocey tych arametrów, a e eobcążoe. Rozwązaem jest zastosowae ej metody estymacj arametrów modelu,. uogóloej metody ajmejszych

15 5 kwadratów. W dalszej częśc zajęć rzedstawoa zostae jeda z wersj UMNK olegającej a trasformacj daych wyjścowych..5 Progozowae Wyestymoway, stoty model fukcj regresj moża wykorzystać do wyzaczea średej wartośc zmeej losowej y w teresującym as ukce x : m ˆ ( x ) bˆ + bˆ x (.3) Wyzaczoa zgode z owyższym wzorem średa wartość zmeej y (tzw. wartość regresyja, także rogoza uktowa) jest oczywśce losowa (oeważ losowe są arametry modelu). Ocea waracj wartośc regresyjej jest określoa wzorem: ( x x) Sm ˆ ( x ) S / +. y x (.3) var x Warto zauważyć, że ocea waracj wartośc regresyjej jest ajmejsza wtedy, gdy x x, aczej mówąc wtedy, gdy wyzaczamy oczekwaą wartość zmeej y w ukce średm dla zmeej ezależej. Ocea waracj wartośc regresyjej stosukowo szybko rośe w marę tego, jak ukt x odsuwa sę dalej (w obu kerukach) od wartośc średej zmeej X. W klasyczym modelu ormalej regresj lowej estymator m ( x ) określoy wzorem.3 ma rozkład ormaly z wartoścą średą m ( x ) odchyleem stadardowym rówym erwastkow kwadratowemu z wyrażea.3. Korzystając dalej z tego, że statystyka: mˆ ( x ) m( x ) t (.3) S m ˆ ( x ) ma rozkład t-studeta z lczbą sto swobody v budujemy rzedzał ufośc dla m ( x ) : m( x) < mˆ ( x) tα, Smˆ ( x ); mˆ ( x) + t, ˆ ( ) > α Sm x z P α. (.33) W klasyczym ujęcu roblemu redykcj (rogozowaa) chodz o estymację ojedyczej realzacj zmeej y rzy ustaloej wartośc zmeej X x. Zgode z modelem lowym wartość tę wyzaczymy jako: y x b + b x + e a jej ajleszym estymatorem eobcążoym jest wartość regresyja m ˆ ( x ˆ ˆ ) b + b x. Błąd rogozy ojedyczej realzacj zmeej y (błąd redykcj) jest sumą eskorelowaych błędów odchyleń ojedyczych realzacj błędu wartośc regresyjej: P ( x x) S( yx ) S / S ˆ ( ) S /. y x + m x y x + + (.35) var x Podobe jak w rzyadku wartośc regresyjej możemy zbudować rzedzał ufośc dla rawdzwej wartośc zmeej losowej y rzy ustaloej wartośc zmeej X x : < ˆ P ( ) ( ); ˆ ( ) P y x m x tα, S y x m x tα, S( y x ) > z P α. (.36) o o ˆ (.34)

16 6 3 Arkusze oblczeowe Jak wsomałem wcześej arkusze oblczeowe zawerają bardzej lub mej rozbudowae makroolecea, dlatego owśmy obrać je ze stroy Uczel zasać a lokalym dysku swojego komutera doero z tej lokalzacj je uruchamać. 3. Skoowae arkusza a swój komuter. Wchodzmy a stroę WWW Uczel rzechodzmy do zakładk Dowload, w której odszukujemy folder StatystykaJG otweramy go. Zajdujemy otrzeby lk klkamy go rawym rzycskem myszy, a astęe wywołujemy (lewym rzycskem) olecee Zasz lk jako (Save targer as ). Otwarte zostae oko dalogowe olecea Zasz lk jako, w którym wskazujemy mejsce zasaa oberaego lku. Po wskazau folderu klk rzycsku Zasz kończy oberae.

17 7 W folderze Dowload/StatystykaJG arkusze oblczeowe z makram są także w wersj zarchwzowaej, oeważ może sę zdarzyć, że rzeglądarka lub jej ustawea e ozwolą a obrae lków Excela z makram. Plk te oberamy tak, jak to okazao wyżej, ale o ch obrau musmy je rozakować (wystarczy odwójy klk a lk archwum, użyty jest stadardowy w środowsku Wdows rogram archwzujący ZIP). 3. Udostęee makrooleceń Przy ch otwerau owśmy ozwolć a uruchomee makrooleceń, aczej arkusze będą efukcjoale (erzydate). Robmy to trochę aczej w MS Excel w wersj 3 oraz w wersjach owszych. 3.. Udostęee makr w MS Excel 3 Przy wczytywau skoroszytu z makram w MS Excel 3 zobaczymy okazay żej komukat. Klk rzycsku Włącz makra ozwala a ełe wykorzystae fukcjoalośc arkuszy oblczeowych. W rzyadku arkusza StatystykaJG.xls zobaczymy rozbudowae meu główe o olecea statystycze. 3.. Udostęee makr w MS Excel 7 owszych Po wczytau skoroszytu z makram możemy zobaczyć okazay żej komukat, który formuje as, że wczytay skoroszyt zawera makra że zostały oe wyłączoe.

18 8 W takej sytuacj klkamy a rzycsk Włącz zawartość, co skutkuje włączeem makr z jedoczesym usuęcem komukatu o ostrzeżeach. W rzyadku skoroszytu StatystykaJG.xlsm wdoczym efektem włączea makr jest zawartość zakładk Dodatk, w której wdocze będą olecea meu tego skoroszytu (. Hotezy, Regresja, td.). Po takm uruchomeu skoroszytu z makram będą oe dla as dostęe będzemy mogl je wykorzystać do automatyzacj oblczeń.

19 9 4 Lteratura. Aczel A. D., Statystyka w zarządzau, Wydawctwo Naukowe PWN, Warszawa. Borkowsk B., Dudek H., Szczęsy W., Ekoometra. Wybrae zagadea. Wydawctwo Naukowe PWN, Warszawa 3 3. Nowak E., (red.), Progozowae gosodarcze. Metody, modele, zastosowaa, rzykłady. Agecja Wydawcza PLACET, Warszawa, Górczyńsk J,. Wybrae wzory tablce statystycze, Wyd. III orawoe uzuełoe. Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu, Sochaczew, 6 5. Górczyńsk J., Podstawy statystyk, Wyd. II orawoe uzuełoe. Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu, Sochaczew, 6. Górczyńsk J., Podstawy ekoometr. Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu, Sochaczew, 4 7. Górczyńsk J., Procedury VBA Mcrosoft Excel w badaach statystyczych. Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu, Sochaczew, 6 8. Pawełek B., Waat ST., Zelaś A., Progozowae ekoomcze. Teora, rzykłady, zadaa. Wydawctwo Naukowe PWN, Warszawa 8 9. Welfe A., Ekoometra, Polske Wydawctwo Ekoomcze, Warszawa 3

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja Szereg czasowe, modele DL ADL, rzyczyowość, egracja Szereg czasowy, o cąg realzacj zmeej losowej, owedzmy y, w kolejych okresach czasu: { y } T, co rówoważe możemy zasać: = 1 y = { y1, y,..., y T }. Najogólej

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

Janusz Górczyński. Prognozowanie i symulacje w zadaniach

Janusz Górczyński. Prognozowanie i symulacje w zadaniach Wykłady ze statystyki i ekonometrii Janusz Górczyński Prognozowanie i symulacje w zadaniach Wyższa Szkoła Zarządzania i Marketingu Sochaczew 2009 Publikacja ta jest czwartą ozycją w serii wydawniczej Wykłady

Bardziej szczegółowo

BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI POMIARÓW

BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI POMIARÓW INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII RODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW OLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA RACOWNIA DETEKCJI ROMIENIOWANIA JĄDROWEGO Ć W I C Z E N I E N R J-6 BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI OMIARÓW

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Tekst oraz ilustracje do niniejszego opracowania zaczerpnięto z następujących podręczników, publikacji i wydawnictw popularno naukowych:

Tekst oraz ilustracje do niniejszego opracowania zaczerpnięto z następujących podręczników, publikacji i wydawnictw popularno naukowych: UZUPEŁNIAJĄCE MATERIAŁY DYDAKTYCZNE DLA UCZNIÓW TECHNIKUM MECHANICZNEGO PRZYGOTOWUJĄCYCH SIĘ DO ZEWNĘTRZNEGO EGZAMINU KWALIFIKACYJNEGO METROLOGIA TECHNICZNA (materały wybrae) Materały zebrał : mgr ż. Aatol

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży Gawlk L., Kasztelewcz Z., 2005 Zależość kosztów produkcj węgla w kopal węgla bruatego Ko od pozomu jego sprzedaży. Prace aukowe Istytutu Górctwa Poltechk Wrocławskej r 2. Wyd. Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej,

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU Haa Dudek a, Moka Dybcak b a Katedra Ekoometr Iformatyk SGGW b studetka Mędzywydzałowego Studum Iformatyk Ekoometr e-mal: hdudek@mors.sggw.waw.pl ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7)

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7) PROCES ZARZĄDZANIA PORTFELEM PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH WSPOMAGANY PRZEZ ŚRODOWISKO AUTOMATÓW KOMÓRKOWYCH Ageszka ULFIK Streszczee: W pracy przedstawoo sposób zarządzaa portfelem paperów wartoścowych wspomagay

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE CHARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI

OKREŚLENIE CHARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI Ćwiczeie 5 OKREŚLENIE CARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI Wykaz ważiejszych ozaczeń c 1 rędkość bezwzględa cieczy a wlocie do wirika, m/s c rędkość bezwzględa cieczy a wylocie

Bardziej szczegółowo

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI GIEŁDOWYCH PRZY UŻYCIU ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH mgr ż. Marc Klmek Katedra Iformatyk Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa m. Papeża Jaa Pawła II w Bałej Podlaskej Streszczee:

Bardziej szczegółowo

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz

Sterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty Zeo Zwerzewcz Szczec Zeo Zwerzewcz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty W artyle

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura: Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,

Bardziej szczegółowo

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH Mara KLONOWSKA-MATYNIA Natala CENDROWSKA WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY Zarys treśc: Nejsze opracowae pośwęcoe zostało spółkom akcyjym, które

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Analiza wyniku finansowego - analiza wstępna

Analiza wyniku finansowego - analiza wstępna Aalza wyku fasowego - aalza wstępa dr Potr Ls Welkość wyku fasowego determuje: etowość przedsęborstwa Welkość podatku dochodowego Welkość kaptałów własych Welkość dywded 1 Aalza wyku fasowego ma szczególe

Bardziej szczegółowo

WPŁYW ZMIENNOŚCI MASY JEDNEGO Z POJAZDÓW NA NIEBEZPIECZEŃSTWO ZEJŚCIA KOŁA Z SZYNY PODCZAS ZDERZENIA CZOŁOWEGO

WPŁYW ZMIENNOŚCI MASY JEDNEGO Z POJAZDÓW NA NIEBEZPIECZEŃSTWO ZEJŚCIA KOŁA Z SZYNY PODCZAS ZDERZENIA CZOŁOWEGO Dr ż. erzy Pawlus WPŁYW ZMIENNOŚCI MAY EDNEGO Z POAZDÓW NA NIEBEZPIECZEŃTWO ZEŚCIA KOŁA Z ZYNY PODCZA ZDERZENIA CZOŁOWEGO PI TREŚCI. Wrowadzee. Aalza daych statystyczych dotyczących zderzeń czołowych zderzeń

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n Badaie efektu alla w ółrzewodiku tyu 35.. Zasada ćwiczeia W ćwiczeiu baday jest oór elektryczy i aięcie alla w rostoadłościeej róbce kryształu germau w fukcji atężeia rądu, ola magetyczego i temeratury.

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych Pla rozdzału Relacyjy model daych Relacyjy model daych - pojęca podstawowe Ograczea w modelu relacyjym Algebra relacj - podstawowe operacje projekcja selekcja połączee operatory mogoścowe Algebra relacj

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

ZARYS METODY OCENY TRWAŁOSCI I NIEZAWODNOSCI OBIEKTU Z UWZGLEDNIENIEM CZYNNIKA LUDZKIEGO I PŁASZCZYZNY LICZB ZESPOLONYCH

ZARYS METODY OCENY TRWAŁOSCI I NIEZAWODNOSCI OBIEKTU Z UWZGLEDNIENIEM CZYNNIKA LUDZKIEGO I PŁASZCZYZNY LICZB ZESPOLONYCH Zdzsław IDZIASZEK 1 Mechatrocs ad Avato Faculty Mltary Uversty of Techology, 00-908 Warsaw 49, Kalskego street r zdzaszek@wat.edu.pl Norbert GRZESIK Avato Faculty Polsh Ar Force Academy, 08-51 Dębl, Dywzjou

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH

PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH INSTYTUT HODOWLI I AKLIMATYZACJI ROLIN PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH MATERIAY SZKOLENIOWE Dr hab. Zbgew Laudask, prof. adzw. Katedra Bometr Wydza Rolctwa Bolog SGGW Warszawa

Bardziej szczegółowo

PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI

PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA Załączk r do Regulamu I kokursu GIS PROGRAM PRIORYTETOWY: SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA. Cel opracowaa Celem opracowaa jest spója metodyka oblczaa efektu ograczaa emsj gazów ceplaraych,

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI

STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XII/, 0, tr. 3 STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI Dorota Kozoł-Kaczorek Katedra Ekoomk Rolcta Mędzyarodoych Stoukó Gopodarczych Szkoła

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI ĆWICZENIE 0 OPTYMALIZACJA STUKTUY CZUJKI TEMPEATUY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI Cel ćwczea: zapozae z metodam optymalzac wewętrze struktury mozakowe czuk temperatury stosowae w systemach sygalzac pożaru; wyzaczee

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Mirosław Wójciak

Ekonometria Mirosław Wójciak Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY Państwowa Wższa Szkoła Zawodowa w Koe Materał ddaktcze 17 ARTUR ZIMNY STATYSTYKA OPISOWA Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe Ko 010 Ttuł Statstka opsowa Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 Analiza masowa

Projekt 3 Analiza masowa Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga

Bardziej szczegółowo

ANALIZA INPUT - OUTPUT

ANALIZA INPUT - OUTPUT Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa z 28 SŁAWOMIR DOROSIEWICZ JUSTYNA STASIEŃKO ANALIZA INPUT - OUTPUT NOTATKI Istytut Ekoometr SGH Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa

Bardziej szczegółowo

Metody Informatyki Stosowanej

Metody Informatyki Stosowanej Polska Akadema Nauk Oddzał w Gdańsku Komsja Iformatyk Metody Iformatyk Stosowaej Nr /00 (3) Szczec 00 Metody Iformatyk Stosowaej Kwartalk Komsj Iformatyk Polskej Akadem Nauk Oddzał w Gdańsku Komtet Naukowy:

Bardziej szczegółowo

KRYTERIUM OCENY EFEKTYWNOŚCI INWESTYCYJNEJ OFE, SYSTEM MOTYWACYJNY PTE ORAZ MINIMALNY WYMÓG KAPITAŁOWY DLA PTE PROPOZYCJE ROZWIĄZAŃ

KRYTERIUM OCENY EFEKTYWNOŚCI INWESTYCYJNEJ OFE, SYSTEM MOTYWACYJNY PTE ORAZ MINIMALNY WYMÓG KAPITAŁOWY DLA PTE PROPOZYCJE ROZWIĄZAŃ KRYTERIU OCENY EFEKTYWNOŚCI INWESTYCYJNEJ OFE, SYSTE OTYWACYJNY PTE ORAZ INIALNY WYÓG KAPITAŁOWY DLA PTE PROPOZYCJE ROZWIĄZAŃ Urząd Komsj Nadzoru Fasowego Warszawa 0 DEPARTAENT NADZORU INWESTYCJI EERYTALNYCH

Bardziej szczegółowo