METODY ANALIZY OBWODÓW LINIOWYCH

Transkrypt

1 y j y y y WOJH M MTODY ANAZY OBWODÓW NOWYH wyane nerneowe 6

2 r. Wy. Nała egz SBN r. Wy. (or) 5 egz. SBN Wyawncwa czelnane Aaem Technczno-olnczej w Bygozczy Wy. nerneowe (oano rozzały V X) oyrgh Wojcech Meller 6

3 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych S reśc Z PZDMOWY DO WYDANA... 6 ozzał. PODSTAWOW POJĘA PAWA TO OBWODÓW Obwó eleryczny Prą eleryczny Naęce eleryczne Moc energa wójna lemeny obwoów ch równana Srra obwo rawa Krchhoffa Pozał zaganeń obwoowych... 7 ozzał. OBWODY NOW Z WYMSZNAM STAŁYM (STAN STAONY) Źróła rezyor lnowy Meoy analzy obwoów lnowych..... Połączene zeregowe równoległe rezyorów Meoa olejnych rzezałceń Przezałcene rójąa rezyorów w równoważną gwazę gwazy w róją Zaaa roorcjonalnośc meoa welośc roorcjonalnych Zaaa erozycj meoa erozycj Zaay Thevenna Norona oraz meoa źróła zaęczego lemenarny ła równań Paramery gałęz Meoa rąów gałęzowych meoa rąów oczowych Meoa oencjałów węzłowych Przenozene źróeł w obwoze Zaaa wzajemnośc nowe źróła erowane Analza obwoów zawerających źróła erowane Zaaa omenacj Analza obwoów wyazjących ymerę Przyroy oowez obwo wywołane zmaną w jenej z gałęz ozzał. WSTĘP DO TO OBWODÓW NOWYH PĄD ZMNNGO lemeny lnowe ównana obwoów lnowych rą zmennego ozzał V. OBWODY NOW Z WYMSZNAM SNSODANYM W STAN STAONYM OAZ H ANAZA MTODĄ SYMBOZNĄ Przebeg noalny jego aramery Analza obwoów w zezne cza Amla zeolona warość eczna w oac zeolonej Dzałana na noalnych fncjach cza, a załana na ch amlach zeolonych... 6 Srona

4 Poać ymbolczna raw Krchhoffa Poać ymbolczna równań rąowo-naęcowych elemenów meancja amancja zeolona Analza obwoów meoą ymbolczną Moc czynna, berna ozorna. Moc zeolona Blan mocy czynnej, bernej zeolonej Doaowane oborna o źróła z wag na moc czynną... ozzał V. OBWODY NOW Z WYMSZNAM OKSOWYM W STAN STAONYM Przeawene rzebeg oreowego za omocą zereg Forera Szereg Forera fncj rzenęej w czae Wływ ymer fncj oreowej na wółczynn zereg Forera Analza obwoów lnowych z wymzenam oreowym Wmo wymzena, a wmo oowez obwo lnowego Warość eczna rzebeg oreowego Moc czynna rzy wymzenach oreowych Warość śrena wyroowana rzebeg oreowego ozzał V. STANY NSTAON W OBWODAH NOWYH (ANAZA W DZDZN ZAS) San nealony, a an alony Prawa omacj Wyznaczane warośc ocząowych oowez oraz ochonych oowez na oawe warnów ocząowych ównana różnczowo-całowe obwoów Wyznaczane oowez wyłanczej na wymzene wyłancze Meoy ośrene zywana równana charaeryycznego San nealony w obwoach z jenym elemenem magazynjącym energę Analza an nealonego w obwoach wyżzych rzęów Sablność obwoów lnowych ozzał V. ANAZA OBWODÓW NOWYH Z ZASTOSOWANM PZKSZTAŁNA APA'A (MTODA OPATOOWA) Przezałcene alace'a jego właścwośc Przezałcene owrone fncj wymernych. ozła na łam roe Analza obwoów meoą oeraorową meancja oeraorowa Moele wójna w meoze oeraorowej Wyznaczane łaowej rzejścowej oowez Wyznaczane oowez na wymzena złożone Wyznaczane oowez na oreowy cąg mlów ml (eo-fncja) Draca... 7 ozzał V. TWDZN TGNA JGO ZASTOSOWANA Twerzene Tellegena (oać oawowa) Twerzene Tellegena w oac różncowej ogólnona zaaa wzajemnośc Meoa wzajemnośc Srona 4

5 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych 8.5. lemeny wzajemne owracalne. ła ołączony Wrażlwość ooby jej wyznaczana Twerzene Tellegena w oac różnczowej Meoa ła ołączonego ozzał X. SKŁADOW STAON ODPOWDZ W OBWODAH NOWYH Z WYMSZNAM WOMANOWYM ała zczególna oowez na wymzena welomanowe Schemay zaęcze la rzebegów z -ą oęgą Analza z wyorzyanem macerzy hybryowych częśc beznercyjnej obwo Przya ooblwe... 7 TATA SKOOWDZ Srona 5

6 Z PZDMOWY DO WYDANA Poręczn był any rzy założen, że czyeln zna oowene zały maemay fzy. W zczególnośc oneczna je znajomość oawowych ojęć meo w zaree: analzy maemaycznej, algebry macerzy, algebry lczb zeolonych, zeregów rygonomerycznych Forera, równań różnczowych zwyczajnych lnowych o ałych wółczynnach, rzezałcena alace a oraz elemenów fncj zmennej zeolonej. Przywojene oawowych ojęć obwoowych wymaga znajomośc fzy w zaree zoły śrenej. Jena la głębzego zrozmena warnów ozczających zaoowane jęca obwoowego oneczna je weza zawara w eor ola eleromagneycznego. ozzał je wrowazenem o eor obwoów onych, a rozzał anow wę o eor obwoów lnowych rą zmennego. W rozzale omówono obwoy lnowe rą ałego. Przeawone w ym rozzale meoy analzy obwoów mają charaer nweralny. Dzę wyorzyan lczb zeolonych (meoa ymbolczna) mogą być one oowane o analzy anów alonych noalnych (rozzał V), a orzez wyorzyane rzezałcena alace'a (meoa oeraorowa) o analzy anów nealonych oraz baana oowez na wymzena mlowe (rozzał V). W rozzale V omówono analzę an alonego rzy wymzenach oreowych. ozzał V ośwęcono analze anów nealonych w zezne cza. Słaam ozęowane rof. r hab. nż. echow óżańem za zaware w recenzj wnlwe cenne wag. Wyrażam równeż wzęczność r nż. Zenonow Sefanaow, óry zachęcł mne o rzygoowana ry, a naęne zechcał onować jego erwoną werję. Srona 6

7 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych ozzał PODSTAWOW POJĘA PAWA TO OBWODÓW.. Obwó eleryczny Obwó eleryczny je o zbór rzązeń elerycznych (elemenów) oraz łączących je rzewoów (ry..-) y..- W obwoze elerycznym może zachozć wymana energ omęzy elemenam za ośrencwem łanów elerycznych rzeływających w rzewoach. Warnam onecznym wyęowana wymany energ (fncjonowana obwo) ą: obecność elemenów zolnych o oawana energ o obwo (elemenów aywnych) obecność elemenów zolnych o oberana energ z obwo wyęowane w obwoze róg zamnęych la rzeływ łan. lemeny mają ończoną (ne mnejzą nż wa) lczbę zaców. Zac ą o obzary, orzez óre łan eleryczne mogą wływać o elemen lb z nego wyływać. lemeny wzacowe nazywa ę wójnam. W eor obwoów o aramerach onych rzyjmje ę fnamenalne założene, że rzemany energ zachozą wyłączne w elemenach obwo. Z założena ego wyna ealzacja rzewoów oraz ooczena obwo. W warnach rzeczywych wyęją męzy nnym ray w rzewoach oraz zjawa energeyczne zwązane z olam woół obwo. Moel obwoowy je rzyany, jeśl e oaowe rzemany energeyczne ne mają onego znaczena. W eor ola eleromagneycznego wyazje ę, że jęce obwoowe może być oowane, gy ełnony je warne qa-acjonarnośc [Oow J., Szaban J., 99 95, Poawy eor obwoów. T.. WNT Warzawa]. Wyna z nego, że ozczalne maymalne rozmary obwo ą ym mnej- Srona 7

8 ze, m zybze ą rzebeg wyęjące w obwoze. Soowane moel obwoowego w rayce wymaga oceny ego czy obwó ealny je wyarczająco ołanym rzyblżenem obwo rzeczywego. W ealnym obwoze rozmary elemenów, a aże oległośc omęzy nm ne ą one, ważny je ylo oób ołączena elemenów. Schema obwo (ry..-) zawera w oac grafcznej nformację o rrze obwo oraz cechach elemenów. Je on częo ożamany z obwoem. nerga oraz łane eleryczny ą ojęcam erwonym eor obwoów ozwalają na o zjaw fzycznych, óre zachozą w obwoach. Jena o zależnośc wyęjących w obwoach znaczne wygonej je rowazć, ołgjąc ę ojęcam rą naęca elerycznego. Zaaa zachowana łan w wyorębnonej częśc obwo zaaa zachowana energ w elemenach obwo ą zaware w rawach Krchhoffa. Doyczą one zwązów wynających ze rry obwo, a zachozących męzy rąam oraz męzy naęcam... Prą eleryczny W eor obwoów nereje na rą rzewozena bęący orząowanym rchem łanów elerycznych w rzewoach. Marą loścową rą je warość chwlowa (naężene) rą. Je ona oreślona rzez ochoną łan q rzeływającego rzez rzerój orzeczny rzewo wzglęem cza : q (.-) Warość chwlowa rą je oana, jeśl erne (mowny) rą je zgony z ernem rch łanów oanch, a rzecwny o ern rch łanów jemnych. Przy omennych relacjach warość chwlowa je jemna. Wybór ern (mownego) zaznaczamy rzałą na chemace (ry..-). Wybór en je oneczny, gyż w rzecwnym raze zna warośc chwlowej rą je neoreślony. > - y..- Oznaczene rą małą lerą bęzemy ożamal z waroścą chwlową bęącą fncją cza (). W rzya, gy mamy na myśl warość w onrenej chwl nezbęne je ełne oznaczene wazjące en momen cza, n. ( ). Zmana ern rą wymaga zmany zna wyęjącego rze rąem we wzych równanach. Srona 8

9 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych W alzych rozważanach bęzemy la rozczena warość chwlową rą nazywal równeż rąem, o le ne zachoz obawa omylena zjawa z jego marą loścową. Jenoą rą je amer (A). Przy rzeływe rą A rzez rzerój orzeczny rzewo w cąg rzenozony je łane... Naęce eleryczne Męzy woma nam obwo (nam należącym o rzewo lb zac elemen) wyęje naęce, jeśl rzeływow łanów męzy ym nam owarzyzy wyonane racy. Marą loścową naęca je warość chwlowa naęca. Warość chwlowa naęca męzy woma nam obwo oreślona je rzez ochoną racy W wyonanej rzy rzenozen łan q z jenego n obwo o rgego wzglęem łan q: W (.-) q a b > ab y..- W anej chwl naęce ma oreśloną begnowość. Przy rzenozen łan oanego o begna oanego o begna jemnego energa oarczana je o elemenów, rzez óre łane je rzenozony. Naoma rzeływow łan oanego o begna jemnego o oanego owarzyzy oberane energ z elemenów. Warość chwlowa naęca je oana, jeśl erne (oznaczony rzałą) naęca zwrócony je w ronę begna oanego (ry..-). Zmana zna warośc chwlowej oznacza eż zmanę begnowośc. Doó ne zoał wybrany erne naęca, oóy zna warośc chwlowej naęca je neoreślony. Zmana ern wymaga zmany zna wyęjącego rze naęcem we wzych równanach. Należy oreślć, że rzyane naęc rzał anow ewen, wybrany rzez na, oób orząowana ary nów, męzy órym wyęje naęce. Pojęce erne naęca ono ę o ern rzał mezczonej rzy anym naęc. Naęce, jao ae ne ma ern (w oróżnen o rą). orząowane nów, męzy órym wyęje naęce, można rzerowazć równeż orzez mezczene waźnów naęca w oac ymbol obyw nów we właścwej olejnośc, n.: ab, o naęce o ern zwróconym o n a (ry..-). Za a je eż Srona 9

10 ożamy z oreślenem naęce n a wzglęem n b. W lerarze angloaej na chemaach zaznacza ę mowną begnowość. Można zaważyć, że en oan oób je logczne barzej zaanony, nż oowane rzałe. Jena w rzya oznaczena wel naęć na chemace ojawa ę żo znaów oraz - mogą wyąć wąlwośc w onozen ch o właścwego naęca. rnone je eż oznaczane naęca męzy oalonym nam obwo. Tymczaem oowane rzałe oazje ę zczególne wygone rzy alan znaów w me algebracznej wynającej z rawa Krchhoffa (arz alej..6.). Oznaczene naęca małą lerą bęzemy ożamal z waroścą chwlową bęącą fncją cza (). W rzya, gy mamy na myśl warość w wybranej chwl, nezbęne je ełne oznaczene wazjące en momen cza, n. ( ). W alzych rozważanach bęzemy la rozczena warość chwlową naęca nazywal równeż naęcem, o le ne zachoz obawa omylena zjawa z jego marą loścową. Jenoą naęca je wol (V). Jeśl naęce męzy woma nam obwo je równe V, o rzy rzeływe łan męzy ym nam wyonywana je raca J. Poencjałem n obwo elerycznego nazywamy naęce omęzy ym nem a rzyjęym nem oneena ( maą ). Jeśl n oneena oznaczyć ymbolem, o oencjał n A je równy naęc A (ry..6-b)..4. Moc energa wójna ozważmy fncjonowane obwo zawerającego ołączone ze obą wójn (ry..4-). W W A B y..4- Jeśl naęce oraz rą ą oane, o w rzezale cza równym różnczce orcja energ W oberana je z wójna A (łane oan q je rzenozony o begna o begna ) oarczana o wójna B (łane oan q je rzenozony o begna o begna ). Korzyając z efncj warośc chwlowych rą (.-) naęca (.-) można oblczyć: W q (.4-) Srona

11 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych a naęne moc chwlową, z jaą energa oberana je z wójna A oarczana o wójna B: W (.4-) nerga oarczona z wójna A o wójna B w rzezale cza o o : W (.4-) Powyżze wzory ą orawne równeż w oneen o momenów cza, gy warośc chwlowe naęca lb rą ą jemne. Wówcza jemny zna mocy chwlowej oowaa momenom, gy energa je rzeazywana z wójna B o wójna A. Naoma jemna warość cał (.4-) śwaczy o ym, że energa zoała rzeazana z wójna B o wójna A. nerreacja zna mocy chwlowej zależnona je o oob rzałowana (relacj męzy ernam rą naęca) wójna. Przy zw. rzałowan źrółowym mowny rą wyływa rzez mowny begn oan (ry..4-a). Wówcza w chwlach, gy warość loczyn je oana wójn energę wyaje. jemna warość oowaa naoma yacj, gy wójn energę obera. Omenny oób rzałowana, czyl zw. rzałowane obornowe, rzy órym mowny rą wływa o wójna rzez mowny begn oan (ry..4-b) wymaga owronej nerreacj zna loczyn. Poobne ja wybór ernów rą naęca, oób rzałowana wójna je owolny. Należy jena amęać o wływe ernów na zna rąów naęć w równanach. Jenocześne można ocenć czy oób rzałowana je naralny, czy zczny. Barzej naralny je en, óry zmnejza lczbę znaów w równanach waroścach lczbowych. a) b) y..4- W obwoze łaającym ę wyłączne z wójnów ełnene zaay zachowana energ wymaga realzacj blan mocy chwlowych wzych elemenów: źr (.4-4) ob Srona

12 gze: źr wzye wójn ze rzałowanem źrółowym, ob wzye wójn ze rzałowanem obornowym..5. lemeny obwoów ch równana.5.. lemeny wymzające (źróła) Źróło naęca (ry..5-a) je wójnem, órego naęce je nezależne o rą, rzy czym: e (.5-) gze e e() je zaaną fncją cza oreślającą naęce źrółowe. Źróło rą (ry..5-b) anow wójn, órego rą je nezależny o naęca, rzy czym: j (.5-) gze j j() je zaaną fncją cza oreślającą rą źrółowy. a) b) e j y..5- Srzał mezczone w ymbol grafcznym źróeł oreślają ch zwro. Źróła ą elemenam aywnym, gyż mogą oarczać energę o obwo. Generowane rzez źróła rzebeg ą nezależne ełną rolę wymzeń w oneen o ozoałych rąów naęć, óre ą oowezam obwo..5.. lemeny newymzające (oborn) lemeny newymzające oywane ą równanam zawerającym zarówno rąy, ja naęca wyęjące na ch zacach. Wółczynn wyęjące w równanach ą arameram elemenów. Pozał elemenów można rzerowazć zgone z layfacją równań wążących warośc chwlowe rąów naęć. a) b) y..5- Srona

13 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Na rzyła oę ółrzewonową (ry..5-a) można oać za omocą równana: a onenaor (ry..5-b) orzez zwąze: e (.5-) (.5-4) Z wag na oać równana (.5-) oę zalczamy o elemenów nelnowych, a onenaor oreślony równanem (.5-4) o elemenów lnowych. Obywa oane owyżej rzyłaowe elemeny należą o gry elemenów acjonarnych, oneważ w ch równanach cza ne wyęje w oób jawny. Gyby równane onenaora rzybrało oać: [ n( )] (.5-5) melbyśmy o czynena z elemenem neacjonarnym (aramerycznym). Właścwośc aego elemen zmenają ę w czae..5.. lemeny ealne, a elemeny rzeczywe ównana elemenów anową efncję elemenów ealnych. Są one moelam elemenów rzeczywych. W zaoowanach należy meć na waze ołaność rzyblżena oraz ogranczony zare naęć rąów, w órym moel ma zaoowane. Zaganena worzena moel, a aże wybor moel o wyarczającej zgonośc z elemenem rzeczywym leżą na ograncz eor obwoów ycyln alacyjnych. Można eż oać ę z zaanem owronym, gy zmerzamy o zbowana elemen rzeczywego o włanoścach możlwe blch elemenow ealnem. ównana najrozych elemenów rzeczywych (n. cew, onenaora) można zyać na oawe analzy omnjących zjaw fzycznych zachozących w ych elemenach (. rozz. ). Jena zachowane ychże elemenów, n. w obwoach z rzebegam zybozmennym, wymaga wzglęnena aże nnych zjaw, óre zaczynają wływać na zwąz męzy naęcem a rąem na zacach elemenów. W amej eor obwoów ołgjemy ę elemenam ealnym rzyjmjemy, że zwąz naęć rąów na zacach elemenów ą ane. Ne wnamy eż w mechanzm zjaw, óre e zwąz wywołją..6. Srra obwo rawa Krchhoffa.6. Gałęze, węzły ocza Soób ołączena elemenów oreśla rrę obwo. ównana wynające ze rry obwo ą realzacją zaay zachowana energ w całym Srona

14 obwoze oraz zaay zachowana łan w owolnej wyorębnonej częśc obwo. Zaay e w oneen o rąów naęć ą zaware w rawach Krchhoffa. Sformłowane raw Krchhoffa wymaga oreślena ojęć zwązanych ze rrą obwo. Przyjmemy założene, ż elemenam obwo ą wyłączne wójn. Jao gałąź rry można znać aży z wójnów worzących obwó, wówcza węzłem je aży n ołączena wójnów. Jeśl rozważany obwó zawera ołączena zeregowe wójnów (n. elemeny 6 na ry..-), można zreować lczbę elemenów rry, rzyjmjąc naęjące efncje. Gałąź anow wójn lb zeregowe ołączene wójnów. Węzeł je o n ołączena co najmnej rzech gałęz. Ten oób efnowana gałęz węzła rzyjmemy za oawowy. Oczo o roga zamnęa worzona z gałęz. Przeawene obwo lrjące ylo jego rrę (bez nformacj o cechach elemenów worzących jego gałęze) nazywamy grafem obwo. Przyłaowy obwó jego graf oazano na ryn Perwze rawo Krchhoffa ( PK) Sma algebraczna warośc chwlowych rąów w gałęzach ołączonych o owolnego węzła obwo je równa zer: (.6-) gze: warość chwlowa rą w -ej gałęz wzęa ze znaem, jeśl erne rą je zwrócony o węzła, a ze znaem w rzecwnym rzya. Na rzyła la węzła wocznego na ryn.6-a można zaać: (.6-a) 4 Słzność PK wyna bezośreno z zaay zachowana łan w węźle. a) b) y..6- Srona 4

15 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych PK można oować w oneen o rąów w rzewoach łączących ewną wyorębnoną część obwo z rezą obwo. Wówcza a wyorębnona część raowana je jao jeen węzeł. Na rzyła w obwoze rzeawonym grafem na ryn.6-b rąy ą zwązane zależnoścą: (.6-b) Drge rawo Krchhoffa ( PK) Sma algebraczna warośc chwlowych naęć na gałęzach owolnego ocza obwo je równa zer: (.6-) gze: warość chwlowa naęca na -ej gałęz wzęa ze znaem, jeśl erne naęca je zgony z ernem obchozena ocza, a ze znaem, jeśl je nezgony. Jenoczene ełnene erwzego rgego rawa Krchhoffa zaewna realzację zaay zachowana energ w obwoze (..6.4). Na rzyła la ocza wocznego na ryn.6-a można zaać (o założen ern obchozena ocza zgonego z ernem rch wazówe zegara): (.6-4) 4 a) b) A AB B 4 A B y..6- PK je łzne równeż w oneen o owolnego zamnęego łańccha naęć męzy nam obwo. W zczególnośc a łańcch worzy naęce AB wraz z oencjałam: A B (ry..6-b). Dlaego można zaać: AB (.6-5) A B Należy oreślć, że zależność (.6-5) ne je efncją naęca, a wyna z PK. Srona 5

16 Prawa Krchhoffa, a zaaa zachowana energ Na oawe erwzego rgego rawa Krchhoffa owonmy ełnene zaay zachowana energ w obwoze. Poneważ owyżze rawa ne zależą o cech elemenów, óre worzą obwó, a jeyne o jego rry, rozważana można rowazć ołgjąc ę grafem obwo (ry..6-). Przyjmemy, że męzy owolnym woma węzłam znajje ę jena gałąź. Prą w owolnej gałęz oznaczymy woma neam oznaczającym nmery węzłów, o órych ołączona je gałąź. Kolejność neów oreśla erne rą. PK może być zaane la ażego z,..., (w ) węzłów w oac zwyłej my (wzye rąy erowane o węzła): w ( )( l) l (.6-6) ()(l) (l)() (l) () () () () ()() (5)() ()() ()() (5) (l)(6) (6) y..6- Przy ym rą ()(). Zerowa je równeż warość rą ()(l), jeśl męzy węzłam oraz l gałąź ne wyęje. Sma loczynów olejnych oencjałów ()() rzez my rąów w -ym węźle (.6-6) je równa zero: w w ( )() ( )( l) (.6-7) l Po założen rzałowana obornowego rą oraz naęca ażej z g gałęz (ry..6-) wyażemy, orzyając z PK, że: w g w l (.6-8) ( )() ( )( ) l Prą owolnej gałęz ()(l) ne ołączonej o węzła oneena (l ) wyęje o lewej rone równana (.6-8) wrone: raz jao ()(l) w me mnożonej rzez ()(), a rg raz jao (l)() w me mnożonej rzez (l)(). Po- Srona 6

17 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych neważ ()(l), a (l)(), o aży z rąów gałęzowych mnożony je rzez różncę oencjałów ()() (l)(), a a z ole, w myśl PK, je równa naęc gałęzowem. W oneen o gałęz ołączonych o węzła oneena ochozmy o analogcznego wno, gyż rąy ych gałęz ()() wyęją ojeynczo. Są one mnożone rzez oencjały ()() bęące jenocześne naęcam gałęzowym. ównoczene ełnene równań (.6-7) (.6-8) oznacza realzację zaay zachowana energ w obwoze: g (.6-9) co anowło ezę owozonego werzena. Połączene równoległe gałęz w grafe na ryn.6- rerezenowane je jeną gałęzą z rąem równym rąow całowem. Dla nazych rozważań one je, że loczyn warośc chwlowych naęca rą całowego je równy me loczynów naęć rąów gałęz worzących ołączene równoległe. Ta węc, werzene o blane mocy chwlowej je ełnone w owolnych rrach zbowanych z wójnów lb welowronów (w rzya welowronów aże wroa anową w ene rralnym wójn). Przyła.6-. Wyrowazmy zależnośc zachozące omęzy naęcam w obwoze o rrze rzeawonej na ry..6-4, a wynające z zaay zachowana łan w węzłach (PK) oraz zaay zachowana energ w całym obwoze Dla ła o lczbe węzłów w 4 można wg PK worzyć w równana nezależne (arz alej..9.) wzglęem g 6 rąów w gałęzach obwo: 4 5 (.6-) 4 6 Po wzglęnen zwązów męzy rąam wynających z PK można werzć, że lczba nezależnych rąów gałęzowych je mnejza o lczby gałęz g o w -. Ta, węc można wybrać g (w ) rąów nezależnych, óre jenoznaczry..6-4 Srona 7

18 Srona 8 ne oreślają wzye rąy w obwoze. W nazym rzya a zbór worzą, na rzyła, rąy:, 4 oraz 6, za omocą órych możemy wyrazć ozoałe rąy: (.6-) Z zaay zachowana energ w obwoze wyna blan mocy, óry zazemy wzglęnając różnoroność rzałowana ozczególnych gałęz (.4-4): (.6-) Do owyżzego równana wrowazmy zależnośc (.6-) wynające z rawa Krchhoffa, a wec z zaay zachowana łan: Przeneemy wzye loczyny na lewą ronę równana zgrjemy rzy rąach: ównane m być ełnone rzy owolnych waroścach rąów, a węc wyrażena w nawaach mzą meć warośc zerowe: (.6-) W rezlace orzymalśmy rzy nezależne równana wążące naęca w obwoze. ównane e można równeż zyać zając rawo Krchhoffa la ewnych ocze obwo. Wyazalśmy węc, że rawo Krchhoffa wyna z erwonych la eor obwoów zaa zachowana: łan w węzłach energ w obwoze..7. Pozał zaganeń obwoowych Poawowym zaanem eor obwoów je analza oraz yneza obwoów. Analza olega na oreślen rąów oraz naęć w obwoze o zaanej rrze zbowanym z elemenów o znanych właścwoścach (aramerach). Meoy analzy różną ę w zależnośc o: a) charaer fncj wymzających (ałe, noalne, oreowe, owolne), b) rozaj fncj ojących elemeny newymzające (lnowe lb nelnowe acjonarne lb arameryczne), c) zgonośc fncj oreślających oowez z fncjam ojącym wymzena (an alony nealony). W obwoach, w órych załają wymzena ałe, noalne lb oreowe an alony neje, gy oowez ą oowne: ałe, noalne lb oreowe. W najrozym rzya mamy o czynena z obwoam, w órych załają wymzena ałe, elemeny oywane ą równanam lnowym ne zawerającym cza w charaerze aramer, a an je alony, czyl oowez oobne ja wymzena ą ałe. Obwoy ae bęą obeem nazych zanereowań w naęnym rozzale. Przecwnym o analzy je zaane ynezy. Jej celem je zarojeowane obwo o zaanych właścwoścach, zn. oreślene jego rry oraz aramerów elemenów.

19 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych ozzał OBWODY NOW Z WYMSZNAM STAŁYM (STAN STAONY).. Źróła rezyor lnowy Począowo rozważać bęzemy obwoy, w órych obo wymzeń ałych, źróeł naęca (ry..-) oraz rą (ry..-), znajować ę bęą rezyory (ry..-). ezyor (lnowy) je wójnem o równan: gze rezyancja. Owroność rezyancj nazywa ę onancją G: (.-) G (.-) W łaze jenoe S jenoą rezyancj je om (Ω), a onancj - men (S). J J J y..- y..- y..- y..-4 Srona 9

20 Moc z jaą energa je oarczana o rezyora: P G (.-) Zwyle rzyjmje ę, że rezyor je elemenem aywnym, czyl nezolnym o oarczana energ o obwo. Przy oanm aramerze warne en je zawze ełnony. Poreślć rzeba, że równane (.-) oje rezyor rzy zaoowan rzałowana obornowego (ry..-). Przy rzałowan źrółowym (ry..-4) równane rezyora rzybera oać: (.-4) Je oczywym, że zna aramer ne ma wływ na oać równana. Granczną oacą rezyora je zwarce, czyl wójn o rezyancj zerowej. Zwarce je eż granczną oacą źróła naęca o aramerze. Granczną oacą rezyora je równeż rzerwa, czyl wójn o onancj zerowej. Przerwa je eż granczną oacą źróła rą o aramerze J. Tablca.-. Granczne oac elemenów Nazwa gałęz chema J zwarce G rzerwa G J Szczególnym elemenam obwoów ą rzyrząy omarowe. ealny ameromerz wazje warość rą A. elacja męzy ernem mownym rą A a znaam na jego zacach oazana je na ryn.-5a. a) b) A V - - A V A V y..-5 ealny wolomerz wazje warość naęca V. elacja męzy ernem mownym naęca V a znaam na jego zacach oazana je na ryn.-5b. Poneważ rzyrząy ealne ne oberają energ A Srona

21 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych oraz V. W ene obwoowym ameromerz je równoważny zwarc, a wolomerz rzerwe. zeczywym źrółam naęca ałego ą różnego rozaj ognwa elerochemczne, amlaory, rąnce. Jena charaeryy najblżze ealnym mają zalacze eleronczne łżące zarówno jao źróła naęca, ja rą. Źróła rzeczywe mają ogranczoną moc. Wyęje eż wływ obcążena na wywarzane naęce lb rą. Dlaego w najrozym moel rzeczywego źróła naęca zeregowo z ealnym źrółem naęca włączony je rezyor. W moel rzeczywego źróła rą rezyor włączony je równolegle o ealnego źróła rą. Ooweno obrane rezyancje (zwyle małe la źróeł naęca że la źróeł rą) ych rezyorów nazywa ę rezyancjam wewnęrznym źróeł. ezyory rzeczywe ełnają rawo Ohma w ogranczonym zaree naęć rąów. Wąże ę o rzee wzym z ozczalną la anego rezyora waroścą maymalnej mocy, óra może być w nm wyzelana. W ewnych warnach należy wzglęnć wływ czynnów zewnęrznych (n. emerary) na rezyancję. zeczywe rzyrząy omarowe mają oreśloną rezyancję. Jeśl w rzya ameromerza je ona ooweno mała, a w rzya wolomerza ooweno ża, wówcza obecność rzyrząów ne wływa one na warość welośc merzonej. W orozzale.9 rzeawono meoy, óre mogą być równeż zaoowane o wyznaczana zman oowez wywołanych ołączenem rzeczywych rzyrząów omarowych. Pozwalają one ocenć, czy wływ ończonej rezyancj merna je omjalny (analogczne można baać znaczene rezyancj wewnęrznej źróeł)... Meoy analzy obwoów lnowych Meoy bezośrene (formalne) olegają na bowan łaów równań wzglęem oreślonych oowez obwo. W ej gre meo najważnejze ą: meoa rąów oczowych, meoa oencjałów węzłowych. Nazwa ej gry meo wywoz ę ą, że rzy ch zaanan owołjemy ę bezośreno o raw Krchhoffa równań elemenów. Naoma nne oejśce o analzy rzewje onrowane algorymów, wyorzyjących werzena wynające z zaa oyczących wzelch łaów lnowych oraz analzy zacowej obwo. Do ej gry meo, óre nazywamy ośrenm (fzycznym) należą m.n.: meoa olejnych rzezałceń meoa welośc roorcjonalnych meoa erozycj meoa źróła zaęczego. Srona

22 Należy oreślć, że owyżze meoy znajją zaoowane ne ylo ocza analzy obwoów lnowych rą ałego, ale równeż w race analzy obwoów lnowych rą noalnego (w ramach meoy ymbolcznej) oraz obwoów lnowych w ane nealonym (w ramach meoy oeraorowej). Meoa ymbolczna oraz oeraorowa zoaną rzeawone óźnej, ale eczne ołgwane ę ym śroam bęze wymagało obrego oanowana meo analzy, óre oznamy na rzyłaze obwoów rą ałego... Połączene zeregowe równoległe rezyorów Poneważ na zacach zewnęrznych wójna złożonego z rezyorów naęce je wro roorcjonalne o rą, elemenem zaęczym ołączena je rezyor, órego aramer nazywamy rezyancją równoważną. Poawowe cechy ołączena zeregowego rezyorów (ry..-): a) rąy wzych rezyorów ą jenaowe:,,..., n (.-) n n n y..- b) naęca na rezyorach ą roorcjonalne o ch rezyancj: ezyancja równoważna: l, l,,... n (.-) l n (.-) Naęce na jenym z wóch zeregowo ołączonych rezyorów (zeln naęcowy): (.-4) Poawowe cechy ołączena równoległego (ry..-): a) naęca na wzych rezyorach ą jenaowe:,,..., n (.-5) Srona

23 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych b) rąy rezyorów ą owrone roorcjonalne o ch rezyancj: n n n y..- l l, l,,..., n (.-6) ezyancja równoważna: rzy n :.4. Meoa olejnych rzezałceń n (.-7) Prą jenego z wóch ołączonych równolegle rezyorów (zeln rąowy): (.-8) zyelnow ozoawa ę zaanene oanych cech ołączeń rezyorów. Soowane ej meoy olega na wyorzyan zależnośc wynających z ołączena zeregowego lb równoległego rezyorów je możlwe ylo w obwoach z jenym wymzenem. Poęowane: a) b) J y..4- a) rozczene (zwnęce) obwo rzez zamanę ołączeń rezyorów rezyoram równoważnym, aż o zyana rry ozwalającej na wyznaczene oowez wro, zn. bez rozwązywana łaów równań (n. rry ja na ryn.4-a b), b) wyznaczene olejnych oowez w gałęzach erwonych obwo orzez wyorzyane cech ołączeń zeregowych równoległych lb raw Krchhoffa (rozwnęce). Srona

24 Przyła.4-. Wyznaczymy wzye rąy oraz naęce w obwoze oazanym na ryn.4- rzy rozwarym rzełączn K. 4 4 K K y..4- Dane: 8 V, 4 6 Ω, Ω a) Kolejno oblczamy równoważne rezyancje ołączeń zeregowego : 6 Ω równoległego : Ω zeregowego 4 : 4 9 Ω oraz rą łynący rzez źróło naęca: A b) Z ołączena zeregowego oraz 4 wyna: 4 A a z ołączena równoległego : Dla ołączena zeregowego mamy: Z PK: Z PK: A 5 V A Przyła.4-. Wyznaczymy wzye rąy w obwoze z orzenego rzyła rzy zwarym rzełączn K. O raz zaważamy, że jeną z oowez można wyznaczyć wro: 6A. W cel oblczena rą zwjamy część obwo: Ω A oblczamy: 4,5Α Srona 4

25 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych W wyn rozwnęca: 4 4,5A Z PK: 4,75 A, 8,5 A, 7,5 A W obwoach zawerających ona czery rezyory może ę oazać, że bra je ołączeń zeregowych lb równoległych ne można za omocą oanych oą zależnośc orowazć o rozczena rry (n. ry..5-). W ych yacjach rzyane ają ę rzezałcena oane w naęnym nce..5. Przezałcene rójąa rezyorów w równoważną gwazę gwazy w róją a) a b) a c) a a a a ab a ca ab c ca bc bc b c c c b c b c b b y..5- Zarówno róją rezyorów (ry..5-a), ja gwaza (ry..5-b) ocenane o rony zaców zewnęrznych rzeawają obą rójn (elemeny z rzema zacam) (ry..5-c). Dwa elemeny ą równoważne, jeśl w jenaowy oób wążą rąy naęca na woch zacach. Zazemy zwąz wyęjące męzy naęcem ab a rąam a, b oraz c la rójąa gwazy rezyorów. Porównane fncj ojących womnane zwąz możlw oreślene warnów równoważnośc ych łaów. Poneważ zgone z PK ma rzech wymenonych wyżej rąów je równa zer, za zmenne nezależne rzyjmemy rąy a oraz b. Porównywać naoma bęzemy fncje ab f ( a, b ). Dla ła gwazy można zaać: ab a a b b b c (.5-) Dla ła rójąa zazemy równana wynające z PK la węzłów a b oraz PK la ocza, óre worzy róją: ca bc ab ab ab ab a b bc bc ca ca b (.5-) Srona 5

26 o wyelmnowan rąów ca oraz bc orzymjemy: a alej: gze: ab ab ab ab ca a bc b (.5-) ab ca bc ab a ca ab bc b (.5-4) ab bc ca (.5-5) Z orównana fncj zyanych la gwazy (.5-) rójąa (.5-4) wyna, że równoważność ych rójnów zaneje, gy: a b ca ab ab bc (.5-6) Zaważmy, że wzór na b można zyać z zależnośc na a o oonan ołowej zamany waźnów a b c a, wyna o ze zczególnej ymer rozważanych łaów. Dla orzymana wzor na c wyarczy rzerowazć oobną oerację na wyrażen łżącym o oblczana b : bc ca c (.5-7) zyane zwąz można formłować łowne: rezyancja romena gwazy równoważnej anem rójąow je równa loczynow rezyancj boów rójąa wychozących z werzchoła oowaającego em romenow, zelonem rzez mę rezyancj boów rójąa. Przezałcena gwazy w równoważny róją można oonać ołgjąc ę wzorem: ab a b a b (.5-8) oraz zyanym orzez ołową zamanę waźnów wzoram na bc ca. Tym razem ażą z ych zależnośc można formłować: rezyancja bo rójąa równoważnego anej gweźze je równa me rezyancj romen gwazy wychozących o werzchołów zawązanych z anym boem owęzonej o loczyn rezyancj ychże romen, ozelony rzez rezyancję rzecego romena gwazy. Porawność wzor (.5-8) można rawzć oawając w mejce a, b c wyrażena wynające ze wzorów (.5-6) (.5-7). c Srona 6

27 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Przyła.5-. Wyznaczymy wzye rąy oraz naęce ab w obwoze oazanym na ryn.5-. Dane: J A, 5 Ω, 5 Ω, 4 Ω, 5 Ω a b J a b J a b c y..5- c y..5- c Dla rozczena obwo o oac ozwalającej na wyznaczene oowez nezbęne je zaoowane rzezałcena rójąa ( lb 4 5 ) w gwazę albo gwazy ( 4 lb 5 ) w róją. Przy wymzen rąowym orzynejze je wyorzyane rzezałcena róją-gwaza, a ze wzglęów rachnowych leej wybrać róją 4 5, la órego: 4 5 ezyancje równoważnej gwazy (ry..5-): a Ω Ω b Ω c 6Ω Z zelna rąowego: Z PK, PK oraz równana rezyora: 4 5 J ab J b J a b,8 A, A 4 A A ab, A V Srona 7

28 Zaaa roorcjonalnośc meoa welośc roorcjonalnych W owolnym fzycznym łaze lnowym ooweź je wro roorcjonalna o wymzena wywołjącego ę ooweź. Dlaego w obwoze lnowym, w órym zała ylo jeno źróło (naęca lb rą) wzye rąy naęca ą wro roorcjonalne o warośc wymzena (naęca lb rą źrółowego). Meoa welośc roorcjonalnych oara na ej zaaze może być oowana o analzy obwoów, w órych jeyne źróło ołączone je o rezyorów worzących rrę rabnową (n. obwó rzeawony na ryn.6-). Poęowane: a) załaamy warość oowez w gałęz rajnej wzglęem źróła, b) oblczamy olejne oowez, óre mzą owarzyzyć rzyjęem założen (, ) oraz wymzene, óre wywołje założoną ooweź ( lb J ) wyznaczamy wółczynn roorcjonalnośc: c) wyznaczamy fayczne oowez w obwoze: / lb J/J (.6-) oraz (.6-) Przyła.6-. Wyznaczymy rą 5 oraz naęce w obwoze rzeawonym na ryn.6-. Dane: 5 V, 4 Ω, 8 Ω, 6 Ω, 4 7 Ω, 5 4 Ω y..6- Załaamy warość rą: 5 A Konewencją ego założena ą warośc ozoałych oowez: V, 4 5 / 4 A, 4 5 A 5 V, / 4 A, 7 A oraz wymzena naęcowego: 6 V Wółczynn roorcjonalnośc: /,5 Warośc ozwanych oowez: 5 5,5 A 8 V Srona 8

29 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych.7. Zaaa erozycj meoa erozycj W owolnym fzycznym łaze lnowym ooweź na załane l wymzeń je równa me oowez na aże wymzene załające z oobna. Meoa erozycj ozwala na rowazene analzy obwo lnowego z weloma źrółam o wel analz obwoów z jenym źrółem. Soób oblczana ych obwoów ne je rzemoem meoy erozycj. Poęowane: J J y..7- a) wyznaczamy oowez częścowe y (l) wywołane rzez ozczególne wymzena załające ojeynczo (ozoałe oraz J ). Źróła o aramerach zerowych rzyberają oać rzeawoną na ryn.7-, czyl źróło naęca zaęjemy zwarcem, a źróło rą rzerwą. b) oowez ełne zyjemy orzez mowane oowez częścowych: gze n lczba źróeł w obwoze. n l ( l) y y (.7-) Doą załaalśmy jenorone rzałowane oowez w obwoze erwonym we wzych obwoach, w órych wyznaczane były oowez częścowe. Jeśl jenoroność a ne je zachowana wzór (.7-) należy zmoyfować o oac: n l ( l) y α y (.7-) gze α l rzyjmje warość lb w zależnośc o ego czy rzałowane oowez y y (l) je zgone, czy eż nezgone. l Srona 9

30 Przyła.7-. Wyznaczymy wzye rąy oraz naęce ab w obwoze oazanym na ryn.7-. Dane: J A, V, 5 Ω, 5 Ω, 4 Ω, 5 Ω J a b y..7- Poneważ w obwoze załają wa wymzena, ełne oowez można zyać, nałaając oowez cząowe obwoów rzeawonych na ryn.7-a b. Oowez obwo z ryn.7-a (y') zoały wyznaczone w rzyłaze.5-. a) ' ' b) " " J a ' b a " b ' 4 '5 " 4 " y..7- Analzę obwo z ryn.7-b rzerowazmy meoą olejnych rzezałceń: " A " " ",5 A 4 ab " " 5 V ( ) 4 Ω, " " A 4 5 " " -,5 A " " 4 5,5 A Zeawene oowez cząowych oraz wyn ońcowe rzeawono w abel.7-. Srona

31 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Tabela.7- y y' y" y y' y" [A],,, [A],8 -, -, [A],,5,7 4 [A],,5,5 5 [A], -,5,5 ab [V] Zaay Thevenna Norona oraz meoa źróła zaęczego.8.. Dwójn y oraz wójn y J Wśró wójnów zawerających wymzena można wyorębnć ch wa zczególne yy: y oraz y J. Dwójn y charaeryzją ę ym, ż naęce na ch zacach ne zależy o rzeływającego rą. W najrozym rzya am wójnem je źróło naęca. Przyła złożonego wójna y rzeawono na ryn.8-. Dla wójna ego zawze, laego wójnem równoważnym je źróło naęca. J 4 y..8- J 5 5 J J J J y..8- Dwójn y J wyróżna ę ym, że łynący rzez jego zac rą ne zależy o naęca. Najrozym wójnem ego y je źróło rą. Przyła złożonego wójna y J rzeawono na ryn.8-. Tym ra- Srona

32 zem rą wójna nezależne o naęca wyno J J J, laego równoważnym wójnem je źróło rą J J J J..8.. Zaaa Thevenna Dowolne złożony wójn zawerający źróła rezyory lnowe (ne bęący wójnem y lb J) je równoważny wójnow rozczonem o oac zeregowego ołączena źróła naęca T rezyora lnowego T (ry..8-). J T T y..8- Naęce źrółowe T je równe naęc j męzy rozwarym zacam wójna złożonego (zwro źróła T wzglęem zaców zewnęrznych je a am ja erne mowny naęca j ) (ry..8-4a). ezyancja T je równa rezyancj równoważnej wójna złożonego oreślonej rzy założen, że wymzena wójna ne załają (ry..8-4b). a) b) J j T J T y..8-4 Dwójn na ryn.8-4a znajje ę w zw. ane jałowym, oneważ rzy obecnośc wymzeń wewnąrz wójna rą rzez jego zac ne łyne, ą oznaczene naęca j. Jeśl wójn: złożony rozczony (ry..8-) ą równoważne, wówcza zależność naęca (wyęjącego na ch zacach) o rą źrółowego J ownna być jenaowa w obyw łaach (ry..8-5). W łaze z wójnem rozczonym (ry..8-5b): (.8-) b T T J Srona

33 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych a) J a T b) T J b J y..8-5 W łaze z wójnem złożonym (ry..8-5a) naęce a można wyznaczyć rzez erozycję łaowej ' a owoowanej rzez źróła wewnęrzne wójna (ry..8-6a) oraz łaowej " a wywołanej rzez zewnęrzne źróło J (ry..8-6b). a) b) J ' a J " a J y..8-6 Słaowa ' a je równa oowez naęcowej j w obwoze na ry..8-4a, czyl ma warość równą naęc źrółowem T. W łaze na ry..8-6b źróło rą je ołączone o wójna o rezyancj T (. ry..8-4b). Dlaego łaowa " a je równa loczynow rezyancj T rą źrółowego J. Nałożene łaowych aje wyn: a (.8-) T Porównane wzor (.8-) ze wzorem (.8-) owerza równoważność wójnów złożonego oraz rozczonego łzność zaay Thevenna. ezyancja T wójnów y je równa zero laego wójn równoważny zawera ylo źróło naęca T (or. ry..8-). Naoma wójn y J ne mają moel wyęjącego w zaaze Thevenna..8.. Zaaa Norona Dowolne złożony wójn zawerający źróła rezyory lnowe (ne bęący wójnem y lb J) je równoważny wójnow w oac równoległego ołączena źróła rą J N rezyora lnowego T (ry..8-7). T J Srona

34 J J N T y..8-7 Prą źrółowy J N je równy rąow zwarca wójna złożonego zw (zwro źróła J N wzglęem zaców zewnęrznych je rzecwny o ern mownego rą zw ) (ry..8-8a). ezyancja T, oobne ja w wójn rozczonym Thevenna oowaa rezyancj równoważnej wójna złożonego oreślonej rzy założen, że wymzena wójna ne załają (ry..8-4b). a) b) J zw T zw T y..8-8 Poneważ rą źrółowy J N równa ę rąow zwarca wójna złożonego zw, o można go wyrazć orzez aramery wójna rozczonego Thevenna (ry..8-8b): T J N zw (.8-) T J N T c J y..8-9 Wyznaczymy zależność naęca c na zacach wójna rozczonego o rą źrółowego J (ry..8-9): J (.8-4) c T N T J Srona 4

35 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Prą źrółowy J N można wyrazć rzez T T (.8-), wey: c (.8-5) T T J Porównane z analogczną zależnoścą la wójna złożonego (.8-) owerza równoważność wójnów ołączonych o źróła J : złożonego w obwoze z ryn.8-5a rozczonego wełg zaay Norona w obwoze z ryn.8-9. Dwójn y J, o założen że wymzena wewnęrzne ne załają rzezałcają ę w wójn równoważne rzerwe. Oreślona je węc jeyne onancja G T / T, óra równa je zero. Dlaego wójn równoważny zawera ylo źróło rą J N (or. ry..8-). Naoma wójn y ne oaają moel wyęjącego w zaaze Norona Meoa źróła zaęczego Meoa a je rzyana rzy wyznaczan oowez w jenej, owolnej, gałęz obwo. Sanow zczególne rzyane narzęze, gy należy wyznaczać ą ooweź la różnych aramerów analzowanej gałęz. W erwzej olejnośc razczamy (wg zaay Thevenna lb zaay Norona) wójn złożony, o órego je ołączona gałąź analzowana. Naęne oblczamy ozwaną ooweź w roym obwoze zawerającym gałąź analzowaną ołączoną o wójna rozczonego. Przyła.8-. Wyznaczymy rą 4 la naęjących rzyaów: a) w obwoze z ryn.8-, la wóch warośc naęca źrółowego 4 : 5 V V; b) w obwoze zmoyfowanym orzez włączene rezyora 4 w mejce źróła naęca 4 (w rezlace obwó rzybera oać ja w rzyłaze.7-) la czerech warośc rezyancj 4 : Ω, Ω, 5 Ω Ω; Dane: J A, V, 5 Ω, 5 Ω, 5 Ω J a b 4 5 c 4 y..8- Srona 5

36 a J a b T c 5 T c y..8- We wzych rzyaach zmany oyczą gałęz ołączonej o zaców a c złożonego wójna (ry..8-a). Zgone z zaaą Thevenna wójn en można zaąć wójnem rozczonym z elemenam o aramerach T T (ry..8-b). Naęce źrółowe T je równe naęc an jałowego j (ry..8-a). Połgjąc ę meoą erozycj można zyać: T j J ( 5 ) V a) b) J a b a b c j 5 c 5 y..8- ezyancja T je równa rezyancj równoważnej wójna złożonego rzy ne załających wymzenach, czyl rezyancj męzy zacam a oraz c wójna z ryn.8-b: T ( ) 5 5Ω Naęne rzechozmy o analzy ła rozczonego (ry..8-). Srona 6

37 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych a) b) T 4 T T T y..8- W częśc a) zaana bęze o ła ja na ryn.8-a, w órym ozwany rą 4 : 4 T T 4 V 4 5Ω Dla 4 5 V orzymjemy 4,4 A, a rzy 4 V rą 4,4 A. Naoma w częśc b) zaana orzyamy z obwo na ryn.8-b. Tym razem rą 4 : 4 T T 4 V 5Ω Dla zaanego zereg warośc 4 : Ω, Ω, 5 Ω Ω orzymjemy zereg oowez 4 : A,,5 A,, A,8 A lemenarny ła równań lemenarnym łaem równań nazywamy ła równań wzglęem rąów naęć wzych gałęz obwo. czba newaomych w rrze zawerającej g gałęz wyno g. Wśró równań elemenarnego ła wyróżna ę równana rry gałęz. Poneważ równana ozczególnych gałęz ą nezależne wyęją w lczbe g, elemenarny ła równań ownen eż zawerać g nezależnych równań rry..9.. ównana rry. Węzły ocza nezależne ównana rry, o zbór równań nezależnych wynających z rawa Krchhoffa. Jeśl zazemy równana wg rawa Krchhoffa ( PK) la wzych w węzłów, o w równanach ych aży z rąów gałęzowych wyęje wrone, rzy czym raz ze znaem, a naęne ze znaem. Ne orzymjemy węc zbor równań nezależnych. czba równań nezależnych wg PK je mnejza o o lczby węzłów obwo wyno w. Węzły, la órych worzymy e równana nazywamy węzłam nezależnym, a ozoały węzłem oneena. Srona 7

38 Poneważ całowa lczba równań rry je równa g, o lczba równań nezależnych, óre ownnśmy zyać na baze rawa Krchhoffa ( PK) wyno g (w ). czba ocze nezależnych, czyl ach, la órych zbór równań wg PK je zborem równań nezależnych, je węc eż równa g (w ). W rzya obwoów, óre mogą być rzeawone na łazczyźne bez rzyżowana ę rzewoów (obwoów lanarnych) jeen z możlwych zborów ocze nezależnych worzą wzye wewnęrzne ocza ec. W cel zyana zbor ocze nezależnych w owolnym, równeż nelanarnym, obwoze można ołżyć ę algorymem: ) wybrać owolne oczo obwo, ) nąć z obwo jeną z gałęz ego ocza, ) owarzać czynnośc.. oó z ozoałych gałęz można worzyć oczo. Ocza wybrane w nce. worzą zbór ocze nezależnych. nęce z obwo jenej z gałęz wybranego ocza owoje nezależność wzglęem naęnych ocze, gyż w naęnych równanach ne może wyąć jeno z naęć wybranego ocza. neją meoy wyznaczana ocze nezależnych wyorzyjące eorę grafów [ha.o., Pen-Mn n, 98, Komerowa analza łaów eleroncznych. WNT Warzawa]. Na ryn.9-a rzeawono rzyłaowy obwó, a na ryn.9-b jego graf. ównana rry obwo można zaać na oawe graf o zaznaczen ernów naęć rąów wzych gałęz. a) A b) A B 4 5 B D D 6 5 J y..9- W rozważanym rzyłaze lczba gałęz obwo g 6, a węzłów w 4. Można węc worzyć w równana nezależne wg PK (n. la węzłów A, B ): Srona 8

39 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych (.9-) oraz g (w ) równana nezależne wg PK (n. la ocze lanarnych):.9.. ównana gałęz (.9-) Dla obwo rzeawonego na ry..9-a można zaać g 6 równań: J (.9-) ównana.9- wraz z równanam rry: worzą elemenarny ła równań. ozwązanem ego ła je 6 rąów 6 naęć gałęzowych obwo rzeawonego na ryn.9-a. Poawową waą analzy obwoów orzez rozwązywane elemenarnego ła równań je znaczna lczba równań (g). cążlwa je eż orzeba wybor ernów la wzych oowez gałęzowych, ocza gy zwyle ozjemy jenej lb co najwyżej l oowez. Meoy rąów oczowych meoa oencjałów węzłowych, óre zoaną oane alej, ne ą a łoolwe charaeryzją ę mnejzą lczbą równań. ównana ych meo mogą być orzymane orzez wybór ewnego ozbor ozwanych oowez recję ozoałych newaomych z elemenarnego ła równań. Jena oa olega na możlwośc zyana łaów równań ych meo wro na oawe rry obwo znajomośc aramerów gałęz... Paramery gałęz Paramery gałęz ą arameram moel ogólnonego gałęz. Połgwać bęzemy ę woma moelam: zeregowym (ry..-a) równoległym (ry..-b). Srona 9

40 a) b) J G y..- Moel zeregowy je oreślony la gałęz, óra ne je wójnem y J lb rzerwą. (naęce źrółowe gałęz) (rezyancja gałęz) ą równe aramerom zaęczym Thevenna T T. ównane ego moel można zaać w oac: (.-) Moel równoległy je oreślony la gałęz, óra ne je wójnem y lb zwarcem. J (rą źrółowy gałęz) je równy aramerow J N w źróle zaęczym Norona, a G (onancja gałęz) je równa owronośc rezyancj T. ównane ego moel można zaać w oac: J G (.-) Zna we wzorach (.-) (.-) zależnone ą o oob rzałowana gałęz. Jeśl gałąź zbowana je ylo z rezyorów (gałąź y ), wówcza elemen wymzający w moelach ogólnonych ne wyęje. Gałąź w oac zeregowego ołączena źróła naęca rezyora je gałęzą y. Tabela.- Tyy gałęz (wójnów) ch aramery Ty J G / / / J J zwarce rzerwa Srona 4

41 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych.. Meoa rąów gałęzowych meoa rąów oczowych... Prąowa oać rawa Krchhoffa. Meoa rąów gałęzowych Drge rawo Krchhoffa (.6-) la ocze zawerających P źróeł naęcowych Q rezyorów, a ne zawerających gałęz y J można zaać w oac zawerającej my algebraczne: P Q q q (.-) gze: warość -ego naęca źrółowego, q warość naęca na q-ym rezyorze. Naęce q można zamenć loczynem q q, jena wówcza rzy alan znaów w me algebracznej ne je jż ony erne naęca na rezyorze, lecz ylo erne rą q wzglęem ern obchozena ocza. Przy rzałowan obornowym ern naęca rą wzglęem ern obchozena ocza ą omenne w onewencj, w me algebracznej, zna rze q je nny nż zna rze q q, ą: P Q q q q (.-) To amo równane orzymamy rzy rzałowan źrółowym. Wówcza ern naęca rą wzglęem ern obchozena ocza ą ae ame, ale równane rezyora ma oać (.-4): q q q. Zwyle rzyjmje ę, że neznane ą rąy q, a waome wymzena, laego równane (.-) zajemy w oac: Q q q q P (.-) Wrawze owyżze równane wyna z blan naęć w ocz, jena bezośreno wąże rąy rezyorów z rezyancjam naęcam źrółowym wyęjącym w ocz. Dlaego ę moyfację rgego rawa Krchhoffa można nazwać jego oacą rąową ( PK "P"). Jeśl obwó zawera n J gałęz y J, o można zaać g (w ) n J równań nezależnych wg PK P oraz (w ) równań wg PK. Łączna lczba równań oowaa lczbe neznanych rąów (g n J). Pozwane oowez orzez rozwązane ego ła równań nazwemy analzą meoą rąów gałęzowych. Ten layczny oób analzy je eż nazywany meoą raw Krchhoffa. Srona 4

42 Przyła.-. Zazemy równana meoy rąów gałęzowych la obwo rzeawonego na ryn y..- Na oawe PK można zaać w równana: Na oawe PK P można zaać g (w ) równana: ozwązanem owyżzego ła ześc równań je g 6 rąów gałęzowych.... Koncecja rąów oczowych. Przezałcene oczowe jao forma za PK Z PK wyna (w ) ogranczeń nałaanych na g rąów gałęzowych. Dlaego eż neje g (w ) rąów nezależnych, orzez óre za omocą PK można wyrazć ozoałe rąy. Oazje ę, że za zbór g (w ) rąów nezależnych można eż znać ewne omyślane rąy, óre łyną w oczach nezależnych obwo. Bęzemy je nazywać rąam oczowym. Prąy gałęzowe mogą być wyznaczone zę nałożen rąów oczowych. Zbór równań, w órych ozczególne rąy gałęzowe zaane ą jao my algebraczne rąów oczowych rzeływających rzez aną gałąź no nazwę rzezałcena oczowego. Jeśl z ych g równań wyelmnjemy g (w ) rąów oczowych, o ozoane (w ) równań równoważnych równanom wynającym z PK. Dlaego można znać, że rzezałcene oczowe je zczególną oacą za równań nezależnych wynających z PK. Srona 4

43 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Na ryn.- rzeawono graf obwo z ryn.- zawerającego ocza nezależne. Po wyborze ernów rąów oczowych:,, można rzeawć rzezałcene oczowe: (.-4) y..- Wyelmnowane rąów oczowych z równań (.-4) rowaz o równań: (.-5) óre ą równoważne równanom ( PK) zaanym w rzyłaze.-. Obecne o ła równań wynającego z PK "P" (w obwoze z ryn.-) wrowazmy zależnośc wynające z PK zaanego w forme rzezałcena oczowego (.-4). W rezlace orzymjemy ła równań wzglęem rąów oczowych, óry o orząowan rzybera oać: ( ( 4 ) ) ( ( 4 ) ( ) 6 ) (.-6) ony je fa, że owyżze zależnośc można zyać w nny oób. Sformłjemy regły ozwalające na wyznaczene wółczynnów rzy newaomych oraz wyrazów wolnych bezośreno na oawe chema obwo oraz aramerów jego gałęz. egły e anową reść meoy oczowej. Najerw omówmy oób oęowana w oneen o obwoów ne zawerających gałęz y J. Srona 4

44 Tworzene równań meoy oczowej la obwoów bez gałęz y J a) Wyberamy ocza nezależne ern rąów oczowych. b) łaamy n g (w ) równań wzglęem rąów oczowych: n n n n nn nn nn nn nn (.-7) gze: rezyancja włana -ego ocza je równa me rezyancj gałęz (ab..-) wchozących w ła -ego ocza, j rezyancja wzajemna męzy oczam oraz j je równa me rezyancj gałęz (ab..-) wchozących jenocześne w ła obyw ocze (wzęa ze znaem jeśl rąy oczowe w gałęzach wólnych mają nezgone ern), rzy czym j j, naęce źrółowe -ego ocza je równe me algebracznej naęć źrółowych gałęz (ab..-) wchozących w ła -ego ocza (zna w me algebracznej oyczy źróeł naęcowych zwróconych rzecwne o ern rą oczowego). Kerjąc ę owyżzym wazówam można worzyć ła równań (.-6) bez orzeby wyrowazana go z meoy rąów gałęzowych. ła równań meoy oczowej można równeż zaać macerzowo: o (.-8) o gze: [ o] macerz rezyancj oczowych (włanych wzajemnych), [ o] weor rąów oczowych, [ o] weor naęć źrółowych ocze. Macerz [ o] je macerzą waraową. Na jej głównej rzeąnej znajją ę rezyancje włane ocze, a ozoałe elemeny ą oowenm rezyancjam wzajemnym. Macerz [ o] obwoów zbowanych z rezyorów je ymeryczna, oneważ rezyancje j oraz j ą jenaowe...4. Tworzene równań meoy oczowej la obwoów zawerających gałęze y J Pojęce rąów oczowych je zwązane ze rrą, laego można ę nm ołgwać równeż w obwoach zawerających gałęze y J. wzglęnając algorym rowazący o worzena ła równań wzglęem rąów oczowych wazany je a wybór ocze, aby aża gałąź y J wchozła ylo w ła jenego ocza. Wówcza rąy ocze zawerających gałąź y J ą znane. czbę gałęz y J oznaczymy rzez n J, wówcza lczba neznanych rąów oczowych je równa g (w ) n J. ównana worzymy wełg o Srona 44

45 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych zaa oanych w nce.. la ocze z neznanym rąam oczowym, ale wzglęem wzych (równeż znanych) rąów oczowych. Zrezą worzene równana la ocza z gałęzą y J byłoby nemożlwe, oneważ rezyancja naęce źrółowe aej gałęz ą neończone (. ab..9-). Kolejność oęowana je naęjąca: a) Wyberamy n g (w ) n J ocze nezależnych ne zawerających źróeł rą oraz n J ocze zawerających o jenym źróle rą. b) łaamy n równań wzglęem g (w ) rąów oczowych, z órych n J je równych oowenm rąom źrółowym: n n n nn nn nn nn, n, n n, n J J J, nnj, nnj n, nnj J nj J J nj nj nn (.-9) gze:,n rezyancja wzajemna męzy oczem z neznanym rąem a oczem ze znanym rąem J (,..., n J). Do rozwązywana ła równań rzyęjemy o rzeneen łanów zawerających rąy źrółowe J,..., J nj na ronę wymzeń. W zae macerzowym: Po orząowan: J o (.-) o oj J o o o o J o (.-) Przyła.-. Meoą oczową wyznaczymy rąy oraz 4 w obwoze oazanym na ryn.-. Dane: J A, V, J y..- Srona 45

46 Dla anego obwo g 6, w 4, n J. Wyberamy n g (w ) n J ocza w łaze bez źróła J jeno (n J ) oczo la źróła J. W ocz rzecm J A. ównana meoy oczowej: ( ( ) ) ( ( ) 4 ) 5 ( ) J ( ) J W zae macerzowym, o orząowan wg (.-) orzymamy: a o oawen anych lczbowych: ozwązanem ła równań ą warośc:, A oraz,5 A. Po nałożen rąów oczowych oblczamy ozwane rąy: 4,5 A oraz,7 A Tae ame oowez zyalśmy o analze ego amego obwo meoą erozycj w rzyłaze Meoa oencjałów węzłowych... Przezałcene węzłowe jao forma za PK la całego obwo Przezałcene węzłowe zawera g równań wyrażających naęca na gałęzach obwo rzez oencjały węzłów. Na rzyła la obwo, órego graf rzeawono na ryn.-, o rzyjęc węzła D za węzeł oneena, rzezałcene węzłowe ma oać: B A A B B A J (.-) Wyelmnowane z rzezałcena węzłowego oencjałów rowaz o zyana g (w ) równań wzglęem naęć na gałęzach obwo (.9-). Przezałcene węzłowe je węc ewnym oobem za PK la całego obwo. W obwoach ne zawerających gałęz y można wzye rąy gałęzowe wyrazć za omocą naęć gałęzowych aramerów gałęz (.-). Srona 46

47 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Poawając e wyrażena o równań rry wynających z PK orzymamy ła g równań wzglęem naęć gałęzowych obwo. czbę newaomych ławo zmnejzyć orzez zaoowane rzezałcena węzłowego. Wówcza orzymamy ła w równań wzglęem oencjałów. A B 4 5 D 6 y..- Na rzyła la obwo rzeawonego na ryn.- można zaać równana gałęz bezośreno z wyorzyanem oencjałów: () () J 4 4 () 4 ( ) (. - ) ( 4) y Naęne oawamy je o równań wynających z PK la węzłów () (). Po orząowan orzymjemy ła równań wzglęem oencjałów: 4 J 4 4 (.-) Powyżze zależnośc worzą ła równań meoy oencjałów węzłowych. Jena oą meoy je o rocery, óra ozwala na zaane równań bezośreno na oawe chema obwo. Srona 47