Rozwiązania zadań z ksiąŝki pt. Podstawy matematyki ubezpieczeń na Ŝycie T.Rolskiego, B.Błaszczyszyna (dodatkowo teoria)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozwiązania zadań z ksiąŝki pt. Podstawy matematyki ubezpieczeń na Ŝycie T.Rolskiego, B.Błaszczyszyna (dodatkowo teoria)"

Transkrypt

1 Jab Grabow Rozwązaa zaań z ąŝ Poawy aeay bezeczeń a Ŝyce TRoego, BBłazczyzya oaowo eora Raor echczy r 8 Kaery Sayy Wrocław 8

2 Coyrgh by Jab Grabow a Dearae of Sac Wrocław 8

3 S reśc Rozzał Teora z aeay bezeczeń a Ŝyce Rozzał Rozwązae zaaa z rozzał : Eeey aeay faowej 7 Rozzał Rozwązae zaaa z rozzał : Tabce rwaa Ŝyca 8 Rozzał Rozwązae zaaa z rozzał : Ubezeczea a Ŝyce 8 Rozzał 5 Rozwązae zaaa z rozzał 5: Rey Ŝycowe 7 Rozzał 6 Rozwązae zaaa z rozzał 6: Sła rezerwy eo 89 Rozzał 7 Rozwązae zaaa z rozzał 7: Sła rezerwy w rayce aaraej Rozzał 8 Rozwązae zaaa z rozzał 8: Ubezeczea a we oób 6 Rozzał 9 Rozwązae zaaa z rozzał 9: Ubezeczea weoocyje Lerara 5

4 Rozzał Teora z aeay bezeczeń a Ŝyce Orócz rozwązaych zaań, ejzy raor zoał rozzerzoy o eeey eor, óra ława zrozee eoreyczych aeów aeay bezeczeń a Ŝyce W częśc ej oae ą owoy eórych wzorów, ch właośc, óre w erarze zwązaej z aą eayą zwye oawae ą bez wyjaśeń W ejzy raorce oowaa je erooga zarooowaa w Raorce Techczy Kaery Sayy r 8 [] Maowce eywość,a e aęŝee czy ła, a aŝe warość aaa zaa warośc obecej Przy rozwązywa eórych zaań orzyao z aych zawarych w abcach rwaa Ŝyca zawarych w ąŝce Zazwyczaj bęą wyae yo oree warośc orzebe o rozwązaa zaań Po oyczy roozycj bowy za aaych warośc wóch re Neończoa rea aejąca z góry, w órej łaośc aęją razy w ro, ae e ą ałe, yo aeją razy w ro załaay, Ŝe ze ając czbę całową, Ŝe, ą czba całowy Ozaczy aą reę rzez D a Wyoość łaośc ch cza rzeawy w abe: Tabea Cza / /-/ / // /-/ / // /-/ I Gze > / / / Płaośc Porajy ą reę jao cąg re ałych, gze erwza łaość / je ooywaa w oree o o /-/ rga Płaość / w oree / o /-/ Koeje warośc aae ozw re ałych, łaych o /, / wyozą: W,

5 5 W, W, W, I Wać, Ŝe: W W W a D Poawając, za W,, warośc obczoe wyŝej, orzyjey: a D Poowjąc, wzór a eończoą reę aejącą z góry, w órej łaośc aęją razy w ro, ae e ą ałe, yo aeją razy w ro załaay, Ŝe ze ając czbę całową, Ŝe, ą czba całowy, wyo: D a Da orzyjey: a D Je o eończoa rea aejąca z góry, w órej łaośc aeją owo rorocze o

6 6 Neończoa rea aejąca z oł, w órej łaośc aęją razy w ro, ae e ą ałe, yo aeją razy w ro załaay, Ŝe ze ając czbę całową, Ŝe, ą czba całowy Ozaczy aą reę rzez a D Wyoość łaośc ch cza rzeawy w abe: Tabea Cza Płaośc / /-/ / // /-/ / // /-/ / I / / / Gze > Porajy ą reę jao cąg re ałych, gze erwza łaość / je ooywaa w oree o / o / rga Płaość / w oree // o / Koeje warośc aae W re ałych, łaych o /, / wyozą: W,, W, W, W, I Wać, Ŝe: W W W a D

7 7 Poawając, za W,, warośc obczoe wyŝej, orzyjey: a D Poowjąc, wzór a eończoą reę aejącą z oł, w órej łaośc aęją razy w ro, ae e ą ałe, yo aeją razy w ro załaay, Ŝe ze ając czbę całową, Ŝe, ą czba całowy, wyo: D a Da orzyjey: Da Je o eończoa rea aejąca z oł, w órej łaośc aeją owo rorocze o Woe: Zazey zaeŝość ęzy woa oay rea: a D a D Da orzyjey: Da a D Zachoz rówość [ ] F e µ, a Dowó: [ ] µ

8 µ [ ] e [ ] µ o Zachozą aęjące rówośc a aayczych raw śereośc : Prawo e More a De More oował ee ayaego we jeo ω a Rozła T ał być wey jeoajy a rzezałe [,ω ] Zachozą wey aęjące wzory: -, ω ω Dowó: a Da rozła jeoajego F, a b May: b a - µ ω Pr T > F ω ω Dowó: ' µ ω ω ω - ω Dowó: ω ω ω Prawo Goerza goerz oował, Ŝe eywość zgoów je wyłacza oac µ Bc a >, gze B>, c> ą ewy ały Zachozą wey aęjące wzory: B - e c, gze c Dowó: e e B e Bc c c c 8

9 - e c c Dowó: c Bc B c c e e e c Prawo Maehaa Maeha oował,ŝe eywość zgoów je wyłacza, owęzoe o ewą ałą, óra a erreację wyaowej eywośc zgoów Zachozą wey aęjące wzory: B - e c, c Dowó: e e B Bc c c - c c e e c Dowó: e Bc e [ ] B c c B c B c c c e c c e Prawo WebaWeb załaał, Ŝe eywość zgoó rośe ja ewa oęga : µ, a, gze >, > Zachozą wey aęjące wzory: - e, gze Dowó: - e e e, gze Dowó: e e e 9

10 Zachoz rówość Dowó: K K K K K K K K Pr Pr Pr Pr Pr Pr [ ] K K Pr Sełoa je hoeza agregacj jeś K K K Pr Pr, a całowego, węzego o zera Przy hoeze agregacj H : [ ] 5 Nech ay bęze rozła K Wówcza rozła T eła HB wey yo wey, gy zachoz w óry,, : [ ] [ ] [ ] Dowó: Waoo, Ŝe [ ], ą o rzezałce ay [ ] Waoo aŝe, Ŝe [ ], ą orzyjey [ ] MoŜey eraz zaać: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Orzyaśy : [ ] Przezałćy ją aej : [ ] [ ] Wey, Ŝe rzy HB [ ] [ ] Daego:

11 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 6 Rozła T eła hoezę jeoajośc HU, jeś fcja Pr T > zeej je cągła owa w rzezałach [,, Zae je fcją cągłą łączącą oeje y,, a -,, czy Przy załoŝe hoezy jeoajośc HU zachozą rówośc: [ ], a <,, Zaąśy za za by rozwązae było barzej czyee Dowó: Waoo, Ŝe Przy HU Zazey : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] / / [ ] µ,a <,, Dowó: Przy HU Weząc,Ŝe ay: [ ] µ ZawaŜy, Ŝe rzy załoŝe HU oŝa zaać:

12 [ ] [ ] [ ], a < Dowó: Lewa roa rówaa wyraŝa aęjące rawooobeńwo: [ ] T < Pr Prawą roę rówaa aeŝy zerreować jao: Pr < T < Pr T < Pr T T < Pr < Pr T [ ] [ ] [ ] Waoo, Ŝe rzy HU ay, aego rawą roę oŝey zaać: Pr < T < Pr T [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 7 I : : : I Uwaga: wzór e zoał źe zaay w rzerabaej ąŝce W ąŝce je zaae błęe w aejący oób I :, owo być I : co je rówowaŝe z : : Dowó : [ ] [ ] [ ] [ ] I

13 Dowó : Przeawy : I za oocą ry: Ta a rye orzyay a Rozzy : I : [ ] [ ] [ ] : I : : 8 Przy załoŝe hoezy HU ay zaeŝość: δ Dowó: Uwaga: w owoze zawary w ąŝce je błą, oewaŝ w cała owa być zaaa [ ] e δ Uowoy ay wzór w y oób Ŝ wazay w ąŝce: E E E δ og [ ] [ ] o [ ] [ ] [ ] -

14 9 Day je wzór Dowó: [ ] [ ] j j j j Sełoa je hoezy jeoroej oacj HJP jeś T T T Pr Pr, a, węzego o zera Przy załoŝe hoezy jeoroej oacj HJP ay : z z z z z z z z µ δ µ δ µ Dowó: I I µ µ µ Wyzaczyy ozczegóe łaowe I I Najerw obczyy : y y y y µ µ µ µ e Czy I wyo: I µ µ µ µ µ µ I wyzaczyy orzyając z całowaa rzez częśc:

15 5 I µ µ µ µ δ µ Wyjaśy jezcze ja orzyaśy µ δ : µ µ µ µ µ µ δ µ δ Oaecze ay: z z z z z z z z µ δ µ δ µ Przy H Zachoz rówość Dowó : [ ] Przy H Zachoz rówość I I Dowó: [ ] I [ ] j j j j j

16 6 j j j j j j j j I Przy HU zachoz rówość [ ], a < Dowó: Ogóe zazey [ ] : [ ] [ ] [ ] ZawaŜy, Ŝe rzy załoŝe HU oŝa zaać: [ ] [ ] [ ] Dowó właośc oaej owyŝej zajje ę w ce 6 Dzę ej właośc, a aŝe rówa [ ], oŝey [ ] zaać w aęjący oób: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Paęając, Ŝe rzy HU zając wzory a jeorazowe ła eo JSN bezeczeń łaych a oec ore śerc, [ ] zazey oaecze : [ ]

17 Rozzał Rozwązae zaaa z rozzał : Eeey aeay faowej Zaae W cąg 5 a ooao wła/wyła wełg abe: Obczyć warość aaą zaowaą ych wła, gy % Rozwązae Korzyay ze wzorów zwązaych z rzeływe eąza, gze: - właa w ro ;,,, B - wyłaa w ro, C G S B, j j j C C j Ro 5 Właa - - warość aaa rzeływ eąza, j j - zaowaa warość rzeływ eąza W zaa rzeba obczyć G 5 S 5 Porzeby o ego je czy yoa, óry rówa ę, 96 Korzyając z aych zawarych w abe aej w zaa, orzyjey: 5 G,96,96,96,96,, 5 5 S,,,, 5,7 5 Zaae Obczyć zaowae warośc o rzech aach a rzeływów eąza, B C wełg abe Wara C C C B C Przerowazć owó, Ŝe obczae aaych zaowaych warośc rowaz o ego aego orząowaa Do obczeń rzyjąć 6% Rozwązae Zaowae warośc ą rówe ooweo o aach: - a wara : S,6,6,6 69, 9, 7

18 - a wara B: S,6,6,6 7,, - a wara C: S,6,6,6 7, 5 Warośc aae ą rówe a, 9 :,6 - a wara : G,9,9 9,, - a wara B: G,9,9, 596, - a wara C: G,9,9, 76 Obczee aaych zaowaych warośc a ozczegóych waraów rowaz o ego aego wo W rozaryway rzya ajezy je wara C Zaae Obczyć warość aaą W aęjącego rzeływ eąza: w aach arzyych,, włay w wyoośc, w aach earzyych,, włay w wyoośc ½ Zaać owyŝzą warość aaą rzy Ŝyc ybo rey bezerowej oraz czya yoa Rozarzyy rzeływ eąza z, ae w oree a, j gy,, Obczyć zaowaą warość ZW o wóch aach Rozwązae W- warość aaa W,5,5,5 ZW- zaowaa warość,5 5 a,5 ZW,5,5,5 Zaae Obczyć efeywą oę roceową, jeś oa oaa wyo 5% oraz: aazacja je waraa, aazacja je ółrocza, aazacja je cągła Rozwązae Noaa oa roceowa wyo 5 % 5 8

19 ,5,595 5,95%,5,565 5,65% δ,5 e e,57 5,7% Zaae 5 Przyśćy, Ŝe łaay eąze w ba, gy eywość oy roceowej δ,5 Po ja oree owoy az wła? jeś eywość oy roceowej wyo δ,? Załaay oe aazacj cągłej, Rozwązae Wzór a aazacja cągłej je aęjący: e δ Gze: - - aał w oree, - - aał w oree aał ocząowy, - δ - eywość oy roceowej δ co, - - ore W zaa δ, 5 Kaał zoae owojoy jeś, oawając o wzor ay : JeŜe δ, o 6, 9,,5 e,5 e,5,86,5 Ooweź: Przy δ, 5 aał zoae owojoy o oree, 86 Załaając, Ŝe ore oyczy a o aał zoae owojoy o ooło aach Da δ, o 7 aach 9

20 Zaae 6 Przeływy eąza ewej weycj ą aęjące: ro ro ro ro ro Czy a weycja je ołacaa a ogoś, o oŝe oŝyczać ozczęzać rzy roczej oe roceowej 6%? Zaeźć warość graczą oy roceowej, rzy órej a weycja rzeaje być ołacaa Wazówa Trzeba rawzć, czy warość aaa ej weycj je oaa Rozwązae Obczyy warość aaą W ego rzeływ eąza: 6 5 W 5 5,7,6,6,6,6 Ooweź: Iweycja a e je ołacaa, oewaŝ warość aaa je jea wazówa: wy aego rzeływ eęŝego ajeej obczać za oocą aaora faowego b rogra oerowego Ece Zaae 7 Z ył rey bezerowej ooywae ą aęjące łaośc: - a ońc erwzego ro óźej co aa, - a ońc erwzego ro óźej co aa, - 5 a ońc erwzego ro óźej co aa, - 7 a ońc erwzego ro óźej co aa Soa roceowa wyo 5 % Zaeźć warość aaą rey- oać ajbŝzą warość Ooweź 7,5, B 7,68, C 76,58, D 77,56, E 8, Rozwązae W- warość aaa W W zaa 5%, czy, Poawając o wzor a W warość,5,95895 orzyjey W 77, 5699 Orzyaa warość ajbŝza je warość 77,56 Prawłowa ooweź o D

21 Zaae 8 Ba rooje aęjący ora Ooba 55-ea właca rzez a łaę roczą Π z góry aęe o 65 ro Ŝyca orzyje roczą reę bezerową w wyoośc Zaeźć Π, jeś Π je łaą eo, z obczoą rzy war, Ŝe warość aaa całego rzeływ wyo Przyjąć 5% Rozwązae W zaa ay rzeływ eąza : Π, Π,, Π,,, Π, B,, B, B,, 9 B Gze o właa, a B o wyłaa a, Załaay, Ŝe rocza rea bezerowa je łaa z góry Obczay warość aaą W ego rzeływ eąza : Zgoe z reścą zaaa W Z ego rówaa wyzaczyy Π : 9 j j j W Π, czy 9 j j j Π j j 9 Poawając Π 9, Π, Π, Π bo e oŝe być rówe orzyjey Π, 5,5,5 Ooweź: Szaa łaa eo Π rówa ę,5 Zaae 9 Przewjąc ałą oę facj %, aoo, Ŝe jeorazowa łaa łg j o wóch aach wyee 9 j Reaa rocza oa oz łg wyoła : 5,8%, jeś ozo facj był zgoy z rzewywaa;,%, jeś w erwzy ro oa facj wyoła %, a w rg 8%; 9,%, jeś śrea rocza oa facj wyoła 6% Prawzwe ą jeye :, B, C, D, E Ŝae Wazówa W rzya wyęowaa facj wzee obczea aeŝy rowazć w zw ały eąz MoŜa węc woę warą oae R w chw wyrazć w aay eąz ołgjąc ę zaeŝoścą

22 ~ R R, Gze f je oą facj Wówcza R ~ je reaą waroścą w chw woy oaej R, wyraŝoą w ały eąz Rozwązae Korzyając z wzor f wyraŝoą w ały eąz obczay : ~ 9 f ~ R R a reaą warość R ~ w chw woy oaej R, R 7,65, Czy 7, 65 oa oz łg, ą,98% gze o reaa rocza ~ 9 R,67 Czy, 67,,8 ~ 9 R 9,68 Czy 9, 68,6,6, ą,%, ą 9,% Ooweź: B Zaae Przez, >, ozaczoo roczą oaą oę roceową z -roą aazacją oee w cąg ro, rzez ef ozaczoo oowaającą jej oę efeywą, zaś rzez c rówowaŝą oę oroceowaa cągłego eywość oy roceowej Jeś >, o < ef, Jeś > oraz o c < c, Jeś ef ef o c c, o Jeś ef ef c Prawzwe ą jeye:, B, C, D Ŝae, E wzye Rozwązae W zaa orzyać bęzey z rówośc Prawa, ef e c Dowó: Sorzyay ze wzor Newoa : a b a a b a b b

23 May: ef > Są orzyjey, Ŝe ef > a > Nerawa, Ŝe jeś > oraz o c < c Dowó: Korrzyła Nech, oraz, wey:, e c, e c,7 e c,5 e c Prawa, Ŝe jeś ef c,99578 > c, 9758 ef o c c Dowó: Wey, Ŝe e c e c Korzyając z załoŝea ef ef ef, ay ef c c e e, a o je rówe c Nerawa, Ŝe jeś o ef ef Dowó: Korrzyła Korzyając z Czy c c ef Ooweź: Prawłowa ooweź o C c ef c c jeŝe, c,95 ef o: Zaae Doojey a rzea w oęach -ygoowych wła wyła w wyoośc o/z fz erwzą oeracją je w chw obecej właa Po aach owaa warość aał zgroazoego w fz wyo 5 wzgęay oaą właę a oec rgego ro Zaeźć roczą efey6wą oę oroceowaa fz Poać ajbŝzą warość ro eęcy8 ygo Ooweź ooweź e je jeozacza, B %, C %, D 5%, E 6% Rozwązae Porajy jao -ygową oę roceową załóŝy, Ŝe ygoe o oawowa jeoowa cza, aby bazować a czbach całowych Szaa oa roceowa bęze rówowaŝa azej -ygoowej oe roceowej

24 May ZW [ ] [ 9 9 ] Waoo z reśc zaaa, Ŝe ZW5 Wyaczyy : 5 5,5, 5 5 Obczyy zaą oę ef za oocą rówośc: Są orzyjey,5 5% Ooweź: D ef ef Zaae Iwejey aał rówy w fz oroceoway w oób cągły z roczą eywoścą oroceowaa w -y ro rówą δ Zaeźć wzye warośc δ ae, Ŝe oe zaowae a oec ąego ro wyarczą o zaea rey cągłej 5-eej z roczą eywoścą łaośc w oece rówą 5 δ, rzy roczej eywośc oroceowaa δ Ooweź δ og5 / 5, B δ og5 / 5, C δ og5 / 5, D δ b δ og5 / 5, E Ŝaa z owyŝzych Rozwązae Z warów zaaa orzyjey, Ŝe e 5δ Ooweź: E e 5δ 5δ e δ e δ e5δ 5δ δ 5 e 5δ 5e 5δ 5e δ 5 δ 5 5δ 5 δ δ δ 5 5 a 5

25 Zaae Kóre z oŝzych oŝaośc ą rawzwe:,, 6 8 I, 7 8 Ooweź yo, B yo, C yo, Dyo, E Ŝaa ośró oowez, B, C, D e je rawzwa Rozwązae Sorzyay z rówośc a May: a a a ToŜaość erawzwa Sorzyay z wzor 6 Soowo rozwąŝey aa oŝaość: 6 6 5

26 6 6 6 Są wać, Ŝe oŝaość je erawzwa, bo 6 a Waoo, Ŝe Ia oraz 8 I je rawzwa: a > I 8 I a7 7 Ia Srawzy czy oŝaość

27 ToŜaość je rawzwa JeŜe o oŝey zaać,ŝe: Czy aogcze Czy Zaojey e właośc o oreśea czy rawzwa je oŝaość: Przezałcay rówae o oac: Poaway orzyjąc: ToŜaość je rawzwa

28 Rozzał Rozwązae zaaa z rozzał : Tabce rwaa Ŝyca Zaae Przyjąć HU obczyć,5, weząc Ŝe 5, 6, 7, 7 ae ochozą z abcy Haeya- arz abca D z oa D z ąŝ Poawy aeay bezeczeń a Ŝyce TRoego, BBłazczyzya Rozwązae Przy hoeze jeoajośc HU ay : Zaae rozwązjey aęjąco:,5,5 [,5,5 ],5,5,5 Waoo aŝe, Ŝe, 5,5,5,5,979,5,956,8, 677 Zaae Przyzły cza Ŝyca ooby owo rozoej a rozła wyłaczy z araere, Obczyć: rawooobeńwo śerc e óźej Ŝ w 5 ro Ŝyca, rawooobeńwo oŝyca 8 a, rawooobeńwo śerc ęzy 5 a 8 roe Ŝyca Rozwązae JeŜe rzyzły cza Ŝyca a rozła wyłaczy o: λ, F λ e Dae je, 5 F 5 e, 6 5,8,8 e e, ,8, 5 e e, Zaae Weząc, Ŝe zachoz HCFM, zaeźć a oawe TTś-PL97 arz abca D:,5 56, µ 58, 75 Rozwązae Hoeza rzezała ałego aęŝea HCFM zachoz jeŝe zeej w rzezałach,,, czy µ [ ] je ałą fcją 8

29 JeŜe zachoz HCFM o µ µ [ ] [ ] [ ] May: 9759, ,5 57, 56 Przy załoŝe HCFM µ [ ] µ [ ] [ ], O µ <,, 59 µ 58,75 µ 58 58,9969,7 58 Zaae Na oawe TTś-PL97 abd obczyć,5 5 rzyjąć HU Rozwązae,5,5,5,5, , Zaae 5 Obczyć,,,, rzyjjąc, Ŝe rozła rwaa Ŝyca ooby owo rozoej oega raw Goerza z araera B,655 c,786 Porówać z abca TTś-PL97 abd Rozwązae JeŜe zachoz rawo Goerza o c c B,655 c,786 Obczay, 7 c,786 Poawając ae o wzor orzyjey: e Dae ą B,655,,7,786,786, 9996 e,,7,786,786, e,,7,786,786, e, 9

30 ,7,786,786, e W orówa warośc rawooobeńw zawarych w TTś-PL97 warośc rawooobeńw obczoych wg rawa Goerza róŝce ą ewee Zaae 6 Ozacować e, jeś cza Ŝyca je oay rzez TTś Haeya ab D Ja je oŝwy błą owooway rwae ę abc a 8, jeś rzyjjey, Ŝe ω? Rozwązae May e 99 Poawając ae z TTś Haeya orzyjey obczea wyoae w rograe Ece : 9 e,9 Z abc oczyjey, aego błą a 8,, 99 je ejzy Ŝ 5 /, 8 Zaae 7 Załaając, Ŝe eywość śereośc je ałą a 5 oraz e 5, obczyć 6 Rozwązae Z reśc zaaa waoo, Ŝe eywość śereośc je ała a 5 Wyzaczyy o e 5 w aęjący oób o e 5 o Waoo, Ŝe e 5 aego e Szae rawooobeńwo wyo Zaae 8 Zaeźć µ 65, 5 rzy załoŝe: µ e µ e µ µ ą ay, Ŝe µ µ 6 e µ e e o µ

31 HU, HCFM, HB, Jeś rozła obcęego cza Ŝyca je ay rzez TTś-PL97 ab D Rozwązae HU HB zoały wyjaśoe w rozzae ejzego oracowaa Naoa hoeza rzezała ałego aęŝea HCFM zachoz jeŝe rzezałach,,, czy µ µ [ ] [ ] [ ] µ je ałą fcją zeej w Przy załoŝe HU zachoz µ [ ] [ ], O µ <,, May: µ 65, ,5 65 [ ] [ ] 8599, , , Przy załoŝe HCFM µ [ ] µ [ ] [ ], O µ <,, May: 8886 µ 65,5 µ 65 65, Przy załoŝe HB µ [ ] [ ], O µ <,, May: [ ] µ ,5,8, ,75, Zaae 9 Zaeźć, jeś oraz: µ a µ a a b b Rozwązae Waoo, Ŝe oraz e Wyzaczyy w aęjący oób: µ Dae ą µ a e µ

32 a e a e Dae ą µ a a b b e µ e a a b b ab ab ab ab e ab ab ab a b ab ab ab ab e ab ab ab ab ab ab [ ab / ab ab ab ab ]^ a b a b a b Zaae Wyzaczyć , jeś, a Rozwązae Sorzyay z wzor Dae je Zaae Obczyć rawooobeńwo, Ŝe 7-ae rze ęzy 7,5 a 7,5 roe Ŝyca, jeś,, 5 7, 7 oraz zachoz :

33 HU, HB Rozwązae W zaa rzeba obczyć,5 7 Dae ą 7, 7, 5 Przy za załoŝe HU zachoz rawooobeńwo:,5 7 5,57,57,5 7,57,57 7, 7 Obczay zae,5,5,5,5,,5,, Przy za załoŝe HB zachoz zae rawooobeńwo: Obczay,5 7 5,57,57,5 7,57,57 7, 7,5,5,5 7,5, , Zaae Obczyć e oraz e o, gy: T a rozła wyłaczy z araere µ, T eła rawo e More a Rozwązae o Zae ą wzory e oraz e JeŜe T a rozła wyłaczy z araere µ o e µ May o e e µ e µ [ ] µ, µ e µ e e µ e µ e µ Jeś T eła rawo e More a o o ω e e ω ω [ ] ω ω oraz ω May ω βω ω ω ω, ω ω ω ω ω ω

34 Zaae Obczyć,5 56, 56, 5 56, 5, załaając, Ŝe rawo Ŝyca je oae rze TTś-PL97 ab D oraz: HU, HCFM, Zaoberwować ewee róŝce wyów obczoych rzy róŝych hoezach Rozwązae Korzyając z załoŝea HU obczay ojąc oowee wzory ozae we wcześejzych zaaach: ,5 56,5 56,5,5, 989, 56 97, , , , ,5,5,5, , , , ,5 98, , ,5 56,5 56,5,5, ,5, ,5 56,5, ,5 56,5, , ,5, ,5, , ,5,5, ,5 97 Korzyając z załoŝea HCFM obczay :,5,,5, , , 5 -, ,5, ,5, 9869,5, 5,5, ,5, -

35 56,5,5,5 56, ,556,5, 5,5 56, , , , ,5, , ,5,7555 Zaae Nech µ, 56 oraz µ, 678 T eła rawo Goerza Obczyć 5 Rozwązae B W rawe Goerza e c c Korzyając z aych zawarych w c zaa obczyy c B,a oe wyzaczyy zae rawooobeńwo May ae,56 µ, 56 Bc µ, 678 Bc W erwzej rówośc B, c,678 w rgej rówośc B Wyzaczyy c : c,56,678 c c c,9,678 Poawając c,9 o rówaa B orzyjey B, c Mając wzye orzebe ae obczyy zae rawooobeńwo: 5 5,9,9, 87669, 5 e,9 Zaae 5 Korzyając z abc TTś-PL97 ab D, oać ozacowae a 58, oraz Uzaać z jach hoez aeŝy orzyać, 58,,

36 Rozwązae Do rozwązaa zaaa aeŝy orzyać z hoez eroacyjych Sorzyajy z HCFM Korzyając ze zaych wzorów aych z TTś-PL97 zazey: , Czy: 58 58,99 Oczyjąc z abcy ozacjey : 58,99, Mając ae 777 oŝey ozacować 58 : 58 Poobe oęjey zacjąc Są ay : : 58 58, , , ,

37 58, Szae rawooobeńwa ozacjey w aęjący oób rzy załoŝe HCFM: , , , 856 Waoo, Ŝe Korzyając z warośc ozacowaych wcześej ay: , Zaae 6 Uzaać aczego oŝa Ŝywać rzybŝea µ ZałoŜyć HCFM Rozwązae Przy HCFM zachoz µ [ ] µ [ ] [ ], <,, PoewaŜ je be zer, aego oŝa zaać µ Zaae 7 Uzełć aęjącą abcę rwaa Ŝyca rzy załoŝe HU, weząc, Ŝe, 99969,, : 98587,5,5 7

38 Rozwązae 98587, , Dae je, Są,99969, Wyzaczy, 5 Waoo, Ŝe :,5,5 Czy,5,5 je ae rówe My wyzaczyć :,5,5 Poawając o wzor wyzaczay, 5 : Dae je, Wyzaczy :,5,5,, , ,5, , Przy HU ay,5,5,, 9998 Wyzaczy, 5 :,5, ,5,5 Dae je, Są,, Wyzaczy : 98566,

39 Zaae 8 Na oawe oaej abe rzy załoŝe HU obczyć 5 5 5, ,,,,,,, Rozwązae Korzyając z aych zawarych w abe obczay:, Waoo, Ŝe rzy HU,, May: 5, 5 5, , ,7, ,7, 9 Korzyając z aych zawarych w abe obczay: 5,, Zaae 9 Obczyć e o ab D Rozwązae a 7 ; orzyać z oy zawerającej z abcy TTś-PL97 o Sorzyay ze wzor e e, gze Korzyając z aych z abcy załoŝea ae z abcy, orzyjey o o e e, zę óre oŝey wyorzyać o o 7,66667 e 7 7 e8,66667,667 9

40 Zaae Korzyając z abc TTś-PL97 abd oraz TTś-PL97 ab D, obczyć,5 55 oraz,5 55 Rozwązae Przy załoŝe HU:,5,5,5, ,5 55,55,5 5,5 5,5,5, , Da TTZ-PL97 : ,5 55,5,5, 9, ,5 55,5,5, Da TTZ-PL97 : ,5 55,5,5, 7866, ,5 55,5,5, Zaae W oacj eywość zgoów je aa wzore µ a <, B a w oacj B wzore µ a <, gze je araere Waoo oao, Ŝe oob z oacj ają rze obą rzecęe o % węcej Ŝyca, Ŝ oob z B w y ay we Wówcza:,, B,5, C,, D,, E Ŝaa z owyŝzych Rozwązae W reśc zaaa ay oaową forację, Ŝe oob z oacj ają rze obą rzecęe o % węcej Ŝyca, Ŝ oob z B w y ay we Wyorzyjąc ą forację y zać warośc oczewae ob oacj by obczyć e o y zać rawooobeńwa, Ŝe -ae rzeŝyje węcej Ŝ a ZałóŜy hoezę jeoroej oacj HJP czy Pr T > Pr T > T >, a órej e µ

41 Da oacj B: e µ e e[ ] e[ ] e Ware < ozacza, Ŝe góra graca całowaa we wzorze a warość oczewaą wyo - Czy a oacj B warość oczewaa wyo: e o B [ ] B Jeś o eywość µ je rówa µ Da oacj warość oczewaa wyo o e Oaecze ay Są, o e o B,e, Ooweź: C Zaae Ieywość zgoów oje fcja µ be, gze araer b> Da jaej warośc araer b rawooobeńwo ego,ŝe -ae rzeŝyje aęych a, o czy rze w cąg oejych 5 a, wyo r, oraz rawooobeńwo r Ooweź 5/ e5 e, B 5/ e5 e, C 5 / e5 e, D 5 / e5 e, E 5 /e5 e Rozwązae Z reśc zaaa waoo, Ŝe r 5r 5 Korzyając z wzor wyzaczyy W azy rzya ay 5 5 Poawając r 5r 5 orzyjey 5 5 ą ay

42 Wyzaczyy zae b weząc, Ŝe e µ µ be 5 May 5 e µ e b e e b ee5 Wawając 5 o owyŝzego rówaa wyczay b : 5 e b ee5 5 5 Są orzyjey b e5 e Ooweź: E Zaae Ieywość zgoów oje fcja µ / Obczyć rawooobeńwo ego,ŝe ooba w we 5 a rze ęzy rzyzey ąy a czerzey ąy roe Ŝyca Ooweź e / e8, B e 5 / e8, C e 6 / e8, D e / e9, E e 5 / e9 Rozwązae Trzeba obczyć Pr < T5 5 5 Sorzyajy z ego, Ŝe µ [ ] Z owyŝzej rówośc wyrowazay w aęjący oób : µ [ ] µ e µ [ ] [ ] e Czy 5 5 Pr < T5 5 5 e e 5 9 e e e e e e Ooweź: D

43 Zaae W aej oacj śereoścą rząz rawo e More a z wee graczy ω O we waoo, Ŝe ooby w y we erają w cąg oby wa razy rzazej Ŝ ooby wroe arze Obczyć rawooobeńwo, Ŝe ooba w we oŝyje we Ooweź /, B /, C /, D /, E / Rozwązae W rawe e More a µ a ω ω ω Trzeba obczyć rawooobeńwo, Ŝe ooba w we oŝyje we, czy ω ω ω ω ω ω ω ω ω by obczyćω, orzyay z ego, Ŝe o we waoo, Ŝe ooby w y we erają w cąg oby wa razy rzazej Ŝ ooby wroe arze µ µ ω ω Po roych rachach orzyjey ω Poawającω o wzor a orzyay: Ooweź: C Zaae 5 Jaa je oczewaa czba oób z oacj oa 5-aów, óre rą o ończe 6 a eęcy Ŝyca rze ończee 7 a 8 eęcy? Przyjjey załoŝee Baccego, oyczące eraośc w oreach łaowych Dae ą róweŝ:, 5, Przyjąć,Ŝe eąc o / ro Poać ajbŝzą warość Ooweź 99, B 99, C 995, D 9966, E 9976 Rozwązae JeŜe je ełoa hoeza Baccego HB o zachoz aęjący wzór: [ ] [ ] Przezałćy ae z zaaa o oowech zeych jęych we wzorze wyŝej:

44 ,997, ,99,,99 Oczewaa czba oób z oacj oa 5-aów, óre rą o ończe 6 a eęcy Ŝyca rze ończee 7 a 8 eęcy, zoae obczoa w aęjący oób: [5] 6 6 [5] [5] [5] 6 [5] [5] [5] ,99,99 6,997,997,99 99,99,99,99 [5] Ooweź: B Zaae 6 Kóry z oŝzych wzorów a E T - całowy we je rawzwy rzy załoŝe o ały aęŝe wyeraa oób z aego rocza µ, 5 ozacza ozo eywośc wyeraa w rzezae weowy,? E T, B E T, µ, 5 µ, 5 C E T og, D E T, µ, 5 µ, 5 E śae z owyŝzych wzorów e je rawzwy Rozwązae ZawaŜy, Ŝe zy HCFM µ [ ] µ [ ] [ ], a <,, Daego oŝey zaać w azy rzyłaze zaać µ [ ], 5 µ [ ] Szaa warośc wyo:

45 E T e µ µ, 5 e µ µ, 5 µ, 5 µ µ,5,5 e µ µ, 5 µ, 5 µ µ µ,5,5 µ, 5 Ooweź D Zaae 7 Wyzaczyć rawooobeńwo rzeŝyca rzez oobę 55-eą co ajej a, jeś aaogcze rawooobeńwo a ooby 5-eej wyo,8 oraz eywość zgoów oje fcja µ a > Ooweź,, B,6, C,8, D,8, E,9 Rozwązae Zay je wzór e µ Wyzaczyy 55, weząc Ŝe µ : e e 6 JeŜe waoo, Ŝe e e, 8 o zae rawooobeńwo wyo e 6 e,8, 6 Ooweź: B 55 5

46 Zaae 8 Na oawe abcy TTś-P97 zarojeować aęjące abce warae wyjaść eoę: We Lczba oŝywających 986 Lczba zarłych Przez ozaczay czbę -aów, órzy zar w rzecąg a Rozwązae We Lczba oŝywających Lczba zarłych Obczea zróby rzy załoŝe HCFM Z TTś-PL97 oczyjey, Przy HCFM zazey: Wyzaczy, 5 :,5,5,5,5,99977, ,5, ,5,5 Wyzaczy, 5 :,5, ,5,5 6

47 Wyzaczy, 75 :,75, ,75,75 Wyzaczy b oczyajy z TTś-PL97:, Zaae 9 Zaae rozwązae w oowezach o zaań 7

48 Rozzał Rozwązae zaaa z rozzał : Ubezeczea a Ŝyce Zaae Korzyając z TTś-PL97 abd oraz weząc, Ŝe, 8, obczyć obowązjącą oę roceową : Rozwązae Sorzyay z : May: :,8,8, ,8,86,596 Zaae Obczyć rg oe OW bezeczea Z erowego a aa a 65-aa a ę bezeczea, gy : Śereość arz TTś-PL97 abd, oa roceowa 5% Rozwązae Sorzyay z : [ ] Waoo, Ŝe rzy H [ ] May: 65: Z E Z E 65,8,5 5,9568,5, Zaae Obczyć a oawe TTś-PL97 oraz rzy: %, %, : Przerowazć owyŝze obczea róweŝ a oawe TTś-HLLEY ab D 8

49 Rozwązae Zazey :, 5, 9, 6 Z abc oczyjey Da % : : 6 5,557, 9, 9, 9 Da %: : 6 5,6859, 9, 9, 9 Da TTś-HLLEY : Obczyy ajerw,, Sorzyay ze wzor, ając ae 6, 7, 7, 7 May: , , - Poawając o wzor a - a %, 69699, : - a %, : wyczoe warośc orzyjey : : Zaae Obczyć waracje warośc aaej bezeczea erowego a aa a ę bezeczea, a -aa, a oawe TTś-PL97 oraz % Rozwązae Waoo, Ŝe Var E Z E Z Wyzaczy warośc oczewae a Z Z^ rzy Ŝyc aych w zaa TTś-PL97 9

50 E Z E, 9,,56 7, Naoa Z E E obczyy aęjąco: 6 9, Z E 8 8, 56,99 9 6, 6 9, Waracja wyo: Var E Z E Z 56,99 7,9 9656, Zaae 5 Nech a oraz 5%; obczyć I Załaay orzebe hoezy Rozwązae Waoo, Ŝe rzy załoŝe H [ ] Pr K Z reśc zaaa wya, Ŝe -ae e rzeŝyje węcej Ŝ a, czy ayae bęze Ŝył 6 a, oewaŝ, a Korzyając aych zawarych w zaa I wyo: I Pr K

51 Weząc, Ŝe 6,5,5 Orzyjey: I 5, 7 Zaae 6 Załaając rawo e More a rzeŝyca a -aa z ω, obczyc JSN a bezeczea a oŝyce : Przerowazć obczea a δ, 6 Rozwązae δ : : f : δ e e δ δ e JeŜe w zaa je załoŝoe rawo e More a ae je ω, o 96, oewaŝ w rawe y załoŝoe je ω 96 Daego aze rawooobeńwo zazey a 96-aa wyo oo zgoe z rawe e More a W azy rzya ω 96,5 Zazey: 96 δ e δ 96: e 96 δ,6 e e,6,6 96,668 Zaae 7 Obczyć rzy %, gy: : rzyzły cza Ŝyca je oary a TTś-PL97 abd, rzyzły cza Ŝyca je oary a TTś-HLLEY ab D Rozwązae Do obczea : orzebjey zać rozwązjey zaae: 9 : : : Oczyjąc ae z abc,6887 aogcze a TTś-HLLEY, yo oaway e ae z abcy 5

52 Zaae 8 Zaać za oocą fcj oacyjych JSN a oy a -aa, z órej wyłaca ę C a oec ro śerc o we 65 a, aoa C- gy śerć aąła o 65 ro Ŝyca Rozwązae C M M C D C C :5 :5 :5 D Zaae 9 Wyazać, Ŝe jeś rzyzły cza Ŝyca eła rawo Maehaa, o / a µ a, Gze je ałą ze wzor a rawo Maehaa oraz oe roceowej Rozwązae W zaa błą, oewaŝ owo być Bc µ, gze,7 <, µ < c May Bc Bc c a zaa / a je obczoe rzy ecjaej a Z rawa Maehaa waoo, Ŝe Bc Bc Gze je czye a ecjaej oe roceowej, a ecjaej oe roceowej c a / a µ / a je obczoe rzy ej Zaae Rozarzy aęjące bezeczee roące, w óry a bezeczea rośe oejo w rzezałach łgośc / o /, ocząwzy o / w rzezae [,/ Wyłaa je a oec ro śerc Wyazać,Ŝe JSN a ego bezeczea, rzy załoŝe HU, wyo I Rozwązae W azy rzya ay I T E / E T / I [ / ], T gze ozacza ajejzą czbę całową węzą bąź rówą Zaae Korzyając z TTś-PL97 ab D, zaeźć aroyacje a oraz roceowej % : rzy oe 5

53 Rozwązae Zae ą wzory 9 oraz : : δ δ δ δ Oaecze wy orzyjey oawając oeje warośc z abc o wzorów wyŝej Obczea oęo ze wzgę a ość aych z abcy, óre rzeba Ŝyć, a aŝe rooe rozwązaa Zaae Porfe łaa ę z o a Ŝyce -aów, z órych wyłaca ę jeoę Ja być zabezeczoy fz w chw, aby były oŝwe wyłay w ajbŝzy ro z rawooobeńwe,95; w cąg ro e wływają ła e berzey o wagę oy roceowej Sorzyać z abc TTś-PL97 abd Rozwązae W chw zaweraa owy o aŝej oy oberaa łaa Fz orfea a oczą je rówy e wływają ła w cąg ro Bęzey ozwać rozwązaa w oac h ε, gze ε je wółczye, o óry roorcjoae aeŝy zwęzyć łaę eo, aby zagwaraować wyłacaość z zaay rawooobeńwe je o zw Wółczy arz a ryzyo Naoa h o aa woa fz, óra aeŝy wyzaczyć, a C o a bezeczea Ozaczy rzez Z,, Z cąg warośc aaych ezaeŝych o Szay rozwązae erówośc: Pr Z h,95 Do rozwązae erówośc orzyay z ceraego werzea graczego: Pr ε Z Z h Pr Var Z Var Z Φ ε Var by rozwązać zaae aeŝy wezeć,ŝe,65, 95 Φ May : ε,65 Korzyając z abc TTś-PL97 z waoośc, Ŝe e berzey o wagę oy roceowej zay warośc fz, aby były oŝwe wyłay w ajbŝzy ro, wyzaczyy z owyŝzego rówaa ε Najerw obczyy aęając,ŝe e 5

54 berzey o wagę oy roceowej oŝwe były wyłay z fz w ajbŝzy ro: 9 wyo ye ao co, oewaŝ e berzey o wagę oy roceowej, czy ε Poawając o rówaa, Orzyjey ε, 7759 Ozacza o, Ŝe bęze ę oberać łaę węzą o 77,59% Ŝ łaa eo, o orfe w y rzyłaze bęze wyłacay z rawooobeńwe,95 Oaecze aa woa fz h wyo:,7759,78 7, 958 h ε Zaae Rozarzy oę a Ŝyce a ooby owo rozoej, łaa a oec ro śerc wełg aęjącej a: We 5- owyŝej Korzyść 6 8 Rozwązae C C C C C M 5 M M D D D D D D D 5 Zaae Pro je rzeaway z 5-ea gwaracją, obecjącą zwro -% cey ro, jeś ę o oje w czae a Z ośwaczea waoo, Ŝe ro zaza ę w erwzy ro z rawooobeńwe,, w rg, rzec czwary ro- z rawooobeńwe,, a w ąy ro z rawooobeńwe, Poao załaa ę jeoajy rozła chw zozea w rzecąg ro Obczyć, jaą część cey ro aow cea gwaracj, óra je wyczoa wełg regły JSN rzy, 5

55 Rozwązae Ozaczyy rzez y ceę ro Zgoe z reścą zaaa, jeś zozee ro wyą w erwzy ro o zwro bęze w wyoośc 8% cey ro o - %8% Jeś zozee ro wyą w rg ro o zwro bęze w wyoośc 6% cey ro Jeś zozee ro wyą w rzec ro o zwro bęze w wyoośc % cey ro Jeś zozee ro wyą w czwary ro o zwro bęze w wyoośc % cey ro Jeś zozee ro wyą w ąy ro o zwro bęze w wyoośc % cey ro May,8 y,6y,y,y JSN,,,,,, 87 y 5,,,,, Obczyy, jaą część cey ro aow cea gwaracj w aęjący oób :,87 y,87 y Cea gwaracj aow,87 cey ro Zaae 5 -ae je bezeczee eeryae, łacąc łaę a oczą aŝego ro Ŝyca, o ończea 6 ro Ubezeczee o gwaraje wyłaę eeryry, órej warość aaa w oece ończea 6 a wyo, o ware, Ŝe bezeczoy oŝyje o 6 ro JeŜe aoa rze e oągąwzy 6 a Ŝyca, o bezeczyce zwróc całą włacoą łaę a oec ro śerc, bez aczaa roceów Jaa je warość oczewaa warośc aaej y wyła ego bezeczea? Przerowazć obczea, załaając TTś-PL97 oraz % Rozwązae Ozaczyy rzez Z jao warość aaą wyłay Zgoe z reścą zaaa ay: 9 E Z Oaecze wy orzyjey oawając oeje warośc z abc o owyŝzego wzor Obczea oęo ze wzgę a ość aych z abcy, óre rzeba Ŝyć, a aŝe rooe rozwązaa Zaae 6 Rozarjey człoów b w we, órzy włacają woę ω zł a fz Fra je zobowązaa o wyłay zł w chw śerc aŝego z człoów Obczyć ω, jeś fra owa ę wywązać z obowąz z rawooobeńwe,95 jeś, 6, Przyjjey, Ŝe rzyzłe czay Ŝyca człoów b ą ezaeŝe Rozwązae Bęzey ozwać rozwązaa w oac ω C ε, gze ε je wółczye, o óry roorcjoae aeŝy zwęzyć łaę eo, aby zagwaraować wyłacaość z zaay rawooobeńwe je o zw Wółczy arz a ryzyo Naoa ω o aa woa fz, óra aeŝy wyzaczyć, a C 55

56 o a bezeczea Ozaczy rzez Z,, Z cąg warośc aaych ezaeŝych o Szay rozwązae erówośc: Pr Z ω,95 Do rozwązae erówośc orzyay z ceraego werzea graczego: Pr ε CZ C C CZ ω Pr Var Z Var Z Φ ε Var by rozwązać zaae aeŝy wezeć,ŝe,65, 95 ε Φ May :,65 Wyzaczyy ε, oawając ae z zaaa o owyŝzego wzor Oaecze ω wyo: ε,,6 7 ω C Zaae 7 Obczyć, jeś µ µ oe roceowej % a aŝego > Wyoać obczea a µ rzy roczej Rozwązae JeŜe µ µ o [ ] e µ e e Weząc, Ŝe % wyzaczyyδ : δ, wyo: µ [ ] e e δ 56

57 e δ e,,6 Zaae 8 Obczyć aaą warość aaraą o wyłacea 5-aow o 5 aach Obczea wyoać a 6% oraz abc TTś-PL97 Rozwązae Korzyając z aych z TTś-PL97 ay: E Z 5 5 5: 5 5 5, , Zaae 9 Na Ŝyce 5-aa wyawoo bezerową oę, gwarającą wyłaę a oec ro, w óry aą śerć Wyzaczyć jeorazową łaę eo oać ajbŝzą warość, jeś waoo, Ŝe: aaogcza łaa a ooby o ro łozej wyo,6, oa roceowa %, ae ą warośc fcj oacyjych D 85 oraz D 765 Ooweź,65, B,65, C,657, D,66, E,66 Rozwązae o Perwzy oób Szaą warość zazey 5 9 9, Waoo oao, Ŝe Mając ae D 9 85, D 765 oraz % obczyy ze wzor D D9 85 D5 765 May 9 97 oraz ,, 9 Przezałcając 9, 6 orzyay,6 9 9 MoŜey zaać 9,6 9 9,

6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""

6. *21! 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;! +!!4 oraz  % & !4!  )$!!4 1 1!4 )$$$  ' Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90

Bardziej szczegółowo

2 7k 0 5k 2 0 1 5 S 1 0 0 P a s t w a c z ł o n k o w s k i e - Z a m ó w i e n i e p u b l i c z n e n a u s ł u g- i O g ł o s z e n i e o z a m ó w i e n i u - P r o c e d u r a o t w a r t a P o l

Bardziej szczegółowo

Wynik finansowy transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność ceny przedmiotu transakcji, czyli instrumentu bazowego

Wynik finansowy transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność ceny przedmiotu transakcji, czyli instrumentu bazowego .Istmety ochoe otaty temiowe azywae sa istmetami ochoymi (eivatives. otat temiowy zobowiazje wie stoy o zeowazeia w zyszłosci ewej tasacji a wczesiej staloych waach. Jea stoa otatów (abywca - te, co je

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Ź ź Ę Ś Ś Ń ę ę ż Ę ż ę ż ę ż ę ż ż ę ż ż Ń ź ę ę Ę Ć ż Ź Ś ę ż ż ę ż Ź Ó ę Ź ż Ś ż ę ż Ź ę Ę Ź ż ę ę ż Ś ę ę Ó Ś ę Ę ę ę ę Ą Ę Ą Ę Ś ę ż ż Ź ę Ń Ź Ś Ś ę Ź ż Ź ź ę ć Ó ż ż Ę Ó ę ż Ń ż ę Ź ę Ź Ą ę ż ż Źę

Bardziej szczegółowo

Zanim zapytasz prawnika

Zanim zapytasz prawnika 2 Zanim zapytasz prawnika 1 Zanim zapytasz prawnika Poradnik dla Klientów Biur Porad Prawnych i Informacji Obywatelskiej Pod redakcją Grzegorza Ilnickiego Fundacja Familijny Poznań Poznań 2012 3 N i n

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 3 12 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k aw r a z z d o s t a w» s p r

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok O P E R A T O R T E L E K O M U N I K A C Y J N Y R A P O R T R O C Z N Y Z A 2 0 1 3 R O K Y u r e c o S. A. z s i e d z i b t w O l e ~ n i c y O l e ~ n i c a, 6 m a j a 2 0 14 r. S p i s t r e ~ c

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n

Bardziej szczegółowo

MISKOLC. ubytovací katalóg. 1 www.hellomiskolc.hu

MISKOLC. ubytovací katalóg. 1 www.hellomiskolc.hu O í O OÓW OOWY 1 www í,, ý, ľ x š, í ť, čť, š š čý ý ľ, ý, ž ž,, ý č í Uč ľ, ň ý ľ í í í žť ť š ý ž ý č ž ý ô, š ď š í O 16 -í š äčš ž? ôž ť ž čť! ý ľ x č ý ť žť šť äčší žý ý í í ď, šš, č, í, í žčíš íš

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n

Bardziej szczegółowo

ż ń ęą ą ąą ą ą ń ą ż ń ż ń ęą ą ą ą ą ń ę ę ę ż ń ęą ą ą ą ą ń ą ą ą ą ź ń ż ń ęą ą ą ą ą ń ą ą ą ą ź ń ż ń ęą ą ą ą ą ń ą ą ą ą ź ń o o o o o o o ż ń ęą ą ą ą ź ś ść ż ś ść ń ę ą ą ę ą ą ż ń ęą

Bardziej szczegółowo

O F E R T A H o t e l Z A M E K R Y N * * * * T a m, g d z i e b łł k i t j e z i o r p r z e p l a t a s ił z s o c z y s t z i e l e n i t r a w, a r a d o s n e t r e l e p t a z m i a r o w y m s z

Bardziej szczegółowo

ŁĄ ÓŁ Ą ÓŁ Ą Ł Ą Ś ź ę Ł Ą Ł ŁĄ ę ę ń Ę ę ę ę ŁĄ ę ę ę ę ę ę Ń ć Ę ę żź ę ń ż ż ę ęć ęć ę ę ź ń ę ć ę Ę ń ź ęć ć ę Ę ę ę ę ć ę Ę ż ęć ć ę ń ń ęć ć ę Ę ń ż ę ć ę Ę ż ęć ć ę ń Ę ż ęć ć ę ń Ę ż ęć ć ę ń ż

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i

Bardziej szczegółowo

Instrukcja zarządzania systemem informatycznym przetwarzającym dane osobowe w Chorągwi Dolnośląskiej ZHP Spis treści

Instrukcja zarządzania systemem informatycznym przetwarzającym dane osobowe w Chorągwi Dolnośląskiej ZHP Spis treści C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P Z a ł ą c z n i k 5 d o U c h w a ł y n r 2 2 / I X / 2 0 1 5 K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j Z H P z d n i a 0 8. 0 62. 0 1 5 r. I n

Bardziej szczegółowo

z d n i a 2 3. 0 4.2 0 1 5 r.

z d n i a 2 3. 0 4.2 0 1 5 r. C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P I. P o s t a n o w i e n i a p o c z ą t k o w e U c h w a ł a n r 1 5 / I X / 2 0 1 5 K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o l ą s k i e j Z H P z d n i a

Bardziej szczegółowo

9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1

9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1 O p i s p r z e d m i o t u z a m ó w i e n i a - z a k r e s c z y n n o c i f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o O r o d k a S p o r t u i R e ks r e a c j i I S t a d i

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA Z a m a w i a j» c y G D Y S K I O R O D E K S P O R T U I R E K R E A C J I J E D N O S T K A B U D E T O W A 8 1 5 3 8 G d y n i a, u l O l i m p i j s k a 5k 9 Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I

Bardziej szczegółowo

1 0 2 / m S t a n d a r d w y m a g a ñ - e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu R A D I E S T E T A Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln o ci dla p ot r ze b r yn ku p r acy Kod z klasyfikacji

Bardziej szczegółowo

Ą ś Ę ń ń ń Ć ś ć Ę Ę ż ę ę ż ż ż ź ć ż Ę ś ż ż ż ń ź ż ę Ą ę ę Ć ż ć Ę Ę ż Ó ś ż ż ż ś ż ź ć Ą ś ź ę Ę ń śł ż ę ż ń Ą Ó ń Ę Ż Ę ę ę ż ć ż ń ś ń Ć ń ć żę ś Ę ń ę ś Ę Ę ż ćż ć ę ż Ę ż ś Ę ń ć ś ż Ą ń ż

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Czas trwania obligacji (duration)

Czas trwania obligacji (duration) Czas rwaia obligacji (duraio) Do aalizy ryzyka wyikającego ze zmia sóp proceowych (szczególie ryzyka zmiay cey) wykorzysuje się pojęcie zw. średiego ermiu wykupu obligacji, zwaego rówież czasem rwaia obligacji

Bardziej szczegółowo

Novosibirsk, Russia, September 2002

Novosibirsk, Russia, September 2002 Noobk, ua, Septebe 00 W-5 (Jaoewc) 4 lajdów Dyaka były tywej Cało tywe jego uch uch potępowy cała tywego uch obotowy cała tywego wględe tałej o obotu. oet bewładośc Dyaka cała tywego uch łożoy cała tywego

Bardziej szczegółowo

a b c d e f g h i j k l l m n o p r s t u w z

a b c d e f g h i j k l l m n o p r s t u w z Maay a B / Pñ a³aa ³a Tya y, ê óy a¹ y a y T, a aa³ ay y ³ya y a y¹, a ó a a ay y y³a - ó aa³y a¹ ó ¹ aê, yyê a aa aê ( y añ, ³ ) Maa³y y³¹ ó aa, a ay ê ¹ ¹, a ³ œ¹ W ó y a ya ê ay aa³ó, ê óy aa a aayyy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 70 1 3 7 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e w r a z z r o z s t a w i e n i e m o g

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja krzywych...

Reprezentacja krzywych... Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc

Bardziej szczegółowo

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostką budżetową Zamawiającym Wykonawcą

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostką budżetową Zamawiającym Wykonawcą W Z Ó R U M O W Y n r 1 4 k J Bk 2 0 Z a ł» c z n i k n r 5 z a w a r t a w G d y n i w d n i u 1 4 ro ku p o m i 2 0d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j ei d n o s t k» b

Bardziej szczegółowo

Ł Ą Ó ŁÓ Ę Ę Ę Ł Ą Ś ŁĄ Ż Ą Ą Ł Ś Ś Ż ŁÓ ć ŁÓ ĘĘ Ą Ę ĘĘ Ą Ł Ą Ś Ą Ć ŁÓ ć ć ć ĄĄ ć ĄĄ Ł ć ć ć ŁÓ Ó Ś Ą Ł Ą ć ć ć Ę ć ć ć Ę Ś Ą ć Ą Ł ĄĄ ĄĄ ć Ę Ś Ą ć Ś Ą Ł ć Ł ć Ś Ś Ś Ś Ą Ł Ś ŁĄ Ż ć Ą Ł Ł ć ć ć ć Ę Ę Ę

Bardziej szczegółowo

ROZPORZ DZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia

ROZPORZ DZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia RZPRZDZNI MINISTRA GSPDARKI 1) Projek z dia w srawie szzegóowego zakresu obowizku uzyskaia i rzedsawieia do uorzeia wiadew eekywoi eergeyzej i uiszzaia oay zaszej rzez rzedsibiorswa eergeyze srzedaje eergi

Bardziej szczegółowo

IDENTYFIKACJA RÓWNAŃ DYNAMIKI SILNIKA PRĄ DU STAŁ EGO

IDENTYFIKACJA RÓWNAŃ DYNAMIKI SILNIKA PRĄ DU STAŁ EGO ZESZYTY AUKOWE AKADEII AYAKI WOJEEJ OK XV 58 4 Ja Ids a Zlla IDETYFIKACJA ÓWAŃ DYAIKI SIIKA PĄ DU STAŁ EGO STESZCZEIE W ayl dsa żlśc assaa baych fcj sljaych słżących dyfacj óań sla lycg. D s bgó assa ba

Bardziej szczegółowo

ż ś ś Ź ż ż Ń ż Ń ś ż Ą ść ż Ś ż ś Ń Ę Ź Ę ś Ń ż Ę Ł Ę Ł ś Ź ś ź Ę ś ż Ą Ń ś ż ĘŁ Ń ż ś ś ż ż ż ź Ś ż ż ś ś ż ż ż Ą Ę ż ź ż ś ż ś ś ś Ę ś ś ś ś Ź ż Ą ś ż ż ż ż ź ż Ę ż Ń ż Ż ż Ę ż ż Ą Ą ś Ż ś Ę ś ś ż Ź

Bardziej szczegółowo

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.

Bardziej szczegółowo

Symulacja czasu ładowania zasobnika C.W.U

Symulacja czasu ładowania zasobnika C.W.U Por Prybyc Syulacja casu łaoaa asobka C.W. Syulacja casu łaoaa asobka C.W. Do cgo służy Progra: Progra służy o sybkgo okrśla casu łaoaa asobka C.W. ry ałożoych arukach brgoych aruk brgo fuj rogra użykok

Bardziej szczegółowo

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu.

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu. W 1 Rachu maroeoomcze 1. Produ rajowy bruo Sprzedaż fala - sprzedaż dóbr usług osumeow lub frme, órzy osaecze je zużyują, e poddając dalszemu przeworzeu. Sprzedaż pośreda - sprzedaż dóbr usług zaupoych

Bardziej szczegółowo

G d y n i a W y k o n a n i e p r a c p i e l g n a c y j- n o r e n o w a c y j n y c h n a o b i e k t a c h s p o r t o w y c h G C S o r a z d o s t a w a n a s i o n t r a w, n a w o z u i w i r u

Bardziej szczegółowo

Ł ś ą ś ż ą Ż ż ż ó ó ó ó ś ą ą Ś ą ą ó ą ś Ż ą ż ż ż ą ą Ś ą ą ą ż ś ą ó ą Ę ą ą ś ą ą ó ś ą ś Ą ż ż ą ą Ś ą Ż ą ż Ł ó ą ś ą ó ó Ę ą ą Ś ą ą ó ą ą ż ś ą ą Ę ż Ąą ą ś ą ą ą ą ś Ż ó ą ą ż ż ą ą Ś ą Ę ó

Bardziej szczegółowo

2 ), S t r o n a 1 z 1 1

2 ), S t r o n a 1 z 1 1 Z a k r e s c z y n n o c i s p r z» t a n i a Z a ł» c z n i k n r 1 d o w z o r u u m o w y s t a n o w i» c e g o z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k ó w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 2 8 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e ro b ó t b u d o w l a n y c h w b u d y n k u H

Bardziej szczegółowo

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4.

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4. M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X A N A L I Z A W Y T R Z Y M A O C I O W A S Y S T E M U U N I L O C K 2, 4 S T O S O W A N E G O W C H I R U R G I I S Z C Z

Bardziej szczegółowo

Í í Í Á ń ý ý Ż í í ď Í Ĺ ń Í ń Ę ń ý Ż Ż ź ń ń Ę ń ý ý í ŕ Ĺ Ĺ Í Á í Ż Í É Í Ü ö ä Ż Ż Ż Ę ń ć Ę Ż ń Ę Ż ć ń Ł Ą ń Ę í Ę Ż Ż ý Ż Ż Ą Í É đ í Ł Ę Ł ć ő ť Ę ń í ć Í Ę Ę Ł Ą Ł ć ď ć Ę Ę ń Ó Ü ü Ĺ ý Ę ä í

Bardziej szczegółowo

I 3 + d l a : B E, C H, C Y, C Z, ES, F R, G B, G R, I E, I T, L T, L U V, P T, S K, S I

I 3 + d l a : B E, C H, C Y, C Z, ES, F R, G B, G R, I E, I T, L T, L U V, P T, S K, S I M G 6 6 5 v 1. 2 0 1 5 G R I L L G A Z O W Y T R Ó J P A L N I K O W Y M G 6 6 5 I N S T R U K C J A U 7 Y T K O W A N I A I B E Z P I E C Z E Ń S T W A S z a n o w n i P a s t w o, D z i ę k u j e m y

Bardziej szczegółowo

w 1 9 2 8 i 1 9 3 0 r.

w 1 9 2 8 i 1 9 3 0 r. I I O G Ó L N O P O L S K A K O N F E R E N C J A N A U K O W A D O K T O R A N C K I E S P O T K A N I A Z H I S T O R I } K o m i t e t n a u k o w y U n i w e r s y t e t W a r m i f -M s kaoz u r s

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY OBWODÓW LINIOWYCH

METODY ANALIZY OBWODÓW LINIOWYCH y j y y y WOJH M MTODY ANAZY OBWODÓW NOWYH wyane nerneowe www.eoraobwoow.e.l 6 r. Wy. Nała egz SBN 8-894-4-5 r. Wy. (or) 5 egz. SBN 8-894-6- Wyawncwa czelnane Aaem Technczno-olnczej w Bygozczy Wy. nerneowe

Bardziej szczegółowo

8 7 / m S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu M O N T E R I N S T A L A C J I G A Z O W Y C H K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ó w i s p e c j a l n o ś

Bardziej szczegółowo

1 / m S t a n d a r d w y m a g a ń - e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu B L A C H A R Z Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln oś ci dla p ot r ze b r yn ku p r acy Kod z klasyfikacji zawodów

Bardziej szczegółowo

1 10BKPANC 6,5 0:21:10 03:15 [min/km] 0:21:10. 3 TRZEBIEL 6,5 0:22:35 03:28 [min/km] 0:22:34

1 10BKPANC 6,5 0:21:10 03:15 [min/km] 0:21:10. 3 TRZEBIEL 6,5 0:22:35 03:28 [min/km] 0:22:34 I 10NC U C I E J O Ł J 2 3 9 9 I E O Ó, O I I U E I E C O I I I C E U O Ó N O C Š C E C E I O C Y Ł O I E J 1 0 a n c E U J 4 O 8, I Ł O Y O 5 U U I U Y E I I, I E O E J E U Ł Ó N J E C I N O Ł Y U I N

Bardziej szczegółowo

Ś Ś Ą Ó ć ć Ą ŁÓ Ó Ń ć ć Ż Ó ć ź Ę ć Ę ć ć ć Ę ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ó Ą Ą Ę ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ćę ć Ę ć ć Ś ć ć ć ć Ę ć Ę ć ć ŚĘ Ł Ń Ń Ś Ą ć ć ź ć Ę Ć Ę ć Ę ć ć Ę Ę ć ć ć Ą ć ć Ę ć ć

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA FINANSOWA - WZORY LOKATY

MATEMATYKA FINANSOWA - WZORY LOKATY Stoa ocetowa Z Dysoto ateatycze D M Dysoto halowe D H MAMAYA FINANSOA - ZORY LOAY stoa ysotowa atalzacja zgoa osta z ołu atał o oesach: P Oset: ( Z P Oblczae atału a ostawe P : P P P P atalzacja zgoa złożoa

Bardziej szczegółowo

Ń Ł Ń Ó Ł Ę Ó Ó Ę ĘŚ Ó ÓŚ Ó Ę Ć Ó Ć Ę Ł Ó Ę Ć Ś Ż Ś Ś Ó Ó Ś Ń Ś Ó Ę Ę Ż Ć Ś Ó Ę Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ś Ę Ę Ł Ć Ć Ś Ó Ę Ź Ę Ż Ź Ś Ź Ę Ę Ę Ó Ó Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ę Ę Ć Ę Ć Ł Ź Ę Ę Ś Ń Ę Ć Ź Ó Ź Ó Ó Ę Ć Ć Ć Ź Ę Ę Ć Ę Ę

Bardziej szczegółowo

Ą Ł Ą Ń Ń ź Ń Ę ź Ł Ł ź Ł Ą Ą Ą ź Ń Ą Ę Ą ź Ą Ę ź Ą ź ź Ę Ą ź Ś ć ź ć Ł Ś Ł ŁĄ Ś ź Ł ć ć Ł ŚĆ Ł Ł Ą Ń Ł Ó Ó Ą Ś ć Ę Ą Ł Ó ć Ł Ś ć Ł ź ć Ł Ł Ś Ł Ś Ł ŁĄ Ś ź Ę ź ź Ń Ę ź ć ź Ń Ś Ś Ś Ń Ś Ś Ś Ł Ń ć Ł Ł Ść Ł

Bardziej szczegółowo

Odpływ ścienny Scada. Kreatywne odwadnianie łazienki. www.kessel.pl

Odpływ ścienny Scada. Kreatywne odwadnianie łazienki. www.kessel.pl Oływ śy S Kyw w łz www.. 2 S Oływ śy S T Gó węź ły Wyść zuwy łz Oyy zy wyywu ów Oływ śy S zu uwą zuwą. Dzę w wyś zuwy (y 80 ó węz ły) ę ż w ąy. 115-165 H2 H1 15 362 H3 Py wyów Pły uw óż żw zwą wą zuwę

Bardziej szczegółowo

S T A T U T. s z k ó ł ( D z. U. N r 3 5, p o z. 2 2 2 ),

S T A T U T. s z k ó ł ( D z. U. N r 3 5, p o z. 2 2 2 ), S T A T U T Z e s p o ł u S z k ó ł C e n t r u m E d u k a c j i i m. I g n a c e g o Ł u k a s i e w i c z a 1 Z e s p ó ł S z k ó ł C e n t r u m E d u k a c j i i m. I g n a c e g o Ł u k a s i e w

Bardziej szczegółowo

Ń Ż ż ć ś ą ą ż ą ą ś ś ą ą Ą Ą ą Ż ą ą ź ć ąż ą ś ą ą Ł ŁÓ ą Ą Ą Ł ą ą ą ąą ż ć ą Ń Ś Ą ą ż ą ż ć ąż ą ś Ż Ł ż ż ś ś ż ś ż ą ą ż ż ś Ó ś ż ą ą ą ż ś ś Ą Ą ą Ł ą ż ż ą ą ż ą ż ś ą ą ż ś ś ą ś ż ś ś ż

Bardziej szczegółowo

Zawód: s t o l a r z I. Etap teoretyczny (część pisemna i ustna) egzaminu obejmuje: r e s m o ś c i i u m i e j ę t n o ś c i c i c h k i f i k j i m

Zawód: s t o l a r z I. Etap teoretyczny (część pisemna i ustna) egzaminu obejmuje: r e s m o ś c i i u m i e j ę t n o ś c i c i c h k i f i k j i m 4 3 / m S t a n d a r d w y m a g a ń - e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu S T O L A R Z Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln oś ci dla p ot r ze b r yn ku p r acy Kod z klasyfikacji zawodów

Bardziej szczegółowo

ĺ ĺ ę ĺ ż ż ĺ ś ń ś Ł ś ś ę ń ś ś ś ĺ Ż ś ę ń ę ę ę Ż ś ę ń ń ĺ Ł Ż ęć ś Í ż ĺ Ż ę ż ę ę ĺ ę ę ń ĺ ń ĺ ę ś ť ę ś ť Ě ę ń ę ń ż ę ż ę őż ę ę ő ś Ż ś ś í í í ę ô ę ę Í ę ś ę ń ń Ł ń ż ę ś ś ż ś ę ę í ő ę

Bardziej szczegółowo

aangażowanie lokalnego biznesu w sponsoring i mecenat kultury jest niewielkie, czego przyczyną jest brak odpowiedniego kapitału kulturowego u

aangażowanie lokalnego biznesu w sponsoring i mecenat kultury jest niewielkie, czego przyczyną jest brak odpowiedniego kapitału kulturowego u g Z gż llg b g l l, g ą b g ł lg ó, ll g b, żść g l ó łg, ż l f, ż f łą g, ó. R l b ą, ż ó ó gh ą lę ę łś llh, ó ą b h ó łg. Sg l g h, ó f b g gh lh. Gl g: ęb l źl, h g l l l. Mą ą ę l, óó ąą l ęh gh l

Bardziej szczegółowo

Formularz zgłoszeniowy

Formularz zgłoszeniowy Miejscowość i data FUNDACJA INF ORMCYJNA Ul. Wyzwolenia 107 / 65 85-792 Bydgoszcz Formularz zgłoszeniowy DANE O SO BOW E OS OB Y PRO SZ ĄCEJ O P OMOC ( os ob a p eł noletnia) IMIĘ I NAZ WISKO PESEL DOWÓD

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Ł Ł Ł Ó Ł Ó Ą Ł Ź Ą ć Ó Ą Ą ź ć ć Ł ź Ą Ą Ź Ł Ź Ź Ą Ś Ź Ą ć Ń Ó Ź ź Ą Ą Ź ć Ź ć Ź Ą ć ć Ń ć ć Ł Ą Ś Ń Ą Ą Ź Ź Ą Ą ź ć Ń ź Ń Ź Ł Ą ĄĄ Ą Ź Ź Ń Ł Ń ć Ą Ń ć Ń Ź Ź ć ź ź Ą Ź Ź ć Ź ć Ą ć ć Ź Ź Ą Ą Ą Ą Ł ć Ą

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Macierze hamiltonianu kp

Macierze hamiltonianu kp Macere halonanu p acer H a, dla wranego, war 44 lu 88 jeśl were jao u n r uncje s>; X>, Y>, Z>, cl uncje ransorujące sę według repreenacj grp weora alowego Γ j. worące aę aej repreenacj - o ora najardej

Bardziej szczegółowo

8 6 / m S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu E L E K T R Y K K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ó w i s p e c j a l n o ś c i d l a p o t r z e b r y n k

Bardziej szczegółowo

Ó Ą Ó Ó Ó Ó Ż Ą Ę Ś Ż Ś Ó Ó Ó Ż Ś Ó Ó Ć Ż Ę Óż ż Ę Ó Ę Ś Ó Ó Ą Ż Ś Ż Ż Ź Ż ź Ż Ż ż Ó Ę Ę Ż Ó Ó Ó Ó Ó Ż Ó Ó Ż Ó Ę ÓĘ Ó Ó ż Ó Ó Ż ź ź ź ź Ó ż Ę Ó Ś Ó ź ż ź ó Ó Ó Ó Ż Ó Ż ź Ś Ś Ś Ż ż Ż Ś Ż Ż Ż Ż Ż Ó Ż Ż

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Technologia i Zastosowania Satelitarnych Systemów Lokalizacyjnych GPS, GLONASS, GALILEO Szkolenie połączone z praktycznymi demonstracjami i zajęciami na terenie polig onu g eodezyjneg o przeznaczone dla

Bardziej szczegółowo

Ł Ń Ń Ł Ń Ł Ń ż ć Ń źż Ń Ń ź Ś ć ć ż ż Ł Ł Ń Ń Ń Ą ć ż ż Ł Ń Ł Ł Ń ż ż Ń Ą ż ź ż Ń ź ż ż ć Ń ć ż Ń ż ć Ó Ń Ś ż Ń Ą Ś ć Ń ż ż ż ź ż Ł ż ż ż Ń ż ż ż ż ż ż ź ÓŁ Ł ź ć ż ź ć ż ż ż ź ź ć ź ź Ś ż ć ź ż ź ż Ń

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 03 7 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A W y k o n a n i e r e m o n t u n a o b i e k c i e s p o r t o w y mp

Bardziej szczegółowo

Ł Ą ąż ż Ł ś ś Ą Ń Ę ąż ć ę ą ą ą ę ó ś ą ń ę ę ó ę ą ę ś ó ę ó ż ś ę ś ó ś ą ę ą ą ą ń ą Ś ż ś ść ść ć ą ą ą ś ę ż ęć ó ć ą ę ź ż ą ę ś ę ż ę ó ż ś ó ś ś ó ó ę óź ó ą ś ć ż ę ó ą ę ż ą Ąą ść ó ć ó ó ć

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Gdy znamy kapitał początkowy i stopę procentową

Procent prosty Gdy znamy kapitał początkowy i stopę procentową cet psty Gdy zay aptał pczątwy stpę pcetwą F = + I aptał ńcwy, pczątwy, dset I = I = stpa pcetwa (w stsuu czy) F = ( + ) aledaze dsetwe 360/360, 365/365, 360/365, 365/360 es wyaży w latach (dla óżych esów

Bardziej szczegółowo

1 8 / m S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu M E C H A N I K - O P E R A T O R P O J A Z D Ó W I M A S Z Y N R O L N I C Z Y C H K o d z k l a s y f i k a c j i

Bardziej szczegółowo

Zawód: złotnik-j u b il e r I Etap teoretyczny (część pisemna i ustna) egzaminu obejmuje: Z a kr e s w ia d om oś c i i u m ie j ę tnoś c i w ła ś c i

Zawód: złotnik-j u b il e r I Etap teoretyczny (część pisemna i ustna) egzaminu obejmuje: Z a kr e s w ia d om oś c i i u m ie j ę tnoś c i w ła ś c i 1 5 / m S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n m i s t r z o w s k i Z Ł O dla zawodu T N I K -J U B I L E R K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ó w i s p e c j a l n o ś c i d l a p o t r z

Bardziej szczegółowo

Ą Ń ż ś ż ś Ż ż ść ż ż Ł ś śó ś Ź ź ż Ę Ą ś ż Ę ś ś żą Ź Ę Ń Ź ż Ę Ą ż Ź Ę Ź ś Ę ć ż Ń ż Ń Ą Ż ź ź ż Ę Ł ż ż ś źź ś ś ż ż ż ż ść ż Ę ż ż ż ś ż ś ż ż ś ż ż Ą ż Ń ś ż ż Ę ż ż ż Ę ś Ł ś ż ż ś ś ż ść

Bardziej szczegółowo

M G 4 2 7 v. 2 0 1 5 G R I L L P R O S T O K Ą T N Y R U C H O M Y 5 2 x 6 0 c m z p o k r y w ą M G 4 2 7 I N S T R U K C J A M O N T A 7 U I B E Z P I E C Z N E G O U 7 Y T K O W A N I A S z a n o w

Bardziej szczegółowo

1 0 0 / m S t a n d a r d w y m a g a ń - e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu K O S M E T Y C Z K A * * (dla absolwentów szkół ponadzasadniczych) Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln oś ci

Bardziej szczegółowo

u Spis treści: Nr 80 6 p a ź d z i e rn i k 2 0 0 6 I n f o r m a c j e p o d a t k o w e 2 P o s e l s k i p r o j e k t n o w e l i z a c j i 3 k o d e k s u p r a c y K o n s u l t a c j e s p o ł e

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

A4 Klub Polska Audi A4 B6 - sprężyny przód (FWD/Quattro) Numer Kolory Weight Range 1BA / 1BR 1BE / 1BV

A4 Klub Polska Audi A4 B6 - sprężyny przód (FWD/Quattro) Numer Kolory Weight Range 1BA / 1BR 1BE / 1BV Audi A4 B6 - sprężyny przód E0 411 105 BA żółty niebieski różowy 3 E0 411 105 BB żółty niebieski różowy różowy 4 E0 411 105 BC żółty zielony różowy 5 E0 411 105 BD żółty zielony różowy różowy 6 E0 411

Bardziej szczegółowo

Podstawy praktycznych decyzji ekonomiczno- finansowych w przedsiębiorstwie

Podstawy praktycznych decyzji ekonomiczno- finansowych w przedsiębiorstwie odswy pryczych decyzji eooiczo- fisowych w przedsiębiorswie l wyłdu - Wrość pieiądz w czsie 4 h - Efeywość projeów w iwesycyjych 3-4 h -Wżoy osz piłu u WACC h odswy pryczych decyzji eooiczo- fisowych w

Bardziej szczegółowo

135 X 4000 135 X 2500 185 X

135 X 4000 135 X 2500 185 X eveling diesel rzekładnia hydrostatyczna z dyferencjałami 4W ZTRY KOŁ SKRĘT eveling 135 X 4000 eveling 135 X 2500 eveling 185 X 3000 eveling eveling eveling 135 x 4000 O 2500-3000 beta 8,5 8,5 6 2080 1620

Bardziej szczegółowo

DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ

DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Warszawa, dnia 23 lipca 2015 r. Poz. 1024 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 6 lipca 2015 r. w sprawie zmiany obszaru składu wolnocłowego na terenie Portu

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

ÓŁ Ą Ś ż ę Ę ć ż ż ę ż ż ń ż ń ż ę ę ż ż ż ż ę ż ć ę żę ę ń ę ęć ż Ę ż ż ę ę ń Ą ęć ń ę ć ęć ęż ę ń ęć ń ęć ęż ę Ł ę ęć ę ęć Ł ę ę ę ęć ęć ę ę Ę ęż ę ń ęć Ę ć ęć ę ę ż ę ęż ę ń ż ę ń ż ć Ą Ą Ą żę ż ż ż

Bardziej szczegółowo

Marii. Skłodowskiej-Curie. Ekspozycja-warsztaty Lekcje

Marii. Skłodowskiej-Curie. Ekspozycja-warsztaty Lekcje Epyj-y Lj M.--.-v.f L M 2011 j- Epyj-y p L M NR (b M) p Mé, Uy P-D, Uy. P M j- Uy P 11 Oy. y yp M j- phą ąż Lj M j- Ib hv, yj p E EDP 2003. Zję M j- ą ć Mé. L M 386, v Dv L 92290 hây-mby - FRANJA (33)

Bardziej szczegółowo

0 ( 1 ) Q = Q T W + Q W + Q P C + Q P R + Q K T + Q G K + Q D M =

0 ( 1 ) Q = Q T W + Q W + Q P C + Q P R + Q K T + Q G K + Q D M = M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X O P T Y M A L I Z A C J A K O N S T R U K C J I F O R M Y W T R Y S K O W E J P O D K Ą T E M E F E K T Y W N O C I C H O D

Bardziej szczegółowo

Ę Ą Ó Ż Ą Ą ĄĄĘ ż ż Ź ż Ż Ą Ś Ż ż Ż Ą ż ż Ś ż Ó ż Ś ż ż ĄĄ Ż ż ż Ź Ó ż ż Ż Ś Ż ż Ż Ż ż Ó ć Ó Ś ż Ś Ś Ż Ź ż ć Ść Ó Ó Ż ż ż Ż Ż ć Ś Ś Ó Ś Ż ź Ż ż Ź Ę Ż Ż Ó Ę Ż Ś ż ż ż ż ż ć ż Ó Ó ż ż ż Ś Ź ż Ś Ą Ó Ść Ż

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

M 9 1 / m S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu U R A R Z K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ó w i s p e c j a l n o ś c i d l a p o t r z e b r y n k u p

Bardziej szczegółowo

(liniowy model popytu), a > 0; b < 0

(liniowy model popytu), a > 0; b < 0 MODELE EKONOMERYCZNE Model eoomercz o ops sochasczej zależośc adaego zjawsa eoomczego od czów szałującch go, wrażo w posac rówośc lu uładu rówośc. Jeśl p. rozparujem zjawso popu a oreślo owar lu grupę

Bardziej szczegółowo

!"! # $ % % &' &( ) *+,#%%#-***./,.0*00

!! # $ % % &' &( ) *+,#%%#-***./,.0*00 !! # $ % % &' &( ) *+,#%%#-***./,.0*00 *,%#10* *,%#10*222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 3 4 2 222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja Szereg czasowe, modele DL ADL, rzyczyowość, egracja Szereg czasowy, o cąg realzacj zmeej losowej, owedzmy y, w kolejych okresach czasu: { y } T, co rówoważe możemy zasać: = 1 y = { y1, y,..., y T }. Najogólej

Bardziej szczegółowo

7 4 / m S t a n d a r d w y m a g a ± û e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu K U C H A R Z * * (dla absolwent¾w szk¾ ponadzasadniczych) K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ¾ w i s p e c

Bardziej szczegółowo

Ś ć Ó Ś Ó Ą Ł Ą Ź Ź Ó ć ć Ó Ź Ą Ą Ś Ą Ł Ó Ł Ń Ź Ź ź Ź ź ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ć Ą Ź ź ć ć ć ź Ą Ź Ą Ó Ó Ą Ń Ź ć ź ć ć ć Ą ź Ó ć Ą Ą ć ć ź Ó ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ł Ź Ź ć ć ź ź ć ć ć ć ć ć Ó

Bardziej szczegółowo

miąższość warstwy wodonośnej zadana głębokość wody w studni krzywa depresji podłoże nieprzepuszczalne

miąższość warstwy wodonośnej zadana głębokość wody w studni krzywa depresji podłoże nieprzepuszczalne 4 Pemyław Baa www.a.aow.pl\~pbaa Utaloy dopływ wody do tud upełej Według teo Duputa, woda do tud dotaje ę w poób adaly. Le ewpotecjale mają tałt ół, tóyc śedce mejają ę wa bloścą tud, a c śod leżą w jej

Bardziej szczegółowo

SKALA PUNKT OW A DO ROZPAT R Y W A N I A WNIOS K Ó W SKŁADANYCH PRZE Z OSOB Y NIEPEŁNO S P R A W N E NA LIKWIDACJĘ BARIE R

SKALA PUNKT OW A DO ROZPAT R Y W A N I A WNIOS K Ó W SKŁADANYCH PRZE Z OSOB Y NIEPEŁNO S P R A W N E NA LIKWIDACJĘ BARIE R Załącznik nr 3 do Zasad dofinansowania likwidacji barier architektonicznych, technicznych i w komunikowaniu się osób niepełno spra wny c h. w związku z indywidualnymi potrzebami SKALA PUNKT OW A DO ROZPAT

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

Tok sprawdzania nośności ścian obciążonych pionowo wg metody uproszczonej zgodnie z PN-EN 1996-3

Tok sprawdzania nośności ścian obciążonych pionowo wg metody uproszczonej zgodnie z PN-EN 1996-3 To sprwdzi ośości ści ociążoyc pioowo wg eody uproszczoej zgodie z P- 996- UWAGA: ośość ści eży sprwdzć żdej odygcji, cy że gruość ści i wyrzyłość uru ścisie są ie se wszysic odygcjc..... 5. De: rodzje

Bardziej szczegółowo

1 0 2 / c S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n c z e l a d n i c z y dla zawodu R A D I E S T E T A Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln oś ci dla p ot r ze b r yn ku p r acy Kod z klasyfikacji

Bardziej szczegółowo