Optymalna alokacja kapitału w funduszach inwestycyjnych w przypadku dwóch stóp zwrotu

Transkrypt

1 Opymalna aloacja apiału w funduzach inweycyjnych w pzypadu dwóch óp zwou Leze S Zaemba Leze Pęy Wpowadzenie W niniejzej pacy podobnie ja w publiacjach [5-6] popzedzających ozpawę dooą [7] óa je aualnie w ońcowej fazie poceowania awiamy ię w oli menedżea pofela inweycyjnego pacującego dla iebie bądź dla jaiegoś funduzu inweycyjnego óy zajmuje ię wyznaczeniem opymalnej cząi f* poiadanego w danej chwili apiału do zainweowania w yzyowne papiey waościowe aie ja acje wybanych półe WIG-0 opcje ip Oznacza o że pozoała część j f* poiadanego apiału będzie uloowana w papiey bez yzya czyli w payce w bony abowe Opymalność znaczy u doładnie yle że dla ażdej innej wielości f gdzie 0 < f < pzy zajęciu ych amych pozycji pofelowych na ynu yzyownych papieów waościowych oaz uloowaniu pozoałej części w bony abowe ewenualnie pozoawieniu jej w poaci goówi waość nazego pofela na oniec inweowania będzie mniejza niż w pzypadu wybou f* Pezenując zeeg abel poazywaliśmy w [7] iż nieznajomość f* powadzi zczególnie w długim hoyzoncie czau do znacznych a dla inweoów azym podawowym założeniem było i je pzyjęcie iż na yzyownym ynu w ażdym z oeów inweycyjnych możliwe ą any o je opa zyu lub opa ay oiągane odpowiednio z pawdopodobieńwami p oaz q p 0 < p < W doychczaowych publiacjach pzyjmowaliśmy że zyi ja ównież ay pojawiały ię w poób niezależny od ego co wydazyło ię w oeie /oeach popzedzających ie ulega wąpliwości iż założenie o niezależności je zby upazczające co zczególnie widać w yuacjach gdy u jaiejś półi wzośnie znacznie w ciągu ygodnia albo mieiąca na pzyład o 0% Wedy bowiem jego dalzy wzo lub pade nie będzie niezależny od ego co ię wydazyło gdyż wielu inweoów uzna o za doby momen na ealizację zyów iniejza paca zawiea ozzezenie uzyanych we wcześniejzych publiacjach [5-7] wyniów na pzypade gdy pawdopodobieńwa oiągnięcia zyów i a na ynu yzyownych papieów waościowych w ażdym oeie inweycyjnym zależą explicie od pawdopodobieńw waunowych uwzględniających zyi i ay w dwóch bezpośednio popzedzających je oeach Ta ja wcześniejze publiacje doyczy pozuiwania opymalnej cząi f* apiału do zainweowania w yzyowne papiey waościowe bioąc już ym azem pod uwagę o co wydazyło ię w dwóch oanich oeach inweycyj- Leze Pęy je dooanem w Inyucie adań Syemowych P

2 Leze S Zaemba Leze Pęy Opymalna aloacja apiału w funduzach inweycyjnych nych ejach ygodniach mieiącach ip W powyżej cyowanych publiacjach dowiedliśmy między innymi że jeśli oaz pełniony je waune: p o wówcza opymalny do zainweowania w ażdym oeie ułame apiału f* [0 ] oaz dany je onenym wzoem explicie Jeśli waune nie je pełniony o f* 0 albo f* zn albo wcale nie powinniśmy inweować w yzyowne papiey waościowe albo powinniśmy zainweować 00% poiadanego w danym momencie bogacwa Pzechodząc do nazych obecnych ozważań oznaczmy zdazenie ozymania opy zwou w -ym oeie pzez zaś opy zwou pzez iech ponado p P q P p n Paamey p a b pojawiające ię w dwóch poniżzych założeniach oeślane ą zwyle na podawie danych hioycznych Założenie P p p ; P q q gdzie 0 < p < p q Założenie P a P b gdzie 0 < a < 0 < b < Oczywiście z założenia wynia iż P a oaz P b Założenie 3 Dla dowolnych liczb naualnych zachodzą związi: P - - P - - P - - ; P - - w gdzie 0 < w < Paamey oaz w ą ównież oeślane na podawie danych hioycznych Podobnie ja popzednio wnioujemy że: P - - P - - P - - P - - w Je zozumiałe amo pzez ię że w ym badziej ogólnym modelu waości pawdopodobieńwa p więc i q mogą być óżne dla óżnych azym głównym zadaniem będzie wyznaczenie ych waości dla n

3 Leze S Zaemba Leze Pęy Opymalna aloacja apiału w funduzach inweycyjnych Główne wynii Zacznijmy od poego wiedzenia Twiedzenie p P a p b q Dowód P P P P P a p b q Twiedzenie Dla 3 zachodzi wzó: p P C C C PC PC C PC 3 C C PC - C -3 C - P C - C - gdzie C i { i i } dla i pzy czym 3 Dowód P P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - P P - - P P - - P P - - P P - - [P P ] P - - [P P ] P - - [P P ] P - - [P P ] P - - P P -3 - P - - P P -3 - P - - P P -3 - P - - P P -3 - P - - P P -3 - P - - P P -3 - P - - P P -3 - P - - P P -3 - PC PC C PC 3 C C PC - C -3 C - P C - C - c c ck gdzie C i { i i } Ławo eaz zauważyć że waości pawdopodobieńw p zależą od iedmiu paameów a mianowicie od p q p a b w 3

4 Leze S Zaemba Leze Pęy Opymalna aloacja apiału w funduzach inweycyjnych Pzyład Pzyjmując 3 ozymujemy na mocy wiedzenia naępujący wzó: p 3 P 3 P 3 P P 3 P P 3 P P 3 P P 3 P P P 3 P P P 3 P P P 3 P P a p a p b q w b q gdzie q p W analogiczny poób wypowadzamy wzó na waość paameu p 4 mianowicie: p 4 P 4 P 4 3 P 3 P 4 3 P 3 P 4 3 P 3 P 4 3 P 3 P 3 3 P 3 3 P 3 3 w P 3 3 P 3 P P P 3 P P P 3 P P P 3 P P P 3 P P P 3 P P w P 3 P P w P 3 P P a p b q a p b q a p w b q w a p w w b q 5 Ta więc p 4 zależy ównież od iedmiu paameów p a b w gdyż ómy paame q p Poępując w en poób możemy oeślić waości p P dla wzyich 5 Pzyład iech 03; 0; p q ; a 055; b 055; 06; 05; w 04 Podawiając do 4 5 ozymujemy że p p p 3 p 4 Ponieważ zachodzą ówności 04 ; 0 5 oaz pełniony je w związu z ym waune o opymalny P q do zainweowania ułame f*

5 Leze S Zaemba Leze Pęy Opymalna aloacja apiału w funduzach inweycyjnych Oznacza o że w oeach: piewzym dugim zecim i czwaym powinniśmy inweować aualnie poiadanego bogacwa w yzyowne papiey waościowe na podawie naępującego fau będącego wnioiem z nazych wcześniej cyowanych już ezulaów Wnioe iech dla dowolnego n pełniony będzie waune: p 6 Wówcza opymalna cząa f inweowanego w oeie bogacwa będzie dana wzoem: f * p q i f * <0 > dla n Jeśli waune 6 dla pewnego n nie je pełniony o wówcza albo f * 0 albo f * zn nie inweujemy wcale albo inweujemy wzyie naze śodi w yzyowne papiey waościowe 3 Wzoy euencyjne i aympoyczne gdy w Dość ompliowany wzó 3 z wiedzenia znacznie ię upazcza do poaci euencyjnej gdy ilość paameów 7 od óych zależy waość p eduuje ię do pięciu o czym mówi olejne wiedzenie Twiedzenie 3 iech i w Wedy dla dowolnego 3 zachodzi wzó euencyjny p P p - Dowód p P P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - p - - w P - - P - - P - - p - - P - - P P P -z P - P - p - P - co ończy dowód 5

6 Leze S Zaemba Leze Pęy Opymalna aloacja apiału w funduzach inweycyjnych 6 Wnioe Jeśli oaz w o dla doaecznie dużych zachodzi naępujący aympoyczny wzó: p ; q 7 Dowód p P P - P -4 P -4 P -6 P P P P P 3 3 pzy czym q p Wnioe 3 waość aympoyczna dla f * iech i w oaz niech > a aże Wówcza dla dużych będziemy w pzybliżeniu mieć ówność f * pzy czym f * <0 > 8 Dowód ioąc p q i podawiając do wzou f * q p ozymujemy: f * by poazać że f * <0 > zauważmy że waune óy je pełniony na mocy założenia je ównoważny nieówności 0 f * Rzeczywiście f *

7 Leze S Zaemba Leze Pęy Opymalna aloacja apiału w funduzach inweycyjnych Z dugiej ony f * co ończy dowód Wnioe 4 Dla w oaz dużych mamy p q W związu z ym f * o ile <0> 9 4 Wzoy euencyjne i ganiczne w pzypadu gdy w Reduując w inny niż doychcza poób liczbę paameów z 7 do 5 dochodzimy do olejnego wzou euencyjnego Twiedzenie 4 iech i w Wówcza zachodzi podobny wzó ja w wiedzeniu 3 zn p P P - dla 3 0 Dowód P P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - P - - P P P - P - P - -p - P - Ta ja popzednio ze wzou euencyjnego jeeśmy w anie wypowadzić wzó aympoyczny dla pawdopodobieńw zyów i a Wnioe 5 Jeśli i w o dla doaecznie dużych mamy naępujący wzó aympoyczny: p ; q 7

8 Leze S Zaemba Leze Pęy Opymalna aloacja apiału w funduzach inweycyjnych Dowód P P - P - P - P P - -3 P - - gdyż ciąg liczbowy - dąży do zea gdy dąży do nieończoności Sąd q Kolejny oani już ezula doyczy aympoycznej zbieżności f * Pezenujemy go w poaci naępującego wniou Wnioe 6 iech w > oaz Wówcza dla doaecznie dużych będziemy mieć f * Dowód pzy czym f * <0 > a mocy wcześniej cyowanych ezulaów z popzednich publiacji wyaczy poazać że: Rzeczywiście nieówność f * 0 Z dugiej ony f * f * <0 >

9 Leze S Zaemba Leze Pęy Opymalna aloacja apiału w funduzach inweycyjnych Ta więc oo pzy pzyjęych założeniach o paameach w nic nie załadamy o paameach p a b opymalna waość apiału do zainweowania na yzyownym ynu pełnia zależność f * <0 > o na mocy cyowanych już nazych wcześniejzych ezulaów mui być dana wzoem f * p q Z powyżzych ezulaów widać że poblemaya a nie je zamnięa co więcej wymaga dalzych badań óe w całej ogólności podawałyby aympoyczne zachowanie paameów p oaz odpowiadających im opymalnych popocji f * ibliogafia [] Elon EJ Gube MJ Moden Pofolio Theoy and Invemen nalyi Wiley & Son ew Yo 995 [] Felle W n Inoducion o Pobabiliy Theoy and i pplicaion Wiley & Son ew Yo 966 [3] Fanci JC Inweycje naliza i zaządzanie WIG PRESS Wazawa 000 [4] Kubi LT Rachune pawdopodobieńwa PW Wazawa 98 [5] Pęy L Jednowymiaowy maemayczny model aloacji apiału naliza yemowa w finanach i zaządzaniu om Wyżza Szoła Infomayi Soowanej i Zaządzania Wazawa 000 [6] Pęy L Dwuwymiaowy maemayczny model aloacji apiału w długooeowym hoyzoncie czaowym naliza yemowa w finanach i zaządzaniu om Wyżza Szoła Infomayi Soowanej i Zaządzania Wazawa 000 [7] Pęy L Maemayczny model opymalizacji aloacji apiału w długooeowym i śedniooeowym hoyzoncie czaowym Rozpawa dooa IS P Wazawa [8] Vince R Pofolio Managemen Fomula Wiley & Son ew Yo 990 [9] Vince R The Mahemaic of Money Managemen Wiley & Son ew Yo 99 [0] Vince R The ew Money Managemen Wiley & Son ew Yo 995 9