METODY ANALIZY OBWODÓW LINIOWYCH

Transkrypt

1 y p j y p y p y p WOJH M MTODY ANAZY OBWODÓW NOWYH wyane nerneowe

2 r. Wy. Nała egz SBN r. Wy. (oru) 5 egz. SBN Wyawncwa czelnane Aaem Technczno-olnczej w Bygozczy Wy. nerneowe (oano rozzał V) opyrgh Wojcech Meller

3 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Sp reśc Z PZDMOWY DO WYDANA...6 ozzał. PODSTAWOW POJĘA PAWA TO OBWODÓW Obwó eleryczny Prą eleryczny Napęce eleryczne Moc energa wójna lemeny obwoów ch równana Sruura obwou prawa Krchhoffa Pozał zaganeń obwoowych...7 ozzał. OBWODY NOW Z WYMSZNAM STAŁYM (STAN STAONY) Źróła rezyor lnowy Meoy analzy obwoów lnowych..... Połączene zeregowe równoległe rezyorów Meoa olejnych przezałceń Przezałcene rójąa rezyorów w równoważną gwazę gwazy w róją Zaaa proporcjonalnośc meoa welośc proporcjonalnych Zaaa uperpozycj meoa uperpozycj Zaay Thevenna Norona oraz meoa źróła zaępczego lemenarny uła równań Paramery gałęz Meoa prąów gałęzowych meoa prąów oczowych Meoa poencjałów węzłowych Przenozene źróeł w obwoze Zaaa wzajemnośc nowe źróła erowane Analza obwoów zawerających źróła erowane Zaaa ompenacj Analza obwoów wyazujących ymerę Przyroy opowez obwou wywołane zmaną w jenej z gałęz...76 ozzał. WSTĘP DO TO OBWODÓW NOWYH PĄD ZMNNGO lemeny lnowe ównana obwoów lnowych prąu zmennego...97 ozzał V. OBWODY NOW Z WYMSZNAM SNSODANYM W STAN STAONYM OAZ H ANAZA MTODĄ SYMBOZNĄ Przebeg nuoalny jego paramery Analza obwoów w zezne czau Amplua zepolona warość ueczna w poac zepolonej Dzałana na nuoalnych funcjach czau, a załana na ch ampluach zepolonych...6 Srona

4 Poać ymbolczna praw Krchhoffa Poać ymbolczna równań prąowo-napęcowych elemenów mpeancja amancja zepolona Analza obwoów meoą ymbolczną Moc czynna, berna pozorna. Moc zepolona Blan mocy czynnej, bernej zepolonej Dopaowane oborna o źróła z uwag na moc czynną... ozzał V. OBWODY NOW Z WYMSZNAM OKSOWYM W STAN STAONYM Przeawene przebegu oreowego za pomocą zeregu Fourera Szereg Fourera funcj przeunęej w czae Wpływ ymer funcj oreowej na wpółczynn zeregu Fourera Analza obwoów lnowych z wymuzenam oreowym Wmo wymuzena, a wmo opowez obwou lnowego Warość ueczna przebegu oreowego Moc czynna przy wymuzenach oreowych Warość śrena wyproowana przebegu oreowego...48 ozzał V. STANY NSTAON W OBWODAH NOWYH (ANAZA W DZDZN ZAS) San neualony, a an ualony Prawa omuacj Wyznaczane warośc począowych opowez oraz pochonych opowez na poawe warunów począowych ównana różnczowo-całowe obwoów Wyznaczane opowez wyłanczej na wymuzene wyłancze w obwoze lnowym Meoy pośrene uzywana równana charaeryycznego San neualony w obwoach z jenym elemenem magazynującym energę Analza anu neualonego w obwoach wyżzych rzęów Sablność obwoów lnowych...89 ozzał V. ANAZA OBWODÓW NOWYH Z ZASTOSOWANM PZKSZTAŁNA APA'A (MTODA OPATOOWA) Przezałcene aplace'a jego właścwośc Przezałcene owrone funcj wymernych. ozła na ułam proe Schemay zaępcze w meoze operaorowej mpeancja operaorowa Moele wójna w meoze operaorowej Wyznaczane łaowej przejścowej opowez Wyznaczane opowez na wymuzena złożone Wyznaczane opowez na oreowy cąg mpulów mpul (peuo-funcja) Draca...7 ozzał V. TWDZN TGNA JGO ZASTOSOWANA Twerzene Tellegena (poać poawowa) Twerzene Tellegena w poac różncowej ogólnona zaaa wzajemnośc...4 Srona 4

5 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych 8.4. Meoa wzajemnośc lemeny wzajemne owracalne. ła ołączony Wrażlwość pooby jej wyznaczana Twerzene Tellegena w poac różnczowej Meoa ułau ołączonego...56 TATA...65 Srona 5

6 Z PZDMOWY DO WYDANA Poręczn je przeznaczony la uenów Wyzału Teleomunacj leroechn AT erunu elerona eleomunacja. Na uach zennych przyany je o uowana przemou Teora obwoów oraz na uach zaocznych przemoów: Poawy eleroechn Techna analogowa. Jenocześne może być wyorzyany przez uenów erunu eleroechna w ramach przemou leroechna eoreyczna. W przemoach ych zaganena analzy obwoów lnowych anową część omnującą. ozzał je wprowazenem o eor obwoów uponych, a rozzał anow węp o eor obwoów lnowych prąu zmennego. W rozzale omówono obwoy lnowe prąu ałego. Przeawone w ym rozzale meoy analzy obwoów mają charaer unweralny. Dzę wyorzyanu lczb zepolonych (meoa ymbolczna) mogą być one oowane o analzy anów ualonych nuoalnych (rozzał V), a poprzez wyorzyane przezałcena aplace'a (meoa operaorowa) o analzy anów neualonych oraz baana opowez na wymuzena mpulowe (rozzał V). W rozzale V omówono analzę anu ualonego przy wymuzenach oreowych. ozzał V pośwęcono analze anów neualonych w zezne czau. Poręczn był pany przy założenu, że czyeln zna opowene zały maemay fzy. W zczególnośc oneczna je znajomość poawowych pojęć meo w zaree: analzy maemaycznej, algebry macerzy, algebry lczb zepolonych, zeregów rygonomerycznych Fourera, równań różnczowych zwyczajnych lnowych o ałych wpółczynnach, przezałcena aplace a oraz elemenów funcj zmennej zepolonej. Przywojene poawowych pojęć obwoowych wymaga znajomośc fzy w zaree zoły śrenej. Jena la głębzego zrozumena warunów opuzczających zaoowane ujęca obwoowego oneczna je weza zawara w eor pola eleromagneycznego. Słaam pozęowane prof. r hab. nż. echow óżańemu za zaware w recenzj wnlwe cenne uwag. Wyrażam równeż wzęczność r nż. Zenonow Sefanaow, óry zachęcł mne o przygoowana rypu, a naępne zechcał opnować jego perwoną werję. Srona 6

7 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych ozzał PODSTAWOW POJĘA PAWA TO OBWODÓW.. Obwó eleryczny Obwó eleryczny je o zbór urzązeń elerycznych (elemenów) oraz łączących je przewoów (ry..-) y..- W obwoze elerycznym może zachozć wymana energ pomęzy elemenam za pośrencwem łaunów elerycznych przepływających w przewoach. Warunam onecznym wyępowana wymany energ (funcjonowana obwou) ą: obecność elemenów zolnych o oawana energ o obwou (elemenów aywnych) obecność elemenów zolnych o poberana energ z obwou wyępowane w obwoze róg zamnęych la przepływu łaunu. lemeny mają ończoną (ne mnejzą nż wa) lczbę zaców. Zac ą o obzary, poprzez óre łaun eleryczne mogą wpływać o elemenu lub z nego wypływać. lemeny wuzacowe nazywa ę wójnam. W eor obwoów o paramerach uponych przyjmuje ę funamenalne założene, że przemany energ zachozą wyłączne w elemenach obwou. Z założena ego wyna ealzacja przewoów oraz ooczena obwou. W warunach rzeczywych wyępują męzy nnym ray w przewoach oraz zjawa energeyczne zwązane z polam woół obwou. Moel obwoowy je przyany, jeśl e oaowe przemany energeyczne ne mają onego znaczena. W eor pola eleromagneycznego wyazuje ę, że ujęce obwoowe może być oowane, gy pełnony je warune qua-acjonarnośc [Oow J., Szaban J., 99 95, Poawy eor obwoów. T.. WNT Warzawa]. Wyna z nego, że opuzczalne maymalne rozmary obwou ą ym mnej- Srona 7

8 ze, m zybze ą przebeg wyępujące w obwoze. Soowane moelu obwoowego w prayce wymaga oceny ego czy obwó ealny je wyarczająco ołanym przyblżenem obwou rzeczywego. W ealnym obwoze rozmary elemenów, a aże oległośc pomęzy nm ne ą one, ważny je ylo poób połączena elemenów. Schema obwou (ry..-) zawera w poac grafcznej nformację o ruurze obwou oraz cechach elemenów. Je on częo uożamany z obwoem. nerga oraz łaune eleryczny ą pojęcam perwonym eor obwoów pozwalają na op zjaw fzycznych, óre zachozą w obwoach. Jena op zależnośc wyępujących w obwoach znaczne wygonej je prowazć, poługując ę pojęcam prąu napęca elerycznego. ona je równeż możlwość ławejzego pomaru prąu napęca nż energ łaunu... Prą eleryczny W eor obwoów nereuje na prą przewozena bęący uporząowanym ruchem łaunów elerycznych w przewoach. Marą loścową prąu je warość chwlowa (naężene) prąu. Je ona oreślona przez pochoną łaunu q przepływającego przez przerój poprzeczny przewou wzglęem czau : q (.-) Warość chwlowa prąu je oana, jeśl erune (umowny) prąu je zgony z erunem ruchu łaunów oanch, a przecwny o erunu ruchu łaunów ujemnych. Przy omennych relacjach warość chwlowa je ujemna. Wybór erunu (umownego) zaznaczamy rzałą na chemace (ry..-). Wybór en je oneczny, gyż w przecwnym raze zna warośc chwlowej prąu je neoreślony. > - y..- Oznaczene prąu małą lerą bęzemy uożamal z waroścą chwlową bęącą funcją czau (). W przypau, gy mamy na myśl warość w onrenej chwl nezbęne je pełne oznaczene wazujące en momen czau, np. ( ). Zmana erunu prąu wymaga zmany znau wyępującego prze prąem we wzych równanach. W alzych rozważanach bęzemy la uprozczena warość chwlową prąu nazywal równeż prąem, o le ne zachoz obawa pomylena zjawa z jego marą loścową. Srona 8

9 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Jenoą prąu je amper (A). Przy przepływe prąu A przez przerój poprzeczny przewou w cągu przenozony je łaune... Napęce eleryczne Męzy woma punam obwou (punam należącym o przewou lub zacu elemenu) wyępuje napęce, jeśl przepływow łaunów męzy ym punam owarzyzy wyonane pracy. Marą loścową napęca je warość chwlowa napęca u. Warość chwlowa napęca u męzy woma punam obwou oreślona je przez pochoną pracy W wyonanej przy przenozenu łaunu q z jenego punu obwou o rugego wzglęem łaunu q: W u (.-) q a u b u u > u u u ab u y..- Warość chwlowa napęca u je oana, jeśl erune (umowny) napęca zwrócony je w ronę beguna oanego (ry..-). Przy przenozenu łaunu oanego o beguna oanego o beguna ujemnego energa oarczana je o elemenów, przez óre łaune je przenozony. Naoma przepływow łaunu oanego o beguna ujemnego o oanego owarzyzy poberane energ z elemenów. Dopó ne zoał wybrany erune napęca, opóy zna warośc chwlowej napęca je neoreślony. Zmana erunu wymaga zmany znau wyępującego prze napęcem u we wzych równanach. Wyboru erunu napęca można oonać równeż poprzez umezczene waźnów napęca w poac ymbol obywu punów we właścwej olejnośc, np.: u ab, o napęce o erunu zwróconym o punu a (ry..-). Zap a je eż ożamy z oreślenem napęce punu a wzglęem punu b. W leraurze angloaej na chemaach zaznacza ę umowną begunowość. Oznaczene napęca małą lerą bęzemy uożamal z waroścą chwlową bęącą funcją czau u u(). W przypau, gy mamy na myśl warość w wybranej chwl, nezbęne je pełne oznaczene wazujące en momen czau, np. u( ). W alzych rozważanach bęzemy la uprozczena warość chwlową napęca nazywal równeż napęcem, o le ne zachoz obawa pomylena zjawa z jego marą loścową. Srona 9

10 Jenoą napęca je wol (V). Jeśl napęce męzy woma punam obwou je równe V, o przy przepływe łaunu męzy ym punam wyonywana je praca J. Poencjałem punu obwou elerycznego nazywamy napęce pomęzy ym punem a przyjęym punem oneena ( maą ). Jeśl pun oneena oznaczyć ymbolem, o poencjał punu A je równy napęcu u A (ry..6-b)..4. Moc energa wójna ozważmy funcjonowane obwou zawerającego połączone ze obą wójn (ry..4-). W W u A B y..4- Jeśl napęce u oraz prą ą oane, o w przezale czau równym różnczce porcja energ W poberana je z wójna A (łaune oan q je przenozony o beguna o beguna ) oarczana o wójna B (łaune oan q je przenozony o beguna o beguna ). Korzyając z efncj warośc chwlowych prąu (.-) napęca (.-) można oblczyć: W u q u (.4-) a naępne moc chwlową z jaą energa poberana je z wójna A oarczana o wójna B: W p u (.4-) nerga oarczona z wójna A o wójna B w przezale czau o o : W u (.4-) Powyżze wzory ą poprawne równeż w oneenu o momenów czau, gy warośc chwlowe napęca lub prąu ą ujemne. Wówcza ujemny zna mocy chwlowej opowaa momenom, gy energa je przeazywana Srona

11 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych z wójna B o wójna A. Naoma ujemna warość cał (.4-) śwaczy o ym, że energa zoała przeazana z wójna B o wójna A. nerpreacja znau mocy chwlowej uzależnona je o poobu rzałowana (relacj męzy erunam prąu napęca) wójna. Przy zw. rzałowanu źrółowym umowny prą wypływa przez umowny begun oan (ry..4-a). Wówcza w chwlach, gy warość loczynu u je oana wójn energę wyaje. jemna warość opowaa naoma yuacj, gy wójn energę pobera. Omenny poób rzałowana, czyl zw. rzałowane obornowe, przy órym umowny prą wpływa o wójna przez umowny begun oan (ry..4-b) wymaga owronej nerpreacj znau loczynu u. Poobne ja wybór erunów prąu napęca, poób rzałowana wójna je owolny. Należy jena pamęać o wpływe erunów na zna prąów napęć w równanach. Jenocześne można ocenć czy poób rzałowana je nauralny, czy zuczny. Barzej nauralny je en, óry zmnejza lczbę znaów w równanach waroścach lczbowych. a) b) u u y..4- W obwoze łaającym ę wyłączne z wójnów pełnene zaay zachowana energ wymaga realzacj blanu mocy chwlowych wzych elemenów: źr u u (.4-4) gze: źr wzye wójn ze rzałowanem źrółowym, ob wzye wójn ze rzałowanem obornowym. ob.5. lemeny obwoów ch równana.5.. lemeny wymuzające (źróła) Źróło napęca (ry..5-a) je wójnem, órego napęce u je nezależne o prąu, przy czym: Λ u e (.5-) gze e e() je zaaną funcją czau oreślającą napęce źrółowe. Srona

12 Źróło prąu (ry..5-b) anow wójn, órego prą je nezależny o napęca u, przy czym: Λ j (.5-) gze j j() je zaaną funcją czau oreślającą prą źrółowy. u a) b) e j u u y..5- Srzał umezczone w ymbolu grafcznym źróeł oreślają ch zwro. Źróła ą elemenam aywnym, gyż mogą oarczać energę o obwou. Generowane przez źróła przebeg ą nezależne pełną rolę wymuzeń w oneenu o pozoałych prąów napęć, óre ą opowezam obwou..5.. lemeny newymuzające (oborn) lemeny newymuzające opywane ą równanam zawerającym zarówno prąy, ja napęca wyępujące na ch zacach. Wpółczynn wyępujące w równanach ą parameram elemenów. Pozał elemenów można przeprowazć zgone z layfacją równań wążących warośc chwlowe prąów napęć. a) b) u u y..5- Na przyła oę półprzewonową (ry..5-a) można opać za pomocą równana: u ( ) a onenaor (ry..5-b) poprzez zwąze: e (.5-) u (.5-4) Z uwag na poać równana (.5-) oę zalczamy o elemenów nelnowych, a onenaor oreślony równanem (.5-4) o elemenów lnowych. Srona

13 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Obywa poane powyżej przyłaowe elemeny należą o grupy elemenów acjonarnych, poneważ w ch równanach cza ne wyępuje w poób jawny. Gyby równane onenaora przybrało poać: u [ n( ω )] (.5-5) melbyśmy o czynena z elemenem neacjonarnym (paramerycznym). Właścwośc aego elemenu zmenają ę w czae..5.. lemeny ealne, a elemeny rzeczywe ównana elemenów anową efncję elemenów ealnych. Są one moelam elemenów rzeczywych. W zaoowanach należy meć na uwaze ołaność przyblżena oraz ogranczony zare napęć prąów, w órym moel ma zaoowane. Zaganena worzena moel, a aże wyboru moelu o wyarczającej zgonośc z elemenem rzeczywym leżą na pogranczu eor obwoów ycypln aplacyjnych. Można eż poać ę z zaanem owronym, gy zmerzamy o zbuowana elemenu rzeczywego o włanoścach możlwe blch elemenow ealnemu. ównana najprozych elemenów rzeczywych (np. cew, onenaora) można uzyać na poawe analzy omnujących zjaw fzycznych zachozących w ych elemenach (p. rozz. ). Jena zachowane ychże elemenów, np. w obwoach z przebegam zybozmennym, wymaga uwzglęnena aże nnych zjaw, óre zaczynają wpływać na zwąz męzy napęcem a prąem na zacach elemenów. W amej eor obwoów poługujemy ę elemenam ealnym przyjmujemy, że zwąz napęć prąów na zacach elemenów ą ane. Ne wnamy eż w mechanzm zjaw, óre e zwąz wywołują..6. Sruura obwou prawa Krchhoffa.6. Gałęze, węzły ocza Spoób połączena elemenów oreśla ruurę obwou. ównana wynające ze ruury obwou ą realzacją zaay zachowana energ w całym obwoze oraz zaay zachowana łaunu w owolnej wyorębnonej częśc obwou. Zaay e w oneenu o prąów napęć ą zaware w prawach Krchhoffa. Sformułowane praw Krchhoffa wymaga oreślena pojęć zwązanych ze ruurą obwou. Przyjmemy założene, ż elemenam obwou ą wyłączne wójn. Jao gałąź ruury można uznać aży z wójnów worzących obwó, wówcza węzłem je aży pun połączena wójnów. Jeśl rozważany obwó zawera połączena zeregowe wójnów (np. elemeny 6 na ry..-), można zreuować lczbę elemenów ruury, przyjmując naępu- Srona

14 jące efncje. Gałąź anow wójn lub zeregowe połączene wójnów. Węzeł je o pun połączena co najmnej rzech gałęz. Ten poób efnowana gałęz węzła przyjmemy za poawowy. Oczo o roga zamnęa uworzona z gałęz. Przeawene obwou lurujące ylo jego ruurę (bez nformacj o cechach elemenów worzących jego gałęze) nazywamy grafem obwou. Przyłaowy obwó jego graf poazano na ryunu Perwze prawo Krchhoffa ( PK) Suma algebraczna warośc chwlowych prąów w gałęzach ołączonych o owolnego węzła obwou je równa zeru: (.6-) gze: warość chwlowa prąu w -ej gałęz wzęa ze znaem, jeśl erune prąu je zwrócony o węzła, a ze znaem w przecwnym przypau. Na przyła la węzła wocznego na ryunu.6-a można zapać: (.6-a) 4 Słuzność PK wyna bezpośreno z zaay zachowana łaunu w węźle. a) b) y..6- PK można oować w oneenu o prąów w przewoach łączących pewną wyorębnoną część obwou z rezą obwou. Wówcza a wyorębnona część raowana je jao jeen węzeł. Na przyła w obwoze przeawonym grafem na ryunu.6-b prąy ą zwązane zależnoścą: (.6-b) Druge prawo Krchhoffa ( PK) Suma algebraczna warośc chwlowych napęć na gałęzach owolnego ocza obwou je równa zeru: Srona 4

15 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych u (.6-) gze: u warość chwlowa napęca na -ej gałęz wzęa ze znaem, jeśl erune napęca u je zgony z erunem obchozena ocza, a ze znaem, jeśl je nezgony. Jenoczene pełnene perwzego rugego prawa Krchhoffa zapewna realzację zaay zachowana energ w obwoze (p..6.4). Na przyła la ocza wocznego na ryunu.6-a można zapać (po założenu erunu obchozena ocza zgonego z erunem ruchu wazówe zegara): u u u u (.6-4) 4 a) u b) A u AB B u 4 u u A u B u y..6- PK je łuzne równeż w oneenu o owolnego zamnęego łańcucha napęć męzy punam obwou. W zczególnośc a łańcuch worzy napęce u AB wraz z poencjałam: u A u B (ry..6-b). Dlaego można zapać: u AB u u (.6-5) A B Należy poreślć, że zależność (.6-5) ne je efncją napęca, a wyna z PK Prawa Krchhoffa, a zaaa zachowana energ Na poawe perwzego rugego prawa Krchhoffa uowonmy realzację zaay zachowana energ. Poneważ powyżze prawa ne zależą o cech elemenów, óre worzą obwó, a jeyne o jego ruury, rozważana można prowazć poługując ę grafem obwou (ry..6-). Przyjmemy, że męzy owolnym woma węzłam znajuje ę jena gałąź. Prą w owolnej gałęz oznaczymy woma neam oznaczającym nu- Srona 5

16 mery węzłów, o órych ołączona je gałąź. Kolejność neów oreśla erune prąu. PK może być zapane la ażego z,..., (w ) węzłów w poac zwyłej umy (wzye prąy erowane o węzła): w ( )( l) l (.6-6) ()(l) p (l)() (l) () () () () ()() (5)() ()() ()() (5) u p (l)(6) (6) y..6- Przy ym prą ()(). Zerowa je równeż warość prąu ()(l), jeśl męzy węzłam oraz l gałąź ne wyępuje. Suma loczynów olejnych poencjałów u ()() przez umy prąów w -ym węźle (.6-6) je równa zero: w w u ( )() ( )( l) (.6-7) l Po założenu rzałowana obornowego prąu p oraz napęca u p ażej z g gałęz (ry..6-) wyażemy, orzyając z PK, że: w g w u l u p (.6-8) ( )() ( )( ) p l p Prą owolnej gałęz ()(l) ne ołączonej o węzła oneena (l ) wyępuje po lewej rone równana (.6-8) wurone: raz jao ()(l) w ume mnożonej przez u ()(), a rug raz jao (l)() w ume mnożonej przez u (l)(). Poneważ ()(l) p, a (l)() p, o aży z prąów gałęzowych mnożony je przez różncę poencjałów u ()() u (l)(), a a z ole, w myśl PK, je równa napęcu gałęzowemu u p. W oneenu o gałęz ołączonych o węzła oneena ochozmy o analogcznego wnou, gyż prąy ych gałęz ()() p wyępują pojeynczo. Są one mnożone przez poencjały u ()() bęące jenocześne napęcam gałęzowym u p. Srona 6

17 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych ównoczene pełnene równań (.6-7) (.6-8) oznacza realzację zaay zachowana energ w obwoze: g p u (.6-9) p p co anowło ezę owozonego werzena. ównane (.6-9) anow zczególną poać blanu mocy chwlowej (.4-4) zapanego przy założenu, że zaoowano wyłączne rzałowane obornowe. W yuacj, gy męzy woma węzłam znajuje ę la połączonych równolegle gałęz można przyjąć wpólny erune napęca, co przy rzałowanu obornowym gałęz pozwala wyznaczyć prą całowy jao zwyłą umę prąów połączonych gałęz. W grafe na ryunu.6- połączene równoległe reprezenowane je jeną gałęzą z prąem równym prąow całowemu. Dla nazych rozważań one je, że loczyn warośc chwlowych napęca prąu całowego je równy ume loczynów napęć prąów gałęz worzących połączene równoległe. W przypau welowronów aże wroa anową w ene ruuralnym wójn. Ta węc, wyazane zwąz praw Krchhoffa z blanem energeycznym oyczą owolnych obwoów zbuowanych z wójnów welowronów..7. Pozał zaganeń obwoowych Poawowym zaanem eor obwoów je analza oraz yneza obwoów. Analza polega na oreślenu prąów oraz napęć w obwoze o zaanej ruurze zbuowanym z elemenów o znanych właścwoścach (paramerach). Meoy analzy różną ę w zależnośc o: a) charaeru funcj wymuzających (ałe, nuoalne, oreowe, owolne), b) rozaju funcj opujących elemeny newymuzające (lnowe lub nelnowe acjonarne lub parameryczne), c) zgonośc funcj oreślających opowez z funcjam opującym wymuzena (an ualony neualony). W obwoach, w órych załają wymuzena ałe, nuoalne lub oreowe an ualony neje, gy opowez ą oowne: ałe, nuoalne lub oreowe. W najprozym przypau mamy o czynena z obwoam, w órych załają wymuzena ałe, elemeny opywane ą równanam lnowym ne zawerającym czau w charaerze parameru, a an je ualony, czyl opowez poobne ja wymuzena ą ałe. Obwoy ae bęą obeem nazych zanereowań w naępnym rozzale. Srona 7

18 Przecwnym o analzy je zaane ynezy. Jej celem je zaprojeowane obwou o zaanych właścwoścach, zn. oreślene jego ruury oraz paramerów elemenów. Srona 8

19 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych ozzał OBWODY NOW Z WYMSZNAM STAŁYM (STAN STAONY).. Źróła rezyor lnowy Począowo rozważać bęzemy obwoy, w órych obo wymuzeń ałych, źróeł napęca (ry..-) oraz prąu (ry..-), znajować ę bęą rezyory (ry..-). ezyor (lnowy) je wójnem o równanu: gze rezyancja. Owroność rezyancj nazywa ę onuancją G: (.-) G (.-) W ułaze jenoe S jenoą rezyancj je om (Ω), a onuancj - men (S). J J J y..- y..- y..- y..-4 Srona 9

20 Moc z jaą energa je oarczana o rezyora: P G (.-) Zwyle przyjmuje ę, że rezyor je elemenem paywnym, czyl nezolnym o oarczana energ o obwou. Przy oanm paramerze warune en je zawze pełnony. Poreślć rzeba, że równane (.-) opuje rezyor przy zaoowanu rzałowana obornowego (ry..-). Przy rzałowanu źrółowym (ry..-4) równane rezyora przybera poać: (.-4) Je oczywym, że zna parameru ne ma wpływu na poać równana. Granczną poacą rezyora je zwarce, czyl wójn o rezyancj zerowej. Zwarce je eż granczną poacą źróła napęca o paramerze. Granczną poacą rezyora je równeż przerwa, czyl wójn o onuancj zerowej. Przerwa je eż granczną poacą źróła prąu o paramerze J. Tablca.-. Granczne poac elemenów Nazwa gałęz chema J zwarce G przerwa G J Szczególnym elemenam obwoów ą przyrząy pomarowe. ealny amperomerz wazuje warość prąu A. elacja męzy erunem umownym prąu A a znaam na jego zacach poazana je na ryunu.-5a. a) b) A V - - A V A V y..-5 ealny wolomerz wazuje warość napęca V. elacja męzy erunem umownym napęca V a znaam na jego zacach poazana je na ryunu.-5b. Poneważ przyrząy ealne ne poberają energ A Srona

21 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych oraz V. W ene obwoowym amperomerz je równoważny zwarcu, a wolomerz przerwe. zeczywym źrółam napęca ałego ą różnego rozaju ognwa elerochemczne, aumulaory, prąnce p. Jena charaeryy najblżze ealnym mają zalacze eleronczne łużące zarówno jao źróła napęca, ja prąu. Źróła rzeczywe mają ogranczoną moc. Wyępuje eż wpływ obcążena na wywarzane napęce lub prą. Dlaego w najprozym moelu rzeczywego źróła napęca zeregowo z ealnym źrółem napęca włączony je rezyor. W moelu rzeczywego źróła prąu rezyor włączony je równolegle o ealnego źróła prąu. Opoweno obrane rezyancje (zwyle małe la źróeł napęca uże la źróeł prąu) ych rezyorów nazywa ę rezyancjam wewnęrznym źróeł. ezyory rzeczywe pełnają prawo Ohma w ogranczonym zaree napęć prąów. Wąże ę o przee wzym z opuzczalną la anego rezyora waroścą maymalnej mocy, óra może być w nm wyzelana. W pewnych warunach należy uwzglęnć wpływ czynnów zewnęrznych (np. emperaury) na rezyancję. zeczywe przyrząy pomarowe mają oreśloną rezyancję. Jeśl w przypau amperomerza je ona opoweno mała, a w przypau wolomerza opoweno uża, wówcza obecność przyrząów ne wpływa one na warość welośc merzonej. W porozzale.9 przeawono meoy, óre mogą być równeż zaoowane o wyznaczana zman opowez wywołanych ołączenem rzeczywych przyrząów pomarowych. Pozwalają one ocenć, czy wpływ ończonej rezyancj merna je pomjalny (analogczne można baać znaczene rezyancj wewnęrznej źróeł)... Meoy analzy obwoów lnowych Meoy bezpośrene (formalne) polegają na buowanu ułaów równań wzglęem oreślonych opowez obwou. W ej grupe meo najważnejze ą: meoa prąów oczowych, meoa poencjałów węzłowych. Nazwa ej grupy meo wywoz ę ą, że przy ch uzaananu owołujemy ę bezpośreno o praw Krchhoffa równań elemenów. Naoma nne poejśce o analzy przewuje onruowane algorymów, wyorzyujących werzena wynające z zaa oyczących wzelch ułaów lnowych oraz analzy zacowej obwou. Do ej grupy meo, óre nazywamy pośrenm (fzycznym) należą m.n.: meoa olejnych przezałceń meoa welośc proporcjonalnych meoa uperpozycj meoa źróła zaępczego. Srona

22 Należy poreślć, że powyżze meoy znajują zaoowane ne ylo pocza analzy obwoów lnowych prąu ałego, ale równeż w race analzy obwoów lnowych prąu nuoalnego (w ramach meoy ymbolcznej) oraz obwoów lnowych w ane neualonym (w ramach meoy operaorowej). Meoa ymbolczna oraz operaorowa zoaną przeawone późnej, ale ueczne poługwane ę ym śroam bęze wymagało obrego opanowana meo analzy, óre poznamy na przyłaze obwoów prąu ałego... Połączene zeregowe równoległe rezyorów Poneważ na zacach zewnęrznych wójna złożonego z rezyorów napęce je wpro proporcjonalne o prąu, elemenem zaępczym połączena je rezyor, órego paramer nazywamy rezyancją równoważną. Poawowe cechy połączena zeregowego rezyorów (ry..-): a) prąy wzych rezyorów ą jenaowe:,,..., n (.-) n n n y..- b) napęca na rezyorach ą proporcjonalne o ch rezyancj: ezyancja równoważna: l, l,,... n (.-) l n (.-) Napęce na jenym z wóch zeregowo połączonych rezyorów (zeln napęcowy): (.-4) Poawowe cechy połączena równoległego (ry..-): a) napęca na wzych rezyorach ą jenaowe:,,..., n (.-5) Srona

23 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych b) prąy rezyorów ą owrone proporcjonalne o ch rezyancj: n n n y..- l l, l,,..., n (.-6) ezyancja równoważna: przy n :.4. Meoa olejnych przezałceń n (.-7) Prą jenego z wóch połączonych równolegle rezyorów (zeln prąowy): (.-8) zyelnow pozoawa ę uzaanene poanych cech połączeń rezyorów. Soowane ej meoy polega na wyorzyanu zależnośc wynających z połączena zeregowego lub równoległego rezyorów je możlwe ylo w obwoach z jenym wymuzenem. Poępowane: a) b) J y..4- a) uprozczene (zwnęce) obwou przez zamanę połączeń rezyorów rezyoram równoważnym, aż o uzyana ruury pozwalającej na wyznaczene opowez wpro, zn. bez rozwązywana ułaów równań (np. ruury ja na ryunu.4-a b), b) wyznaczene olejnych opowez w gałęzach perwonych obwou poprzez wyorzyane cech połączeń zeregowych równoległych lub praw Krchhoffa (rozwnęce). Srona

24 Przyła.4-. Wyznaczymy wzye prąy oraz napęce w obwoze poazanym na ryunu.4- przy rozwarym przełącznu K. 4 4 K K y..4- Dane: 8 V, 4 6 Ω, Ω a) Kolejno oblczamy równoważne rezyancje połączeń zeregowego : 6 Ω równoległego : Ω zeregowego 4 : 4 9 Ω oraz prą płynący przez źróło napęca: A b) Z połączena zeregowego oraz 4 wyna: 4 A a z połączena równoległego : Dla połączena zeregowego mamy: Z PK: Z PK: A 5 V A Przyła.4-. Wyznaczymy wzye prąy w obwoze z poprzenego przyłau przy zwarym przełącznu K. O razu zauważamy, że jeną z opowez można wyznaczyć wpro: 6A. W celu oblczena prąu zwjamy część obwou: Ω A oblczamy: 4,5Α Srona 4

25 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych W wynu rozwnęca: 4 4,5A Z PK: 4,75 A, 8,5 A, 7,5 A W obwoach zawerających pona czery rezyory może ę oazać, że bra je połączeń zeregowych lub równoległych ne można za pomocą poanych oą zależnośc oprowazć o uprozczena ruury (np. ry..5-). W ych yuacjach przyane ają ę przezałcena opane w naępnym punce..5. Przezałcene rójąa rezyorów w równoważną gwazę gwazy w róją a) a b) a c) a a a a ab a ca ab c ca bc bc b c c c b c b c b b y..5- Zarówno róją rezyorów (ry..5-a), ja gwaza (ry..5-b) ocenane o rony zaców zewnęrznych przeawają obą rójn (elemeny z rzema zacam) (ry..5-c). Dwa elemeny ą równoważne, jeśl w jenaowy poób wążą prąy napęca na woch zacach. Zapzemy zwąz wyępujące męzy napęcem ab a prąam a, b oraz c la rójąa gwazy rezyorów. Porównane funcj opujących wpomnane zwąz umożlw oreślene warunów równoważnośc ych ułaów. Poneważ zgone z PK uma rzech wymenonych wyżej prąów je równa zeru, za zmenne nezależne przyjmemy prąy a oraz b. Porównywać naoma bęzemy funcje ab f ( a, b ). Dla ułau gwazy można zapać: ab a a b b b c (.5-) Dla ułau rójąa zapzemy równana wynające z PK la węzłów a b oraz PK la ocza, óre worzy róją: ca bc ab ab ab ab a b bc bc ca ca b (.5-) Srona 5

26 po wyelmnowanu prąów ca oraz bc orzymujemy: a alej: gze: ab ab ab ab ca a bc b (.5-) ab ca bc ab a ca ab bc b (.5-4) ab bc ca (.5-5) Z porównana funcj uzyanych la gwazy (.5-) rójąa (.5-4) wyna, że równoważność ych rójnów zaneje, gy: a b ca ab ab bc (.5-6) Zauważmy, że wzór na b można uzyać z zależnośc na a po oonanu ołowej zamany waźnów a b c a, wyna o ze zczególnej ymer rozważanych ułaów. Dla orzymana wzoru na c wyarczy przeprowazć poobną operację na wyrażenu łużącym o oblczana b : bc ca c (.5-7) zyane zwąz można formułować łowne: rezyancja promena gwazy równoważnej anemu rójąow je równa loczynow rezyancj boów rójąa wychozących z werzchoła opowaającego emu promenow, zelonemu przez umę rezyancj boów rójąa. Przezałcena gwazy w równoważny róją można oonać poługując ę wzorem: ab a b a b (.5-8) oraz uzyanym poprzez ołową zamanę waźnów wzoram na bc ca. Tym razem ażą z ych zależnośc można formułować: rezyancja bou rójąa równoważnego anej gweźze je równa ume rezyancj promen gwazy wychozących o werzchołów zawązanych z anym boem powęzonej o loczyn rezyancj ychże promen, pozelony przez rezyancję rzecego promena gwazy. Poprawność wzoru (.5-8) można prawzć poawając w mejce a, b c wyrażena wynające ze wzorów (.5-6) (.5-7). c Srona 6

27 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Przyła.5-. Wyznaczymy wzye prąy oraz napęce ab w obwoze poazanym na ryunu.5-. Dane: J A, 5 Ω, 5 Ω, 4 Ω, 5 Ω a b J a b J a b c y..5- c y..5- c Dla uprozczena obwou o poac pozwalającej na wyznaczene opowez nezbęne je zaoowane przezałcena rójąa ( lub 4 5 ) w gwazę albo gwazy ( 4 lub 5 ) w róją. Przy wymuzenu prąowym orzynejze je wyorzyane przezałcena róją-gwaza, a ze wzglęów rachunowych lepej wybrać róją 4 5, la órego: 4 5 ezyancje równoważnej gwazy (ry..5-): a Ω Ω b Ω c 6Ω Z zelna prąowego: Z PK, PK oraz równana rezyora: 4 5 J ab J b J a b,8 A, A 4 A A ab, A V Srona 7

28 Zaaa proporcjonalnośc meoa welośc proporcjonalnych W owolnym fzycznym ułaze lnowym opoweź je wpro proporcjonalna o wymuzena wywołującego ę opoweź. Dlaego w obwoze lnowym, w órym zała ylo jeno źróło (napęca lub prąu) wzye prąy napęca ą wpro proporcjonalne o warośc wymuzena (napęca lub prąu źrółowego). Meoa welośc proporcjonalnych opara na ej zaaze może być oowana o analzy obwoów, w órych jeyne źróło ołączone je o rezyorów worzących ruurę rabnową (np. obwó przeawony na ryunu.6-). Poępowane: a) załaamy warość opowez w gałęz rajnej wzglęem źróła, b) oblczamy olejne opowez, óre muzą owarzyzyć przyjęemu założenu (, ) oraz wymuzene, óre wywołuje założoną opoweź ( lub J ) wyznaczamy wpółczynn proporcjonalnośc: c) wyznaczamy fayczne opowez w obwoze: p / lub p J/J (.6-) p oraz p (.6-) Przyła.6-. Wyznaczymy prą 5 oraz napęce w obwoze przeawonym na ryunu.6-. Dane: 5 V, 4 Ω, 8 Ω, 6 Ω, 4 7 Ω, 5 4 Ω y..6- Załaamy warość prąu: 5 A Konewencją ego założena ą warośc pozoałych opowez: V, 4 5 / 4 A, 4 5 A 5 V, / 4 A, 7 A oraz wymuzena napęcowego: 6 V Wpółczynn proporcjonalnośc: p /,5 Warośc pozuwanych opowez: 5 p 5,5 A p 8 V Srona 8

29 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych.7. Zaaa uperpozycj meoa uperpozycj W owolnym fzycznym ułaze lnowym opoweź na załane lu wymuzeń je równa ume opowez na aże wymuzene załające z oobna. Meoa uperpozycj pozwala na prowazene analzy obwou lnowego z weloma źrółam o welu analz obwoów z jenym źrółem. Spoób oblczana ych obwoów ne je przemoem meoy uperpozycj. Poępowane: J J y..7- a) wyznaczamy opowez częścowe y (l) wywołane przez pozczególne wymuzena załające pojeynczo (pozoałe oraz J ). Źróła o paramerach zerowych przyberają poać przeawoną na ryunu.7-, czyl źróło napęca zaępujemy zwarcem, a źróło prąu przerwą. b) opowez pełne uzyujemy poprzez umowane opowez częścowych: gze n lczba źróeł w obwoze. n l ( l) y y (.7-) Doą załaalśmy jenorone rzałowane opowez w obwoze perwonym we wzych obwoach, w órych wyznaczane były opowez częścowe. Jeśl jenoroność a ne je zachowana wzór (.7-) należy zmoyfować o poac: n l ( l) y α y (.7-) gze α l przyjmuje warość lub w zależnośc o ego czy rzałowane opowez y y (l) je zgone, czy eż nezgone. l Srona 9

30 Przyła.7-. Wyznaczymy wzye prąy oraz napęce ab w obwoze poazanym na ryunu.7-. Dane: J A, V, 5 Ω, 5 Ω, 4 Ω, 5 Ω J a b y..7- Poneważ w obwoze załają wa wymuzena, pełne opowez można uzyać, nałaając opowez cząowe obwoów przeawonych na ryunu.7-a b. Opowez obwou z ryunu.7-a (y') zoały wyznaczone w przyłaze.5-. a) ' ' b) " " J a ' b a " b ' 4 '5 " 4 " y..7- Analzę obwou z ryunu.7-b przeprowazmy meoą olejnych przezałceń: " A " " ",5 A 4 ab " " 5 V ( ) 4 Ω, " " A 4 5 " " -,5 A " " 4 5,5 A Zeawene opowez cząowych oraz wyn ońcowe przeawono w abel.7-. Srona

31 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Tabela.7- y y' y" y y' y" [A],,, [A],8 -, -, [A],,5,7 4 [A],,5,5 5 [A], -,5,5 ab [V] Zaay Thevenna Norona oraz meoa źróła zaępczego.8.. Dwójn ypu oraz wójn ypu J Wśró wójnów zawerających wymuzena można wyorębnć ch wa zczególne ypy: yp oraz yp J. Dwójn ypu charaeryzują ę ym, ż napęce na ch zacach ne zależy o przepływającego prąu. W najprozym przypau am wójnem je źróło napęca. Przyła złożonego wójna ypu przeawono na ryunu.8-. Dla wójna ego zawze, laego wójnem równoważnym je źróło napęca. J 4 y..8- J 5 5 J J J J y..8- Dwójn ypu J wyróżna ę ym, że płynący przez jego zac prą ne zależy o napęca. Najprozym wójnem ego ypu je źróło prąu. Przyła złożonego wójna ypu J przeawono na ryunu.8-. Tym ra- Srona

32 zem prą wójna nezależne o napęca wyno J J J, laego równoważnym wójnem je źróło prąu J J J J..8.. Zaaa Thevenna Dowolne złożony wójn zawerający źróła rezyory lnowe (ne bęący wójnem ypu lub J) je równoważny wójnow uprozczonemu o poac zeregowego połączena źróła napęca T rezyora lnowego T (ry..8-). J T T y..8- Napęce źrółowe T je równe napęcu j męzy rozwarym zacam wójna złożonego (zwro źróła T wzglęem zaców zewnęrznych je a am ja erune umowny napęca j ) (ry..8-4a). ezyancja T je równa rezyancj równoważnej wójna złożonego oreślonej przy założenu, że wymuzena wójna ne załają (ry..8-4b). a) b) J j T J T y..8-4 Dwójn na ryunu.8-4a znajuje ę w zw. ane jałowym, poneważ przy obecnośc wymuzeń wewnąrz wójna prą przez jego zac ne płyne, ą oznaczene napęca j. Jeśl wójn: złożony uprozczony (ry..8-) ą równoważne, wówcza zależność napęca (wyępującego na ch zacach) o prąu źrółowego J p pownna być jenaowa w obywu ułaach (ry..8-5). W ułaze z wójnem uprozczonym (ry..8-5b): (.8-) b T T J p Srona

33 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych a) J a T b) T J p b J p y..8-5 W ułaze z wójnem złożonym (ry..8-5a) napęce a można wyznaczyć przez uperpozycję łaowej ' a powoowanej przez źróła wewnęrzne wójna (ry..8-6a) oraz łaowej " a wywołanej przez zewnęrzne źróło J p (ry..8-6b). a) b) J ' a J " a J p y..8-6 Słaowa ' a je równa opowez napęcowej j w obwoze na ry..8-4a, czyl ma warość równą napęcu źrółowemu T. W ułaze na ry..8-6b źróło prąu je ołączone o wójna o rezyancj T (p. ry..8-4b). Dlaego łaowa " a je równa loczynow rezyancj T prąu źrółowego J p. Nałożene łaowych aje wyn: a (.8-) T Porównane wzoru (.8-) ze wzorem (.8-) powerza równoważność wójnów złożonego oraz uprozczonego łuzność zaay Thevenna. ezyancja T wójnów ypu je równa zero laego wójn równoważny zawera ylo źróło napęca T (por. ry..8-). Naoma wójn ypu J ne mają moelu wyępującego w zaaze Thevenna..8.. Zaaa Norona Dowolne złożony wójn zawerający źróła rezyory lnowe (ne bęący wójnem ypu lub J) je równoważny wójnow w poac równoległego połączena źróła prąu J N rezyora lnowego T (ry..8-7). T J p Srona

34 J J N T y..8-7 Prą źrółowy J N je równy prąow zwarca wójna złożonego zw (zwro źróła J N wzglęem zaców zewnęrznych je przecwny o erunu umownego prąu zw ) (ry..8-8a). ezyancja T, poobne ja w wójnu uprozczonym Thevenna opowaa rezyancj równoważnej wójna złożonego oreślonej przy założenu, że wymuzena wójna ne załają (ry..8-4b). a) b) J zw T zw T y..8-8 Poneważ prą źrółowy J N równa ę prąow zwarca wójna złożonego zw, o można go wyrazć poprzez paramery wójna uprozczonego Thevenna (ry..8-8b): T J N zw (.8-) T J N T c J p y..8-9 Wyznaczymy zależność napęca c na zacach wójna uprozczonego o prąu źrółowego J p (ry..8-9): J (.8-4) c T N T J p Srona 4

35 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Prą źrółowy J N można wyrazć przez T T (.8-), wey: c (.8-5) T T J p Porównane z analogczną zależnoścą la wójna złożonego (.8-) powerza równoważność wójnów ołączonych o źróła J p : złożonego w obwoze z ryunu.8-5a uprozczonego weług zaay Norona w obwoze z ryunu.8-9. Dwójn ypu J, po założenu że wymuzena wewnęrzne ne załają przezałcają ę w wójn równoważne przerwe. Oreślona je węc jeyne onuancja G T / T, óra równa je zero. Dlaego wójn równoważny zawera ylo źróło prąu J N (por. ry..8-). Naoma wójn ypu ne poaają moelu wyępującego w zaaze Norona Meoa źróła zaępczego Meoa a je przyana przy wyznaczanu opowez w jenej, owolnej, gałęz obwou. Sanow zczególne przyane narzęze, gy należy wyznaczać ą opoweź la różnych paramerów analzowanej gałęz. W perwzej olejnośc uprazczamy (wg zaay Thevenna lub zaay Norona) wójn złożony, o órego je ołączona gałąź analzowana. Naępne oblczamy pozuwaną opoweź w proym obwoze zawerającym gałąź analzowaną ołączoną o wójna uprozczonego. Przyła.8-. Wyznaczymy prą 4 la naępujących przypaów: a) w obwoze z ryunu.8-, la wóch warośc napęca źrółowego 4 : 5 V V; b) w obwoze zmoyfowanym poprzez włączene rezyora 4 w mejce źróła napęca 4 (w rezulace obwó przybera poać ja w przyłaze.7-) la czerech warośc rezyancj 4 : Ω, Ω, 5 Ω Ω; Dane: J A, V, 5 Ω, 5 Ω, 5 Ω J a b 4 5 c 4 y..8- Srona 5

36 a J a b T c 5 T c y..8- We wzych przypaach zmany oyczą gałęz ołączonej o zaców a c złożonego wójna (ry..8-a). Zgone z zaaą Thevenna wójn en można zaąpć wójnem uprozczonym z elemenam o paramerach T T (ry..8-b). Napęce źrółowe T je równe napęcu anu jałowego j (ry..8-a). Poługując ę meoą uperpozycj można uzyać: T j J ( 5 ) V a) b) J a b a b c j 5 c 5 y..8- ezyancja T je równa rezyancj równoważnej wójna złożonego przy ne załających wymuzenach, czyl rezyancj męzy zacam a oraz c wójna z ryunu.8-b: T ( ) 5 5Ω Naępne przechozmy o analzy ułau uprozczonego (ry..8-). Srona 6

37 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych a) b) T 4 T T T y..8- W częśc a) zaana bęze o uła ja na ryunu.8-a, w órym pozuwany prą 4 : 4 T T 4 V 4 5Ω Dla 4 5 V orzymujemy 4,4 A, a przy 4 V prą 4,4 A. Naoma w częśc b) zaana orzyamy z obwou na ryunu.8-b. Tym razem prą 4 : 4 T T 4 V 5Ω Dla zaanego zeregu warośc 4 : Ω, Ω, 5 Ω Ω orzymujemy zereg opowez 4 : A,,5 A,, A,8 A lemenarny uła równań lemenarnym ułaem równań nazywamy uła równań wzglęem prąów napęć wzych gałęz obwou. czba newaomych w ruurze zawerającej g gałęz wyno g. Wśró równań elemenarnego ułau wyróżna ę równana ruury gałęz. Poneważ równana pozczególnych gałęz ą nezależne wyępują w lczbe g, elemenarny uła równań pownen eż zawerać g nezależnych równań ruury..9.. ównana ruury. Węzły ocza nezależne ównana ruury, o zbór równań nezależnych wynających z prawa Krchhoffa. Jeśl zapzemy równana wg prawa Krchhoffa ( PK) la wzych w węzłów, o w równanach ych aży z prąów gałęzowych wyępuje wurone, przy czym raz ze znaem, a naępne ze znaem. Ne orzymujemy węc zboru równań nezależnych. czba równań nezależnych wg PK je mnejza o o lczby węzłów obwou wyno w. Węzły, la órych worzymy e równana nazywamy węzłam nezależnym, a pozoały węzłem oneena. Srona 7

38 Poneważ całowa lczba równań ruury je równa g, o lczba równań nezależnych, óre pownnśmy uzyać na baze prawa Krchhoffa ( PK) wyno g (w ). czba ocze nezależnych, czyl ach, la órych zbór równań wg PK je zborem równań nezależnych, je węc eż równa g (w ). W przypau obwoów, óre mogą być przeawone na płazczyźne bez rzyżowana ę przewoów (obwoów planarnych) jeen z możlwych zborów ocze nezależnych worzą wzye wewnęrzne ocza ec. W celu uzyana zboru ocze nezależnych w owolnym, równeż neplanarnym, obwoze można połużyć ę algorymem: ) wybrać owolne oczo obwou, ) uunąć z obwou jeną z gałęz ego ocza, ) powarzać czynnośc.. opó z pozoałych gałęz można uworzyć oczo. Ocza wybrane w punce. worzą zbór ocze nezależnych. unęce z obwou jenej z gałęz wybranego ocza powouje nezależność wzglęem naępnych ocze, gyż w naępnych równanach ne może wyąpć jeno z napęć wybranego ocza. neją meoy wyznaczana ocze nezależnych wyorzyujące eorę grafów [hua.o., Pen-Mn n, 98, Kompuerowa analza ułaów eleroncznych. WNT Warzawa]. Na ryunu.9-a przeawono przyłaowy obwó, a na ryunu.9-b jego graf. ównana ruury obwou można zapać na poawe grafu po zaznaczenu erunów napęć prąów wzych gałęz. a) A b) A B 4 5 B D D 6 5 J y..9- W rozważanym przyłaze lczba gałęz obwou g 6, a węzłów w 4. Można węc uworzyć w równana nezależne wg PK (np. la węzłów A, B ): Srona 8

39 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych (.9-) oraz g (w ) równana nezależne wg PK (np. la ocze planarnych):.9.. ównana gałęz (.9-) Dla obwou przeawonego na ry..9-a można zapać g 6 równań: J (.9-) ównana.9- wraz z równanam ruury: worzą elemenarny uła równań. ozwązanem ego ułau je 6 prąów 6 napęć gałęzowych obwou przeawonego na ryunu.9-a. Poawową waą analzy obwoów poprzez rozwązywane elemenarnego ułau równań je znaczna lczba równań (g). cążlwa je eż porzeba wyboru erunów la wzych opowez gałęzowych, pocza gy zwyle pozuujemy jenej lub co najwyżej lu opowez. Meoy prąów oczowych meoa poencjałów węzłowych, óre zoaną opane alej, ne ą a łopolwe charaeryzują ę mnejzą lczbą równań. ównana ych meo mogą być orzymane poprzez wybór pewnego pozboru pozuwanych opowez reucję pozoałych newaomych z elemenarnego ułau równań. Jena oa polega na możlwośc uzyana ułaów równań ych meo wpro na poawe ruury obwou znajomośc paramerów gałęz... Paramery gałęz Paramery gałęz ą parameram moelu uogólnonego gałęz. Poługwać bęzemy ę woma moelam: zeregowym (ry..-a) równoległym (ry..-b). Srona 9

40 a) b) J G y..- Moel zeregowy je oreślony la gałęz, óra ne je wójnem ypu J lub przerwą. (napęce źrółowe gałęz) (rezyancja gałęz) ą równe paramerom zaępczym Thevenna T T. ównane ego moelu można zapać w poac: ± ± (.-) Moel równoległy je oreślony la gałęz, óra ne je wójnem ypu lub zwarcem. J (prą źrółowy gałęz) je równy paramerow J N w źróle zaępczym Norona, a G (onuancja gałęz) je równa owronośc rezyancj T. ównane ego moelu można zapać w poac: ± J ± G (.-) Zna we wzorach (.-) (.-) uzależnone ą o poobu rzałowana gałęz. Jeśl gałąź zbuowana je ylo z rezyorów (gałąź ypu ), wówcza elemen wymuzający w moelach uogólnonych ne wyępuje. Gałąź w poac zeregowego połączena źróła napęca rezyora je gałęzą ypu. Tabela.- Typy gałęz (wójnów) ch paramery Typ J G / / / J J zwarce przerwa Srona 4

41 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych.. Meoa prąów gałęzowych meoa prąów oczowych... Prąowa poać prawa Krchhoffa. Meoa prąów gałęzowych Druge prawo Krchhoffa (.6-) la ocze zawerających P źróeł napęcowych Q rezyorów, a ne zawerających gałęz ypu J można zapać w poac zawerającej umy algebraczne: P Q p q p q (.-) gze: p warość p-ego napęca źrółowego, q warość napęca na q-ym rezyorze. Napęce q można zamenć loczynem q q, jena wówcza przy ualanu znaów w ume algebracznej ne je już ony erune napęca na rezyorze, lecz ylo erune prąu q wzglęem erunu obchozena ocza. Przy rzałowanu obornowym erun napęca prąu wzglęem erunu obchozena ocza ą omenne w onewencj, w ume algebracznej, zna prze q je nny nż zna prze q q, ą: P Q p p q q q (.-) To amo równane orzymamy przy rzałowanu źrółowym. Wówcza erun napęca prąu wzglęem erunu obchozena ocza ą ae ame, ale równane rezyora ma poać (.-4): q q q. Zwyle przyjmuje ę, że neznane ą prąy q, a waome wymuzena p, laego równane (.-) zapujemy w poac: Q q q q P p p (.-) Wprawze powyżze równane wyna z blanu napęć w oczu, jena bezpośreno wąże prąy rezyorów z rezyancjam napęcam źrółowym wyępującym w oczu. Dlaego ę moyfację rugego prawa Krchhoffa można nazwać jego poacą prąową ( PK "P"). Jeśl obwó zawera n J gałęz ypu J, o można zapać g (w ) n J równań nezależnych wg PK P oraz (w ) równań wg PK. Łączna lczba równań opowaa lczbe neznanych prąów (g n J ). Pozuwane opowez poprzez rozwązane ego ułau równań nazwemy analzą meoą prąów gałęzowych. Ten layczny poób analzy je eż nazywany meoą praw Krchhoffa. Srona 4

42 Przyła.-. Zapzemy równana meoy prąów gałęzowych la obwou przeawonego na ryunu y..- Na poawe PK można zapać w równana: Na poawe PK P można zapać g (w ) równana: ozwązanem powyżzego ułau ześcu równań je g 6 prąów gałęzowych.... Koncepcja prąów oczowych. Przezałcene oczowe jao forma zapu PK Z PK wyna (w ) ogranczeń nałaanych na g prąów gałęzowych. Dlaego eż neje g (w ) prąów nezależnych, poprzez óre za pomocą PK można wyrazć pozoałe prąy. Oazuje ę, że za zbór g (w ) prąów nezależnych można eż uznać pewne pomyślane prąy, óre płyną w oczach nezależnych obwou. Bęzemy je nazywać prąam oczowym. Prąy gałęzowe mogą być wyznaczone zę nałożenu prąów oczowych. Zbór równań, w órych pozczególne prąy gałęzowe zapane ą jao umy algebraczne prąów oczowych przepływających przez aną gałąź no nazwę przezałcena oczowego. Jeśl z ych g równań wyelmnujemy g (w ) prąów oczowych, o pozoane (w ) równań równoważnych równanom wynającym z PK. Dlaego można uznać, że przezałcene oczowe je zczególną poacą zapu równań nezależnych wynających z PK. Srona 4

43 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych Na ryunu.- przeawono graf obwou z ryunu.- zawerającego ocza nezależne. Po wyborze erunów prąów oczowych:,, można przeawć przezałcene oczowe: (.-4) y..- Wyelmnowane prąów oczowych z równań (.-4) prowaz o równań: (.-5) óre ą równoważne równanom ( PK) zapanym w przyłaze.-. Obecne o ułau równań wynającego z PK "P" (w obwoze z ryunu.-) wprowazmy zależnośc wynające z PK zapanego w forme przezałcena oczowego (.-4). W rezulace orzymujemy uła równań wzglęem prąów oczowych, óry po uporząowanu przybera poać: ( ( 4 ) ) ( ( 4 ) ( ) 6 ) (.-6) ony je fa, że powyżze zależnośc można uzyać w nny poób. Sformułujemy reguły pozwalające na wyznaczene wpółczynnów przy newaomych oraz wyrazów wolnych bezpośreno na poawe chemau obwou oraz paramerów jego gałęz. eguły e anową reść meoy oczowej. Najperw omówmy poób poępowana w oneenu o obwoów ne zawerających gałęz ypu J. Srona 4

44 Tworzene równań meoy oczowej la obwoów bez gałęz ypu J a) Wyberamy ocza nezależne erun prąów oczowych. b) łaamy n g (w ) równań wzglęem prąów oczowych: n n n n nn nn nn nn nn (.-7) gze: rezyancja włana -ego ocza je równa ume rezyancj gałęz wchozących w ła -ego ocza, j rezyancja wzajemna męzy oczam oraz j je równa ume rezyancj gałęz wchozących jenocześne w ła obywu ocze (wzęa ze znaem jeśl prąy oczowe w gałęzach wpólnych mają nezgone erun), przy czym j j, napęce źrółowe -ego ocza je równe ume algebracznej napęć źrółowych gałęz wchozących w ła -ego ocza (zna w ume algebracznej oyczy źróeł napęcowych zwróconych przecwne o erunu prąu oczowego). Kerując ę powyżzym wazówam można uworzyć uła równań (.-6) bez porzeby wyprowazana go z meoy prąów gałęzowych. ła równań meoy oczowej można równeż zapać macerzowo: [ ] [ ] [ ] o (.-8) o gze: [ o ] macerz rezyancj oczowych (włanych wzajemnych), [ o ] weor prąów oczowych, [ o ] weor napęć źrółowych ocze. Macerz [ o ] je macerzą waraową. Na jej głównej przeąnej znajują ę rezyancje włane ocze, a pozoałe elemeny ą opowenm rezyancjam wzajemnym. Macerz [ o ] obwoów zbuowanych z rezyorów je ymeryczna, poneważ rezyancje j oraz j ą jenaowe...4. Tworzene równań meoy oczowej la obwoów zawerających gałęze ypu J Pojęce prąów oczowych je zwązane ze ruurą, laego można ę nm poługwać równeż w obwoach zawerających gałęze ypu J. wzglęnając algorym prowazący o uworzena ułau równań wzglęem prąów oczowych wazany je a wybór ocze, aby aża gałąź ypu J wchozła ylo w ła jenego ocza. Wówcza prąy ocze zawerających gałąź ypu J ą znane. czbę gałęz ypu J oznaczymy przez n J, wówcza lczba neznanych prąów oczowych je równa g (w ) n J. ównana worzymy weług o Srona 44

45 Wojcech Meller - Meoy analzy obwoów lnowych zaa poanych w punce.. la ocze z neznanym prąam oczowym, ale wzglęem wzych (równeż znanych) prąów oczowych. Zrezą uworzene równana la ocza z gałęzą ypu J byłoby nemożlwe, poneważ rezyancja napęce źrółowe aej gałęz ą neończone (p. ab..9-). Kolejność poępowana je naępująca: a) Wyberamy n g (w ) n J ocze nezależnych ne zawerających źróeł prąu oraz n J ocze zawerających po jenym źróle prąu. b) łaamy n równań wzglęem g (w ) prąów oczowych, z órych n J je równych opowenm prąom źrółowym: n n n nn nn nn nn, n, n n, n J J J, n nj, n nj n, n nj J nj J J nj nj nn (.-9) gze:,n rezyancja wzajemna męzy oczem z neznanym prąem a oczem ze znanym prąem J (,..., n J ). Do rozwązywana ułau równań przyępujemy po przeneenu łanów zawerających prąy źrółowe J,..., J nj na ronę wymuzeń. W zape macerzowym: Po uporząowanu: [ ] [ ] [ ] [ J ] [ ] o (.-) o oj [ ] [ ] [ ] [ ] [ J ] o o o o J o (.-) Przyła.-. Meoą oczową wyznaczymy prąy oraz 4 w obwoze poazanym na ryunu.-. Dane: J A, V, 5 Ω, 5 Ω, 4 Ω, 5 Ω J y..- Srona 45

46 Dla anego obwou g 6, w 4, n J. Wyberamy n g (w ) n J ocza w ułaze bez źróła J jeno (n J ) oczo la źróła J. W oczu rzecm J A. ównana meoy oczowej: ( ( ) ) ( ( ) 4 ) 5 ( ) J ( ) J W zape macerzowym, po uporząowanu wg (.-) orzymamy: a po poawenu anych lczbowych: [ ] ozwązanem ułau równań ą warośc:, A oraz,5 A. Po nałożenu prąów oczowych oblczamy pozuwane prąy: 4,5 A oraz,7 A Tae ame opowez uzyalśmy po analze ego amego obwou meoą uperpozycj w przyłaze Meoa poencjałów węzłowych... Przezałcene węzłowe jao forma zapu PK la całego obwou Przezałcene węzłowe zawera g równań wyrażających napęca na gałęzach obwou przez poencjały węzłów. Na przyła la obwou, órego graf przeawono na ryunu.-, po przyjęcu węzła D za węzeł oneena, przezałcene węzłowe ma poać: B A A B B A [ J ] (.-) Wyelmnowane z przezałcena węzłowego poencjałów prowaz o uzyana g (w ) równań wzglęem napęć na gałęzach obwou (.9-). Przezałcene węzłowe je węc pewnym poobem zapu PK la całego obwou. W obwoach ne zawerających gałęz ypu można wzye prąy gałęzowe wyrazć za pomocą napęć gałęzowych paramerów gałęz (.-). Srona 46