Twierdzenie sinusów i cosinusów
|
|
- Marian Jasiński
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Twierdzenie sinusów i osinusów Aldon Dutkiewiz Anet Sikorsk-Nowk Teori Twierdzenie 1 Twierdzenie sinusów (twierdzenie Snellius) W dowolnym trójkąie stosunek długośi dowolnego boku do sinus kąt leżąego nprzeiw tego boku jest stły i równy długośi średniy okręgu opisnego n tym trójkąie sin α = b sin β = sin γ = R Dowód tego twierdzeni przeprowdzimy, uzsdniją, że Rozptrzymy trzy przypdki Przypdek I: α jest kątem prostym Przypdek II: α jest kątem ostrym Przypdek III: α jest kątem rozwrtym Przypdek I: sin α = R 1 α jest kątem prostym, z złożeni, BC jest średnią okręgu opisnego n trójkąie ABC, stąd BC = R, 3 = R, sin α = sin 90 = 1, ztem sin α = R, nd 1
2 Przypdek II: Poprowdźmy średnię A 1 B i zuwżmy, że: 1 BAC = BA 1 C = α, jko kąty wpisne w koło oprte n tym smym łuku; sin α = R, z określeni sinus kąt α, ztem sin α = R nd Przypdek III: Poprowdźmy średnię A 1 B i zuwżmy, że: 1 A 1 CB jest prosty, jko kąt wpisny w koło oprty n półokręgu, CA 1 B = 180 α, jko kąt wpisny w koło oprty n łuku CAB dopełnijąym łuk CA 1 B do okręgu, 3 A 1 BC jest prostokątny o przeiwprostokątnej A 1 B i A 1 B = R, sin α = sin(180 α) = R, ztem sin α = R nd Udowodniliśmy ztem, że niezleżnie od tego, zy α jest kątem ostrym, prostym, zy rozwrtym, to sin α = R b Tk smo przeprowdz się dowody równośi sin β = R orz sin γ = R Przykłd 1 Oblizmy długość promieni okręgu opisnego n trójkąie ABC, zkłdją, że 3 = i os α = Możemy skorzystć z twierdzeni sinusów, le wześniej nleży oblizyć sin α Ze wzoru jedynkowego otrzymujemy: sin α = 1 os α = 1 ( 3 ) = 9, skąd
3 sin α = 3 sin α = 3 Poniewż α jest kątem trójkąt, to α (0, π), ztem sin α > 0, wię musi być sin α = 3 Korzystją terz z twierdzeni sinusów, oblizmy, że sin α = R, skąd R = sin α = = 6 3 Promień okręgu opisnego n trójkąie ABC m długość 6 Przykłd Z wierzhołk A trójkąt ABC, którego boki mją długość, b i, poprowdzono półprostą przeinjąą bok BC w punkie D Podzielił on dny trójkąt n dw trójkąty Wykżemy, że stosunek promieni okręgów opisnyh n obu tyh trójkąth nie zleży od kąt, jki tworzy t półprost z bokiem BC Oznzmy ADB = δ R 1 -promień okręgu opisnego n trójkąie ABD, R - promień okręgu opisnego n trójkąie ADC Z twierdzeni sinusów dl trójkąt ABD mmy: R 1 = sin δ Zuwżmy dlej, że ADC = 180 δ (jest to kąt przyległy do kąt ADB) Stosują twierdzenie sinusów dl trójkąt ADC, dohodzimy do wniosku, że R = b sin(180 δ) = b sin δ Ztem R 1 = R wię stosunek ten zleży tylko od długośi boków b i sin δ b sin δ Przykłd 3 Wykżmy, że jeżeli α, β są mirmi kątów trójkąt, to sin(α + β) < sin α + sin β Z twierdzeni sinusów mmy: = b, sin α = R, b = R orz sin β sin[180 (α + β)] = = R, skąd sin(α + β) Mmy ztem: sin α = R, sin β = b R sin(α + β) < sin α + sin β orz sin(α + β) = R R < R + b R < + b Osttni nierówność jest prwdziw w kżdym trójkąie, gdyż zwsze sum długośi dwóh boków jest większ od długośi boku trzeiego Ztem również prwdziw jest równowżn jej nierówność, występują w tezie, o końzy dowód Korzystją z twierdzeni sinusów łtwo udowodnić twierdzenie o dwusieznej kąt w trójkąie: 3
4 Twierdzenie Twierdzenie o dwusieznej kąt w trójkąie Dwusiezn kąt wewnętrznego w trójkąie dzieli przeiwległy bok proporjonlnie do długośi pozostłyh boków AD DB = AC BC Twierdzenie 3 Twierdzenie osinusów (twierdzenie Crnot) W dowolnym trójkąie kwdrt długośi dowolnego boku jest równy sumie kwdrtów długośi pozostłyh boków, pomniejszonej o podwojony ilozyn długośi tyh boków i osinus kąt zwrtego między nimi: = b + b os α b = + os β = + b b os γ Uwg 1 W szzególnym przypdku, gdy trójkąt jest prostokątny i γ jest kątem prostym, twierdzenie to sprowdz się do twierdzeni Pitgors, poniewż osinus kąt prostego jest równy zero, zyli = + b Dowód Przypdek I: γ jest kątem prostym
5 Twierdzenie osinusów to uogólnienie twierdzeni Pitgors dl dowolnego trójkąt Jeżeli kąt γ jest prosty, to os γ = 0 i = + b Przypdek II - γ jest kątem ostrym Przyjmujemy oznzeni jk n powyższym rysunku Mmy kolejno: 1 Punkt D jest spodkiem wysokośi BD trójkąt ABC i BD = h, Korzystją z zleżnośi w trójkąie prostokątnym CDB, oblizmy: sin γ = h, stąd h = sin γ, os γ = m, ztem m = os γ i n = b m = b os γ 3 Boki trójkąt prostokątnego ABD mją długośi:, sin γ, b os γ Z twierdzeni Pitgors zstosownego do trójkąt prostokątnego ADB otrzymujemy: = ( sin γ) + (b os γ), stąd = sin γ + b b os γ + os γ = (sin γ + os γ) + b b os γ i ostteznie = + b b os γ, nd Przypdek III -γ jest kątem rozwrtym Oznzeni jk n poniższym rysunku Mmy kolejno: 1 Punkt D (spodek wysokośi BD) nleży do przedłużeni boku AC, BD = h W trójkąie prostokątnym CBD kąt δ jest równy 180 γ, wobe tego sin(180 γ) = h ; poniewż sin(180 γ) = sin γ, to h = sin γ, os(180 γ) = m ; poniewż os(180 γ) = os γ, to m = osγ, stąd otrzymujemy n = m + b = b os γ 5
6 3 Boki trójkąt prostokątnego ABD mją długośi:, sin γ, b os γ Z twierdzeni Pitgors zstosownego do trójkąt prostokątnego ABD, otrzymujemy: = ( sin γ) + (b os γ), stąd = sin γ + b b os γ + os γ = (sin γ + os γ) + b b os γ i ostteznie = + b b os γ, nd Ztem, niezleżnie od tego, zy γ jest kątem ostrym, prostym, zy rozwrtym, to = + b b os γ Z twierdzeni osinusów wynik, że jeżeli znmy długośi wszystkih boków trójkąt, to możemy oblizyć osinusy wszystkih jego kątów I tk os α = b +, b os β = + b, os γ = + b b Zuwżmy też, że jeżeli lizby, b, są długośimi boków trójkąt i b, to miry kątów trójkąt spełniją wrunek α β γ i jeżeli os γ > 0, to trójkąt jest ostrokątny, jeżeli os γ = 0, to trójkąt jest prostokątny, jeżeli os γ < 0, to trójkąt jest rozwrtokątny Przykłd W trójkąie dne są długośi boków: = 5, b = orz γ = 150 Oblizmy długość trzeiego boku tego trójkąt i długość promieni opisnego n nim okręgu Z twierdzeni osinusów wynik, że = + b b os 150 Poniewż os 150 = 3, otrzymujemy: = , = Skorzystmy terz z twierdzeni sinusów: skąd sin 150 = R, poniewż sin 150 = 1, wię R = Przykłd 5 Dny jest trójkąt o bokh długośi =, b = 5, = Czy jest to trójkąt ostrokątny, prostokątny, zy rozwrtokątny? Gdyby trójkąt ten był prostokątny (ewentulnie rozwrtokątny), to kąt prosty (rozwrty) musiłby leżeć nprzeiwko njdłuższego boku Wystrzy ztem rozwżyć kąt leżąy nprzeiwko boku długośi Możemy to zrobić, korzystją z wniosku z twierdzeni osinusów: os γ = + b b = 1 5, skoro os γ < 0 i γ (0, 180 ), to kąt γ jest rozwrty Ztem jest to trójkąt rozwrtokątny Przykłd 6 W równoległoboku kąt ostry m mirę 60, stosunek kwdrtu długośi krótszej przekątnej do kwdrtu długośi dłuższej przekątnej wynosi 19 : 39 Oblizymy stosunek długośi boków równoległoboku 6
7 Oznzmy przez i b długośi krótszego i dłuższego boku równoległoboku, zś przez d 1 i d - odpowiednio długośi jego krótszej i dłuższej przekątnej Po zstosowniu twierdzeni osinusów do trójkąt ABD otrzymujemy: d 1 = + b b os 60 = + b b Podobnie, z trójkąt ABC ( ABC = 10 ) n moy twierdzeni osinusów: d = + b b os 10 = + b + b Ztem z wrunków zdni: d 1 d = + b b + b + b = Poszukujemy stosunku b (lub b, o n jedno wyhodzi) Aby go polizyć, podzielmy liznik i minownik lewej strony nszego równni przez b Otrzymujemy: ( b ) +1 b ( b ) +1+ b terz t = b Osttnie równnie przyjmuje postć t t+1 t +t+1 = 19 = 1; t = = 1, odrzumy Szukny stosunek boków wynosi 5 = Oznzmy 39, skąd 10t 9t + 10 = 0, ztem 5 t = 5 Poniewż < b, wię t < 1, ztem drugie rozwiąznie Przykłd Trzy ięiwy okręgu o promieniu długośi R tworzą trójkąt wpisny w ten okrąg Długośi dwóh tyh ięiw wynoszą R i R 3 Wyznzymy długość trzeiej ięiwy
8 Oznzmy długość szuknej ięiwy BC przez x Zuwżmy, że (z twierdzeni sinusów) AB sin γ = R, skąd wobe fktu, że AB = R 3, otrzymujemy R 3 sin γ = R, wię sin γ = 3 Poniewż γ jest kątem trójkąt, wię osttni równość może zhodzić dl γ = 60 lub γ = 10 Rozwżmy ztem dw przypdki: N moy twierdzeni osinusów dl trójkąt ABC: 1) γ = 60 (R ( ) R 3) = + x x R os 60 skąd otrzymujemy równnie: x xr 11R = 0 = 180R, = 6 5R; x 1 = (1 3 5)R i x = (1+3 5)R Pierwsz z tyh lizb, jko ujemn, nie spełni wrunków zdni Ztem w tym przypdku długość trzeiej ięiwy wynosi: (1+3 5)R ) γ = 10 Postępują nlogiznie, otrzymujemy tym rzem równnie: (R ( R 3) = ) + x x R os 10, skąd x + xr 11R = 0 Osttnie równnie spełniją lizby x 3 = (1+3 5)R i x = (3 5 1)R Pierwsz z nih jest ujemn, ztem w tym przypdku długość trzeiej ięiwy wynosi: (3 5 1)R Trzei ięiw może mieć długość (1+3 5)R lub (3 5 1)R Zdni n zjęi Zdnie 1 Mją dne długośi, b boków trójkąt ostrokątnego ABC orz długość R promieni okręgu opisnego n tym trójkąie, obliz sinusy kątów orz długość trzeiego boku trójkąt Wykonj oblizeni, gdy = 6, b = 10, R = 8 Zdnie W trójkąie ABC bok AB = = 1, bok BC = = 10, bok CA = b = 6 Dwusiezn kąt ACB przein bok AB w punkie D Obliz długośi odinków AD i BD Zdnie 3 Dny jest trójkąt o bokh, b, Promień okręgu opisnego n tym trójkąie równy jest R Obliz pole tego trójkąt Zdnie W trójkąie ABC mmy dne: długośi boków AB i AC, długość r promieni okręgu wpisnego orz mirę kąt α = BAC Obliz: długość boku BC, miry kątów β = ABC i γ = ACB, pole trójkąt ABC i długość promieni okręgu opisnego n trójkąie ABC Wykonj oblizeni dl AB = 1, AC = 8, α = 3 π, r = 19+8 Zdnie 5 Boki AB i AC trójkt ABC mją odpowiednio długośi i 6 i tworzą kąt BAC o mierze 10 Obliz długość boku BC tego trójkąt 8
9 Zdnie 6 Znjdź osinusy kątów w trójkąie ABC, w którym AB =, BC = 11, CA = 1 Rozstrzygnij, zy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny, zy rozwrtokątny Zdnie W trójkąie ABC : AB = 15, BC = 10, kąt ABC = 30 Znjdź długość środkowej poprowdzonej z wierzhołk A Zdnie 8 Udowodnij twierdzenie o dwusieznej kąt w trójkąie Zdnie 9 Z punktu A sttek widć pod kątem α = 0, z punktu B pod kątem β = 5 Odinek brzegu pomiędzy punktmi A, B m długość 800 m W jkiej odległośi od brzegu znjduje sie sttek? Zdnie 10 W trójkąie ABC, w którym AB = BC = i ABC = α, poprowdzono odinek AD, gdzie D BC i pole trójkąt ABD jest dw rzy większe od pol trójkąt ADC Oblizyć długość AD Zdnie 11 W trójkąie stosunek długośi dwóh boków równ się k, kąt między tymi bokmi jest równy 60 Znleźć wrtośi tngens pozostłyh kątów Zdnie 1 W równormiennym trójkąie prostokątnym przyprostokątn m długość Oblizyć długośi odinków, n które dzieli tą przyprostoktną dwusiezn kąt przeiwległego Zdnie 13 Punkt A leży wewnątrz obszru kąt o mierze π 3 Odległośi tego punktu od rmion kąt są równe i 3 1 Znleźć odległość A od wierzhołk kąt Zdnie 1 Cięiw dzieli obwód koł w stosunku 1 : W jkim stosunku dzieli on pole tego koł? 9
10 Zdni domowe Zdnie 15 Korzystją z rysunku, obliz szerokość knłu Zdnie 16 N kole opisno trpez, którego jedno rmię m długość 10 i tworzy z podstwą kąt 60, drugie tworzy z podstwą kąt 30 Oblizyć długość krótszej podstwy trpezu Zdnie 1 W trójkąie równoboznym ABC poprowdzono odinek AD, gdzie D BC Wyznzyć tngens kąt DAB, jeżeli widomo, że stosunek pol trójkąt ABD do pol trójkąt ADC wynosi 3 Zdnie 18 Udowodnić, że jeżeli kąty α, β i γ pewnego trójkąt spełniją wrunek sin α + sin β = sin γ, to trójkąt ten jest prostokątny 10
11 Zdnie 19 Udowodnić, że jeżeli długośi, b, boków pewnego trójkąt spełniją wrunek = b(b + ), to w trójkąie tym kąt α (leżąy nprzeiw boku o długośi ) jest dw rzy większy od kąt β (leżąego nprzeiw boku o długośi b) Zdnie 0 W trójkąie równormiennym ACB środkowe poprowdzone z wierzhołków A i B są prostopdłe Znleźć tngens kąt przy wierzhołku C Litertur () A Zlewsk, E Sthowski, M Szzurek, I ty zostniesz Euklidesem; (b) K Kłzkow, M Kurzb, E Świd, Mtemtyk do klsy II; () W Leksiński, B Mukow, W Żkowski, Mtemtyk w zdnih dl kndydtów n wyższe uzelnie; (d) D M Zkrzewsy, Mtemtyk, mtur n 100% Wskzówki 1 Skorzystć z twierdzeni sinusów Skorzystć z twierdzeni sinusów orz fktu, że dwusiezn kąt dzieli go n dw kąty przystjąe, sum kątów przyległyh wynosi Skorzystć ze wzoru n pole trójkąt P = 1 b sin γ, gdzie i b to długośi boków trójkąt, γ oznz kąt zwrty między nimi P = P ABS + P BCS + P CAS, gdzie S jest środkiem okręgu wpisnego w trójkąt ABC 5 Korzystmy z twierdzeni osinusów 6 Poniewż os β < 0, ztem kąt β jest rozwrty Korzystmy z twierdzeni osinusów dl trójkąt ADB, gdzie D jest punktem przeięi środkowej poprowdzonej z wierzhołk A z bokiem BC 8 Korzystmy z twierdzeni sinusów 9 Prktyzne zstosownie wzoru sinusów 10 Wykorzystujemy fkt, iż ob trójkąty mją tę smą wysokość Stosujemy wzór z twierdzeni osinusów do trójkąt ABD 11 Stosujemy twierdzenie sinusów orz wykorzystujemy podstwowe zleżnośi trygonometryzne w zdnym trójkąie 1 Możliwe są dw sposoby rozwiązni zdni Możemy wykorzystć fkt, że trójkąty ADC i AED są przystjąe Pozostłe oblizeni dokonujemy poprzez zstosownie trygonometrii do plnimetrii 13 Zstosownie podstwowyh wzorów trygonometryznyh w plnimetrii 1 Określmy stosunek pol S 1 wyink kołowego AOB o promieniu R i kąie środkowym α pomniejszonego o pole trójkąt równormiennego AOB do pol S 15 Prktyzne zstosownie wzoru sinusów 16 Aby rozwiązć zdnie rozptrujemy dw przypdki Wykorzystujemy wrunek koniezny i wystrzjąy n to, by w zworokąt możn było wpisć okrąg 1 Stosujemy wzór sinusów do trójkąt DAB 18 Oznzmy przez, b, długośi boków leżąyh n przeiw odpowiednih kątów, przez R promień okręgu opisnego n dnym trójkąie Stosujemy twierdzenie sinusów 19 Stosujemy twierdzenie sinusów orz wzory n sumę i różnię funkji trygonometryznyh 0 Znjdujemy środek iężkośi trójkąt AOB Korzystmy z twierdzeni o środkowyh w trójkąie Stosujemy twierdzenie sinusów Odpowiedzi 1 sin α = 3, sin β = 5, sin γ = , = x = 5 i y = 5 3 P = b R 13,os β = 5 BC = 6 6 os α = 6, os γ = 31 9 Trójkąt jest rozwrtokątny d=0 m 10 AD = os α 11 Jeżeli k 1 i k, to tg α = k 3, tg β = 3 ; jeżeli k = 1 lub k = - trójkąt prostokątny o kąth ostryh k k 1 30 i 60 1 x = ( 1), y = ( ) 13 1 π 3 3 8π , 5m lub tg x = 3 0 tg x = 3, gdzie ACB = x 11
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Twierdzenie sinusów i osinusów Aldon Dutkiewiz Anet Sikorsk-Nowk Teori Twierdzenie 1 Twierdzenie sinusów (twierdzenie Snellius) W dowolnym trójkąie stosunek długośi dowolnego boku do sinus kąt leżąego
Bardziej szczegółowoH. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania
H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 1 Zdnie 15 różne sposoy jego rozwiązni Henryk ąrowski, Wldemr Rożek Zdnie 15 Punkt jest środkiem oku prostokąt, w którym Punkt leży n oku
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń
Bardziej szczegółowo8. 1. DEFINICJE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH. Definicje funkcji trygonometrycznych kata ostrego. b- przyprostokątna przy α
8.. DEFINICJE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH Definije funkji trygonometryznyh kt ostrego przyprostokątn nprzeiw - przyprostokątn przy - przeiwprostokątn sin - zytj: sinus os - zytj: kosinus tg - zytj: tngens
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri Środowisk w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri i Gospodrk Wodn w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowoKlasyfikacja trójkątów
9.. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW Klsyfikj trójkątów odził trójkątów ze względu n oki róŝnoozny równormienny równoozny odził trójkątów ze względu n kąty ostrokątny rostokątny rozwrtokątny Sum kątów wewnętrzny trójkąt
Bardziej szczegółowoSzkice rozwiązań zadań zawody rejonowe 2019
XVI Śląski Konkurs Mtemtyzny Szkie rozwiązń zdń zwody rejonowe 9 Zdnie. Znjdź wszystkie lizy pierwsze p, dl któryh liz pp+ + też jest lizą pierwszą. Rozwiąznie Jeżeli p, to pp+ + 3 + i jest to liz złożon.
Bardziej szczegółowoSpis treści. Podstawowe definicje. Wielokąty. Trójkąty. Czworokąty. Kąty
Mrt Compny Ksprowicz LOGO Spis treści. 1 Podstwowe definicje 2 Wielokąty 3 Trójkąty 4 Czworokąty 5 Kąty Podstwowe definicje w geometrii. 1.Punkt 2.Prost 3.Proste prostopdłe 4.Proste równoległe 5.Półprost
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH
Mteriły dydktyzne Geodezj geometryzn Mrin Ligs, Ktedr Geomtyki, Wydził Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowisk OZWIĄZYWANIE MAŁYCH TÓJKĄTÓW SFEYCZNYCH rezentowne metody rozwiązywni młyh trójkątów sferyznyh
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
Mtemtyk Poziom podstwowy zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom podstwowy rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1 Uzsdnij, że pole romu o przekątnych p i q wyrż się wzorem P = 1 pq Rozwiąznie: Przyjmij
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom podstwowy Mrzec 7 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. B 5 5 6 5 = =
Bardziej szczegółowoOSTROSŁUPY. Ostrosłupy
.. OSTROSŁUPY Ostrosłupy ścin boczn - trójkąt podstw ostrosłup - dowolny wielokąt Wysokość ostrosłup odcinek łączący wierzcołek ostrosłup z płszczyzną podstwy, prostopdły do podstwy Czworościn - ostrosłup
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoTrapez. w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a, b podstawy trapezu. c h d c, d - ramiona trapezu α β h wysokość trapezu
9. 5. WŁASNOŚCI MIAROWE CZWOROKĄTÓW Trpez w trpezie przynmniej jen pr oków jest równoległ δ γ, postwy trpezu c h c, - rmion trpezu α β h wysokość trpezu + 80 α δ β + γ 80 x `Ocinek łączący śroki rmion
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa VII Planimetria Teoria
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma
Bardziej szczegółowoKLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:
KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY 7. Planimetria. Uczeń: 1) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów orz oddziłów gimnzjlnych województw mzowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schemty punktowni Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie, inne niż przewidzine
Bardziej szczegółowoZadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10
Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym
Bardziej szczegółowoPlanimetria czworokąty
Plnimetri czworokąty Emili Ruszczyk kl. II, I LO im. Stefn Żeromskiego w Ełku pod kierunkiem Grżyny iernot-lendo Klsyfikcj czworokątów zworokąty dzielą się n niewypukłe i wypukłe, wypukłe n trpezy i trpezoidy,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoKlasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM - MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC Stron z 9 Zsdy oenini zdń - pozio rozszerzony MARZEC ZADANIA ZAMKNIĘTE Nr zdni Lizb punktów
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM
ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM + 7. Równanie = 0 : + A. ma tylko jedno rozwiązanie równe 7 B. ma tylko jedno rozwiązania równe 7 C. ma tylko jedno rozwiązanie równe D. nie ma rozwiązań.. Do przedziału,
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoPlanimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Bardziej szczegółowoSkrypt 18. Trygonometria
Projekt Innowayjny program nauzania matematyki dla lieów ogólnokształąyh współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego Skrypt 18 Trygonometria 1. Definije i wartośi
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowoGRANIASTOSŁUPY
.. GRANIASTOSŁUPY. Grnistosłupy H Postwy grnistosłup - w równoległe i przystjąe wielokąty Śin ozn - równoległook Grnistosłup prosty grnistosłup, w którym wszystkie krwęzie ozne są prostopłe o postw. W
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba
Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii
Bardziej szczegółowoElżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki
Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.
Oprownie: Elżiet Mlnowsk FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Określeni podstwowe: Jeżeli kżdej lizie x z pewnego zioru lizowego X przporządkown jest dokłdnie jedn liz, to mówim,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoLISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoVIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoSprawdzian całoroczny kl. III
Sprwdzin cłoroczny kl. III Gr. A 1. Podne liczby zpisz w kolejności rosnącej: 7 ; b,5 ; c 6 ; d,5(). Oblicz i zpisz wynik w notcji wykłdniczej 0 8 6, 10 5 10. Wskż równość nieprwdziwą: A) 5 9 B) 6 C) 0
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
Bardziej szczegółowoV Międzyszkolny Konkurs Matematyczny
V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie
Bardziej szczegółowoTrójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej Rozwiązania - klasy drugie 1. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające nierówności x + 1 + y 4 x + y 4 5 x 4 + y 1 > 4. Ważne jest zauważenie,
Bardziej szczegółowo, GEOMETRIA NA PŁASZCZYZNIE (PLANIMETRIA)
Treść:, GEOMETRI N PŁSZCZYZNIE (PLNIMETRI) 1. Podstwowe pojęi geometrii (punkt, prost, płszzyzn, przestrzeń, półprost, odinek, łmn, figur geometryzn (płsk i przestrzenn). -------------------------------------------------------------------------------------------------------------.
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania =
Vdemecum GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* Mtemtyk - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Prón Mtur z OPERONEM Operon 00% MATURA 07 VA D EMECUM
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowoMATURA Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część VII: Planimetria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Bardziej szczegółowoMatematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM. Modelowe etapy rozwiązywania zadania
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Mtemtyk Poziom rozszerzony Mrzec 09 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. C Obliczenie wrtości funkcji: f(
Bardziej szczegółowoKURS MATURA PODSTAWOWA Część 2
KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 LEKCJA 7 Planimetria ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kąt na poniższym rysunku ma miarę:
Bardziej szczegółowoZAKRES WYMAGAŃ Z MATEMATYKI
ZAKRES WYMAGAŃ Z MATEMATYKI W RAMACH PRZYGOTOWAŃ DO EGZAMINU GIMNAZJALNEGO PRZYKŁADOWE ZAGADNIENIA CZĘŚĆ I. Elementrne dziłni n liczbch wymiernych. Dziłni wykonywne w pmięci. II. Liczby wymierne. Włsności
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowo2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6
Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej sinus większego z kątów ostrych ma wartość: C) Zadanie Krótsza przekątna rombu o długości tworzy z bokiem rombu kąt 60 0. Bok
Bardziej szczegółowoSzczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Bardziej szczegółowoPlanimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA - TRÓJKATY (2) ZDANIA ŁATWE
PLANIMETRIA - TRÓJKATY (2) ZDANIA ŁATWE ZADANIE 1 Jeżeli wysokość trójkata równobocznego wynosi 2, to długość jego boku jest równa A) 6 B) 4 3 3 C) 2 3 D) 4 3 ZADANIE 2 Pole trójkata o bokach a = 4 cm
Bardziej szczegółowoGeometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
Geometria Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 W tym przypadku możemy wykonać szkic pięciokąta i policzyć przekątne: Zadanie. Promień okręgu opisanego na kwadracie
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?
INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionlne Koło Mtemtyzne Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wyził Mtemtyki i Informtyki http://www.mt.umk.pl/rkm/ List rozwiązń zń nr 8, grup zwnsown (3.03.200) O izometrih (..) Wektorem uporząkownej
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoKlasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =
/9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n
Bardziej szczegółowoSkrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera
Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im Stnisłw Stszic w Ryniku, współfinnsowny przez Unię Europejską
Bardziej szczegółowoZadanie 3. (7 pkt.) Rozłożona kostka
Zadanie 1. (7 pkt.) Mniej zy więej? Z sześioma kartami (trzema dodatnimi i trzema ujemnymi) szansa Pawła na wygraną Pawła 12/30, a Piotra 18/30. Z pięioma kartami (trzema dodatnimi i dwiema ujemnymi) szansa
Bardziej szczegółowoZnajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej
Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoDefinicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
1 Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Bardziej szczegółowo9. PLANIMETRIA zadania
Zad.9.1. Czy boki trójkąta mogą mieć długości: a),6, 10 b) 5,8, 10 9. PLANIMETRIA zadania Zad.9.. Dwa kąty trójkąta mają miary: 5, 40. Jaki to trójkąt: ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny? Zad.9..
Bardziej szczegółowoZadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7
Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw
Bardziej szczegółowoXVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne
XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne Zadanie. 4 Rozwiąż równanie 07 sin( ). Wiadomo, że: wyrażenie 4 przyjmuje wartości nieujemne dla każdego
Bardziej szczegółowo3. Odległość Ziemi od Słońca jest równa km. Odległość tą można zapisać w postaci iloczynu: C. ( 2) 2 C D.
Sprwdzin Potęgi i pierwistki. Piąt potęg liczby jest równ: A. 0 B. C. D. 4. Iloczyn jest równy: A. B. C. D.. Odległość Ziemi od Słońc jest równ 0 000 000 km. Odległość tą możn zpisć w postci iloczynu:
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zdnie 19 z Informtor turlnego poziom rozszerzony 1 Zdnie 19. Rmię D trpezu D (w którym D) przedłużono do punktu E tkiego, że E 3 D. unkt leży n podstwie orz 4. Odcinek E przecin przekątną D
Bardziej szczegółowo