TEMAT: PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW FUNKCJI PRZESUNIĘCIE O WEKTOR

Transkrypt

1 TEMAT: PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW FUNKCJI PRZESUNIĘCIE O WEKTOR W układzie współrzędnych zaznaczmy dowolny punkt A = (x, y) oraz wektor u r = [p, q]. Po przesunięciu punktu A o wektor u r otrzymamy punkt B = (x + p, y + q) (x + p, y + q) u r = [p, q] (x, y) Przykład 1 Wyznaczmy współrzędne wierzchołków trójkąta ABC, gdzie A = (-4, 1), B = (3, -2), C = (-2, 4) w przesunięciu równoległym o wektor u r = [-1, 3] W wyniku tego przesunięcia otrzymamy trójkąt A 1 B 1 C 1, gdzie: A 1 = (-4 + (-1), 1 + 3) = (-5, 4) B 1 = (3 + (-1), ) = (2, 1) C 1 = (-2 + (-1), 4 + 3) = (-3, 7) 1

2 Przesuwać równolegle o dany wektor możemy również wykresy funkcji. Wartości o jakie przesuwamy wykres najłatwiej jest zapisywać w postaci wektora przesunięcia. PRZESUNIĘCIE WZDŁUŻ OSI OX Wykres funkcji y = f(x 3) powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX. Jest to przesunięcie o wektor u r = [3, 0] Wykres funkcji y = f(x + 2) powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 2 jednostki w lewo wzdłuż osi OX. Jest to przesunięcie o wektor u r = [-2, 0] 2

3 PRZESUNIĘCIE WZDŁUŻ OSI OY Wykres funkcji y = f(x) + 1 powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY. Jest to przesunięcie o wektor u r = [0, 1] Wykres funkcji y = f(x) 4 powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 4 jednostki w dół wzdłuż osi OY. Jest to przesunięcie o wektor u r = [-2, 0] 3

4 PRZESUNIĘCIE RÓWNOLEGŁE O WEKTOR [p, q] Wykres funkcji y = f(x + 5) + 2 powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 5 jednostek w lewo wzdłuż osi OX, a następnie o 2 jednostki do góry wzdłuż osi OY. Jest to przesunięcie o wektor u r = [-5, 2] Ogólnie: Wykres funkcji y = f(x p) + q powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji y = f(x) o wektor u r = [p, q]. PRZYKŁAD 2 1. Wykres funkcji y = f(x 5) powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 5 jednostek w prawo wzdłuż osi OX, czyli o wektor u r = [5, 0]. 2. Wykres funkcji y = f(x + 7) powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 7 jednostek w lewo wzdłuż osi OX, czyli o wektor u r = [ 7, 0]. 3. Wykres funkcji y = f(x) +6 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 6 jednostek w górę wzdłuż osi OY, czyli o wektor u r = [0, 6]. 4. Wykres funkcji y = f(x) 6 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 6 jednostek w dół wzdłuż osi OY, czyli o wektor u r = [0, 6]. 5. Wykres funkcji y = f(x 9) +2 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 9 jednostek w prawo wzdłuż osi OX i 2 jednostki do góry, czyli o wektor u r = [9, 2]. 6. Wykres funkcji y = f(x 7) 4 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 7 jednostek w prawo wzdłuż osi OX i 4 jednostki do dołu czyli o wektor u r = [7, 4]. 7. Wykres funkcji y = f(x +1) + 1 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 1 jednostkę w lewo wzdłuż osi OX i 1 jednostkę do góry czyli o wektor u r = [ 1, 1]. 8. Wykres funkcji y = f(x + 2) 3 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) o 2jednostki w lewo wzdłuż osi OX i 3 jednostki do dołu czyli o wektor u r = [ 2, 3]. 4

5 POSTAĆ KANONICZNA FUNKCJI KWADRATOWEJ Funkcja kwadratowa zapisana w postaci kanonicznej wygląda następująco: f(x) = a(x p) 2 + q gdzie a, p, q są współczynnikami liczbowymi i a 0. Z postaci kanonicznej można wywnioskować, że wykres funkcji kwadratowej f(x) = a(x p) 2 + q powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji y = ax 2 o wektor u r = [p, q]. PRZYKŁAD 3 a. Wykres funkcji f(x) = 2(x 4) powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji y = 2x 2 o wektor u r = [4, 7]. b. Wykres funkcji f(x) = 3(x + 6) 2 1 powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji y = 3x 2 o wektor u r = [ 6, 1]. c. Wykres funkcji f(x) = (x + 4) powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji y = x 2 o wektor u r = [ 4, 5]. Współczynniki p i q są także współrzędnymi wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej. Oznaczmy ten wierzchołek przez W = (p, q). Jeżeli znamy postać ogólną funkcji kwadratowej (y = ax 2 + bx + c), to możemy obliczyć współrzędne wierzchołka ze wzorów: p = b, q = 2a 4a, gdzie = b 2 4ac ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA 1. Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x) dla x < -7, 4> 5

6 Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji: A. y = f(x + 2) B. y = f(x) 2 C. y = f(x 2) D. y = f(x) Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Wskaż rysunek na którym jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x + 1). 6

7 3. Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x) Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji: A. y = f(x + 2) B. y = f(x) 2 C. y = f(x 2) D. y = f(x) Uzupełnij: a. Wykres funkcji f(x) = (x 9) 2 8 powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji.. o wektor u r =... b. Wykres funkcji f(x) = -13(x + 1) 2 7 powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji.. o wektor u r =... ŹRÓDŁA: 1. Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda - Matematyka. Podręcznik do liceów i techników. Klasa 1 Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro Warszawa Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda - Matematyka. Zbiór zadań do liceów i techników. Klasa 1. Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro Warszawa