ZALEŻNY ROZKŁAD DWUMIANOWY I JEGO ZASTOSOWANIE W REASEKURACJI I KREDYTACH. 1. Wstęp

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZALEŻNY ROZKŁAD DWUMIANOWY I JEGO ZASTOSOWANIE W REASEKURACJI I KREDYTACH. 1. Wstęp"

Transkrypt

1 B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 27 Staisław HEILPERN* ZALEŻNY ROZKŁAD DWUMIANOWY I JEGO ZASTOSOWANIE W REASEKURACJI I KREDYTACH Praca est poświęcoa zależemu rozładowi dwumiaowemu. W odróżieiu od lasyczego rozładu dwumiaowego odstąpioo od założeia o iezależości zmieych losowych. Omówioo poszczególe przypadi uwzględiaące róże strutury zależości oraz rozszerzeia modelu. Przedstawioo zastosowaia w reaseuraci adwyżi szody oraz w zarządzaiu ryzyiem redytowym. Słowa luczowe: zależy rozład dwumiaowy, fuca łącząca, reaseuraca, redyt. Wstęp W lasyczych modelach atuarialych, czy też fiasowych, rozpatrywae zmiee losowe są a ogół iezależe. Założeie to est bardzo wygode z putu widzeia matematyczego łatwie est wtedy dużo rzeczy udowodić ale est iestety często zaczie odbiegaące od rzeczywistości. W pratyczych zastosowaiach występuące procesy i zawisa są a ogół zależe. Wpływaą a ie wspóle czyii zewętrze. W pracy przedstawioo uogólieie prostego, lasyczego modelu dwumiaowego. Rozpatrzoo przypade, gdy występuące zmiee losowe wyzaczaące te rozład mogą być zależe. Omówioo też ego rozszerzeia. Zaprezetoway model zastosowao do zagadień związaych z reaseuracą i z zarządzaiem ryzyiem redytowym. Przedstawimy teraz w srócie te dwa zagadieia. * Katedra Statystyi, Aademia Eoomicza we Wrocławiu, ul. Komadorsa 8/2, Wrocław,

2 46 S. HEILPERN.. Reaseuraca adwyżi szody [7] Rozpatrzmy portfel sładaący się z szód X,..., X oraz próg reteci d. Iteresować as będzie liczba szód porytych przez reaseuratora, czyli zmiea losowa Y = K =, gdzie dla ażdego i =,...,, Y i est zeroedyową zmieą losową, przymuącą wartość gdy reaseurator porywa szodę i w przeciwym razie. Iymi słowy Yi = X X i i d, > d. W lasyczych modelach atuarialych załadamy zwyle iezależość występuących zmieych losowych. Jedaże a rozpatrywae ryzya wpływaą a ogół w pratyce wspóle czyii zewętrze: limatycze, eoomicze czy politycze. Mogą to być powodzie, pożary, trzęsieia ziemi, torada, ryzysy eoomicze czy politycze, iflaca, hossy lub woy. Z tego też powodu przymiemy w aszym modelu, że rozpatrywae zmiee losowe X,..., X opisuące wielości szód mogą być zależe..2. Ryzyo redytowe [4, 6, 8] Będziemy zamować się portfelem dotyczącym dłużiów w ustaloym oresie. Wprowadźmy w tym celu zeroedyowe zmiee losowe Y,..., Y, przedstawiaące status poszczególych dłużiów: Y ie spłaca, = spłaca. Przymimy też, że zmiee te są związae z ciągłymi zmieymi losowymi X,..., X, azywaymi rytyczymi [8], relacą Y = X d. Krytycze zmiee przedstawiaą ogólą sytuacę fiasową poszczególych dłużiów, zwyle ich atywa, a progi d i ich zdolości redytowe. W modelu KMV [6], stosowaym powszechie w przemyśle, X i est iterpretowaa ao zmiaa atywów i-tego dłużia w oreśloym czasie. Zmiee rytycze X i są tratowae zwyle ao zmiee losowe uryte, ieobserwowale [4, 6, 8].

3 Zależy rozład dwumiaowy W przyładzie tym iteresue as zmiea losowa Y = K = będąca liczbą iewypłacalych dłużiów. Zmiee losowe X,..., X, a taże Y,..., Y mogą być rówież, i a ogół są, w pratyce zależe., 2. Model Przedstawimy teraz matematyczy model opisuący zaprezetowae przyłady. Z putu widzeia matematyczego moża e opisać edym modelem. Różią się bowiem edyie zwrotem ierówości w relaci wiążące zmiee X i oraz Y i. Niech Y = (Y,..., Y ) będą zeroedyowymi zmieymi losowymi. Prawdopodobieństwa sucesów, zdarzeń Y = oraz poraże, gdy Y =, będziemy ozaczać odpowiedio: p = Pr(Y = ), q = p. Rozład łączy opisuemy fucą prawdopodobieństwa gdzie i {, } oraz dystrybuatą f Y (i,..., i ) = Pr(Y = i,..., Y = i ), F Y (i,..., i ) = Pr(Y i,..., Y i ). W przypadu dystrybuaty będą as iteresować edyie wartości w putach sou, tz. gdy i {, }. Fuca tworząca prawdopodobieństwa est w tym przypadu rówa P Y (t,..., t ) = i,..., i {,} i i f Y ( i,..., i ) t... t. Strutura zależości losowego wetora Y może być opisaa tzw. fucą łączącą (ag. copula) C Y. Jest oa -wymiarową dystrybuatą supioą a [, ] o edostaych rozładach brzegowych, będącą łącziiem między dystrybuatami brzegowymi F, a dystrybuatą łączą F Y. Fuca łącząca spełia zależość [9] Y i FY i,..., i ) = CY( F ( i ),..., F ( i )). ( Y Y

4 48 S. HEILPERN Dystrybuata brzegowa est oreśloa wzorem F i ) = Pr(Y i ) = u = Y ( q i i =. () = Fuca łącząca C Y wyzacza am edozaczie wartości dystrybuaty łącze F Y w putach sou i. Poza tymi putami edozaczość ie zachodzi. Jedaże w pracy iteresować as będą edyie puty sou. Aby wyzaczyć fucę prawdopodobieństwa f Y, musimy zaleźć relacę zachodzącą między f Y a dystrybuatą F Y. Zauważmy, że dowoly put sou dystrybuaty F Y możemy przedstawić ao idyator pewego podzbioru A {,..., }, czyli (i,..., i ) = A. Wtedy i =, gdy i A oraz i = w przeciwym wypadu. Załóżmy, że A = z, gdzie A ozacza ego liczebość, wtedy moża poazać [3], że f Y ( A) = ( ) FY ( D ). (2) = D D = A, Przyład. Rozpatrzymy portfel sładaący się z czterech polis. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzeia, że reaseurat porye tylo pierwszą i trzecią polisę, zaąc wartości fuci łączące C Y : f Y (,,,) = F Y (,,,) F Y (,,,) F Y (,,,) + F Y (,,,) = C Y (,q 2,,q 4 ) C Y (,q 2,q 3,q 4 ) C Y (q,q 2,,q 4 ) + C Y (q,q 2,q 3,q 4 ). Załóżmy, że pomocicze zmiee losowe X,..., X są ciągłe. Wtedy fuca łącząca C X opisuąca ich struturę zależości edozaczie oreśla łączą dystrybuatę F X i w przypadu modelu dotyczącego reaseuraci speł- Dystrybuaty brzegowe iaą warue F X (x,..., x ) = C F ( x ),..., F ( x )) X ( X X. FX (d) = Pr(X d) = Pr(Y = ) = q. Poadto wartości fuci łączących C Y oraz C X są rówe w putach sou, czyli C Y (u,..., u ) = C X (u,..., u ), gdzie u są oreśloe wzorem (). Zachodzą bowiem zależości C Y (u,..., u ) = Pr(Y i,..., Y i ) = Pr(X r,..., X r ),

5 Zależy rozład dwumiaowy gdzie: oraz poieważ r = d i i = = Pr(X r,..., X r ) = C X (u,..., u ), q r = d FX ( r ) =. r = Fuca tworząca prawdopodobieństwa sumy K = Y = est rówa P K (t) = i i f Y ( i,..., i ) t = i,..., i {,} = A = f Y ( A) t, a e rozład est oreśloy wzorem + Pr(K = ) = fy (A) = ( ) F( A). A = = A = Wyia o bezpośredio z ombiatoryczego wzoru (2). 3. Szczególe przypadi Załóżmy teraz, że zmiee losowe X,..., X maą te sam rozład oraz że fuca łącząca C X est wymieiala (ag. exchageable), tz. dla ażde permutaci π zbioru {,..., } otrzymuemy CX ( u,..., u) = CX( u (),..., u ( ) ). Wtedy dystrybuata F Y przymue te same wartości dla ciągów o te same liczbie edye. Iymi słowy, zachodzi F Y ( A ) = F Y ( B ), gdy A = B =. Wartość tę będziemy ozaczać symbolem F,. Jest oa rówa π π

6 5 S. HEILPERN F, = Pr(Y + =,..., Y = ) = C(,...,, q,..., q) Korzystaąc ze wzoru (2), otrzymuemy atomiast w tym przypadu wartość fuci prawdopodobieństwa f, : f, = f Y ( A ) = Pr(Y =,..., Y =, Y + =,..., Y = ) = ( ) = F oraz rozład i fucę tworzącą prawdopodobieństwa zmiee losowe K:, Pr(K = ) =! ( ) F, = ( )!!( )!, Przyład 2. Niech = 4, wtedy P K (t) = f t =,. Pr(K = 2) = 6F 2,4 + 2F,4 +6F,4. Wartość oczeiwaa zmiee losowe K oraz owariaca zmieych losowych Y i, Y są odpowiedio rówe E(K) = E( Y ) = p, = Cov(Y i, Y ) = E(Y i Y ) E(Y i )E(Y ) = f 2,2 p 2 = C X (q, q) q 2, wariaca zmiee losowe K, a i współczyi orelaci wyoszą atomiast V(K) = V ( Y ) + 2 Cov( Yi, Y ) = pq + ( 2 )(C X (q, q) q 2 ), = i= = i+ ρ(y i, Y ) = 2 CX ( q, q) q. (3) pq Rozpatrzymy teraz poszczególe przypadi, zależe od postaci fuci łączące C X opisuące struturę zależości losowego wetora X.

7 Zależy rozład dwumiaowy Niezależość Niezależości zmieych losowych X,..., X odpowiada fuca łącząca postaci C(u,..., u ) = u,..., u. Będziemy ą dale ozaczać symbolem Π. Zmiea losowa K ma wtedy lasyczy rozład dwumiaowy. Zachodzą w tym przypadu ogólie zae wzory: F, = q, f, = p q. Pr(K = ) = p q, P K (t) = (q + pt). V(K) = pq, ρ(y i, Y ) = Współmootoiczość Przeciwością iezależości est współmootoiczość (ag. comootoicity). Jest to ścisła zgoda zależość, opisaa fucą łączącą C(u,..., u ) = mi(u,..., u ), tórą będziemy ozaczać symbolem M. Wtedy otrzymuemy: q = q < F, =, f, = < <, p q = Pr(K = ) = < <, P K (t) = q + pt, p V(K) = 2 pq, ρ(y i, Y ) = Mieszaa Π oraz M Tallis [] oraz astępie Kolev, Paiva [7] rozpatrywali fucę łączącą postaci ( ρ)π + ρm,

8 52 S. HEILPERN gdzie ρ, będącą ombiacą wypułą iezależości i współmootoiczości. Oddae oa zarówo wpływ czyiów idywidualych, charaterystyczych dla ażde polisy, czy dłużia, a i wpływ czyiów zewętrzych oddziałuących a wszystie edosti. Fuca tworząca prawdopodobieństwa sumy K est wtedy rówa P K (t) = ( ρ)(q + pt) + ρ(q + pt ), a współczyi orelaci est rówy współczyiowi ombiaci wypułe, tz. ρ(y i, Y ) = ρ. Wariaca zmiee losowe K est oreśloa wzorem V(K) = pq( + ρ( )) Archimedesowa fuca łącząca W pratyczych zastosowaiach często wyorzystywae są tzw. archimedesowe fuce łączące. Dziee się ta zwyle z powodu proste ich postaci. Fuce te tworzoe są przez geerator ϕ, tóry est maleącą, wypułą fucą, spełiaącą warue: ϕ () =, ϕ () =. Archimedesowe fuce łączące przymuą quasi-addytywą postać, charateryzuącą się rozdzieleiem zmieych [5, 9]: C(u,..., u ) = ϕ (ϕ (u ) ϕ (u )). Wartość dystrybuaty zależy wtedy od geeratora ϕ oraz prawdopodobieństwa porażi q i est oreśloa wzorem F, = ϕ (( ) ϕ (q)). W zagadieiach pratyczych wyorzystue się zwyle parametryzowae rodziy archimedesowych fuci łączących. Parametr oddae wtedy stopień zależości. Moża też przedstawić wzorem zależość między wartością tego parametru, a współczyiiem orelaci rag Kedala [5, 9]. Dla > 2 dowola archimedesowa fuca łącząca C spełia astępuące ierówości: Π(u,..., u ) C(u,..., u ) M(u,..., u ). Wyia z ich oraz ze wzoru (3), że zawsze będzie zachodzić ieuema zależość między zmieymi Y, tz. ρ(y i, Y ). Scharateryzuemy teraz w dużym srócie trzy aczęście stosowae rodziy archimedesowych fuci łączących. Fuca łącząca Claytoa est opisaa wzorem

9 Zależy rozład dwumiaowy gdzie α >, a geerator przymue postać α α / α ) C(u,..., u ) = ( u u +, ϕ (u) = u α. Wartość dystrybuaty dla poraże est wtedy rówa F, = (+ ( )(q α )) /α. Graicza wartość parametru α = odpowiada iezależości, a dla α = mamy współmootoiczość. Drugą popularą rodzią archimedesowych fuci łączących est rodzia Gumbela. Elemety te rodziy są oreśloe wzorem gdzie α, z geeratorem α α / α u C(u,..., u ) = exp( (( lu ) ( l ) ) ), Wartość dystrybuaty wyosi ϕ (u) = ( l u) α. F, = /α ( ) q. Dla α = otrzymuemy iezależość, a dla α = współmootoiczość. Fuca łącząca, przedstawioa wzorem C(u,..., u ) = αu ( )...( ) l + αu e e α α, ( e ) gdzie α, ależy do archimedesowe rodziy Fraa. Je geerator ma postać ϕ (u) = α e u l. α e Podobie a dla rodziy Claytoa graicza wartość parametru α = odpowiada iezależości, a eśli α =, to mamy współmootoiczość. Dystrybuata est w tym przypadu oreśloa dość sompliowaym wzorem. Przyład 3. Rozpatrzymy portfel sładaący się z = 2 dłużiów i przymimy, że prawdopodobieństwo wypłacalości ażdego dłużia est rówe q =,6 oraz że strutura zależości zmieych losowych X,..., X est opisaa za pomocą archimedesowe fuci łączące Claytoa. Na rysuu przedstawioo rozłady zmiee losowe K, przedstawiaące liczbę iewypłacalych dłużiów, dla wartości parametrów rodziy Claytoa α odpowiedio rówych (iezależość);,3; 4 oraz (współmootoiczość). Odpowiadaące im wartości współczyia orelaci rag Kedala τ są rówe: ;,4;,67 oraz.

10 54 S. HEILPERN α = τ = α =,3 τ =, α = 4 τ =,67 α = τ = Rys.. Rozłady zmiee losowe K (liczba iewypłacalych dłużiów) dla różych stopi zależości Ź ródł o: Opracowaie włase. Moża zauważyć, że w przypadu lasyczym, załadaącym iezależość, rozład liczby dłużiów est edomodaly, supioy woół oczeiwae liczby dłużiów rówe 8. Jedaże w pratyce trudo oczeiwać w tym przypadu całowite iezależości. Zwyle działaą a dłużiów wspóle czyii zewętrze, taie a zmiay ursów aci oraz walut lub ryzysy eoomicze. Na ogół możemy się spotać z pewą zależością sytuaci badaych dłużiów. Dla słabych zależości, małych wartości α, wyres rozładu liczby dłużiów stae się bardzie rozciągięty. Następie wraz ze wzrostem zależości masa prawdopodobieństwa przesuwa się w lewą stroę. Nabardzie prawdopodobym stae się bra iewypłacalych dłużiów, a olee liczby iewypłacalych dłużiów są coraz mie prawdopodobe. Gdy współczyi orelaci Kedalla τ przeracza,5, wyres stae się U-ształty, tz. abardzie prawdopodobe staą się srae wartości zmiee K, czyli przypade gdy ie ma iewypłacalych dłużiów lub wszyscy staą się iewypłacali. Oczywiście drugie zdarzeie zachodzi z mieszym prawdopodobieństwem. W przypadu całowite zależości, gdy τ =, co

11 Zależy rozład dwumiaowy odpowiada iesończoe wartości parametru α, rozład stae się dwuputowy. Wszyscy dłużicy są wypłacali z prawdopodobieństwem,6 lub iewypłacali z prawdopodobieństwem,4. Przypade całowite zależości zachodzi bardzo rzado, aczęście ależy się spodziewać iezbyt duże zależości q =,8 q =, q =,3 q =, Rys. 2. Rozłady zmiee losowe K w zależości od prawdopodobieństwa wypłacalości Ź ródł o: Opracowaie włase.

12 56 S. HEILPERN Na rysuu 2 przedstawioo rozłady prawdopodobieństwa zmiee losowe K przy ustaloe wartości parametru α = 4, odpowiadaące wartości współczyia Kedala τ =,67, dla różych prawdopodobieństw wypłacalości q rówych odpowiedio:,8;,6;,3 oraz,. Widzimy, że wyresy rozładów są U-ształte, a masa prawdopodobieństwa wędrue wraz ze spadiem wartości prawdopodobieństwa q z lewe stroy wyresu do prawe. Zwięsza się wtedy prawdopodobieństwo wystąpieia więsze liczby iewypłacalych dłużiów, co est oczywiście zgode z ituicą. 4. Rozszerzeia 4.. Wartości Dotychczas iteresowała as liczba sucesów, zmiea losowa K, przedstawiaąca liczbę polis porytych przez reaseuratora lub liczbę iewypłacalych dłużiów. Teraz będziemy się zamować wartością badaego procesu. W przypadu reaseuraci będą to wartości szód porytych przez reaseuratora Z = X d, gdzie =,...,, a dla zagadień dotyczących ryzya redytowego, wartość stracoego redytu Z. Główym przedmiotem aszych zaiteresowań będzie w te sytuaci globala wartość szód podlegaących reaseuraci lub wartość stracoych redytów, czyli zmiea losowa Z = S = Fuca tworząca momety ta oreśloe zmiee losowe S est rówa [3] M S (t) = i i fy ( i,..., i)( M Z ( t)),..., ( M ( )) Z t. i,..., i {,} Gdy zmiee losowe Z,..., Z maą te same rozłady, a fuca łącząca C Z opisuąca ich struturę zależości, rówa oczywiście fuci łączące C X, est wymiea, wtedy fuca tworząca momety zmiee S ma postać M S (t) = f, (M Z ( t)). = Je dystrybuata atomiast est ombiacą wypułą oleych splotów dystrybuaty F Z zmiee Z :.

13 Zależy rozład dwumiaowy * F S (x) = f, FZ ( x). = Jeśli zmiee te są współmootoicze, dystrybuata sumy S zależy edyie od - tego splotu: * Z. F S (x) = q + pf ( x) 4.2. Losowa liczba szód W zagadieiach atuarialych [] liczba szód est a ogół tratowaa ao zmiea losowa N. Wtedy liczba sucesów, liczba polis porytych przez reaseuratora est losową sumą N Y = K = W przypadu iezależych zmieych losowych Y, fuca tworząca prawdopodobieństwa sumy K przymue zaą postać P K (t) = P N (q + pt). Dla współmootoiczych zmieych est oa rówa P K (t) = q + pp N (t) i możemy w tym przypadu oreślić rozład zmiee losowe K: q + p Pr( N = ) = Pr(K = ) =. p Pr( N = ) > Jeśli fuca łącząca C Y est ombiacą wypułą ( ρ)π + ρm, to fuca tworząca prawdopodobieńtwa liczby sucesów K est rówa P K (t) = ( ρ)p N (q + pt) + ρ(q + pp N (t)). Cieawsza sytuaca występue w przypadu archimedesowe fuci łączące C Y. Możemy wtedy sorzystać z tzw. modelu słabości (ag. frailty) []. Istiee uryta zmiea Θ, reprezetuąca czyi zewętrzy oddziałuący edocześie a wszystie sładii, związaa z geeratorem ϕ archimedesowe fuci łączące relacą ϕ ( t) = MΘ ( t )..

14 58 S. HEILPERN Jeśli fuca łącząca C Y ależy do rodziy Claytoa, to uryta zmiea losowa Θ ma rozład gamma. Dla fuci łączące Gumbela otrzymuemy rozład stabily, a dla rodziy Fraa rozład logarytmiczy []. Istiee też w tym przypadu tzw. dystrybuata bazowa H i ( y), taa, że przy ustaloe wartości θ uryte zmiee losowe Θ, wartość waruowe dystrybuaty brzegowe est fucą potęgową dystrybuaty bazowe, tz. F ( y Θ = θ ) ( H ( y)). = Dystrybuata bazowa est oreśloa wzorem [2, 5] ϕ ( F ( y)) H ( y) = e, poadto, co est w tym przypadu aważiesze, dla ustaloe θ otrzymuemy iezależość:,..., y Θ = ) = F ( y Θ = ) = F( y θ θ. Bezwaruowa łącza dystrybuata zmieych Y,..., Y przymue wtedy postać astępuące mieszai:,..., y ) = F( y,..., y Θ = θ ) dfθ ( ). F( y θ Zmiee losowe Y,..., Y są zeroedyowe, podobie a rozład wyzaczoy przez dystrybuaty bazowe. Waruowe rozłady brzegowe tych zmieych są oreśloe wzorami: Pr(Y = Θ = θ) = r θ, gdzie =,...,, a prawdopodobieństwo porażi dla bazowego rozładu est rówe M ( q) ϕ ( q) r = e Θ = e. Waruowa i bezwaruowa fuca tworząca prawdopodobieństwa zmiee losowe K oreśloe są wzorami: P K θ (t) = P N (r θ + ( r θ )t), θ θ P K (t)= P N ( r + ( r ) t) df Θ ( θ ). Powyższe rozważaia umożliwiaą wyzaczeie rozładu liczby polis porytych przez reaseuratora, w przypadu losowe liczby szód. θ

15 Zależy rozład dwumiaowy Przyład 4. Załóżmy, że liczba szód est zmieą losową o rozładzie Poissoa z parametrem λ = 2, prawdopodobieństwo porycia szody przez reaseurata wyosi p =,, a strutura zależości est opisaa archimedesową rodzią Fraa. Na rysuu 3 przedstawioo rozłady prawdopodobieństwa zmiee losowe K, liczby szód porytych przez reaseuratora. Rozpatrzoo trzy przypadi: iezależości, ρ =,5 oraz współmootoiczości.,5,4,3,3,2,2,, iezależość ρ =,5,3,2, współmootoiczość Rys. 3. Przypade losowe liczby szód Ź ródł o: Opracowaie włase. W przypadu lasyczym, iezależych szód, otrzymuemy edomodaly rozład, supioy woół oczeiwae liczby szód porytych przez aseuratora. Oczeiwaa liczba tego rodzau szód est rówa 2. Gdy współczyi orelaci Kedalla

16 6 S. HEILPERN τ =,5, abardzie prawdopodoby est bra szód porytych przez aseuratora. Prawdopodobieństwo tego zdarzeia est blisie,5, a olee liczby porytych szód zachodzą z coraz to mieszym prawdopodobieństwem. W ostatim, dość sraym i rzado spotyaym przypadu, dopuszczaącym ścisłą zależość rozpatrywaych szód, prawdopodobieństwo brau porytych szód est atomiast ieco więsze iż,9. Pozostała, iewiela masa prawdopodobieństwa est supioa woół przecięte liczby szód, wyoszące 2. Podsumowaie W pracy omówioo zależy rozład dwumiaowy. Jest to uogólieie lasyczego rozładu, w tórym dopuszcza się zależość tworzących go zeroedyowych zmieych losowych. Poazao podstawowe własości zależego rozładu dwumiaowego, ego szczególe przypadi uwzględiaące róże strutury zależości oraz ego uogólieia. Przedstawioy w pracy rozład został zastosoway w zagadieiach związaych z reaseuracą oraz zarządzaiem ryzyiem redytowym. W opisaych modelach, reaseuracyym i redytowym, lasycze założeie o iezależości zostało zastąpioe bardzie realistyczym założeiem o zależości występuących zmieych losowych. Modele te są proste, aalizowae problemy zostały w ich edyie zasygalizowae, łączy e wspóly model matematyczy oparty a zależym rozładzie dwumiaowym. W zagadieiu reaseuracyym rozszerzoo model zapropooway przez Koleva i Paivę [7], rozpatruąc strutury zależości oparte a fucach łączących, główie archimedesowych. W modelu dotyczącym ryzya redytowego poddao aalizie zmieą losową K, będącą liczbą iewypłacalych dłużiów. Zbadao e rozład zarówo zależości od różych stopi zależości, a i od prawdopodobieństwa wypłacalości dłużia. Otrzymae rozłady w istoty sposób różią się od lasyczego, załadaącego iezależość rozładu. Bibliografia [] BOWERS N., GERBER H.U., HICKMAN J.C., JONES D.A., NESBITT C.J., Actuarial Mathematics, Society of Actuaries, Schaumburg 997. [2] COSSETTE H., GAILLARDETZ P., MARCEAU E., Commo mixture i the idividual ris model, Mitteiluge der Schweiz, Atuarvereiigug, 22, Vol. 2, s [3] COSSETTE H., GAILLARDETZ P., MARCEAU E., RIOUX J., O two depedet idividual ris models, Isurace: Mathematics ad Ecoomics, 22, Vol. 3, s

17 Zależy rozład dwumiaowy... 6 [4] FREY R., MCNEIL A.J., Modellig depedet defaults, ETH Zurich 2, [5] HEILPERN S., Fuce łączące podstawowe poęcia i własości, Prace Nauowe AE Wrocław, 26, r 5, s [6] KMV-Corporatio, Modellig Default Ris, Techical Documet 997, [7] KOLEV N., PAIVA D., Multiomial model for radom sums, Isurace: Mathematics ad Ecoomics, 25, Vol. 37, s [8] MCNEIL A.J., FREY R., EMBRECHTS P., Quatitative Ris Maagemet, Priceto Uiversity Press, Priceto 25. [9] NELSEN R.B., A Itroductio to copulas, Spriger, New Yor 999. [] TALLIS G.M., The use of geeralized multiomial distributio i the estimatio of correlatio i discrete data, J. R. Stat. Soc., Ser. B, 962, Vol. 24, s [] WANG S., Aggregatio of correlated ris portfolios: Models ad algorithms, CAS Proceedigs, 998, s Depedet biomial distributio ad its applicatio i reisurace ad credits The paper is devoted to the depedet biomial distributio. The assumptio of idepedece of the radom variables i the classical biomial distributio is omitted, so we obtai a more realistic situatio. The defiitio ad basic properties of such distributio are preseted. The depedet structure of the radom variables is characterized by the copula. The cases, which are depedet o the differet copulas: exchageable, idepedet, comootoicity, the mixture of such copulas, ad Archimedea, are studied. The two extesios of our model, i.e., the values of process ad the radom umber of variables, are ivestigated, too. The applicatios of the depedet biomial distributio to the excess-of-loss reisurace ad the credit ris maagemet are preseted. Keywords: depedet biomial distributio, copula, reisurace, credit

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDENTYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI

WYKORZYSTANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDENTYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI Piotr KOZIERSKI WYKORZYSTAIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDETYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI STRESZCZEIE W artyule przedstawioo sposób idetyfiacji parametryczej obietów ieliiowych zapisaych w przestrzei

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH

ELEMENTY SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH .Kowalsi Wybrae zagadieia z rocesów sochasyczych EEMENTY SYSTEMÓW KOEJKOWYCH WYBRANE ZAGADNIENIA uca Kowalsi Warszawa 8 .Kowalsi Sysemy Obsługi ieraura:.kowalsi, maeriały dydaycze z rocesów sochasyczych.

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Metody Podejmowania Decyzji

Metody Podejmowania Decyzji Metody Podejmowaia Decyzji Wzrost liczby absolwetów w Politechice Wrocławsiej a ieruach o luczowym zaczeiu dla gospodari opartej a wiedzy r UDA-POKL.04.0.0-00-065/09-0 Recezet: Prof. dr hab. iż. Ja Iżyowsi

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 1 Symulacja doświadczeń losowych Statystyka opisowa Estymacja parametryczna i nieparametryczna T E O R I A

ĆWICZENIE 1 Symulacja doświadczeń losowych Statystyka opisowa Estymacja parametryczna i nieparametryczna T E O R I A ĆWICZENIE Symulacja doświadczeń losowych Statystya opisowa Estymacja parametrycza i ieparametrycza T E O R I A Opracowała: Katarzya Stąpor Opis programu MS EXCEL. Iformacje ogóle Program Microsoft Excel

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA

ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA ZASTOSOWANIE METODY CBR DO SZACOWANIA KOSZTÓW WYTWARZANIA W FAZIE PROJEKTOWANIA prof. r hab. iż. Ryszar Kosala r.kosala@po.opole.pl mgr iż. Barbara Baruś b.barus@po.opole.pl Politechika Opolska Wyział

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS Ekoomia Meedżerska 2011, r 10, s. 161 172 Jacek Wolak *, Grzegorz Pociejewski ** Aaliza popytu a alkohol w Polsce z zastosowaiem modelu korekty błędem AIDS 1. Wprowadzeie Okres trasformacji, zapoczątkoway

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

METODYKA OCENY EKONOMICZNEJ MAGAZYNOWANIA ENERGII ELEKTRYCZNEJ

METODYKA OCENY EKONOMICZNEJ MAGAZYNOWANIA ENERGII ELEKTRYCZNEJ Józef PASKA, Mariusz KŁOS, Karol PAWLAK Politechika Warszawska METODYKA OCENY EKONOMICZNEJ MAGAZYNOWANIA ENERGII ELEKTRYCZNEJ Magazyowaie eergii w ostatich latach cieszy się coraz większym zaiteresowaiem,

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Problemy niezawodnościowo-eksploatacyjne. dotyczące układów zasilających. elektronicznego systemu bezpieczeństwa.

Problemy niezawodnościowo-eksploatacyjne. dotyczące układów zasilających. elektronicznego systemu bezpieczeństwa. aua Problemy iezawodościowo-esploatacyje uładów zasilających eletroicze systemy bezpieczeństwa Waldemar Szulc Wyższa Szoła Meedżersa w Warszawie, Wydział Iformatyi Stosowaej i Techi Bezpieczeństwa Streszczeie:

Bardziej szczegółowo

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzieb!

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzieb! Projekt wsp,ł.iasoway ze 4rodk,w Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Materiał pomociczy dla auczycieli kształcących w zawodzieb "#$%&'( ")*+,"+(' -'#.,('#. przygotoway w ramach projektu

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

STRATEGIA STOP-LOSS & PROFIT OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO

STRATEGIA STOP-LOSS & PROFIT OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO Studia Ekoomicze. Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 221 2015 Współczese Fiase 1 Tadeusz Czerik Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Wydział Fiasów i Ubezpieczeń Katedra

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM

ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM Katarzya Zeug-Żebro Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Katedra Matematyki katarzya.zeug-zebro@ue.katowice.pl ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM Wprowadzeie Zjawisko starzeia

Bardziej szczegółowo

Minimalizacja ryzyka strukturalnego, podejście Vapnika

Minimalizacja ryzyka strukturalnego, podejście Vapnika Miimalizacja ryzyka strukturalego, podejście Vapika Wykład IV Wisła, grudzień 2009 Miimalizacja ryzyka strukturalego Problem klasyfikacji dla dwóch klas, g = 2. L(f (x), y) = I {f (x) y}. Załóżmy, że daa

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ METODY PURC DLA ZAGADNIEŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH 3D

ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ METODY PURC DLA ZAGADNIEŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH 3D MODELOWANIE INŻYNIERSKIE r 46 ISSN 896-77X ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ MEODY PURC DLA ZAGADNIEŃ EORII SPRĘŻYSOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH D Egeisz Zieik a Krzysztof

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera

Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera Magazie Kombiacje, permutacje czyli ombiatorya dla testera Autor: Jace Oroje O autorze: Absolwet Wydziału Fizyi Techiczej, Iformatyi i Matematyi Stosowaej Politechii Łódziej, specjalizacja Sieci i Systemy

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE WYKRESÓW CZTEROPOLOWYCH W BADANIACH SPOŁECZNO-EKONOMICZNYCH 1

WYKORZYSTANIE WYKRESÓW CZTEROPOLOWYCH W BADANIACH SPOŁECZNO-EKONOMICZNYCH 1 Agieszka Staimir Uiwersytet Ekoomiczy we Wrocławiu WYKORZYSTANIE WYKRESÓW CZTEROPOLOWYCH W BADANIACH SPOŁECZNO-EKONOMICZNYCH 1 Wprowadzeie W badaiach społeczo-ekoomiczych bardzo często występują zmiee

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do laboratorium 1

Wprowadzenie do laboratorium 1 Wprowadzeie do laboratorium 1 Etymacja jedorówaiowego modelu popytu a bilety loticze Etapy budowy modelu ekoometryczego Specyfikacja modelu Zebraie daych tatytyczych Etymacja parametrów modelu Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIÑSKIEGO KILKA UWAG O TEORII WARTOŒCI REKORDOWYCH

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIÑSKIEGO KILKA UWAG O TEORII WARTOŒCI REKORDOWYCH 237 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIÑSKIEGO NR 415 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR 16 2005 BOGUS AW STANKIEWICZ KRZYSZTOF WISIÑSKI KILKA UWAG O TEORII WARTOŒCI REKORDOWYCH W ostatich latach

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

OCHRONA WIBROAKUSTYCZNA ZAŁOGI MOTOROWYCH JACHTÓW MORSKICH Z SILNIKIEM STACJONARNYM

OCHRONA WIBROAKUSTYCZNA ZAŁOGI MOTOROWYCH JACHTÓW MORSKICH Z SILNIKIEM STACJONARNYM 1-2008 PROBLEMY EKSPLOATACJI 161 Jausz GARDULSKI Politechika Śląska, Katowice OCHRONA WIBROAKUSTYCZNA ZAŁOGI MOTOROWYCH JACHTÓW MORSKICH Z SILNIKIEM STACJONARNYM Słowa kluczowe Morskie jachty motorowe,

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Mirosław Wójciak

Ekonometria Mirosław Wójciak Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

POLOWO-OBWODOWY MODEL AKTUATORA MAGNETOSTRYKCYJNEGO

POLOWO-OBWODOWY MODEL AKTUATORA MAGNETOSTRYKCYJNEGO Maszyy Eletrycze Zeszyty Problemowe Nr 3/205 (07) 63 Paweł Idzia, Krzysztof Kowalsi, Lech Nowa, Dorota Stachowia Politechia Pozańsa, Istytut Eletrotechii i Eletroii Przemysłowej, Pozań POLOWO-OBWODOWY

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki

Harmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki 52 Sławomir Herma Sławomir HERMA atedra Iżyierii Produkcji, ATH w Bielsku-Białej E mail: slawomir.herma@gmail.com Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia cyfrowej fabryki Streszczeie: W

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość śruby wysokość nakrętki

Wytrzymałość śruby wysokość nakrętki Wyzymałość śuby wysoość aęi Wpowazeie zej Wie Działająca w śubie siła osiowa jes pzeoszoa pzez zeń i zwoje gwiu. owouje ozciągaie lub ścisaie zeia śuby, zgiaie i ściaie zwojów gwiu oaz wywołuje acisi a

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie modeli czynnikowych w zarządzaniu portfelowym ryzykiem kredytowym na przykładzie kredytów hipotecznych i gotówkowych

Zastosowanie modeli czynnikowych w zarządzaniu portfelowym ryzykiem kredytowym na przykładzie kredytów hipotecznych i gotówkowych MBA. CE 5/202 Artuł 3 Maagemet ad Busiess Admiistratio. Cetral Europe 5/202 (8): s. 3 28, ISSN 2084 3356, Copright b Aademia Leoa Koźmińsiego Zastosowaie modeli cziowch w zarządzaiu portfelowm rziem redtowm

Bardziej szczegółowo

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Ć wiczeie 7 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z RZEIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Wiadomości ogóle Rozwój apędów elektryczych jest ściśle związay z rozwojem eergoelektroiki Współcześie a ogół

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA NIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORT ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E13 BADANIE ELEMENTÓW

Bardziej szczegółowo

OCENA EFEKTYWNOŚCI SYSTEMU POMOCY DORAŹNEJ I RATOWNICTWA MEDYCZNEGO W POLSCE Z WYKORZYSTANIEM DEA

OCENA EFEKTYWNOŚCI SYSTEMU POMOCY DORAŹNEJ I RATOWNICTWA MEDYCZNEGO W POLSCE Z WYKORZYSTANIEM DEA METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XV/3, 2014, str. 159 168 OCENA EFEKTYWNOŚCI SYSTEMU POMOCY DORAŹNEJ I RATOWNICTWA MEDYCZNEGO W POLSCE Z WYKORZYSTANIEM DEA Justya Kuawska Wydział Zarządzaia

Bardziej szczegółowo

PROCES RYZYKA Z ZALEŻNYMI OKRESAMI MIĘDZY WYPŁATAMI ANALIZA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUINY 1

PROCES RYZYKA Z ZALEŻNYMI OKRESAMI MIĘDZY WYPŁATAMI ANALIZA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUINY 1 Stanisław Heilpern Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu PROCES RYZYKA Z ZALEŻNYMI OKRESAMI MIĘDZY WYPŁATAMI ANALIZA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUINY 1 Wprowadzenie W pracy będzie rozpatrywany ciągły proces ryzyka,

Bardziej szczegółowo

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie MODELE SCORINGU KREDYTOWEGO Z WYKORZYSTANIEM NARZĘDZI DATA MINING ANALIZA PORÓWNAWCZA Przemysław Jaśko Wydział Ekoomii i Stosuków Międzyarodowych, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie 1 WROWADZENIE Modele aplikacyjego

Bardziej szczegółowo

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH. WSTĘP Coraz doskoalsze, szybsze i pojemiejsze pamięci komputerowe pozwalają gromadzić i przetwarzać coraz większe ilości iformacji. Systemy baz daych staowią więc jedo

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 573 Ekoomia XXXIX 2001 BŁAŻEJ PRUSAK Katedra Ekoomii i Zarządzaia Przedsiębiorstwem METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Celem artykułu jest przedstawieie metod

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW . ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik

Bardziej szczegółowo

ANALIZA JEDNOKIERUNKOWEJ MIGRACJI WARTOŚCI

ANALIZA JEDNOKIERUNKOWEJ MIGRACJI WARTOŚCI STUDIA EKONOMICZNE 1 ECONOMIC STUDIES NR 3 (LLXXVIII) 2013 Dariusz Siuda* ANALIZA JEDNOKIERUNKOWEJ MIGRACJI WARTOŚCI WPROWADZENIE Migracja wartości polega a odpływie wartości z jedego przedsiębiorstwa

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszy Istrukcja do zajęć laboratoryjych z przedmiotu: EKSPLOATACJA MASZYN Wpływ waruków eksploatacji pojazdu a charakterystyki

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Metody oceny projektów inwestycyjnych

Metody oceny projektów inwestycyjnych Metody ocey projektów iwestycyjych PRZEDMIIOT : EFEKTYWNOŚĆ SYSTEMÓW IINFORMATYCZNYCH Pla wykładu Temat: Metody ocey projektów iwestycyjych 5 FINANSOWE METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH... 4 5.1. WPROWADZENIE...

Bardziej szczegółowo

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH Barbara Popowska bpopowsk@math.put.poznan.pl Politechnika Poznańska http://www.put.poznan.pl/ PROGRAM REFERATU 1. WPROWADZENIE 2. GRAF JAKO MODEL

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

Spłata długów. Rozliczenia związane z zadłużeniem

Spłata długów. Rozliczenia związane z zadłużeniem płata długów Rozliczeia związae z zadłużeiem Źódła fiasowaia Źódła fiasowaia Kapitał własy wkład właściciela, wpłaty udziałowców, opłaty za akcje, wkład zeczowy, apot. Kapitał obcy kedyty, pożyczki, ie

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

ZASADY WYZNACZANIA DEPOZYTÓW ZABEZPIECZAJĄCYCH PO WPROWADZENIU DO OBROTU OPCJI W RELACJI KLIENT-BIURO MAKLERSKIE

ZASADY WYZNACZANIA DEPOZYTÓW ZABEZPIECZAJĄCYCH PO WPROWADZENIU DO OBROTU OPCJI W RELACJI KLIENT-BIURO MAKLERSKIE Zasady wyznazana depozytów zabezpezaąyh po wprowadzenu do obrotu op w rela lent-buro malerse ZAADY WYZNACZANIA DEPOZYTÓW ZABEZPIECZAJĄCYCH PO WPROWADZENIU DO OBROTU OPCJI W RELACJI KLIENT-BIURO MAKLERKIE

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Łukasz WOJCIECHOWSKI, Tadeusz CISOWSKI, Piotr GRZEGORCZYK ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Streszczeie W artykule zaprezetowao algorytm wyzaczaia optymalych parametrów

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna 3 MAŁGORZATA STEC Dr Małgorzata Stec Zakład Statystyki i Ekoometrii Uiwersytet Rzeszowski Uwarukowaia rozwojowe województw w Polsce aaliza statystyczo-ekoometrycza WPROWADZENIE Rozwój społeczo-gospodarczy

Bardziej szczegółowo

Termodynamika defektów sieci krystalicznej

Termodynamika defektów sieci krystalicznej Termodyamika defektów sieci krystaliczej Defekty sieci krystaliczej puktowe (wakasje, atomy międzywęzłowe, obce atomy) jedowymiarowe (dyslokacje krawędziowe i śrubowe) dwuwymiarowe (graice międzyziarowe,

Bardziej szczegółowo