ZALEŻNY ROZKŁAD DWUMIANOWY I JEGO ZASTOSOWANIE W REASEKURACJI I KREDYTACH. 1. Wstęp

Transkrypt

1 B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 27 Staisław HEILPERN* ZALEŻNY ROZKŁAD DWUMIANOWY I JEGO ZASTOSOWANIE W REASEKURACJI I KREDYTACH Praca est poświęcoa zależemu rozładowi dwumiaowemu. W odróżieiu od lasyczego rozładu dwumiaowego odstąpioo od założeia o iezależości zmieych losowych. Omówioo poszczególe przypadi uwzględiaące róże strutury zależości oraz rozszerzeia modelu. Przedstawioo zastosowaia w reaseuraci adwyżi szody oraz w zarządzaiu ryzyiem redytowym. Słowa luczowe: zależy rozład dwumiaowy, fuca łącząca, reaseuraca, redyt. Wstęp W lasyczych modelach atuarialych, czy też fiasowych, rozpatrywae zmiee losowe są a ogół iezależe. Założeie to est bardzo wygode z putu widzeia matematyczego łatwie est wtedy dużo rzeczy udowodić ale est iestety często zaczie odbiegaące od rzeczywistości. W pratyczych zastosowaiach występuące procesy i zawisa są a ogół zależe. Wpływaą a ie wspóle czyii zewętrze. W pracy przedstawioo uogólieie prostego, lasyczego modelu dwumiaowego. Rozpatrzoo przypade, gdy występuące zmiee losowe wyzaczaące te rozład mogą być zależe. Omówioo też ego rozszerzeia. Zaprezetoway model zastosowao do zagadień związaych z reaseuracą i z zarządzaiem ryzyiem redytowym. Przedstawimy teraz w srócie te dwa zagadieia. * Katedra Statystyi, Aademia Eoomicza we Wrocławiu, ul. Komadorsa 8/2, Wrocław,

2 46 S. HEILPERN.. Reaseuraca adwyżi szody [7] Rozpatrzmy portfel sładaący się z szód X,..., X oraz próg reteci d. Iteresować as będzie liczba szód porytych przez reaseuratora, czyli zmiea losowa Y = K =, gdzie dla ażdego i =,...,, Y i est zeroedyową zmieą losową, przymuącą wartość gdy reaseurator porywa szodę i w przeciwym razie. Iymi słowy Yi = X X i i d, > d. W lasyczych modelach atuarialych załadamy zwyle iezależość występuących zmieych losowych. Jedaże a rozpatrywae ryzya wpływaą a ogół w pratyce wspóle czyii zewętrze: limatycze, eoomicze czy politycze. Mogą to być powodzie, pożary, trzęsieia ziemi, torada, ryzysy eoomicze czy politycze, iflaca, hossy lub woy. Z tego też powodu przymiemy w aszym modelu, że rozpatrywae zmiee losowe X,..., X opisuące wielości szód mogą być zależe..2. Ryzyo redytowe [4, 6, 8] Będziemy zamować się portfelem dotyczącym dłużiów w ustaloym oresie. Wprowadźmy w tym celu zeroedyowe zmiee losowe Y,..., Y, przedstawiaące status poszczególych dłużiów: Y ie spłaca, = spłaca. Przymimy też, że zmiee te są związae z ciągłymi zmieymi losowymi X,..., X, azywaymi rytyczymi [8], relacą Y = X d. Krytycze zmiee przedstawiaą ogólą sytuacę fiasową poszczególych dłużiów, zwyle ich atywa, a progi d i ich zdolości redytowe. W modelu KMV [6], stosowaym powszechie w przemyśle, X i est iterpretowaa ao zmiaa atywów i-tego dłużia w oreśloym czasie. Zmiee rytycze X i są tratowae zwyle ao zmiee losowe uryte, ieobserwowale [4, 6, 8].

3 Zależy rozład dwumiaowy W przyładzie tym iteresue as zmiea losowa Y = K = będąca liczbą iewypłacalych dłużiów. Zmiee losowe X,..., X, a taże Y,..., Y mogą być rówież, i a ogół są, w pratyce zależe., 2. Model Przedstawimy teraz matematyczy model opisuący zaprezetowae przyłady. Z putu widzeia matematyczego moża e opisać edym modelem. Różią się bowiem edyie zwrotem ierówości w relaci wiążące zmiee X i oraz Y i. Niech Y = (Y,..., Y ) będą zeroedyowymi zmieymi losowymi. Prawdopodobieństwa sucesów, zdarzeń Y = oraz poraże, gdy Y =, będziemy ozaczać odpowiedio: p = Pr(Y = ), q = p. Rozład łączy opisuemy fucą prawdopodobieństwa gdzie i {, } oraz dystrybuatą f Y (i,..., i ) = Pr(Y = i,..., Y = i ), F Y (i,..., i ) = Pr(Y i,..., Y i ). W przypadu dystrybuaty będą as iteresować edyie wartości w putach sou, tz. gdy i {, }. Fuca tworząca prawdopodobieństwa est w tym przypadu rówa P Y (t,..., t ) = i,..., i {,} i i f Y ( i,..., i ) t... t. Strutura zależości losowego wetora Y może być opisaa tzw. fucą łączącą (ag. copula) C Y. Jest oa -wymiarową dystrybuatą supioą a [, ] o edostaych rozładach brzegowych, będącą łącziiem między dystrybuatami brzegowymi F, a dystrybuatą łączą F Y. Fuca łącząca spełia zależość [9] Y i FY i,..., i ) = CY( F ( i ),..., F ( i )). ( Y Y

4 48 S. HEILPERN Dystrybuata brzegowa est oreśloa wzorem F i ) = Pr(Y i ) = u = Y ( q i i =. () = Fuca łącząca C Y wyzacza am edozaczie wartości dystrybuaty łącze F Y w putach sou i. Poza tymi putami edozaczość ie zachodzi. Jedaże w pracy iteresować as będą edyie puty sou. Aby wyzaczyć fucę prawdopodobieństwa f Y, musimy zaleźć relacę zachodzącą między f Y a dystrybuatą F Y. Zauważmy, że dowoly put sou dystrybuaty F Y możemy przedstawić ao idyator pewego podzbioru A {,..., }, czyli (i,..., i ) = A. Wtedy i =, gdy i A oraz i = w przeciwym wypadu. Załóżmy, że A = z, gdzie A ozacza ego liczebość, wtedy moża poazać [3], że f Y ( A) = ( ) FY ( D ). (2) = D D = A, Przyład. Rozpatrzymy portfel sładaący się z czterech polis. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzeia, że reaseurat porye tylo pierwszą i trzecią polisę, zaąc wartości fuci łączące C Y : f Y (,,,) = F Y (,,,) F Y (,,,) F Y (,,,) + F Y (,,,) = C Y (,q 2,,q 4 ) C Y (,q 2,q 3,q 4 ) C Y (q,q 2,,q 4 ) + C Y (q,q 2,q 3,q 4 ). Załóżmy, że pomocicze zmiee losowe X,..., X są ciągłe. Wtedy fuca łącząca C X opisuąca ich struturę zależości edozaczie oreśla łączą dystrybuatę F X i w przypadu modelu dotyczącego reaseuraci speł- Dystrybuaty brzegowe iaą warue F X (x,..., x ) = C F ( x ),..., F ( x )) X ( X X. FX (d) = Pr(X d) = Pr(Y = ) = q. Poadto wartości fuci łączących C Y oraz C X są rówe w putach sou, czyli C Y (u,..., u ) = C X (u,..., u ), gdzie u są oreśloe wzorem (). Zachodzą bowiem zależości C Y (u,..., u ) = Pr(Y i,..., Y i ) = Pr(X r,..., X r ),

5 Zależy rozład dwumiaowy gdzie: oraz poieważ r = d i i = = Pr(X r,..., X r ) = C X (u,..., u ), q r = d FX ( r ) =. r = Fuca tworząca prawdopodobieństwa sumy K = Y = est rówa P K (t) = i i f Y ( i,..., i ) t = i,..., i {,} = A = f Y ( A) t, a e rozład est oreśloy wzorem + Pr(K = ) = fy (A) = ( ) F( A). A = = A = Wyia o bezpośredio z ombiatoryczego wzoru (2). 3. Szczególe przypadi Załóżmy teraz, że zmiee losowe X,..., X maą te sam rozład oraz że fuca łącząca C X est wymieiala (ag. exchageable), tz. dla ażde permutaci π zbioru {,..., } otrzymuemy CX ( u,..., u) = CX( u (),..., u ( ) ). Wtedy dystrybuata F Y przymue te same wartości dla ciągów o te same liczbie edye. Iymi słowy, zachodzi F Y ( A ) = F Y ( B ), gdy A = B =. Wartość tę będziemy ozaczać symbolem F,. Jest oa rówa π π

6 5 S. HEILPERN F, = Pr(Y + =,..., Y = ) = C(,...,, q,..., q) Korzystaąc ze wzoru (2), otrzymuemy atomiast w tym przypadu wartość fuci prawdopodobieństwa f, : f, = f Y ( A ) = Pr(Y =,..., Y =, Y + =,..., Y = ) = ( ) = F oraz rozład i fucę tworzącą prawdopodobieństwa zmiee losowe K:, Pr(K = ) =! ( ) F, = ( )!!( )!, Przyład 2. Niech = 4, wtedy P K (t) = f t =,. Pr(K = 2) = 6F 2,4 + 2F,4 +6F,4. Wartość oczeiwaa zmiee losowe K oraz owariaca zmieych losowych Y i, Y są odpowiedio rówe E(K) = E( Y ) = p, = Cov(Y i, Y ) = E(Y i Y ) E(Y i )E(Y ) = f 2,2 p 2 = C X (q, q) q 2, wariaca zmiee losowe K, a i współczyi orelaci wyoszą atomiast V(K) = V ( Y ) + 2 Cov( Yi, Y ) = pq + ( 2 )(C X (q, q) q 2 ), = i= = i+ ρ(y i, Y ) = 2 CX ( q, q) q. (3) pq Rozpatrzymy teraz poszczególe przypadi, zależe od postaci fuci łączące C X opisuące struturę zależości losowego wetora X.

7 Zależy rozład dwumiaowy Niezależość Niezależości zmieych losowych X,..., X odpowiada fuca łącząca postaci C(u,..., u ) = u,..., u. Będziemy ą dale ozaczać symbolem Π. Zmiea losowa K ma wtedy lasyczy rozład dwumiaowy. Zachodzą w tym przypadu ogólie zae wzory: F, = q, f, = p q. Pr(K = ) = p q, P K (t) = (q + pt). V(K) = pq, ρ(y i, Y ) = Współmootoiczość Przeciwością iezależości est współmootoiczość (ag. comootoicity). Jest to ścisła zgoda zależość, opisaa fucą łączącą C(u,..., u ) = mi(u,..., u ), tórą będziemy ozaczać symbolem M. Wtedy otrzymuemy: q = q < F, =, f, = < <, p q = Pr(K = ) = < <, P K (t) = q + pt, p V(K) = 2 pq, ρ(y i, Y ) = Mieszaa Π oraz M Tallis [] oraz astępie Kolev, Paiva [7] rozpatrywali fucę łączącą postaci ( ρ)π + ρm,

8 52 S. HEILPERN gdzie ρ, będącą ombiacą wypułą iezależości i współmootoiczości. Oddae oa zarówo wpływ czyiów idywidualych, charaterystyczych dla ażde polisy, czy dłużia, a i wpływ czyiów zewętrzych oddziałuących a wszystie edosti. Fuca tworząca prawdopodobieństwa sumy K est wtedy rówa P K (t) = ( ρ)(q + pt) + ρ(q + pt ), a współczyi orelaci est rówy współczyiowi ombiaci wypułe, tz. ρ(y i, Y ) = ρ. Wariaca zmiee losowe K est oreśloa wzorem V(K) = pq( + ρ( )) Archimedesowa fuca łącząca W pratyczych zastosowaiach często wyorzystywae są tzw. archimedesowe fuce łączące. Dziee się ta zwyle z powodu proste ich postaci. Fuce te tworzoe są przez geerator ϕ, tóry est maleącą, wypułą fucą, spełiaącą warue: ϕ () =, ϕ () =. Archimedesowe fuce łączące przymuą quasi-addytywą postać, charateryzuącą się rozdzieleiem zmieych [5, 9]: C(u,..., u ) = ϕ (ϕ (u ) ϕ (u )). Wartość dystrybuaty zależy wtedy od geeratora ϕ oraz prawdopodobieństwa porażi q i est oreśloa wzorem F, = ϕ (( ) ϕ (q)). W zagadieiach pratyczych wyorzystue się zwyle parametryzowae rodziy archimedesowych fuci łączących. Parametr oddae wtedy stopień zależości. Moża też przedstawić wzorem zależość między wartością tego parametru, a współczyiiem orelaci rag Kedala [5, 9]. Dla > 2 dowola archimedesowa fuca łącząca C spełia astępuące ierówości: Π(u,..., u ) C(u,..., u ) M(u,..., u ). Wyia z ich oraz ze wzoru (3), że zawsze będzie zachodzić ieuema zależość między zmieymi Y, tz. ρ(y i, Y ). Scharateryzuemy teraz w dużym srócie trzy aczęście stosowae rodziy archimedesowych fuci łączących. Fuca łącząca Claytoa est opisaa wzorem

9 Zależy rozład dwumiaowy gdzie α >, a geerator przymue postać α α / α ) C(u,..., u ) = ( u u +, ϕ (u) = u α. Wartość dystrybuaty dla poraże est wtedy rówa F, = (+ ( )(q α )) /α. Graicza wartość parametru α = odpowiada iezależości, a dla α = mamy współmootoiczość. Drugą popularą rodzią archimedesowych fuci łączących est rodzia Gumbela. Elemety te rodziy są oreśloe wzorem gdzie α, z geeratorem α α / α u C(u,..., u ) = exp( (( lu ) ( l ) ) ), Wartość dystrybuaty wyosi ϕ (u) = ( l u) α. F, = /α ( ) q. Dla α = otrzymuemy iezależość, a dla α = współmootoiczość. Fuca łącząca, przedstawioa wzorem C(u,..., u ) = αu ( )...( ) l + αu e e α α, ( e ) gdzie α, ależy do archimedesowe rodziy Fraa. Je geerator ma postać ϕ (u) = α e u l. α e Podobie a dla rodziy Claytoa graicza wartość parametru α = odpowiada iezależości, a eśli α =, to mamy współmootoiczość. Dystrybuata est w tym przypadu oreśloa dość sompliowaym wzorem. Przyład 3. Rozpatrzymy portfel sładaący się z = 2 dłużiów i przymimy, że prawdopodobieństwo wypłacalości ażdego dłużia est rówe q =,6 oraz że strutura zależości zmieych losowych X,..., X est opisaa za pomocą archimedesowe fuci łączące Claytoa. Na rysuu przedstawioo rozłady zmiee losowe K, przedstawiaące liczbę iewypłacalych dłużiów, dla wartości parametrów rodziy Claytoa α odpowiedio rówych (iezależość);,3; 4 oraz (współmootoiczość). Odpowiadaące im wartości współczyia orelaci rag Kedala τ są rówe: ;,4;,67 oraz.

10 54 S. HEILPERN α = τ = α =,3 τ =, α = 4 τ =,67 α = τ = Rys.. Rozłady zmiee losowe K (liczba iewypłacalych dłużiów) dla różych stopi zależości Ź ródł o: Opracowaie włase. Moża zauważyć, że w przypadu lasyczym, załadaącym iezależość, rozład liczby dłużiów est edomodaly, supioy woół oczeiwae liczby dłużiów rówe 8. Jedaże w pratyce trudo oczeiwać w tym przypadu całowite iezależości. Zwyle działaą a dłużiów wspóle czyii zewętrze, taie a zmiay ursów aci oraz walut lub ryzysy eoomicze. Na ogół możemy się spotać z pewą zależością sytuaci badaych dłużiów. Dla słabych zależości, małych wartości α, wyres rozładu liczby dłużiów stae się bardzie rozciągięty. Następie wraz ze wzrostem zależości masa prawdopodobieństwa przesuwa się w lewą stroę. Nabardzie prawdopodobym stae się bra iewypłacalych dłużiów, a olee liczby iewypłacalych dłużiów są coraz mie prawdopodobe. Gdy współczyi orelaci Kedalla τ przeracza,5, wyres stae się U-ształty, tz. abardzie prawdopodobe staą się srae wartości zmiee K, czyli przypade gdy ie ma iewypłacalych dłużiów lub wszyscy staą się iewypłacali. Oczywiście drugie zdarzeie zachodzi z mieszym prawdopodobieństwem. W przypadu całowite zależości, gdy τ =, co

11 Zależy rozład dwumiaowy odpowiada iesończoe wartości parametru α, rozład stae się dwuputowy. Wszyscy dłużicy są wypłacali z prawdopodobieństwem,6 lub iewypłacali z prawdopodobieństwem,4. Przypade całowite zależości zachodzi bardzo rzado, aczęście ależy się spodziewać iezbyt duże zależości q =,8 q =, q =,3 q =, Rys. 2. Rozłady zmiee losowe K w zależości od prawdopodobieństwa wypłacalości Ź ródł o: Opracowaie włase.

12 56 S. HEILPERN Na rysuu 2 przedstawioo rozłady prawdopodobieństwa zmiee losowe K przy ustaloe wartości parametru α = 4, odpowiadaące wartości współczyia Kedala τ =,67, dla różych prawdopodobieństw wypłacalości q rówych odpowiedio:,8;,6;,3 oraz,. Widzimy, że wyresy rozładów są U-ształte, a masa prawdopodobieństwa wędrue wraz ze spadiem wartości prawdopodobieństwa q z lewe stroy wyresu do prawe. Zwięsza się wtedy prawdopodobieństwo wystąpieia więsze liczby iewypłacalych dłużiów, co est oczywiście zgode z ituicą. 4. Rozszerzeia 4.. Wartości Dotychczas iteresowała as liczba sucesów, zmiea losowa K, przedstawiaąca liczbę polis porytych przez reaseuratora lub liczbę iewypłacalych dłużiów. Teraz będziemy się zamować wartością badaego procesu. W przypadu reaseuraci będą to wartości szód porytych przez reaseuratora Z = X d, gdzie =,...,, a dla zagadień dotyczących ryzya redytowego, wartość stracoego redytu Z. Główym przedmiotem aszych zaiteresowań będzie w te sytuaci globala wartość szód podlegaących reaseuraci lub wartość stracoych redytów, czyli zmiea losowa Z = S = Fuca tworząca momety ta oreśloe zmiee losowe S est rówa [3] M S (t) = i i fy ( i,..., i)( M Z ( t)),..., ( M ( )) Z t. i,..., i {,} Gdy zmiee losowe Z,..., Z maą te same rozłady, a fuca łącząca C Z opisuąca ich struturę zależości, rówa oczywiście fuci łączące C X, est wymiea, wtedy fuca tworząca momety zmiee S ma postać M S (t) = f, (M Z ( t)). = Je dystrybuata atomiast est ombiacą wypułą oleych splotów dystrybuaty F Z zmiee Z :.

13 Zależy rozład dwumiaowy * F S (x) = f, FZ ( x). = Jeśli zmiee te są współmootoicze, dystrybuata sumy S zależy edyie od - tego splotu: * Z. F S (x) = q + pf ( x) 4.2. Losowa liczba szód W zagadieiach atuarialych [] liczba szód est a ogół tratowaa ao zmiea losowa N. Wtedy liczba sucesów, liczba polis porytych przez reaseuratora est losową sumą N Y = K = W przypadu iezależych zmieych losowych Y, fuca tworząca prawdopodobieństwa sumy K przymue zaą postać P K (t) = P N (q + pt). Dla współmootoiczych zmieych est oa rówa P K (t) = q + pp N (t) i możemy w tym przypadu oreślić rozład zmiee losowe K: q + p Pr( N = ) = Pr(K = ) =. p Pr( N = ) > Jeśli fuca łącząca C Y est ombiacą wypułą ( ρ)π + ρm, to fuca tworząca prawdopodobieńtwa liczby sucesów K est rówa P K (t) = ( ρ)p N (q + pt) + ρ(q + pp N (t)). Cieawsza sytuaca występue w przypadu archimedesowe fuci łączące C Y. Możemy wtedy sorzystać z tzw. modelu słabości (ag. frailty) []. Istiee uryta zmiea Θ, reprezetuąca czyi zewętrzy oddziałuący edocześie a wszystie sładii, związaa z geeratorem ϕ archimedesowe fuci łączące relacą ϕ ( t) = MΘ ( t )..

14 58 S. HEILPERN Jeśli fuca łącząca C Y ależy do rodziy Claytoa, to uryta zmiea losowa Θ ma rozład gamma. Dla fuci łączące Gumbela otrzymuemy rozład stabily, a dla rodziy Fraa rozład logarytmiczy []. Istiee też w tym przypadu tzw. dystrybuata bazowa H i ( y), taa, że przy ustaloe wartości θ uryte zmiee losowe Θ, wartość waruowe dystrybuaty brzegowe est fucą potęgową dystrybuaty bazowe, tz. F ( y Θ = θ ) ( H ( y)). = Dystrybuata bazowa est oreśloa wzorem [2, 5] ϕ ( F ( y)) H ( y) = e, poadto, co est w tym przypadu aważiesze, dla ustaloe θ otrzymuemy iezależość:,..., y Θ = ) = F ( y Θ = ) = F( y θ θ. Bezwaruowa łącza dystrybuata zmieych Y,..., Y przymue wtedy postać astępuące mieszai:,..., y ) = F( y,..., y Θ = θ ) dfθ ( ). F( y θ Zmiee losowe Y,..., Y są zeroedyowe, podobie a rozład wyzaczoy przez dystrybuaty bazowe. Waruowe rozłady brzegowe tych zmieych są oreśloe wzorami: Pr(Y = Θ = θ) = r θ, gdzie =,...,, a prawdopodobieństwo porażi dla bazowego rozładu est rówe M ( q) ϕ ( q) r = e Θ = e. Waruowa i bezwaruowa fuca tworząca prawdopodobieństwa zmiee losowe K oreśloe są wzorami: P K θ (t) = P N (r θ + ( r θ )t), θ θ P K (t)= P N ( r + ( r ) t) df Θ ( θ ). Powyższe rozważaia umożliwiaą wyzaczeie rozładu liczby polis porytych przez reaseuratora, w przypadu losowe liczby szód. θ

15 Zależy rozład dwumiaowy Przyład 4. Załóżmy, że liczba szód est zmieą losową o rozładzie Poissoa z parametrem λ = 2, prawdopodobieństwo porycia szody przez reaseurata wyosi p =,, a strutura zależości est opisaa archimedesową rodzią Fraa. Na rysuu 3 przedstawioo rozłady prawdopodobieństwa zmiee losowe K, liczby szód porytych przez reaseuratora. Rozpatrzoo trzy przypadi: iezależości, ρ =,5 oraz współmootoiczości.,5,4,3,3,2,2,, iezależość ρ =,5,3,2, współmootoiczość Rys. 3. Przypade losowe liczby szód Ź ródł o: Opracowaie włase. W przypadu lasyczym, iezależych szód, otrzymuemy edomodaly rozład, supioy woół oczeiwae liczby szód porytych przez aseuratora. Oczeiwaa liczba tego rodzau szód est rówa 2. Gdy współczyi orelaci Kedalla

16 6 S. HEILPERN τ =,5, abardzie prawdopodoby est bra szód porytych przez aseuratora. Prawdopodobieństwo tego zdarzeia est blisie,5, a olee liczby porytych szód zachodzą z coraz to mieszym prawdopodobieństwem. W ostatim, dość sraym i rzado spotyaym przypadu, dopuszczaącym ścisłą zależość rozpatrywaych szód, prawdopodobieństwo brau porytych szód est atomiast ieco więsze iż,9. Pozostała, iewiela masa prawdopodobieństwa est supioa woół przecięte liczby szód, wyoszące 2. Podsumowaie W pracy omówioo zależy rozład dwumiaowy. Jest to uogólieie lasyczego rozładu, w tórym dopuszcza się zależość tworzących go zeroedyowych zmieych losowych. Poazao podstawowe własości zależego rozładu dwumiaowego, ego szczególe przypadi uwzględiaące róże strutury zależości oraz ego uogólieia. Przedstawioy w pracy rozład został zastosoway w zagadieiach związaych z reaseuracą oraz zarządzaiem ryzyiem redytowym. W opisaych modelach, reaseuracyym i redytowym, lasycze założeie o iezależości zostało zastąpioe bardzie realistyczym założeiem o zależości występuących zmieych losowych. Modele te są proste, aalizowae problemy zostały w ich edyie zasygalizowae, łączy e wspóly model matematyczy oparty a zależym rozładzie dwumiaowym. W zagadieiu reaseuracyym rozszerzoo model zapropooway przez Koleva i Paivę [7], rozpatruąc strutury zależości oparte a fucach łączących, główie archimedesowych. W modelu dotyczącym ryzya redytowego poddao aalizie zmieą losową K, będącą liczbą iewypłacalych dłużiów. Zbadao e rozład zarówo zależości od różych stopi zależości, a i od prawdopodobieństwa wypłacalości dłużia. Otrzymae rozłady w istoty sposób różią się od lasyczego, załadaącego iezależość rozładu. Bibliografia [] BOWERS N., GERBER H.U., HICKMAN J.C., JONES D.A., NESBITT C.J., Actuarial Mathematics, Society of Actuaries, Schaumburg 997. [2] COSSETTE H., GAILLARDETZ P., MARCEAU E., Commo mixture i the idividual ris model, Mitteiluge der Schweiz, Atuarvereiigug, 22, Vol. 2, s [3] COSSETTE H., GAILLARDETZ P., MARCEAU E., RIOUX J., O two depedet idividual ris models, Isurace: Mathematics ad Ecoomics, 22, Vol. 3, s

17 Zależy rozład dwumiaowy... 6 [4] FREY R., MCNEIL A.J., Modellig depedet defaults, ETH Zurich 2, [5] HEILPERN S., Fuce łączące podstawowe poęcia i własości, Prace Nauowe AE Wrocław, 26, r 5, s [6] KMV-Corporatio, Modellig Default Ris, Techical Documet 997, [7] KOLEV N., PAIVA D., Multiomial model for radom sums, Isurace: Mathematics ad Ecoomics, 25, Vol. 37, s [8] MCNEIL A.J., FREY R., EMBRECHTS P., Quatitative Ris Maagemet, Priceto Uiversity Press, Priceto 25. [9] NELSEN R.B., A Itroductio to copulas, Spriger, New Yor 999. [] TALLIS G.M., The use of geeralized multiomial distributio i the estimatio of correlatio i discrete data, J. R. Stat. Soc., Ser. B, 962, Vol. 24, s [] WANG S., Aggregatio of correlated ris portfolios: Models ad algorithms, CAS Proceedigs, 998, s Depedet biomial distributio ad its applicatio i reisurace ad credits The paper is devoted to the depedet biomial distributio. The assumptio of idepedece of the radom variables i the classical biomial distributio is omitted, so we obtai a more realistic situatio. The defiitio ad basic properties of such distributio are preseted. The depedet structure of the radom variables is characterized by the copula. The cases, which are depedet o the differet copulas: exchageable, idepedet, comootoicity, the mixture of such copulas, ad Archimedea, are studied. The two extesios of our model, i.e., the values of process ad the radom umber of variables, are ivestigated, too. The applicatios of the depedet biomial distributio to the excess-of-loss reisurace ad the credit ris maagemet are preseted. Keywords: depedet biomial distributio, copula, reisurace, credit