CIAGI- sprawdziany i kartkówki. klasa II 2018/19. Adam Stachura

Transkrypt

1 CIAGI- sprawdziay i kartkówki klasa II 08/9 Adam Stachura

2 Kartkówka. Ci agi- przykładowe zadaia ZADANIE. Zbadać mootoiczość ciagua ), N,gdziea = Rozwiazaie. Obliczamyróżicęa + a : a + a = +)+4 4+) +4 4 = = = +7)4 ) 4+)+4) 4+)4 ) = = )4 ) 5 4+)4 ) <0, takwięca + a <0,atozaczy,żeci agjestmalej acy. Zauważmy,że4+>0 i4 >0dlakażdejliczbyaturalej). Odpowiedź: Jesttoci agmalej acy. ZADANIE. Zbadać mootoiczość ciagua ), N,gdziea = = +. Rozwiazaie. Obliczamyróżicęa + a : ) + + +) ++ a + a = = ) = ) = ) +) = + ++ ) +) >0, takwięca + a >0,atozaczy,żeci agjestros acy. Odpowiedź: Jesttoci agros acy. ZADANIE.. Zbadać mootoiczość ciagua ), N,gdziea =. Rozwiazaie. Obliczamyróżicęa + a : a + a = + + = +) + + = + ) + =

3 = ) 0, + poieważ dlakażdejliczby N,więc ) 0. Takwięca + a 0,atozaczy,żeci agjestieros acy. Odpowiedź: Jesttoci agieros acy. ZADANIE 4. Zbadać mootoiczość ciagua ), N,gdzie { a =, a + =a N). ) Rozwiazaie. Zdrugiegospośródwzorów)wyika,żea + a =,więc jesttoci agmalej acy. Odpowiedź: Jesttoci agmalej acy. ZADANIE 5. Zbadać mootoiczość ciagua ), N,gdzie { a = 8, a + = a N ). Rozwiazaie. Pierwszy wyraz jest rówy 8, więc W takim razie a + a = 8 =8 a = 8 ) 8 ). ) ) = 8 ) +8 ) ) ) + =4 >0. Takwięca + a >0,atozaczy,żeci agjestros acy. Odpowiedź: Jesttoci agros acy. ZADANIE 6. Zbadać mootoiczość ciagua ), N,gdzie { a =8, a + = a N). ) =

4 4 Rozwiazaie. Pierwszy wyraz jest rówy 8, więc a =8. ) W takim razie a + a =8 8 ) =8 ) ) ) = ) iwidać,żeliczbataiemastałegozaku-jestujema,gdyjestliczb a ieparzysta bowtedy jestliczb aparzyst ai ) >0),zaśdodatia,gdyjestliczb a parzysta. Zatemiejesttoci ag mootoiczy. Odpowiedź: Niejesttoci ag mootoiczy. Sprawdzeie: Mamy: a )= 8, 4,,, )... iwidać,żewyrazyci agu oscyluja.) ZADANIE 7. Zbadać mootoiczość ciagua ), N,gdziea = +. Rozwiazaie. Obliczamyróżicęa + a : a + a = +)+ +) + = +4 + = = +4) ) )+) ) ) = ) ). = 6 6 ) ) ) Liczba jestdodatiadlakażdejliczbyaturalej,atomiastliczba iemastałegozaku-jestujema, gdy= = ),zaśdodatia,gdy ),takwięcróżicaa + a iemastałegozaku,atozaczy, żeci ag ie jest mootoiczy. Sprawdzamy to: a )= 4,7, 0, 5,... ) =

5 5 irzeczywiścieiejesttoci ag mootoiczy. Odpowiedź: Nie jest to ci ag mootoiczy moża dodać: jest malejacy od drugiego wyrazu poczawszy). ZADANIE 8. Zbadać ograiczoość ciagua ), N,gdziea = Rozwiazaie. Poieważ liczby aturale sa liczbami dodatimi, jest oczywiste, że +4 + >0,czylia >0dlakażdejliczby N.Więcliczba0ograiczazdołu teci ag. W celu sprawdzeia, czy ci ag jest ograiczoy z góry, przekształcamy wzór a -tywyrazci aguwastępuj acy sposób: a = +4 + =+) + = + iwszystkojestjase,bo + <,czylia <dlakażdejliczby N.Więc liczbajestjedymzograiczeńgórychtegoci agu. Skoroci agjestograiczoyizdołu,izgóry,tojesttoci ag ograiczoy. Odpowiedź: Te ciagjestci agiem ograiczoym. ZADANIE 9. Zbadać ograiczoość ciagua ), N,gdziea =. Rozwiazaie. Postapimy iaczej, iż w poprzedim zadaiu. Skoro ciag jest ierosacyzob. ZADANIE ), to żade z jego wyrazów ie przewyższa pierwszego wyrazua,atejestrówy.zatemliczba jestjedymzograiczeńgórychtego ci agu. Poieważ liczby aturale saliczbamidodatimioraz >0,jestoczywiste,że > 0, czylia > 0 dlakażdej liczby N. Więc liczba0ograicza z dołu asz ci ag. Skoroci agjestograiczoyizdołu,izgóry,tojesttoci ag ograiczoy. Odpowiedź: Te ciagjestci agiem ograiczoym. ZADANIE 0. Zbadać ograiczoość ci agua ), N,gdzie { a =, a + =a N).

6 6 Rozwiazaie. Pierwszy wyraz jest rówy, więc a = ). Z ZADANIA 4 wiemy, że jest to ci ag malej acy, więc żade z jego wyrazów ie przewyższapierwszegowyrazua,atejestrówy.zatemliczbajestjedymz ograiczeń górych tego ciagu. Poadto mamy: a )=,,,, 5, 7,...) itosugerujewyraźie,żeci ag ie jest ograiczoy z dołu. Uzasadimy to. Gdybyteci ag był ograiczoy z dołu, to istiałaby liczba rzeczywista m taka, że dla wszystkich liczb N mielibyśmy ierówość a także koleje ierówości: a m, ) m, 5 m, m 5, adziel acostati a ierówość obustroie przez otrzymalibyśmy: m+5 dla każdej liczby aturalej N. Istiałaby więc liczba większa od każdej liczby aturalej. Wiemy jedak, że takiej liczby ie ma - dla każdej liczby rzeczywistej istieje liczba aturala od iej większa. Zatem opisaa sytuacja ie jest możliwa, czyliaszci ag ie jest ograiczoy z dołu. Odpowiedź: Te ciag jest ci agiem ograiczoym z góry, a ieograiczoym z dołu.

7 7 Kartkówka. Lokaty i kredyty- przykładowe zadaia ZADANIE. Pa X wpłacił 0000 zł do baku a czteroleti a lokatę oprocetowaa w wysokości 8% roczie. Odsetki dopisywae były do kapitału w końcu każdego półroczaprocet składay). W takim razie po czterech latachie uwzględiamy podatku od dochodów kapitałowych) miał a kocie kwotęw zaokragleiu do pełych złotówek) A) 67 zł. B) 77 zł. C) 87 zł. D) 97 zł. czyli Rozwiazaie. Stosujemywzór)ztekstuTeoria4. Daes aastępuj ace: K=0000, p=8, l=4, m=wrokumieszcz a się dwa półrocza), =8bo=ml). SzukamykapitałukońcowegoK.Wzór)przyjmujepostać: K = ) 8, 00 K =0000,04) 8, iwykouj acwskazaeobliczeiazajdujemy: K 77. Odpowiedź: WybieramB). ZADANIE. Pa Y wplacił 0000 zł do baku a trzyleti a lokatę oprocetowaa w wysokości 0% roczie. Odsetki dopisywae były do kapitału w końcu każdego rokuprocet składay). Uwzględiamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych. WtakimraziepotrzechlatachpaYmiałakociekwotęwzaokr agleiu do pełych złotówek) A) 67 zł. B) 667 zł. C) 967 zł.

8 8 D) 67 zł. Rozwiazaie. Mamy astępujace dae: K=0000, p=0, l=, m=wrokumieścisięjederok), =bo=ml). SzukamykapitałukońcowegoK.Należyzastosowaćwzór)ztekstuTeoria4, ale poieważ uwzględiamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych, więc zgodieztym,coapisaowtekście,wzór5),ależyzast apićpprzez czyli przez p =p 8 00 p, p = =8,. Wzór) przyjmuje teraz postać: czyli K = , ), 00 K =0000,08), iwykouj acwskazaeobliczeiazajdujemy: K 667. Odpowiedź: WybieramB). ZADANIE. Pa N ulokował a trzydziestomiesięczej lokacie bakowej kwotę 8400 zł. Oprocetowaie lokaty wyosi 7% w skali rokuprocet prosty). Wobec tego ie uwzględiamy podatku od dochodów kapitałowych) po trzydziestu miesiacach panotrzymazlokaty A)9870zł. B)9890zł. C)990zł. Rozwiazaie. Stosujemywzór)ztekstuTeoria4. Daes aastępuj ace: K=8400, p=7,

9 9 czyli l=,5trzydzieścimiesięcytodwaipółroku). SzukamykapitałukońcowegoK.Wzór)przyjmujepostać: K = ,5, 00 K = ,5 iwykouj acwskazaeobliczeiazajdujemy: K =9870. Odpowiedź: WybieramA). ZADANIE 4. Pai M ulokowała a pięcioletiej lokacie bakowej kwotę 7500 zł. Oprocetowaie lokaty wyosi 6% w skali rokuprocet prosty). Uwzględiamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych. Wobec tego po pięciu latach a kocie pai M zajdzie się kwota A)95zł. B)95zł. C)945zł. Rozwiazaie. Mamy astępujace dae: K=7500, p=6, l=5. SzukamykapitałukońcowegoK.Należyzastosowaćwzór)ztekstuTeoria4, ale poieważ uwzględiamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych, więc zgodieztym,coapisaowtekścieteoria4,wzór5),ależyzast apićpprzez czyli przez p =p 8 00 p, p = =4,9. Wzór) przyjmuje teraz postać: czyli K = ,9 5, 00 K =

10 0 iwykouj acwskazaeobliczeiazajdujemy: K =945. Odpowiedź: WybieramC). ZADANIE 5. Niejaki X wplacił pew a kwotę do baku a dwuleti a lokatę oprocetowaa w wysokości 6% roczie. Odsetki dopisywae były do kapitału w końcu każdego półroczaprocet składay). Jeżeli po dwóch latach miał a kocie kwotę 5757, zł ie uwzględiamy podatku od dochodów kapitałowych), to to ozacza, że wpłacił A) 000 zł. B) 500 zł. C) 4000 zł. D) 4500 zł. czyli Rozwiazaie. Stosujemywzór)ztekstuTeoria4. Daes aastępuj ace: p=6, l=, m=wrokumieszcz a się dwa półrocza), =4bo=ml), K =5757,. Szukamy kapitału poczatkowego K. Wzór) przyjmuje postać: 5757,=K + 6 ) 4, 00 zatem 5757,=K,0) 4, K= 5757,,0) 4 iwykouj ac wskazae obliczeia zajdujemy: K 4000dokładiej: K = 999, 99705, co oczywiście spowodowae jest błędem zaokragleń popełioych przy wyzaczaiu kwotyk ). Możemyśmiałoprzyj ać,żek=4000. Odpowiedź: WybieramC). ZADANIE 6. Jaś i Małgosia otrzymali po 500 zł roczego stypedium dla zdolej młodzieży. Oboje postaowili pieiadze zdepoować w baku a lokacie

11 roczej. Jaś wybrał bak, który oferował oprocetowaie w wysokości 4, % w stosuku roczym i kapitalizację odsetek po zakończeiu każdego półrocza. Małgosia wybrała bak, w którym oprocetowaie wyosi 4% w stosuku roczym, a kapitalizacja odsetek astępuje po zakończeiu każdego kwartału. Które stwierdzeie jest prawdziweie uwzględiamy podatku od dochodów kapitałowych): A) Korzystiejszego wyboru dokoał Jaś. B) Korzystiejszego wyboru dokoała Małgosia. C) Wybór obojga był rówie korzysty. Rozwiazaie. WceluwyzaczeiakapitałukońcowegoK J alokaciejasiastosujemywzór)ztekstuteoria4zastępuj acymi daymi: K=500, p=4,, l=, m=wrokumieszcz a się dwa półrocza), =bo=ml). Wzór) przyjmuje postać: czyli K J = , ), 00 K J =500,0), iwykouj ac wskazae obliczeia zajdujemy: K J =56,665, zatemakociejasiaporokuzajdziesiękwota56zł66grwzaokr agleiu). WceluwyzaczeiakapitałukońcowegoK M alokaciemałgosistosujemywzór )ztekstuteoria4zastępuj acymi daymi: K=500, p=4, l=, m=4wrokumieszcz a się cztery kwartały), =4bo=ml). Wzór) przyjmuje postać: K M = ) 4, 00 4 czyli K M =500,0) 4,

12 iwykouj ac wskazae obliczeia zajdujemy: K M =560,90605, zatemakociemałgosiporokuzajdziesiękwota560zł9grwzaokr agleiu). St ad Odpowiedź: WybieramA). ZADANIE7. FirmaFwzięławbakukredytwwysokości00000zł. Kredytma być spłacoy w sześciu rówych, kwartalych ratach, a jego oprocetowaie wyosi 0%wstosukuroczym. Zatemwysokośćratywzaokr agleiu do całych złotówek) wyosi A) 880 zł. B) 900 zł. C) 90 zł. D) 940 zł. Rozwiazaie. Stosujemywzór)ztekstuTeoria5. Daes aastępuj ace: K=00000, p=0, l=,5sześćkwartałówtojedeipółroku), m=4rokliczyczterykwartały), =6jestsześćratdospłaceia). Szukamy wysokości R raty. Wzór) przyjmuje postać: R= ) ) ) ) czyli R= 0 ) + 0 ) + 0 ) + 0 ) 4+ 0 ) 5+ 0 ) 6, iwykouj ac wskazae obliczeia zajdujemy: R 940. Odpowiedź: WybieramD). ) ) 6, ZADANIE8. PaiYwzięławbakukredytwwysokości000zł. Kredytma być spłacoy w ci agu dwóch lat w kwartalych ratach malej acych, a jego oprocetowaie wyosi 6% w skali roku. Zatem wysokość ostatiej raty wyosi

13 A)440zł. B)460zł. C)480zł. D)400zł. Rozwiazaie. Stosujemywzór)ztekstuTeoria5. Daes aastępuj ace: K=000, p=6, l=, m=4rokliczyczterykwartały), =8bo=ml). SzukamywysokościR 8 ostatiej,awięcósmejraty. Wzór)przyjmujepostać: ), R 8 = iwykouj acwskazaeobliczeiazajdujemy: R 8 =460. Odpowiedź: WybieramB).

14 4 Sprawdzia. Ci ag arytmetyczy i geometryczy ZADANIE. Wci aguarytmetyczyma )daes awyrazy: a = 5,a 7 =. Zapisaćwzórogólya-tywyraztegoci aguiobliczyća 0. Rozwiazaie. Zewzorua-tywyrazci agu arytmetyczego: a =a + )r *) wyika, że a = a +r, a 7 = a +6r gdzie r ozacza różicę ci agu). Skoro zaś a = 5,a 7 =,tomamyukładrówań: { a +r= 5, a +6r=. Zpierwszegorówaiawyika,żea = 5 r,agdytopodstawimydodrugiego rówaia, otrzymujemy rówość: zktórejwyika,żer= 4,oi 5 r+6r=, a = 5 4)=. Wobectegoa = 4 )wstawiamya irdowzoru*))imamy: a 0 = 4 0 )=. Odpowiedź: a = 4 ),a 0 =. Sprawdzeie: Skoroa =ir= 4,kolejywyrazci agu otrzymujemy odejmujac od poprzediego 4, tak że a )=,, 5, 9,, 7,, 5, 9,,...) Wytłuszczoym drukiem wyróżioo trzeci, siódmy i dziesiatywyrazci agu.) ZADANIE. Oci aguarytmetyczyma )wiadomo,żea +a 4 = 6,a +a 8 = 0.Zapisaćwzórogólya-tywyraztegoci aguiobliczyća 9.

15 5 Rozwiazaie. Zewzorua-tywyrazci agu arytmetyczego: a =a + )r **) wyika,żea 4 =a +r,a =a +r,a 8 =a +7rgdzierozaczaróżicęci agu). Skorozaśa +a 4 = 6,a +a 8 = 0,tomamyukładrówań: { a +a +r= 6, a +r+a +7r= 0, lubpouproszczeiu: { a +r= 6, a +9r= 0. Odejmujac stroami) od drugiego rówaia pierwsze otrzymujemy: 6r = 4, zatemr= 4.Podstawiaj ac to do p. pierwszego rówaia otrzymujemy rówość: a + 4)= 6, zktórejwyika,żea =. Wobectegoa = 4 )wstawiamya irdowzoru**))imamy: a 9 = 4 9 )= 9. Odpowiedź: a = 4 ),a 9 = 9. Sprawdzeie: Skoroa =ir= 4,kolejywyrazci agu otrzymujemy odejmujac od poprzediego 4, tak że a )=,, 5, 9,, 7,, 5, 9,...) Wytłuszczoym drukiem wyróżioo pierwszy, czwarty, trzeci, ósmy i dziewiaty wyraz ci agu. ZADANIE. Liczby, a+6, 9 w podaej kolejości s a pierwszym, drugim i pi atym wyrazem ci agu arytmetyczego. Zapisać wzór ogóly a -ty wyraz tego ci aguiobliczyća. Rozwiazaie. Niecha )będzietymci agiem arytmetyczym, o który chodzi w zadaiu. Ogóly wzór a jego -ty wyraz ma postać: a =a + )r, ***)

16 6 iwiemy,żea =.Wiemyteż,żea 5 =9,azdrugiejstroyzewzoru***)mamy: a 5 =a +5 )r=+4r. Otrzymujemywięcrówość: +4r=9,ast adr=. Wobectegoa =+ )wstawiamya irdowzoru***))imamy: a =+ )=9, azdrugiejstroypodaowzadaiu,żea =a+6.zatema+6= 9,więca=. Odpowiedź: a =+ ),a=. Sprawdzeie: Skoroa =ir=,kolejywyrazci aguotrzymujemydodaj ac dopoprzediego,także a )=, 9 ),6,5,9,... ioczywiście +6=9.) ZADANIE 4. Obliczyć sumę A wszystkich liczb aturalych dwucyfrowych, któreprzydzieleiuprzez4daj aresztę. Rozwiazaie. Pierwszatak aliczb ajest=4 +,zaśostati a97=4 4+. Jeżeliliczbaaturalaxprzydzieleiuprzez4dajeresztę,todasięj azapisać wpostaci: x=4k+gdziekjestliczb aatural a). Wtedy mamy: x = 4k+, x+ = 4k+, x+ = 4k+, x+ = 4k+)+0, x+4 = 4k+)+ i tak dalej. Zatem koleje reszty z dzieleia tych liczb przez 4zapisae wytłuszczoa czcioka) sa rówe,,,0,,.... Skoro więc liczba x daje przy dzieleiu przez 4

17 7 resztę, to astęp a tak a liczb a jest x+4, astęp a - x+8 itd. Liczby, o które chodzi, tworzawięcci agarytmetyczyskończoy)opierwszymwyraziea =io różicyr=4: a )=,7,...,97) iposzukiwaaliczbaajestpoprostusum awszystkichwyrazówtegoci agu. Chcemyterazskorzystaćzewzoruasumękolejychwyrazówci agu arytmetyczego: ) a +a S =. 4*) Aby zeń skorzystać, musimy zać liczbę wyrazów w rozważaym ciagu, czyli liczbę.wiemy,żea =97.Zogólegowzorua-tywyrazci agu arytmetyczego: wyika rówość: a =a + )r 97=+ ) 4, aziejotrzymujemy: =. Teraz wystarczy wstawić wszystkie dae do wzoru4*) i mamy: ) +97 A=S = =0 =0. Odpowiedź: A = 0. ZADANIE 5. Wci agugeometryczyma )daes awyrazy: a =,a 6 = 8. Obliczyćilorazqtegoci agu. Rozwiazaie. Zewzorua-tywyrazci agu geometryczego: a =a q wyika, że a = a q, a 6 = a q 5 gdzie q ozacza iloraz ci agu). Skoro zaś a =, a 6 = 8,tomamyukładrówań: { aq=, a q 5 = 8.

18 Pisz acdrugierówaiewpostaci:a q q 4 = 8 ikorzystaj aczpierwszegorówaia otrzymujemy kolejo rówości q 4 = tak więc q 4 = 6 8 = 8, ) 4 = 4, ) q= lubq=. Odpowiedź: Waruki podae w zadaiu spełiaja dwa ci agi geometrycze o ilorazach,odpowiedio,q = orazq =. W celu sprawdzeia, o ile czas pozwoli, możemy wypisać obydwa ciagi. Dla q = mamya =,bo =ici agmapostać a )=,, 4 ),8 9,6 7, 8,..., zaśdlaq = mamyodpowiedio a )=,, 4 ),8 9, 6 7, 8,.... Wytłuszczoym drukiem wyróżioo drugi i szósty wyraz ciagu.) 8 ZADANIE 6. Suma pięciu pocz atkowych wyrazów ciagu geometryczego o ilorazie rówajest 6.Obliczyćpierwszywyraza tegoci agu. Rozwiazaie. Zewzoruasumękolejychwyrazówci agu geometryczego: ) q S =a q prawdziwegowprzypadku,gdyq,atakwłaśiejestwtymzadaiu)izdaych zadaia wyika, że [ ] ) 5 S 5 =a. )

19 9 SkorozaśS 5 = 6,tomamyrówaie: [ ] ) 5 a = 6, ) czyli 44 a 4 = 6, zatema =. Odpowiedż: a =. Sprawdzeie: Skoroa = iq=,kolejywyrazci agu otrzymujemy możac poprzedi przez, tak że a )=,, 9,7, 8,...). Dodajemy pierwsze pięć wyrazów i stwierdzamy, że suma rzeczywiście jest rówa 6.) ZADANIE7. Liczby,x+, xwpodaejkolejościs a pierwszym, drugim itrzecimwyrazemci agu geometryczego. Obliczyć x. Rozwiazaie. Moża skorzystać ze zaego faktu, że kwadrat każdego wyrazu ci agu poza pierwszym i, ewetualie, ostatim) jest rówy iloczyowi wyrazów z ims asiadujacych. Korzystajac z tego faktu otrzymujemy rówaie x+) = x, które przekształcamy do postaci x +6x+44=0 idalej, więc ostateczie Zatem i odpowiedio x+) 69+44=0, x+) =5=5. x+=5lubx+= 5, x= 8lubx= 8.

20 0 Odpowiedż: x= 8lubx= 8. Wcelusprawdzeia,oileczaspozwoli,możawypisaćobydwaci agi. Dlax= 8 otrzymujemy ciag,4,8), zaś dla x = 8 otrzymujemy ci ag, 6,8). Widać, żeobydwaci agis ageometrycze-pierwszymailorazrówy,zaśdrugimailoraz rówy.takwięczadaiemadwarozwi azaia.) Uwaga: Wsytuacjitakiejjakpowyższazapełerozwi azaie uzaje się takie, w którympodaes a wszystkie istiejacerozwi azaia. ZADANIE 8. Wyrazy pierwszy i trzeci ros acego ci agu arytmetyczego sa odpowiedio pierwszym i trzecim wyrazem ciagu geometryczego. Ich wspóly pierwszywyrazjestrówy5,adrugiwyrazci agu arytmetyczego jest o 0 większy od drugiego wyrazu ciagu geometryczego. Wyzaczyć te ciagi. Rozwiazaie. W zadaiu chodzi o skończoe, trójwyrazowe ciagi o pierwszym wyrazie 5. Ozaczmy więc drugi i trzeci wyraz ci agu arytmetyczego symbolami x iy, odpowiedio. Zzadaiawyika, żetrzeciwyrazci agu geometryczego też jest rówyy.drugiwyraztegoci agu ozaczymy przez z. Mamy więc astępujac asytuację: 5,x,y)-toci agarytmetyczy,zaś5,z,y)-toci ag geometryczy i z zadaia wiemy, żex=z+0.zatemz=x 0. Ci ag arytmetyczy wygladawięctakoto: aci ag geometryczy ma postać: 5,x,y), 5,x 0,y). Moża skorzystać ze zaego faktu, że kwadrat każdego wyrazu ciagu geometryczegopoza pierwszym i, ewetualie, ostatim) jest rówy iloczyowi wyrazów zims asiadujacych. Korzystajac z tego faktu otrzymujemy rówaie x 0) =5y. Zkoleidlaci agu arytmetyczego moża skorzystać z faktu, że każdy wyraz dowolego ci agu arytmetyczego poza pierwszym i, ewetualie, ostatim) jest rówy średiej arytmetyczej wyrazów z im sasiaduj acych. Korzystajacztegofaktuotrzy- mujemy rówaie x= 5+y.

21 Ostateczie mamy więc układ rówań: { x 0) =5y, x= 5+y. Drugierówaieprzekształcamydopostaci: x=5+y,st ad y=x 5. 5*) Wstawiajac to do pierwszego rówaia otrzymujemy, kolejo, rówości: i, ostateczie, x 0) =0x 5, x 0x+00=0x 5, x 0x+5=0, x 5) 5+5=0, x 5) =00, x 5=0lubx 5= 0 x=5lubx=5. Mamywięcdwarozwi azaia: x =5,x =5.Zewzoruaywzór5*)otrzymujemy, odpowiedio, y = 45, y = 5. Ale ci ag 5,x,y ) = 5,5,5) jest co prawda ci agiem arytmetyczym, ale ie jest ciagiem ros acym. Musimy zatem odrzucić drugie rozwiazaie i pozostać przy pierwszym: 5,x,y ) = 5,5,45). Pozostaje jeszcze wyzaczyć z z rówości z=x 0=5 0=5. Odpowiedź: Ciagiem arytmetyczym jest ciag 5,5,45), a ci agiem geometryczymjestci ag5,5,45). Sprawdzeie polega a zauważeiu, że pierwszy ciagjestros acymci agiem arytmetyczym o różicy r = 0, a drugi ci ag jest ci agiem geometryczym o ilorazie q=,idrugiwyrazci agu arytmetyczego rzeczywiście jest o 0 większy od drugiego wyrazuci agu geometryczego). ZADANIE 9. Udowodić, że suma kwadratów dowolie wybraych trzech kolejych wyrazów ci agu geometryczego o wyrazach całkowitych jest podziela przez sumę tych wyrazów.

22 Rozwiazaie. W zadaiu jest mowa o dzieleiu, zatem iloraz q rozważaego ci agu musi być róży od zera. W ci agu o ilorazie 0 pojawiałyby się trzy koleje wyrazy rówe zeru.) Weźmy więc dowoly ci ag geometryczy o wyrazach całkowitych a ), N, gdziea =a q,ijegotrzykolejewyrazytworz aceci ag a k,a k+, a k+ ), czylici ag a q k,a q k,a q k+), gdziek N,a 0iq 0.SumaS kwadratówtychwyrazówjestdaawzorem S= a q k ) + a q k) + a q k+) =a q k ) +q +q 4) ijesttoliczbacałkowita. Podobie,sumaΣtychliczbdaajestwzorem Σ=a q k +a q k +a q k+ =a q k +q+q ) i to także jest liczba całkowita. Z drugiej stroy a podstawie wzoru stwierdzamy, że idlatego a+b+c) =a +b +c +ab+ac+bc +q +q 4 = +q+q ) q q q = = +q+q ) q +q+q ) = +q+q ) q+q ), S=a q k a q k +q+q ) q+q ) = =a q k q+q ) Σ, z czego wyika, że Σ S bo liczba a q k q+q ) jest całkowita), co ależało właśie udowodić.

23 Sprawdzia. Graica ciagu- przykładowe zadaia ZADANIE. Obliczyć graicę ciagua ), N,gdzie a = ) Rozwiazaie. Dzielac liczik i miaowik we wzorze ) przez w potędze o ajwyższym wykładiku spośród występujacych w miaowiku, czyli przez, i korzystajac z twierdzeia o działaiach a ci agach zbieżych zob. tekst Teoria6) otrzymujemy: ) ) lim = lim +4 = lim + 5 ) = = =, poieważ 0, 5 0, 4 0, 0. Odpowiedź: lim a =. ZADANIE. Obliczyć graicę ciagua ), N,gdzie Rozwiazaie. Mamy: a = ) +) +). a = ) Dzielac liczik i miaowik we wzorze ) przez w potędze o ajwyższym wykładiku spośród występujacych w miaowiku, czyli przez, i korzystaj ac z twierdzeia o działaiach a ciagach zbieżychzob. tekst Teoria6) otrzymujemy: ) lim 4+ = lim ) ) = lim =

24 4 poieważ = = 4, 0, 0, 9 0. Odpowiedź: lim a = 4. ZADANIE. Obliczyć graicę ciagua ), N,gdzie a = 5+ ) + ). Rozwiazaie. Korzystajacztwierdzeiaodziałaiachaci agach zbieżychzob. tekst Teoria6) otrzymujemy: [5+ ) + )]=5 =0, poieważ lim Odpowiedź: lim a =0. 0, 0. ZADANIE 4. Obliczyć graicę ciagua ), N,gdzie a = ) Rozwiazaie. Dzielacliczikimiaowikwewzorze)przezikorzystaj ac ztwierdzeiaodziałaiachaci agach zbieżychzob. tekst Teoria6) oraz z reguły wł aczaia pod pierwiastek otrzymujemy: ) +4 lim = lim + ) 4 = lim + 4 = = lim + 4 = 0+0 = ,

25 5 poieważ 0, 4 0, 0. Odpowiedź: lim a = 7. ZADANIE 5. Obliczyć graicę ciagua ), N,gdzie a = ) Rozwiazaie. Dzielac liczikimiaowik we wzorze 4) przez w potędze o ajwyższym wykładiku spośród występujacychwmiaowiku,czyliprzez 4,otrzymujemy: = = = 4 = ) + 5 = Korzystajac z twierdzeia o działaiach a ci agach zbieżych zob. tekst Teoria6)orazztwierdzeiaodziałaiachaci agach rozbieżychzob. tekst Teoria8) otrzymujemy: [ lim )] + 5 =, 4 poieważ atomiast lim =+, lim ) + 5 = =, 4 gdyż 0, 0, 0, 5 0, 0. 4 Odpowiedź: lim a = graicaiewłaściwa). ).

26 6 ZADANIE 6. Obliczyć graicę ciagua ), N,gdzie Rozwiazaie. Mamy: a = ) + ). a = ) Dzielacliczikimiaowikwewzorze5)przezpotęgęliczbyoajwiększejpod- stawie spośród występujacychwmiaowiku,czyliprzez9,ikorzystaj ac z twierdzeia odziałaiachaci agach zbieżychzob. tekst Teoria6) otrzymujemy: ) ) 9 lim = lim ) = lim 9) ) )= ) 9 = =4, poieważ ) 0, Odpowiedź: lim a =4. ) 0, 9 ) 0, ) ZADANIE 7. Obliczyć graicę ciagua ), N,gdzie +6 5 = a = ) Rozwiazaie. Dziel ac liczik i miaowik we wzorze 6) przez potęgę liczby o ajwiększej podstawie spośród występujacych w miaowiku, czyli przez, otrzymujemy: ) +6 5 ) = 5 ) [ +6 ] 5) ) = = ) 5 ) = ) +6 ) ). 5

27 7 Korzystajac z twierdzeia o działaiach a ci agach zbieżych zob. tekst Teoria6)orazztwierdzeiaodziałaiachaci agach rozbieżychzob. tekst Teoria8) otrzymujemy: [ 5 ) ) +6 lim 5 ) )]=+, poieważ atomiast lim lim ) +6 ) 5 ) gdyż ) 0, 5 ) 5 =+, = =, ) 0. Odpowiedź: lim a =+ graicaiewłaściwa). ZADANIE 8. Obliczyć graicę ciagua ), N,gdzie a = Rozwiazaie. Zauważmy, że dla każdej liczby aturalej N zachodz a ierówości: , 7) poieważ 5 i 5. Z ierówości7) otrzymujemy kolejo ierówości: a poieważ lim =,więc , , , ) lim 5 = 5=5. Korzystajacztwierdzeiaotrzechci agachzob. tekst Teoria7) otrzymujemy: lim =5.

28 8 Odpowiedź: lim a =5. ZADANIE 9. Obliczyć graicę ciagua ), N,gdzie Rozwiazaie. Mamy: a = = +4 ) +4+ ) +4+ = = = 4 +4+, czyli a = Dzielac liczik i miaowik przez i korzystaj ac z reguł wł aczaia pod pierwiastekorazztwierdzeiaodziałaiachaci agach zbieżychzob. tekst Teoria6) otrzymujemy: ) ) lim a 4 = lim +4+ = lim = poieważ = lim +4 Odpowiedź: lim a = = lim = 4 0, =0, ZADANIE 0. Obliczyć graicę ciagua ), N,gdzie a = +4+.

29 9 Rozwiazaie. Należy ajpierw zauważyć, że lim +4=+,bo lim +4= lim + 4 ) = lim + 4 ) =+ zgodie z twierdzeiem o działaiach a ciagach rozbieżychzob. tekst Teoria8), bo Mamy także: +, + 4. lim =+. Więc zgodie z twierdzeiem o działaiach a ciagach rozbieżych zob. tekst Teoria8) mamy: lim +4+ ) =+. Odpowiedź: lim a =+ graicaiewłaściwa). ZADANIE. Czyci aga ), N,gdzie a = ) jest ci agiem zbieżym? Uzasadić odpowiedź, a jeżeli ciag jest zbieży, wyzaczyć jego graicę. Rozwiazaie. Rozważmy astępujace podci agi daego ci agu: a k ), k N, gdzie a k = ) k =, oraza k ),k N,gdzie a k = ) k = liczba k jest parzysta, zaś liczba k jest ieparzysta, więc ) k =, zaś ) k = ). Mamy: lim a k= lim =, k k lim a k = lim )=. k k Skoroaszci agzawieradwapodci agi zbieże do różych graicjede ma graicę,drugimagraicę),toiejesttoci ag zbieżyzob. tekst Teoria7, Fakt ).

30 0 Odpowiedź: Niejesttoci agzbieżyzatemjesttoci ag rozbieży). ZADANIE. Czyci aga ), N,gdzie a = ) jest ci agiem zbieżym? Uzasadić odpowiedź, a jeżeli ciag jest zbieży, wyzaczyć jego graicę. Rozwiazaie. Mamy: a = ) = ) ) 06 = 06 idalej: a. Poieważ lim ) = lim =0, więcamocytwierdzeiaotrzechci agachzob. tekst Teoria7) rówież lim a =0. Odpowiedź: Ciagjestzbieżyi lim a =0. ZADANIE. Obliczyć graicę ciagua ), Ngdzie Wskazówka: Skorzystać ze wzoru a = m= mm+) asumękolejychliczbaturalychod do mwł aczie).

31 więc Rozwiazaie. Zgodie ze wskazówkamamy: poieważlim =0. a = lim a = lim Odpowiedź: lim a =. +) = +) = +, + ) + ) = lim =, ZADANIE 4. Obliczyć graicę ciagua ), N,gdzie a = }{{ + } skladików Rozwiazaie. Spośród wszystkich ułamków występujacych po prawej stroie wzoruaa ajwiększymjestpierwszy,zaśajmiejszym-ostatizdwóchułamków o jedakowych liczikach większym jest te, który ma miejszy miaowik). Wobec tego czyli oraz a }{{ + } , }{{ + } skladików skladików Poieważ + a +. ) ) ) lim = lim = lim = 0 =0 ) ) ) lim = lim = lim = 0 =0

32 bo 0i 0), więc korzystaj ac ztwierdzeiaotrzechci agachzob. tekst Teoria7) otrzymujemy: lim a =0. Odpowiedź: lim a =0.

33 Kartkówka. Szereg geometryczy zbieży- przykładowe zadaia ZADANIE. Zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych ułamek x=0,666...=0,6). Rozwiazaie. Mamy: x=0,+0, Drugi składik po prawej stroie powyższej rówości jest suma ieskończoego szeregu geometryczego o pierwszymwyrazie a = 6 oraz ilorazie q =. Wcelu obliczeiatej sumy stosujemy wzór z tekstu Teoria9: Wobec tego Odpowiedź: x= = x= =4 990 = = ZADANIE. Wyzaczyć dziedzię D fukcji określoej wzorem fx)= x+ + x+ x+) +x+) x+) +... Rozwiazaie. Prawa stroa powyższej rówości jest suma ieskończoego szeregu geometryczego x+ + x+ x+) +x+) x+) +...

34 opierwszymwyraziea = x+ orazilorazieq=x+ x+.musibyćspełioywaruek zbieżości tego szeregupatrz tekst Teoria9): q <, ależy więc rozwiazać ierówość x+ x+ <, któr a zamieiamy a układ dwóch ierówości: x+ x+ <, x+ x+ >. Oczywiściemusibyćteżspełioywaruek: x+ 0wmiaowikużadego ułamka ie może pojawić się zero). Ostateczie zbiór D zajdujemy rozwiazuj ac układtrzechierówości: x+ 0, x+ x+ <, x+ x+ >. Rozwiazujemy je kolejo. I.x+ 0.Oczywiścierozwi azaiemapostać: x, ),+ ). II. x+ x+ <.Mamykolejo: x+ x+ <, czylix,+ ). x+ x+ <0, x+ <0, x+>0, III. x+ x+ >.Mamykolejo: x+ x+ >, 4

35 x+ x+ +>0, x+ x+ >0. Moż acobiestroytejierówościprzezdodatiewyrażeiex+) otrzymujemy: x+)x+)>0, istosuj ac wiadomości z teorii trójmiaów kwadratowych otrzymujemy: x, ) ),+. Zbiór D jest iloczyem otrzymaych trzech zbiorów: D=[, ),+ )],+ ) Odpowiedź: D = D=,+ ).,+ ). [, ),+ )], 5 ZADANIE. Rozwi azać rówaie x + x ) x ) +...=, *) wktórymlewastroajestsum a ieskończoego szeregu geometryczego zbieżego. Rozwiazaie. Zajdujemy ajpierw dziedzię D rówaia. Lewa stroa powyższej rówości jest suma ieskończoego szeregu geometryczego x + x ) x ) +... opierwszymwyraziea =orazilorazieq= x.musibyćspełioywaruek zbieżości tego szeregupatrz tekst Teoria9): q <, ależy więc rozwiazać ierówość x <,

36 6 czyli ierówość x <, rówoważaierówości x >. Oczywiściemusibyćteżspełioywaruek: x 0wmiaowikużadego ułamka ie może pojawić się zero). Ostateczie zbiór D zajdujemy rozwiazuj ac układdwóchierówości: { x 0, x >. Rozwiazujemy je kolejo. I. x 0. Mamy: x, więc rozwi azaie mapostać: x, ) ) ),,+. czyli II. x >.Taierówośćjestrówoważaalteratywieierówości: x > lub x <, x > lub x <. Rozwiazaiempierwszejierówościjestzbiór, ),+ ),zaśdrugiej - przedział, ). Ostateczie więc x, ),),+ ). Dziedzia D rówaia jest częściawspól azbiorówotrzymaychwpuktachii II: [ D=, ), ) )],+ [, ) )],),+, wkońcuwięc D=, ) ),),+. Możemy teraz przystapićdorozwi azywaia rówaia*). Lewa stroę obliczamy stosujac wzór a sumę ieskończoego szeregu geometryczegopatrz rekst Teoria9). Rówaie przybiera postać: )=, x

37 7 czyli czyli ast adotrzymujemy: x =0,czylix=0. Odpowiedź: x=0. x x =, x =x, ZADANIE4. Rozwi azać ierówość x+ + x+ x+) +x+) x+) +x+) , **) x+) wktórejlewastroajestsum a ieskończoego szeregu geometryczego zbieżego. Rozwiazaie. Zajdujemy ajpierw dziedzię D ierówości. Lewa stroa powyższej ierówości jest suma ieskończoego szeregu geometryczego x+ + x+ x+) +x+) x+) +x+) x+) x+ o pierwszym wyrazie a = oraz ilorazie q =. Musi być spełioy x+ x+ waruek zbieżości tego szeregupatrz tekst Teoria9): q <, ależy więc rozwiazać ierówość x+ x+ <, która jest rówoważa układowi ierówości: x+ x+ >, x+ x+ <. Rozwiazujemy je kolejo. I. x+ x+ >.Mamykolejo: x+ x+ >,

38 x+ x+ +>0, x+ x+ >0, x+ x+ >0. Liczik lewej stroy tej ierówości rówy jest zeru, gdy x =, zaś miaowik rówy jest zeru, gdy x =. Układamy tabelkę siatkę zaków ): Z tabelki widać, że wyrażeie x+ x+, ),+ ). x x+ 0 + x x+ x II. x+ x+ <.Mamykolejo: x+ x+ <, 8 jest dodatie wtedy i tylko wtedy, gdy x x+ x+ <0, x x+ <0. Licziklewejstroytej ierówościrówyjestzeru, gdyx=, zaś miaowik rówy jest zeru, gdy x =. Układamy tabelkę siatkę zaków ): x x 0 + x x x Ztabelkiwidać,żewyrażeie x x+ jestujemewtedyitylkowtedy,gdyx,). Dziedzia D ierówości jest częściawspól a zbiorów otrzymaych w puktach IiII: D=[, ),+ )],),

39 9 wkońcuwięc D=,). Możemy teraz przystapićdorozwi azywaia ierówości**). Lewa stroę obliczamy stosujac wzór a sumę ieskończoego szeregu geometryczegopatrz rekst Teoria9). Nierówość przybiera postać: x+ ), x+ x+ czyli czyli czyli czyli x+ x+ x+, x 0, +x x x x 0, Licziklewejstroytejierówościrówyjestzeru,gdyx=,zaśmiaowikrówy jest zeru, gdy x =. Układamy tabelkę siatkę zaków ): x x x x x Z tabelki widać, że wyrażeie x ) x,. jest ieujeme wtedyitylkowtedy, gdyx

40 40 Należy teraz zaleźć część wspóla wyzaczoego zbioru oraz wyzaczoej wcześiej dziedziy D ierówości: ) ) ) D, =,), =,. Odpowiedź: x ),.