pitagorejskie, równanie Pella i jedno zadanie z XVI Olimpiady Matematycznej

Transkrypt

1 pitagorejskie, rówaie Pella i jedo zadaie z XVI Olimpiady Matematyczej Wszyscy, którzy mieli do czyieia ze szkoła poadpodstawowa słyszeli iewatpliwie określeie twierdzeie Pitagorasa To twierdzeie było odkryte w wielu różych miejscach przez różych ludzi Jest oo do dziś stosowae, bo tym budowiczym, którzy zdaja sobie sprawe z tego, że czasem warto zadbać o to, by ściay budyku były prostopadłe potrzeba metoda wyzaczaia kata prostego w tereie Mierzeie katów wymaga specjalych przyrzadów, a mierzeie odcików tylko miarki Łatwiej jest mierzyć długość odcika iż kat oczywiście ie ma to zaczeia, gdy budyek jest budoway przez wielka firme, która ma wszelkie potrzebe przyrzady i ludzi, którzy potrafia sie z imi obchodzić Jedak wiele obiektów budowaych jest przez małe firmy lub awet przez pojedycze osoby i wtedy ilość sprz etu bywa ograiczoa Do wyzaczaia katów używay jest wtedy trójkat egipski, tj trójkat o bokach, i 5 Jest o prostokaty, bo + bokami a i b w trójkacie o bokach a, b i c jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy = 5, a jak wiadomo kat miedzy c = a +b Te trójkat jest ajbardziej populary, bo każdy może spamietać jego boki bez trudu, a po arysowaiu a kartce papieru lub a piasku widać od razu, który kat jest prosty Moża jedak zapytać, czy ie ma iych trójkatów o bokach całkowitych wiec łatwych do odmierzeia) i o dobrym kształcie, p prawie róworamieych Możemy zapytać p o trójkaty o przyprostokatych różiacych sie o dokładie Miałaby wiec być spełioa rówość a + a + ) = c Traktujac a w rówaiu 0 = a +a+ c = a+ ) + c jako iewiadoma, a c jako zay parametr, otrzymujemy a+ ) = c ), wiec a = ± c ) Myślac o bokach trójkata musimy przyjmować, że a > 0, wiec a = + c ) Jeśli a ma być liczba całkowita, to rówież liczba d = c powia być całkowita, a to ozacza, że powia być spełioa rówość c = d + Jase jest, że wtedy powia być spełioa przybliżoa rówość d c przyajmiej wtedy, gdy liczby d, c są duże Mamy = + ) = + + = + + = + + = + + T e procedur e moża powtarzać wielokrotie Prowadzi oa do coraz dłuższych ułamków o coraz wiekszej liczbie pieter Powstajace ułamki zwae sa łańcuchowymi Wypiszmy kilka poczatkowych

2 , + =, + = 7 5, + = 7, + = 9, + = Kotyuujac otrzymamy astepe ułamki:, 577, 9, Bez trudu stwierdzamy, że 5 = 7 +, 9 = +, 9 = 9 +, 985 = 9 + Przyjrzawszy si e ieco kolejym ułamkom:,, 7, 7,, 99, 9, 577, 9, możemy zauważyć, że miaowik ułamka jest suma liczika i miaowika swego poprzedika p = 7 + 5), liczik to suma miaowika i poprzediego miaowika p 7 = + 5) Oczywiście ta obserwacja bez uzasadieia pozwala jedyie a sformułowaie hipotezy, że tak jest rówież w ast epych przypadkach Potem moża udowodić, że tak jest Nie zrobimy tego, choć to ietrude Załóżmy, że c = d + myślimy o ułamku d, wiec c ast epym byłby ułamek d+c d+c, a po im ułamek ) Wtedy c+d d+c d + c) = 8d + dc + 8c = 8d + dc + c + c = = 8d + dc + c + d + = 9d + dc + c + = d + c) + Wykazaliśmy, że jeśli dla pewej pary liczb d, c) zachodzi rówość c = d +, to zachodzi oa też dla pary d + c, d + c) Wobec tego teraz już wiemy, że z pary, ) powstaje para 7, 5), z iej para, 9), z tej z kolei 9, 9), itd Załóżmy, że d, c sa takimi liczbami całkowitymi, że c = d + Przyjmujac a = + c ) = + d) i b = a + = + d) otrzymujemy rówość c = a +b Liczby a, b moża wiec traktować jako przyprostokate trójkata, a liczbe c jako jego przeciwprostokat a Dodajmy, że z rówości c = d + wyika, że liczba d jest ieparzysta, wiec liczby a, b, c sa całkowite Uwaga Z formalego puktu widzeia cała opowieść o rówościach postaci = + jest zb eda Ale jak bez iej moża wpaść a pomysł tworzeia z pary liczb p, q) ast epej pary p + q, p + q)? Dodajmy jeszcze, że ułamki postaci + cotiued fractios) Moża apisać rówość = + + azywae sa łańcuchowymi ag w której wyst epuje ieskończoy ułamek łańcuchowy Otrzymae wyżej ułamki,, 7, 7,, 99, 9, 577, 9, to koleje ajlepsze przybliżeia liczby w tym zaczeiu, że p spośród ułamków o całkowitych liczikach i miaowikach ie przekraczajacy liczb 9 ajbliżej liczby p 9 = 0 ) = = 8, = 0 + ) = = 8,

3 leży 9 Oczywiście ależałoby udowodić odpowiedie twierdzeie, ale tego tu 9 ie zrobimy Uwaga Niech x = y + Przyjmijmy x = d+c, y = d+c Wtedy x y = c, y x = d Moża sprawdzić, że jeśli x = y +, to rówież c = d + Ozacza to, że opisaa wcześiej procedura tworzeia astepej iteresujacej as pary jest odwracala Co wiecej, jeśli x, y > 0 i x = y +, to y < x, wiec y < <, x wi ec c = x y > 0 Mamy też wtedy x y = x + x y) < x, gdy x > gdy x =, to y = i wtedy c = ) Ozacza to, że przypisujac parze liczb dodatich y, x) spełiajacych rówaie x = y + pare d, c) = y x, x y) otrzymujemy pare, dla której c = d +, przy czym 0 < c < x Czytelik sprawdzi, że wtedy d też jest dodatie Moża z tych zdań wywioskować, że opisaa procedura przed pierwszą uwaga prowadzi do zalezieie wszystkich par dodatich liczb całkowitych c, d) spełiajacych rówość c = d + Zajmijmy sie teraz liczba ) = + = = + zamiast ) Mamy = + = + = + + +) + = + + = ) = Poieważ liczba + pojawiła sie już wcześiej, wiec procedure możemy powtarzać wielokrotie, co prowadzi do rówości = Pokazaliśmy rozwiiecie w ułamek łańcuchowy liczby podobie moża poste- pować z iymi iewymierościami kwadratowymi Moża też rozwijać w ułamki łacuchowe ie liczby W wielu przypadkach, choć potrafimy zaleźć dowolie długie ułamki łańcuchowe przybliżajace jakaś liczbe, p π to jedak ie potrafimy podać prostej formuły, za pomoca której moża byłoby zajdować koleje elemety jej ułamka łańcuchowego ieskończoego Na Olimpiadzie Matematyczej w 95 r pojawiło si e zadaie Udowodić, że jeśli a, b sa takimi liczbami całkowitymi, że a + a = b + b, to liczby a b i a + b + sa kwadratami liczb całkowitych Późiej przytoczymy rozwiazaie tego zadaia, ale ajpierw zajmiemy sie istieiem par liczb całkowitych a, b, dla których rówaie a + a = b + b jest spełioe Traktujac je jako kwadratowe z iewiadoma a otrzymujemy rówość a = ± ) + 8b + b) = ± b + 8b + ) Wobec tego dla pewej liczby całkowitej c zachodzić musi rówość c = b + 8b + Rozwiazuj ac to koleje rówaie kwadratowe, teraz iewiadoma jest b, otrzymujemy b = ± ) c ) = ± c )

4 Powia wi ec istieć taka liczba d, że d = c Oczywiście liczba d musi być parzysta Niech d = d Otrzymujemy c = d Jest jase, że jeśli istieja duże liczby całkowite c, d, dla których spełioa jest rówość c = d, to ) d c Przyjrzyjmy si e wi ec ułamkom, + = 5, + + = 9, + +, 5,, 9, 09, 85, 079, 80, = 9 0, czyli: Obliczajac wyrażeie c d, gdzie d jest liczikiem ułamka, a c miaowikiem otrzymujemy a zmiae liczby i Iteresujace bed a wiec pary, ),, 9), 09, 89), 079, 88), 08, 87), Po odpowiedio długiej chwili amysłu moża zauważyć, że pierwszy elemet takiej pary otrzymujemy możac pierwszy elemet poprzediej przez 5, drugi przez i dodajac otrzymae iloczyy Drugi elemet to suma pierwszego z poprzediej pary pomożoego przez i drugiego z poprzediej pary pomożoego przez 5 Możemy powiedzieć, że z pary liczb całkowitych d, c) powstaje para 5d + c, d + 5c) Jeśli c d =, to d + 5c) 5d + c) = d + c = Majac c i d wyzaczamy b = + c ) = +d) lub b = +d) Podobie a = + c), a = c) Dodajmy, że tylko jeda z liczb + d), + d) może być całkowita, bo + d) + + d) = Zachodzi też rówość + c) + c) =, wiec tylko jeda z liczb + c), c) może być całkowita Z pary d, c) =, ) otrzymujemy a = 0, b = 0, z pary, 9) a =, b =, z pary 09, 89) a =, b = 8, z pary 079, 88) a = 0, b = 80, z pary 08, 87) a = 80, b = 780 Umiemy wi ec wskazać ieskończeie wiele par liczb całkowitych a, b), dla których zachodzi rówość a + a = b + b Udowodimy teraz, ie przejmujac sie kwestia liczby par, tym bardziej ich wygladem, że jeśli dla liczba całkowitych zachodzi rówość a + a = b + b, to liczby a b oraz a + b + sa kwadratami liczb całkowitych Mamy b = a + a b b = a b)a + b + ) Wobec tego każdy dzielik pierwszy liczby a b jest dzielikiem liczby b, wi ec jest rówież dzielikiem liczby a + b = a b + b, zatem dzielikiem liczby a + b Wobec tego ie jest dzielikiem liczby a + b + Udowodiliśmy, że liczby a b oraz a + b + sa wzgledie Autor to wie, bo sprawdził a sobie Poieważ d+5c = d+c)+c, wiec przejście do astepej pary ie zmieia reszty z dzieleia liczby c przez liczbe Wobec tego wszystkie liczby c daja reszte z dzieleia przez, zatem a = c ) dla wszystkich par d, c) Iaczej jest z b 5d + c = d + c) d, wi ec koleje reszty z dzieleia liczb d przez to, = 5, 5 =,, zatem bed a stosowaa a zmiae formuły b = d ) i b = d + )

5 pierwsze Ich iloczy jest kwadratem, zatem istieja takie liczby całkowite k, l, że albo a b = k i a + b + = l, albo a b = k i a + b + = l Wystarczy teraz udowodić, że liczby a b i a + b + są ieujeme Wymaga to skorzystaia z całkowitości liczb a i b, to przyjmując a = 5, b = otrzymujemy liczby, dla których a + a = b + b i a b = < 0 Załóżmy, że a b = k l = s + dla pewej liczby całkowitej s Mamy też i a + b + = l Liczba l jest ieparzysta, więc a + = + a + = k l = = k s s = k ) ss + ), więc liczba k ) jest podziela przez, zatem k = r + dla pewej liczby całkowitej r Skoro obie liczby k, l są ieparzyste, to kwadrat ich iloczyu też jest ieparzysty, czyli b, jest liczbą ieparzystą, zatem b jest liczbą ieparzystą Wyika stąd, że liczba b + daje resztę 5 z dzieleia przez 8, ale b + = k l = 8rr + ) + ss + ), więc ta liczba z dzieleia przez 8 daje resztę, albo 7 = 8 + ) Otrzymaa sprzeczość dowodzi, że ie jest możliwe, by a b = k i a + b + = l, c kończy rozwiązaie zadaia olimpijskiego To zadaie było dosyć trude: spośród 78 fialistów XVI OM rozwiązało je jedyie osób, w tym jeda całkowicie poprawie; jeszcze trzy osoby miały wyiki częściowe Trudiejsza była druga część, polegająca a wykazaiu, tych ierówości! Uwaga W istocie rzeczy umiemy wskazać wszystkie pary d, c) liczb całkowitych, spełiających rówaie c d = Gdy z pary d, c) tworzymy astep a pare 5d + c, d + 5c) = y, x), możemy też wskazać sposób zajdowaia pary d, c), gdy zaa jest para y, x): d = 5y x, c = 5x y Jeśli x, y > 0 i y oraz x y =, to y ) x = x = = = >, x x bo wtedy x = y + 9, wiec x 7, gdyż x to liczba całkowita), wiec y x >, zatem 5y x > 0 Prawd a 5 jest też, że wtedy y < <, wiec y x < x i wobec tego 5y x < y Ozacza to, że ta operacja zmiejsza pierwszy elemet pary y, x), jeśli tylko jest o dostateczie duży Liczba y ie może być rówa, bo wtedy liczba x ie byłaby całkowita Wiec pierwszy elemet jest zmiejszay, gdy oba sa y dodatie Podobie z ierówości < < 5 wyika, że 5x y > 0, wi ec x rówież drugi elemet owej pary jest dodati Załamuje sie to dopiero wtedy, gdy y = = x, bo z pary, ) otrzymujemy par e, ), ast epie par e, 9), itd Ozaczajac d 0, c 0 ) =, ), d, c ) =, 9), d, c ) = 09, 89), moża apisać: d = + c = + ) 5 + ), 5 ) ) 5, co trzeba uzasadić Wystarczy jedak zauważyć, że podae wzory daja dobre wyiki dla = 0 oraz, że spełioe sa rówości: + ) + 5+ ) + 5 = 5

6 + ) = ) ) 5 + ) oraz ) + 5 = + ) = 5 + ) ) 5 +5 ale to wyika z łatwych do sprawdzeia rówości: ) = , ) 5 + = , ) ) ) 5 ) ) ) 5, 5 = 5 +, ) 5 = Oczywiście sprawdzić moża, ale skad wziać hipoteze? Tego aalizować ie bedziemy Powiedzmy tylko, że szukaie wzorów w postaci sumy ciagów geometryczych zadziwiajace ie jest, a po dłuższym amyśle może sie wrecz wydać aturale Z tych wzorów wyikaja rówości a = + ) b = + ) ) 5 + ) ) 5 Z iech wyika, że a b = + + ) + + ) ) 5 + ) + 5 ) ), + + ) ) ) 5 ) ) Wyika stąd, że jeżeli jest liczbą ieparzystą, to poieważ zachodzi rówość 5 )5 + ) = 5 ) =, więc a b = 5 + ) ) ) + = zaś jeśli liczba jest parzysta, to a b = = 5 + ) + 5 ) ) 5 + ) +)/ 5 ) +)/ ), = 5 + ) / 5 ) / ) Wystarczy teraz zauważyć, że liczba 5+ ) m 5 ) m jest iloczyem liczby i pewej liczby całkowitej zależej od m), ale to wyika od razu z wzoru dwumiaowego Newtoa ie redukują się te składiki, zawierające w ieparzystej potędze Dodajmy, że chyba ikogo ie zdziwi to, że raczej ie próbowao ogladać kokretych par liczb a, b), dla których zachodzi rówość a + a = b + b Tytułowe rówaie Pella, to rówaie x dy aturalą Podstawowe twierdzeie a temat tego rówaia brzmi: =, gdzie d jest daą liczbą Jeśli liczba aturala d ie jest kwadratem liczby aturalej, to istieje ieskończeie wiele różych par liczb całkowitych x, y spełiających to rówaie Moża też dodać, że wszystkie rozwiązaia związae są z reduktami ieskoczoego ułamka łańcuchowego liczby d, czyli skończoymi fragmetami początkowymi) tego ułamka Rówaie to pojawiło się już w starożytości problem Archimedesa z ustawiaiem bydła) Moża o im przeczytać w wielu podręczikach do teorii liczb Moża też udowdić samodzielie odpowiedie twierdzeie aśladując rozumowaia przedstawioe wyżej