CIAGI- przykłady i zadania. klasa II 2018/19. Adam Stachura
|
|
- Teodor Leszczyński
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 CIAGI- przykłady i zadania klasa II 208/9 Adam Stachura
2 2 Zadania. Ciagi Zadanie. Napisać cztery poczatkowe wyrazy ci agu (a n ), n N, gdzie a n = n+5 2n+. Zadanie2. Danyjestci ag(a n ),n N,gdziea n =5 n.obliczyća 2n,a n+ oraz a k,gdziek N. Zadanie. Napisać cztery poczatkowewyrazyci agu(a n ),n N,gdzie a =, a n+ =+ a n. Zadanie4. Napisaćpięćpocz atkowych wyrazów ciagu(a n ),n N 0,gdzie a 0 =0, a =, a n+2 =a n+ +a n. Zadanie 5. Zbadać monotoniczność ciagu(a n ),n N,gdziea n = 2n+ n+. Zadanie 6. Zbadać ograniczoność ciagu(a n ),n N,gdziea n = 2n+ n+. Zadanie 7. Zbadać ograniczoność ciagu(a n ),n N,gdziea n =2+n n 2. Zadanie8. Którewyrazyci agu(a n ),n N,s adodatnie,gdziea n = n+5 n? 2 Zadanie9. Którewyrazyci agu(a n ),n N,s aujemne,gdziea n =n 2 0? Zadanie0. Zbadaćmonotonicznośćci agu(a n ),n N,gdziea n = Zadanie. Zbadaćograniczonośćci agu(a n ),n N,gdziea n = n n. n n+. Zadanie 2. Ile wyrazów ciagu (a n ), n N, gdzie a n = n+26, to liczby n+2 naturalne?
3 Zadanie. Napisaćpięćpocz atkowych wyrazów ciagu(a n ),n N 0,gdzie ) a n =( ( + ) n ( ) ( 5 ) n (porównać z zadaniem 4).
4 4 Zadania2. Ci ag arytmetyczny Zadanie. Wci aguarytmetycznym(a n )danes awyrazy: a = 5,a 7 = 2. Zapisaćwzórogólnynan-tywyraztegoci aguiobliczyća 0. Zadanie 2. Oci aguarytmetycznym(a n )wiadomo,żea +a 4 = 6,a +a 8 = 0.Zapisaćwzórogólnynan-tywyraztegoci aguiobliczyća 9. Zadanie. Liczby, a+6, 9 w podanej kolejności s a pierwszym, drugim i pi atym wyrazem ci agu arytmetycznego. Zapisać wzór ogólny na n-ty wyraz tego ci aguiobliczyća. Zadanie 4. Obliczyć sumę A wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przydzieleniuprzez4daj aresztę.
5 5 Zadania2. Ci ag arytmetyczny. Rozwiazania Zadanie. Wci aguarytmetycznym(a n )danes awyrazy: a = 5,a 7 = 2. Zapisaćwzórogólnynan-tywyraztegoci aguiobliczyća 0. Rozwiazanie. Zewzorunan-tywyrazci agu arytmetycznego: a n =a +(n )r (*) wynika, że a = a +2r, a 7 = a +6r (gdzie r oznacza różnicę ci agu). Skoro zaś a = 5,a 7 = 2,tomamyukładrównań: { a +2r= 5, a +6r= 2. Zpierwszegorównaniawynika,żea = 5 2r,agdytopodstawimydodrugiego równania, otrzymujemy równość: zktórejwynika,żer= 4,noi 5 2r+6r= 2, a = 5 2 ( 4)=. Wobectegoa n = 4(n )(wstawiamya irdowzoru(*))imamy: a 0 = 4 (0 )=. Odpowiedź: a n = 4(n ),a 0 =. (Możnajeszczewykonaćsprawdzenie,oileczaspozwoli. Skoroa =ir= 4, kolejnywyrazci agu otrzymujemy odejmujacodpoprzedniego4,także (a n )=(,, 5, 9,, 7, 2, 25, 29,,...) Wytłuszczonym drukiem wyróżniono trzeci, siódmy i dziesiatywyrazci agu.) Zadanie 2. Oci aguarytmetycznym(a n )wiadomo,żea +a 4 = 6,a +a 8 = 0.Zapisaćwzórogólnynan-tywyraztegoci aguiobliczyća 9.
6 6 Rozwiazanie. Zewzorunan-tywyrazci agu arytmetycznego: a n =a +(n )r (*) wynika,żea 4 =a +r,a =a +2r,a 8 =a +7r(gdzieroznaczaróżnicęci agu). Skorozaśa +a 4 = 6,a +a 8 = 0,tomamyukładrównań: { a +a +r= 6, a +2r+a +7r= 0, lubpouproszczeniu: { 2a +r= 6, 2a +9r= 0. Odejmujac (stronami) od drugiego równania pierwsze otrzymujemy: 6r = 24, zatemr= 4.Podstawiaj ac to do np. pierwszego równania otrzymujemy równość: 2a + ( 4)= 6, zktórejwynika,żea =. Wobectegoa n = 4(n )(wstawiamya irdowzoru(*))imamy: a 9 = 4 (9 )= 29. Odpowiedź: a n = 4(n ),a 9 = 29. (Możnajeszczewykonaćsprawdzenie,oileczaspozwoli. Skoroa =ir= 4, kolejnywyrazci agu otrzymujemy odejmujacodpoprzedniego4,także (a n )=(,, 5, 9,, 7, 2, 25, 29,...) Tym razem wytłuszczonym drukiem wyróżniono pierwszy, czwarty, trzeci, ósmy i dziewiatywyrazci agu.) Zadanie. Liczby, a+6, 9 w podanej kolejności s a pierwszym, drugim i pi atym wyrazem ci agu arytmetycznego. Zapisać wzór ogólny na n-ty wyraz tego ci aguiobliczyća. Rozwiazanie. Niech(a n )będzietymci agiem arytmetycznym, o który chodzi w zadaniu. Ogólny wzór na jego n-ty wyraz ma postać: a n =a +(n )r, (*)
7 7 iwiemy,żea =.Wiemyteż,żea 5 =9,azdrugiejstronyzewzoru(*)mamy: a 5 =a +(5 )r=+4r. Otrzymujemywięcrówność: +4r=9,ast adr= 2. Wobectegoa n =+ 2 (n )(wstawiamya irdowzoru(*))imamy: a 2 =+ 2 (2 )=9 2, azdrugiejstronypodanowzadaniu,żea 2 =a+6.zatema+6= 9 2,więca= 2. Odpowiedź: a n =+ 2 (n ),a= 2. (Możnajeszczewykonaćsprawdzenie, oileczaspozwoli. Skoroa =ir= 2, kolejnywyrazci agu otrzymujemy dodajacdopoprzedniego 2,także (a n )= (, 92 ),6,52,9,... ioczywiście 2 +6=9 2.) Zadanie 4. Obliczyć sumę A wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przydzieleniuprzez4daj aresztę. Rozwiazanie. Pierwszatak aliczb ajest=4 +,zaśostatni a97= Jeżeliliczbanaturalnaxprzydzieleniuprzez4dajeresztę,todasięj azapisać wpostaci: x=4k+(gdziekjestliczb anaturaln a). Wtedy mamy: x = 4k+, x+ = 4k+2, x+2 = 4k+, x+ = 4(k+)+0, x+4 = 4(k+)+ i tak dalej. Zatem kolejne reszty z dzielenia tych liczb przez 4(zapisane wytłuszczona czcionka) sa równe,2,,0,,.... Skoro więc liczba x daje przy dzieleniu przez 4
8 8 resztę, to następn a tak a liczb a jest x+4, następn a - x+8 itd. Liczby, o które chodzi, tworzawięcci agarytmetyczny(skończony)opierwszymwyraziea =io różnicyr=4: (a n )=(,7,...,97) iposzukiwanaliczbaajestpoprostusum awszystkichwyrazówtegoci agu. Chcemyterazskorzystaćzewzorunasumęnkolejnychwyrazówci agu arytmetycznego: ( ) a +a n S n = n. (**) 2 Aby zeń skorzystać, musimy znać liczbę wyrazów w rozważanym ciagu, czyli liczbę n.jesttołatwezadanie,bowiemy,żea n =97.Zogólnegowzorunan-tywyrazci agu arytmetycznego: a n =a +(n )r (*) wynika równość: 97=+(n ) 4, azniejotrzymujemy: n=22. Teraz wystarczy wstawić wszystkie dane do wzoru(**) i mamy: ( ) +97 A=S 22 = 22=0 =20. 2 Odpowiedź: A = 20.
9 9 Zadania. Ci ag geometryczny Zadanie. W ci agu geometrycznym (a n ) dane s a wyrazy: a 2 = 2, a 6 = 2 8. Obliczyćilorazqtegoci agu. Zadanie2. Sumapięciupocz atkowych wyrazów ciagu geometrycznego o ilorazie równajest 6.Obliczyćpierwszywyraza tegoci agu. Zadanie. Liczby2,x+2, xwpodanejkolejnościs a pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciagu geometrycznego. Obliczyć x.
10 0 Zadania. Ci ag geometryczny. Rozwiazania Zadanie. W ci agu geometrycznym (a n ) dane s a wyrazy: a 2 = 2, a 6 = 2 8. Obliczyćilorazqtegoci agu. Rozwiazanie. Zewzorunan-tywyrazci agu geometrycznego: a n =a q n (***) wynika, że a 2 = a q, a 6 = a q 5 (gdzie q oznacza iloraz ci agu). Skoro zaś a 2 = 2, a 6 = 2 8,tomamyukładrównań: { a q=2, a q 5 = 2 8. Pisz acdrugierównaniewpostaci:a q q 4 = 2 8 ikorzystaj aczpierwszegorównania otrzymujemy kolejno równości 2q 4 = 2 tak więc q 4 = 6 8 = ( 2 8, ) 4 =( 2 4, ) q= 2 lubq= 2. Odpowiedź: Warunki podane w zadaniu spełniaja dwa ci agi geometryczne o ilorazach,odpowiednio,q = 2 orazq = 2. (W celu sprawdzenia, o ile czas pozwoli, możemy wypisać obydwa ciagi. Dla q = 2 mamya =,bo 2 =2ici agmapostać zaśdlaq = 2 mamyodpowiednio ( (a n )=,2, 4 ),8 9,6 27,2 8,..., (a n )= (,2, 4 ),8 9, 6 27,2 8,....
11 Wytłuszczonym drukiem wyróżniono drugi i szósty wyraz ciagu.) Zadanie2. Sumapięciupocz atkowych wyrazów ciagu geometrycznego o ilorazie równajest 6.Obliczyćpierwszywyraza tegoci agu. Rozwiazanie. Zewzorunasumęnkolejnychwyrazówci agu geometrycznego: ( ) q n S n =a (****) q (prawdziwegowprzypadku,gdyq,atakwłaśniejestwtymzadaniu)izdanych zadania wynika, że [ ] ( ) 5 S 5 =a. ( ) SkorozaśS 5 = 6,tomamyrównanie: [ ] ( ) 5 a = 6, ( ) czyli 244 a 4 = 6, zatema =. Odpowiedż: a =. (Wcelusprawdzenia,oileczaspozwoli,możnawypisaćnaszci ag. Skoroa = iq=,kolejnywyrazci agu otrzymujemy mnożacpoprzedniprzez,także (a n )=(,, 9,27, 8,...). Dodajemy pierwsze pięć wyrazów i stwierdzamy, że suma rzeczywiście jest równa 6.) Zadanie. Liczby2,x+2, xwpodanejkolejnościs a pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciagu geometrycznego. Obliczyć x. Rozwiazanie. Po pierwsze zauważamy, że rozważany ciagmailorazq różnyod zera(gdybybyłoq=0,toci agmiałbypostać: (2,0,0),anieistniejetakaliczbax, żex+2=0i x=0). Dlatakiegoci agu można skorzystać ze znanego faktu, że
12 2 kwadrat każdego wyrazu ciagu(poza pierwszym i, ewentualnie, ostatnim) jest równy iloczynowi wyrazów z nim s asiadujacych. Korzystajac z tego faktu otrzymujemy równanie (x+2) 2 = 2x, które przekształcamy do postaci x 2 +26x+44=0 idalej, (x+) =0, więc ostatecznie (x+) 2 =25=5 2. Zatem x+=5lubx+= 5, i odpowiednio x= 8lubx= 8. Odpowiedż: x= 8lubx= 8. (Wcelusprawdzenia,oileczaspozwoli,możnawypisaćobydwaci agi. Dlax= 8 otrzymujemy ciag (2,4,8), zaś dla x = 8 otrzymujemy ci ag (2, 6,8). Widać, żeobydwaci agis ageometryczne-pierwszymailorazrówny2,zaśdrugimailoraz równy.takwięczadaniemadwarozwi azania.) Uwaga: Wsytuacjitakiejjakpowyższazapełnerozwi azanie uznaje się takie, w którympodanes a wszystkie istniejacerozwi azania.
13 Zadania4. Ci ag arytmetyczny i geometryczny Zadanie. Wyrazypierwszyitrzecirosn acegoci agu arytmetycznego saodpowied- niopierwszymitrzecimwyrazemci agu geometrycznego. Ich wspólny pierwszy wyraz jest równy 5, a drugi wyraz ci agu arytmetycznego jest o 0 większy od drugiego wyrazuci agu geometrycznego. Wyznaczyć te ciagi.
14 4 Zadania4. Ci ag arytmetyczny i geometryczny. Rozwiazania Zadanie. Wyrazypierwszyitrzecirosn acegoci agu arytmetycznego saodpowied- niopierwszymitrzecimwyrazemci agu geometrycznego. Ich wspólny pierwszy wyraz jest równy 5, a drugi wyraz ci agu arytmetycznego jest o 0 większy od drugiego wyrazuci agu geometrycznego. Wyznaczyć te ciagi. Rozwiazanie. W zadaniu chodzi o skończone, trójwyrazowe ciagi o pierwszym wyrazie 5. Oznaczmy więc drugi i trzeci wyraz ci agu arytmetycznego symbolami x iy, odpowiednio. Zzadaniawynika, żetrzeciwyrazci agu geometrycznego też jest równyy.drugiwyraztegoci agu oznaczymy przez z. Mamy więc następujac asytuację: (5,x,y)-toci agarytmetyczny,zaś(5,z,y)-toci ag geometryczny i z zadania wiemy, żex=z+0.zatemz=x 0. Ci ag arytmetyczny wygladawięctakoto: aci ag geometryczny ma postać: (5,x,y), (5,x 0,y). Upewniamysięteraz,żeilorazqci agu geometrycznego jest różny od zera. Gdyby bowiembyłonrównyzeru,toci agmiałbypostać: (5,0,0)ibyłoby: x=0,y=0.ale zkoleici ag(5,0,0)niejestwogóleci agiem arytmetycznym. Zatem q 0. Można więc skorzystać ze znanego faktu, że kwadrat każdego wyrazu ciagu geometrycznego (poza pierwszym i, ewentualnie, ostatnim) jest równy iloczynowi wyrazów z nim s asiadujacych. Korzystajac z tego faktu otrzymujemy równanie (x 0) 2 =5y. Zkoleidlaci agu arytmetycznego można skorzystać z faktu, że każdy wyraz dowolnego ci agu arytmetycznego (poza pierwszym i, ewentualnie, ostatnim) jest równy średniej arytmetycznej wyrazów z nim sasiaduj acych. Korzystajacztegofaktuotrzy- mujemy równanie x= 5+y 2. Ostatecznie mamy więc układ równań: { (x 0) 2 =5y, x= 5+y 2.
15 5 Drugierównanieprzekształcamydopostaci: 2x=5+y,st ad y=2x 5. (*****) Wstawiajac to do pierwszego równania otrzymujemy, kolejno, równości: i, ostatecznie, (x 0) 2 =0x 25, x 2 20x+00=0x 25, x 2 0x+25=0, (x 5) =0, (x 5) 2 =00, x 5=0lubx 5= 0 x=25lubx=5. Mamy więc dwa rozwi azania: x = 25, x 2 = 5. Ze wzoru na y (wzór (*****) otrzymujemy, odpowiednio, y = 45, y 2 = 5. Ale ci ag (5,x 2,y 2 ) = (5,5,5) jest co prawdaci agiem arytmetycznym, ale nie jest ciagiemrosn acym. Musimy zatem odrzucićdrugierozwi azanieipozostaćprzypierwszym: (5,x,y )=(5,25,45).Pozostaje jeszcze wyznaczyć z z równości z=x 0=25 0=5. Odpowiedź: Ciagiem arytmetycznym jest ciag (5,25,45), a ci agiem geometrycznymjestci ag(5,5,45). (Sprawdzenie polega na zauważeniu, że pierwszy ciagjestrosn acymci agiem arytmetycznym o różnicy r = 20, a drugi ci ag jest ci agiem geometrycznym o ilorazie q=,idrugiwyrazci agu arytmetycznego rzeczywiście jest o 0 większy od drugiego wyrazuci agu geometrycznego).
16 6 Zadania 5. Lokaty i kredyty ZADANIE. Pan X wpłacił zł do banku na czteroletni a lokatę oprocentowana w wysokości 8% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w końcu każdego półrocza(procent składany). W takim razie po czterech latach(nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych) miał na koncie kwotę(w zaokragleniu do pełnych złotówek) (A) 267 zł. (B) 277 zł. (C) 287 zł. (D) 297 zł. ZADANIE 2. Pan Y wplacił 0000 zł do banku na trzyletni a lokatę oprocentowana w wysokości 0% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w końcu każdego roku(procent składany). Uwzględniamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych. WtakimraziepotrzechlatachpanYmiałnakonciekwotę(wzaokr agleniu do pełnych złotówek) (A) 267 zł. (B) 2667 zł. (C) 2967 zł. (D) 67 zł. ZADANIE. Pan N ulokował na trzydziestomiesięcznej lokacie bankowej kwotę 8400 zł. Oprocentowanie lokaty wynosi 7% w skali roku(procent prosty). Wobec tego (nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych) po trzydziestu miesiacach pannotrzymazlokaty (A)9870zł. (B)9890zł. (C)990zł. ZADANIE 4. Pani M ulokowała na pięcioletniej lokacie bankowej kwotę 7500 zł. Oprocentowanie lokaty wynosi 6% w skali roku(procent prosty). Uwzględniamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych. Wobec tego po pięciu latach na koncie pani M znajdzie się kwota (A)925zł. (B)95zł. (C)945zł. ZADANIE 5. Niejaki X wplacił pewn a kwotę do banku na dwuletni a lokatę oprocentowana w wysokości 6% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w
17 7 końcu każdego półrocza(procent składany). Jeżeli po dwóch latach miał na koncie kwotę 5757, 2 zł (nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych), to to oznacza, że wpłacił (A) 000 zł. (B) 500 zł. (C) 4000 zł. (D) 4500 zł. ZADANIE 6. Jaś i Małgosia otrzymali po 500 zł rocznego stypendium dla zdolnej młodzieży. Oboje postanowili pieniadze zdeponować w banku na lokacie rocznej. Jaś wybrał bank, który oferował oprocentowanie w wysokości 4, 2% w stosunku rocznym i kapitalizację odsetek po zakończeniu każdego półrocza. Małgosia wybrała bank, w którym oprocentowanie wynosi 4% w stosunku rocznym, a kapitalizacja odsetek następuje po zakończeniu każdego kwartału. Które stwierdzenie jest prawdziwe(nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych): (A) Korzystniejszego wyboru dokonał Jaś. (B) Korzystniejszego wyboru dokonała Małgosia. (C) Wybór obojga był równie korzystny. ZADANIE7. FirmaFwzięławbankukredytwwysokości200000zł. Kredytma być spłacony w sześciu równych, kwartalnych ratach, a jego oprocentowanie wynosi 20%wstosunkurocznym. Zatemwysokośćraty(wzaokr agleniu do całych złotówek) wynosi (A) 880 zł. (B) 900 zł. (C) 920 zł. (D) 940 zł. ZADANIE8. PaniYwzięławbankukredytwwysokości2000zł. Kredytma być spłacony w ci agu dwóch lat w kwartalnych ratach malej acych, a jego oprocentowanie wynosi 6% w skali roku. Zatem wysokość ostatniej raty wynosi (A)440zł. (B)460zł. (C)480zł. (D)4200zł.
18 8 Zadania5. Lokatyikredyty. Rozwi azania ZADANIE. Pan X wpłacił zł do banku na czteroletni a lokatę oprocentowana w wysokości 8% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w końcu każdego półrocza(procent składany). W takim razie po czterech latach(nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych) miał na koncie kwotę(w zaokragleniu do pełnych złotówek) (A) 267 zł. (B) 277 zł. (C) 287 zł. (D) 297 zł. czyli Rozwiazanie. Stosujemywzór()ztekstuTeoria4. Danes anastępuj ace: K=20000, p=8, l=4, m=2(wrokumieszcz a się dwa półrocza), n=8(bon=ml). SzukamykapitałukońcowegoK n.wzór()przyjmujepostać: K n =20000 ( + 8 ) 8, 00 2 K n =20000 (,04) 8, iwykonuj acwskazaneobliczeniaznajdujemy: K n 277. Odpowiedź: Wybieram(B). ZADANIE 2. Pan Y wplacił 0000 zł do banku na trzyletni a lokatę oprocentowana w wysokości 0% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w końcu każdego roku(procent składany). Uwzględniamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych. WtakimraziepotrzechlatachpanYmiałnakonciekwotę(wzaokr agleniu do pełnych złotówek) (A) 267 zł. (B) 2667 zł. (C) 2967 zł.
19 9 (D) 67 zł. Rozwiazanie. Mamy następujace dane: K=0000, p=0, l=, m=(wrokumieścisięjedenrok), n=(bon=ml). SzukamykapitałukońcowegoK n.należyzastosowaćwzór()ztekstuteoria4, ale ponieważ uwzględniamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych, więc zgodnieztym,conapisanowtekścieteoria4,wzór(5),należyzast apićpprzez czyli przez p =p 8 00 p, p = =8,2. Wzór() przyjmuje teraz postać: czyli K n =0000 ( + 8,2 ), 00 K n =0000 (,082), iwykonuj acwskazaneobliczeniaznajdujemy: K n Odpowiedź: Wybieram(B). ZADANIE. Pan N ulokował na trzydziestomiesięcznej lokacie bankowej kwotę 8400 zł. Oprocentowanie lokaty wynosi 7% w skali roku(procent prosty). Wobec tego (nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych) po trzydziestu miesiacach pannotrzymazlokaty (A)9870zł. (B)9890zł. (C)990zł. Rozwiazanie. Stosujemywzór(2)ztekstuTeoria4. Danes anastępuj ace: K=8400, p=7,
20 20 czyli l=2,5(trzydzieścimiesięcytodwaipółroku). SzukamykapitałukońcowegoK n.wzór(2)przyjmujepostać: K n = ,5, 00 K n = ,5 iwykonuj acwskazaneobliczeniaznajdujemy: K n =9870. Odpowiedź: Wybieram(A). ZADANIE 4. Pani M ulokowała na pięcioletniej lokacie bankowej kwotę 7500 zł. Oprocentowanie lokaty wynosi 6% w skali roku(procent prosty). Uwzględniamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych. Wobec tego po pięciu latach na koncie pani M znajdzie się kwota (A)925zł. (B)95zł. (C)945zł. Rozwiazanie. Mamy następujace dane: K=7500, p=6, l=5. SzukamykapitałukońcowegoK n.należyzastosowaćwzór(2)ztekstuteoria4, ale ponieważ uwzględniamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych, więc zgodnieztym,conapisanowtekścieteoria4,wzór(5),należyzast apićpprzez czyli przez p =p 8 00 p, p = =4,92. Wzór(2) przyjmuje teraz postać: czyli K n = ,92 5, 00 K n =
21 2 iwykonuj acwskazaneobliczeniaznajdujemy: K n =945. Odpowiedź: Wybieram(C). ZADANIE 5. Niejaki X wplacił pewn a kwotę do banku na dwuletni a lokatę oprocentowana w wysokości 6% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w końcu każdego półrocza(procent składany). Jeżeli po dwóch latach miał na koncie kwotę 5757, 2 zł (nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych), to to oznacza, że wpłacił (A) 000 zł. (B) 500 zł. (C) 4000 zł. (D) 4500 zł. czyli Rozwiazanie. Stosujemywzór()ztekstuTeoria4. Danes anastępuj ace: p=6, l=2, m=2(wrokumieszcz a się dwa półrocza), n=4(bon=ml), K n =5757,2. Szukamy kapitału poczatkowego K. Wzór() przyjmuje postać: ( 5757,2=K + 6 ) 4, 00 2 zatem 5757,2=K (,0) 4, K= 5757,2 (,0) 4 iwykonuj ac wskazane obliczenia znajdujemy: K 4000(dokładniej: K = 999, , co oczywiście spowodowane jest błędem zaokragleń popełnionych przy wyznaczaniu kwotyk n ). Możemyśmiałoprzyj ać,żek=4000. Odpowiedź: Wybieram(C). ZADANIE 6. Jaś i Małgosia otrzymali po 500 zł rocznego stypendium dla zdolnej młodzieży. Oboje postanowili pieniadze zdeponować w banku na lokacie
22 22 rocznej. Jaś wybrał bank, który oferował oprocentowanie w wysokości 4, 2% w stosunku rocznym i kapitalizację odsetek po zakończeniu każdego półrocza. Małgosia wybrała bank, w którym oprocentowanie wynosi 4% w stosunku rocznym, a kapitalizacja odsetek następuje po zakończeniu każdego kwartału. Które stwierdzenie jest prawdziwe(nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych): (A) Korzystniejszego wyboru dokonał Jaś. (B) Korzystniejszego wyboru dokonała Małgosia. (C) Wybór obojga był równie korzystny. Rozwiazanie. WceluwyznaczeniakapitałukońcowegoK nj nalokaciejasiastosujemywzór()ztekstuteoria4znastępuj acymi danymi: K=500, p=4,2, l=, m=2(wrokumieszcz a się dwa półrocza), n=2(bon=ml). Wzór() przyjmuje postać: czyli K nj =500 ( + 4,2 ) 2, 00 2 K nj =500 (,02) 2, iwykonuj ac wskazane obliczenia znajdujemy: K nj =56,665, zatemnakonciejasiaporokuznajdziesiękwota56zł66gr(wzaokr agleniu). WceluwyznaczeniakapitałukońcowegoK nm nalokaciemałgosistosujemywzór ()ztekstuteoria4znastępuj acymi danymi: K=500, p=4, l=, m=4(wrokumieszcz a się cztery kwartały), n=4(bon=ml). Wzór() przyjmuje postać: K nm =500 ( + 4 ) 4, 00 4 czyli K nm =500 (,0) 4,
23 2 iwykonuj ac wskazane obliczenia znajdujemy: K nm =560,90605, zatemnakonciemałgosiporokuznajdziesiękwota560zł9gr(wzaokr agleniu). St ad Odpowiedź: Wybieram(A). ZADANIE7. FirmaFwzięławbankukredytwwysokości200000zł. Kredytma być spłacony w sześciu równych, kwartalnych ratach, a jego oprocentowanie wynosi 20%wstosunkurocznym. Zatemwysokośćraty(wzaokr agleniu do całych złotówek) wynosi (A) 880 zł. (B) 900 zł. (C) 920 zł. (D) 940 zł. Rozwiazanie. Stosujemywzór()ztekstuTeoria5Danes anastępuj ace: K=200000, p=20, l=,5(sześćkwartałówtojedenipółroku), m=4(rokliczyczterykwartały), n=6(jestsześćratdospłacenia). Szukamy wysokości R raty. Wzór() przyjmuje postać: R= ( ) ( ) 2+ ( ) + ( ) 4+ ( czyli R= ( 20 ) ( ) 2+ ( 20 ) + ( 20 ) 4+ ( 20 ) 5+ ( 20 ) 6, iwykonuj ac wskazane obliczenia znajdujemy: R 940. Odpowiedź: Wybieram(D). ) 5+ ( ) 6, ZADANIE8. PaniYwzięławbankukredytwwysokości2000zł. Kredytma być spłacony w ci agu dwóch lat w kwartalnych ratach malej acych, a jego oprocentowanie wynosi 6% w skali roku. Zatem wysokość ostatniej raty wynosi
24 24 (A)440zł. (B)460zł. (C)480zł. (D)4200zł. Rozwiazanie. Stosujemywzór(2)ztekstuTeoria5. Danes anastępuj ace: K=2000, p=6, l=2, m=4(rokliczyczterykwartały), n=8(bon=ml). SzukamywysokościR 8 ostatniej,awięcósmejraty. Wzór(2)przyjmujepostać: ( ), R 8 = iwykonuj acwskazaneobliczeniaznajdujemy: R 8 =460. Odpowiedź: Wybieram(B).
25 25 Zadania6. Graniceci agów ZADANIE. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 2n n +4n 2 +n. ZADANIE 2. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = ( n )( n+) (2 n+) 2. ZADANIE. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = (5+ n )( 2+ ). 2 n ZADANIE 4. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n n+4 4n2 ++5n. ZADANIE 5. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = (2 n ) 2 ( n +2 n ) 2. ZADANIE 6. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 5 n +4 2 n +7. ZADANIE 7. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 2 +. ZADANIE 8. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 2 +2n+n. ZADANIE 9. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N 2,gdzie a n = n 2 2n.
26 26 ZADANIE 0. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n4 2n 5 n 6 n 4 +n 5n 2. ZADANIE. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = 2n +6 5 n 2 n 2 n.
27 27 Zadania6. Graniceci agów. Rozwiazania ZADANIE. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 2n n +4n 2 +n. () Rozwiazanie. Dzielac licznik i mianownik we wzorze () przez n w potędze o najwyższym wykładniku spośród występujacych w mianowniku, czyli przez n, i korzystajac z twierdzenia o działaniach na ci agach zbieżnych (zob. tekst Teoria6) otrzymujemy: ( ) ( ) n 2n 2 +5 n 2n2 + 5 ( n lim = lim n n 2 n 2 n +4n 2 = lim + 5 ) n +n 2 n + 4n2 + n + 4+ = n n n 2 n n 2 = =2, 2 ponieważ 2 n 0, 5 n 0, 4 n 0, n 0. 2 Odpowiedź: lim a n =2. ZADANIE 2. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie Rozwiazanie. Mamy: a n = ( n )( n+) (2 n+) 2. a n = n 4n+2 n+9. (2) Dzielac licznik i mianownik we wzorze (2) przez n w potędze o najwyższym wykładniku spośród występujacych w mianowniku, czyli przez n, i korzystaj ac z twierdzenia o działaniach na ciagach zbieżnych(zob. tekst Teoria6) otrzymujemy: ( ) ( n n lim 4n+2 = lim ) ( ) n n n n+9 4n n + = lim 2 n n n n + 9 = n
28 28 ponieważ = = 4, n 0, 2 0, n 9 n 0. Odpowiedź: lim a n = 4. ZADANIE. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = (5+ n )( 2+ ). 2 n Rozwiazanie. Korzystajacztwierdzeniaodziałaniachnaci agach zbieżnych(zob. tekst Teoria6) otrzymujemy: [(5+ n )( 2+ )]=5 2=0, 2 n ponieważ lim Odpowiedź: lim a n =0. n 0, n 0. 2 ZADANIE 4. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n n+4 4n2 ++5n. () Rozwiazanie. Dzielaclicznikimianownikwewzorze()przeznikorzystaj ac ztwierdzeniaodziałaniachnaci agach zbieżnych(zob. tekst Teoria6) oraz z reguły wł aczania pod pierwiastek otrzymujemy: ( ) ( n n+4 n n lim = lim n n + ) 4 n = lim n + 4 n = 4n2 +n+5n 4n 2 +n+ 5n 4n n n 2 +n+5 n 2 = lim n + 4 n = 0+0 = , n
29 29 ponieważ n 0, 4 n 0, n 0. Odpowiedź: lim a n = 7. ZADANIE 5. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie Rozwiazanie. Mamy: a n = (2 n ) 2 ( n +2 n ) 2. a n = 4 9n 4 n + 9 n +2 6 n +4 n. (4) Dzielaclicznikimianownikwewzorze(4)przezpotęgęliczbynonajwiększejpod- stawie spośród występujacychwmianowniku,czyliprzez9 n,ikorzystaj ac z twierdzenia odziałaniachnaci agach zbieżnych(zob. tekst Teoria6) otrzymujemy: ( ) ( 4 9 n 4 n + 4 9n 4 n + ) ( ( 9 lim = lim n 9 n ) n+ ( n n 9 n +2 6 n +4 n 9 = lim 9) n + 2 6n + 4n 9 n 9 n 9 +2 ( 2 n+ ( 4 ) n )= ) n 9 = =4, ponieważ ( ) n 0, Odpowiedź: lim a n =4. ( ) n 0, 9 ( ) n 2 0, ( ) n ZADANIE 6. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 5 n +4 2 n +7. Rozwiazanie. Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej n N zachodz a nierówności: 5 n 5 n +4 2 n +7 5 n +4 5 n +7 5 n, (5)
30 0 ponieważ2 n 5 n i 5 n. Z nierówności(5) otrzymujemy kolejno nierówności: a ponieważ lim n 2=,więc 5 n 5 n +4 2 n n, n 5n n 5 n +4 2 n +7 n 2 5 n, 5 n 5 n +4 2 n +7 n 2 5, ( ) n lim 2 5 = 5=5. Na mocy twierdzenia (zob. tekst Teoria7) otrzymujemy: co oznacza, że Odpowiedź: lim a n =5. 5 lim n 5 n +4 2 n +7 5, lim n 5n +4 2 n +7=5. ZADANIE 7. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 2 +. Rozwiazanie. Oczywiście mamy nierówność: awtakimrazietakże n 2 <n 2 + (n N ), n= n 2 < n 2 +, czylin<a n dlakażdejliczbyn N. Ponieważ wiemy, że lim n=+,więckorzystaj acztwierdzenia2(zob. tekst Teoria7) stwierdzamy, że lim a n=+. Odpowiedź: lim a n =+ (granicaniewłaściwa).
31 ZADANIE 8. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 2 +2n+n. Rozwiazanie. Oczywiście mamy nierówność: awtakimrazietakże idalej, n 2 <n 2 +2n (n N ), n= n 2 < n 2 +2n n+n< n 2 +2n+n, czyli2n<a n dlakażdejliczbyn N. Ponieważ wiemy, że lim 2n=+,więckorzystaj acztwierdzenia2(zob. tekst Teoria7) stwierdzamy, że lim a n=+. Odpowiedź: lim a n =+ (granicaniewłaściwa). ZADANIE 9. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N 2,gdzie a n = n 2 2n. Rozwiazanie. Wzórnan-tywyrazci agu przekształcimy w następujacy sposób: a n = ( n 2 2n= n 2 2 ) =n 2 n n. Korzystajac z twierdzenia o działaniach na ci agach zbieżnych (zob. tekst Teoria6)orazztwierdzeniaodziałaniachnaci agach rozbieżnych(zob. tekst Teoria8) otrzymujemy: ( ) lim n 2 n =+, ponieważ natomiast lim ( lim n=+, 2 n ) = 0=,
32 2 gdyż 2 n 0. Odpowiedź: lim a n =+ (granicaniewłaściwa). ZADANIE 0. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n4 2n 5 n 6 n 4 +n 5n 2. (6) Rozwiazanie. Dzielac licznikimianownik we wzorze (6) przez n w potędze o najwyższym wykładniku sposród występujacychwmianowniku,czyliprzezn 4,otrzymujemy: n 4 2n 5 n 6 n4 n 4 +n 5n 2 = 2n5 n6 n 4 n 4 n 4 = 2n n2 n 4 + n 5n2 + n 4 n 4 n 4 n 4 n 5 = n 2 n 4 = n2( n 2 2 n ) + n 5 n 2 n 4 =n 2 ( n 2 2 n + n 5 n 2 n 4 Korzystajac z twierdzenia o działaniach na ci agach zbieżnych (zob. tekst Teoria6)orazztwierdzeniaodziałaniachnaci agach rozbieżnych(zob. tekst Teoria8) otrzymujemy: [ lim n 2 ( 2 )] n 2 n + 5 =, n n 2 n 4 ponieważ lim n2 =+, natomiast ( 2 n lim 2 n ) + 5 = =, n n 2 n 4 gdyż n 0, 2 2 n 0, n 0, 5 n 0, 2 n 0. 4 Odpowiedź: lim a n = (granicaniewłaściwa). ). ZADANIE. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = 2n +6 5 n 2 n 2 n. (7)
33 Rozwiazanie. Dziel ac licznik i mianownik we wzorze (7) przez potęgę liczby n o największej podstawie spośród występujacych w mianowniku, czyli przez n, otrzymujemy: ( 2 ) n+6 ( 5 n ) 2 n +6 5 n 2 n 2 n = = ( 5 ) n [ ( 2 5) n +6 ] 2 n + 6 5n n n 2 n 2n n 2 ( ) 2 n = n = ( ) 5 n 2 ( ) 2 n = ) n ) +6 ) n ( ( ( 2 Korzystajac z twierdzenia o działaniach na ci agach zbieżnych (zob. tekst Teoria6)orazztwierdzeniaodziałaniachnaci agach rozbieżnych(zob. tekst Teoria8) otrzymujemy: [ (5 ) ( ( 2 ) n +6 lim n 5 2 ( ) 2 n )]=+, ponieważ natomiast lim lim ( ( 2 ) n ) ( ) 2 n gdyż ( ) n 2 0, 5 ( ) n 5 =+, = =, ( ) n 2 0. Odpowiedź: lim a n =+ (granicaniewłaściwa)..
34 4 Zadania 7. Szereg geometryczny zbieżny ZADANIE. Zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych ułamek x=0, =0,2(6). ZADANIE 2. Wyznaczyć dziedzinę D funkcji określonej wzorem f(x)= x+2 + x+ (x+2) 2+(x+)2 (x+2) +... ZADANIE. Rozwi azać równanie x (x 2 2) 2 (x 2 2) +...=2, wktórymlewastronajestsum a nieskończonego szeregu geometrycznego zbieżnego. ZADANIE4. Rozwi azać nierówność x+2 + 2x+ (x+2) 2+(2x+)2 (x+2) +(2x+) (x+2) , wktórejlewastronajestsum a nieskończonego szeregu geometrycznego zbieżnego.
35 5 Zadania 7. Szereg geometryczny zbieżny. Rozwiazania ZADANIE. Zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych ułamek x=0, =0,2(6). Rozwiazanie. Mamy: x=0,2+0, Drugi składnik po prawej stronie powyższej równości jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszymwyrazie a = 6 oraz ilorazie q =. Wcelu obliczeniatej sumy stosujemy wzór z tekstu Teoria9: Wobec tego Odpowiedź: x= = x= = = = ZADANIE 2. Wyznaczyć dziedzinę D funkcji określonej wzorem f(x)= x+2 + x+ (x+2) 2+(x+)2 (x+2) +... Rozwiazanie. Prawa strona powyższej równości jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego x+2 + x+ (x+2) 2+(x+)2 (x+2) +...
36 opierwszymwyraziea = x+2 orazilorazieq=x+ x+2.musibyćspełnionywarunek zbieżności tego szeregu(patrz tekst Teoria9): q <, należy więc rozwiazać nierówność x+ x+2 <, któr a zamieniamy na układ dwóch nierówności: x+ x+2 <, x+ x+2 >. Oczywiściemusibyćteżspełnionywarunek: x+2 0(wmianownikużadnego ułamka nie może pojawić się zero). Ostatecznie zbiór D znajdujemy rozwiazuj ac układtrzechnierówności: x+2 0, x+ x+2 <, x+ x+2 >. Rozwiazujemy je kolejno. I.x+2 0.Oczywiścierozwi azaniemapostać: x (, 2) ( 2,+ ). II. x+ x+2 <.Mamykolejno: x+ x+2 <, czylix ( 2,+ ). x+ x+2 <0, x+2 <0, x+2>0, III. x+ x+2 >.Mamykolejno: x+ x+2 >, 6
37 x+ x+2 +>0, 2x+ x+2 >0. Mnoż acobiestronytejnierównościprzezdodatniewyrażenie(x+2) 2 otrzymujemy: (2x+)(x+2)>0, istosuj ac wiadomości z teorii trójmianów kwadratowych otrzymujemy: x (, 2) ( 2 ),+. Zbiór D jest iloczynem otrzymanych trzech zbiorów: D=[(, 2) ( 2,+ )] ( 2,+ ) Odpowiedź: D = D= ( 2,+ ). ( 2,+ ). [ (, 2) ( 2,+ )], 7 ZADANIE. Rozwi azać równanie x (x 2 2) 2 (x 2 2) +...=2, (*) wktórymlewastronajestsum a nieskończonego szeregu geometrycznego zbieżnego. Rozwiazanie. Znajdujemy najpierw dziedzinę D równania. Lewa strona powyższej równości jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego x (x 2 2) 2 (x 2 2) +... opierwszymwyraziea =orazilorazieq= x 2 2.Musibyćspełnionywarunek zbieżności tego szeregu(patrz tekst Teoria9): q <, należy więc rozwiazać nierówność x 2 2 <,
38 8 czyli nierówność x 2 2 <, równoważnanierówności x 2 2 >. Oczywiściemusibyćteżspełnionywarunek: x 2 2 0(wmianownikużadnego ułamka nie może pojawić się zero). Ostatecznie zbiór D znajdujemy rozwiazuj ac układdwóchnierówności: { x 2 2 0, x 2 2 >. Rozwiazujemy je kolejno. I. x Mamy: x 2 2, więc rozwi azanie mapostać: x (, 2 ) ( ) ( ) 2, 2 2,+. czyli II. x 2 2 >.Tanierównośćjestrównoważnaalternatywienierówności: x 2 2> lub x 2 2<, x 2 > lub x 2 <. Rozwiazaniempierwszejnierównościjestzbiór (, ) (,+ ),zaśdrugiej - przedział(, ). Ostatecznie więc x (, ) (,) (,+ ). Dziedzina D równania jest częściawspóln azbiorówotrzymanychwpunktachii II: [( D=, ) ( 2 2, ) ( )] 2 2,+ [(, ) ( )] (,),+, wkońcuwięc D= (, ) ( ) (,),+. Możemy teraz przystapićdorozwi azywania równania(*). Lewa stronę obliczamy stosujac wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego(patrz rekst Teoria9). Równanie przybiera postać: ( )=2, x 2 2
39 9 czyli czyli ast adotrzymujemy: x 2 =0,czylix=0. Odpowiedź: x=0. x 2 2 x 2 =2, x 2 2=2x 2 2, ZADANIE4. Rozwi azać nierówność x+2 + 2x+ (x+2) 2+(2x+)2 (x+2) +(2x+) , (**) (x+2) wktórejlewastronajestsum a nieskończonego szeregu geometrycznego zbieżnego. Rozwiazanie. Znajdujemy najpierw dziedzinę D nierówności. Lewa strona powyższej nierówności jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego x+2 + 2x+ (x+2) 2+(2x+)2 (x+2) +(2x+) (x+2) x+ o pierwszym wyrazie a = oraz ilorazie q =. Musi być spełniony x+2 x+2 warunek zbieżności tego szeregu(patrz tekst Teoria9): q <, należy więc rozwiazać nierówność 2x+ x+2 <, która jest równoważna układowi nierówności: 2x+ x+2 >, 2x+ x+2 <. Rozwiazujemy je kolejno. I. 2x+ x+2 >.Mamykolejno: 2x+ x+2 >,
40 2x+ x+2 +>0, x+ x+2 >0, x+ x+2 >0. Licznik lewej strony tej nierówności równy jest zeru, gdy x =, zaś mianownik równy jest zeru, gdy x = 2. Układamy tabelkę( siatkę znaków ): Z tabelki widać, że wyrażenie x+ x+2 (, 2) (,+ ). x 2 x+ 0 + x x+ x II. 2x+ x+2 <.Mamykolejno: 2x+ x+2 <, 40 jest dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x 2x+ x+2 <0, x x+2 <0. Liczniklewejstronytej nierównościrównyjestzeru, gdyx=, zaś mianownik równy jest zeru, gdy x = 2. Układamy tabelkę( siatkę znaków ): x 2 x 0 + x x x Ztabelkiwidać,żewyrażenie x x+2 jestujemnewtedyitylkowtedy,gdyx ( 2,). Dziedzina D nierówności jest częściawspóln a zbiorów otrzymanych w punktach IiII: D=[(, 2) (,+ )] ( 2,),
41 4 wkońcuwięc D=(,). Możemy teraz przystapićdorozwi azywania nierówności(**). Lewa stronę obliczamy stosujac wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego(patrz rekst Teoria9). Nierówność przybiera postać: ( x+2 ), 2x+ x+2 czyli czyli czyli czyli x+2 x+ x+2, x 0, +x x x 2 x 0, Liczniklewejstronytejnierównościrównyjestzeru,gdyx= 2,zaśmianownikrówny jest zeru, gdy x =. Układamy tabelkę( siatkę znaków ): 2 x x x x 2 x Z tabelki widać, że wyrażenie x 2 ) x 2,. jest nieujemne wtedyitylkowtedy, gdyx
42 42 Należy teraz znaleźć część wspólna wyznaczonego zbioru oraz wyznaczonej wcześniej dziedziny D nierówności: ) ) ) D, =(,), =,. Odpowiedź: x ) 2,.
Zadania5-lokatyikredyty. Rozwi azania Przykładowe(typowe) zadania
Zadania5-lokatyikredyty. Rozwi azania Przykładowetypowe) zadania ZADANIE. Pan X wpłacił 000 zł do banku na czteroletni a lokatę oprocentowana w wysokości 8% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału
Bardziej szczegółowoSprawdzian 4- lokaty i kredyty
Sprawdzian 4- lokaty i kredyty Przykładowetypowe) zadania ZADANIE. Pan X wpłacił 000 zł do banku na czteroletni a lokatę oprocentowana w wysokości 8% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w końcu
Bardziej szczegółowoCIAGI- sprawdziany i kartkówki. klasa II 2018/19. Adam Stachura
CIAGI- sprawdziay i kartkówki klasa II 08/9 Adam Stachura Kartkówka. Ci agi- przykładowe zadaia ZADANIE. Zbadać mootoiczość ciagua ), N,gdziea = +4 4. Rozwiazaie. Obliczamyróżicęa + a : a + a = +)+4 4+)
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY- sprawdziany i kartkówki. klasa II 2018/19. Adam Stachura
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY- sprawdziany i kartkówki klasa II 08/9 Adam Stachura Sprawdzian. Granice funkcji- przykładowe zadania ) 8 ZADANIE. Obliczyć granicę. 4 +6 4 Rozwiazanie. Dziedzina funkcji, której granice
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa V. Ciągi
Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 9 Zadania ciągi
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Dany jest ciąg (a n) określony wzorem a n = (-1) n dla n 1. Wówczas wyraz a3 tego ciągu jest równy: A. B. C. - D. - 2. (2p) Ile wyrazów ujemnych ma ciąg określony wzorem a n = n
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoS n = a 1 1 qn,gdyq 1
Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoCzym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,
Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowo(x 1), 3 log 8. b) Oblicz, ile boków ma wielokat wypukły, w którym liczba przekatnych jest pięć razy większa od liczby boków.
ZADANIE 1 Długości boków trójkata tworza trzy kolejne wyrazy ciagu arytmetycznego o różnicy 1. Oblicz długości boków tego trójkata, jeśli jego pole wynosi 0, 75 15. ZADANIE 2 Pierwszy, trzeci i jedenasty
Bardziej szczegółowoCiągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math)
Ciągi Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Spis treści 1 Ciągi liczbowe 1 1.1 Podstawowe własności ciągów................... 2 1.2 Granica ciągu............................
Bardziej szczegółowoDany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5.
Zadanie 1 Dany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Zadanie 2 Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5. Zadanie 3 Dany jest ciąg o wzorze ogólnym, gdzie. Piąty
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie
Bardziej szczegółowoINDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. wrzesień Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie wrzesień 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień 2017 1 / 40 Spis treści 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo2 n, dlannieparzystego. 2, dla n parzystego
1. a) Podaj pięć wyrazów ciągu: a n = n 2 +n, b n = { 1 2 n, dlannieparzystego 2, dla n parzystego b)którezwyrazówciągu b n =(n 2 1)(n 2 5n+6) sąrównezero? c)danyjestciąg a n =n 2 6n. Którewyrazyciągusąmniejszeod10?
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16
Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności
Bardziej szczegółowoKURS MATURA PODSTAWOWA
KURS MATURA PODSTAWOWA LEKCJA Liczby rzeczywiste ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona Część : TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie Ile liczb całkowitych należy do przedziału,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoPRACA KLASOWA - CIĄGI
PRACA KLASOWA - CIĄGI Zadanie. (pkt) Który z podanych ciągów jest ciągiem arytmetycznym? A., -,,,4,7,9,,4,7, C. 7,4,,8,5,,-,-4, B.,,4,8,6,3,64,8, D.,,4,7,,6,,9,. Zadanie. (pkt) W ciągu geometrycznym. Trzeci
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3
ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.
Bardziej szczegółowo11. Liczby rzeczywiste
. Liczby rzeczywiste Zdający: Wymagania, jakie stawia przed Tobą egzamin maturalny z przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem
Bardziej szczegółowoSuma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI CIAGI ARYTMETYCZNE ZADANIE 1 Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciagu arytmetycznego jest równa 42, zaś suma kwadratów wyrazów drugiego
Bardziej szczegółowomgr A. Piłat, mgr M. Małycha n 2 b n = (n 2 1)(n 2 5n+6)
1. a) Podaj pięć wyrazów ciągu: a n = n 2 +n, b n = n 2 { 1 (n+1)!, c n = 2, dla n nieparzystego n 2, dla n parzystego b)którezwyrazówciągusąrównezero: a n = 1+( 1)n 2n 1, b n = (n 2 1)(n 2 5n+) c)danyjestciąg
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15
Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z
Bardziej szczegółowoWZÓR OGÓLNY CIĄGU GEOMETRYCZNEGO
WZÓR OGÓLNY CIĄGU GEOMETRYCZNEGO, to ciąg, którego kolejne wyrazy powstają poprzez mnożenie poprzednich wyrazów przez liczbę, którą nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy: q Do opisu ciągu
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.
W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoPOZIOM ROZSZERZONY 4 CZERWCA (x 3) 2. Sposób I. x 6.
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI (TERMIN DODATKOWY) POZIOM ROZSZERZONY 4 ZERWA 01 ZAS PRAY: 180 MINUT ZADANIE 1 (5 PKT) Rozwiaż nierówność x + 4x+4 11 x 6x+9 Łatwo zauważyć, że pod każdym z pierwiastków
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11
Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba k jest podzielna
Bardziej szczegółowoZADANIE 1. NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 1 Na budowę domu możesz zaciagn ać pożyczkę w wysokości 63450 e. Do wyboru sa dwa warianty spłaty: I w każdym miesiacu spłacasz równe raty, każda w wysokości 2% pożyczonej kwoty. II pierwsza rata
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące w Warszawie
I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 3 KWIETNIA 016 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 3 7 48 jest równa
Bardziej szczegółowoCiagi liczbowe wykład 4
Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoOLIMPIADA MATEMATYCZNA
OLIMPIADA MATEMATYCZNA Na stronie internetowej wwwomgedupl Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów (OMG) ukazały się ciekawe broszury zawierające interesujące zadania wraz z pomysłowymi rozwiązaniami z
Bardziej szczegółowod) a n = e) a n = n 3 - n 2-16n + 16 f) a n = n 3-2n 2-50n +100
Ciągi - zadania Zad. 1 Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu (a n ) określonego wzorem a) a n = 3n + 2 b) a n = (n - 2)n c) a n = n 2-4 d) a n =n e) a n = f) a n = g) a n =(-1) n 2 n+3 h) a n = n - 2
Bardziej szczegółowo1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.
1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. A Najłatwiejszym sposobem jest rozpatrzenie wszystkich odpowiedzi
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej
RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL Podstawy matematyki szkolnej WAŁBRZYCH 01 Spis treści 1 Wstęp Równania stopnia drugiego.1 Teoria i przykłady............................. Podstawowe wzory skróconego
Bardziej szczegółowo1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO
2016-09-01 MATEMATYKA KLASA II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO SZKOŁY BENEDYKTA Ramowy rozkład materiału Klasa II I. Trójmian kwadratowy II. Wielomiany III. Funkcja wymierna IV. Funkcje dowolnego argumentu V.
Bardziej szczegółowoGranice ciągów liczbowych
Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1
Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY
Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr Etapy rozwiązania zadania czynności Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoProcenty % % oznacza liczbę 0, 01 czyli / 100
% oznacza liczbę 0, 01 czyli / 100 p p % oznacza iloczyn p 0,01 100 Procenty % Wyrażenie p % liczby x oznacza iloczyn 1 Łacińskie pro cent oznacza na 100 Stosuje się także oznaczający 0,001 Łacińskie pro
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoMatematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny
Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA I 1.Liczby rzeczywiste 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowona egzaminach z matematyki
Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoPierwiastki arytmetyczne n a
Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne
Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego
Bardziej szczegółowox 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:
RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum
1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł
Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowo