Kombinatoryka. Karolina Lewalska 23 marca 2017

Transkrypt

1 Kombiatoryka Karolia Lewalska 23 marca 2017 Zadaie 1 Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? Ile istieje liczb sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 9 sposobów, poieważ liczba ie może zaczyać się od zera, każdą astępą wybieramy a 10 sposobów = Istieje liczb aturalych sześciocyfrowych Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 9 sposobówi, poieważ liczba ie może zaczyać się od zera, cyfrą setek jest 6, czyli tylko jeda możliwoć, a kwszystkie pozostałe wybieramy a 10 sposobów = Istieje liczb aturalych sześciocyfrowych spełiających poday waruek. Zadaie 2 Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych o ie powtarzających się cyfrach? Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych o ie powtarzających 1

2 się cyfrach takich, w których cyfra setek to 6? Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 9 możliwości, poieważ liczba ie może zaczyać się od zera, drugą cyfrę wybieramy rówież a 9 sposobów, poieważ ie możemy wybrać cyfry z pierwszego miejsca, ale możemy zero, trzecią cyfrę wybieramy a 8 sposobów, bo ie możemy wybrać dwóch które już zostały wybrae i każdą astępą aalogiczie = Istieje liczb aturalych sześciocyfrowych spełiających poday waruek Pierwszą cyfrę możemy wybrać a 9 możliwości, poieważ liczba ie może zaczyać się od zera, drugą cyfrę wybieramy rówież a 9 sposobów, poieważ ie możemy wybrać cyfry z pierwszego miejsca, ale możemy zero, cyfra setek to 6, czyli tylko jeda możliwość, trzecią cyfrę wybieramy a 8 sposobów, bo ie możemy wybrać dwóch które już zostały wybrae i każdą astępą aalogiczie = Istieje liczb aturalych sześciocyfrowych spełiających podae waruki. Zadaie 3 Ile liczb trzycyfrowych zawiera 3 lub 7? 2

3 Najpierw liczymy ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych (aalogiczie jak w Zad = Następie liczymy ile jest liczb ie zawierających ai 3 ai 7. Pierwszą cyfrę wybieramy a 7 sposobów, bo be 0, 3 i 7, a pozostałe a 8, bo bez 3 i = = 452 Od wszystkich mozliwych liczb trzycyfrowych odejmujemy te co ie zawirają ai 3 ai 7. W te sposób otrzymujemy liczbę liczb zawierających 3 lub 7. Istieją 452 liczby trzycyfrowe zawierające 3 lub 7. Zadaie 4 Ile liczb czterocyfrowych zawiera 0, 3 lub 7? Najpierw liczymy ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych (aalogiczie jak w Zad = Następie liczymy ile jest liczb ie zawierających ai 0 ai 3 ai 7. Każdą liczbę wybieramy a 7 sposobów, bo bez 0, 3 i = = 6599 Od wszystkich mozliwych liczb trzycyfrowych odejmujemy te co ie zawirają ai 3 ai 7. W te sposób otrzymujemy liczbę liczb zawierających 3 lub 7. Istieje 6599 liczb czterocyfrowych zawierających 0, 3 lub 7. 3

4 Zadaie 5 Grupa zajomych przyszła do ciastkari, w której było osiem rodzajów ciastek. Każdy kupił jedo ciastko. Z ilu osób składa się grupa jeśli wiadomo, że mogło być 512 różych możliwości wyboru? -liczba osób }{{} Były 63 osoby. Każda osoba ma 8 możliwości wyboru ciastka. 8 = 512 = 3 Zadaie 6 W kawiari, do której przyszło siedem osób było dziesięć gatuków ciastek. Każdy kupił jedo ciastko, przy czym każdy kupił ciastko iego rodzaju. Na ile sposobów moża było kupić ciastka? Pierwsza osoba ma 10 możliwości wyboru ciastka, druga już tylko 9, bo ie może wybrać tego ciastka co wybrała pierwsza, każda astępa aalogiczie. Moża było kupić ciastka a 10*9*8*7*6*5*4 sposobów. Zadaie 7 Na ile różych sposobów moża ustawić 24 osoby w szereg tak, by a dae trzy osoby stały obok siebie b dae dwie osoby ie stały obok siebie c między daymi dwiema osobami stały dokładie 4 ie osoby? a = 3! Najpierw policzymy a ile sposobów 3 osoby mogą zająć 3 miejsca. Pierwsza ma do wyboru 3, druga 2, a trzecia już tylko 1 miejsce. 4

5 A B C }{{} 21 }{{} A B C 21 Następie musimy sprawdzić a ile sposobów możemy ustawić trójkę wewątrz szeregu. Pierwsza opcja- A stoi a pierwszym miejscu, ostatia opcja- A stoi a 22 miejscu. Stąd cała trójka może się ustawić wewątrz szeregu a 22 sposoby. 3! 22 21! = 3! 22! Musimy jeszcze ustawić pozostałe 21 osób. Jest możliwe a 21! sposóbów. b 24! Możliwości ustawieia w szereg 24 osób. 2! 23! Liczymy ile jest możliwości ustawieia 24 osób, tak aby dae dwie stały obok siebie (aalogiczie jak w pukcie a 24! (2! 23! Od wszystkich możliwości odejmujemy te które ie pasują. Zadaie 8 W grupie liczącej 6 chłopców i 4 dziewczęta rozlosowao 5 biletów do teatru. Na ile sposobów moża rozlosować bilety? Na ile sposobów moża je rozlosować tak, aby co ajmiej dwa przypadły dziewczętom? ( 10 5 ( ( ( 4 3 ( ( 4 4 ( 6 1 ( ( ( ( ( ( Ze wszystkich 10 osób wybieramy 5, które dostaą bilety. ( 10 = 10! 5 5! 5! = 252 Rozpatrujemy 3 opcje: bilety dostaja 2 dziewczyki i 3 chłopców lub 3 dziewczyki i 2 chłopców lub 4 dziewczyki i 1 chłopiec. = 4! 2! 2! 6! 3! 3! + 4! 3! 1! 6! 2! 4! + 4! 4! 0! 6! 1! 5! = 186 5

6 Zadaie 9 Zaa jest zabawka dla dzieci, składająca się z dwuastu sześcieych klocków z aklejoymi a ściakach fragmetami obrazków. Na ile sposobów moża ułożyć te klocki w prostokąt (trzy rzędy po cztery klocki w rzędzie? 12! 12 klocków umieszczamy w 12 miejscach a 12! sposobów Z każdego klocka wybieramy jedą ściakę, więc mamy po 6 możliwości Każdy klocek możemy obrócić a 4 sposoby. 12! Zadaie 10 W turieju szachowym bierze udział 26 zawodików. W pierwszym etapie każdy zawodik gra z każdym. Ile di trzeba przezaczyć a te etap, jeżeli każdego dia może zostać rozegraych 25 partii? ( 26 2 = ! = Aby policzyć liczbę partii, musimy policzyć ile par da się utworzyć z 26 2! 24! uczestików. Iymi słowy, sprawdzamy a ile sposobów z 26 osób możemy wybrać = Na te etap trzeba przezaczyć 13 di. Zadaie 11 Zebrało się 20 szachistów z kraju A i 15 i z kraju B. Mają do dyspozycji 9 szachowic. Na ile różych sposobów moża dobrać szachistów do rozegraia pierwszej partii, jeli przeciwicy muszą pochodzić z różych krajów? ( 20 9 Z kraju A wybieramy 9 zawodików. 6

7 ( 15 9 Z kraju B wybieramy 9 zawodików. 9! Każdego zawodika z wybraych 9 z kraju A łączymy z jedym z wybraych z kraju B. (Pierwszy z A ma do wyboru dziewiąciu z B, drugi ośmiu, itd Zadaie 12 ( 20 9 ( 15 9 Trzeba wytypować delegację zlożoą z trzech dziewcząt i dwóch chłopców. Ile takich delegacji moża utworzyć, jeli w klasie jest 18 dziewcząt i 12 chłopców? ( 18 3 ( 18 3 ( 12 2 Zadaie 13 9! Wybieramy 3 dziewczyki. Do dziewczyek dobieramy 2 chłopców. Ile jest fukcji ze zbioru {1, 2, 3} w zbiór {1, 2, 3, 4}, które a są różowartościowe b ie są różowartościowe a f(1 4 opcje f(2 3 opcje f(3 2 opcje Fukcja ma być różowartościowa, więc f(2 ie może przyjąć wartości f(1, a f(3 ie może przyjąć wartości f(2 i f( = 24 b Liczymy ile jest wszystkich możliwych fukcji i odejmujemy te różowartościowe (z podpuktu a. 7

8 Zadaie 14 Ile jest fukcji f ze zbioru {x, y, z} w zbiór {1,..., }? Ile sporód ich spełia waruek f(x = 3? Ile spełia waruek f(x f(z? = 3 f(x, f(y i f(z mają opcji. 1 = 2 f(x ma tylko jedą opcję, a f(y i f(z mają opcji. ( 1 = 2 ( 1 f(x, f(y mają opcji, a f(z ma -1 opcji, bo ie może mieć tej samej wartości co f(x. Zadaie 15 Ile jest fukcji f ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5} w zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Ile sporód ich spełia waruek f(2 f(4? Ile spełia waruek f(2 = f(4 = 3? = 7 5 Każdemu elemetowi z pierwszego zbioru możemy przyporządkować jede z 7 z drugiego zbioru = f(4 może przyjąć jedą z 6 wartości (bo ie może przyjąć tej samej co f(2, a wszystkie pozostałe mają po 7 możliwości = 7 3 f(2 i f(4 mają tylko jedą możliwość, a pozostałe po 7. Zadaie 16 Ile jest fukcji różowartościowych f ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5} w zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Ile sporód ich spełia waruek f(2 = 2? Ile spełia waruek f(2 f(2? f(1 ma 7 możliwości, f(2 ma 6 (ie może mieć tej samej co f(1, itd f(1 ma 7 możliwości, f(2=2, więc ma jedą możliwość, f(3 ma 5 (bo bez wartości f(1 i 2, itd. 8

9 Rozpatrujemy dwa przypadki f(1 2, więc ma 6 możliwości, f(2 ma 5, bo bez 2 i bez wartości f(1, f(3 też ma 5 możliwości, bo bez wartości f(1 i f(2, ale z możliwą 2, f(4 ma 4 możliwości, a f(5 ma 3 możliwości f(1=2, więc ma jedą możliwość, f(2 ma 6, bo bez 2, f(3 ma 5, itd. Zadaie 17 Na ile sposobów moża rozsadzić: a 3 osoby a 3-osobowej karuzeli; b 4 osoby a 4-osobowej karuzeli; c osób a -osobowej karuzeli? = 2160 UWAGA: dwa rozsadzeia uważamy za róże, jeżeli jeda osoba ma z co ajmiej jedej stroy iego sąsiada. a A C B 2 1 = 2! Osoba A siada a karuzeli jako pierwsza. Nie ma zaczeia a którym miejscu usiądzie, poieważ gdy karuzela się obróci to A zajdzie się w iym miejscu. Jako druga siada B, ma do wyboru dwa miesjca (za A albo przed A. C ma do wyboru już tylko jedo miejsce. 9

10 b = 3! Osoba A siada a karuzeli jako pierwsza. Nie ma zaczeia a którym miejscu usiądzie, poieważ gdy karuzela się obróci to A zajdzie się w iym miejscu. Jako druga siada B, ma do wyboru 3 miesjca. C ma do wyboru 2 miejsca, a D już tylko jedo. c ( 1! Miejsce pierwszej osoby ie ma zaczeia. Druga ma do wyboru wszystkie pozostałe, czyli -1, a każda astępa ma do wyboru o jedo miej. Zadaie 18 Na ile sposobów moża podzielić grupę 8-osobową a dwie grupy: 5-osobową i 3-osobową? Na ile sposobów moża podzielić tę grupę a dwie grupy 4- osobowe? (kolejość grup i uporządkowaie osób w grupie ie ma zaczeia ( ( ( ( = ( 8 5 = ( 8 4 Z ośmiu osób wybieramy 5 do pierwszej grupy i z pozostałych trzech wybieramy 3 do drugiej grupy. Z ośmiu osób wybieramy 4 do pierwszej grupy i z pozostałych trzech wybieramy 4 do drugiej grupy. Zauważmy jedak, że w te sposób policzylimy za dużo wyborów, bo gdy do jedej grupy weźmiemy osoby A, B, C i D, a do drugiej W, X, Y i Z, to to to jest te sam wybór, gdybyśmy do pierwszej grupy wzięli osby W, X, Y i Z, a do drugiej A, B, C i D. ( 8 4 2! Musimy więc policzyć ile razy powtórzylimy te wybory. Są dwie grupy więc mogą się oe ustawić w różych kolejociach a 2! sposobów. 10

11 Zadaie 19 Na ile sposobów moża 5 par sporód 10 osób? ( 10 2 ( 8 2 ( 6 2 ( 4 2 ( 2 2 5! Z 10 osób wybieramy 2, z pozostałych koleje dwie itd. Wszystko dzielimy przez liczbę możliwych ustawień pięciu par (aalogiczie jak w Zad.18 Zadaie 20 Komedat policji ma do dyspozycji 15 policjatów. Na ile sposobów może sporód tych policjatów utworzyć cztery patrole dwuosobowe? Na ile sposobów może utworzyć dwa patrole dwuosobowe i trzy trzyosobowe? ( 15 2 ( 13 2 ( 11 2 ( 9 2 4! ( 15 2 ( 13 2 ( 11 3 ( 8 3 ( 5 3 2! 3! Aalogiczie jak w poprzedich zadaiach, z 15 policjatów wybieramy 2, z pozostałych 2 itd. Wszystko dzielimy przez liczbę możliwych ustawień czterech par. Aalogiczie jak w poprzedich zadaiach, z 15 policjatów wybieramy 2, z pozostałych 2 lub 3 (tak aby utworzyć grupy podae w zadaiu. Wszystko dzielimy przez liczbę możliwych ustawień 2 par i 3 grup. Zadaie 21 Na ile sposobów moża podzeilić grupę 30-osobową a 7 grup: trzy 4-osobowe, dwie 3-osobowe, jedą 7-osobową oraz jedą 5-osobową? ( 30 4 ( 26 4 ( 22 4 ( 18 3 ( 15 3 ( 12 7 ( 5 5 3! 2! 1! 1! Aalogiczie jak w poprzedich zadaiach, z 30 osób wybieramy odpowiedie grupy i dzielimy przez liczbę ich możliwych ustawień. 11

12 Zadaie 22 Dzieci bawią się klockami a których wyrzeźbioe są litery. Układają klocki jede obok drugiego. Ile różych słów mogą utworzyć (wykorzystując wszystkie klocki, gdy układaka składa się z liter słowa: a MARCHEW b ANALFABETA c MATEMATYKA d KONSTANTYNOPOLITAŃCZYKIEWICZÓWNA a MARCHEW 7! W wyrazie MARCHEW mamy do dyspozycji 7 różych liter. Możemy je ustawić a 7! sposobów. b ( ANALFABETA ! W wyrazie ANALFABETA mamy 10 liter, z czego 4 to A. Wybieramy ajpierw 4 miejsca a A, a astępie ustawiamy pozostałe litery. c ( MATEMATYKA ( ( ! W wyrazie MATEMATYKA mamy 10 liter, z czego 3 to A, 2 to M i 2 to T. Wybieramy ajpierw 4 miejsca a A, 2 miejsca a M, 2 a T, a astępie ustawiamy pozostałe litery. d KONSTANTYNOPALITAŃCZYKIEWICZÓWNA 32 litery: 4xN, 3xA, 3xI, 3xO, 3xT, 2xC, 2xK, 2xW, 2xY, 2xZ, 1xE, 1xL, 1xŃ, 1xÓ, 1xP, 1xS ( 32 4 ( 28 3 Zadaie 23 ( 25 3 ( 22 3 ( 19 3 ( 16 2 ( 14 2 ( 12 2 ( 10 2 ( 8 6! 2 Wykazać, że wśród dowolych 12 liczb zajdują się dwie, których różica jest podziela przez 11. Liczymy reszty z dzieleia przez 11 wszystkich dwuastu liczb. Umieszczamy liczby w szufladkach w zależości od reszty. Mamy więc 11 szufladek. Z zasady szufladkowej, w jedej szufladce (s muszą zaleźć się co 12

13 ajmiej dwie liczby postaci a = 11k + s i b = 11t + s. a b = 11k + s (11t + s = 11k + 11t liczba podziela przez 11 Zadaie 24 Niech A będzie ustaloym dziesięcioelemetowym podzbiorem zbioru {1, 2, 3,..., 50}. Wykazać, że w zbiorze A istieją dwa róże pięcioelemetowe pozdbiory takie, że sumy elemetów każdego z ich są rówe. ( 10 5 Liczymy ile jest możliwych 5- elemetówych podzbiorów. l{x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 } = B A 15 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x Z tego wyika, że mamy 226 możliwych sum. Wszystkie podzbiory umieszczamy w szufladkach w zależoci od sumy elemetów. Skoro rozkładamy 252 podzbiory w 226 szufladkach, to w jedej szufladce muszą zaleźć się co ajmiej 2 podzbiory. Zadaie 25 Ile liczb całkowitych ze zbioru {1, 2, 3,..., 1000} dzieli się przez 7 lub 13? D 7 = 1000 = 142 Liczymy ile w tym zbiorze jest liczb 7 podzielych przez 7. D 13 = 1000 = 76 Liczymy ile jest liczb podzielych 13 D 7 D 13 = D 91 = Zadaie 26 przez 13. = 10 Niektóre liczby są podziele zarówo przez 9 i przez 13, zatem policzylimy je dwukrotie, więc musimy je odjąć. D 7 D 13 = = 208 Ile liczb całkowitych z przedziału od 0 do 349 ie jest podzielych ai przez 4 ai przez 7? 13

14 D 4 = = = 88 Liczymy ile w zbiorze {1, 2,..., 349} 4 jest liczb podzielych przez 4 i dodajemy 1, bo 0 też jest podziele przez 4. D 7 = = = 50 Liczymy ile w zbiorze {1, 2,..., 349} jest liczb podzielych przez 7 i dodajemy 1, bo 0 też jest podziele przez 7. D 4 D 7 = D 28 = = = 13 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 4 i 7. D 4 D 7 = = = 225 Od wszystkich 350 liczb ze zbioru odejmujemy te podziele porzez 4 lub 7. Zadaie 27 Ile liczb całkowitych z przedziału od 0 do 538 jest podzielych przez 5 lub 7 lub 9? D 5 = = 108 Liczymy ile w tym zbiorze jest liczb 5 podzielych przez 5. D 7 = = 77 Liczymy ile jest liczb podzielych 5 D 9 = przez = 60 Liczymy ile jest liczb podzielych przez = 16 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 5 i = 12 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 5 i = 9 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 7 i 9. Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 5, 7 i 9. D 5 D 7 = D 35 = D 5 D 9 = D 45 = D 7 D 9 = D 63 = D 5 D 7 D 9 = D 315 = = 2 D 5 D 7 D 9 = =

15 Zadaie 28 Ile liczb aturalych ze zbioru {21, 22, 23,..., 2000} jest podzielych przez 9, 11, 13 lub 15? 15

16 {21,..., 2000} = {1,..., 2000} {1,..., 20} Zauważmy, że poday zbiór ie zaczya się od 1, jest więc różicą dwóch zbiorów. D 9 = = = 220 Liczymy ile w tym zbiorze jest 9 9 liczb podzielych przez 9. D 11 = = = 180 Liczymy ile w tym zbiorze jest liczb podzielych przez 11. D 13 = = = 152 Liczymy ile w tym zbiorze jest liczb podzielych przez 13. D 15 = = = 132 Liczymy ile w tym zbiorze jest liczb podzielych przez 15. D 9 D 11 = D 99 = = 20 Liczymy ile jest liczb podziel D 9 D 13 = D 117 = D 9 D 15 = D 45 = D 11 D 13 = D 143 = D 11 D 15 = D 165 = D 13 D 15 = D 195 = D 9 D 11 D 13 = D 1287 = D 9 D 11 D 15 = D 495 = ych zarówo przez 9 i 11. = 17 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9 i 13. = 44 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9 i 15 (UWAGA 9 i 15 ie są względie pierwsze, więc bieżemy ajmiejszą wspólą wielokrotość. = 13 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 11 i 13. = 12 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 11 i 15. = 10 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 13 i 15. Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9, 11 i 13. = 4 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9, 11 i 15 (9 i 15 ie są względie pierwsze! = D 9 D 13 D 15 = D 585 = = 3 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9, 13 i D 11 D 13 D 15 = D 2145 = = Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 11, 13 i D 9 D 11 D 13 D 15 = D 6435 = 2000 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 9, 11, 13 i = D 9 D 11 D 13 D 15 = ( ( =

17 Zadaie 29 Ile liczb aturalych ze zbioru {99, 100, 101,..., 3456} ie jest podzielych ai przez 6 ai przez 7 ai przez 9? {99,..., 3456} = {1,..., 3456} {1,..., 98} Zauważmy, że poday zbiór ie zaczya się od 1, jest więc różicą dwóch zbiorów. D 6 = = = 560 Liczymy ile w tym zbiorze jest 6 6 liczb podzielych przez 6. D 7 = = = 479 Liczymy ile w tym zbiorze jest 7 7 liczb podzielych przez 7. D 9 = = = 374 Liczymy ile w tym zbiorze jest 9 9 liczb podzielych przez 9. D 6 D 7 = D 42 = = 80 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6 i D 6 D 9 = D 18 = = 187 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6 i 9 (6 i ie są wględie pierwsze!. D 7 D 9 = D 63 = = 53 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 7 i D 6 D 7 D 9 = D 126 = = 27 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6, 7 i D 6 D 7 D 9 = ( = = 3358 Liczymy ile jest elemtów z zbiorze = 2238 Następie odejmujemy te które ie pasują. Zadaie 30 Ile liczb całkowitych z przedziału {444,..., 4444} ie jest podzielych ai przez 6 ai przez 8 ai przez 9? 17

18 {444,..., 4444} = {1,..., 4444} {1,..., 443} Zauważmy, że poday zbiór ie zaczya się od 1, jest więc różicą dwóch zbiorów. D 6 = = = 667 Liczymy ile w tym zbiorze jest 6 6 liczb podzielych przez 6. D 8 = = = 500 Liczymy ile w tym zbiorze jest 8 8 liczb podzielych przez 8. D 9 = = = 444 Liczymy ile w tym zbiorze jest 9 9 liczb podzielych przez 9. D 6 D 8 = D 24 = = 167 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6 i 8 (6 i ie są wzgledie pierwsze!. D 6 D 9 = D 18 = = 222 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6 i 9 (6 i 9 ie są wględie pierwsze!. D 8 D 9 = D 72 = = 55 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 7 i D 6 D 8 D 9 = D 72 = = 55 Liczymy ile jest liczb podzielych zarówo przez 6, 8 i D 6 D 8 D 9 = ( = = 4001 Liczymy ile jest elemtów z zbiorze = 2979 Następie odejmujemy te które ie pasują. Zadaie 31 W kolejce do kia stoi osób (kolejość ie zmieia się. Osoby te wpuszczae są do kia w k grupach, z których każda składa się z jedej lub więcej osób. Na ile sposobów moża utworzyć tych k grup? 18

19 ( 1 k 1 Będziemy rozdzielać grupy parierkami. Gdy w kolejce stoi osób, możemy postawić barierkę w -1 miejscach (przy dwóch osobach tylko w jedym: między pierwszą, a drugą; przy trzech osobach w dwóch miejscach: między pierwszą a drugą i między drugą a trzecią; itd.. Żeby podzielić kolejkę a k grup potrzebujemy k-1 barierek. Zatem z -1 możliwych miejsc między ludźmi wybieramy k-1 a barierki. Zadaie 32 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 9, gdzie x i jest dodatią liczbą całkowitą? ( ( = jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 6 grup jak w poprzedim zadaiu. Każda grupa odpowiada wartości x i. Zadaie 33 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 9, gdzie x i jest ieujemą liczbą całkowitą? y i = x i + 1 x i 0 y i = 1 Zwróćmy uwagę a to, że x i jest luczbą ieujemą, a ie dodatią. Zatem, gdy jakieś x i = 0 musimy postawić dwie barierki w tym samym miejscu. Nie możemy tak zrobić, więc zamieiamy ieujeme x i a dodatie y i x x x x x x = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 15 19

20 ( ( = 14 5 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedim zadaiu. 15 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 6 grup. Każda grupa odpowiada wartości y i. Liczby rozwiązań pierwszego i drugiego rówaia są rówe. Zadaie 34 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 31, gdzie x 1 1, x 2 2, x 3 3, x 4 4, x 5 5, x 6 6 to liczby całkowite? y 1 = x 1 y 2 = x 2 1 y 3 = x 3 2 y 4 = x 4 3 y 5 = x 5 4 y 6 = x 6 5 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x 1 + x x x x x 6 5 = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 16 ( ( = 16 5 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 16 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 6 grup. Każda grupa odpowiada wartości y i. Liczby rozwiązań pierwszego i drugiego rówaia są rówe. Zadaie 35 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 31, gdzie x 1 > 7, x 2 3, x 3 > 4, x 4 3, x 5 0, x 6 > 6 to liczby całkowite? 20

21 x 1 > 7 x 1 6 x 3 > 4 x 3 5 x 6 > 6 x 6 7 Zamieiamy wszystkie ierówości moce a słabe. y 1 = x y 2 = x 2 2 y 3 = x 3 4 y 4 = x y 5 = x y 6 = x 6 6 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x x x x x x 6 6 = 31 y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 31 ( ( = 30 5 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 31 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 6 grup. Zadaie 36 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 31, gdzie x 1 3, x 2 = 2, x 3 3, x 4 > 4, x 5 > 5, x 6 = 6 to liczby całkowite? x 4 > 4 x 4 5 x 5 > 5 x 5 4 Zamieiamy wszystkie ierówości moce a słabe. x 2 = 2 x 6 = 6 y 1 = x 1 2 y 3 = x y 4 = x 4 4 y 5 = x Podstawiamy zae wartości i w te sposób otrzymujemy rówaie z tylko 4 iewiadomymi. x x 3 + x 4 + x = 31 x 1 + x 3 + x 4 + x 5 = 31 8 = 23 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x x x x =

22 y 1 + y 3 + y 4 + y 5 = 26 ( ( = 25 3 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 26 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 4 grupy (według owego rówaia. Zadaie 37 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 = 17, gdzie x 1 4, x 2 = 3, x 3 > 2, x 4 = 1, x 5 5, x 6 > 1, x 7 > 2 to liczby całkowite? x 3 > 2 x 3 3 x 6 > 1 x 6 0 x 7 > 2 x 7 1 Zamieiamy wszystkie ierówości moce a słabe. x 2 = 3 x 4 = 1 y 1 = x 1 3 y 3 = x 3 2 y 5 = x 5 4 y 6 = x y 7 = x Podstawiamy zae wartości i w te sposób otrzymujemy rówaie z tylko 6 iewiadomymi. x x x 5 + x 6 + x 7 = 17 x 1 + x 3 + x 5 + x 6 + x 7 = 17 4 = 13 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x x x x x = 13 6 y 1 + y 3 + y 5 + y 6 + y 7 = 7 ( ( = 6 4 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 7 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 5 grup (według owego rówaia. 22

23 Zadaie 38 Ile jest rozwiązań rówaia x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 = 99, gdzie x 1 2, x 2 > 5, x 3 3, x 4 = 4, x 5 > 5, x 6 1, x 7 = 1 to liczby całkowite? x 2 > 5 x 2 4 x 5 > 5 x 5 6 x 4 = 4 x 7 = 1 Zamieiamy wszystkie ierówości moce a słabe. Podstawiamy zae wartości i w te sposób otrzymujemy rówaie z tylko 6 iewiadomymi. x 1 + x 2 + x x 5 + x 6 1 = 99 y 1 = x 1 1 y 2 = x y 3 = x 3 2 y 5 = x 5 5 y 6 = x x 1 + x 2 + x 3 + x 5 + x 6 = 99 3 = 96 Zamieiamy wszytskie x i a y i 1. x x x x x = 96 1 y 1 + y 2 + y 3 + y 5 + y 6 = 95 ( ( = 94 4 Liczymy liczbę rozwiązań owego rówaia aalogiczie jak w poprzedich zadaiach. 95 jedostek ustawiamy w kolejkę i dzielimy a 5 grup (według owego rówaia. Zadaie 39 Stosując każdą z podaych metod, pokazać, że ( ( ( a Zastosować rozwiięcie wyrażeia (1 + x 2 23 ( 2 = ( 2

24 b Rozważyć wybór osób ze zbioru 2 osób, który składa się z mężczyz i kobiet. c Zliczyć ajkrótsze drogi w odpowiediej kracie. b Sposób 1: ( 2 Wybieramy osób z 2 osób. Sposób 2: Wybór osób liczymy w zależoci od liczby wybraych kobiet. ( ( ( 0( 1 1.(..( ( ( 0 + Rozpatrujemy wszystkie przypadki. Zaczyamy od sytuacji, w której wybrao 0 kobiet i mężczyz, dalej wybrao 1 kobietę i -1 mężczyz i tak dalej, aż do wyboru kobiet i 0 mężczyz. ( ( ( ( ( ( = ( ( ( ( ( ( = = ( 2 ( 2 ( 2 = Ostateczie: ( ( 2 = 2 ( ( ( Zadaie 40 Pokazać, że: a ( ( k = k b ( ( ( +1 k = k k 1 c k ( ( k = 1 k 1 d ( ( ( ( +k 1 k 1 = k 1 0 k 1 + k 1 ( 1 k ( k 24 ( 1 k 1 0

25 e ( ( ( ( = 2 1 f ( ( ( ( ( ( 0( k k k k ( k 0 = 2 k ( k a W lososwaiu brało udział osób. K z ich otrzyma agrody. Na ile sposobów moża wyłoić zwycięzcę? Sposób 1: ( k Sposób 2: ( k Ostateczie: ( ( k = k. Z osób wybieramy k osób, które otrzymają agrody. Z osób wybieramy -k osób, które ie otzrymają agrodód. b Na pierwszym roku matematyki jest studetów zwykłych i jede starosta. Studeci piszą kolokwium z logiki w dwóch turach. W pierwszej turze może pisać k studetów. Na ile sposobów moża wybrać studetów piszących wcześiej? Sposób 1: ( +1 k Z +1 studetów wybieramy k studetów, którzy będą pisali w pierwszej turze. Sposób 2: Wybór ( studetów w zależoci od obecości starosty. k Najpierw rozpatrujemy wybór k studetów bez starosty. ( k 1 Ostateczie: ( ( ( +1 k = k + k 1. Następie wybór k studetów ze starostą. Starosta a pewo został wybray, więc dobieramy k-1 zwykłych studetów. c Sporód osób wybieramy drużyę k osób, składającą się z jedego kapitaa i zawodików. Na ile sposobów możemy to zrobić? 25

26 Sposób ( 1: k k Z osób wybieramy k osób do drużyy. Z wybraych osób wybieramy jedą, która będzie kapitaem. Sposób 2: ( 1 k 1 Ostateczie: k ( ( k = 1 k 1. Najpierw z osób wybieramy jedą, która będzie kapitaem, a stępie z pozostałych wybieramy k-1 zawodików. f studetów uzyskało z ćwiczeń z aalizy 51 puktów potrzebych do zaliczeia przedmiotu. k z ich było ambitych i przyszło a egzami. Wszyscy otrzymali lepsze ocey- 4 albo 5. Na ile sposobów mogli zostać oceiei studeci? Sposób 1: Liczymy ( ( według oce 0 k ( 1 ( k 1.(..( k 0 Sposób 2: ( k Rozpatrujemy wszystkie możliwe przypadki. Po kolei: ikt ie dostał 5, wszyscy, którzy przyszli dostali 4; jeda osoba dostała 5, reszta która przyszła dostała 4; itd aż do sytuacji, w której wszyscy, którzy przyszli, dostali 5, ikt ie dostał 4. Wybieramy k ambitych studetów. 2 k Każdy z ich ma dwie możliwoci ocey. Ostateczie: ( ( ( ( ( ( ( 0( k k k 2 ( + + k k 0 = 2 k k 26