Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone"

Transkrypt

1 Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych W starożytości okazało się, że zbiór liczb wymierych jest iewystarczający, bo ie ma takiej liczby wymierej, która byłaby długością przekątej kwadratu o boku 1. Doprowadziło to rozważaia liczb iewymierych, p.. W XVI wieku okazało się, że zbiór R liczb rzeczywistych jest też iewystarczający. Miaowicie odkryte wtedy metody rozwiązywaia rówań stopia wymagają iekiedy obliczeia pierwiastka liczby ujemej. Np. rówaie x = 15x + 4 moża obecie rozwiązać zauważając, że pierwiastkiem tego rówaia jest x = 4; dzieląc astępie x = 15x + 4 przez x 4, otrzymujemy x + 4x + 1 i łatwo obliczymy pozostałe pierwiastki tego rówaia, którymi są ±. Nie jest to jedak metoda, którą moża rozwiązać każde rówaie. W XVI wieku odkryto wzory a pierwiastki rówaia stopia, azywae obecie wzorami Cardaa. Na mocy tych wzorów rówaie x = 15x + 4 ma rozwiązaie wyrażające się wzorem: x = Te wzory wymagają obliczeia pierwiastka z liczby ujemej. Wśród liczb rzeczywistych pierwiastek z liczby ujemej jedak ie istieje. Wyjście z tej sytuacji zalezioo, zakładając istieie takich liczb jak 1. Nazwao je liczbami urojoymi, bo trudo było uzasadić ich byt. Stosowao do ich zwykłe prawa algebry. Na przykład, jeśli i ozacza 1, to 11 = 1 11 = 11 i. Moża także obliczyć, że: ( + i) = + 11 i, ( i) = 11 i, zatem x = = ( + i) + ( i) = 4. Spostrzeżeie, że rówaie x = ie ma rozwiązaia wymierego doprowadziło do rozważaia liczb, które teraz azywamy iewymierymi. Aalogiczie, skoro rówaie x = 1 ie ma rozwiązaia rzeczywistego, to wprowadzamy symbol i a ozaczeie pierwiastka rówaia x = 1. Na liczbach postaci a + b i, gdzie a, b R, azywaych liczbami zespoloymi, moża wykoywać działaia aalogiczie jak a liczbach postaci a + b. Pozostaje pytaie: czym właściwie jest i? Bo o ile jest długością przekątej kwadratu, to i ie ma tak prostej iterpretacji. Przez około 00 lat trwały spory o zasadość używaia liczby(?) i. Formale uzaie liczby zespoloe zyskały w XIX wieku, gdy Hamilto określił liczby zespoloe jako pary liczb rzeczywistych. Przedstawimy tę kostrukcję. Tworzymy iloczy kartezjański R R. Jego elemetami są pary liczb rzeczywistych. W zbiorze par wprowadzamy działaia dodawaia: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 1

2 i możeia (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). Parę z = (a, b) będziemy azywać liczbą zespoloą, a cały zbiór R R zbiorem liczb zespoloych. Będziemy go ozaczać literą C. Zbiór C z wprowadzoymi wyżej działaiami ma własości podobe do zbioru liczb rzeczywistych chodzi tu o własości działań: łączość, przemieość, istieie elemetu eutralego, przeciwego i odwrotego, oraz rozdzielość. Łatwo zauważyć, że para (0, 0) jest elemetem zerowym dodawaia, a para (1, 0) jest elemetem jedostkowym możeia. Rówież łatwo jest sprawdzić łączość dodawaia i możeia, i przemieość tych działań. Elemetem przeciwym do (a, b) jest taka para (x, y), że (a + x, b + y) = (0, 0); stąd (x, y) = ( a, b). Nieco trudiej jest wyliczyć elemet odwroty. Załóżmy więc, że z = (a, b) jest iezerową liczbą zespoloą, tj. a + b > 0 oraz że (a, b) (x, y) = (1, 0). Wtedy, zgodie z defiicją możeia, musi być: Rozwiązaiem tego układu jest para liczb ax by = 1, ay + bx = 0. x = a a + b, y = b a + b, a więc liczba zespoloa ( ) a a + b, b a + b jest odwrotością liczby z. Sprawdzimy jeszcze rozdzielość możeia względem dodawaia. Niech z 1 = (a, b), z = (c, d), z = (e, f). Wtedy (z 1 + z ) z = (a + c, b + d)(e, f) = = ((a + c)e (b + d)f, (b + d)e + (a + c)f) = = (ae + ce bf df, be + de + af + ef) = = (ae bf, be + af) + (ce df, de + cf) = = z 1 z + z z. W pewym sesie zbiór C zawiera zbiór R. Formalie C jest zbiorem par, ale jeśli rozważymy zbiór par postaci (a, 0), to poieważ zachodzą rówości: (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0), więc pary takie moża utożsamić z liczbami rzeczywistymi. Iaczej mówiąc mamy wzajemie jedozacze odwzorowaie (a, 0) a zbioru liczb zespoloych postaci (a, 0) a zbiór liczb rzeczywistych. W tym przyporządkowaiu liczbom 1 i 1 odpowiadają pary (1, 0) i ( 1, 0). Jeśli wprowadzimy ozaczeie i = (0, 1), to liczba zespoloa (a, b) daje się przedstawić za pomocą liczby i oraz liczb rzeczywistych (a, 0) i (b, 0). Mamy bowiem (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi, gdzie zamiast (a, 0), (b, 0) apisaliśmy krótko a, b.

3 Zauważmy, że i = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. W dalszym ciągu liczby zespoloe będziemy zapisywać w postaci a + bi. Zapis te pozwala przy działaiach arytmetyczych operować liczbami a + bi jak wielomiaami, przy czym ależy zastępować i przez 1. Na przykład: (1 + i)( i) = 1 1 i + i i i = i + 4i 6i = 8 + i.. Własości liczb zespoloych W prostokątym układzie współrzędych liczbę zespoloą z = a + bi moża iterpretować jako pukt o odciętej a i rzędej b. Pukty rzeczywiste, tj. takie pukty z = a + bi, dla których b = 0, wypełiają oś układu zwaą osią rzeczywistą, zaś pukty, dla których a = 0 wypełiają drugą oś, zwaą osią urojoą. Czasem wygodiej jest traktować liczbę z = a + bi jako wektor zaczepioy w początku układu współrzędych i końcu (a, b). Moża zauważyć, że dodawaie liczb zespoloych jest (geometryczie) dodawaiem wektorów. Rysuek 1. Suma liczb zespoloych Iterpretacja możeia ie jest tak prosta. Jeśli z jest wektorem, to ma długość, kieruek i zwrot. Długość wyosi a + b. Nazywamy ją modułem bądź wartością bezwzględą liczby zespoloej z i ozaczamy z. Przykładowo: 1 + i = = 5, 4i = = 5. Zauważmy, że rówość z = 1 jest spełioa przez te pukty płaszczyzy, które leżą a okręgu o środku w początku układu i promieiu 1. Nierówość z < 1 charakteryzuje pukty wewątrz tego okręgu. Przykład. Narysować zbiory 1) z i = (okrąg o środku (0, 1) i promieiu ); ) < z + 1 i 4 (pierścień kołowy o środku ( 1, ) i promieiach i 4, zewętrzie domkięty); ) z + = z i (zbiór puktów rówodległych od puktów A = (, 0) i B = (0, ), czyli symetrala odcika AB). Niech z = a + bi. Przyjmiemy ozaczeie a bi = z.

4 Liczbę z azywamy sprzężoą z liczbą z. Liczby sprzężoe leżą symetryczie względem osi rzeczywistej. Łatwo jest sprawdzić wzory: Mamy także dla z = a + bi: z 1 + z = z 1 + z, z 1 z = z 1 z, z 1 z = z 1 z, ( ) z1 = z 1. z z z = (a + bi)(a bi) = a b i = a + b = z. Ostatią własość wykorzystujemy przy dzieleiu liczb zespoloych. Wykoaie dzieleia polega a przedstawieiu ilorazu w postaci a+bi. Osiągiemy to, możąc liczik i miaowik przez liczbę sprzężoą do miaowika. Przykładowo: 1 + i (1 + i)( + 4i) + 4i + 6i i = = = = 1 4i ( 4i)( + 4i) i. Twierdzeie 1. Dla dowolych liczb zespoloych z 1 i z Jeśli dodatkowo z 0, to z z 1 z = z 1 z. z 1 z D o w ó d. Pierwszy wzór wyika z rówości: a drugi z pierwszego, bo = z 1 z. z 1 z = (z 1 z )(z 1 z ) = z 1 z z 1 z = (z 1 z 1 )(z z ) = z 1 z, z z 1 z = z 1 z = z 1. Twierdzeie. Dla dowolych liczb zespoloych z 1 i z zachodzą ierówości z z 1 + z z 1 + z, z 1 z z 1 z. Dowód aalityczy pomiiemy. Zauważmy jedak, że i) jeśli wektory z 1 i z są współliiowe, to wektor odpowiadający liczbie z 1 + z ma długość będącą sumą, bądź różicą długości wektorów z 1 i z ; ii) jeśli wektory z 1 i z ie są współliiowe, to wektor odpowiadający liczbie z 1 + z jest bokiem trójkąta, którego pozostałymi bokami są wektory odpowiadające liczbom z 1 i z. W trójkącie długość każdego boku jest miejsza iż suma długości pozostałych boków. Stąd mamy pierwszą ierówość, którą azywamy ierówością trójkąta. Druga ierówość jest wioskiem z pierwszej. Niech z = a + bi. Wprowadzamy ozaczeia Re z = a, Im z = b. Liczby Re z i Im z azywamy odpowiedio częścią rzeczywistą i częścią urojoą liczby z.. Postać trygoometrycza liczby zespoloej Kieruek i zwrot wektora z = a + bi moża określić, podając miarę ϕ kąta skierowaego, którego pierwszym ramieiem jest półoś rzeczywista dodatia, a drugim ramieiem wektor z. Tę miarę azwiemy argumetem liczby z. Jak wiadomo jest oa wielozacza i wyraża się wzorem: ϕ = ϕ 0 + kπ, gdzie: 0 ϕ 0 < π, k Z. 4

5 Rysuek. Moduł i argumet liczby zespoloej ϕ 0 azywamy argumetem główym. Ozaczamy: ϕ 0 = arg z, ϕ = Arg z. Argumetem liczby 0 azywamy dowolą liczbę ϕ. Przykładowo: arg i = 1 π, Arg i = 1 π + kπ, arg 1 = 0, Arg 1 = kπ. Odotujmy, że liczby rzeczywiste dodatie mają argumet główy rówy 0, a ujeme rówy π. Po rozpatrzeiu odpowiediego trójkąta prostokątego otrzymamy: W takim razie cos ϕ = Stąd otrzymujemy poiższe twierdzeie: a a + b, si ϕ = b a + b. ( a z = a + bi = z z + i b ) = z (cos ϕ + i si ϕ). z Twierdzeie. Każda liczba zespoloa daje się przedstawić w postaci zwaej postacią trygoometryczą liczby z. z = z (cos ϕ + i si ϕ), Na przykład 1 = 1 (cos 0 + i si 0), i = 1 (cos π + i si π ), 1 + i = (cos π 4 + i si π 4 ). Wiemy już, że możeiu (dzieleiu) liczb zespoloych odpowiada możeie (dzieleie) modułów tych liczb. Następujące twierdzeie wyjaśia, co dzieje się z argumetami tych liczb. Twierdzeie 4. Dla dowolych liczb zespoloych z 1 i z : Arg z 1 z = Arg z 1 + Arg z. (1) 5

6 U w a g a. Poieważ Arg z ie jest określoy jedozaczie, więc powyższy wzór ależy rozumieć astępująco: do każdych dwóch wartości argumetów występujących we wzorze moża dobrać trzecią wartość argumetu, tak aby zachodziła rówość. D o w ó d. Niech Wówczas z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i si ϕ 1 ), z = z (cos ϕ + i si ϕ ). z 1 z = z 1 (cos ϕ 1 + i si ϕ 1 ) z (cos ϕ + i si ϕ ) = = z 1 z (cos ϕ 1 cos ϕ si ϕ 1 si ϕ + + i si ϕ 1 cos ϕ + i cos ϕ 1 si ϕ ) = = z 1 z (cos(ϕ 1 + ϕ ) + i si(ϕ 1 + ϕ )). Podobie udowadia się astępe dwa twierdzeia. Twierdzeie 5. Dla dowolych liczb zespoloych z 1 i z, (z 0): Arg z 1 z = Arg z 1 Arg z. () Twierdzeie 6. Dla każdej liczby zespoloej z i każdego całkowitego : W szczególości zachodzi tzw. wzór de Moivre a: Arg z = Arg z. () (cos ϕ + i si ϕ) = cos ϕ + i si ϕ. (4) D o w ó d. Dla aturalego wzór () otrzymamy po wielokrotym zastosowaiu wzoru (1). Gdy = 0, to prawdziwość wzoru wyika z rówości Arg 1 = kπ. Natomiast, gdy = k, gdzie k N, to Arg z = Arg z k = Arg 1 z k = Arg 1 Arg zk = k Arg z = Arg z. Przykłady. ( + i ) 6 = ( cos π 4 + i si π ) 6 6π 6π = cos + i si = ( = cos 6π + π ) ( + i si 6π + π ) = 4 4 = cos π + i si π = i, ( ) 1 + i = ( cos π + i si π ) = cos ( π) + i si ( π) = = cos 0 + i si 0 = 1. Jak widać potęgowaie jest łatwe, gdy zamy postać trygoometryczą liczby. Jeśli jej ie zamy, pozostaje wzór dwumiaowy Newtoa: z = (a + bi) = k=0 6 ( ) a k b k i k. k

7 4. Postać wykładicza liczby zespoloej 4.1. Symbol e iϕ. Określamy: e iϕ = cos ϕ + i si ϕ. W te sposób został zdefiioway pewie symbol. Uzasadieiem celowości jego wprowadzeia są astępujące własości, pokazujące, że moża go traktować jako potęgę liczby e. Własości symbolu e iϕ. 1. e i(ϕ1+ϕ) = e iϕ1 e iϕ ;. e i(ϕ1 ϕ) = eiϕ 1 e ; iϕ. (e iϕ ) k = e ikϕ ; 4. e i(ϕ+kπ) = e iϕ ; 5. e iϕ 0; 6. e iϕ = 1; 7. e iϕ1 = e iϕ ϕ 1 = ϕ + kπ; Przykłady. Obliczyć e i π, e πi, e i. e i π π = cos + i si π = i, e πi = cos π + i si π = 1, e i = cos 1 + i si Wzory Eulera Poieważ e iϕ = cos ϕ + i si ϕ e iϕ = cos ϕ i si ϕ więc po dodaiu (odjęciu) stroami i podzieleiu przez (odpowiedio i) otrzymujemy tożsamości, azywae wzorami Eulera: cos ϕ = eiϕ + e iϕ si ϕ = eiϕ e iϕ i Przykład. Wyrazić cos ϕ w zależości od cos ϕ. ( e cos iϕ + e iϕ ) ϕ = = 1 ( e iϕ + + e iϕ ) = 1 (1 + eiϕ + e iϕ ) Postać wykładicza liczby = 1 (1 + cos ϕ). Defiicja 1. Jeżeli ϕ jest argumetem liczby z, a r jej modułem, to re iϕ azywamy postacią wykładiczą liczby z. Przykład. Rozwiązać rówaie z = z. Podstawiając z = re iϕ otrzymujemy r e iϕ = re iϕ, skąd mamy r = 0 lub r = 1 i iϕ = kπ dla k Z. Róże kąty otrzymujemy dla k = 0, 1,. Są to ϕ = 0, ϕ = π, ϕ = 4 π. Zatem są 4 rozwiązaia: z = 0, z = 1 e 0, z = 1 e πi, z = 1 e 4 πi, 7

8 czyli z = 0, z = 1, z = 1 + i, z = 1 i. Przykład. Rozwiązać rówaie z = ( + i) 6. Przykład. Rozwiązać rówaie z z = 1. Niech z = re iα. Wtedy (re iα ) re iα = 1, e iα = 1 iα = kπ, k Z. Zatem r jest dowole, a α ma wartości: 0, π/, 4π/. Geometryczie są to półproste wychodzące z początku układu, achyloe do osi rzeczywistej pod kątami 0, π/, 4π/. 5. Pierwiastki z liczb zespoloych Dla liczby rzeczywistej dodatiej a liczbę rzeczywistą dodatią b taką, że b = = a azywamy pierwiastkiem arytmetyczym z liczby a i ozaczamy a. Taka liczba jest tylko jeda. W przypadku zespoloym, pierwiastkiem stopia z liczby z azywamy taką liczbę w, że w = z. Jak zobaczymy, takich liczb jest dokładie (wyjątkiem jest 0, które ma jede pierwiastek). Rozważymy ajpierw pierwiastki kwadratowe. Zaczijmy od przykładu. Zajdziemy pierwiastki kwadratowe liczby z = 4i. Szukamy takiej liczby w = x + iy, że (x + iy) = 4i, tz. czyli x + ixy y = 4i, x y =, xy = 4. Po podstawieiu p. z drugiego rówaia y = /x do pierwszego otrzymamy (po pomożeiu przez x ) rówaie x 4 x 4 = 0, które ma dwa pierwiastki rzeczywiste x 1 =, x =. Stąd y 1 = 1, y = 1, więc pierwiastkami z 4i są liczby w 1 = i, w = + i. Rachuek powyższy moża przeprowadzić w przypadku ogólym, choć wymaga to rozróżieia kilku przypadków. Wprowadzamy dla liczb rzeczywistych fukcję sg x (czytaj: sigum) wzorem: 1 dla x > 0, sg x = 0 dla x = 0, 1 dla x < 0. Twierdzeie 7. Każda liczba zespoloa z = a + bi 0 ma dwa róże pierwiastki drugiego stopia, określoe wzorami: Na przykład z = ± a dla b = 0, a 0, ± ai dla b = 0, a < 0, ( ) a+ z a+ z ± + isg b dla b 0. 4i = ± ( + 5 ) i( 1) = ±( i). Obliczaie pierwiastków stopia wyższego iż wymaga postaci trygoometryczej liczby z. 8

9 Rysuek. Pierwiastki szóstego stopia liczby 64 Twierdzeie 8. Liczba z = z (cos ϕ + i si ϕ) 0 ma dokładie różych pierwiastków -tego stopia. Określoe są oe wzorem: w k = ( z cos ϕ + kπ + i si ϕ + kπ ), k = 0, 1,..., 1. Szczegóły dowodu pomiiemy, ograiczając się do zauważeia, że dla każdego w k mamy a mocy wzoru Moivre a: wk = [ z (cos ϕ + kπ + i si ϕ + kπ )] = = z (cos (ϕ + kπ) + i si (ϕ + kπ)) = z. Obliczymy i (tu uwaga: te symbol ozacza trzy liczby). Mamy: i = cos π + i si π, zatem w 0 = cos π 6 + i si π 6 = + 1 i, ( π w 1 = cos 6 + π ) ( π + i si 6 + π ) = + 1 i, ( π w = cos 6 + 4π ) ( π + i si 6 + 4π ) = i. Pierwiastki stopia szóstego liczby 64 = 64(cos 0 + i si 0) to: ( w k = cos kπ ) kπ + i si, k = 0, 1,..., Są oe wierzchołkami sześciokąta foremego wpisaego w okrąg o promieiu. 9

10 6. Rówaia algebraicze Rówaie algebraicze drugiego stopia: az + bz + c = 0, o współczyikach zespoloych rozwiązujemy w zwykły sposób, tz. obliczamy wyróżik = b 4ac i stosujemy wzory: z 1, = b ±. a Zauważmy, że w tym przypadku (w przeciwieństwie do przypadku liczb rzeczywistych) zawsze istieje w istocie są dwa pierwiastki różiące się zakiem. Do powyższych wzorów wystarczy podstawiać dowoly z ich (te drugi da te same wartości z 1, ). Przykłady. 1. Rozwiązać rówaie z 4z + 5 = 0. Obliczamy = 4, = ±i, z 1 = 4+i = + i, z = 4 i = i. To rówaie miało współczyiki rzeczywiste i jego pierwiastki są liczbami sprzężoymi.. Rozwiązać rówaie z + ( 1 + i)z + ( + i) = 0. Obliczamy = 8 6i, = ±(1 i), więc z 1 = 1 i + 1 i = 1 i, z = 1 i 1 i W ogólym przypadku pierwiastki ie są sprzężoe. Tak więc rówaie algebraicze drugiego stopia ma dokładie dwa pierwiastki (jeśli przyjmiemy, że pierwiastek podwójy występujący, gdy = 0 liczymy dwa razy). Rozważmy teraz rówaie postaci: a z + a 1 z a 1 z + a 0 = 0, gdzie a k C dla k = 0, 1,..., i a 0. Takie rówaie azywamy rówaiem algebraiczym stopia. Twierdzeie 9. (zasadicze twierdzeie algebry) Rówaie algebraicze stopia o współczyikach zespoloych ma w ciele liczb zespoloych dokładie pierwiastków (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wyosi jego krotość). Trudy dowód tego twierdzeia pomiiemy. Zauważymy dla przykładu, że rozwiązaiami rówaia z 1 = 0 są pierwiastki stopia z liczby 1. Tradycyjie używa się ozaczeia: ε k = cos kπ kπ + i si, k = 0, 1,..., 1. Dla k = 0 otrzymujemy oczywisty pierwiastek 1. Jeśli jest ieparzyste, to ie ma iych pierwiastków rzeczywistych. Gdy jest parzyste, to drugi pierwiastek rzeczywisty 1 otrzymujemy dla k = /. Geometryczie, pierwiastki leżą a okręgu o promieiu 1, w rówych odstępach kątowych (kąt między dwoma kolejymi pierwiastkami stopia wyosi π ). Łącząc je odcikami otrzymamy -kąt foremy wpisay w okrąg jedostkowy. Do rozwiązywaia rówań wyższych rzędów moża stosować zae metody. Np. rozwiązywaie rówaia: z 4z + 14z 0 = 0 10 = i.

11 moża rozpocząć od szukaia pierwiastków całkowitych wśród dzielików 0. Zajdziemy i stąd z 4z + 14z 0 = (z )(z z + 10). Wystarczy teraz rozwiązać rówaie z z + 10 = 0. W przypadku rówaia dwukwadratowego, p. podstawiamy t = z i zajdujemy z 4 z + 4 = 0 t 1 = 1 + i, t = 1 i. Dla każdej ze zalezioych wartości ależy teraz obliczyć pierwiastki kwadratowe. Otrzymamy z 1 = 1 ( + i), z = 1 ( + i), z = 1 ( i), z 4 = 1 ( + i). Rozwiązywaie rówań stopi wyższych wymaga a ogół pewej pomysłowości. Jeśli się da, warto korzystać z postaci trygoometryczej. Przykładowo rozważmy rówaie: (x + i) + i(x i) = 0 gdzie x R. Zauważmy, że i a pewo ie jest pierwiastkiem. Zatem możemy rówaie podzielić przez (x i). Otrzymamy ( ) x + i = i. x i Stadardowo obliczamy pierwiastki stopia liczby i = cos π + i si π: Zatem skąd wyliczamy x: w k = cos π + kπ + i si π + kπ, k = 0, 1, x + i x i = w k, x = i 1 + w k 1 w k. Podstawimy teraz wartości w k. Przy tym będziemy korzystać ze wzorów: 1 + cos ϕ + i si ϕ = cos ϕ (cos ϕ + i si ϕ ), 1 cos ϕ i si ϕ = 1 + cos(ϕ + π) + i si(ϕ + π) = cos ϕ + π (cos ϕ + π + i si ϕ + π ). Rachuek przebiega tak (dla uproszczeia zapisu piszemy a razie ϕ zamiast π+kπ ): x = i 1 + w k cos ϕ = i (cos ϕ + i si ϕ ) 1 w k cos ϕ+π ϕ+π (cos + i si ϕ+π ). Uwzględiając, że cos ϕ+π = si ϕ i wykoując dzieleie postaci trygoometryczych otrzymamy x = i ctg ϕ (cos( π ) ) + i si( π ) = i ctg ϕ ( i) = ctg ϕ. Podstawiamy teraz ϕ = π+kπ czyli ϕ = +4k 4 π. Otrzymujemy: x = ctg + 4k π, k = 0, 1,,

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych Rówaie kwadratowe ie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0, bo wzory ogóle wymagają wtedy obliczeia

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

c 2 + d2 c 2 + d i, 2 3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym

Bardziej szczegółowo

"Liczby rządzą światem." Pitagoras

Liczby rządzą światem. Pitagoras "Liczby rządzą światem." Pitagoras Def. Liczbą zespoloą azywamy liczbę postaci z= x +yi, gdzie x, y є oraz i = -1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez ={ x + yi: x, y є } Ozaczeia x= Re z częśd rzeczywista

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych

Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3 Spis treści I. Wiadomości wstępe... 3 II. Pojęcia ogóle wraz z twierdzeiami... 4 1. Jedostka urojoa... 4. Liczba zespoloa... 4 3. Iterpretacja geometrycza... 7 4. Moduł liczby zespoloej... 8 5. Liczba

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f

Bardziej szczegółowo

III. LICZBY ZESPOLONE

III. LICZBY ZESPOLONE Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę

Bardziej szczegółowo

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx. CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki I

Matematyczne Metody Fizyki I Matematycze Metody Fizyki I Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodików i iżyierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrae rozdziały matematyczych metod fizyki, A. Leda, B. Spisak, Wydawictwo

Bardziej szczegółowo

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. 3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N

Bardziej szczegółowo

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY .Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

Geometrycznie o liczbach

Geometrycznie o liczbach Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly

Bardziej szczegółowo

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204. Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Funkcje tworz ce skrypt do zada«

Funkcje tworz ce skrypt do zada« Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego

Bardziej szczegółowo

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl podręcznik: i algebra liniowa

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

MACIERZE STOCHASTYCZNE

MACIERZE STOCHASTYCZNE MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:

Bardziej szczegółowo

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego

Bardziej szczegółowo

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1 Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.

Bardziej szczegółowo

a 2 + b, b ) ( ) Wówczas (a, b) =, =(1, 0). 2 a 2 + b 2 a 2 + b2 a 2 + b 2

a 2 + b, b ) ( ) Wówczas (a, b) =, =(1, 0). 2 a 2 + b 2 a 2 + b2 a 2 + b 2 Ciało liczb zespoloych Twierdzeie Niech C = R W zbiorze C określamy dodawaie: a, b)+c, d) =a + c, b + d) oraz możeie: a, b) c, d) =ac bd, ad + bc) Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym elemetem eutralym

Bardziej szczegółowo

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Parametryzacja rozwiązań układu równań Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek. FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19 47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest

Bardziej szczegółowo

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej 3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Podstawowe struktury algebraicze Defiicja 1. Działaiem dwuargumetowym(biarym) określoym a iepustym zbiorze X azywamy fukcję f, która każdej parze uporządkowaej(a, b) elemetów zbioru X przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem: Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza i logarytm

Funkcja wykładnicza i logarytm Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy 12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b

Bardziej szczegółowo

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia

Bardziej szczegółowo

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup 1. Powtórzeie: określeie i przykłady grup Defiicja 1. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y) z = x (y z); G2. e G x G e x = x e = x; G3. x G x 1 G x x 1

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet

Bardziej szczegółowo

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12 Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a

Bardziej szczegółowo

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony). Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5 Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie

Bardziej szczegółowo

Tematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa

Tematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa Tematy zadań razy przykładowe zadaia maturale Matura podstawowa Porówaj liczby: 54 + 5 oraz 4 W klasie jest 9 ucziów o średiej wieku 6 lat Średia wieku wzrośie o rok, jeżeli doliczy się wiek wychowawcy

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Liczba punktów Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x.

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Liczba punktów Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x. LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 05 poziom podstawowy ZESTAW A ZADANIA ZAMKNIĘTE 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A B D D A D B D A B C D C B A C A C B C A B D C ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI zadaia 5 6 7 puktów

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1 30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333)) 46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę

Bardziej szczegółowo