Matematyczne Metody Fizyki I

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyczne Metody Fizyki I"

Transkrypt

1

2 Matematycze Metody Fizyki I Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodików i iżyierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrae rozdziały matematyczych metod fizyki, A. Leda, B. Spisak, Wydawictwo AGH, Kraków 006. Matematyka w fizyce klasyczej i kwatowej, F.W. Byro, R.W. Fuller, PWN, Warszawa 974. ematical Methods for Physics ad Egieerig, K.F. Riley, M.P. Hobso, S.J. Bece, Cambridge Uiv. Press, 006. Algebra liiowa, T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, GiS, Wrocław 00. Matematyka dla studiów iżyierskich, S. Białas, A. Ćmiel, A. Fitzke, Wydawictwo AGH, Kraków 973. Algebra i geometria aalitycza w zadaiach, H. Arodź, K. Rościszewski, ZNAK, Kraków 005. Zbiór zadań z algebry, L. Jeśmiaowicz, J. Łoś, PWN,Warszawa 975. Algebra i wielowymiarowa geometria aalitycza w zadaiach, S. Przybyło, A. Szlachtowski, WNT, Warszawa Wykład -

3 Wiadomości wstępe Fukcje trygoometrycze: wybrae wartości fukcji trygoometryczych: θ (stopie θ (radiay tożsamości trygoometrycze dla pojedyczego kąta: si α ta α si α + cos α ta α si α cos α cot α cos α + ta α + ta α Wykład -3

4 Tożsamo samości trygoometrycze Tożsamości trygoometrycze dla dwóch kątów: Wyprowadzeie wzorów a sius i cosius sumy kątów: współrzęde puktu P: w Oxy: (cos(α+β, si(α+β oraz w Ox y : (cosβ, siβ współrzęde puktu R: w Oxy: (0, si(α+β cos β x TN+NP MR+NP OR siα + RP cosα si(α+β si α + cos(α+β cos α si β y OM-TM OM-NR OR cosα + RP siα si(α+β cos α - cos(α+β si α możąc pierwsze z powyższych rówań przez siα a drugie przez cosα otrzymujemy: si(α+β siα cosβ + cosα siβ - y M T y R N P β α o x x podobie zajdujemy: cos(α+β cosα cosβ siα siβ Wykład -4

5 Tożsamo samości trygoometrycze Podstawiając β zamiast β w powyższych wzorach, zajdujemy wyrażeia a sius i cosius różicy kątów. W rezultacie mamy: si α ± β si α cos β ± cos α si β ta α ± ta β ta( α ± β cos α ± β cos α cos β si α si β ta α ta β Waże przypadki szczególe: ta α si α si α cos α ta α ta α si( α ± β cos α cos α si α ta α ± ta β cos α cos β Dodając stroami wzory a si(α±β a astępie stosując podstawieia α+β γ oraz α β δ zajdujemy wyrażeie a siγ + siδ. Postępując aalogiczie moża zaleźć pozostałe z poiższych wzorów: γ + δ γ δ γ + δ γ δ si γ + si δ si cos cos γ + cos δ cos cos γ + δ γ δ γ + δ γ δ si γ si δ cos si cos γ cos δ si si Wykład -5

6 Fukcje hiperbolicze Odwrote fukcje trygoometrycze (fukcje arcus: Defiicja: Fukcje hiperbolicze zdefiiowae są w astępujący sposób: sih ( e x e x x cosh x ( e x + e x Własości: sih( x sih x cosh( x cosh x cosh x sih x sih x sihx sih x cosh x cosh x + sih x coshx tah x cosh x sih x ± y sih x cosh y ± cosh x sih y tah tah tah( x y x ± ± y cosh α ± β cosh x cosh y ± sih x sih y ± tah x tah y Wykład -6

7 Wykresy fukcji hiperboliczych Fukcje hiperbolicze: Odwrote fukcje hiperbolicze (fukcje arcus: Wykład -7

8 Symbole sumy (Σ( i iloczyu (Π( sumę oraz iloczy wyrazów ciągu liczb a p, a p+, a p+,, a -, a, gdzie p< zapisujemy w sposób skrócoy w astępujący sposób: a a + a a a a a... a i p p + i p p + i p i p Przykład: Suma wyrazów ciągu arytmetyczego a 0, a 0 +d, a 0 +d, a 0 +d daa jest 0 0 k 0 wzorem: ( a + kd ( + ( a + d Przykład: Suma wyrazów ciągu geometryczego a 0, a 0 q, a 0 q, a 0 q, gdzie q, daa jest wzorem: k 0 a q a k q q sumy mogą przebiegać po dowolej liczbie wskaźików, p: m m a a + a a + a a a +... a a ij pr p + r r p r + r + pm m ij i p j r j r i p jeżeli zakres zmieości ideksów jest taki sam stosuje się zapis: a ij i j i, j a ij Wykład -8

9 Metody dowodzeia twierdzeń Zasada idukcji matematyczej: Jeżeli twierdzeie w którym jest mowa o liczbach aturalych ( jest prawdziwe dla określoej liczby aturalej 0, i ( jeśli z prawdziwości tego twierdzeia dla liczby aturalej wyika jego prawdziwość dla liczby astępej +, to twierdzeie jest prawdziwe dla dowolej liczby aturalej r 0. Przykład: Pokaż, że Q( jest podziele przez 6 dla wszystkich >0. ( sprawdzamy prawdziwość twierdzeia dla 0 : Q(/6 6/6 ( Q(+ (+ 4 + (+ 3 + (+ + (+ ( ( ( (+ ( ( Musimy teraz sprawdzić czy jest podziele przez 6, czyli czy R( 3 +7 jest podziele przez 3, przeprowadzając dodatkowy dowód przez idukcję: ( dla 0 : R(/3 9/3 3 ( R(+ ( (+ ( (+ ( ( ++3 R( jest więc podziele przez 3, co ozacza, że ostateczie Q( jest podziele przez 6. Wykład -9

10 Metody dowodzeia twierdzeń Dowód przez zaprzeczeie: zakładamy prawdziwość hipotezy oraz logiczego zaprzeczeia rezultatu który chcemy udowodić (tz. jeśli dowodzimy jeśli P to Q to zakładamy prawdziwość P i ie Q, stosując zae twierdzeia i własości dochodzimy do sprzeczości (tz. kokluzji sprzeczej z aszymi założeiami lub jakiegoś w oczywisty sposób ieprawdziwego twierdzeia, p. 0 Przykład: Udowodić, że ie jest liczbą wymierą. załóżmy, że jest liczbą wymierą, tz. że daje się zapisać w postaci gdzie a i b ie mają wspólych dzielików. a a b b co ozacza, że a jest liczbą parzystą, a w kosekwecji samo a jest parzyste, poieważ iloczy liczb ieparzystych jest liczbą ieparzystą. a więc moża apisać a c fi c b fi b jest parzyste. ozacza to że a i b oba są parzyste, a więc mają wspóly dzielik sprzeczość! Przykład: Tw: Jest ieskończeie wiele liczb pierwszych. (dowód q p p p 3 p + a b Wykład -0 0

11 Dwumia Newtoa Symbol Newtoa: (! k k k k dla 0 k!( k! oraz k 0 dla < 0 > k s k k k k k + k k k + Własości: Przykład: Dowód metodą idukcji matematyczej trzeciej z powyższych własości: k k + L P k k + k + s k + s k + + k + k + k + k + + s k k k + k k + ( sprawdzamy prawdziwość twierdzeia dla 0 : ( s 0 0 Dwumia Newtoa (rozwiięcie dwumiaowe: ( + Przykład: Wychodząc z (x+y p (x+y q ª (x+y p+q oraz porówując wsp. przy x p+q-r y r mamy: p q p q p + q x y x y s t r s + t r t t r p q r s p s t q t s 0 t 0 t 0 s 0 k k x y x y k k 0 Wykład -

12 Pierwiastki rówaia r kwadratowego ax + bx + c 0 b ± b 4ac x, a y x x 3 x x x,, ± 4 + ± 4 3 x y x x + x x x,,, ± 4 4 ± 0 y x x + 3 x x,, ± 4 ± 8 ±? ± Jedostka urojoa: x, ± i i Wykład -

13 liczba rzeczywista. liczba (czysto urojoa. Fudametale twierdzeie algebry stwierdza, że jeśli f(z jest dowolym 3 + 4i Liczby urojoe bi 4i ± i Liczby zespoloe Liczby zespoloe ( to liczby zawierające jedostkę urojoą i (L.Euler. Postać algebraicza liczb zespoloych to z a+bi, gdzie a, b œ. a Re(z część rzeczywista liczby z, b Im(z część urojoa liczby z Jeśli b 0 oraz a 0, mamy a+0i lub a. Jeśli b 0 oraz a 0, mamy 0+bi lub ib wielomiaem stopia, to rówaie f(z 0 ma dokładie rozwiązań (w. πi i Liczby zespoloe z a + bi + i 3 π 4i Liczby rzeczywiste a (wymiere i iewymiere 3 + 0i 00 ( / 5 i / 8 6.4e Wykład -3 3

14 Własości liczb zespoloych Dwie liczby zespoloe są sobie rówe wtedy i tylko wtedy gdy ich części rzeczywiste i urojoe są iezależie sobie rówe: z z Re{z }Re{z } i Im{z }Im{z } W zbiorze liczb zespoloych ie jest określoa relacja uporządkowaia (tz., że ie ma sesu wyrażeie p. 9+6i > 3+i Liczbą sprzężoą do liczby z a + bi azywamy wielkość z* a bi Liczba zespoloa jest czysto rzeczywista wtedy i tylko wtedy gdy z z* Liczba zespoloa jest czysto urojoa wtedy i tylko wtedy gdy z -z* Re z Re z* z + z* Im z Im z* ( z z* i Modułem liczby z a+bi azywamy wielkość: z zz * a + b Uwaga: zachodzą astępujące relacje z z* oraz z + z b z +z Przykład: Zajdź liczbę sprzężoą i moduł liczby zespoloej z a + i - 3bi z a + ( 3b i z* a ( 3b i z zz * a + ( 3b Wykład -4 4

15 Im(z b Płaszczyza zespoloa i argumet Każdą liczbę zespoloą z a+ib moża przedstawić jako pukt o współrzędych kartezjańskich (a, b a tzw. płaszczyźie zespoloej: wektor wodzący tego puktu ma początek w pukcie (0,0 i koiec w (a,b jego długość jest rówa modułowi liczby zespoloej kąt zawarty między osią Re(z i wektorem wodzącym puktu (a,b azywamy fazą lub argumetem liczby zespoloej i ozaczamy ϕ arg(z. Liczba z 0 może mieć dowolą fazę. W pozostałych przypadkach faza daa jest przez: a b cos ϕ si ϕ z a+ib a + b a + b z ϕ a Re(z Diagram Argada Daej liczbie zespoloej moża przyporządkować ieskończeie wiele faz: ϕ + kπ, gdzie k jest dowolą liczbą całkowitą. Argumetem główym (oz. Arg(z azywamy fazę z przedziału -πbϕ<π. Im(z z z z x+iy Wykład -5 5 Re(z z* x iy

16 Dodawaie liczb zespoloych Dodawaie (odejmowaie liczb zespoloych (z a +ib oraz z a +ib : a a i ( b b z ± z a + ib ± a + ib ± + ± Dodawaie l.z. jest przemiee i łącze: z + z z + z z + z + z z + z + z 3 Sprzężeie zespoloe sumy (różicy l.z. ( z ± z * z * ± z* Przykład: Wykoaj działaie z +z -z 3 gdzie z +i, z 3-4i, z 3 -+i z + z z3 ( + i + ( 3 4i ( + i ( + 3 ( + i ( 4 6 3i Im(z b +b Re z ± z Re z ± Re z Im z ± z Im z ± Im z b b z a a z z + z z a +a Re(z (, (, ( +, + z + z a b + a b a + a b + b Wykład -6 6

17 Możeie i dzieleie liczb zespoloych Możeie i dzieleie liczb zespoloych (z a +ib oraz z a +ib : ( + ( + zz zz i oraz ( ( zz z3 z ( zz3 + + aa + bb + i ( ba ab + + z z a ib a ib a a b b + i a b + b a z a ib a ib a ib z a ib a ib a ib a ib aa + bb ba ab + i z 0 z a + b a + b z Przykład: Wykoaj działaia z z oraz z /z gdzie z 3+i, z --4i. z z 3 + i 4i 3 i i 8i 5 4i z ( 3 + i( + 4i + 0i 0 + i z ( 4i( + 4i * z z z z * zz * z * z* zz z z z z * z z Własości sprzężeia zespoloego i modułu: z* z Wykład -7 7

18 Zbiór r liczb zespoloych Przykład: Sprawdź czy w zbiorze liczb zespoloych zachodzi rozdzielość możeia względem dodawaia. ( (, (, (, (, (, ( a ( a a b( b b, a ( b b b( a a (( aa bb ( aa bb,( ab ba ( ab ba ( aa bb, ab ba ( aa bb, ab ba ( a, b( a, b ( a, b( a, b zz zz z z + z a b a b + a b a b a + a b + b Przykład: Zajdź fazę i moduł liczby zespoloej z -3i z Uwaga: przy wyborze kąta zawsze trzeba zwrócić uwagę w której ćwiartce zajduje się badaa liczba zespoloa. zz * + ( 3 3 y 3 arg arcta arcta. x z 0988 rad Wykład -8 8

19 Postać trygoometrycza liczb zespoloych Każdą liczbę zespoloa za+bi moża przedstawić w postaci trygoometryczej: a b z a bi z i + + z ϕ + i ϕ z z ( cos si Możeie i dzieleie l.z. w postaci trygoometyczej: z z z z cos ϕ + i si ϕ cos ϕ + i si ϕ Im(z ϕ cos cos si si ( si cos si cos ( cos si ( cos ϕ + i si ϕ z ( cos( i si ( ( cos ϕ + i si ϕ z z ϕ ϕ ϕ ϕ + i ϕ ϕ + ϕ ϕ z z ϕ + ϕ + i ϕ + ϕ z z ϕ ϕ + ϕ ϕ z z z Wioski: moża tak dobrać wartości argumetów, aby były spełioe relacje: arg(z z arg(z + arg(z oraz arg(z /z arg(z - arg(z Twierdzeie de Moivre a: (cosϕ+isiϕ cos(ϕ + isi(ϕ b z z a+ib a Re(z Wykład -9 9

20 Zastosowaie twierdzeia de Moivre a Przykład: Wyraź cos3θ i si3θ poprzez kombiacje potęg cosθ i siθ. Stosujemy twierdzeie de Moivre a: 3 3 ( 3 cos3 θ + i si3 θ cos θ + i si θ cos θ 3cos θ si θ + i 3si θ cos θ si θ Porówując, oddzielie, części rzeczywiste i urojoe, dostajemy: 3 3 cos3 θ cos θ 3cos θ si θ 4cos θ 3cos θ 3 3 si3 θ 3si θ cos θ si θ 3si θ 4si θ Przykład: Wyraź cos 4 θ poprzez kombiacje cosiusów wielokrotości kąta. z + z ( cos θ + i si θ + ( cos θ + i si θ z z + cos θ cos θ + i si θ + cos( θ + i si( θ cos( θ cos z z z θ z z z 4 z z cos4 θ + cos θ z 4 z Podobie zajdujemy, że: z z i si( θ z z i si θ Wykład -0

21 Postać bieguowa liczb zespoloych Z aalizy matematyczej wiemy, że: k x y x 0 e e e + y d x x z z z z e e α e α 3 α e + z dx k! 6 d dϕ poieważ ( cos ϕ + i si ϕ si ϕ + i cos ϕ i ( cos ϕ + i si ϕ więc moża apisać iaczej cos ϕ + i si ϕ e iϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ k iϕ iϕ iϕ iϕ iϕ e + i ϕ ! 3! 4! 5! ϕ ϕ ϕ ϕ i ϕ +... cos ϕ + i si ϕ! 4! 3! 5! Każdą liczbę zespoloa za+bi moża przedstawić w postaci bieguowej: ( cos si exp z a + bi z ϕ + i ϕ z i ϕ Możeie i dzieleie liczb zespoloych w postaci bieguowej: iϕ i ϕ i i z z e z ϕ zz z e z e z z e e iϕ z z e z ( ϕ +ϕ i( ϕ ϕ Wykład -

22 Pierwiastek z liczby zespoloej Twierdzeie: Istieje dokładie różych pierwiastków -tego stopia z każdej liczby zespoloej różej od zera, tz. rozwiązań rówaia w z i wszystkie te pierwiastki dają się zapisać wzorem, w którym k 0,,, -: ϕ + k π ϕ + k π ϕ + k π wk z cos + i si z exp i Przykład: Zajdź wszystkie rozwiązaia rówaia z 3 k exp k k k π 0 wk i π π i i w0 w e w e Własości pierwiastka -tego stopia z l.z. : ( kπ ω k exp i gdzie k 0,,..., k ω ω ω ω ω ω k l k + l k k iπ k ( π exp e ω ω i 0 e k π i k 0 k 0 k 0 - w π/3 w Im z i -i π/3 π/3 w 0 Wykład - Re z

23 Zespoloy logarytm i zespoloa potęga Defiicja: Logarytmem aturalym z liczby zespoloej z (oz. L(z azywamy liczbę zespoloą w taką, że z e w. w w w + w z z e e e l ( z z w + w l( z + l( z Zapiszemy liczbę z w postaci wykładiczej i zajdziemy jej logarytm: ( z z exp i Arg z + k π l z l z + i Arg z + k π Przykład: π π π 3 π 7 π l i l exp i + k π i + k π i, i, i,... Defiicja: Niech z i w œc. Potęgą liczby z z e iϕ (gdzie faza ϕ Arg(z+kπ o wykładiku w azywamy wielkość z w exp(w l(z z w exp(iϕw gdzie A więc: w Re w i Im w Re w i Im w l z i ϕ w ϕ Im w i ϕ Re w z z z z e oraz e e e Rew w Im w w z z e ϕ oraz arg z l z Im w + ϕ Re w Przykład: Oblicz z i -i ( π z exp i l e exp i i k l l i π + k e e π + π e z i i π+ 4k π Wykład -3

24 F. trygoometrycze zmieej zespoloej Defiicja: Korzystając z postaci bieguowej i trygoometryczej liczby zespoloej możemy zdefiiować fukcje sius i cosius w astępujący sposób: si x ( e ix e ix cos x ( e ix + e ix i Uwaga: Defiicje te spełiają wszystkie tożsamości trygoometrycze. Defiicja: W aalogiczy sposób defiiujemy sius i cosius liczby zespoloej: si z ( e iz e iz cos z ( e iz + e iz i Uwaga: Także te defiicje spełiają wszystkie stadardowe wzory trygoometrycze, p.: si z si z cos z cos z si z + cos z siz si z cos z cos z si z ( e iz e iz ( e iz e iz ( e i z e i z cosz 4 4 Iterpretacja fukcji zespoloej siz: i( x iy i( x iy y y si z si( x iy ( e + e + + [ e ( cos x + i si x e ( cos x + i si x ] i i y y y y si x ( e +e i cos x ( e -e + si x cosh y + i cos x sih y Wykład -4

25 Fukcje hiperbolicze zmieej zespoloej Defiicja: Fukcje hiperbolicze zdefiiowae są w astępujący sposób: sih ( e x x e x cosh x ( e x + e x Własości fukcji hiperboliczych: sih( x sih x cosh( x cosh x cosh x sih x sih x sihx sih x cosh x cosh x + sih x coshx tah x cosh x Defiicja: W aalogiczy sposób defiiujemy sius i cosius hiperboliczy liczby zespoloej: sih ( e z z e z cosh z ( e z + e z Uwaga: Istieją astępujące związki pomiędzy fukcjami trygoometryczymi i hiperboliczymi zmieej zespoloej: si iz i sih z cos iz cosh z sih iz i si z cosh iz cos z Przykład: Oblicz cos(π-i cos( π i cos π cosh ( i si π sih ( cosh( cosh 543. Uwaga: Widać, że Im(cosz 0 wzdłuż pioowych prostych dla których x kπ, k0,, Wykład -5

Matematyczne Metody Fizyki I

Matematyczne Metody Fizyki I Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień

Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

c 2 + d2 c 2 + d i, 2 3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym

Bardziej szczegółowo

"Liczby rządzą światem." Pitagoras

Liczby rządzą światem. Pitagoras "Liczby rządzą światem." Pitagoras Def. Liczbą zespoloą azywamy liczbę postaci z= x +yi, gdzie x, y є oraz i = -1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez ={ x + yi: x, y є } Ozaczeia x= Re z częśd rzeczywista

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych

Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych Rówaie kwadratowe ie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0, bo wzory ogóle wymagają wtedy obliczeia

Bardziej szczegółowo

a 2 + b, b ) ( ) Wówczas (a, b) =, =(1, 0). 2 a 2 + b 2 a 2 + b2 a 2 + b 2

a 2 + b, b ) ( ) Wówczas (a, b) =, =(1, 0). 2 a 2 + b 2 a 2 + b2 a 2 + b 2 Ciało liczb zespoloych Twierdzeie Niech C = R W zbiorze C określamy dodawaie: a, b)+c, d) =a + c, b + d) oraz możeie: a, b) c, d) =ac bd, ad + bc) Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym elemetem eutralym

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych W starożytości okazało się, że zbiór liczb wymierych jest iewystarczający, bo ie ma takiej liczby

Bardziej szczegółowo

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem: Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.

Bardziej szczegółowo

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Parametryzacja rozwiązań układu równań Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3 Spis treści I. Wiadomości wstępe... 3 II. Pojęcia ogóle wraz z twierdzeiami... 4 1. Jedostka urojoa... 4. Liczba zespoloa... 4 3. Iterpretacja geometrycza... 7 4. Moduł liczby zespoloej... 8 5. Liczba

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Funkcje tworz ce skrypt do zada«

Funkcje tworz ce skrypt do zada« Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

III. LICZBY ZESPOLONE

III. LICZBY ZESPOLONE Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011

Wykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011 Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1 Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12 Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a

Bardziej szczegółowo

MACIERZE STOCHASTYCZNE

MACIERZE STOCHASTYCZNE MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw

Bardziej szczegółowo

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza i logarytm

Funkcja wykładnicza i logarytm Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a

Bardziej szczegółowo

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb

Bardziej szczegółowo

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY .Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,

Bardziej szczegółowo

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx. CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy 12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony). Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19 47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9

Bardziej szczegółowo

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204. Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5 Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223 Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości

Bardziej szczegółowo

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. 3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N

Bardziej szczegółowo

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.

Bardziej szczegółowo

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

GAL 80 zadań z liczb zespolonych GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +

Bardziej szczegółowo

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony Przykładowy arkusz z rozwiązaiai Arkusz II pozio rozszerzoy ( pkt) Pukt A( -, -) jest wierzchołkie robu, którego jede z boków zawiera się w prostej k o rówaiu x - y - 0 Środkie syetrii tego robu jest pukt

Bardziej szczegółowo

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład

Bardziej szczegółowo

1. Granica funkcji w punkcie

1. Granica funkcji w punkcie Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (

AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim ( AM11 zadaia 8 Przypom e kilka dosyć ważyh grai, które już pojawiły się a zajeiah e 1 lim 1 l(1+) (1+) 1, lim 1, lim a 1 si a, lim 1 0 0 0 0 l 2 lim 0, lim a 0 dla każdego a R, lim (1 + 1 e ) e, lim 1/

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone. Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Twierdzenia o funkcjach ciągłych Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość

Bardziej szczegółowo

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy

Bardziej szczegółowo

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011 Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y

Bardziej szczegółowo

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.

Zadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej. . Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie..

Bardziej szczegółowo

Kolorowa płaszczyzna zespolona

Kolorowa płaszczyzna zespolona Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 2

Praca domowa - seria 2 Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =

Bardziej szczegółowo