MATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J. Cha

Transkrypt

1 MATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J Cha dyński Wste p do analiy espolonej wyd VII Wyd U L Lódź 993 [Kr]J Kryż Zbiór adań funkcji analitycnych PWN Warsawa 975 [Ku] K Kuratowski Wste p do teorii mnogości i topologii PWN Warsawa 99 [L] F Leja Funkcje espolone PWN Warsawa 97 [R] W Rudin Analia recywista i espolona PWN Warsawa 998 [SZ] S Saks A Zygmund Funkcje Analitycne PWN Warsawa 959 I Licby espolone Ćwicenie Udowodnić że C wra dia laniami + wprowadonymi w [Ch] str 8) jest cia lem Ćwicenie Udowodnić że + = + = = + = Re = i Im = ) = 0 = 0 Re Im Re + Im Ćwicenie 3 Wykaać że jeżeli 0 i = r to Re = ) + r Im = i ) r Ćwicenie 4 Wykaać że: a) + + b) Kiedy achodi równość? Ćwicenie 5 Wykaać że gdy a b to a + b < max a b ) Ćwicenie 6 Predstawić w postaci trygonometrycnej naste puja ce licby espolone: i + i i 6 ) Ćwicenie 7 Predstawić w postaci kanonicnej tn = x + iy gdie x y R) naste puja ce licby espolone: 3i +i i) 5 + i 3) 6 i ) 4 3 i Ćwicenie 8 Wykaać że jeśli α + β arg ) C ora α arg β arg to

2 Ćwicenie 9 Rowia ać równanie: = Ćwicenie 0 Zbadać kiedy licba w = + jest a) recywista b) urojona Ćwicenie * Zbadać kiedy kwadrat licby = α + iβ jest licba a) recywista b) recywista ujemna c) urojona Ćwicenie * Niech a b C a b 0 Jakie musa być argumenty licb a i b aby ilocyn ab ilora a/b) by l licba recywista? Ćwicenie 3* Zapisać w postaci trygonometrycnej licbe espolona = cos α i sin α α R Ćwicenie 4 Wykaać tożsamości: a) + + = + ) Podać interpretacje geometrycna ) b) + + = + ) + ) c) = ) ) Ćwicenie 5 Podać geometrycna interpretacje naste puja cych biorów licb espolonych: π ) { C : Re } { C : Im } { C : 4 < arg < 3π } ) { C : Re ) = r} r R 3) { C : Im ) = r} r R 4) { C : + + = r} r > 0 5) { C : a = b } a b 6) { { C : + c + c } a} a > 0 c < a 7) C : 0 < Arg +i i < π 4 8) { C : 0 Rei) < } 9) { { C : Re ) > α} } α > 0 0) C : + < ) { C : + Re } ) { C : Re[ + i) i) ] > 0} 3) { C : = a Re } a R 4) { C : = a Re + b Im + c} a b c R Ćwicenie 6* Udowodnić wór na wspó lre dne obrau sferycnego punktu C ora wór na wspó lre dne rutu stereograficnego Ćwicenie 7* Udowodnić w lasność 4 w [Ch]

3 3 II Cia gi i seregi licbowe Ćwicenie 5 Niech {a n } be die cia giem licb espolonych i) Udowodnić że lim n a n = 0 wtedy i tylko wtedy gdy lim n a n = 0 ii) Udowodnić że lim n a n = wtedy i tylko wtedy gdy lim n a n = Ćwicenie 6 Oblicyć granice cia gów jeśli istnieja ) ) a n = i+)n i+) n + ) a n = + ni 3) a n = n n + 4 n + n + in sin n 4) a n = + i ) n 5) an = + i ) n 6) a n = n+ n + i n + n) 7) a n = n + i n 8) a n = n n! + i n 9) a n = n sin n + i n sin n 0) a n = ) +i n ) an = +i)n +3+i) n +i) n 3+i) n 3) a n = n n! + i 4) a n = i n ) a n = n n n /n! + in log + /n) 5) a n = i+i ++i n i) n Ćwicenie 7 Zbadać bieżność cia gów a n = +i)n i) n n b n = + + ) n )ni Ćwicenie 8 Zbadać bieżność cia gu a n = n w ależności od C ) Ćwicenie 9* Wykaać że lim + x+iy n n n = e x cos y + i sin y) Ćwicenie 0* Wynacyć promień i środek okre gu Apoloniusa a b = k gdie a b k k > 0 Ćwicenie Zbadać bieżność seregów: ) 4) 7) 0) 3) n= nn+) + i n ) ) n sin n + i )n ln n ) 5) n + n) n + i n ) 8) n= n= cos nπ n= n= 3 n= + i sin nπ 3 ) ) sin n cos n + i log + n )) 4) n+i 3) +i) n n 6) +i) n n! 9) 3+i +3i n= ) n ) n= n= n+i) n 5) n= n= n i)+ n3 i) 3i) n ni ) n 3 n n ln n + i ) en n! n n n n n!e i) n n n! n n + i 3n n! n n ) Ćwicenie Wykaać że w każdym punkcie okre gu = różnym od cia g sum ce ściowych seregu n jest ogranicony

4 4 Ćwicenie 3* Niech {a n } be die cia giem licb recywistych dodatnich {b n } cia giem licb espolonych Jeżeli {a n } jest cia giem maleja cym takim że lim a n = n 0 ora cia g sum ce ściowych seregu b n jest ogranicony to sereg a n b n jest n= bieżny Kryterium Dirichleta bieżności seregów) Ćwicenie 4 Zbadać bieżność seregu Ćwicenie 5 Zbadać bieżność seregów n= n= n n C n n = + n n= Ćwicenie 6 Wykaać że gdy cia g {ζ n } i sereg b n sa bieżne to również i sereg b n ζ n jest bieżny Ćwicenie 7 Wykaać że jeżeli Re n 0 n = ) i jeżeli seregi n n sa bieżne to również sereg n jest bieżny Ćwicenie 8* Wykaać że jeśli sereg n= n jest bewgle dnie bieżny to sereg nn n jest również bewgle dnie bieżny Ćwicenie 9* Zbadać cia g n = + i) + i ) + i n) III Cia g lość i różnickowalność Ćwicenie Na podstawie definicji wykaać że funkcja określona worem f) = Re C f) = Im C) jest cia g la Ćwicenie Zbadać cia g lość funkcji Re f) = 0 0 = 0 Re f) = = 0 Re ) f) = 0 0 = 0 Ćwicenie 3 Na podstawie definicji badać istnienie pochodnej funkcji a) f) = Re b) f) = w punkcie = 0

5 Ćwicenie 4 Wynacyć punkty w których naste puja ce funkcje posiadaja pochodne f) = f) = f) = Im f) = Re Im f) = f) = + ) f) = + f) = Re + ) f) = + Re Im 5 f) = { +i) Im ) { dla 0 0 dla = 0 f) = sin dla 0 0 dla = 0 ) Ćwicenie 5 Sprawdić że funkcja F ) = xy = x + iy) posiada w punkcie = 0 pochodne ca stkowe wgle dem x ora y równe eru; spe lnia wie c warunki Cauchy ego-riemanna nie posiada jednak w tym punkcie pochodnej Wskaówka Podstawiaja c = x + iα) gdie α jest dowolna licba recywista auważyć że ilora [F ) F 0)]/ = F )/ posiada dla każdej ustalonej wartości α granice skońcona gdy x 0; granica ta mienia sie jednak w ależności od α Ćwicenie 6* Dla funkcji cia g lej G określonej worami G0) = 0 ora G) = x 3 y/x 4 + y ) dla = x + iy 0 spe lnione sa w punkcie 0 warunki Cauchy ego- Riemanna ora istnieje granica ilorau [G) G0)]/ = G)/ gdy da ży do 0 wd luż dowolnej prostej prechoda cej pre punkt 0; ponadto granica ta ma te sama wartość 0 dla każdej takiej prostej Mimo to funkcja G nie posiada pochodnej w punkcie 0 Wskaówka Granica ilorau G)/ gdy da ży do 0 wd luż paraboli y = x jest równa / Ćwicenie 7 Niech f be die funkcja określona w otoceniu Ω punktu 0 i różnickowalna w punkcie 0 Wykaać że f posiada pochodna w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy f 0 ) = 0 f) = Re f) i Im f) dla Ω) Ćwicenie 8 Udowodnić że jeśli f : Ω C jest funkcja różnickowalna w obsare Ω i f ) = 0 dla Ω to f jest funkcja sta la Ćwicenie 9* Udowodnić że jeśli f : Ω C jest funkcja różnickowalna w obsare Ω i f jest funkcja sta la to f jest funkcja sta la Ćwicenie 0 Pokaać że jeśli f : Ω C jest funkcja różnickowalna w obsare Ω i Im f) = 0 dla Ω to f jest funkcja sta la Ćwicenie Wykaać że jeśli funkcja f) = ux y) + ivx y) = x + iy gdie u = Re f v = Im f jest różnickowalna w obsare Ω ora u v w tym obsare to f jest funkcja sta la

6 6 Ćwicenie * Wykaać że jeśli funkcja f) = ux y) + ivx y) = x + iy gdie u = Re f v = Im f jest różnickowalna w obsare Ω ora u v 3 to f jest funkcja sta la Ćwicenie 3* Wykaać że jeśli funkcja f : C C ma pochodna w każdym punkcie p lascyny C ora f) = f) dla C to f jest funkcja sta la Ćwicenie 4* Niech f be die funkcja określona w otoceniu punktu 0 = x 0 + iy 0 x 0 y 0 R Niech u Re f v = Im f Udowodnić że f ma pochodna w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy funkcje u i v posiadaja różnicki upe lne w punkcie 0 ora spe lniaja warunki Cauchyego-Riemanna IV Funkcje elementarne logarytm i pote ga Ćwicenie Udowodnić że e = e wtedy i tylko wtedy gdy = kπi k Z Ćwicenie Oblicyć e Ree ) Ime ) e Ćwicenie 3 Dla jakich wartości C w = e jest licba recywista recywista ujemna urojona? Ćwicenie 4 Udowodnić że jeśli W jest wielomianem o wspó lcynnikach recywistych to W ) = W ) dla C W scególności jeśli W 0 ) = 0 to W 0 ) = 0 Ćwicenie 5 Pokaać że exp = exp sin = sin ora cos = cos dla C Ćwicenie 6 Pokaać że w diedinie espolonej funkcja f) = sin nie jest ogranicona Ćwicenie 7* Jeżeli W jest wielomianem n-tego stopnia i n onacaja pierwiastki tego wielomianu w prypadku istnienia pierwiastków wielokrotnych każdy pierwiastek wyste puje w cia gu n tyle ray ile wynosi jego krotność) wówcas ) W ) W ) = k w każdym punkcie w którym W ) 0 Ćwicenie 8 Oblicyć: ora logarytmy g lówne tych licb k log log i log i) log i) Ćwicenie 9 Wykaać że jeżeli b Z to definicja pote gi a b pokrywa sie e wyk la arytmetycna definicja pote gi

7 Ćwicenie 0 Wykaać że wsystkie wartości pote gi a /n sa pierwiastkami równania n = a ora każdy pierwiastek tego równania jest wartościa pote gi a /n Pokaać że jeśli a = rcos φ + i sin φ) r 0 to w k = r /n cos φ + kπ n sa wsystkimi pierwiastkami n-tego stopnia a ) + i sin φ + kπ ) k = 0 n n Ćwicenie Niech 3 C be da takie = = 3 = Pokaać że = 0 wtedy i tylko wtedy gdy 3 sa pierwiastkami treciego stopnia pewnej licby 0 C Ćwicenie Wykaać że dla każdej licby C \ 0 istnieje dok ladnie jedna licba espolona ζ = α + iβ α > 0 taka że ζ = Ćwicenie 3 Niech dany be die wielomian P ) = n + a n + + a n n > 0 a) Pokaać że jeśli 0 jest pierwiastkiem wielomianu P to 0 max j=n a j j b*) Pokaać że istnieje pierwiastek 0 wielomianu P taki że 7 0 n max j=n a j j Wsk W ce ści b) astosować asadnice twierdenie algebry Ćwicenie 4* Niech P ) = a 0 + a + + a n n gdie a 0 a n R pry cym a 0 > > a n > 0 Pokaać że P nie ma pierwiastków w kole K = { C : } Ćwicenie 5* Pokaać że dla dowolnego wielomianu P ) = a 0 n + + a n a 0 0 n > 0 ce ść recywista Re P i ce ść urojona Im P sa wielomianami które nie maja wspólnych cynników dodatniego stopnia Ćwicenie 6* Jeżeli W jest wielomianem stopnia n wówcas wsystkie pierwiastki równania W ) = 0 leża w biore wypuk lym wynaconym pre pierwiastki równania W ) = 0 Gauss) Wskaówka Skorystać e woru ) ćwicenia 7; auważyć że / k ) = k )/ k

8 8 Ćwicenie 7* Równanie + + a n = 0 gdie n jest licba ca lkowita n ora a dowolna licba espolona posiada awse pierwiastek o module nie prekracaja cym Landau) Wskaówka Podstawić = /w i skorystać adania popredniego Ćwicenie 8* Kronecker) Niech dany be die wielomian o wspó lcynnikach ca lkowitych postaci Q) = n + a n + + a n Jeśli wsystkie pierwiastki wielomianu Q należa do okre gu { C : = } to każdy taki pierwiastek jest pewnym pierwiastkiem jedności Ćwicenie 9* Niech dany be die wielomian o wspó lcynnikach ca lkowitych postaci Q) = n + a n + + a n Jeśli a n 0 ora wsystkie pierwiastki wielomianu Q należa do ko la { C : } to każdy taki pierwiastek jest pewnym pierwiastkiem jedności Ćwicenie 0 Pokaać że jest pierwiastkiem równania a + b + c = 0 a b c C a 0 wtedy i tylko wtedy gdy a + b jest pierwiastkiem kwadratowym licby = b 4ac Ćwicenie Pokaać że wsystkimi pierwiastkami równania a + b + c = 0 a b c C a 0 sa licby = b w a = b + w a gdie w jest pierwiastkiem drugiego stopnia = b 4ac Ćwicenie Rowia ać równania: a) + + i = 0 b) = 0 c) + i + 3 = 0 d) + i) + i = 0 e) 4i 3 = 0 f) + i + i = 0 V Logarytm i pote ga cd Homografia Ćwicenie Pokaać że równanie cos = a posiada dla każdej wartości a C nieskńcenie wiele pierwiastków *) Dla jakich wartości a każde dwa pierwiastki tego równania różnia sie o wielokrotność π? o wielokrotność π?) )*) Napisać pry pomocy naku log) wór na rowia anie równania cos = a Analogicne adanie dla równania sin = a Ćwicenie Pokaać że równania tg = a ora ctg = a posiadaja dla każdej wartości a C a ±i nieskońcenie wiele pierwiastków *) Dla a = ±i równania powyżse rowia ań nie posiadaja Napisać pry pomocy naku log) wór na rowia anie tych równań

9 9 Ćwicenie 3 Pokaać że pierwiastki równania: ) ) n n x + x 3 + = 0 3 w którym wyraem ostatnim jest nx n lub x n w ależności od parystości lub nieparystości licby n) dane sa pre wór x = ±i tgkπ/n) gdie k = 0 n )/ dla n parystego i k = 0 n )/ dla n nieparystego Wskaówka Równanie dane napisać w postaci + x) n = x) n Ćwicenie 4 Oblicyć wsystkie pierwiastki równań: a) sin = b) cos = i c) ) n x 3 + n ) x n 3 5) x 5 = 0 ) x + n 4) x 4 = 0 ) x ) n 3 x ) nn ) x n = 0 d) n e) + n ) x n Wskaówka Dla równań c) i d) roróżnić prypadki n parystego i nieparystego Zauważyć że równanie c) jest równoważne i+x) n = i x) n równanie d) i+x) n = i x) n aś równanie e) i + ) ix) n = i ) + ix) n Ćwicenie 5 Jeżeli 0 n jest uk ladem n różnych pierwiastków n-tego stopnia jedności to dla każdej licby ca lkowitej k suma k 0 + k + + k n jest równa n gdy k jest wielokrotnościa licby n a równa 0 w prypadku preciwnym Ćwicenie 6 Znaleźć wsystkie wartości pote g i i i i auważyć że dwie pierwse posiadaja tylko wartości recywiste a trecia tylko wartości urojone) Ćwicenie 7 Cy prawdiwa jest równość a b a c = a b+c gdie a C\{0} b c C? Ćwicenie 8* Pokaać że pote ga a u+iv gdie u ora v sa licbami recywistymi i a 0) posiada tylko wartości recywiste wtedy i tylko wtedy gdy u jest licba ca lkowita a licba vlog a + uarg a jest wielokrotnościa π Ćwicenie 9* Pokaać że wsystkie wartości pote gi a c maja ten sam modu l wtedy i tylko wtedy gdy Im c = 0 Jeżeli Im c 0 wówcas pote ga a c posiada nieskońcenie wiele różnych modu lów których kresem dolnym jest 0 a górnym + Wsystkie wartości pote gi a c leża na jednej pó lprostej wychoda cej punktu 0 wtedy i tylko wtedy gdy Re c Z; miesca sie na skońconej ilości takich pó lprostych wtedy i tylko wtedy gdy Re c Q Ćwicenie 0 Udowodnić że a) jeżeli R to dla dowolnej licby espolonej a takiej że a achodi a = a b) dla dowolnej licby espolonej takiej że = i dowolnej licby espolonej a achodi a = a

10 0 Ćwicenie Znaleźć obra bioru w podanej homografii: a){ : a = a a R} h) = b){ : ib = + b b R} h) = c){ : Re > 0 Im > 0} h) = i d){ : 0 < Re < } h) = e){ : 0 < Arg < π 4 } h) = +i Ćwicenie * Udowodnić że każda homografia jest bijekcja C na C Ćwicenie 3 Niech f) = 3 3 gdie 3 C sa parami różnymi licbami espolonymi ora niech g) = w w 3 w w w w 3 gdie w w w 3 C sa parami różnymi licbami espolonymi Udowodnić że h = g f jest homografia ora h ) = w h ) = w h 3 ) = w 3 Wywnioskować sta d że dla dowolnych dwóch okre gów uogólnionych istnieje homografia preksta lcaja ca jeden nich na drugi Ćwicenie 4 Udowodnić że każda homografia postaci *) h) = e iφ a a < φ R a praeksta lca ko lo K = { C : < } na siebie ora każda homografie preksta lcaja ca ko lo K na siebie można apisać w postaci *) Ćwicenie 5* Udowodnić że każda homografia jest homeomorfimem C na C Ćwicenie 6* Udowodnić że dla dowolnych parami różnych punktów 3 C ora w w w 3 C istnieje dok ladnie jedna homografia preksta lcaja ca j na w j j = 3 Ćwicenie 7* Zbadać romiescenie punktów 0 w których pote ga pryjmuje wy la cnie wartości recywiste punkty te po lożone sa na prelicalnej mnogości prostych równoleg lych do osi urojonej i na każdej tych prostych najduje sie nieskońcenie wiele punktów o podanej w lasności)

11 VI Ca lki Seregi Pote gowe i seregi Laurenta Ćwicenie Oblicyć ca lke a) Γ Re d gdie Γ = [0 + i] b) Γ Re d gdie Γ jest krywa o opisie parametrycnym φt) = r expiπt) t 0 gdie r > 0 c) Γ + ) d gdie Γ jest krywa o opisie parametrycnym φt) = expit) t 0 π d) expsin ) cos d gdie Γ jest dodatnio orientowanym bregiem pewnego Γ prostoka ta normalnego Ćwicenie Oblicyć ca lke Γ 0 ) n d gdie n jest licba ca lkowita aś Γ jest dodatnio orientowanym okre giem o środku w punkcie 0 i promieniu r > 0 Ćwicenie 3 Oblicyć ca lke Q d 0 gdie Q jest dodatnio orientowanym bregiem kwadratu normalnego o środku 0 Ćwicenie 4 Udowodnić że d lugość sumy dwóch krywych regularnych jest suma d lugości tych krywych Ćwicenie 5 Oblicyć d lugość krywej Γ gdie a) Γ = [ + i i] b) Γ = [ i 0 i] c) Γ jest dodatnio orientowanym okre giem o środku 0 i promieniu r Ćwicenie 6* Oblicyć ca lke Re d Γ gdie Γ jest krywa o opisie parametrycnym φt) = expexp it) + sinπ expit)) t 0 π Ćwicenie 7 Oblicyć ca lke Q exp sin d gdie Q jest dodatnio orientowanym bregiem kwadratu o wiercho lkach i i + i + i

12 Ćwicenie 8 Oblicyć ca lke Q + d gdie Q jest dodatnio orientowanym bregiem kwadratu o wiercho lkach i i + i + i Ćwicenie 9 Oblicyć ca lke Q exp ) ) d gdie Q jest dodatnio orientowanym bregiem kwadratu o wiercho lkach i i + i i Ćwicenie 0 Określić rodaj osobliwości w punktach osobliwych naste puja cych funkcji ) f) = 3 ) f) = 5 ) 3) f) = exp 4) f) = 5) f) = 6) f) = sin sin exp +4) 7) f) = sin 8) f) = cos π 9) f) = sin ) sinπ) Ćwicenie Wynacyć ko lo bieżności seregu pote gowego 3 ) n+ 3)n 5 ) n! n 3) sin n) n 4) n)! n!) n 5) n n n! 6) n n n n= 7) n! + i) n 8) sin n ) + i)n 9) +n 3 n +n + + i) n 3 0) + i) n 4n ) n= n= ln n n n ) n!) 3 3n)! n Ćwicenie Na podstawie definicji pokaać że sereg n jest niemal jednostajnie bieżny w kole D = { C : < } Ćwicenie 3 Rowina ć w sereg pote gowy funkcje f w otoceniu punktu 0 podać jego ko lo bieżności gdie ) f) = cos + 0 = 0 ) f) = sin + cos 0 = π 3) f) = ++ 0 = 0 4) f) = ) 0 = 0 5) f) = exp + exp ) 0 = 6) f) = 0 = 7) f) = Log 0 = 8) f) = exp 0 = 9) f) = exp 0 = 0 0) f) = cos 0 = 0 ) f) = = 0 ) f) = = 0

13 Ćwicenie 4 Rowina ć w sereg Laurenta funkcje f w sa siedtwie punktu 0 podać jego pierścień bieżności gdie ) f) = 0 = 0 ) f) = ) 0 = 3) f) = +)+3) 0 = 0 4) f) = exp 0 = 0 5) f) = sinπ + ) 0 = 6 ) f) = exp + ) 0 = 0 3 Ćwicenie 5 Wynacyć biór punktów C w których bieżny jest sereg Laurenta n n n= Ćwicenie 6* Rowina ć funkcje a) b) gdie a b C sa b w sereg Laurenta o środku 0 = 0 w biore a) G = { C : a < < b } b) G = { C : > b } takie że 0 < a < Ćwicenie 7* Rowina ć funkcje +) +) w sereg Laurenta o środku 0 = 0 w biore a) G = { C : < < } b) G = { C : > } Ćwicenie 8* Udowodnić że sereg n n ) n+ ) jest niemal jednostajnie bieżny w kole D = { C : < } do funkcji ora niemal jednostajnie bieżny w G = { C : > } do funkcji ) Wsk Onacaja c a n ) = n n ) n+ ) auważyć że a n ) = n n+ + a n) = Ćwicenie 9* Wykaać że funkcja f) = Log + ) jest holomorficna w obsare G = { C : > } Rowina ć funkcje f w G w sereg Laurenta o środku w ere VII Kolokwium 3 stycnia 09 r)

14 4 VIII Regu la de L Hospitala Residuum Ćwicenie Wykaać regu le de L Hospitala dla wyrażeń nieonaconych awieraja cych funkcje holomorficne: Jeśli f i g sa funkcjami holomorficnymi w pierścieniu P = { C : 0 < a < r} gdie a C r > 0 f) 0 g) 0 dla P takimi że lim a f) = lim g) = 0 lub lim f) = lim g) = ) ora istnieje skońcona lub a nieskońcona granica lim sa sobie równe a f ) a g ) a to istnieje również granica lim Ćwicenie Oblicyć granice o ile istnieja ): f) a g) ) lim 0 sin 3 ) lim 0 exp sin 3) lim 4) lim 0 exp ) 5) lim 0 exp ) i obie te granice sin + 5 ) 0 6) lim sin 7) lim 0 sin ) 8) lim 0 sin ) 9) lim sin 0 0) lim π cos ) ) lim cos 0 sin +cosπ) ) lim Ćwicenie 3 Pokaać że jeśli f) = g)h) gdie g jest funkcja holomorficna a h meromorficna biegunem jednokrotnym w punkcie 0 C to res 0 f = g 0 ) res 0 h Ćwicenie 4 Pokaać że jeśli f) = g) h) gdie g h sa funkcjami holomorficnymi w punkcie 0 C pry cym g 0 ) 0 ora 0 jest erem jednokrotnym funkcji h to res 0 f = g 0) h 0 ) Ćwicenie 5 Oblicyć residua funkcji w ich biegunach sin π tg π ctg π cos π Ćwicenie 6 Udowodnić że jeśli funkcja f posiada w punkcie 0 C biegun co najwyżej k-krotny to wspó lcynniki rowinie cia f) = n= k a n 0 ) n w sereg Laurenta w sa siedtwie punktu 0 dane sa pre wór gdie f ) = f) 0 ) k a n k = lim 0 f n) ) n!

15 Ćwicenie 7 Niech f be die funkcja meromorficna w punkcie 0 Udowodnić że 0 jest pierwiastkiem k-krotnym funkcji f wtedy i tylko wtedy gdy 0 jest biegunem k-krotnym funkcji f Ćwicenie 8 Niech f : G C be die funkcja meromorficna nie nikaja ca tożsamościowo w obsere G Pokaać że na to aby punkt 0 G by l k-krotnym biegunem funkcji f potreba i wystarca aby lim 0 ) k) ) 0 ora lim f 0 ) l) ) = 0 dla 0 l < k f 5 Ćwicenie 9 Pokaać że jeśli 0 jest co najwyżej k-krotnym biegunem funkcji f k to res 0 f = lim 0 ) k f)) k ) k )! 0 Ćwicenie 0 Oblicyć residua funkcji f w podanych punktach 0 : )f) = exp ) 4 0 = )f) = sin α 3 sin β 0 = 0 gdie α β C β 0 3)f) = n + ) n 0 = gdie n N 4)f) = + ) n 0 = i gdie n N 5)f) = sin +4) 0 = 0 Ćwicenie Oblicyć residua funkcji f we wsystkich punktach osobliwych tn w biegunach i punktach istotnie osobliwych) a)f) = 3 5 ) b) f) = exp +4) c)f) = ctg d) f) = sin e)f) = n sin f )f) = exp + ) g)f) = + 4 h) f) = ++i) Ćwicenie Oblicyć ca lki sin π cos π P P P tg π P ctg π P exp + 4) d gdie P jest dodatnio orientowanym bregiem prostoka ta o wiercho lkach i i + i + i