Granica cia. Ostatnia aktualizacja 17 listopada 2013, godz. 1:47. gi liczbowe. Jeśli np. chcemy zdefiniować ty foremne wpisane w to ko lo o coraz wie

Transkrypt

1 * By ly ie paradoksy zwia zae z problemem dzieleia w ieskończoość a cze ści, p. pukt ie ma d lugości, odciek sk lada sie z puktów i ma d lugość, poruszaja cy sie obiekt w ieskończeie krótkim czasie ie przebywa żadej odleg lości, a jedak sie porusza. Przekoamy sie, że dzie ki poje ciu graicy daje sie w sesowy sposób mówić o tego rodzaju kwestiach ie dochodzac do pozorych sprzeczości. - Ostatia aktualizacja 7 listopada 03, godz. :47 W wielu sytuacjach rozpatrywae sa tzw. gi liczbowe. Jeśli p. chcemy zdefiiować pole ko la, to moża rozważać p. wieloka ty foreme wpisae w to ko lo o coraz kszej liczbie boków i mówić, że pole ko la jest, która moża przybliżać polami tych wieloka tów, przy czym przybliżeie jest tym dok ladiejsze im ksza jest liczba boków wieloka ta. Mamy tu c do czyieia z giem pól wieloka tów wpisaych w dae ko lo, co ozacza, że liczbom aturalym pocza wszy od 3 przypisae zosta ly pewe liczby rzeczywiste. Te ostatie azywamy wyrazami i ozaczamy a ogó l symbolem a. Iy przyk lad by l rozważay przez Zeoa p..e) z Elei. Twierdzi l o miaowicie, że zay w starożytości biegacz Achilles ie jest w staie dogoić żó lwia. Rozważaia te przedstawimy oczywiście używaja c wspó lczesego je zyka i stosuja c wspó lczese ozaczeia. Przyjmijmy a przyk lad, że pocza tkowa odleg lość mie dzy Achillesem i żó lwiem rówa jest 00 m. Dla prostoty przyjmiemy, że pre dkość Achillesa jest dziesie ciokrotie ksza iż pre dkość uciekaja cego żó lwia. W jakimś czasie Achilles przebiegie 00 m. W tym samym czasie żó lw przesuie sie o 0 m, c a razie przyajmiej ie zostaie z lapay. Po 0 tego czasu Achilles przebiegie 0 m, jedak zów ie dogoi żó lwia, który oddali sie o aste py metr. Achilles przebiegie metr, a żó lw oddali sie o 0 cm itd. Proces te moża kotyuować. Prowadzi to do rozpatrywaia coraz d luższych odcików przebytych przez Achillesa, czyli liczb: 00 ; 0 ; ;, ;... czyli, którego wyraz o umerze jest day za pomoca wzoru a = =,... przy czym w 0 zapisie dziesie tym tej liczby wyste puje jedyek. Zeo po prostu ie potrafi l zsumować ieskończeie wielu sk ladików. Nie operowa l poje ciem sumy ieskończoej, ie umiao wtedy takiego poje cia zdefiiować. Tego rodzaju problemy aalizowao już wtedy, ale ścis le defiicje matematycze pojawi ly sie dopiero w pierwszej po lowie XIX wieku Gauss, Cauchy, Bolzao). Oczywiście moża latwo odpowiedzieć a pytaie po przebiegie ciu jakiego dystasu Achilles z lapie żó lwia:,... = Na wszelki wypadek podamy formale rozumowaie, które moża by lo zastosować rówież w starożytości, jedak bez jawego użycia poje cia sumy ieskończoej, a c omijaja c istoty problem matematyczo-filozoficzy.* Ozaczmy dystas przebyty przez żó lwia do mometu zakończeia pogoi przez x. Achilles w tym samym czasie przebieg l odleg lość 0x. Różica tych wielkości to 9x = 00. Sta d atychmiast wyika, że x = , zatem 0x =. Oczywiście problemem istotym 9 9

2 by lo tu obliczeie tzw. graicy, czym zajmiemy sie iebawem. Rozważymy jeszcze iy przyk lad. Za lóżmy, że mamy do czyieia z pewa iloś pierwiastka promieiotwórczego. Niech m ozacza jego mase. Fizycy twierdza, że ubytek masy pierwiastka promieiotwórczego jest proporcjoaly do czasu i masy substacji. Ozaczmy wspó lczyik proporcjoalości przez µ i zastaówmy sie jaka ilość tego pierwiastka be dziemy mieć po czasie t. Na tzw. zdrowy rozum masa w czasie t powia sie zmiejszyć o µ t m. Jedak substacja promieiuje bez przerwy. Moglibyśmy c rozumować w te sam sposób myśla c o czasie dwukrotie t krótszym, czyli. Wtedy masa zmiejszy laby sie o µ t m. Wobec tego po czasie t t masa by laby rówa m µ m = m µ t ). Ta masa zmiejsza laby sie w dalszym zgodie z tym samym prawem, c po czasie t masa pierwiastka by laby rówa m µ t ) µ t m µ t ) = m µ t ). Mamy c dwa wyiki µ t ) m, jeśli czas dziey a pó l oraz µ t ) m, jeśli ie dziey. Te wyiki sa róże, c poday opis ie może być dobry. Na domiar z lego, jeśli czas podziey ie a dwie rówe cze ści, to wyik be dzie jeszcze iy: przy podziale t = t 3 + t 3 + t 3 wywioskujemy, że po czasie t masa rówa jest m µ t 4 )3, przy podziale t = t 4 + t 4 + t 4 + t 4 wyik to m µ t 4 )4. Oczywiście rezultat ie może zależeć od tego, w jaki sposób opisujemy zjawisko. Moża c przypuścić, że zacytowae prawo fizyki dzia la w przypadku dostateczie krótkiego czasu z b le dem miejszym iż dok ladość pomiaru. Matematyka oblije to do zadaia pytaia: czy koleje liczby m µ t), m µ t ), m µ t 3 )3, m µ t 4 )4,... przybliżaja z coraz ksza dok ladoś pewa liczbe, która mog laby być wtedy uważaa za prawdziwy wyik? Pytaie okazuje sie tym ważiejsze, że do tego samego pytaia prowadzi aaliza oprocetowaego wk ladu bakowego albo p. wyd lużaia sie p. szy kolejowych w wyiku wzrostu temperatury lub ich skracaia sie w wyiku spadku temperatury. To prawo fizycze jest zae każdemu, kto by l przytomy w czasie lekcji fizyki w szkole podstawowej lub gimazjum. Jedak ieliczi ucziowie zauważaja problem, który opisaliśmy wyżej. Stosowaie tego prawa w sposób opisay w podre czikach szkoly prowadzi do różych wyików w zależości od tego czy temperatura zmieia sie p. o 0, czy też o 0 +0, co oczywiście ie może być prawda, bowiem wzrost temperatury ie jest skokowy, lecz odbywa sie stopiowo. Podsumujmy: opisae wyżej zagadieia prowadza do rozpatrywaia o wyrazie + x ), w przypadku masy substacji promieiotwórczej x = µ t. Powyższe rozważaia sugeruja, że wzrost liczby aturalej powiie powodować wzrost wyrażeia + x ) przyajmiej w przypadku x 0. W istocie rzeczy latwo moża sie przekoać o tym, że > x

3 wzrost taki ma miejsce, wykażemy to iebawem. Iym rodzajem jest tzw. g geometryczy: a = a 0 q, gdzie a 0 i q sa dowolymi liczbami rzeczywistymi. Liczba q jest zwaa ilorazem geometryczego, bo w przypadku q 0 jest rówa ilorazowi dwóch kolejych wyrazów. Do rozpatrywaia tego prowadza opisae poprzedio zagadieia, jeśli ie zmiejszamy odcików czasu lub temperatury Liczba ludzi w daym kraju w przypadku sta lego przyrostu aturalego zachowuje sie jak g geometryczy o ilorazie dosyć bliskim jedości dodati przyrost aturaly ozacza, że iloraz jest kszy iż zaś ujemy przyrost aturaly że iloraz jest miejszy iż. Jeszcze iym rodzajem jest g arytmetyczy: a = a 0 + d, gdzie a 0 oraz d ozaczaja dowole liczby rzeczywiste. Liczba d zwaa jest różica arytmetyczego, jest oa rówa różicy dwóch kolejych wyrazów. Na prze lomie XVIII i XIX wieku zaobserwowao, że ilość zboża zachowuje sie jak wyraz arytmetyczego jest umerem roku). Oczywiście tego rodzaju obserwacje sa przybliżoe, bowiem co jakiś czas zdarzaja sie powodzie, susze i wtedy proces wzrostu ulega zak lóceiu. Bywaja też zak lóceia iego rodzaju, p. w XIX zauważoo, że stosowaie saletry chilijskiej awozy azotowe) z ksza w istoty sposób ploy. By ly też ie zak lóceia aturalego tempa wzrostu ilości zbóż. W ksia żce Liber Abaci z 0 r. autorstwa Leoarda z Pizy, zwaego Fiboaccim, zajduje sie aste puja ce zadaie: Ile par królików może być sp lodzoych przez pare p lodych królików i jej potomstwo w roku, jeśli każda para daje w miesia ca żywot jedej parze, para staje sie p loda po miesia cu, króliki ie zdychaja w tego roku. Jase jest, że po miesia cu mamy już dwie pary przy czym jeda z ich jest p loda, a druga jeszcze ie. Wobec tego po dwóch miesia cach żyja już trzy pary królików: dwie p lode, jeda jeszcze ie. Po trzech miesia cach żyje już pie ć par królików: trzy p lode, dwie jeszcze ie. Po czterech miesia cach jest już 8 = par królików. Kotyuuja c to poste powaie stwierdzamy po iezbyt d lugim czasie, że po roku żyje już 377 = par królików. Naturalym problemem jest: zaleźć wzór a liczbe a, jeśli a 0 =, a = i a = a + a dla =, 3, 4,.... Wzór taki zosta l zalezioy dopiero po kilkuset latach od apisaia ksia żki przez Fiboacci ego i wygla da tak: a = + ) + 5 ) Dowód prawdziwości tego wzoru jest prosty i ie wykracza poza program liceum 3

4 latwa idukcja. Jedak ważiejsze jest pytaie, jak w ogóle moża tego rodzaju hipoteze sformu lować. Za kilka miesie cy staie sie jase w jaki sposób do takiego dziwego rezultatu moża dojść. Przejdziemy teraz do ścis lego zdefiiowaia. Defiicja 4. ) Cia giem azywamy dowola fukcje określoa a zbiorze z lożoym ze wszystkich tych liczb ca lkowitych, które sa ksze lub rówe pewej liczbie ca lkowitej 0. Wartość tej fukcji pukcie azywamy -tym wyrazem. Stosujemy ozaczeie a ) dla ozaczeia, którego -tym wyrazem jest a. Rozpatruja c wieloka ty wpisae w okra g zaczyamy od trójka ta, w tym przypadku ajmiejszym umerem wyrazu jest liczba 0 = 3 zaczyamy c od a 3 ). Rozważaja c gi postaci + x ) zaczyamy od 0 =, czyli od a. Rozpatruja c g arytmetyczy, geometryczy oraz g Fiboacciego rozpocze liśmy od 0 = 0. Oczywiście moża rozpoczyać umeracje od dowolej liczby ca lkowitej, rówież ujemej. Termiy g arytmetyczy, g geometryczy używae be da ie tylko w przypadku gów rozpoczyaja cych sie od wyrazu a 0, rówież w tym przypadku 0 może być dowola ca lkowita. Chodzi jedyie o to, by by ly prawdziwe rówości a = a + d lub w przypadku geometryczego a = a q dla wszystkich liczb ca lkowitych 0. Zazwyczaj jedak umeracje be dziemy rozpoczyać od 0 lub od. Jeśli ie zazaczymy tego wyraźie, symbol ozaczać be dzie liczbe ca lkowita ieujema, czyli aturala.* Rozpatrywaie gów ieskończoych wymaga precyzji. Wiele osób ie może pogodzić sie z tym, że = 0, = 0,9 + 0,09 + 0, , , bo wydaje im sie, że prawa stroa jest miejsza, choć wiedza jaka mia laby różica lewej i prawej stroy. Omówimy jeszcze jede przyk lad, który w przekoaiu autora tekstu wyraźie sugeruje koieczość dok ladego zdefiiowaia poje ć, którymi sie pos lujemy i wyjaśieia, co wolo, a czego ie wolo robić. Rozważmy sume s = W sumie wyste puje ieskończeie wiele sk ladików. Jest jase, że s = = = )+ 3 4 )+ 5 6 )+ 7 8 )+ 9 0 )+ )+ 3 4 )+ 5 6 ) )+... >, bo różice w awiasach sa dodatie. Podobie moża uzasadić, że * Cze ść matematyków uważa, że liczby aturale to,,... Ii uważaja, że zaczyać ależy od 0. W momecie pisaia tego tekstu autor przychyli l sie do tej drugiej kocepcji: liczby aturale s luża przede wszystkim do ustalaia liczby elemetów daego zbioru skończoego, poieważ rozważamy iejedokrotie zbiór pusty, c liczbe 0 uważać be dziemy za aturala. 4

5 s > )+ 3 4 ) =: s 4 lub s > )+ 3 4 )+ 5 6 )+ 7 8 )+ 9 0 ) =: s 0. Rozpatrywaa sume możemy też zapisać tak: s = = = ) ) ) ) ) ) ) ) )+... < =: s ostatia ierówość wyika z tego, że sumy we wszystkich awiasach sa ujeme. Podobie jak poprzedio możemy wykazać cej: s = ) ) ) ) ) ) ) ) ) +... < ) =: s 3 Ogólie, jeśli s ozacza sume pierwszych sk ladików sumy ieskończoej s, to dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość s < s < s +. Jase jest też, że istieje tylko jeda taka liczba σ, że s < σ < s + aturalych. Poprzekszta lcamy jeszcze troche : dla wszystkich liczb s = = = = = = = ) = s zmieiliśmy kolejość sk ladików ie pozbywaja c ai jedego, pogrupowaliśmy i w końcu, po wy la czeiu przed awias, doprowadziliśmy do rówości s = s, która mia laby zachodzić pomimo tego, że < s <. Widać c, że jeśli chcemy operować sumami ieskończeie wielu sk ladików, to musimy zdefiiować dok ladie poje cia, p. sumy ieskończoej, a potem sformu lować i udowodić odpowiedie twierdzeia pozwalaja ce a przekszta lcaie sum ieskończoych. Kluczowym poje ciem jest graica poje cia zasygalizowaego przy okazji omawiaia paradoksu Zeoa. Warto stwierdzić od razu, że w defiicji pojawi sie zdaie wielokrotie z lożoe, a takie zdaia osobom, które ich a co dzień ie używaja moga sprawiać k lopoty. Zreszta ludzie przez d lugi czas mówili o graicach ie podaja c precyzyjej defiicji, co prowadzi lo do różych ieporozumień, ale podać defiicje użytecza i jedocześie ścis la, ie by lo latwo. Defiicja 4. graicy ) a. Liczba g azywaa jest graica a ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolej liczby dodatiej ε > 0 istieje liczba ca lkowita ε, taka że jeśli > ε, to a g < ε. b. + czytaj: plus ieskończoość) jest graica a ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej M istieje liczba ca lkowita m taka, że jeśli > M, to a > M. 5

6 c. czytaj: mius ieskończoość) jest graica a ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej M istieje liczba ca lkowita m taka, że jeśli > M, to a < M. d. Jeśli g jest graica a ), skończoa lub ie, to piszemy g = a lub a g. Moża też pisać a g, gdy lub krótko a g. Mówimy, że g jest zbieży, jeśli jego graica jest skończoa. Skometujemy po pierwsze cze ść a. Chodzi tam o to, że wyrazy, których umery sa dostateczie duże > ε ) przybliżaja graice g z dopuszczala dok- ladoś a g < ε ). Stwierdzimy tu wyraźie, że przejście do aste pego wyrazu ie musi z kszyć dok ladości przybliżeia, przeciwie chwilowo może sie ta dok ladość zmiejszyć, dopiero dostateczie duży wzrost umeru wyrazu musi z kszyć dok ladość przybliżeia jeśli g jest sta ly, p. a = 33 dla każdej liczby aturalej, to b la d jest zerowy zawsze, iezależie od umeru wyrazu, c dok ladość ie może być poprawioa). O liczbie ε myśleć ależy jako o ma lej liczbie dodatiej chodzi o to, że jeśli dla ma lego ε umiemy wskazać momet, od którego b la d jest miejszy iż ε, to od tego mometu ierówość jest rówież spe lioa z kszym ε ). Pamie tajmy rówież o tym, że liczba x y może być traktowaa jako odleg lość dwóch puktów prostej. Wobec tego ierówość a g < ε ozacza, że pukt a zajduje sie w przedziale o d lugości ε i środku g. W szczególości g, którego wszystkie wyrazy sa takie same lub awet ie wszystkie, tylko wszystkie od pewego mometu, tj. dla dostateczie dużych sa idetycze), jest zbieży, przy czym graica takiego jest wspóla wartość jego wyrazów. Cze sto zamiast mówić istieje ε, takie że dla > ε zachodzi... be dziemy mówić, że dla dostateczie dużych zachodzi... lub że dla prawie wszystkich zachodzi.... Tak c dla prawie wszystkich... ozacza dla wszystkich, z wyja tkiem skończeie wielu.... Podobie moża iterpretować cze ść b defiicji graicy. Tym razem wyraz, którego umer jest dostateczie duży > M ) powiie być blisko plus ieskończoości, c ma być duża dodatia a > M ). Iterpretacje cze ści c pozostawiamy czytelikom jest oa w pe li aalogicza do cze ści b. Niektórzy autorzy używaja termiu g jest rozbieży do +, a ii mówia, że g jest zbieży do +. My be dziemy stosować raczej pierwsza termiologie. Przyk lad 4. 0 =. Aby przekoać sie o prawdziwości tej tezy wystarczy przyja ć, że ε jest dowola ca lkowita ksza iż ε. Moża c przyja ć p. =, / = 3, 0,4 = 3, ale moża też po kszyć iektóre z tych liczb lub 6

7 awet wszystkie i przyja ć = 0, / = 07, 0,4 = 3. Mamy c możliwość wyboru: liczbe ε moża zawsze zasta pić ksza. Przyk lad 4. = Wykażemy, że wzór te jest prawdziwy. Bez trudu stwierdzamy, że ierówość +3 7 = 7 zachodzi dla dowolej 4 4 ) 6 4 liczby ca lkowitej. Wystarczy c, by ε > 7 6ε. To zdaie ozacza, że dla tak dobraego ε i > ε prawdziwa jest ierówość +3 < ε ie zaczy to jedak, że tylko dla tych liczb ca lkowitych ierówość ta ma miejsce! Nie musieliśmy rozwia zywać ierówości, choć w tym przypadku by lo to możliwe wystarczy lo udowodić, że ierówość ma miejsce dla wszystkich dostateczie dużych liczb aturalych. Przyk lad 4.3 Jeśli d > 0, to + = a 0 + d). Postaramy sie wykazać, że rówość ta ma miejsce. Jeśli M jest dowola rzeczywista, ε > M a 0 d i > ε, to > M a 0 d, zatem a = a 0 +d > M, co dowodzi prawdziwości rówości, która dowodzimy. Wykażemy teraz bardzo użytecza ierówość. Twierdzeie 4.3 Nierówość Beroulli ego) Za lóżmy, że jest ca lkowita dodatia zaś a > rzeczywista. Wtedy + a) + a przy czym rówość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub gdy =. Dowód. Jeśli =, to oczywiście iezależie od wyboru liczby a ma miejsce rówość. Poieważ + a) = + a + a + a, przy czym rówość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a=0, c teza zachodzi dla = i wszystkich liczb rzeczywistych a ie tylko a > ). Otrzymaa ierówość + a) + a możemy pomożyć stroami przez liczbe dodatia +a) tu korzystamy z za lożeia a >. W wyiku otrzymujemy + a) 3 + a) + a) = + 3a + a + 3a. Także w tym przypadku jest widocze, że dla a 0 otrzymujemy ierówość ostra. Z tej ierówości w taki sam sposób jak poprzedio wyika, że + a) 4 + 3a) + a) + 4a + 3a + 4a. Teraz w te sam sposób wioskujemy prawdziwość twierdzeia dla = 5 i wszystkich a >, potem dla = 6 itd. Ogólie jeśli + a) + a dla wszystkich liczb a > przy ustaloej liczbie aturalej, to + a) + + a) + a) = + + )a + a + + )a 7

8 i zów bez trudu stwierdzamy, że rówość ma miejsce jedyie dla a = 0. Oczywiście jest to latwe rozumowaie idukcyje, azwy ie użyto wcześiej, by ie odstraszać tych, którzy jeszcze boja sie idukcji. Twierdzeie 4.4 geometryczego) Niech a = q. Cia g te ma graice 0, jeśli q <, ma graice, jeśli q =, ma graice +, jeśli q >. Jeśli q, to g graicy ie ma. Dowód. W przypadku q = 0 oraz q = teza jest oczywista, bo g jest sta ly jego wyrazy ie zależa od umeru). Za lóżmy teraz, że 0 < q <. Niech ε > 0 ε be dzie rzeczywista. Jeśli ε > jest liczba q ca lkowita i > ε, to ) ) ) q = + q + q > + ε = ε. Z otrzymaej ierówości wyika, że dla > ε zachodzi q > ε, czyli q < ε, a to ozacza, że q = 0. Kolejy przypadek to q >. Mamy teraz q = + q )) + q ). Wobec tego, jeśli > M i M > M q, to q > + M ) = M. Jase jest c, że q = +. Pozosta l przypadek ostati: q. W tym przypadku mamy q dla każdej liczby ca lkowitej ieparzystej oraz q dla każdej liczby ca lkowitej parzystej. Gdyby istia la skończoa graica g, to wyrazy o dostateczie dużych umerach leża lyby w odleg lości miejszej iż od graicy g to atychmiastowa kosekwecja istieia graicy skończoej. Jeśli jedak odleg lości q i q + od graicy g sa miejsze od, to odleg lość mie dzy imi jest miejsza iż + =, co ozacza, że q q + <. To jedak ie jest możliwe, bowiem jeda z liczb q, q + jest miejsza lub rówa, a druga ksza lub rówa. Sta d zaś wyika, że odleg lość mie dzy q i q + ie jest miejsza iż ) = *. Otrzymaliśmy sprzeczość, c g graicy skończoej ie ma. + graica tego też ie jest, bowiem wtedy wyrazy o dostateczie dużych umerach musia lyby być ksze od 0 przyjmujemy M = 0 ), a tak ie jest, bo te, których umery sa ieparzyste, sa ujeme. Aalogiczie ie jest graica tego, bo wyrazy o umerach parzystych sa dodatie, co wyklucza to, że wyrazy o dostateczie dużych umerach sa ujeme i w tym przypadku przyjmujemy M = 0 ). Wykazaliśmy c, że g ie ma ai graicy skończoej ai ieskończoej, co Nie używamy tu logarytmu, bo chcemy pokazać, że kokrete oszacowaia moża uzyskać bardzo elemetarie. Gdybyśmy jedak zechcieli go użyć, to moglibyśmy apisać ε >log 0 ε)/log 0 q ), przyp. log 0 q <0. * Moża to rozumowaie zapisać wzorami: q q + q g + g q + <+= dla dostateczie dużych. 8

9 kończy badaie graicy geometryczego. Cia gi mootoicze i ściśle mootoicze, gi ograiczoe Defiicja 4.5 gów mootoiczych) Cia g a ) azywamy iemaleja cym rosa cym) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego umeru zachodzi ierówość a a + a < a + ). Podobie g ierosa cy maleja cy) to taki, że dla każdego umeru zachodzi ierówość a a + a > a + ). Cia gi iemaleja ce i ierosa ce maja wspóla azwe : gi mootoicze. Cia gi rosa ce i maleja ce azywamy gami ściśle mootoiczymi. W iektórych podre czikach stosowaa jest ieco ia termiologia: gi iemaleja ce zwae sa tam rosa cymi, a rosa ce ściśle rosa cymi. Jest oczywiście oboje te, która z dwu kocepcji jest stosowaa, jeśli tylko jest to robioe kosekwetie. Moża też, dla uikie cia ieporozumień, mówić o gach iemaleja cych i ściśle rosa cych. Cia g geometryczy zaczyaja cy sie od wyrazu a = q jest mootoiczy w przypadku q 0 : dla q = 0 oraz dla q = g geometryczy jest sta ly, c iemaleja cy i jedocześie ierosa cy. W przypadku 0 < q < jest o maleja cy, dla q > jest o rosa cy. Cia g arytmetyczy jest rosa cy, gdy jego różica d jest dodatia, maleja cy gdy d < 0, sta ly c jedocześie iemaleja cy i ierosa cy), gdy d = 0. Defiicja 4.6 gów ograiczoych) Cia g a ) azyway jest ograiczoym z góry wtedy i tylko wtedy, gdy istieje liczba rzeczywista M, taka że dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość: a M. Aalogiczie a ) jest ograiczoy z do lu wtedy i tylko wtedy, gdy istieje liczba rzeczywista m taka, że dla każdego zachodzi ierówość a m. Cia g ograiczoy z góry i z do lu azywamy ograiczoym. Cia giem ieograiczoym azywamy każdy g, który ie jest ograiczoy. Cia g ) jest ograiczoy z do lu p. przez 3 lub 0, ale ie jest ograiczoy z góry, c jest ieograiczoy. Cia g ) jest ograiczoy z góry p. przez lub przez 000 oraz z do lu, p przez, ale rówież przez 3. Cia g a ) jest ograiczoy wtedy i tylko wtedy, gdy istieje liczba ieujema M, taka że a M dla każdego. Jest oczywisty wiosek z defiicji ograiczoego: M musi być tak duże, by liczba M by la ograiczeiem dolym a ) i jedocześie liczba M by la jego ograiczeiem, górym. Przyk lad 4.4 Cia g + x )) Wypiszmy przybliżeia dziesie ciu pierwszych wyrazów 9

10 w przypadku x = : oraz w przypadku x = 4 : ) + ) = + 4 = 3 ) + = 9 4 =, 5 ) + 4 = ) = 64 7, 37 ) = 7 0, 37 ) = 65 56, 44 ) = 0 ) = , 49 ) = 35 0, 0003 ) = , 5 ) = 79 0, 004 ) = , 55 ) = , 007 ) = , 56 ) = 56 0, 0039 ) = , 58 ) = , 0050 ) = , 59 ) = , 0060 Latwo moża przekoać sie, że g o wyrazie a = + x ) ie jest ai geometryczy, ai arytmetyczy z wyja tkiem jedego przypadku: x = 0. Wykażemy, że jeśli > x 0, to a + > a, czyli że g te jest rosa cy od pewego mometu. W przypadku x > 0 jest rosa cy. Gdy x < 0, to może sie zdarzyć, że pocza tkowe wyrazy zmieiaja zak, c o mootoiczości ie może być awet mowy. Jeśli jedak wszystkie wyrazy sa dodatie, to jest iemaleja cy. Wykażemy to. Z ierówości > x wyika od razu ierówość + > x. Z pierwszej z ich wioskujemy, że + x > 0, z drugiej że + x ) Nierówość a < a + rówoważa jest ierówości + x < + x + > 0. +) +, a ta dzie ki temu, że + x > 0 ierówości + x ) > x + ) = x +x. Skorzystamy teraz z ierówości Beroulli ego, by udowodić, że ostatia ierówość ma miejsce dla > x. Mamy ) + = x +x)+) + x + + x ) + + ) x +x)+) = +x = x +x. x Dla jasości ależy jeszcze zauważyć, że liczba +x)+), pe lia ca role a w ierówości Beroulli ego, jest ksza od jest to oczywiste w przypadku x 0, bo w tym przypadku jest oa ieujema, zaś dla x > 0 jej wartość bezwzgle da, czyli x +x)+) jest miejsza od + <. Wykazaliśmy c, że od mometu, w którym wyrażeie + x ) staje sie dodatie, g zaczya rosa ć gdy x = 0 jest sta ly). Dodajmy jeszcze, że jeśli x > 0, to wyrazy sa dodatie, jeśli zaś x < 0, to sa oe dodatie dla parzystego oraz dla ieparzystego, o ile > x. Pozostaje pytaie: czy w przypadku x > 0 wzrost wyrazu + x )) jest ieograiczoy, czy też dla ustaloego x zaleźć moża liczbe ksza od wszyst- 0

11 kich wyrazów tego. Wykażemy, że g + x )) jest ograiczoy z góry dla dowolej liczby rzeczywistej x. Dla ujemych x tak jest, bo od pewego miejsca, jak to stwierdziliśmy wcześiej, wyrazy sa dodatie i miejsze od. Jeśli > x > 0, to + x ) = x ) x ) < x ). Wyrażeie x ) maleje wraz ze wzrostem gdy rozpatrujemy > x ), bo liczik ie zmieia sie, a miaowik jak to wykazaliśmy wcześiej rośie. Wyika sta d, że jeśli x) jest ajmiejsza ca lkowita ksza od x, to wszystkie wyrazy sa miejsze iż x) ) x) = x) x). x x) Np. ) =, zatem wszystkie wyrazy + ) sa miejsze iż ) = 4. W przypadku x = 4 wszystkie wyrazy pocza wszy od pia tego sa dodatie i miejsze od, rozważywszy cztery pierwsze przekoujemy sie o tym, że aj kszym wyrazem jest wyraz drugi, rówy, a ajmiejszym pierwszy, rówy 3. W istocie rzeczy z tego, co zosta lo apisae wyika, że dla każdej liczby aturalej ) k k k x) liczba = x k ) k k x jest ograiczeiem górym cia + ) x zache camy do samodzielego uzasadieia tego prostego stwierdzeia. Wykażemy teraz aste pujace Twierdzeie 4.7 o istieiu graicy mootoiczego) Każdy g mootoiczy ma graice. Dowód. Za lóżmy, że g a ) jest iemaleja cy, tz. dla każdego zachodzi ierówość a a +. Jeśli g ie jest ograiczoy z góry, to dla każdej liczby rzeczywistej M istieje liczba aturala M taka, że a M M. Wtedy dla każdej liczby aturalej M zachodzi ierówość a a M M. Wobec tego a = +. Za lóżmy teraz, że g a ) jest ograiczoy z góry przez liczbe b 0. Dla każdej liczby aturalej 0 mamy c a 0 a b 0. Jeśli w przedziale ] a 0 +b 0, b 0, zajduja sie jakiekolwiek wyrazy a ), to przyjmujemy c = a 0+b 0 i b = b 0. Jeśli w przedziale ] a 0 +b 0, b 0 wyrazów cia a ) ie ma, to przyjmujemy c = a 0 i b = a 0+b 0. W obu przypadkach otrzymujemy przedzia l [c, b ] [a 0, b 0 ] dwa razy krótszy od przedzia lu [a 0, b 0 ] zawieraja cy prawie wszystkie wyrazy a ). W taki sam sposób otrzymujemy przedzia l [c, b ] [c, b ] dwa razy krótszy od przedzia lu [c, b ], czyli cztery razy krótszy od przedzia lu [a 0, b 0 ] zawieraja cy prawie wszystkie wyrazy a ). Powtarzaja c te kostrukcje wielokrotie określamy zste puja cy g przedzia lów domkie tych [c, b ] ) taki, że każdy przedzia l [c, b ] jest dwa razy krótszy od swego poprzedika i

12 jest w im zawarty). Niech g be dzie puktem wspólym wszystkich przedzia lów [c, b ], =,,.... Jase jest, że ta cze ść wspóla sk lada sie z tylko jedej liczby jeśli g g, to dla dostateczie dużych liczb aturalych zachodzi ierówość g g > b 0 a 0 = b c ). Wykażemy, że a = g. Niech ε > 0. Istieje liczba aturala m taka, że b m c m < ε. Niech a [c m, b m ]. Wtedy rówież a +, a +, a +3,... [c m, b m ] i oczywiście g [c m, b m ]. Każde dwa pukty przedzia lu [c m, b m ] sa odleg le o ie cej iż b m c m < ε, w szczególości odleg lość g od każdego z puktów a, a +, a +, a +3,... jest miejsza iż ε. Ozacza to, że a = g. Jeśli cia g a ) jest ierosa cy, to moża już udowodioa cze ść twierdzeia zastosować do a ), który jest iemaleja cy. Ma o zatem jaka ś graice g. Bez trudu wykazujemy, że a = g. Te dowód zosta l zamieszczoy po to, by studeci mogli zrozumieć, jak moża przeprowadzać rozumowaia matematycze. Nie ależy uczyć sie go a pamie ć, warto go jedak go przemyśleć. Zauważmy jedyie, że gdybyśmy ograiczyli sie do liczb wymierych, tj. u lamków o ca lkowitych liczikach i miaowikach, to twierdzeie ie by loby prawdziwe istieja bowiem gi liczb wymierych, których graice sa iewymiere. Twierdzeie to podaje c istota iformacje o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Chodzi o to miaowicie, że ie ma w im dziur, geometryczie jest to ca la prosta. Wyprowadziliśmy to twierdzeie z lematu o przedzia lach zste puja cych, bo by l o jedyym do tej pory twierdzeiem mówia cym w istocie rzeczy, że mie dzy liczbami rzeczywistymi żadych luk ie ma w odróżieiu od dziurawego zbioru liczb wymierych. Mie dzy każdymi dwiema różymi liczbami wymierymi c i d zajduje sie liczba iewymiera, p. c + d c jej iewymierość wyika latwo z tego, że > jest iewymiera, zaś c d sa wymiere. Jest też jase, że leży oa mie dzy c i d od puktu c przesuwamy sie w kieruku puktu d o wektor d c, którego d lugość jest miejsza iż odleg lość c d puktów c i d. Z twierdzeia tego wyika p. od razu, że g geometryczy, którego zbieżość zbadaliśmy wcześiej ma graice w przypadku q 0. Nie wyika atomiast istieie tej graicy w przypadku q < 0, bo w przypadku ujemego ilorazu g geometryczy ie jest mootoiczy. Z tego twierdzeia wyika rówież, że dla każdej liczby rzeczywistej x g + x )) ma graice ie zawsze jest o mootoiczy, ale zawsze jest mootoiczy od pewego mometu, co w oczywisty sposób rówież wystarcza, bowiem zmiaa skończeie wielu wyrazów ie ma wp lywu a istieie lub wartość graicy, bowiem w defiicji graicy mowa jest jedyie o wyrazach,

13 których umery sa dostateczie duże, zatem zmiaa skończeie wielu wyrazów może jedyie mieć wp lyw a zaczeie s lów dostateczie duże. Ozaczeie 4.8 ważej graicy) expx) ozaczać be dzie w dalszym graice + x )), tz. + ) x. expx) = Wobec tego symbol exp ozacza fukcje, która jest określoa a zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych, jej wartoś w pukcie x jest liczba dodatia Obliczaie graic i stwierdzaie zbieżości + x ). Sformu lujemy teraz kilka twierdzeń, które u latwiaja obliczaie graic, ich szacowaie lub stwierdzaie ich istieia. Potem pokażemy jak moża je stosować. W końcu udowodimy cze ść z ich, tak by wyjaśić mechaizm dowodzeia. Najpierw zdefiiujemy iektóre dzia laia z użyciem symboli ±. Przypomiamy, że ie sa to liczby rzeczywiste, lecz owe obiekty. Defiicja 4.9 dzia lań z użyciem ± ) + ) =, ++ ) = +, ) = +, + ) =. + ± a = ±a + + ) = + ± a = ±a + ) = dla każdej liczby rzeczywistej a ) = +, + ) =, + ) = +, + ) =. + a = + i a = dla każdego a > 0. + ) + ) = ) ) = +. + a = i a = + dla każdego a < 0. a ± = 0 dla dowolej liczby rzeczywistej a. ± a = ± a dla dowolej liczby a 0. a + = +, a = 0 dla dowolej liczby a >. a + = 0 i a = + dla dowolej liczby 0 < a <. < a < + dla dowolej liczby rzeczywistej a. < +. l+ ) = +, l 0 =. Twierdzeie 4.0 o arytmetyczych w lasościach graicy) A. Jeśli istieja graice a, b i określoa jest ich suma, to istieje graica a +b ) i zachodzi wzór: a +b ) = a + b. A. Jeśli istieja graice a, b i określoa jest ich różica, to istieje graica a b ) i zachodzi: a b ) = a b. 3

14 A3. Jeśli istieja graice a, b i określoy jest ich iloczy, to istieje graica a b ) i zachodzi: a b ) = a b. A4. Jeśli istieja graice a, b i określoy jest ich iloraz, to istieje graica a b a i zachodzi wzór b = a b. Zaim udowodimy to twierdzeie, sformu lujemy aste pe. Twierdzeie 4. o szacowaiu) N. Jeśli C < a, to dla dostateczie dużych umerów zachodzi ierówość C < a. N. Jeśli C > a, to dla dostateczie dużych umerów zachodzi ierówość C > a. N3. Jeśli b < a, to dla dostateczie dużych umerów zachodzi ierówość b < a. N4. Jeśli b a dla dostateczie dużych umerów, to zachodzi ierówość b a. Wiosek 4. z twierdzeia o szacowaiu jedozaczość graicy) Cia g ma co ajwyżej jeda graice. Dowód. Gdyby mia l dwie p. g < g, to wybrać moglibyśmy liczbe C leża ca mie dzy g i g : g < C < g. Wtedy dla dostateczie dużych by loby jedocześie a < C zob. N) oraz a > C zob. N), co oczywiście ie jest możliwe. Wiosek 4.3 z tw. o szacowaiu ograiczoość o graicy skończoej) Jeśli graica a jest skończoa, to istieja liczby rzeczywiste C, D takie, że dla wszystkich zachodzi ierówość C < a < D, czyli g a ) jest ograiczoy z do lu C zaś z góry D. Twierdzeie 4.4 o trzech gach) Jeśli a b c dla dostateczie dużych i gi a ) oraz c ) maja rówe graice, to g b ) też ma graice i zachodzi wzór a = b = c. Defiicja 4.5 pod ) Jeśli k ) jest ściśle rosa cym giem liczb aturalych, to g a k ) azyway jest pod giem a ). 4

15 Na przyk lad g a, a 4 a 6,..., czyli g a k ) jest pod giem a ) w tym przypadku k = k. Cia g a, a 3, a 5, a 7, a,... jest pod giem a ) w tym przypadku k jest k ta pierwsza. Przyk lady moża możyć, ale zapewe starczy powiedzieć, że chodzi o wybraie ieskończeie wielu wyrazów wyjściowego bez zmiay kolejości w jakiej wyste powa ly. Jest jase, że jeśli g jest graica, to jest rówież graica każdego jego pod, wyika to od razu z defiicji graicy i defiicji pod. Latwe w dowodzie jest też twierdzeie pozwalaja ce a zbadaie skończeie wielu pod gów daego, w laściwie wybraych, i wioskowaie istieia graicy z istieia wspólej graicy wybraych pod gów. Twierdzeie 4.6 o scalaiu) * Za lóżmy, że z a ) moża wybrać dwa pod gi a k ) i a l ) zbieże do tej samej graicy g, przy czym każdy wyraz a ) jest wyrazem co ajmiej jedego z tych pod gów, tz. dla każdego istieje m, takie że = k m = l m. Wtedy ta wspóla graica obu tych pod gów jest graica a ) : a = g. Sformu lujemy teraz bardzo waże twierdzeie, które be dzie wielokrotie stosowae w dowodach. Twierdzeie 4.7 Bolzao Weierstrassa) Z każdego moża wybrać pod g, który ma graice skończoa lub ie). Wiosek 4.8 z twierdzeia Bolzao Weierstrassa) Cia g ma graice wtedy i tylko wtedy, gdy graice wszystkich tych jego pod gów, które maja graice, sa rówe. Naste pe twierdzeie, w zasadzie już cze ściowo udowodioe, wykaza l A.Cauchy, jede z twórców aalizy matematyczej. Twierdzeie 4.9 Cauchy ego) Cia g a ) ma graice skończoa wtedy i tylko wtedy, gdy spe lioy jest aste puja cy waruek Cauchy ego: wc) dla każdego ε > 0 istieje taka liczba aturala ε, lub że jeśli k, l > ε, to a k a l < ε. Twierdzeie to, podobie jak twierdzeie o istieiu graicy mootoiczego, pozwala czasem stwierdzić istieie graicy bez ustalaia jej wartości, co jest bardzo waże w liczych przypadkach. Pozwala oo też wykazywać ieistieie graic w istocie rzeczy wykazuja c, że g geometryczy o ilorazie q ie ma * Ta azwa to pomys l autora, który ma adzieje, że ie jest to ca lkiem g lupi termi. 5

16 graicy, wykazywaliśmy, że ie spe lia o waruku Cauchy ego, role liczba. ε pe li la tam Teraz pokażemy jak moża stosować twierdzeia, które sformu lowaliśmy wcześiej. Przyk lady sa waże, wyiki tam opisae be da późiej wykorzystywae Przyk lad 4.5 Rozpocziemy od przyk ladu już omówioego, ale teraz g zbadamy iaczej. Zajmiemy sie ) miaowicie giem. Udowodiliśmy poprzedio, że graica jest liczba ie wyjaśiaja c, ska d wiedzieliśmy, że akurat ta liczba ma być graica. Zauważmy, że zarówo liczik jak i miaowik maja graice, miaowicie +. Jesteśmy c w sytuacji iedobrej: +. W tym przypadku moża + +3 jedak bez trudu przekszta lcić wyrażeie określaja ce wyraz : 4 = Teraz możemy zastosować twierdzeie o graicy sumy gów A), potem o graicy różicy gów A), by stwierdzić, że 4 ) = ) = + 3 = + 0 = oraz = 4 0 = 4 wiemy już przecież, że = 0, 3 zatem = 3 = 3 0 = 0. Teraz mamy do czyieia z ilorazem, którego liczik ma graice, zaś miaowik graice 4, c róża od 0, co umożliwia skorzystaie z twierdzeia o graicy ilorazu A4). Z iego wyika od razu, że graica jest 4 =. Oczywiście ic cej już robić ie trzeba, bo twierdzeie o arytmetyczych w lasościach graicy gwaratuje zarówo istieie graic, jak i odpowiedie rówości. Przyk lad 4.6 Rozważymy aste py prosty przyk lad: ). Wykażemy miaowicie, ze g te ma graice +. Czytelik zechce zwrócić uwage a to, że a pewo pierwszych 00 wyrazów to liczby ujeme ie twierdzimy wcale, że tylko 00, ale = 4 00) 0 dla 00, a od tej liczby odejmujemy jeszcze , c te wyrazy sa ujeme, a o zaku dalszych ic ie mówimy. Zapiszmy wyraz w postaci ). Oczywiście 5 = ) ) ) ) ) = = + ) + ) + ) + ) + ) = + a mocy twierdzeia o graicy iloczyu A3). Na mocy twierdzeia o graicy ilorazu = 0 oraz 5 twierdzeie o graicy różicy A) dwukrotie, by stwierdzić, że A4) stwierdzamy, że ) = 0 0 =. 6 = 0. Możemy c zastosować

17 Nasz g zosta l c przedstawioy jako iloczy dwóch gów, z których pierwszy da ży do + a drugi do liczby dodatiej, do. Z defiicji możeia symboli ieskończoych przez liczby dodatie i twierdzeia o graicy iloczyu wyika, że jego graica jest +. Oczywiście i w tym przypadku moża posta pić ieco iaczej. Możemy apisać ierówość: = ) otrzymaliśmy g, który jest iloczyem dwóch gów: ) i 4 ). Oba da ża do +, c ich iloczy da ży do + + = +. Przyk lad 4.7 Pokazaliśmy wcześiej, że wyraz geometryczego o ilorazie z przedzia lu, ) jest zbieży do 0. Pokażemy jak moża uzyskać te sam rezultat bez szacowań stosuja c w zamia twierdzeie o istieiu graic pewych gów. Za lóżmy a pocza tek, że 0 q <. Wtedy oczywiście q + q, c g jest ierosa cy, zatem ma graice. Ozaczmy ja symbolem g. Poieważ wszystkie wyrazy leża w przedziale 0, ), c graica leży w przedziale [0, ]. Jest jase, że jeśli graica jest liczba g, to każdy jego pod g jest też zbieży do g. Wobec tego g = q+ = q q ) = q q = q g, czyli g = qg. Sta d, poieważ q, atychmiast wyika, że g = 0. Za lóżmy teraz, że < q < 0. Wtedy q q q. Z już udowodioej cze ści twierdzeia i z twierdzeia o trzech gach wyika, że 0 = q ) = q = q = 0. W te sam sposób moża rozważyć przypadek q >. Cia g q ) jest ściśle rosa cy, c ma graice g. Spe lioa musi być rówość g = qg, co jest możliwe jedyie wtedy, gdy g = 0 lub g = ±. Wiemy oczywiście, że g > 0 graica rosa cego liczb dodatich musi być ksza iż 0, wobec tego g = +. W przypadku q g ie ma graicy, bo możemy wybrać pod g, który ma graice g, p. q = q q ) oraz pod g, który ma graice g, p. q = q ), istieie pod gów o różych graicach przeczy istieiu graicy, zarówo skończoej jak i ieskończoej. Przyk lad 4.8 Niech a > 0 be dzie rzeczywista. Wykażemy, że a =. Podobie jak w poprzedich przypadkach pokażemy dwie metody. Tym razem zacziemy od sposobu z miejsza rachuków, czyli bardziej teoretyczego. Za lóżmy, że a >. Cia g a ) jest w tym przypadku ściśle maleja cy, jego wyrazy sa ksze iż, c ma graice g, skończoa, która ie może być miejsza iż. Każdy pod g tego jest zbieży do g. Mie dzy iymi g = 7 a.

18 Skorzystamy teraz z twierdzeia o iloczyie graic: g = g g = a a = a) = a = g, zatem g = g. Sta d wyika, że g = 0 < lub g = już wiemy, że g ie jest rówe ± ). Poieważ pierwsza możliwość zosta la wcześiej wykluczoa, c zostaje druga, czyli g =. Dla a = teza jest prawdziwa w oczywisty sposób. Za lóżmy teraz, że 0 < a <. Mamy a = = = = skorzystaliśmy z twier- /a /a dzeia o ilorazie graic oraz z już udowodioej cze ści tezy. Teraz udowodimy, że a = w przypadku a >, za pomoca szacowań. Niech ε be dzie dowola rzeczywista dodatia. Chcemy wykazać, że dla dostateczie dużych liczb aturalych zachodzi ierówość a < ε, czyli że ε < a < + ε. Poieważ a >, c ierówość podwója sprowadza sie do ierówości a < + ε, czyli do ierówości a < + ε). Ta z kolei wyika z ierówości a < +ε, bo +ε < +ε) ierówość Beroulli ego. Wystarczy c, by ε > a. To kończy dowód. ε Uwaga 4.0 Nie rozwia zywaliśmy ierówości a < + ε, bo wymaga loby log a to zastosowaia logarytmów, >, wskazaliśmy jedyie momet, od log + ε) którego ierówość jest prawdziwa, ie troszcza c sie o to, co sie dzieje w przypadku wcześiejszych. Uwaga 4. Zauważmy, że w defiiuja c pote ge o wyk ladiku rzeczywistym wykazaliśmy, że dla każdej liczby a > i dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość m a < + a. Sta m d wyika, że jeżeli m, to < a m a < + a. Maja m c dae ε > 0 dobieramy m N tak, że + a < + ε, wie m c dla > m mamy a < + ε. Ozacza to, że a =. Przyk lad 4.9 Teraz wykażemy, że graica ) jest liczba. Zaczijmy od wypisaia kilku pierwszych wyrazów : =,, 3 3, 4 4 =,.... Bez trudu moża stwierdzić, że 3 3 > moża p. podieść te ierówość obustroie do pote gi 6. Ozacza to, że < 3 3 > 4 4. Wyika sta d, że g te ie jest maleja cy ai rosa cy. Nie wyklucza to mootoiczości od pewego miejsca. Udowodimy c, że = korzystaja c z defiicji graicy, iy sposób pokażemy późiej. Niech ε be dzie dodatia dodatia. Poieważ wszystkie wyrazy sa ksze 8

19 lub rówe od, c wystarczy wykazać, że dla dostateczie dużych zachodzi ierówość < + ε, czyli < + ε). Tym razem ierówość Beroulli ego jest iewystarczaja ca, ale poieważ ε > 0, c dla mamy + ε) + ) ε + ) ε > ) ε. Wystarczy c, żeby < ) ε = ) ε, czyli ε + <, co kończy dowód. Teraz pokażemy, jak moża uzyskać te sam wyik bez szacowań. Nierówość + + < jest rówoważa ierówości > ) + = + ). Otóż wykazaliśmy wcześiej, że g + ) jest ograiczoy. Wobec tego ierówość > + ) zachodzi dla wszystkich dostateczie dużych liczb aturalych ie mamy powodu ustalać w tej chwili, od którego mometu jest oa prawdziwa. Wobec tego g ) jest maleja cy od pewego mometu, jest też ograiczoy z do lu przez liczbe, a co zatem idzie zbieży. Ozaczmy przez g jego graice. Każdy pod g tego, p. g = g g = jest zbieży do tej samej graicy g. Wobec tego = ) = ) = = g. = Otrzymaliśmy rówość g = g a poieważ g < +, c g =, co kończy dowód. Okaza lo sie, że rówież w tym przypadku moża omia ć rachuki, wymaga lo to tylko ieco cej zachodu iż poprzedio, bo g ie jest mootoiczy, a tylko maleja cy od pewego mometu. Przyk lad 4.0 Niech k be dzie dowola ca lkowita dodatia, q rze- czywista ksza od. Wykażemy, że k q r > 0. Za lóżmy, że > k +. Mamy wtedy q = + r) = = + ) r + Wobec tego 0 < k ) r + 3 ) r k ) r k + k+ = 0. Niech r = q. Oczywiście q < k = k k+)! k+)! = k+)r k+ )... k)r k+ ) )... k a sta d i z twierdzeia o trzech gach teza wyika od razu.* ) r k+ + + ) r > k+) r k+. )rk+ 0, Przyk lad 4. Niech a = q! i iech q ozacza dowola liczbe rzeczywista. Wykażemy, że a = 0. Z defiicji a ) wyika, że a = q q q... q q Iloraz maleje wraz ze wzrostem * Na prze lomie XVIII i XIX w. agielski ekoomista Th.R.Malthus twierdzi l, że liczba ludości wzrasta jak g geometryczy, zaś ilość żywości jak g arytmetyczy, tzw. prawo Malthusa. Wyika loby sta d i z tego, co w laśie wykazaliśmy, że ilość żywości przypadaja ca a jeda osobe maleje w czasie i to do 0, co prawda w bardzo d lugim, bo w przypadku liczby ludości q, ale to i tak ie wygla da lo dobrze. 9

20 q liczby. Jest awet = 0. Ozacza, to że jeśli jest duże, to wyraz a + jest zikomo ma la cze ś wyrazu a. Sta d powia wyikać zbieżość do 0. Rzeczywiście, iech m q be dzie aturala i iech > m. Wtedy 0 < q! = qm m! q m + q m +... q < qm m! ) m. Ostatie wyrażeie da ży do 0, bo jest to wyraz geometryczego o ilorazie. Stosujemy twierdzeie o trzech gach. Z iego wyika, że q = 0. Dowód zosta l zakończoy. Przyk lad 4. i tego, że Przyk lad 4.3 ieujemymi i! = 0. Wyika to sta d, że 0 <! =... = 0. Dowód zosta l zakończoy.. x = g, to Jeżeli k > jest aturala, x, x,... sa liczbami k x = k g. Jeśli bowiem k x l ) jest podcia giem zbieżym do graicy x ) k x, to a mocy twierdzeia o graicy ) iloczyu gów zachodzi x k k = k xl = x = g. Poieważ x 0, l jako graica liczb ieujemych, c x = k g. Wykazaliśmy c, że wszystkie te pod gi ) k x, które maja graice, sa zbieże do k g. Z wiosku z twierdzeia Bolzao Weierstrassa wyika, że graica k x ) jest! k g. To twierdzeie z latwoś moża rozszerzyć a przypadek liczb ujemych i pierwiastka stopia ieparzystego. Moża też wykazać to twierdzeie korzystaja c z latwej do uzasadieia ierówości k x k y k x y Przyk lad 4.4 Teraz kilka s lów wyjaśiaja cych dlaczego pewe dzia laia z użyciem symboli ieskończoych sa zdefiiowae, a ie ie. Wypiszmy kilka rówości latwych do dowodu: )) = )) = )) = = 0, co sugeruje, że powio być + + ) = 0 ; =, co sugeruje, że powio być + + ) = ; = +, zatem powio być + + ) = + ; )) = ) =, zatem powio być + + ) =. Okazuje sie c, że z tego, że dwa gi da ża do +, ic ie wyika a temat wartości graicy ich różicy. Przyja wszy a = i b = + ) przekoujemy sie z latwoś, że może sie też zdarzyć, że a = +, b = +, atomiast 0

21 różica a b ) gów a ) i b ) graicy w ogóle ie ma, w tym przypadku jest oa giem geometryczym o ilorazie. Iymi s lowy a podstawie tego, że dwa gi maja graice +, ic o istieiu graicy ich różicy lub jej wartości w przypadku, gdy graica istieje, powiedzieć ie moża! To samo dotyczy iych symboli ieozaczoych p. 0 0, ± ±, ±, Zache camy czytelika do samodzielego wymyśleia odpowiedich przyk ladów w celu lepszego zrozumieia tych kwestii. Uwaga 4. o cie żkim życiu studeta) Wielu studetów miewa lo w przesz lości przysz lość ie jest autorowi zaa k lopoty z symbolami ieozaczoymi; wg. autora samodziele wymyśleie kilku przyk ladów ilustruja cych iemożość rozszerzeia defiicji dzia lań z użyciem ieskończoości to jeda z ajpewiejszych dróg uikie cia tego rodzaju trudości. Ostatia rzecz, o której wspomieć wypada przed przejściem do dowodów, to twierdzeie o przeoszeiu sie ierówości a graice N4). Otóż moża by pomyśleć, że jeśli dla wszystkich dostateczie dużych liczb aturalych zachodzi ostra ierówość b < a, to rówież w graicy ierówość jest ostra. Tak może być, ale ie musi. Świadczyć może o tym aste puja cy przyk lad: a =, b = tego a < b dla =,, 3,... i jedocześie a = 0 = b. wobec Fukcja wyk ladicza o podstawie e Defiicja 4.3 Liczby e ) e = exp) = + x. ) Udowodimy, że dla każdej liczby x R zachodzi rówość e x = expx). Wymagać to be dzie troche pracy, ale p drodze wykażemy waże w lasości fukcji wyk ladiczej o podstawie e. Lemat 4.4 o pote gach gów szybko zbieżych do ) Jeśli Dowód. a = 0, to + a ) =. Skorzystamy z ierówości Beroulliego i twierdzeia o trzech gach. Z tego, że a = 0 wyika, że istieje taka liczba aturala ˆ, że dla każdej liczby aturalej > ˆ zachodzi ierówość a <, c rówież a a <, zatem < < a. Z ierówości Beroulliego wyika c, że dla każdego > ˆ zachodzi ierówość + a ) + a. Mamy też a +a a a < =.

22 Możemy c skorzystać z ierówości Beroulliego raz jeszcze: + a ) = + a + a = + a ) + a + a. + a Wyika sta d aste puja ca ierówość podwója + a + a ) + a. + a Z tego, że a = 0 wyika, że a = a ) = + a ) = + 0 = i gach wyika c, że + a +a a ) = 0 0 = 0, zatem = =. Z twierdzeia o trzech + a ) =. Lemat zosta l udowodioy. Lemat 4.5 podstawowa ierówość dla fukcji wyk ladiczej) Dla każdej liczby x R zachodzi ierówość expx) + x. Dowód. Jeśli > x, to x >, zatem + ) x + x = + x. Wobec tego expx) = + x ) + x. Lemat zosta l udowodioy. Lemat 4.6 podstawowa w lasość fukcji exp ) Dla każdej pary liczb rzeczywistych x, y zachodzi rówość Dowód. przyk lad 4.4, c expx) = expx + y) = expx) expy). Poieważ dla m > x 0 zachodza ierówości + x m > 0 oraz ) + x m m < + x m+ + x jest c rówoważa aste puja cej expx) expy) expx+y) = ) + x + y + x+y ) ) m+ ) > + x m) m > 0. Dowodzoa rówość ) = =. Wykażemy, że + ) xy + x+y. Rówość wyika od razu z lematu o pote gach gów szybko zbieżych do : przyjmujemy a = xy + x+y. Oczywiście wtedy a = Lemat 4.7 o mootoiczości fukcji exp ) Jeśli y > x, to expy) > expx). xy + x+y = 0 +0 = 0.

23 Dowód. Mamy expy) = expy x + x) = expy x) expx) + y x) expx) > expx) skorzystaliśmy z dodatiości liczby expx) i z ierówości podstawowej. Twierdzeie 4.8 o g lości fukcji exp ) Jeśli x = x, to expx ) = expx). Dowód. Jeśli h <, to exph) = exp h) + h) = h. Wyika sta d, że jeśli h = 0, to dla dostateczie dużych zachodzi ierówość h <, zatem + h exph ) h, a poieważ + h ) = + 0 = oraz h = 0 =, c exph ) =. Sta d i z rówaia podstawowego wyika, że expx ) = expx x) expx)) = expx x) expx)) = Lemat 4.9 Jeśli k, Z, > 0, to exp k ) = ek/. Dowód. = expx) = expx). Dla każdej liczby aturalej i każdej liczby rzeczywistej x zachodzi rówość expx) = expx)) wyika oa od razu z podstawowej w lasości fukcji exp. Przyjmuja c w ostatiej rówości x = y otrzymujemy expy) = exp y ), c exp y = expy) = expy)) /. Dla każdej aturalej liczby k mamy c exp k ) = exp ))k = e / ) k = e k/. Pozosta ly jeszcze liczby ujeme. Jeśli k < 0, to = exp0) = exp k + k ) = exp k ) exp k ), zatem Twierdzeie 4.30 exp k ) = exp k ) = exp k ) = e k/ = e k/. Dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi rówość expx) = e x. Dowód. Wiemy, że fukcje x expx) i x e x sa rosa ce i pokrywaja sie a zbiorze liczb wymierych. Wiemy też, że dla dowolych liczb rzeczywistych u, v i dowolej liczby aturalej z ierówości 0 < u v < wyika 0 < e v e u < e u e. Jeśli x jest dowola rzeczywista, dowola aturala a u, v sa takimi liczbami wymierymi, że u < x < v, v u <, to spe lioe sa ierówości e u = expu) < expx) < expv) = e v, e u < e x < e v i wobec tego e x expx) < e v e u < e u e < e x e. Wyika sta d, że różica mie dzy liczbami e x i expx) jest rówa 0, bo jest miejsza od dowolej liczby dodatiej to dowola liczba aturala!). 3

24 Defiicja 4.3 logarytmu aturalego) Logarytmem aturalym liczby x > 0 azywamy liczbe log e x. Ozaczamy ja symbolem l x. Lemat 4.3 Dla każdej liczby rzeczywistej x > zachodza ierówości x + x l + x) x. Dowód. Nierówość l + x) x wyika od razu z ierówości + x e x logarytm aturaly kszej liczby jest kszy, bo e >. Mamy x +x = +x, zatem z ierówości x > wyika, że x +x <. Z tej ierówości wyika, że e x/+x) = + x, zatem x x +x = l e x/+x)) l + x), co dowodzi lewej ierówości. +x Uwaga 4.33 Logarytmy aturale by ly pierwszymi, które obliczao. Późiej przekoamy sie, że pojawiaja sie oe w wielu sytuacjach. wzorem. Zakończymy rozważaia o fukcji wyk ladiczej o podstawie e jeszcze jedym Twierdzeie 4.34 Dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi rówość* e x = + x = + ) ) x + x!! + x3 3! x = :! =0 x!. Dowód. Niech k > 0 be dzie dowola aturala. Przypomiam, że dla k zachodzi wzór ) k =! k! k)! = 3... k+ k oraz j = j. Jeśli k, to + x ) = + ) x + ) x ) ) k x )k ) x ) = = + x! + ) x! + ) ) x3 3! ) Mamy zatem ) ) + x + x! + x! xk k! = ) = + x! + ) x! ) )... ) x! )... ) x!. + x! + x! xk k! ) = * Zak =: ozacza symbol aste puja cy po dwukropku jest zdefiioway za p[omoca wyrażeia zajduja cego sie po lewej stroie rówości. 4

25 = ) ) x! ) k )... ) ) x k k! + + x + ) )... k ) xk+ k+)! ) )... ) x )!. Sta d wyika, że przyp. a + b a + b, <, <, itd.) ) ) + x! + x! xk k! ) ) x! ) Za lóżmy teraz, że k > x. Wtedy x k+ k+)! = x k+ k+)! x k+4 k+4)! = x k+3 k+3)! )... k x k+ x k+ k+)!, x k+3 k+3)! = x k+ k+)! x k+4 x k+3 k+3)! 3 x k+ k+)!,... ) ) x k k! + x k+3 x k+ k+)! + x k+ k+)! x )!, x )! k x k+ k+)!. x k+ k+)!, Sta d x k+ k+)! x )! x k+ k+)! ) = x k+ k k+)! ) x k+ k k+)!. Wobec tego ) ) + x + x! + x! xk k! ) ) x! ) k )... ) ) x k k! + x k+ k+)!. e x Mamy zatem przyp. j ) = ) ) + x! + x! xk k! = + x ) ) x! ) Udowodiliśmy, że Poieważ x + tym idzie e x = e x + x! + x +)! = 0, c + x! + x! x!! xk k! e x ) + x! + x! xk )... k ) ) x k k! ) x k+ k+)!. ) k! + x k+ k+)! ) = = x k+ k+)!. ) + x! + x! x! = 0, a co za ). Zakończyliśmy dowód twierdzeia. Wiosek 4.35 e = e = e +! +! + 3! + 4! + 5! + 6! ) < < 7! = = 50, e ,78. Wypada dodać, że po rozwiie ciu teorii te dowód moża be dzie zasta pić zaczie krótszym. W tym miejscu podaliśmy go jedyie po to, by studeci mogli prześledzić rozumowaie, które wyda im sie d lugie, choć to tylko jeda stroa, co jest dobrym ćwiczeiem w szacowaiu oceie b le du przybliżeia). Jedocześie warto apisać, ze dla osób, które w zasadzie ie spotyka ly sie z dowodami, może oo być trudawe. Jedak prześledzeie kilku takich rozumowań z pewoś u latwi zrozumieie materia lu. 5

26 Opuszczoe dowody Przejdziemy teraz do dowodów twierdzeń sformu lowaych a pocza tku tego rozdzia lu. Zacziemy od ierówości. Zache camy studetów do przejrzeia przyajmiej cze ści dowodów i do lożeia starań w celu zrozumieia wioskowaia. Wioskowaie to jeda z ajważiejszych rzeczy w matematyce. Rozpowszechiay pogla d, że jest to potrzebe tylko matematykom, jest tylko w pewym sesie prawdziwy. Bez zapozaia sie z metodami stosowaymi w matematyce ie sposób zapewe zrozumieć sformu lowań wielu twierdzeń i wobec tego trudo je stosować, a pewo grozi to b le dami i zmusza studetów do zbe dego zapamie tywaia jakichś szczegó lów, które z puktu widzeia osób, które zrozumia ly podstawowe kwestie sa po prostu oczywiste i w ogóle o ich ie warto wspomiać. Poza tym cze ść dowodów mówi o tym, jak ależy poste pować w różych sytuacjach: dowód twierdzeia o graicy iloczyu lub ilorazu gów to po prostu opis podstawowej i ajprostszej) metody szacowaia iloczyu lub ilorazu. Dowód twierdzeia o szacowaiu Zacziemy od N. Przypomijmy, że liczba C jest miejsza od graicy a ). Mamy wykazać, że dla dostateczie dużych zachodzi ierówość C < a. Za lóżmy ajpierw, że graica a jest ieskończoa. Jest oa ksza od liczby rzeczywistej C, c a = + bo < C ). Z defiicji od razu wyika, że dla każdej liczby rzeczywistej M, p. dla M = C, pocza wszy od pewego mometu, zachodzi ierówość a > M = C. Przejdźmy do aste pego przypadku: graica a jest skończoa. Przyjmijmy ε = a C. Z defiicji od razu wyika, że dla dostateczie dużych zachodzi ierówość a a < ε, wie c a > a ε = C. W taki sam sposób udowodić moża N trzeba jedyie zmieić kieruki iektórych ierówości i zasta pić + przez. Teraz za lóżmy, że b < a. Niezależie od tego, czy graice sa skończoe czy ie, istieje liczba C taka, że b < C < a. Na mocy już udowodioej cze ści twierdzeia dla dostateczie dużych zachodza ierówości b < C oraz C < a. Z ich wyika od razu, że dla dostateczie dużych liczb aturalych mamy b < a, co kończy dowód cze ści N3. Za lóżmy, że od pewego mometu zachodzi ierówość b a, chcemy atomiast wykazać, że b a. Jeśli tak ie jest, to b > a. Sta d jedak wyika, że dla dostateczie dużych liczb aturalych zachodzi ierówość 6